范德蒙行列式的证明及其应用
范德蒙行列式及应用论文
范德蒙行列式及应用论文范德蒙行列式，又称范德蒙行列，是数学中的一个重要概念，它在线性代数、向量空间、微积分等领域有着广泛的应用。
范德蒙行列式由荷兰数学家范德蒙（Vandermonde）首先提出，它的定义和性质在很多数学分支中都发挥了重要的作用，特别是在矩阵理论、数论、代数学等领域，范德蒙行列式都有着深远的影响。
范德蒙行列式的定义是：对于给定的n个不同的数a1,a2,...,an，范德蒙行列式定义为：a1 a2 ... ana1^2 a2^2 ... an^2a1^3 a2^3 ... an^3... ... ... ...a1^n a2^n ... an^n即为由这些数按照一定顺序排列而成的矩阵行列式，其中ai^k表示ai的k次幂。
范德蒙行列式的值可以通过列主元化简为非零值，从而成为一个n阶矩阵行列式。
范德蒙行列式的应用非常广泛，下面我们来谈谈范德蒙行列式在数学中的一些重要应用。
首先，在线性代数中，范德蒙行列式是矩阵的一个重要特征，它可以用来描述矩阵的性质和结构。
通过范德蒙行列式，我们可以判断矩阵的秩、可逆性、行列式值等信息，进而用于解线性方程组、矩阵变换、特征值特征向量的求解等问题。
其次，在微积分中，范德蒙行列式也有着重要的应用。
在多元函数的求导、积分、微分方程的求解过程中，常常需要用到雅可比行列式，而雅可比行列式与范德蒙行列式有着密切的关系。
通过范德蒙行列式，我们可以求解多元函数的偏导数、雅可比行列式的值，从而解决相关的微分方程和积分问题。
另外，在数论中，范德蒙行列式也有着重要的应用。
由于范德蒙行列式的特殊性质，它经常出现在数论中的不同问题中，例如组合数学、数列求和、多项式插值等方面。
通过范德蒙行列式，我们可以推导出一些数学定理和结论，解决一些数论问题。
除了以上提到的领域外，范德蒙行列式还在代数学、几何学、概率论、信号处理、图论等领域有着重要的应用。
它不仅是数学理论研究的基础，还是许多工程技术问题的解决工具。
范德蒙行列式不等于0充要条件
范德蒙行列式不等于0充要条件1. 引言在线性代数中，范德蒙行列式是一种重要的概念，它在矩阵、方程组以及插值多项式的求解中都有广泛的应用。
而范德蒙行列式不等于0充要条件则是一个值得深入探讨的主题。
本文将从浅入深地探讨范德蒙行列式的概念及其重要性，最终论证范德蒙行列式不等于0充要条件的结论。
2. 范德蒙行列式的概念及应用让我们回顾一下范德蒙行列式的定义。
给定n个不同的实数或复数x1, x2, ..., xn，将它们按一定的次序排成n行，并且规定它们的次序以后不再更改，则由这n个数按照这个次序排成的行列式称为范德蒙行列式，记作V(x1, x2, ..., xn)。
范德蒙行列式在代数方程组的求解、插值多项式的构造以及曲线拟合等领域中都有着重要的应用。
3. 范德蒙行列式不等于0的意义接下来，让我们探讨范德蒙行列式不等于0的意义。
范德蒙行列式不等于0意味着所给定的n个数x1, x2, ..., xn满足某种特定的条件，这种条件反映了这n个数之间的关系。
在实际问题中，范德蒙行列式不等于0意味着一组数据具有一定的规律性和相关性，这对于数据处理、曲线拟合等问题具有重要的指导意义。
4. 范德蒙行列式不等于0充要条件的证明现在，让我们探讨范德蒙行列式不等于0充要条件的证明。
我们可以根据行列式的展开定理来证明这一结论。
我们可以利用线性代数的知识，通过对n维向量空间的变换及其性质来进行推导。
我们还可以从数学分析的角度来看待这个问题，利用函数的性质和连续性来论证。
5. 个人观点和理解在我看来，范德蒙行列式不等于0充要条件的结论是线性代数中一个非常重要且基础的结论。
它不仅为我们提供了在实际问题中处理数据和方程组的重要工具，同时也反映了数学中抽象概念和实际问题之间的深刻联系。
在今后的学习和工作中，我会更加深入地理解范德蒙行列式及其应用，努力将这些知识用于实际问题的解决中。
6. 总结范德蒙行列式不等于0充要条件是线性代数中的一个重要概念，它在代数方程组、插值多项式、曲线拟合等问题中有着重要的应用。
范德蒙德行列式的研究与应用
范德蒙德行列式的研究与应用给定n个数$x_1,x_2,...,x_n$，范德蒙德行列式定义为：$$\begin{vmatrix}1 & x_1 & x_1^2 & \cdots & x_1^{n-1} \\1 & x_2 & x_2^2 & \cdots & x_2^{n-1} \\\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\1 & x_n & x_n^2 & \cdots & x_n^{n-1} \\\end{vmatrix}$$1.行列式的值只与$x_1,x_2,...,x_n$有关，而与n无关。
2.当$x_1,x_2,...,x_n$中存在两个数相同时，行列式的值为0。
3.当$x_1,x_2,...,x_n$中的数互不相同时，行列式的值为：$$\prod_{1 \leq i < j \leq n} (x_j - x_i)$$其中$\prod$表示乘积。
1.插值多项式：给定n个互不相同的点$(x_1,y_1),(x_2,y_2),...,(x_n,y_n)$，根据这些点来构造一个插值多项式可以使用范德蒙德行列式。
具体而言，可以通过以下公式计算出多项式的系数：$$\begin{bmatrix}x_1^0 & x_1^1 & x_1^2 & \cdots & x_1^{n-1} \\x_2^0 & x_2^1 & x_2^2 & \cdots & x_2^{n-1} \\\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\x_n^0 & x_n^1 & x_n^2 & \cdots & x_n^{n-1} \\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a_0\\a_1\\\vdots \\a_{n-1}\\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}y_1\\y_2\\\vdots \\y_n\\\end{bmatrix}$$其中，$a_0,a_1,...,a_{n-1}$为待求的多项式系数。
范德蒙行列式的应用论文
范德蒙行列式的应用论文范德蒙行列式的应用摘要行列式是线性代数的主要内容之一，它是后续课程线性方程组、矩阵、向量空间和线性变换的基础，有着很重要的作用。
而n阶范德蒙行列式是线性代数中著名的行列式，它构造独特、形式优美，更由于它有广泛的应用，因而成为一个著名的行列式。
