范德蒙行列式的应用论文
关于范德蒙行列式的应用
Vol. 41/No . 14/Westleather关于范德蒙行列式的应用杨澜泳(西安财经大学，陕西西安710100)摘 要：大数据时代下，数据量的增长速度会超过储存数据介质容量的增长速度，那么储存代价会不断上升，储存介质的成 本在不断增加。
面对这种巨大的数据生成量传统数据管理系统中的数据处理技术受到了极大挑战％如何更高效，稳定的储存这些 数据成为数数据处理等许多领域研究的热h %本文从范德蒙行列式出发，b -范德蒙码以及范德蒙行列式特有的运算性质，优化并拓展了大数据时代最常见的动态分布式 文件系统HDFS ，将其优化为a a nDHDFS 。
b -范德蒙列阵纠删码的灵活性、高精准度特性，配合HDFS 的可恢复性，打造出一个 具有严格统一性与可恢复性的大数据储存系统。
关键词：大数据；储存介质；3德蒙行列式；HDFS 中图分类号：G633. 6 文献标志码：A 文章编号：1671 -1602 (2019) 14 -0079 -031基础知识1. 13德蒙行列式基O 知识范德蒙行列式就是在求线形递归方程通解的时候计算的行列 式，若递归方程的9个解为5，⑰,a,…6则范德蒙行列式如下所示:形如上图的行列式称为9阶范德蒙行列式％为求其9阶解，需用数学归纳法对其归纳求解。
当9=2时范德蒙德行列式H =7-7，范德蒙德行列式成立。
现假设范德蒙德行列式对9 - 1阶也成立，则对于9阶有：首先要把H ”降阶，方法是从第9列起用后一列 减去前一列的7倍，然后按第一行进行展开，就有>3 = (7 -7)(7 -7)0(7 -7)) (7 -7)于是就有原命题得证％：卩3 =n (7 $ 7#1. 2传统纠删码与3德蒙纠删码纠删码会创建一个数学函数来描述一组数字，这样就可以检查它们的准确性，而且一旦其中一个数字丢失，还可以恢复％多项式插值(polynomial interpolation )或过采样(oversampling)就是纠删 码所使用的关键技术％常见的数学意义上插值法有：拉格朗日插值法、牛顿插值法、埃米尔特插值法等等％从数据函数角度来说，纠删码提供的保护可以用下面这个简单 的公式来表示：9二V + m %变量“V ”代表原始数据或符号的值％变 量“m ”代表故障后添加的提供保护的额外或冗余符号的值％变量“9”代表纠删码过程后创建的符号的总值％举个例子来说，在一个EC 10/16的配置中，会有6个额外的符号(变量m )被添加到10个原始符号(变量V )中％这16个数据片段(变量9)会遍布16个驱动器、节点或地理位置中％而原始文 件可以从10个验证片段中重建％纠删码，也称为前向纠错(FEC )编码，早在50年前就已出现％随后产生了不同类型％其中一个最早也是最常见的类型就是RS (Reed - Solomo9，里德一所罗门纠删码)，这种类型的数据可以使用任何V 符号的组合或数据块来重建，即使m 符号丢失或不可用％比如，在EC10/16中，即使有6个驱动器、节点或者地理位置丢失或不可用，而原始文件还是可以恢复%纠删码可以用于有大量数据和任何需要容错的应用程序或系统中，比如磁盘阵列系统、数据网格、分布式存储应用程序、对象存储或归档存储%目前，纠删码的一个常见的使用案例是基于对象的存%那么，若选取编码生成矩阵M '3,使得G 组成形如Lgo02 …On-1」所 的纠删码为范 纠删码， G 意 V 的 方矩阵M 的转置矩阵为范德蒙矩阵，该范德蒙矩阵所组成的形如( )的行 为范 行 %2进一步对HDFS 基于范德蒙码的优化2. 1 HDFS 的基本运行思路HDFS 的文件下载是基于文件流形式，它将大于64M 的文件分割为一个又一个blocV (分块)，将他们储存在每个节点上，在用户调用文件时，首先系统会发送指令给9ame9ode 管理者，在它身上记录着每一个分块的大小以及位置信息，其次管理者会将这些信息反馈给客户端，则下一步客户端会与dataode 直接进行数据交互，采用 据流的形 ， 即在 用 个 据 会 行下 个 据的调用，知道调用到最后一个数据节点时，dataode 会反馈给9ame9o-de —个信号，则9ame9ode 会反馈给客户端停止调用的信号，至此基金项目：陕西省西部能源经济与区域发展协同创新研究中心哲学社会科学重点研究基地项目《能源富集区产业结构与资源环境协调性统 计测度理论与应用研究》(13JZ023)作者简介：杨澜泳(1995 -)，女，汉族，陕西人，在读研究生，西安财经大学，数理统计％79THEORIES AND RESEARCH理论与研究数据下载完毕%2. 2 VanDHDFS 编码的基本思路在VanDHDFS 中范德蒙码基本思路是从范德蒙行列式演变过来 的，其本质意义是在原本的HDFS 系统上，加入范德蒙行列式作为间变换方式$在 据输入的同时，利用范行据 行编译，通常数据源为列向量，密 的矩阵为列矩阵％在一个(q $ k )类型的范编码的过程中$原 据总量为q $ 这些数据进行编码操作$生 据量为k 的编码数据％其 k>q ,当我们进行文件操作导致文件损坏的时候，译码过程就会自动选取生成的q据 有效的k行编码恢复$如下图％这使编码过程 方便，并且容许大规模的数据错误，不会让原 据 ％2. 3 编码构造构造范德蒙编码阵V ,使得编码过程为：它与数据源列矩阵D相乘，生 的数据矩阵C , 如下：一 17271”一i —… 71 -- >1 --(1 11722”一i 72>2(2* > "1 723”一i 3*>3二(3-172%””一i…7」-> -I Q-转换出的C 矩阵即为编译后的原始数据，这样编译我们不难看 出，在 范 行 变 的数据形似 密处理的数据，这也为我们的数据加密工 路％但是，随 的问题就是，在 这 密处理的数据在今后每次使用的时候个解密的过程，虽然被解密数据为列矩阵，但解密过程却需要一个多阶甚至更高阶的范德蒙行列式来反编译％在HDFS 系统中，nameno de 本身的负荷量常重，如还要在让他担任大量的反编译工作，那能会产生的冗余和 程度便会 $ 运行 率会大％于是，我们必 如上的范 码进行简洁化处理$争取将之简化为便于处理与识别的编译方式％于是我们在原有的范 行 基础上，利用高斯消元法$进行变换%0 … 0 00 … 0 00 …1P 4…P - P100010S"00PP 兀y 2 咒 兀…九一1 九由变换后的范 行列式我们可以看出，我们将第 部为1的行，变 k 位矩阵，而余下的n-k为了冗余校验码，这个校验码的目的是便于namenode 管理者识该数据是被经殊处理的数据，并且识该数据是怎样的范 码的数据处理%另外， 这样处理的 范德蒙行我们 为S 矩阵$ S 矩 的好处在于其上半部分是由单位矩的， 位矩 原据包的乘积依旧是的原据，而余下的冗余校验码的乘积则成为了新的校验码，使namenode 的处理速度大大, 算量也随之减小％3-N3-N3-N3-NP P P P10000100S"0000PPP001P->1 ->2->1 ->2>3>N厶--0005」可以看到，伽生成的编码矩阵中，前k 阶同为原始数据D 是相 同的，这为我们的数据读常便利的方法，而下半部分生成了一个识0校验矩阵$这个矩阵的意义在于在今后无论是数据部分损坏亦或是校验码部分损坏，都能通过校验码快速识U 出可恢复的数据所处位置， 备份文件归属地，这样就能快速定位所需恢复的数据原始文件所在地，能高效的精准的减少恢 据所需时间％下来我们使用C+ +进行范码的编码操作$所使用的的数据源为OpenCV %由于没有节点数据的支持，目前该C++编码只处于文本阶段, 期我们会将节点数据与变动后的HDFS 模型 入，取运行 据%2. 4 译码过程解析有了如上的编码过程，我们极大的缩短了 namenode 管理者处理信息的负载量，提高译码过程的效率％那$如果数据发生坏，编译加密的数据 执行恢复操作%编码存的信 矩 第三行与第k 行数据模组同时发生错误，且k<n ,即原 据包和冗余校验矩阵随机发生错误，那 校验码中第一行与第二行完好，则选取第一行与第二行恢复运算％那 我们 原 据矩变形的数据阵Dr其后运用数学知识，我们还原矩阵A",这我们构造A"要运用高斯消，并且 位阵与冗余校验阵结合在：拼凑这个还原矩阵％贝IJ,还原矩阵A 要口下：10 (000)1…006ii 612…61,N-161N0 (1)L 621622…62,N-2为使还原矩阵A"可用，我们还需将A"进行求逆操作$目的是为 了使用矩阵A"的逆矩阵A 可"行 据恢复%矩阵A"的行det (A 可,0,因此矩阵A"必然 %在此处矩阵A"的运算无 行人工参与，因此我在C+ +的基础上进行了译码操作$其矩阵A"的运算％在我们还原矩阵A"的逆矩阵A 可"后$我们将之提取，与损坏的矩阵D ，—起作为译码进行恢复运算，这$我们初的 据矩 D , 文件恢 %3 VandHDFS 在实际应用中的技术分析在改进后的VanDHDFS 文件管理系统中，我们可以知道利用范德蒙码进行编译的分布式文件 于之前的文件管 无论是从容错率还是 算效率都有了巨大的 %为此，我 用范德80Vol.41/No.14/Westleather蒙码编译的VaDHDFS进行了数据化的测试。
范德蒙行列式及应用论文
范德蒙行列式及应用论文范德蒙行列式，又称范德蒙行列，是数学中的一个重要概念，它在线性代数、向量空间、微积分等领域有着广泛的应用。
范德蒙行列式由荷兰数学家范德蒙（Vandermonde）首先提出，它的定义和性质在很多数学分支中都发挥了重要的作用，特别是在矩阵理论、数论、代数学等领域，范德蒙行列式都有着深远的影响。
范德蒙行列式的定义是：对于给定的n个不同的数a1,a2,...,an，范德蒙行列式定义为：a1 a2 ... ana1^2 a2^2 ... an^2a1^3 a2^3 ... an^3... ... ... ...a1^n a2^n ... an^n即为由这些数按照一定顺序排列而成的矩阵行列式，其中ai^k表示ai的k次幂。
范德蒙行列式的值可以通过列主元化简为非零值，从而成为一个n阶矩阵行列式。
范德蒙行列式的应用非常广泛，下面我们来谈谈范德蒙行列式在数学中的一些重要应用。
首先，在线性代数中，范德蒙行列式是矩阵的一个重要特征，它可以用来描述矩阵的性质和结构。
通过范德蒙行列式，我们可以判断矩阵的秩、可逆性、行列式值等信息，进而用于解线性方程组、矩阵变换、特征值特征向量的求解等问题。
其次，在微积分中，范德蒙行列式也有着重要的应用。
在多元函数的求导、积分、微分方程的求解过程中，常常需要用到雅可比行列式，而雅可比行列式与范德蒙行列式有着密切的关系。
通过范德蒙行列式，我们可以求解多元函数的偏导数、雅可比行列式的值，从而解决相关的微分方程和积分问题。
另外，在数论中，范德蒙行列式也有着重要的应用。
由于范德蒙行列式的特殊性质，它经常出现在数论中的不同问题中，例如组合数学、数列求和、多项式插值等方面。
通过范德蒙行列式，我们可以推导出一些数学定理和结论，解决一些数论问题。
除了以上提到的领域外，范德蒙行列式还在代数学、几何学、概率论、信号处理、图论等领域有着重要的应用。
它不仅是数学理论研究的基础，还是许多工程技术问题的解决工具。
范德蒙行列式的应用论文
范德蒙行列式的应用论文范德蒙行列式的应用摘要行列式是线性代数的主要内容之一～它是后续课程线性方程组、矩阵、向量空间和线性变换的基础～有着很重要的作用。
而n阶范德蒙行列式是线性代数中著名的行列式～它构造独特、形式优美～更由于它有广泛的应用～因而成为一个著名的行列式。
它的证明过程是典型行列式定理及数学归纳法的综合应用。
本文将通过对n阶范德蒙行列式的计算, 讨论它的各种位置变化规律, 介绍了如何构造范德蒙行列式进行行列式计算～以及探讨了范德蒙行列式在向量空间理论、线性变换理论以及微积分中的应用。
行列式,范德蒙行列式,向量空间理论,线性变换理论,微积分关键词:VANDERMONDE DETERMINANT OF APPLICATIONSABSTRACT The determinant is one of the main contents of linear algebra, which is the follow-up course of linear equations, matrixes, vector spaces and linear transformation of the base, has a very important role. The n-order Vandermonde determinant is the determinant of well-known in linear algebra, which constructs a unique form of beauty, but the more because it has a wide range of applications, and thus become a well-known determinant. It's proof process is typical determinant theorem and comprehensive application of mathematical induction. This article will through the n-order Vandermonde Determinant of calculation and discussing the variation of its various locations, describes how to construct a Vandermonde determinant of the determinant calculation, as well as to explore the Vandermonde determinant ofapplications in the theory of vector spaces, linear transformation theory and infinitesimal calculus.Key words: linear algebra， Vandermonde determinant， theory of vector spaces，linear transformation theory， infinitesimal calculus.第一章绪论1.1 引言我们首先来介绍范德蒙行列式的定义及其计算方法.形如行列式(1) 称为n 阶的范德蒙(Vandermond)行列式e.我们来证明，对任意的n 阶范德蒙行列式等于这n 个数的所有可能的差a(1?j,i?n)的乘积.1.2 范德蒙德行列式的证明1.2.1 用数学归纳法证明范德蒙德行列式我们对n作归纳法.(1)当时，结果是对的.(2)假设对于n蒙行列式结论成立，现在来看n级的情况.在中，第n行减去第倍，第倍，也就是由下而上依次地从每一行减去它上一行倍，有的()()() 后面这行列式是一个n-1级的范德蒙德行列式，根据归纳法假设，它等于所有可能差ai(2?j,i?n);而包含a1的差全在前面出现了.因之，结论对n级范德蒙德行列式也成立.根据数学归纳法，完成了证明 .用连乘号，这个结果可以简写为由这个结果立即得出，范德蒙德行列式为零的充分必要条件是这n个数中至少有两个相等.1.2.2 用定理证明范德蒙德行列式已知在n级行列式中，第行(或第列)的元素除a零，那么这个行列式等于a代数余子式积，在=中，从最后一行开始，每一行减去它相邻前一行的a1倍得= 根据上述定理= 提出每一列的公因子后得= 最后一个因子是行列式，用表示，则有= 同样可得=()()() 此处-2阶范德蒙行列式，如此继续下去，最后得=()()()1.3 范德蒙行列式的性质利用行列式的性质容易推得:1、若将范德蒙行列式Dn逆时针旋转可得2、若将范德蒙行列Dn顺3、若将范德蒙行列式Dn第二章范德蒙行列式的应用 2.1 范德蒙行列式在行列式计算中的应用利用行列式的性质，我们可以简化行列式的计算。
数学与应用数学毕业论文范德蒙行列式的应用研究
曲靖师范学院本科生毕业论文论文题目：范德蒙行列式的应用研究作者、学号：学院、年级：数学与信息科学学院2006级学科、专业：数学数学与应用数学指导教师：完成日期：2010年5月26日曲靖师范学院教务处曲靖师范学院本论文（设计）经答辩小组全体成员审查，确认符合曲靖师范学院本科(学士学位)毕业论文（设计）质量要求。
答辩小组签名答辩日期：2010年5月26日原创性声明本人声明：所呈交的论文（设计）是本人在指导教师指导下进行的研究工作成果。
除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文（设计）中不包含其他人已发表或撰写过的研究成果。
参与同一工作的其他同志对本研究所作的任何贡献已在论文（设计）中作了明确的说明并表示了谢意。
签名：日期： 2010年5月26日。