它的证明过程是典型行列式定理及数学归纳法的综合应用。
本文将通过对n阶范德蒙行列式的计算, 讨论它的各种位置变化规律, 介绍了如何构造范德蒙行列式进行行列式计算，以及探讨了范德蒙行列式在向量空间理论、线性变换理论以及微积分中的应用。
关键词：行列式；范德蒙行列式；向量空间理论；线性变换理论；微积分VANDERMONDE DETERMINANT OF APPLICATIONSABSTRACT The determinant is one of the main contents of linear algebra, which is the follow-up course of linear equations, matrixes, vector spaces and linear transformation of the base, has a very important role. The n-order Vandermonde determinant is the determinant of well-known in linear algebra, which constructs a unique form of beauty, but the more because it has a wide range of applications, and thus become a well-known determinant. It's proof process is typical determinant theorem and comprehensive application of mathematical induction. This article will through the n-order Vandermonde Determinant of calculation and discussing the variation of its various locations, describes how to construct a Vandermonde determinant of the determinant calculation, as well as to explore the Vandermonde determinant of applications in the theory of vector spaces, linear transformation theory and infinitesimal calculus.Key words: linear algebra，Vandermonde determinant，theory of vector spaces，linear transformation theory，infinitesimal calculus.第一章绪论1.1 引言我们首先来介绍范德蒙行列式的定义及其计算方法.形如行列式(1)称为n阶的范德蒙（Vandermonde）行列式.我们来证明，对任意的阶范德蒙行列式等于这n 个数的所有可能的差（1≤j＜i≤n）的乘积.1.2 范德蒙德行列式的证明1.2.1 用数学归纳法证明范德蒙德行列式我们对作归纳法.（1）当时，结果是对的.（2）假设对于级的范德蒙行列式结论成立，现在来看级的情况.在中，第行减去第行的倍，第行减去第行的倍，也就是由下而上依次地从每一行减去它上一行的倍，有()()()后面这行列式是一个n-1级的范德蒙德行列式，根据归纳法假设，它等于所有可能差（2≤j＜i≤n）；而包含的差全在前面出现了.因之，结论对级范德蒙德行列式也成立.根据数学归纳法，完成了证明.用连乘号，这个结果可以简写为由这个结果立即得出，范德蒙德行列式为零的充分必要条件是这n个数中至少有两个相等.1.2.2 用定理证明范德蒙德行列式已知在级行列式中，第行（或第列）的元素除外都是零，那么这个行列式等于与它的代数余子式的乘积，在=中，从最后一行开始，每一行减去它相邻前一行的倍得=根据上述定理=提出每一列的公因子后得=最后一个因子是阶范德蒙行列式，用表示，则有=同样可得=（）()()此处是一个n-2阶范德蒙行列式，如此继续下去，最后得=（）()（）1.3 范德蒙行列式的性质利用行列式的性质容易推得：1、若将范德蒙行列式逆时针旋转可得2、若将范德蒙行列3、若将范德蒙行列式第二章范德蒙行列式的应用2.1范德蒙行列式在行列式计算中的应用利用行列式的性质，我们可以简化行列式的计算。
范德蒙德行列式的几点应用
第2讲 范德蒙德行列式的几点应用我们知道，n 阶范德蒙德行列式()2111121222121111n n n ijj i nn nnnx x x x x x V x x x x x --<-==-∏≤≤，当这些i x 两两互异时，0n V ≠．这个事实有助于我们理解不少结果．例1 证明一个n 次多项式之多有n 个互异根． 证 设()2012n n f x a a x a x a x =++++有1n +个互异的零点121,,,n x x x +，则有()20120n i i i n i f x a a x a x a x =++++=，1 1i n +≤≤．即这个关于01,,,n a a a 的齐次线性方程组的系数行列式()211122221121111101nn ijj i n n n n n x x x x x x x x x x x <++++=-≠∏≤≤，因此0120n a a a a =====．这个矛盾表明()f x 至多有n 个互异根． 例2 设12,,,n a a a 是n 个两两互异的数．证明对任意n 个数12,,,n b b b ，存在惟一的次数小于n 的多项式()L x ：()1nj i i j ii jx a L x b a a =≠-=-∑∏，使得()i i L a b =，1 i n ≤≤．证 从定义容易看出()L x 的次数小于n ，且()i i L a b =，故只需证明唯一性即可． 设()210121n n f x c c x c x c x --=++++满足()i i f a b =，1 i n ≤≤，即这个关于0121,,,,n c c c c -的线性方程组的系数行列式()21111212221211101n n ijj i nn nnna a a a a a a a a a a --<-=-≠∏≤≤，故0121,,,,n c c c c -是唯一的，必须()()f x L x =．这个例子就是有名的拉格朗日插值公式．