论文（设计）使用授权说明本论文（设计）作者完全了解曲靖师范学院有关保留、使用毕业(学位)论文（设计）的规定，即学校有权保留论文（设计）及送交论文（设计）复印件，允许论文（设计）被查阅和借阅；学校可以公布论文（设计）的全部或部分内容。
签名：指导教师签名：日期： 2010年5月26日。
范德蒙行列式的应用研究摘要行列式是一个重要的数学工具,它不仅有着悠久的历史,更具有广泛的应用.范德蒙行列式是数学家范德蒙在1772年提出的.作为一种特殊的行列式——范德蒙行列式不仅结构独特、形式优美,而且具有十分广泛的应用.正确的掌握使用范德蒙行列式解题可以达到事半功倍的效果.利用范德蒙行列式解题的本质在于化复杂为简单,化繁琐为简便.然而要正确、适当的构造和应用范德蒙行列式去有效解决问题绝非易事.因此,本毕业论文从计算行列式、求解n阶k循环行列式、解决多项式的求根问题、解答向量的线性相关性问题、解答整除问题和解答微积分问题六个方面较为系统的探讨了范德蒙行列式的应用,并对方法和技巧作了一点总结，希望帮助初学者更好的理解和掌握范德蒙行列式及其广泛的应用.关键词:行列式;范德蒙行列式;应用;构造Study on Application of Vandermonde DeterminantAbstract: Determinant is an important mathematical tool, it is not only has a long history, but also more widely used. vandermonde determinant was proposed a mathematician whose name is Vandermonde in 1772. As a special determinant ——vandermonde determinant not only unique in the structure and graceful form, and it is of wide application. The right to use vandermonde determinant to solve the problem can be reached the effect of half paying double getting. The nature of using vandermonde determinant to solve problem is to make complex become simple, complicated to easy. However, it is not easy to solve the problem effectively by constructing and application vandermonde determinant is not in a right and proper way. Therefore, this thesis systematically researches the application of the vandermonde determinant and makes a little summary of its methods and techniques from six aspects: the calculation of determinant, solving n-order k loop determinant, solving problems finding roots of polynomials, linear correlation vectors answer questions, questions and answers divisible. In the hope that it can help beginners to better understand and master the vandermonde determinant and its wide range of applications.Keywords: determinant; Vandermonde determinant; applications; structure目录1 引言 (1)2 文献综述 (1)2.1 国内外研究现状 (1)2.2 国内外研究现状评价 (1)2.3 提出问题 (2)3 范德蒙行列式简介 (2)4 范德蒙行列式的应用探讨 (3)4.1 计算行列式 (3)4.2 求解n阶k循环行列式 (6)4.3 解决多项式的求根问题 (8)4.4 解答向量线性相关性问题 (9)4.5 解答整除问题 (11)4.6 解答微积分问题 (14)5 结论 (15)5.1 主要发现 (15)5.2 启示 (15)5.3 局限性 (15)5.4 努力方向 (15)参考文献 (16)1 引言行列式是一个重要的数学工具,活跃在数学的各个分支.行列式最早出现在16世纪关于求解线性方程组的问题中,行列式的研究是伴随着线性代数的发展而发展起来的.18世纪,法国著名数学家范德蒙（A,T,Vandermonde,1735—1796）将行列式的理论脱离线性方程组,放到理论高度作为专门的理论进行研究,在此基础上确立了行列式的一些性质,从而使行列式逐步发展成一门独立的数学课题.到了19世纪,数学家柯西、凯莱和西尔维斯特等人给出了真正现代意义上的行列式理论.行列式(Determinant)这个名称是柯西1815年首先使用的,随其后,凯莱于1841年使用了行列式记号| |[1].范德蒙行列式是数学家范德蒙在1772年提出的.作为一种特殊的行列式,范德蒙行列式不仅结构独特、形式优美,而且具有广泛而丰富的应用.基于范德蒙行列式结构的独特性,学习者在计算行列式时不易掌握,尤其是需要通过变换构造这一行列式来解决相关方面的问题就显得更加困难.因此,本毕业论文从计算行列式、求解n阶k循环行列式、解决多项式的求根问题、解答向量的线性相关性问题、解答整除问题和解答微积分问题六个方面来探究范德蒙行列式的应用,希望对初学者提供一定的参考.2 文献综述2.1 国内外研究现状从目前参阅的文献资料[1—20]中了解的信息来看,针对范德蒙行列式的应用,近几年来研究者们得出了许多成果.真所谓仁者见仁,智者见智,不同研究者的角度、出发点和研究方向均不相同.例如:北京大学第三版《高等代数》教材[2]和其他不同版《高等代数》教材[3、4]、习题集[5、6]中就提到了范德蒙行列式在行列式的计算和多项式根存在问题中的应用.在许多高校的学报中我们可以找到范德蒙行列式应用的文章.比如:在《范德蒙行列式应用三则》一文[7]中张文治、赵艳给出了通过构造范德蒙行列式计算缺项行列式;在《范德蒙行列式的应用》一文[8]中徐杰探讨了应用范德蒙行列式证明向量的线性相关性问题;在《范德蒙行列式在微积分中的应用》一文[9]中程伟健、贺冬冬研究了利用范德蒙行列式求高阶无穷小和证明k阶导数极限的存在问题;此外文献[10]、[11]、[12]中也提到了范德蒙行列式的相关应用,等等.2.2国内外研究现状评价综上所述,目前国内外对范德蒙行列式的应用研究虽然是比较多的，但是对应用方法技巧的总结、归纳还比较欠缺,比较零散,不够全面,系统性、规范性不足.同时对如何构造范德蒙行列式的研究不是很透彻,使初学者在实际处理具体问题时不易运用和掌握.2.3 提出问题利用范德蒙行列式解题的本质在于化复杂为简单、化繁琐为简便.正确的使用范德蒙行列式解题可以达到事半功倍的效果.虽然对范德蒙行列式在各个方面的应用研究是许多学者关注的焦点,但是对范德蒙行列式应用的方法、技巧的总结还比较欠缺、零散、不够全面.因此本毕业论文通过探讨范德蒙行列式在计算行列式、求解n 阶k 循环行列式、解决多项式的求根问题、解答向量的线性相关性问题、解答整除问题和解答微积分问题中的一些应用,总结了构造范德蒙行列式解题的一些方法和技巧,希望能给广大学者提供一定的参考. 3 范德蒙行列式简介形如:113121122322213211111----=n nn n n nna a a a a a a a a a a a D的行列式称为n 级范德蒙(Vandermonde)行列式.可以证明：对任意的n ()2≥n ，n 级范德蒙（Vandermonde ）行列式等于1a ,2a , ,na 这n 个数的所有可能的差()j i a a -()n i j ≤<≤1的乘积．即：()∏≤<≤-----==ni j j i n nn n n nna a a a a a a a a a a a a a D 1113121122322213211111因为D D T =，所以范德蒙行列式还可以写成：()∏≤<≤-----==ni j j i n nnnn n n a a a a a a a a a a a a a a D 1121323312222112111111从定义可以得出，范德蒙行列式等于零的充分必要条件是1a ,2a , ,n a 这n 个数中至少有两个相等．4 范德蒙行列式的应用探讨范德蒙行列式常做为行列式理论的一个教学实例而出现，虽然未被明确提出和探讨研究，但出于它结构独特、形式优美，在数学的各个分支都具有十分广泛的应用．下面将从计算行列式、求解n 阶k 循环行列式、解决多项式的求根问题、解答向量的线性相关性问题、解答整除问题和解答微积分问题六个方面探讨研究范德蒙行列式的应用． 4.1 计算行列式范德蒙行列式在行列式的计算问题中起着举足轻重的作用．利用范德蒙行列式计算行列式已被确立为一种特殊的方法被广泛使用．下面先来看几个例子．例1[13]计算行列式：n n n n n n n n n n n n n nnn n ny y x y x x y y x y x x y y x y x x A 111111112122212211111111+-+++-++----=,其中0121≠⋅⋅⋅+n x x x ．分析：A 不是范德蒙行列式，但仔细观察发现它具有范德蒙行列式的影子，可考虑构造范德蒙行列式．解：将第1行提出n x 1,第2行提出 ,2nx ,第n 行提出n n x ,第1+n 行提出n n x 1+,则有:nn n n n n n n n n nn nn n i n i x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛=++-++++++--+=∏11111211112212222222111112111111111因此,构造出了一个1n +阶的范德蒙行列式:=1A nn n n n n n n n n nn nn x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-++++++--1111121111221222222211111211111111j i j i n i j y y x x ≤<≤⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭∏()∏∏∏∏+≤<≤+=≤<≤+=-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-==11111111n j i i j j i n i n i j j j i i nin i n iy x y x x y x y x A x A 所以：.点评:本例的解题技巧在于从第i 行中提出n i x ()1,3,2,1+=n i ,从而构造了一个1n +阶的范德蒙行列式.例2[8]计算行列式:n nn n nn nn n n nna a a a a a a a a a a a a a a a D321223222122322213211111----=．分析:D 不是范德蒙行列式,但具有该行列式的特点,可考虑构造1n +阶范德蒙行列式,再根据范德蒙行列式的结果间接地求出D 的值.解:考察此行列式,构造1n +阶范德蒙行列式:nn nn nn n nn n nna a a a a a a a a a a a a a a a D211112112222212111111----=则行列式D 等于1D 中元素1-n a 的余子式,将行列式1D 按1n +列展开得:1,11,11,321,21,11+++-++++++++=n n n n n n n n n A a A a A a aA A D其中1-n a 的系数为:()D M M A n n n n n n n -=-=-=++++1,1,121,1即行列式D 等于1n +阶范德蒙行列式1D 的展开式中1-n a 的系数的相反数.又因为 ()()j ni j j ia a a aD --=∏≤<≤11.对()1j j na a ≤≤-∏展开得1-n a的系数为∑=-nj j a 1,因此在1D 中1-n a 的系数为:()∏∑≤<≤=--ni j jinj ja a a 11.故行列式()∏∑≤<≤=-=ni j j inj ja aa D 11.点评:本例通过添加了第n 行、第1n +列构造了1n +阶范德蒙行列式1D ,再利用行列式D 与1D 中某元素余子式的关系来计算行列式.例3[7] 计算行列式:()()()()()()()()()nn n nn nn nn nn n n nn y x y x y x y x y x y x y x y x y x A +++++++++=101110101000解:利用二项式定理的展开式()ii n ni i nny x C y x -=∑=+0和行列式的乘法规律得: 01122000010112222211110112201111n n n n n n n n n n n n n n n n n nn n n n n n n n n n n n nnnC xC x C x Cy y y C xC xC xC A y y y C x C x C x C y y y ------=⋅ ()()20000121012222111212011111111n n n n n n n n nnn n n nn nnnnx x xy y y x xx C C CCy y y x x x y y y +=-⋅()()()()()()1012200012001n n n n n nnijijj i nj i nnn n nnji ijj i nj i nC C CCx x y y C C C C xx y y +≤<≤≤<≤≤<≤≤<≤=---=--∏∏∏∏点评:本例先按照二项式定理的展开式()ii n ni i nny x C y x -=∑=+0将行列式A 中的每一个元素展开,可变为乘积之和,再根据行列式的乘法规则分别构造出1n +阶范德蒙行列式进行计算.通过对上述例题的分析,可归纳出构造范德蒙行列式计算行列式的一点技巧: (1)、观察要计算的行列式是否具有范德蒙行列式的某些结构特征; (2)、通过适当方法(如:拆项法、添项法等)构造出范德蒙行列式; (3)、结合范德蒙行列式和题目的要求进行计算. 4.2 求解n 阶k 循环行列式形如[11]:1432211121321b kb kb kb b b kb kb b b b kb b b b b B n n n n nn n ---=的行列式，称为n 阶k 循环行列式，其中123,,,,,n b b b b k 是常数且0≠k .特别地,当1=k 时,叫做n 阶循环行列式;当1-=k 时,叫做n 阶反循环行列式. 对于n 阶k 循环行列式的计算.利用范德蒙行列式可证明以下定理.定理1:对n 阶k 循环行列式1432211121321b kb kb kb b b kb kb b b b kb b b b b B n n n n nn n ---=构造多项式函数: ()21123n n f x b b x b x b x -=++++．若方程0=-k x n 的n 个根为()n i x i ,,3,2,1 =,则必有:()∏==ni i n x f B 1 .证明:考察方程0=-k x n ,设()k x x n -=ϕ,则()1'-=n nx x ϕ,由于存在()kx h 1-=,()x nkx l 1=.使得: ()()()()111111'=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛--n n nxx nk k x k x x nk x k ϕϕ 故得多项式()x ϕ与()x 'ϕ互质,因此多项式()x ϕ没有重根,即方程0=-k x n 没有重根.也即方程0=-k x n 有n 个互异根.以方程0=-k x n 的n 个根()n i x i ,,3,2,1 =构造n 阶范德蒙行列式:112112222121111---=n nn n nnn x x x x x x x x x D显然0≠n D ,()n i k x n i ,,3,2,1 ==.因为()12321-++++=n n x b x b x b b x f ,故()12321-++++=n i n i i i x b x b x b b x f ()n i ,,3,2,1 =.考察⋅=---1432211121321b kb kb kb b b kb kb b b b kb b b b b D B n n n n nn n n 112112222121111---n nn n nnx x x x x x x x x=()()()()()()()()()n n n n n n n n x f x x f x x f x x f x x f x x f x x f x f x f 1212111221121---= ()()()n n D x f x f x f ⋅⋅ 21 所以()()()()∏==⋅=ni i n n x f x f x f x f B 121 .例4[14]计算行列式:11111011110=n A ．解:经观察,此行列式n A 为n 阶循环行列式且1,0321=====n b b b b .设()132-++++=n x x x x x g .若方程01=-n x 的根记为()n i x i ,,3,2,1 =.不妨设11=x 则()()01111121111=++++-=--n n x x x x x 故对()n i x i ,,3,2 =必有:0112=++++-n i i i x x x .既有()()n i x g i ,,3,21 =-=,故得:()()()()()121111-==--=⋅==∏∏n ni i ni i n n x g x g x g D .n 阶k 循环行列式的解法以多项式理论为基础，结合范德蒙行列式进行探讨n 阶k循环行列式的初等解法，方法简便易行，有一定的实用价值． 4.3 解决多项式的求根问题多项式是一类最常见，最简单的函数，它的应用非常广泛．多项式理论是高等代数的重要内容，是学习代数学及其他数学分支的必要基础，是中学数学有关知识的加深和扩充．虽然它在整个高等代数中是一个相对独立而自成体系的部分，但却为高等代数的基本内容提供了理论依据．研究学习多项式、多项式根的存在问题、多项式求根等是多项式理论的重点和难点．由于多项式理论的高度抽象性，初学者在学习时不好把握．多数多项式的求根问题又与行列式相关联，巧妙的应用它们之间的联系，对解决会起到化繁为简的作用．例5[8]证明一个n 次多项式至多有n 个互异根.证明:设n 次多项式为()n n x k x k x k k x f ++++= 2210，假设()x f 有1n +个互异的根为121,,,,+n n x x x x ,则有:()()1,,2,102210+==++++=n i x k x k x k k x f n i n i i i即: ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++++=++++=++++=+++++++00001212110221022222101212110n n n nn n n n n nnn n n x k x k x k k x k x k x k k x k x k x k k x k x k x k k因此,这个关于n k k k k ,,,,210 的齐次线性方程组的系数行列式为:()∏+≤<≤++++-==11121122222121111111n i j j i nn n n nnn n nnn x x x x x x x x x x x x x x A.因为121,,,,+n n x x x x 是互异的.所以01≠+n A , 因此0210=====n k k k k .矛盾.故()x f 至多有n 个互异的根,即n 次多项式至多有n 个互异根,证毕.例6[6]设()112111222211211121111-------=n n n n n n n k k k k k k k k k x x x x f. 其中121,,,-n k k k 是互不相同的数,证明:()x f 是一个关于x 的1n -次的多项式,并求出()x f 的根.证明:因为()x f 中只有第一行含有x 的幂次,而最高幂次为1n -,另外展开后1-n x 的系数为:()011111212112222221211≠-=∏-≤<≤------n i j j in n n n n n k kk k k k k k k k k故()x f 是一个关于x 的1n -次多项式.又因为当121,,,-=n k k k x 时.()()()121,,,-n k f k f k f 都有两行相同,从而()()1,,2,1,0-==n i k f i .故互不相同的数121,,,-n k k k 就是()x f 的根.在多项式理论中，很多问题都涉及求根问题，在分析题目时，范德蒙行列式起到了关键作用,再结合范德蒙行列式为零的充要条件,更起到了化繁为简的作用.若能熟练有效的运用范德蒙行列式,对我们最终解决问题会有直接帮助. 4.4 解答向量线性相关性问题向量的线性相关性是向量研究的一个重点也是一个难点,比较抽象,且对逻辑推理有较多要求,不容易理解其实质.无论是判断还是证明或者计算,初学者往往会感到困惑,难以掌握.但将其与行列式适当相结合,对于判断、证明和计算相应问题就比较容易理解、掌握,尤其是与特殊行列式—范德蒙行列式相结合,效果更显而易见.例7[10]设t ααα,,,21 是t 个互不相同的数，t n ≤.证明:向量组()211,,,,n i i i i βααα-'=线性无关,1,2,,i n =.证明:考察向量组()12',,,,1-=t i i i i αααβ ,t i ,,2,1 =,可构造一个t 阶的范德蒙行列式:121222211211111---=t t t tt t t D ααααααααα因为t ααα,,,21 是互不相同的,所以0≠t D .故()12',,,,1-=t i i i i αααβ ,t i ,,2,1 =,线性无关.在每个'i β的后面再添上t n -个分量11,,,-+n i t i t i ααα 所得向量组()112',,,,,,,1--=n i t i t i i i i αααααβ ,1,2,,i n =,仍线性无关.例8[15] 设A 是n 阶矩阵，证明：A 的不同特征值的特征向量线性无关.证明：是t ξξξ,,,21 是A 的两两不相同的t 个特征值，存在非零向量t βββ,,,21 有：i i i A βξβ=，1i t ≤≤.假设02211=+++t t y y y βββ ，那么()t j y y y A t t j ≤≤=+++1,02211βββ .所以().1,01111t j y y A y y A ti i i j i t i i ji i t i i j i t i i i j≤≤====⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∑∑====βξβξββ即： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++0222111222221121222111t t t t t t t t t t t t y y y y y y y y y βξβξβξβξβξβξβξβξβξ所以 022113212232221321=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛t t t t tt t t t y y y βββξξξξξξξξξξξξ考察系数矩阵B ，则有⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=----1131211321211111t t t t t t t B ξξξξξξξξξξξ因为t ξξξ,,,21 是两两互不相同的特征值.所以0B ≠,因此必有0332211=====t t y y y y ββββ .于是021====t y y y ,因此t βββ,,,21 线性无关.在向量空间理论中,我们经常会碰到证明向量线性无关的问题,而有些问题需要用范德蒙行列式进行转化,通过转化,我们就很容易地得到所需要的结论,这就要求我们充分掌握范德蒙行列式及其结构特征.达到灵活应用. 4.5 解答整除问题多项式整除性理论是多项式理论中的重点，也是难点.由于多项式整除多项式的抽象性，它也成为学生学习时的难点[15].下面将结合范德蒙行列式来探讨多项式整除的相关问题.先介绍两个特殊的行列式的计算．(1)、行列式 ()()()()()()()()()()∏≤<≤----==ni j j i n n n n n n n x x x f x f x f x f x f x f x f x f x f A 1121112221212111111其中()kk k k k k t x t x x f +++=- 11．证明：因为()kk k k k k t x t x x f +++=- 11,所以⋅=------10100100011,31,21,1122211n n n n n n n t t t t t t A 112112222121111---n nn n nnx x x x x x x x x=()∏≤<≤-ni j j i x x 1．(2)、行列式()()∏≤<≤--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n i j j i n n n n x x n n x n x n x n x x x x x x x x x B 1321321321!1!3!2!111111222211111111．证明：因为()()!11r r x x x r x +--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ ，所以 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1111222211111111321321321n x n x n x n x x x x x x x x x B n n n n()()()()()()()()()()212121111111!11!31!21!11222111221121+--+--+------⋅⋅=n x x x n x x x n x x x x x x x x x x x x n n n n n n n再令()()()11+--=r x x x x f r ,所以()()()()()()()()()()()()1112121222111121111111!2!3!1!1!2!3!1!n n n ijj i nn n n n f x f x f x f x f x f x B x x n n f x f x f x ≤<≤---==---∏． 例9[11]设n k k k ,,,21 是正整数，证明n 阶行列式121222211211111---=n nn nn n n k k k k k k k k k f能被()1)2(21221----n n n n 整除．证明；直接运用以上两行列式的结果得()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=121112111211!1!2!1222111n k k k n k k k n k k k n f n n n n因为()!1!2!1-n =()1)2(21221----n n n n ，所以n f 能被()1)2(21221----n n n n 整除． 例10[16]设()()()t g t g t g n 121,,,- 是1n -（2n ≥）个多项式,证明:多项式()()++n n t tg t g 21()n n n t g t 12--+ 能被211n t t t -++++整除,则每个()()1,,2,1-=n i t g i 的所有系数之和为0.证明:设()()()()()2211211n n n n n n g t tg t t g t t t t q x ---+++=++++. ①要证()t g i 的系数之和为0,即要证()01=i g . 设211n t t t -++++的1n -个根为121,,,-n r r r ,它们都是n 次单位根即有1=n i r ,现令()()1,,2,11-==n i t g i i ,并把121,,,-n r r r 依次代入①得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++=++++=++++---------0121321211122322221121321211n n n n n n n n n t r t r t r t t r t r t r t t r t r t r t② 这是一个关于121,,,-n t t t 的齐次线性方程组,其系数行列式212112222221211111------=n n n n n n r r r r r r r r r A是一个1-n 阶的范德蒙行列式,由于121,,,-n r r r 是互不相同的,因此0≠A ,从而方程组②只有零解,即12310n t t t t -=====即()()1,,2,101-==n i g i .因此,原命题得证.通过对上述例题的分析,可归纳出构造范德蒙行列式解此类问题的方法: (1)、变换形式,构造出范德蒙行列式； (2)、结合题目已知信息进行解题. 4.6 解答微积分问题无穷大量、无穷小量、高阶导数和极限是微积分研究的主要内容，这些概念的正确理解和掌握对学好微积分是必要的[18]．然而初学者在学习掌握这些概念时常常会遇到困难．在解决此类问题时，有时构造范德蒙行列式变换一下形式，可巧妙地得到解答． 例10[19] 设()t g 至少有k 阶导数,且对某个实数r ,有()0lim =∞→t g t r t 和()()0lim =∞→t g t k r t .试证:()()()1,,2,10lim -==∞→k i t g t i r t .其中()()()t g t g =0.证明:因为()t g 至少有k 阶导数,对某个实数r ，有()0lim =∞→t g t r t 和()()0lim =∞→t g t k r t .要证()()()1,,2,10lim -==∞→k i t g t i r t ，只要将()()t g i 写成()t g 与()()t g k 的线性组合即可.利用泰勒公式[20]:()()()()()()()()()m k k k k g k m t gk m t g m t mg t g m t g ξ!!1!211"2'+-++++=+-- (*) 其中()k m m t t m ,3,2,1=+<<ξ,这是()()()()1'",,,k g t g t g t -线性方程组,其系数行列式为:()()()()()12121212122211111!11!21!11!1!11!12!2221!11!2111-----⋅=----=k k k k k k kk k k k kkk k B.故构造了一个k 阶的范德蒙行列式,其值为()!1!3!2!1-⋅⋅k ,所以1=B .于是可将方程组(*)中的()()()()t g t g t g k 1"',,,- 写成()()()()k m g m t g m k ,,2,1 =+ξ与的线性组合.我们只要证明()()()()k m g t m t g t m k r t r t ,,2,10lim lim ===+∞→∞→ξ即可.事实上,设k t x t +<<,于是()()()()()()()k i x g x x t x g x x t x g t i r x rt i r r t i r t ,00lim lim lim lim ==⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=∞→∞→∞→∞→在此式中分别令0,=+=i m t x 和令k i x m ==,ξ,则得()()()()k m g t m t g t m k r t r t ,,2,10lim lim ===+∞→∞→ξ. 通过对以上例题的分析,可归纳出利用范德蒙行列式解这类问题方法:(1)、运用泰勒公式构造范德蒙行列式；(2)、结合范德蒙行列式和题目要求解题.从范德蒙行列式在以上六个方面的应用可以看出,巧妙的构造范德蒙行列式确实可化繁为简,达到事半功倍的效果.5 结论5.1 主要发现范德蒙行列式的构造，为问题的求解提供十分有效的手段．对范德蒙行式的应用，不仅需要对范德蒙行列式的形式、特点及性质熟练掌握，而且要能灵活的运用，善于将知识之间衔接起来．因此，只有不断地分析解决典型的题目，找出内在规律，对范德蒙行列式的应用才能进一步掌握．总之，以上问题出现的形式灵活多变，题目有一定难度，又有一定的技巧性，但只要我们善于思考、总结，就能找到解决问题的突破口，最终解决问题．5.2 启示范德蒙行列式应用中构造范德蒙行列式是解决问题的难点，也是关键点．要巧妙的构造范德蒙行列式进行解题，必须对高等数学的基础知识熟练掌握，能够将知识融会贯通．5.3 局限性由于本人的能力水平有限，这里提供的仅是范德蒙行列式在几方面的应用．不能提供更多的有关范德蒙行列式的应用，这是本毕业论文的不足之处.5.4 努力方向在今后的学习研究中将不断地深入探讨，发现更多范德蒙行列式的应用和构造范德蒙行列式的方法，为学习者提供更多的帮助．除了文中所涉及的几种应用外，根据问题不同可能还有其他的用法，这些方法将有待我们作进一步探讨研究，以弥补本毕业论文的不足．参考文献[1] 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数学与应用数学本科毕业范文范德蒙行列式及其应用