例3 设()()()121,,,n f x f x f x -是1n -个复系数多项式，满足 ()()()121211|n n n n n n x x f x xf x x f x ---++++++，证明()()()1211110n f f f -====．证 设()()()()()211211n n n n n n f x xf x x f x p x x x ---+++=+++，取22cossini n nππω=+，分别以21,,,n x ωωω-=代入，可得这个关于()()()1211,1,,1n f f f -的齐次线性方程组的系数行列式()()()22221211101n n n n n ωωωωωω-----≠，因此()()()1211110n f f f -====．例4 设n 是奇数，()()()121,,,n f x f x f x -是1n -个复系数多项式，满足()()()123221211|n n n n n n n n x x x f x xf x x f x -------+-++++，证明()()()1211110n f f f --=-==-=．证 注意到当n 是奇数时，()()123111n n n n x x x x x ---+=+-+-+，可按照例3的思路完成证明．例5 设A 是个n 阶矩阵，证明A 的属于不同特征值的特征向量线性无关．证 设12,,,r λλλ是A 的两两不同的r 个特征值，非零向量12,,,r ααα适合i i i A αλα=，1 i r ≤≤，假设11220r r x x x ααα+++=，那么有()11220j r r A x x x ααα+++=，1 1j r -≤≤．即()1110r r rjjj i i i i i i i i i i A x x A x ααλα===⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭∑∑∑，注意到()0j ir rλ⨯≠，必须11220r r x x x ααα====，于是120r x x x ====，这证明了12,,,r ααα线性无关．例6 计算行列式()()()()()()()()()111212122211121111n n n n n n n x x x x x x D x x x ϕϕϕϕϕϕϕϕϕ---=，其中()11kk k k nk x x a xa ϕ-=+++．解 注意到下面的等式： 即得()1n ijj i nD x x <=-∏≤≤．例7 计算行列式1212111111111n n n x x x D x x x n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭，其中()()11!x x x x k k k --+⎛⎫= ⎪⎝⎭．解 直接利用例6可得()()111!2!1!n ijj i nD x x n <=--∏≤≤． 例8 设12,,,n a a a 是正整数，证明n 阶行列式。
范德蒙行列式及其应用
范德蒙行列式及其应用1 预备知识定义1.1)133(]1[p121211112111,n n n n n nx x x D x x x n x x x ---⋯⋯=,⋯⋯⋯⋯⋯⋯叫做 的阶范德蒙行列式.12111121111212111n i i i n i i i n n n n nx x x D n x x x x x x x x x ---+++⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯=⋯⋯⋯⋯⋯⋯叫做阶准范德蒙行列式.定理1.2)133(]1[p ∏≤≤≤-=ni j jin x x D 1)(．证明 方法一)133(]1[p由n D 的最后一行开始,每一行减去它的相邻的前一行乘以1x ,并由行列式的展开定理可得递推公式111312)())((----=n n n D x x x x x x D Λ,其中1-n D 是n x x x Λ32的n-1阶范德蒙行列式,由以上递推公式可求得∏≤≤≤-=ni j jin x x D 1)(．证明 方法二将n D 看作系数与121,,-n x x x Λ有关,未知量是n x 的一元多项式．则当)1,,2,1(-==n i x x i n Λ时,0=n D ．所以121,,-n x x x Λ是n D 的根,所以,)1,2,1()(-=-n i D x x n i n Λ．又因为当j i ≠时,1),(=--j n i n x x x x ,所以*---=-)())()((12121n n n n n n x x x x x x x x x g D ΛΛ另一方面,如果将n D 按最后一列展开,可知道, n D 是n x 的n-1次多项式,且1-n n x 项的系数是n-1阶范德蒙行列式12122212111nn n n n nx x x D x x x ----⋯⋯=⋯⋯⋯⋯⋯与*可比较得 )(211n n x x x g D Λ=-．因此1121)())((-----=n n n n n n D x x x x x x D Λ；同理22122111)())((---------=n n n n n n D x x x x x x D Λ；依似类推,最后有)(1212x x D D -=．又因为11=D ,所以∏≤≤≤-=ni j jin x x D 1)(．另外利用行列式的性质可推得n 阶范德蒙行列式的性质)1(]2[p 性质1 若将n D 逆时针旋转ο90,可得值为 n n n D 2)1()1(--．性质2 若将n D 顺时针旋转ο90,可得值为n n n D 2)1()1(--．性质3 若将n D 旋转ο180,可得值为n D ．2 范德蒙行列式在行列式计算中的应用2.1 简单变形 例1 计算()()()()11111nnn a a a n D a a a n -⋯-⋯⋯⋯⋯=-⋯-⋯解 由范德蒙行列式性质3得!)())()((111∏∏∏=≤≤≤≤≤≤=-=---=nk ni j ni j k j i i a j a D例2 计算n+1阶行列式211111111112122222222221111111111nn n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a a b a b a b a b a a b a b a b a b D a a b a b a b a b ---+++++++++⋯⋯=⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯解 从第i 行提取公因子)1,,2,1(+=n i a ni Λ,就可以得到转置的n+1阶范德蒙行列式,于是()111b nnn i iji j i n D a b =≤<≤+=-∏∏例3 计算行列式2111111212222221111n n n n n nn n x x x x x x x x x x D x x x x x ---⋯-⋯-=⋯⋯⋯⋯⋯⋯-解 从第i 行提取公因子)1,,2,1(1+=-n i x x i iΛ,然后再把第1列加到第2列,之后再把第2列加到第3列,⋯,再把第n-1列加到第n 列,就得到n 阶范德蒙行列式,于是()111nii j i j i ni x D x x x =≤<≤=--∏∏．