本科毕业论文论文题目：范德蒙行列式及其应用学生姓名：学号：专业：数学与应用数学指导教师：学院：年月日毕业论文（设计）内容介绍目录中文摘要 (1)英文摘要 (1)一、引言 (2)二、范德蒙行列式定义及性质 (2)三、范德蒙行列式的应用 (3)（一）范德蒙行列式在多项式理论中的应用 (3)（二）范德蒙行列式对整除问题的应用 (5)（三）范德蒙行列式在矩阵的特征值与特征向量中的应用 (6)（四）范德蒙行列式在向量空间理论中的应用 (7)（五）范德蒙行列式在线性变换理论中的应用 (8)（六）范德蒙行列式在微积分中的应用 (10)（七）范德蒙行列式在求解行列式中的应用 (13)参考文献 (16)范德蒙行列式及其应用摘要:行列式最早出现在16世纪关于线性方程组的求解问题中，时至今日行列式理论的应用却远不如此.它主要应用于高等代数理论，作为一种特殊的行列式——范德蒙行列式不仅具有特殊的形式，而且有非常广泛的应用.本文主要探讨范德蒙行列式在向量空间理论，线性变化理论，多项式理论中以及行列式计算中的应用.关键词:范德蒙行列式；线性变换；多项式Application of Vandermonde’s DeterminantAbstrac t：The determinant appeared at the earliest which was used to solve the problem concerning the liner equations in 16 centuries,but the days up to now the theoretical in determinant was far used in lots of domains.Vandermonde’s determinant is regarded an a kind of special determinant,which not only have the special form but also have the extensive application.The article inquired into the Vandermonde’s determinant in vector space, linear transformation,polynomial theories and determinant’s calculation of application. Keywords:Vandermonde’sDeterminant;vectorspace;lineartransformation,polynomial theories; determinant’s calculation of application.一 引言在高等代数中，行列式计算及其相关的证明是一个重点，也是难点.它最早出现在线性方程组的求解问题中，时至今日，行列式理论的应用越来越广泛，它是后期学习和应用线性方程组，向量空间，矩阵和线性变换的基础.正确而快速的解决行列式问题是其他一切工作的前提，也是科研工作中最为关键的一步.行列式的计算有一定的规律性和技巧性，掌握行列式的规律性有助于我们高效准确的解决科研工作中遇到的行列式问题.而范德蒙行列式是一种重要的行列式，在行列式计算中可以把一些特殊的或者是类似于范德蒙行列式的行列式转化为范德蒙行列式进行计算.由于范德蒙行列式有着独特的构造和优美的形式而被广大科研工作者广泛的应用，因而成为一个著名的行列式.二 范德蒙行列式定义及性质1. 范德蒙行列式的定义形如12222121111211 (1)n nn n n nx x x x x x x x x ---的行列式，称为1x ,2x ,…n x 的n 阶范德蒙行列式，记作 n V （1x ,2x ,…n x ）.下面以递推法为例介绍范德蒙行列式的计算n V （1x ,2x ,…n x ）=21311222221331111111122133111111000n n n n n n n n n n n x x x x x xx xx x x x x x x x x x x x x x x x ---------------=2131122133112222213311()()()()()()n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ------------=21()x x -31()x x -…1()n x x -n-1V （2x ,…n x ）.仿上做法有n-1V （2x ,…n x ）=3242223()()n n n x x V x x --（x -x ）(x -x ).再递推下直到11V =，故n V （1x ,2x ,…n x ）=21()x x -31()x x -…1()n x x -.32422()n x x -（x -x ）(x -x )(1n n x x --).1=1i j j i nx x ≤<≤-∏. 有以上的计算易得，定理1 n 阶范德蒙行列式n V （1x ,2x ,…n x ）=12222121111211...1n nn n n nx x x x x x x x x ---=∏(i j x x -). 有这个结果立即得出定理2 n 阶范德蒙行列式为零的充分必要条件是1x ,2x ,…n x 这n 个数中至少有两个相等.三 范德蒙行列式的应用范德蒙行列式由于其独特的构造和优美的形式，而有着广泛的应用.下面将集中说明范德蒙行列式在行列式计算和证明及在微积分计算中的应用，并对范德蒙行列式在线性空间理论，线性变换理论，多项式理论中的应用作出探讨.（一） 范德蒙行列式在多项式理论中的应用在多项式理论中，涉及到求根问题的有许多.在分析有些问题时，范德蒙行列式能够起到关键作用的，若能够熟练有效地运用范德蒙行列式，则对我们最终解决问题会有直接的帮助.例1 证明一个n 次多项式在至多有n 个互异根. 证 不妨设n>0, 如果 f(x)=2012n n a a x a x a x ++++有n+1个互异的零点1x ,2x ,…n x ，1n x +，则有()i f x =22012=0i n+i i n i a a x a x a x ++++≤≤，11即 201121120222222012110,0,.......................0.n n nn n n n n n n a a x a x a x a a x a x a x a a x a x a x +++⎧++++=⎪++++=⎪⎨⎪⎪++++=⎩这个关于01,,...n a a a 的齐次线性方程组的系数行列式是范德蒙行列式211122222111111nn n n n n x x x x x x x x x +++=∏(i j x x -)≠0.因此010n a a a ====，这个矛盾表明 ，f （x ）至多有n 个互异根. 例2 设12,,n a a a 是数域F 中互不相同的数，12,,n b b b 是数域F 中任一组给定的不全为零的数，则存在唯一的数域F 上次数小于n 的多项式()f x ，使(),1,2,i i f a b i n ==.证明 ：设()1011n n f x c c x c x --=+++，有条件得，(),1,2,i i f a b i n ==.知101111110121221011,,.n n n n n n n n n c c a c a b c c a c a b c c a c a b ------⎧+++=⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩因为12,,n a a a 互不相同，所以，方程组的系数行列式()21111212221211101n n ji i j nn nnna a a a a a D aa a a a --≤<≤-==-≠∏.则方程组有唯一解，即唯一解小于n 的多项式，使得()1011n n f x c c x c x --=+++，使得(),1,2,i i f a b i n ==.例 3 证明：对平面上n 个点()()()12,1,,,i i n a b i n a a a ≤≤互不相等，必存在唯一的一个次数不超过n-1的多项式()f x 通过该n 个点()(),1i i a b i n ≤≤，即()i i f a b =()1i n ≤≤.证明： 设()12121n n n n f x c x c x c x c ---=++++，要使()i i f a b =()1i n ≤≤，即满足关于12,,,n c c c 的线性方程组：12111211112212221212121,,.n n n n n n n n n n n n n n n n a c a c a c c b a c a c a c c b a c a c a c c b ---------⎧++++=⎪++++=⎪⎨⎪⎪++++=⎩，而该方程组的系数行列式为范德蒙行列式：121111222212111121111n n n n n n n n n n n n nn a a a a a a D a a a a a a -----------=.当12,,,n a a a 互不相等时该行列式不为零，由Cramer 定理知方程组有唯一解，即对平面上n 个点()()()12,1,,,i i n a b i n a a a ≤≤互不相等，必存在唯一的一个次数不超过n-1的多项式()f x 通过该n 个点.（二） 范德蒙行列式对整除问题的应用多项式的根与整除性是密切相关的，所以有时候可以用范德蒙行列式的性质讨论某些多项式或者整数的整除题. 例4 设121(),(),(),n f x f x f x -是n-1个复系数多项式，满足 11n x x ++++2121()()()n n n n n f x xf x x f x --+++,证明121(1)(1)(1)0n f f f -====.证 设2121()()()n n n n n f x xf x x f x --+++=1()(1)n p x x x -+++，取22cossini n nππω=+，分别以21,,,n x ωωω-=代入，可得 212122(2)1211(1)(2)121(1)(1)(1)0,(1)(1)(1)0,(1)(1)(1)0.n n n n n n n n f f f f f f f f f ωωωωωω--------⎧+++=⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ 这个关于1(1)f ，2(1)f ，1(1)n f -的齐次线性方程组的系数行列式，因此21(,,,)0n V ωωω-=.例5 设12,,n a a a 是正整数，证明()12,,n V a a a 能被()()2121221n n n n ----整除.证明 由()()()111222111111n nn n a a a a aa I aa a --=-1!2!!n =111222112111211121n n n a a a n a a a n a a a n ---. 知()12,,n V a a a 能被1!2!!n =()()2121221n n n n ----整除.（三） 范德蒙行列式在矩阵的特征值与特征向量中的应用例 6 A 是3阶方阵，A 有3个不同的特征值123,,,l l l ，对应的特征向量依次为123,,,a a a 令123b a a a =++.证明：2,,b Ab A b 线性无关.证 21231123()k b k Ab k A b k a a a ++=++22221122333112233()()k l a l a l a k l a l a l a ++++++=222121311222322333333()()()k k l k l a k k l k l a k k l k l a ++++++++=0.123,,a a a 线性无关，故有2111222223331101l l k l l k l l k ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 由于i j l l ≠，则0A ≠，所以方程组只有零解， 即2,,b Ab A b 线性无关.例 7 设A 是n 阶矩阵，证明A 的属于不同特征值的特征向量线性无关. 证明：设12,,r λλλ是A 的两两不同的r 个特征值，非零向量12,,r ααα是其相应的特征向量，即r i r A αλα=，1i r ≤≤，假设11220r r x x x ααα+++=那么，()11220,11j r r A x x x j r ααα+++=≤≤-，即()1110r r rjjj i i i i i i i i i i A x x A x ααλα===⎛⎫=== ⎪⎝⎭∑∑∑.由于其系数行列式()12,,0r V λλλ≠，故11220r r x x x ααα====，又0i α≠于是，0i x =，这证明了12,,r ααα线性无关.（四） 范德蒙行列式在向量空间理论中的应用在向量空间理论中，我们常常会遇到需要用范德蒙行列式转化问题，通过转化，我们很容易就能得到需要的结论. 例8 设12,,,n t t t 是互不相同的实数，证明向量组21(1,,,)n i i i i a t t t -=，i=1,2,…n,n 是n 维向量空间的一组基.证 令21111121222221111n n n n nnn a t t t a t t t A a t t t ---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 因为12,,,n t t t 是互不相同的实数，所以0T A A =≠，则12,,,n a a a 线性无关.例 9 设V 是数域F 上的n 维向量空间，任给正整数n m ≤，则在V 中存在m 个向量，其中任取n 个向量都线性无关.证明：因为n V F ≅，所以只需在n F 中考虑即可. 取()2111,2,2,,2n α-=，()()()2222121,2,2,2n α-=，()()()211,2,2,2mmm n m α-=，令()()()()()()111222212121122212221222nnnk k k n k k k n n k k k n D ---=，121n k k k m ≤≤≤≤≤，()()()()()()111222212121122212221222n nnk k k n k k k n n k k k n D ---=是范德蒙行列式，且0n D ≠，所以12,,,n k k k ααα线性无关.例 10 设V 是数域F 上的n 维向量空间，则V 的有限个真子空间不能覆盖V.证明：当n=1时，显然成立.设n>1时，令12,,,n ααα是V 的一个基，设}{112n n n S k k k F V ααα-=+++∣∈⊂，其中，n F 为F 中元素之集合.令112:,n n n F S k e ke k e ϕ-→→+++，12,,,n e e e 为单位向量.则易证ϕ是双射，从而S 中有无穷多个不同的元素.设,1,2,i V i t =为V 的真子空间，则S 中的元素在i V 中的个数小于n,否则，若,1,2,j i V j n β∈=111121112,.n n n nn n n k k k k βαααβααα--⎧=+++⎪⎨⎪=+++⎩则由,,1,2,,,i j k k i j n i j ≠=≠，知系数行列式为非零的范德蒙行列式，故有,1,2,,j k V j n α∈=，进而,1,2,i V V i t ==矛盾.从而S 中只有有限多个元素在1ti i V =中，而S 中有无穷多个元素，所以存在x S ∈，但1,ti i x V =∉即V 的有限个真子空间不能覆盖其自身.（五） 范德蒙行列式在线性变换理论中的应用在高等代数的学习中，线性变换一直是一个重点，也是难点，题目的变化也比较多，在有些题目中，我们可以巧妙地利用范德蒙行列式来解决这类题目. 