例4 计算行列式()()()()()()11112122221222212221111n nnnn n n n n n n n n n n n D n n n n ----⋯--⋯--=⋯⋯⋯⋯⋯--⋯⋯解 由范德蒙行列式性质得()()()()()()()()12111111112122212122221222n n n n n n nnnn n n n n D n n n n n n n n +----⋯--⋯⋯⋯⋯⋯⋯=-⋯--⋯--()1!nn =-1!2!⋯2.2 升阶法求解 例1 计算n 阶行列式221111222222221*********n n n n n n n n n n n n nnnnx x x x x x x x D x x x x x x x x --------⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯=⋯⋯解 将D 升阶为下面的n+1阶行列式221111112212222212211111122122111111n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n nx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x xx x x x ----+-----------⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯∆=⋯⋯⋯既插入一行与一列,使1+∆n 是关于x x x x n ,,,21Λ的n+1阶范德蒙行列式,此处x 是变数．于是∏≤≤≤+----=∆ni j j in n x xx x x x x x 1211)()())((Λ,故1+∆n 是一个关于x 的n 次多项式,它可以写成{}ΛΛ++++-+-=∆-≤≤≤+∏12111))(1()(n n n ni j j in x x x x x x x．另一方面,将1+∆n 按其第n+1行展开,既得Λ+-+-=∆-+≤≤≤+∏11211)1()(n n n ni j j in Dx x x x,比较1+∆n 中关于1-n x的系数,既得∏≤≤≤-+++=ni j j in x xx x x D 121)()(Λ．例2 计算211122222111111111nnnnnnx x x x x x D x x x ++++++=+++L L L LL LL解 将行列式增加第一行第一列并保持行列式值不变21112100011111111nnnn nx x x D x x x +++=+++L L L L LL LL把第一列乘以-1分别加到其它的列得21112111111n n n n n x x x D x x x ---=L L L L L L L L 把第一行拆分得2211111122200011111111nn n n nn nnn nx x x x x x D x x x x x x =-L L L L LL L L L L L L L L LL第一个行列式按第一行展开提取i x 后为n 阶范德蒙行列式,第二个行列式为1n +阶范德蒙行列式()()()111121nniijijii j i nj i ni D x x x x x x =≤≤≤≤==----∏∏∏∏p p()()11121n ni i i j i i j i nx x x x ==≤≤⎡⎤=---⎢⎥⎣⎦∏∏∏p2.3 套用定理法求解 定理 2.3.1()12121211111211112121111,2,3,1n i n in i i i i p p p n n p p p i i i n n n n nx x x D x x x D i n x x x x x x x x x -----+⋯+++⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯==⋯=⋯-⋯⋯⋯⋯⋯⋯∑其中i p p p x x x -Λ21是1,2,3,⋯,n 中()n i -个数的正序排列,∑-in p p p x x x Λ21表示()n i -阶排列和,nD 为n 阶范德蒙行列式． W证明过程大部分是用数学归纳法给出其计算结果的,本文用代数教程中广泛使用的升阶法证明 证明 ()i 在行列式1+i D 中第1i +行和()1n +列相应的元素．考虑()1n +阶范德蒙行列式()122222121111121211111111121111n n i i i i ni i i i n i i i i n n n nnx x x x x x x x f x D x x x x x x x x x x x x x x x x ----++++⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯==⋯=⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯()()()()213111n x x x x x x xx --⋯--()()()3222n x x x x xx -⋯--⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ()n x x -=()()()()121n ijj i nxx x x x x x x ≤<≤--⋯--∏ )(*()ii 由()*式的两端,分别计算多项式()f x 中i x 项的系数．在()*式的左端,由行列式计算得,ix 项的系数为行列式中该元素对应的代数余子式()()()()()111,11111i n i n i n i i A D D ++++++++=-=-在()*式的右端,由多项式计算得,由12,,n x x x ⋯为()0f x =的n 个不同根,根据根与系数的关系,ix 项的系数为()()()1212110,1,2,1nnn in i p p p ij p p p j i na x x x xx i n --⋯≤<≤=-⋯-=⋯-∑∏其中i p p p x x x -Λ21是1,2,3,⋯,n 中()n i -个数的正序排列,i p p p x x x -Λ21表示()n i -阶排列和．