例11 如果12,,,s λλλ是线性变换的全部两两不同的特征值，(1,2,,)i i V s λα∈，则当120s ααα+++=时，必有12s ====0ααα.证明 注意到(1)I i i i s αλαΛ=≤≤，对等式120s ααα+++=两边逐次作用，得112222211221111220,0,0.s s s ss s s s s λαλαλαλαλαλαλαλαλα---+++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ 用矩阵表示为()()111122121110,0,,01s s s s s s λλλλαααλλ---⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(1)矩阵1111221111s s s s s B λλλλλλ---⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭的行列式是范德蒙行列式，由于12,,,s λλλ两两不同，从而B 是可逆矩阵.在(1)式两边右乘1B -， 得12s ====0ααα.例12 数域F 上的n 维向量V 的线性变换σ有n 个互异的特征值12,,n λλλ，则1） 与σ可交换的V 的线性变换都是21,,,n e σσσ-的线性组合，这里e 为恒等变换.2）21,,,,n V αασασασα-∀∈线性无关的充要条件为1,ni i αα==∑这里()i i i σααλ=，1,2,i n =证明：1）设δ是与σ可交换的线性变换，且(),1,2,,i i i i n σαλα==则 }{i i V k k F λα=⎪∈是δ的不变子空间.令21121n n xe x x x δσσσ--=++++且(),1,2,,i i i k i n σαα==，则由以下方程组21111211121212221221121,,.n n n n n nn n n n k x x x x k x x x x k x x x x λλλλλλλλλ------⎧=++++⎪=++++⎪⎨⎪⎪=++++⎩ （1）因为方程组（1）的系数行列式是范德蒙行列式，且()1ij j i nD λλ≤<≤=-∏，所以方程组（1）有唯一解，故δ是21,,,n e σσσ-的线性组合.2)充分性因为1ni i αα==∑，所以()()()()111112212111,,,,,,1n n n n nn λλλλασασααααλλ----⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦,并且()111122111101n i j j i nn nn λλλλλλλλ--≤<≤-=-≠∏，所以1111221111n n nn λλλλλλ---⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦是可逆矩阵，又因为12,,,n ααα是V 的一组基，()()1,,,n ασασα-线性无关.3)必要性 设12,,,n e e e 是分别属于1,,,n λλλ的特征向量，则12,,,n e e e 构成V 的一个基，因而有1122n n k e k e k e α=+++.若0,1,2,i k i n ≠=，则i i k e 是σ的属于i λ的特征向量，故结论成立.若存在}{1,2,,j n ∈，使0j k ≠，不妨设12,,,r k k k 去不为零，而120r r n k k k ++====，因而有1122r r k e k e k e α=+++则()()()()()111111112222212121,,,,,,,,,n n n r r n r r r r r k k k k k k e e e e e e A k k k λλλλασασαλλ----⎡⎤⎢⎥⎢⎥==•⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 利用范德蒙行列式可知A 有一个r 阶子式不为零，所以秩（A ）=r ，从而()()()1,,,n r ασασα-=,又因为r n <线性无关，所以()()()1,,,n ασασα-线性无关，矛盾.从而1,ni i αα==∑1,2,i n =.（六） 范德蒙行列式在微积分中的应用如果视多项式为实函数，则范德蒙行列式还可以应用到微积分领域.例13 ()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 内存在2阶导数，证明a x b <<上有()()()()()1"2f x f a f b f a x a b a f c x b -----=-，这里(),c a b ∈.特别的，存在,(,)c a b ∈，使()()2,()2()"()24b a a bf b f f a f c -+-+=. 证 在[],a b 上构造函数()()()()()22221111y y f y a a f a F x x x f x b b f b =，为范德蒙行列式，则()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 内存在2阶导数.因()()()0F a F x F b ===，故有中值定理，存在12a x x x b <<<<，使()()12''0F x F x ==，故再运用一次中值定理，存在()12,c x x ∈，使()''0F c =，即()()()()()''2''22002111f c a a f a F c x x f x b b f b ==0 . 展开行列式即得()()()()()1"2f x f a f b f a x a b a f c x b -----=-. 特别的，取2a bx +=，则有相应的()',c a b ∈，使上式成立，即()()()()212"22a b f f a f b f a a b b a af c a b b +⎛⎫- ⎪-⎝⎭-+--=+-，化简即得()()2,()2()"()24b a a bf b f f a f c -+-+=.反复利用微分中值定理，可以类似的证明下面更一般的结论：设()f x 在[],a b 内存在n-1阶导数，12n a x x x b <<<<=.证明存在(),c a b ∈，使()()()()()111!n ni i i j j if x f c n x x -=≠=--∑∏. 例 14 设()f x 在区间I上n 阶可导()2n ≥，若对()()()()00,,,,n n n x I f x M f x M M M ∀∈≤≤为正常数，证明：存在n-1个正常数121,,,n M M M -使对x I ∀∈，有()()()1,2,1.k k f x M k n ≤=-证明：设121,,n a a a I -∈，且()0,i i j a a a i j ≠≠≠，由泰勒公式，对于1,2,,1i n =-，有()()()()()11!!n xn k ni i i k f f f x a f x a a k n ξ-=+=++∑，有此得 ()()()()()11!!n xn kn i i i k f f a f x a f x a k n ξ-==+--∑， 因此 ()()()()()1012!!!nx n k n i i i n k f f A a f x a f x a M M k n n ξ-=≤+++≤+∑，其中11max ni i n A a ≤<-=，令()()()11,,1,2,,1!x n ki i k f a A x x I i n k -==∈=-∑,则()()02,1,2,,1!i n AA x M M x I i n n ≤+∈=-，由于方程组的系数行列式D 为()()()2311111231222223111112!3!1!2!3!1!2!3!1!n n n n n n n a a a a n a a a a n D a a a a n ---------=-=()211112122212121111111!21!1n n n n n n n a a a a a a a a a n a a a -------=-！，其中后面的行列式为121,,,n a a a -范德蒙行列式，由()i j a a i j ≠≠及0i a ≠知0D ≠，故由克莱姆法则知，存在于X无关的常数()()()()()()121,,k k k n λλλ-，使得：()()()()()11n k k i i i f x A x λ-==∑，(),1,2,,1x I i n ∀∈∀=-，由此推得,1,2,,1x I k n ∀∈∀=-，有()()()()()()()110112!n n k k k i n k i i i i A fx A x M M M n λλ--==⎡⎤≤≤+=⎢⎥⎣⎦∑∑.例15 设函数()f x 在0x =附近有连续的n 阶导数，且()()()()'00,00,,00n f f f ≠≠≠.若121,,,n c c c +为一组两两互异的实数，证明，存在唯一的一组实数121,,,n λλλ+，使得当0h →时，()()110n i i i f c h f λ-=-∑是比n h 高阶的无穷小.证明：由题设条件可得，()()1,2,1i f c h i n =+在0x =处带有皮亚诺型余项的马克劳林展开式：()()()()1100!k k nk nk h c f c h f h k ==+ο∑，()()()()2200!k k nk n k h c f c h f h k ==+ο∑，当0h →时，若()()110n i i i f c h f λ-=-∑为比n h 高阶的无穷小.则121112211222112211112211++=1,++=0,++=0,++=0.n n n n n nn nn n c c c c c c c c c λλλλλλλλλλλλ++++++++⎧⎪+⎪⎪+⎪⎨⎪⎪⎪+⎪⎩ 这是以121,,,n λλλ+为未知数的线性方程组，其系数行列式为：()121222121111211110n n ijj i n nn n n c c c D c c c c c c c c ++≤<≤++==-≠∏.故上述方程组有唯一解，即存在唯一一组实数121,,,n λλλ+，使得当0h →时，()()110n iii f c h f λ-=-∑是比nh高阶的无穷小.（七） 范德蒙行列式在求解行列式中的应用行列式的计算是高等代数的重点内用之一，在一些行列式的求解问题中，常可见到范德蒙行列式的踪影，此时提示我们可利用行列式的性质或拆项，升降等方法，将给定行列式转化为范德蒙行列式的形式，从而利用其结果，求出原行列式的值，恰当灵活的运用范德蒙行列式会大大简化某些复杂行列式的计算.例16 122222221211112111=nn n n n n n n na x a x a x D a x a x a x a x a x a x ---+++++++++.解 将原n 阶行列式升阶为一个n+1阶行列式122222221211112111110000nnn n n n n n na x a x a x D a x a x a x a x a x a x ---+++=++++++. 然后将此n+1阶行列式第一行乘以()1,2,i a i n -=加到第i+1行可得12222212121111n nnnn n na x x x D a x x x a x x x -=--=1222212122111000n nnn n nx x x x x x x x x -12222212121111n nnnn n na x x x a x x x a x x x =()()()121112nn ijiijj i ni j i nx x x x x x a x x ≤≤≤=≤≤≤•----∏∏∏.例 17 设0x y z >>>，试证明:()2221,,0xx yz f x y z y y xz xy yz xzz z xy=<++. 证明：()()()()222222312222xx yz x x yz x y z x x D yy xz c x y z c c y y xz x y z y y zz xyzz xy x y z z z +++-=+++-+++-+++- ()()()()222x x xy yz xzy y xy yz xz xy yz xz y x z x z y zz xy yz xz++=++=++---++故()2221,,x x yzf x y z y y xz xy yz xzzz xy=++=()()()y x z x z y ---. 由已知0x y z >>>，有()0y x -<，()0z y -<，()0z x -<，所以有(),,0f x y z <例18 计算行列式()()()()()()()()()0001010111101n nnn n nnn n nn nn n n n a b a b a b a b a b a b D a b a b a b +++++++=+++解：设01000111101n nn n n n n n n n n nn n n n nC C a C a C C a C aD C C a C a =，01111012111n nn n n n n nb b b b b b D ---=，对2D 进行各行依交换，就可以得到范德蒙行列式，于是()()0010112112112011111111nnn n nn n n nnnnn n nnn a a b b b a a D D D C CC b b b a a ++=•=•-=12n n nnC C C()0ijj i na a ≤<≤-∏()()121n n +-()0ijj i nb b ≤<≤-∏.参考文献[1] 同济大学数学系.线性代数（第五版）.北京：高等教育出版社.2007（9）[2] 北大数学系编.王萼芳等修订.高等代数.第三版.北京:高等教育社.2003(2).[3] 郭大钧等.吉米多维奇数学分析习题集解（第三版）.济南:山东科学技术出版社.2005（3）.[4] 张禾瑞，郝炳新.高等代数[M].北京:高等教育出版社.1999[5] 白述伟.高等代数选讲[M].哈尔滨黑龙江教育出版社.1996.[6] 同济大学.高等代数与解析几何[M].北京:高等教育出版社.2005:223.[7] 刘丽，林谦，韩本三，等.高等代数学习指导与习题解析[M].成都:西南财经大学出版社.2009:39.170.253.[8] 邹应.数学分析习题及其解答[M].武汉:武汉大学出版社.2001:168.169.176.[9] 吴良森，毛羽辉.数学分析习题精解：多变量部分 [M].北京：科学出版社，2005.[10] 毛纲源.线性代数解题方法和技巧[M].武汉：湖南大学出版社.山东师范大学本科毕业论文（设计）题目审批表山东师范大学本科毕业论文（设计）开题报告论文题目：学院名称：专业：学生姓名：学号：指导教师：年月日山东师范大学本科毕业论文（设计）教师指导记录表指导教师意见评阅人意见答辩委员会意见学院学位分委员会意见山东师范大学本科毕业论文（设计）答辩记录表学院：（章）系别：专业：山东师范大学本科毕业论文（设计）摘要学院：专业：班级：山东师范大学本科毕业论文（设计）摘要学院：专业：班级：。
浅析Vandermonde行列式的质与应用