()iii 比较()f x 中i x 项的系数计算行列式1i D +,因为()*式的左右端i x 项的系数应相等,所以 ()()()12121111n in ii nn ii p p p ij p p p j i nD x x x xx --+-+⋯≤<≤-=-⋯-∑∏ ()()121211n in ii p p p ij p p p j i nD x x x xx --+⋯≤<≤=⋯-**∑∏()()1212110,1,2,1n nn ii p p p n p p p D x x x D i n -+⋯=-⋯=⋯-∑定理得证．利用定理可以计算各阶准范德蒙行列式,简便易行． 例1计算准范德蒙行列式1234562222221234564444444123456555555123456666666123456111111a a a a a a a a a a a a D a a a a a a a a a a a a aaaaaa=解 由定理,因为6,3,n i ==所以()123123416p p p ij p p p j i D a a a aa ≤<≤=-=∑∏()()12312445616ijj i a a a a a a a a a a a ≤<≤++⋯+-∏．可以看出升阶法求解中的例1套用定理求解更简单．3 范德蒙行列式在其它方面的应用例1设()21211112111111,1n n n n n n x x x a a a p x a a a ------⋯⋯=⋯⋯⋯⋯⋯⋯其中121,n a a a -,⋯是互不相同的数．(1)由行列式定义,说明()p x 是一个1n -次多项式； (2)由行列式的性质求()p x 的根．证明（1）将()p x 按第一行展开知它是x 的多项式,又1n x-的系数为()11n +-乘以一个范德蒙行列式,其值不为零（因为i a 互异）,故()p x 为关于x 的1n -次多项式． （2）取()1,2,i x a i n ==⋯,则行列式两行相同其值为零,即有()0i p a =,故121,n a a a -,⋯是()p x 的全部根．例2 设()112n n f x a a x a x-=+++L 011,,,n εεε-L 为全部的n 次单位根,证明：()()()123112211132011345122341n n nn n n n n n n na a a a a a a a a a a a a a a D f f f a a a a a a a a a a εεε-------==L L L L L L LL L L L L证明 令ε为n 次原根,且假定()0,1,1iji n εε==-L 用范德蒙行列式()()()()212124211111111111n n n n n n εεεεεεεεε------∆=L L L L LLL LL左乘D ,再从每列分别提出()()()111,,n f ff εε-L 即得()()()()()()()()()()()()()()()()()()()111212121111111111n n n n n n n n n n f f f f f f D f f f f f f f f f f εεεεεεεεεεεεεεεεε----------∆==∆L L L L L LLL因为0∆≠,所以()()()()()()1101n n D f ff f f f εεεεε--==LL ．只要熟悉了范德蒙行列式使用的形式和使用技巧,便可以很好地应用范德蒙行列式了．例3 如果n 次多项式()21121n n n n n o f x a a x a x a x a x ---=+++++L 有1n +个不同的根,那么()0f x ≡．证明 设121,,n x x x +L 是()f x 的1n +个不同的根,则有2111211112112222221112111100n n n n n o n nn n n o n n n n n n n n o n a a x a x a x a x a a x a x ax a x a a x a x a x a x --------+-+++⎧+++++=⎪+++++=⎪⎨⎪⎪+++++=⎩L L L L L L L L L L L L L L L L L L 上式可看作1n +个未知量10,,,n n a a a -L 1n +个方程的齐次线性方程组．其系数行列式为()2111222211121111101n n n ijj i n n n n n x x x x x x D x x x x x +≤≤++++==-≠∏p L L L L LLLL所以上式只有零解．即1100,n n a a a a -=====L 也就是说()0f x ≡.。
范德蒙行列式的相关应用
范德蒙行列式的相关应用（一）范德蒙行列式在行列式计算中的应用 范德蒙行列式的标准规范形式是：1222212111112111()nn n i j n i j n n n nx x x D x x x x x x x x ≥>≥---==-∏根据范德蒙行列式的特点，将所给行列式包括一些非范德蒙行列式利用各种方法将其化为范德蒙行列式，然后利用范德蒙行列式的结果，把它计算出来。
常见的化法有以下几种：1.所给行列式各列（或各行）都是某元素的不同次幂，但其幂次数排列与范德蒙行列式不完全相同，需利用行列式的性质（如提取公因式，调换各行（或各列）的次序，拆项等）将行列式化为范德蒙行列式。
例1 计算222111222333nn n nD n n n =解 n D 中各行元素都分别是一个数自左至右按递升顺序排列，但不是从0变到n r -。
而是由1递升至n 。
如提取各行的公因数，则方幂次数便从0变到1n -.[]21212111111222!!(21)(31)(1)(32)(2)(1)13331n n n n D n n n n n n nn n ---==-------!(1)!(2)!2!1!n nn =--例2 计算1111(1)()(1)()1111n n n n n n a a a n a a a n D a a a n ---+----=--解 本项中行列式的排列规律与范德蒙行列式的排列规律正好相反，为使1n D +中各列元素的方幂次数自上而下递升排列，将第1n +列依次与上行交换直至第1行，第n 行依次与上行交换直至第2行第2行依次与上行交换直至第n 行，于是共经过(1)(1)(2)212n n n n n ++-+-+++=次行的交换得到1n +阶范德蒙行列式：[][](1)21111(1)211111(1)(1)()(1)()(1)(1)(2)()2(1)((1))!n n n n n n nnn n nk aa a n D a a a n a a a n a a a a a n a a a a n a n k ++---+=--=-----=--------------=∏ 若n D 的第i 行（列）由两个分行（列）所组成，其中任意相邻两行（列）均含相同分行（列）；且n D 中含有由n 个分行（列）组成的范德蒙行列式，那么将n D 的第i 行（列）乘以-1加到第1i +行（列），消除一些分行（列）即可化成范德蒙行列式： 例3 计算1234222211223344232323231122334411111sin 1sin 1sin 1sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin D +Φ+Φ+Φ+Φ=Φ+ΦΦ+ΦΦ+ΦΦ+ΦΦ+ΦΦ+ΦΦ+ΦΦ+Φ解 将D 的第一行乘以-1加到第二行得：123422221122334423232323112233441111sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin ΦΦΦΦΦ+ΦΦ+ΦΦ+ΦΦ+ΦΦ+ΦΦ+ΦΦ+ΦΦ+Φ再将上述行列式的第2行乘以-1加到第3行，再在新行列式中的第3行乘以-1加到第4行得：12342222141234333412341111sin sin sin sin (sin sin )sin sin sin sin sin sin sin sin i j j i D ≤<≤ΦΦΦΦ==Φ-ΦΦΦΦΦΦΦΦΦ∏例4 计算211122222111111111nnnn n nx x x x x x D x x x ++++++=+++ （1）解 先加边，那么22111111222222222210001111111111111111111nnnn nn n n nnn nx x x x x x D x x x x x x x x x x x x ---+++=+++=+++再把第1行拆成两项之和，2211111122111120001111nnn n nnnnnnx x x x x x D x x x x x x =-11111112()(1)()()[2(1)]nnk j i k j j k ni j k nnnk j i i j k ni i x xx x x x x x x x x ≤<≤=≤<≤≤<≤===----=---∏∏∏∏∏∏2.加行加列法各行（或列）元素均为某一元素的不同方幂，但都缺少同一方幂的行列式，可用此方法： 例5 计算2221233312121113nn nnn nx x x D x x x x x x =解 作1n +阶行列式：122222121333312121111nn n nnnn n nzx x x z x x x D z x x x z x x x +==1()()ni j k i l k j nx z x x =≤<≤--∏∏由所作行列式可知z 的系数为D -，而由上式可知z 的系数为：211211(1)()()nn n j k i n j k li x x x x x x -=≥>≥--∑∏通过比较系数得：1211()()nn j k i n j k li D x x x x x x =≥>≥=-∑∏ 3.拉普拉斯展开法运用公式D =1122n n M A M A M A ++来计算行列式的值：例6 计算111111122122111000010010010010001n n n n n n nn nnx x y y x x D y y x x y y ------=解 取第1，3，21n -行，第1，3，21n -列展开得：11111111222211111111n n n n n n nnnnx x y y x x y y D x xy y------==()()j i j i n j i lx x y y ≥>≥--∏4.乘积变换法 例7 设121(0,1,22)nk k k k k ni i s xx x x k n ==+++==-∑，计算行列式 01112122n n n nn s s s s s s D s s s ---=解11121111222111nnn iii i nnn n iiii i i nnnn n n iii i i nxxxxx D xxx-=====--====∑∑∑∑∑∑∑∑211111221222222122111122111111()n nn nn n n n nnnnj i l i j nx x x x x x x x x x x x x xxx x x x x -----≤<≤==-∏例8 计算行列式000101011101()()()()()()()()()nn n n n n n n nnnn n n n a b a b a b a b a b a b D a b a b a b ++++++=+++解 在此行列式中，每一个元素都可以利用二项式定理展开，从而变成乘积的和。
(整理)范德蒙行列式及其应用
范德蒙行列式及其应用摘要:在高等代数中，行列式无疑是一个重点和难点。
它主要应用于高等代数理论，作为一种特殊的行列式——范德蒙行列式不仅具有特殊的形式，而且有非常广泛的应用.本文主要探讨范德蒙行列式在向量空间理论，线性变化理论，多项式理论中以及行列式计算中的应用.关键词:范德蒙行列式；多项式；线性变换一． 范德蒙行列式定义及性质 1.范德蒙行列式的定义 定义1 关于变元1x ,2x n x 的n 阶行列式122221211112111n n n n n n nx x x D x x x x x x ---= (1)叫做1x ，2x n x 的n 阶范德蒙行列式，记作n V （1x ,2x ,…n x ）.2.我们用定理证明范德蒙德行列式已知在级行列式中，第行（或第列）的元素除外都是零，那么这个行列式等于与它的代数余子式的乘积 ，在=中，从最后一行开始，每一行减去它相邻前一行的倍得=根据上述定理=提出每一列的公因子后得=最后一个因子是阶范德蒙行列式，用表示，则有=同样可得=（）()()此处是一个n-2阶范德蒙行列式，如此继续下去，最后得=（）()（）由以上的计算可以得出，定理1 n 阶范德蒙行列式n V （1x ,2x ,…n x ）=12222121111211...1nn n n n nx x x x x x x x x ---=∏(i j x x -).有这个结果立即得出定理2 n 阶范德蒙行列式为零的充分必要条件是1x ,2x ,…n x 这n 个数中至少有两个相等.