浅析Vandermonde行列式的质与应用浅析Vandermonde行列式的性质与应用摘要：在线性代数与高等代数的学习中，行列式无疑是一个重点和难点，它是后续课程矩阵、向量空间和线性变换等的基础，且其计算具有一定的规律性和技巧性.而Vandermonde行列式是一类很重要的行列式,它构造独特、形式优美、性质特殊，是行列式中的一颗璀璨明珠.为了使我们对vandermonde行列式进一步加深了解与应用，同时开阔数学视野、培养发散思维能力，以便更好地为我们的科研和生活服务，本文主要阐述了Vandermonde行列式的证法及其相关性质,并用例举法介绍及总结了如何利用Vandermonde行列式计算某些特殊的行列式与其在多项式、向量空间等中的简单应用.关键词：行列式 Vandermonde Vandermonde行列式宁夏师范学院2012届本科毕业生毕业论文Analysis of Vandermonde determinant Properties and ApplicationsAbstract:Linear algebra and advanced algebra learning, the determinant i s undoubtedly a key and difficult points, it is the follow-up course matrix, the basis of vector spaces and linear transformations, and its calculation with a certain regularity and skill. Vandermonde determinant is a very important determinant, it constructs a unique, beautiful form of special nature, is a shining pearl in the determinant. To enable us to further deepen the understanding and application of the Vandermonde determinant, and at the same time broaden their mathematical horizons, develop divergent thinking ability in order to better serve our research and living services, the paper mainly expounds the Vandermonde determinant permit law and its related properties, and introduced with examples of France and summarizes how to use the Vandermonde determinant for the calculation of some of the special determinant of the Vandermonde determinant polynomial, the vector space.Keywords: Determinant Vandermonde Vandermonde determinant宁夏师范学院2012届本科毕业生毕业论文目录1 引言 (1)2 VANDERMONDE行列式的定义与证法 (2)2.1V ANDERMONDE行列式的定义 (2)2.2V ANDERMONDE行列式的证法 (2)3 VANDERMONDE行列式的性质 (4)3.1V ANDERMONDE行列式的翻转与变形 (4)3.2V ANDERMONDE行列式为0的充分必要条件 (5)3.3V ANDERMONDE行列式推广的性质定理 (5)4 VANDERMONDE行列式的应用 (7)4.1V ANDERMONDE行列式在行列式计算中的应用 (7)4.1.1 计算准Vandermonde行列式 (7)4.1.2 计算特殊的行列式 (7)4.2V ANDERMONDE行列式在多项式与向量空间中的应用 (10)4.2.1 Vandermonde行列式在多项式中的应用 (10)4.2.2 Vandermonde行列式在向量空间中的应用 (13)5 小结 (15)参考文献 (16)谢辞 (17)1 引言行列式最早出现在17世纪关于线性方程组的求解问题中，由日本数学家关孝和德国数学家莱布尼茨分别发明，而法国数学家范德蒙德(A-T.Vander- monde，1735-1796)对行列式理论做出了连贯的、逻辑的阐述，并命名了著名的Vandermonde 行列式.后许多数学家如柯西、雅可比、泰勒等对其不断发展完善，做了进一步的解析与应用，使得19世纪中期行列式与向量、矩阵完美融合.时至今日，行列式成为了线性代数与高等代数的主要内容与重点内容之一，是后续课程矩阵、向量空间和线性变换等的基础，而vandermonde行列式在多项式、向量空间、线性方程组、线性变换、矩阵的特征值与特征向量、微积分等理论中都有大量应用，例如对Cramer法则的补充、Lagrange插值公式的推导、向量空间基的证明、与Taylor公式结合求微积分问题等起了重要的作用[1]，而其在简化行列式计算方面，更是灵活巧妙，成为了广大学生的有力工具.出于对n阶vandermonde行列式其独特的构造、优美的形式、特殊的性质的好奇与喜爱，我查阅了大量的参考文献后，决定就Vandermonde行列式的证法与相关性质，浅谈其在行列式计算、多项式、向量空间中的基本应用，使得对vandermonde行列式进一步加深了解与应用，培养自身的科研素养.当然我相信，随着科技的进步与更多数学家的进一步研究，Vandermonde行列式这颗璀璨明珠，将会在各领域绽放更耀眼的光芒.2 Vandermonde 行列式的定义与证法 2.1 Vandermonde 行列式的定义我们把型如 n V =121111211...1..................nn n n na a a a a a ---的行列式叫做Vandermonde 行列式，其值为1()i j j i na a ≤<≤-∏，即n V =121111211...1..................nn n n na a a a a a ---=1()i j j i na a ≤<≤-∏其中1()i j j i na a ≤<≤-∏表示12,,...n a a a 这n 个数的所有可能的差i j a a -（1j i n ≤<≤）的乘积（2n ≥）[2].2.2 Vandermonde 行列式的证法方法一：消元法（降阶法）[3]证明 从第n 行开始，每一行加上前一行的1a -倍，根据行列式的性质可知行列式的值不变，此时有n V =)()(...)(0)()(...)(0............ (01)1 (1)11211211222131131123211112a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a n n n n n n n n n n n n n n n n -------------------- 再按行列式首项展开得：n V =1·)()(...)()()(...)(...............1211211222131131123211112a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a n n n n n n n n n n n n n n n n --------------------各列提公因式得：n V =21111()...()()n n a a a a a a ----·2313333231222223111...11........................n nn n n n n n n n n n n na a a a a a a a a a a a ----------- 注意到行列式2313333231222223111...11........................n nn n n n n n n n n n n na a a a a a a a a a a a -----------是1n -阶Vandermonde 行列式1-n V ，即已经将n V 用1-n V 表示出来,降了一阶，并且少了一元1a .重复用上述方法对1-n V 再进行求解，经过有限步则可以得到：1n V -=（(21a a -)…111()()n n a a a a ---）·(()32122()...()n n a a a a a a ----)…(1n n a a --)=1()i j j i na a ≤<≤-∏即证.方法二：数学归纳法[4] 证明 （1）当2n =时, 221121 1V a a a a ==-成立. （2）假设对于1n -阶成立，则对于n 阶，首先构造一个辅助的n 阶行列式： 11-n 112112212221121)(1 1 1 1------=n n n n n n x xa a a xa a a xa a a V显然，n aV V n =)(，将)(x V 按第n 列展开，得：1)(=x V ·n A 1x +·n A 22x +·13-++n n x A ·nn A其中),,2,1(n i A in =是行列式)(x V 中元素),,2,1(1n i x a i in ==-的代数余子式，且不含x ，因此可知)(x V 是一个n-1次的多项式，它的最高次1-n x 的系数是nn A ，按定义知11)1(--+=-=n n n n nn V V A .另一方面，根据行列式的性质知121,,-n a a a 是)(x V 的n-1个根，根据多项式的理论，得：)())((1211)(-----=n n x a x a x a x V V取n a x =代入，得：)())((1211)(-----=n n n n n x a a a a a a V V即 )())((1211-----=n n n n n n a a a a a a V V根据归纳假设，1-n V =11()i j j i n a a ≤<≤--∏，因此n V =1()i j j i na a ≤<≤-∏.由（1）（2）结论得证.3 Vandermonde 行列式的性质3.1 Vandermonde 行列式的翻转与变形n V =121111211...1..................nn n n nx x x x x x ---(1)将Vandermonde 行列式逆时针旋转90，得11(1)11211111(1)1n nn n n n n n n n x x x x V x x ------=-.(2)将Vandermonde 行列式顺时针旋转90，得1111(1)222111(1)1n n n n n n nn x x x x V x x ----=-.(3)将Vandermonde 行列式旋转180，得1111111111n n n n n n n x x x V x x x -----=.3.2 Vandermonde 行列式为0的充分必要条件一个Vandermonde 行列式121111211...1..................nn n n na a a a a a ---为0的充分必要条件是：12,,,n a a a 这n 个数中至少有两个相等.3.3 Vandermonde 行列式推广的性质定理行列式()n k V = 122221211112111121211...1.......................................nnk k k n k k k n nn n nx x x x x x x x x x x x x x x ---+++=1212......n k n kp p p p p p x x x --∑·V (k=0,1,2…n -1) 其中符号“()n k V ”中的下标“n ”表示n 阶行列式，“(k)”表示仅缺少的k 次方幂元素行；12,...n k p p p -是1,2,...n 中（n k -）个数的一个正序排列；12...n kp p p -∑表示对所有（n k -）阶排列求和；1(x -x )i j j i nV ≤<≤=∏[5].证明 （i ）在行列式()1,2(...)n k n V x x x 中增补第（1k +）行和（1n +）列相应的元素，考虑（1n +）阶Vandermonde 行列式1211111212121111121211...11.....................()(,...,)........................n k k k k n n kk k k n k k k k n nn n nnx x x x x x x x f x V x x x x x x x x x x x x x x x x ----++++===213111()()()()n x x x x x x x x ----·))(()(2223x x x x x x n --- ·… … … … ))((11----n n n x x x x · ()n x x -=12()()...()n x x x x x x ---·1()i j j i nx x ≤<≤-∏(ii)由上式的两端分别计算多项式k x 中项的系数.在上式左端，由行列式 计算k x 的系数为：行列式中该元素对应的代数余子式(1)k n +-·()n k V ，在上式右端，由多项式计算知12,,...,n x x x 为()0f x =的n 个不同根，根据根与系数的关系，k x 项的系数为：(1)n k n k a --=-·1212,......n k n kp p p p p p x x x --∑·1(x -x )i j j i n≤<≤∏(k=0,1,2…n -1)其中12,...n k p p p -是1，2…n 中（n k -）个数的一个正序排列，12,...n kp p p -∑表示对所有（n k -）阶排列求和.（iii ）比较)(x f 中k x 项的系数，计算行列式)(k n V .因为(*)式左右两端k x 项系数应该相等，所以(1)k n +-·)(k n V (1)n k -=-·1212,......n k n kp p p p p p x x x --∑·1(x -x )i j j i n≤<≤∏，则1212(),......n k n kn k p p p p p p V x x x --=∑·1(x -x )i j j i n≤<≤∏1212......n k n kp p p p p p x x x --=∑·V (k=0,1,2…n -1)定理得证.4 Vandermonde 行列式的应用4.1 Vandermonde 行列式在行列式计算中的应用4.1.1 计算准Vandermonde 行列式利用Vandermonde 行列式推广的性质定理可以计算各阶准Vandermonde 行列式（缺行的Vandermonde 行列式也叫做超Vandermonde 行列式或准Vandermon -de 行列式），简便易行[6].特别地，当k n =时，令0p =1，()n k V 即为Vandermonde 行列式n V .例1 计算准Vandermonde 行列式1234562222221234566(3)444444123456555555123456666666123456111111a a a a a a a a a a a a V a a a a a a a a a a a a a a a a a a =解 由定理，n =6,k =3,所以 1231236(3)p p p p p p V aa a =∑·∏≤<≤-61)(i j j ia a=123124456(...)a a a a a a a a a +++·∏≤<≤-61)(i j j ia a4.1.2 计算特殊的行列式Vandermonde 行列式在行列式计算中的应用，除了应用其推广的性质定理来计算各阶准Vandermonde 行列式之外，还可以用以下一些方法来计算某些类似Vandermonde 行列式的特殊的行列式.（1）法一: 所给行列式各行（列）都是某元素的不同方幂，但其方幂次数或其排列与Vandermonde 行列式不完全相同，需利用行列的性质（如提取公因式，调换各行（列）的次序等）将其化为Vandermonde 行列式[7].例2 计算n 阶行列式nn n n n n D22222111=解 n D 1212122211111!--=n n n n n n)1()13)(12(!---=n n ·)]1([)2()24)(23(-----n n n!n =·)!1(-n ·)!2(-n ·!2·!1（2）法二：利用行列式性质，改变原行列式中的元素，产生以新元素为行（列）的Vandermonde 行列式.例3 计算)1(+n 阶行列式n n n n n n n n n n n n n n n n n n nn n n nn b b a b a b a a b b a b a b a a b b a b a b a a D 1111212111112122222221221111212111111+-+++-++-++------+=其中0≠i b ，0≠i a ，（1,,2,1+=n i ）解 提取1+n D 各行的公因式，得：nn n n n a a a D 211=+·11222211111)(1)(1)(1---n n n nnn n a b a b a b a b a b a b （Vandermonde 行列式）上式右端的行列式是以新元素112211,,,++n n a b a b a b 为列元素的1+n 阶Vandermonde 行列式，所以：1+n D =n nn n a a a 21·∏+≤<≤-11)(n i j j jii a b a b（3）法三：如n 阶行列式n D 的第i 行（列）由两个分行（列）所组成，其中任意相邻两行（列）均含有相同分行（列），且n D 中含有n 个分行（列）组成的Vandermonde 行列式，那么将n D 的第i 行（列）乘以（1-）加到（1+i ）行（列），消除一些分行（列），即可化成Vandermonde 行列式[8].