二． 范德蒙行列式的应用范德蒙行列式由于其独特的构造和优美的形式，而有着广泛的应用.下面将集中说明范德蒙行列式在行列式计算和证明及在微积分计算中的应用，并对范德蒙行列式在线性空间理论，线性变换理论，多项式理论中的应用作出探讨.1. 范德蒙行列式在多项式理论中的应用在多项式理论中，涉及到求根问题的有许多.在分析有些问题时，范德蒙行列式能够起到关键作用的，若能够熟练有效地运用范德蒙行列式，则对我们最终解决问题会有直接的帮助. 例1 证明一个n 次多项式在至多有n 个互异根. 证 不妨设n>0,如果 f(x)=2012n n a a x a x a x ++++有n+1个互异的零点1x ,2x ,…n x ，1n x +，则有 ()i f x =22012=0i n+i i n i a a x a x a x ++++≤≤，11即 201121120222222012110,0,.......................0.n n nn n n n n n n a a x a x a x a a x a x a x a a x a x a x +++⎧++++=⎪++++=⎪⎨⎪⎪++++=⎩这个关于01,,...n a a a 的齐次线性方程组的系数行列式是范德蒙行列式211122222111111nn n n n n x x x x x x x x x +++=∏(i j x x -)≠0.因此010n a a a ====，这个矛盾表明 ，f （x ）至多有n 个互异根. 例2 设12,,n a a a 是数域F 中互不相同的数，12,,n b b b 是数域F 中任一组给定的不全为零的数，则存在唯一的数域F 上次数小于n 的多项式()f x ，使(),1,2,i i f a b i n ==.证明 ：设()1011n n f x c c x c x --=+++，有条件得，(),1,2,i i f a b i n ==.知101111110121221011,,.n n n n n n n n n c c a c a b c c a c a b c c ac a b ------⎧+++=⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩因为12,,n a a a 互不相同，所以，方程组的系数行列式()21111212221211101n n ji i j nn nnna a a a a a D aa a a a --≤<≤-==-≠∏.则方程组有唯一解，即唯一解小于n 的多项式，使得()1011n n f x c c x c x --=+++，使得(),1,2,i i f a b i n ==.例 3 证明：对平面上n 个点()()()12,1,,,i i n a b i n a a a ≤≤互不相等，必存在唯一的一个次数不超过n-1的多项式()f x 通过该n 个点()(),1i i a b i n ≤≤，即()i i f a b =()1i n ≤≤.证明： 设()12121n n n n f x c xc x c x c ---=++++，要使()i i f a b =()1i n ≤≤，即满足关于12,,,n c c c 的线性方程组：12111211112212221212121,,.n n n n n n n n n n n n n n n n a c a c a c c b a c a c a c c b a c a c a c c b ---------⎧++++=⎪++++=⎪⎨⎪⎪++++=⎩，而该方程组的系数行列式为范德蒙行列式：121111222212111121111n n n n n n n n n n n n nn a a a a a a D a a a a a a -----------=.当12,,,n a a a 互不相等时该行列式不为零，由Cramer 定理知方程组有唯一解，即对平面上n 个点()()()12,1,,,i i n a b i n a a a ≤≤互不相等，必存在唯一的一个次数不超过n-1的多项式()f x 通过该n 个点.2. 范德蒙行列式在矩阵的特征值与特征向量中的应用例 4 A 是3阶方阵，A 有3个不同的特征值123,,,l l l ，对应的特征向量依次为123,,,a a a 令123b a a a =++.证明：2,,b Ab A b 线性无关.证 21231123()k b k Ab k A b k a a a ++=++22221122333112233()()k l a l a l a k l a l a l a ++++++=222121311222322333333()()()k k l k l a k k l k l a k k l k l a ++++++++=0.123,,a a a 线性无关，故有2111222223331101l l k l l k l l k ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 由于i j l l ≠，则0A ≠，所以方程组只有零解， 即2,,b Ab A b 线性无关.例 5 设A 是n 阶矩阵，证明A 的属于不同特征值的特征向量线性无关. 证明：设12,,r λλλ是A 的两两不同的r 个特征值，非零向量12,,r ααα是其相应的特征向量，即r i r A αλα=，1i r ≤≤，假设11220r r x x x ααα+++=那么，()11220,11jr r Ax x x j r ααα+++=≤≤-，即()1110r r rjjj i i i i i i i i i i A x x A x ααλα===⎛⎫=== ⎪⎝⎭∑∑∑.由于其系数行列式()12,,0r V λλλ≠，故11220r r x x x ααα====，又0i α≠于是，0i x =，这证明了12,,r ααα线性无关.3. 范德蒙行列式在向量空间理论中的应用在向量空间理论中，我们常常会遇到需要用范德蒙行列式转化问题，通过转化，我们很容易就能得到需要的结论. 例。