例4 计算行列式△4=434233322322213124243232221214321sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin 1sin 1sin 1sin 11111ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ++++++++++++ 解 在△4的第2行中去掉与第一行成比例的分行，得到△4=434233322322213124243232221214321sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin 1111ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ++++++++在上面行列式的第3行中去掉与第2行成比例的分行，得到一个新的行列式，在此新行列式的第4行中去掉与第3行成比例的分行，得:△4=4333232134********321sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin 1111ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ=∏≤<≤-41)sin (sin i j j i ϕϕ（4）法四：行列式中其他各行（列）都是元素的不同方幂，只有一行（列）的元素不是相应元素的零次幂（即该行（列）元素都不是1），而是各行（列）元素的函数，利用行列式的性质将这一行（列）元素化为全是1的元素.例5 证明△3=ba a c cbc b a cb a +++222证明 将△3的第1行加到第3行上，得到△3=c b a c b a c b a c b a c b a++++++222=222111)(c b a c b ac b a ++ ))()()((b c a c a b c b a ---++=4.2 Vandermonde 行列式在多项式与向量空间中的应用在线性方程组中，Cramer 法则有着非常重要的作用，它给出了一类重要的线性方程组的解的存在唯一性.而在许多行列式的计算与证明中，Vandermonde 行列式又是一个十分重要的行列式.两个如此“重要”的数学元素相结合，其产生的作用将更重要.Vandermonde 行列式在多项式与向量空间中的应用，主要就是结合Cramer 法则来证明相关的问题[9].下面一起来看几个典型的例子. 4.2.1 Vandermonde 行列式在多项式中的应用例6 证明一个n 次多项式至多有n 个互异的根. 证明 用反证法.设n n x a x a x a a x f ++++= 2210)(有n+1个互异的根，分别为：121 , , ,+n x x x ，则有：0)(2210=++++=n i n i i i x a x a x a a x f （11+≤≤n i ）即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++=++++=+++++++000122111022221201221110n n n n n n nn na x a x a x a a x a x a x a a x a x a x a这个关于n a a a , , ,10 的齐次线性方程组的系数行列式是一个Vandermonde 行列式:0)( 11 111121!22221211≠-=∏+≤<≤+++n i j j in n n n n nx xx x x x x x x x x则由Cramer法则知该方程组只有零解，即0210=====n a a a a ，而n 次多项式)(x f 的最高次项的系数n a 是不为零的.这个矛盾表明)(x f 至多有n 个互异的根.例7 设多项式n k n k k x a x a x a x f +++= 2121)(，0≠i a ， j i k k ≠，j i ≠，},,2,1{,n j i ∈，则)(x f 不可能有非零且重数大于1-n 的根.证明 用反证法.设0≠α是)(x f 的重数大于1-n 的根，则0)(,,0)(,0)()1('===-αααn ff f进而有0)(,,0)(,0)()1(1'===--αααααn n ff f即：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+--+++--++--=+++=+++0)2()1()2()1()2()1(0021212122221111221121n n n k n n nn k k k n n kk k n k k a n k k k a n k k k a n k k k a k a k a k a a a ααααααααα 把上式看作是以n k n k k a a a ααα，，， 2121为未知量的齐次线性方程组，则其系数行列式为：)2()1()2()1()2()1()1()1()1(111222*********+--+--+-----n k k k n k k k n k k k k k k k k k k k k n n n n n n1121121111---=n nn n nk k k k k k∏≤<≤≠-=ni j j i k k 10)( 由Cramer 法则知上面的齐次线性方程组只有零解，从而),,2,1(,0n i a k i ==α因为0≠i a ，所以必须0=α，这与假设0≠α矛盾，故)(x f 没有非零且重数大于1-n 的根.例8 证明：对于平面上n 个点),(i i b a （n a a a n i , , , , 121 ≤≤互不相等），必存在唯一的一个次数不超过n-1的多项式)(x f 通过这n 个点， 即 i i b a f =)()(1 n i ≤≤.分析 要证明n 个等式成立，也就是要证明n 个方程组成的方程组有解，很自然地会想到Cramer 法则，再根据系数行列式的特点，考虑用Vandermonde 行列式的结论.证明 设n n n n c x c x c x c x f ++++=---12211)( ，要使)(1 )(n i b a f i i ≤≤=，即满足关于n c c c , , , 21 的线性方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++=++++=++++---------n n n n n n n n n n n n n n n n bc c a c a c a b c c a c a c a b c c a c a c a 12211212222112111221111该方程组的系数行列式为Vandermonde 行列式：111212221212111n n n n n n n n n a a a a a a a a a------，当n a a a , , , 21 互不相等时，该行列式不为0，由Cramer 法则知方程组有唯一解，即对于平面上n 个点),(i i b a （n a a a n i , , , , 121 ≤≤互不相等），必存在唯一的一个次数不超过n-1的多项式)(x f 通过这n 个点. 4.2.2 Vandermonde 行列式在向量空间中的应用例9 设n t t t 21 ,是互不相同的实数，证明向量组（12, , ,1-n i i i t t t ）i=1,2,…n 是n 维向量空间n R 中的一个基.证明 只需证明12, , ,1-n i i i t t t 线性无关即可.令 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=---12122221121121 1 1 1 n m m m n n n t t t t t t t t t a a a A ， 因为n t t t 21 ,是互不相同的实数，所以 0)(1≠-==∑≤<≤ni j j iT t tA A ，故12, , ,1-n i i i t t t （i=1,2,…n ）线性无关，是n 维向量空间n R 中的一个基.例10 C[a,b]={f(x)|f(x)是定义在[a,b]上的连续实函数}，证明 C[a,b]是R 上的向量空间.证明 我们知道，C[a,b]是R 上的无限维向量空间，要证该结论，只需对任意的正整数n ，可证得n x x x , , ,12线性无关即可.设R k k k k n ∈∃, , , , 210 ，使得02210=++++n n x k x k x k k取n+1个实数121, , , +n c c c ，使得b c c c a n ≤<<<≤+121 ，则由上式知：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++=++++=+++++++000121211022222101212110n n n n n nn nn c k c k c k k c k c k c k k c k c k c k k即A ·⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0 00 10 n k k k ， 其中⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+++n n n n nn c c c c c c c c c A 121122221211 1 1 1而0)(det 11≠-==∏+≤<≤n i j j i c c A A ，则A 可逆，用1-A 左乘A ·⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0 00 10 n k k k 的两端，得：0210=====n k k k k ，所以n x xx , , ,12线性无关.故C[a,b]是R 上的向量空间，且是R 上的无限维向量空间.例11 设0dim >=n V F （即V 的维数为n ），存在集合V S ⊆， 使S 含无穷多个向量，且S 中任意n 个不同的向量都是V 的一个基.证明 设n ααα, , , 21 是V 的一个基，令{}F k k k k S n n ∈+++==-|13221αααα ， n n k k k k ααααβ13221-++++= ，让n k k k , , , 21 互不相同，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=---11211222212121 1 11), , , (), , , (21n n n n nn n k k k k k k k k k k k k n αααβββ由于⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=---112112222121 1 11n n n n nn k k k k k k k k k T ，其行列式是Vandermonde 行列式，即0)(det 1≠-==∏≤<≤ni j j ik kT T ，故), , , (21n k k k βββ 线性无关，是V 的一个基，且S中含无穷多个向量.当然，Vandermonde 行列式与Cramer 法则相结合的应用远不仅此，二者还可用于求缺项)11( -≤≤n k x k 的多项式的表达式、Lagrange 插值公式的推导等，还可与泰勒公式相结合来证明有关高阶微积分的问题，因所需的专业知识较深、综合性较强、推导计算等过程较复杂，这里不作研究.5 小结以上我们在回顾行列式相关知识的基础上，进一步比较系统地阐述了Vandermonde行列式的一些重要性质与其在行列式计算、多项式、向量空间中的基本应用等知识，使得我们对vandermonde行列式进一步加深了解与应用.在本文的撰写中，我通过查阅大量文献，在各代数学家研究的理论基础上选择并总结了适合大学生学习与应用的部分，通过举例向大家具体呈现了Vandermonde行列式的应用方法，同时开阔了自己的数学视野，培养了发散思维能力与科研素养，为今后继续对行列式及vandermonde行列式更深层次、更复杂层次的相关研究做铺垫.对于第一次论文的撰写，难免有纰漏，望老师提出宝贵的意见，以便更好地为我们的学习、科研和生活服务.参考文献谢辞在论文的选题及撰写过程中得到我的指导教师的悉心指导，在此表示衷心的感谢！李老师严谨治学的态度使我受益匪浅，在论文写作的这段时间里,她时刻关心着我的论文完成情况,并时常给我指出论文中的缺点和需要改进的地方,并指导我如何查找资料，使得我最后顺利完成论文.同时感谢其他所有帮助过我的老师、同学以及一起努力过的朋友.[1] 张贤科，许甫华.高等代数[M].北京:清华大学出版社,1998年4月:102.[2] 王萼芳，石生明.高等代数[M].北京:高等教育出版社.2003年6月:79-81.[3] 李师正.高等代数解题方法与技巧[M].北京:高等教育出版社.2004年7月:95-96.[4] 张禾瑞，郝炳新. 高等代数[M].北京:高等教育出版社.1999年5月:119-120.[5] 黄玉蝉.多项式、线性方程组及Vandermonde 行列式的相互应用[J].济南大学学宁夏师范学院2012届本科毕业生毕业论文报.1994(2):4-6.[6] 刘建中.范德蒙德行列式的一个性质的证明及其应用[J].河北大学学报（自然科学版）.2000(4):8-10.[7] 袁旭华，杨海文，赵耀峰.几种类Vandermonde行列式的计算[J].延安大学学报（自然科学版）.2006(1):7-9.[8] 王新长.Vandermonde行列式在高等代数中的应用[J].井冈山师范学院学报（自然科学版）.2002(3):3-5.[9] 宴林.范德蒙行列式的应用[J].文山师范高等专科学校学报.2001(2):10-13.17。
浅析Vandermonde行列式的相关性质及其应用 毕业论文
本科毕业论文（设计）题目：浅析Vandermonde行列式的相关性质及其应用专业：数学与应用数学姓名：指导教师：职称：答辩日期：二〇一〇年五月八日浅析Vandermonde行列式的相关性质及其应用摘要：在高等数学的学习中，行列式无疑是一个重点和难点，它是后续课程线性方程组、矩阵、向量空间和线性变换的基础。
而行列式的计算具有一定的规律性和技巧性。
Vandermonde行列式是一类很重要的行列式。
本文系统的阐述了Vandermonde 行列式的相关性质及其应用,通过各种方法说明了行列式中的一些计算问题以及如何利用Vandermonde行列式计算一般的行列式，用多个例子论述并总结了Vandermonde 行列式在科研和实践生活中如何更好的应用。
关键字: 行列式；Vandermonde行列式；VandermondeVandermonde determinant of the natureand application of relevantAbstract: Within the study of advanced-math,determinant obviously bing important and difficult,was the basic of lated courses including Linear Equations，Vector spaces，Matrix，Linear transformation.There was a series regulations and skills in calculation of determinant.And Vandermonde determinant was an important determinant.Firstly,this thesis described the related natures and the application of Vandermonde determinant systermatically. Secondly,it illustrated several issues of Vandermonde determinant and how to take use of Vandermonde determinant to calculate the general determinant through some approaches.Finally,this thesis instructed and concluded how to take better use of Vandermonde determinant in scientific study and practice.Key words：Determinant; Vandermonde determinant; Vandermonde1 引言在中学数学和解析几何里，我们学习过两个未知量和三个未知量的线性方程组及其解法。
范德蒙行列式的若干应用论文--大学毕业设计论文
海南师范大学目录第一章. 绪论1.1引言- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 1 1.2范德蒙行列式的证明- - - - - - - - - - - - - - 11.2.1 用数学归纳法证明范德蒙行列式1.2.2 用定理证明范德蒙行列式1.3范德蒙行列式的性质- - - - - - - - - - - - - - 4 第二章. 范德蒙行列式的推广与应用- - - - - - - - - 52.1范德蒙行列式在行列式计算中的应用2.2范德蒙行列式在求解n阶k循环行列式中的应用2.3范德蒙行列式在解决多项式的求根问题中的应用2.4范德蒙行列式在解答整除问题中的应用2.5范德蒙行列式在等差数列拆项中的应用2.6范德蒙行列式在微积分中的应用参考文献致谢范德蒙行列式的若干应用作者：高亚南指导教师：黄晓芬博士摘要: 行列式是线性代数的主要内容之一,它是线性代数的决定因素，这是在矩阵，线性方程，向量空间和线性变换之后的的基础上，具有一个非常重要的作用。
该n阶行列式是Vandermonde行列式著名的线性代数，它构建了一个独特而美丽的外形，而且还因为它具有广泛的应用前景，因而成为一个众所周知的决定因素。
范德蒙行列式不仅仅是极为重要的行列式之一，而且也是近代线性代数的一个分支。
范德蒙行列式的应用十分广泛，不仅应用于一些行列式的计算当中，而且它还可以于证明行列式的一些问题，一些关于多项式的证明以及数列拆项等问题上。
本文将从线性代数、多项式理论，行列式向量空间理论等方面进行研究证明。
关键词: 行列式;范德蒙行列式;微积分；多项式理论；Vandermonde Determinant Of ApplicationsAuthor:Gao Yanan Tutor:Doctor Huang XiaofenAbstract:The determinant is one of the main content of linear algebra, it is a major determinant of linear algebra, this is in the matrix, linear equations, vector Spaces andlinear transformation, on the basis of has a very important role. The n order determinant is a famous Vandermonde determinant of linear algebra, it constructed aunique and beautiful appearance, but also because it has a broad application prospect,thus become a well known determinant. Vandermonde determinant, is a kind of extremely important determinant, at the same time is a branch of modern linear algebra. V andermonde determinant application is more extensive, not only applied tosome determinant calculation, and it can also prove that the determinant of someproblem and some certificates and some of the characteristics about the polynomialvector linear independence on such issues. This article will from linear algebra, theoryof polynomial, calculus, determinant, etc are studied.Key words: Determinant, vandermonde determinant, infinitesimal calculus,theoryof polynomial第一章.绪论1.1引言范德蒙行列式，是具有深刻研究价值的行列式，同时也是近代线性代数的一个分支。
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1引言定义：形如nD =113121122322213211111----n nn n n n n a a a a a a a a a a a a的行列式叫做范德蒙行列式. 用递推法可以证明nD =123222212311111231111n nn n n n na a a a aaaaa a a a ----()−−−−−→−=-+n i r a r i i ,2,111213112222213311111100()()()n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a ---------=2131122133112222213311()()()()()()n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ------------=(12a a -)(13a a -)…(1a a n -)2232232111---n nn n n a a a a a a−−−→−依次类推n D =∏≤<≤-nj i ja ai 1)(2 范德蒙行列式在解题中的应用2.1 范德蒙行列式简单性质范德蒙行列式1121121111---=n nn n n n x x x x x x D性质一 逆时针旋转 90得D=1111111111-----n n n n n nn x x x x x x转置1111111111-----n n n n nn n x x x x x x交换各列1121121111---n nn n n x x x x x x.2)1()1(--n n =nn n D ⋅--2)1()1(性质二 逆时针旋转 180得1111111111x x x x x x n n n n n n n-----交换各行nn n )1(1--）（1111111111-----n n n n nn n x x x x x x=nn n )1(1--）（.nn n )1(1--）（n n D D =性质三 逆时针旋转 270得111212221212111nn nn nn n n n x x x x x x x x x------转置11112222111211------n nn n n n n n x x x x x x交换各行 nn n D ⋅--2)1()1(性质四 逆时针旋转360 得 n D D = 所以：逆时针旋转2π的奇数倍则 D =nn n D ⋅--2)1()1(逆时针旋转2π的偶数倍则 D = n D注①：类似三角公式中奇变偶不变.对此亦可进行顺时针旋转，结论一致.2.2 范德蒙行列式在行列式计算中的应用例1 计算n+1阶行列式.1+n D =1111)()1()()1(111n a a a n a a an a a a n n n nnn---------解 将第n+1行与面各行作两两对换,将它到第1行,需经n 次对换,再将第n 作两两对换，换到第2行需经（n-1）次对换，…直到第2行作一次对换放在第n 行.得1+n D =12)1()1(+++-+- n n nnnn n n n a a a n a a an a a a)()1()()1(1111111---------再对列作类似变换，所以1+n D =2)1(2)1()1()1(++--n n n n nnnnn n n n aa n a n a aa n a a a a n a n a )1()]1([)()1()]1([)1(1)1(11111111----------------再由范德蒙行列式可得 !2)!1)(!( -=n n D n例2 计算n+1阶行列式D=nn n n n n n n n n n nn nnn n nn n n n n b b a b a b a a b b a b a b a a b b a b a b a a 1111212111112222222212211121211111+-+++-++-++----解 从每一行提取)1,2,1(+=n i a n i则得D =nn n n n nnni n ia b a b a b a b a b a b a)(1)(1)(11111222211111++++=∏由旋转得D =∏∏+≤<≤=-111)(n j i ii jj ni n i a b a b a例3 计算nD =nnn nnnnn n n a a a a a a a a a a a a 22222222121211111---解 （i ）当n a a a ,,,21 有两个相等时，n D =0(ii) 当n a a a ,,,21 互不相等时，在n D 中加一行加一列，配成范德蒙行列式，即nn n n n n n n n n n nn n n n n n n n n yyyyya a a a a a a a a a a a a a a a a a a a y D 122122313232332122222211121211111111)(----------+==∏<----ji i j n a a a y a y a y )()())((21 …………………… ()1由于n D 是多项式)(1y D n +中1-n y 的系数的相反数，由()1式右端1-n y的系数为∏∑<=--ji i j ni i a a a )()(1.所以n D =∏∑<=-ji i j ni i a a a )()(1例4 计算循环矩阵A 的行列式的值A=0121101221031230n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a ------⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦解 设1110)(--+++=n n x a x a a x f ，且n εεε,,,21 是1-n x 的n 个不同复根. 构造矩阵T=123222212311111231111nn n n n n n εεεεεεεεεεεε----⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦可知T 是范德蒙行列式.矩阵A 乘矩阵T 得AT=1211221111122()()()()()()()()()n n n n n n n n f f f f f f f f f εεεεεεεεεεεεεεε---⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦而 T 12()()()n f f f εεε⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦=1211221111122()()()()()()()()()n n n n n n n n f f f f f f f f f εεεεεεεεεεεεεεε---⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦所以再由范德蒙行列式知.0)(1≠-=∏≤<≤nj i i jT εε因此在)()()(21n f f f TTAεεε =两边同除以T可得)()()(21n f f f A εεε =注②：本题给出了n 阶循环矩阵的行列式公式. 利用本题可得到下列两式21021110---n n n a a a a a a a a a=2)2)(1()1(---n n )()()(21n f f f εεε1221)1(111----=n n n n n a aaaaa a2.3 范德蒙行列式在因式分解中的应用例5 分解因式y x xy xz z x z y yz 222222-+-+-解 因式可化为222111zyxz y x所以可分解为))()((y z x y x z ---例6 解方程组0)()(22222=-+-+-ab b a a b x b a x ，)(b a ≠)()()(21n f f f TTAεεε =解 方程左边的因式等价于 111222bba a x x所以 111222bba a x x=2221111baxb a x⋅-=))()((x a a b x b ----=0又因为b a ≠，所以b x a x ==21,2.4 范德蒙行列式在微积分中的应用例7 确定常数a,b,c,d 使得,4cos 3cos 2cos cos )(x d x c x b x a x f +++=当0→x 时为最高阶的无穷小，并给出等价表达式.解 对)(x f 的各项利用泰勒公式，有 因为 )(!6)(!4)(!2)(1cos 6642x o nx nx nx nx +-+-= ， 所以))(0!6)4(!4)4(!2)4(1())(0!6)3(!4)3(!2)3(1())(0!6)2(!4)2(!2)2(1())(0!6!4!21()(6642664266426642x x x x d x x x x c x x x x b x xxxa x f +-+-++-+-++-+-++-+-=整理得)(0)432(!61)432(!41)432(!21)(6666644442222x x d c b a xd c b a x d d b a d c b a x f ++++-+++++++-+++=当0→x 时，若)(x f 最高阶无穷小在6阶以上则方程组⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++=+++0432043204320666444222d c b a d c b a d c b a d c b a 其系数行列式32323232222222222222666644442222)4()3()2()1()4()3()2()1(432111114321432143211111==D 为范德蒙行列式即奇次方程组只有零解，所以0====d c b a从而0)(=x f .这显然不符合题意 .所以当0→x 时，)(x f 的最高阶无穷小为6阶 .有⎪⎩⎪⎨⎧-=++-=++-=++a d c b a d c b a d c b 444222432432非奇次方程组其系数以d c b ,,为未知量的行列式为0)4()3()2(4321112222222221≠=D而方程组有唯一解. 其解为 a d a c a b 22,79,2-==-=所以)(x f 在0=x 的领域内最高阶无穷小有下述形式)(x f =)(0)4723792(!6166667x x a a a a +⋅-⋅+--=)(02766x ax +3结论以上我们主要是对范德蒙行列式性质得出了相关结论,同时又在其它方面做了进一步的应用,由此我们可以看出在解题时注重题与题之间相互联系必要性和重要性. 从而启迪我们:无论在以后的数学学习中,还是在其他学习中,我们应该不断的探索和发现灵活的解决问题方法和技巧, 不应该仅仅局限在传统解法之中,这样才能达到事半功倍的效果.参考文献[1]王萼芳，石生明. 北京大学数学系几何代数教研室前代数小组(第三版)[M].高等教育出版社，2003.2.[2]毛纲源. 线性代数解题方法和技巧[M].武汉：湖南大学出版社，1987.[3]晏林. 范德蒙行列式的应用[J].文山师范高等专科学校学报.2001.13(2):55-58[4]钱吉林. 高等代数题解精粹[M].中央民族大学出版社, 2002.8.[5]张文治，赵艳. 范德蒙行列式应用三则[J].北华航天工业学院学报.2007.17（4）：38-39谢辞本论文在选题及研究过程中得到高宏伟老师的细心指导.高老师多次询问研究进程,并为我指点迷津,帮助我开拓研究思路,精心点拨、热忱鼓励.高老师一丝不苟的作风,严谨求实的态度,踏踏实实的精神,不仅授我以文,而且教我做人的道理.虽历时三载，却给以终生受益无穷之道.对高老师的感激之情是无法用言语表达的.在论文即将完成之际，我的心情无法平静，从开始进入课题到论文的顺利完成，有多少可敬的老师、同学、朋友给了我无言的帮助，在这里请接受我诚挚的谢意!。