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范德蒙德行列式的证明及其应用摘要：介绍了n阶范德蒙行列式的定义,用递推法和拉普拉斯定理两种方法证明了范德蒙行列式,辅以实例研究了它在高等代数中的一些应用.向量空间理论用来解决线性问题;在线性变换理论、多项式理论和微积分理论中,主要用它构造线性方程组,进而应用克拉默法则或相关定理判断根的情况;在行列式计算中,主要运用范德蒙行列式的结论简化n阶行列式的计算过程.探究范德蒙行列式的历史及相关应用,为更进一步钻研其相关性质与应用奠定了良好的基础.关键词：范德蒙德行列式;向量空间;线性变换;应用1引言行列式本身有着长远的历史发展过程.它的理论最早可追溯到十七世纪末,在十九世纪末,其理论体系已基本形成.1683年,定义行列式概念的是日本数学家关孝和.同一年,德国数学家莱布尼茨首先开始使用指标数的系数集合来表示有三个未知数的三个一次方程组的系数.他这种解决方程组的思维方式为行列式理论的深入研究工作打下了坚实地基础.1771年,范德蒙创造性的在深入研究行列式理论的基础上,尝试解线性方程组.他这种勇于创新、敢于探索的精神为大家所认可,被公认为行列式的奠基人.他以现在被大家所熟悉的拉格朗日著作中的相关知识为理论基础,进行了反复的钻研,为后来研究群的概念奠定了良好的基础.第一个阐述行列式的数学家便是范德蒙.他运用自己的聪明才智、活跃的思维、批判的科研态度给出了现代代数书中二阶子式及余子式的定义,经过推理,演绎这一系列严谨的过程,完善了行列式的概念,并给出了行列式的数学符号记录.1772年,皮埃尔-西蒙.拉普拉斯在范德蒙著作和自身灵感的启示下,思维方法发生了变化,得出了子类型的概念.自此起,人们对行列式展开了单独的研究.人们为了深入了解行列式理论的本质特征,在19世纪展开了更深层次的研究.柯西积极吸收前人的劳动成果的同时,首次给出了行列式的系统理论.包括双重组标记法、行列式的乘法定理等.1832年至1833年,问卡尔.雅可给出了一个特殊的行列式的计算结果.基于此,1839年,卡塔兰发现了Jacobian行列式.范德蒙行列式整齐、完美的结构形式让我们体验到数学之美.简单探索它的应用,感悟数学的魅力.如果我们能够深入探索范德蒙行列式并灵活运用它,未来将更广泛的应用在数学各个领域.2范德蒙行列式的定义及证明2.1定义行列式1121121111---n nn n na a a a a a(1)称为n 阶的范德蒙（Vandermonde ）行列式.由范德蒙行列式的定义,我们可以得出结论:对任意的(2)n n ≥错误!未找到引用源。
阶范德蒙行列式等于n a a a ,,21这n 个数的所有可能的差)1(n i j a a j i ≤<≤-错误!未找到引用源。
的乘积. 2.2范德蒙德行列式的证明 2.2.1用递推法证明12112211120011111221111a a a a a a a a a a D n n n n n n n n r a r r a r r a r n n n n n -----------−−−−−−→−---)()()()()()(12132312221133122123121a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a n n n n n n n n c ---------−−−→−---展开按上式112312)())((----=n n D a a a a a a仿上做法,有2224231)())((-----=n n n D a a a a a a D 再递推下去,直到11=D .故)()()())()(())((112242311312j i ni j n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a D -=-------=∏≤<≤-2.2.2用Laplace 定理证明 已知在n 级行列式nnnj n in ij i n j a a a a a a a a a D 111111= 中,除第i 行（或第错误!未找到引用源。
列）的元素ij a 以外,行列式中其余元素全是零,则由Laplace 定理得:此行列式等于ij a 与它的代数余子式ij A 错误!未找到引用源。
的乘积ij ij A a D =,在113121122322213211111----=n nn n n nnn a a a a a a a a a a a a D中，从最后一行开始，每一行减去它相邻前一行的1a 倍,得)()()(0)()()(0011111213231222113312211312a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a D n n n n n n n n n ---------=---根据上述定理)()()()()()(1213231222113312211312a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a D n n n n n n n n n ---------=---错误!未找到引用源。
把每列的公因子提出来,得223223211312111)())((------=n nn n nn n a a a a a a a a a a a a D错误!未找到引用源。
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等式右边的第二个因子是错误!未找到引用源。
阶行列式,用1-n D 表示,则上式中111312)())((----=n n n D a a a a a a D同样地,可以得到2224231)())((-----=n n n D a a a a a a D此处2-n D 是一个2-n 阶范德蒙行列式,一直继续下去,得)()())(())((122311312-------=n n n n n a a a a a a a a a a a a D)(1j i ni j a a -=∏≤<≤3范德蒙德行列式的应用3.1在向量空间理论中的应用在解析几何中,直观上我们经常认为一维、二维、三维向量空间是有意义的.当3>n 时,就没有直接的现实意义,但在高等代数这门课程中,n 维向量空间却是很常见的.当涉及线性相关问题时,通常我们通过构造同构映射的方法,将其转化为范德蒙行列式的问题,进而利用该行列式是否为零判断线性相关性.例1.设错误!未找到引用源。
是数域F 上的错误!未找到引用源。
维向量空间,任给正整数n m ≥,则在V 中存m 个向量,其中任取n 个向量都线性无关]7[.证明:因为n F F ≅,所以只须在n F 中考虑.取错误!未找到引用源。
)3,,3,3,1(121-=n a))3(,,3,1(2122-=n a))3(,,3,1(1m n m m a -=令错误!未找到引用源。
.1,)3()3(31)3()3(31)3()3(3121121212222111m k k k D n k n k k k n k k k n k n nnn k≤≤≤≤≤=--- 错误!未找到引用源。
121212)3()3(31)3()3(31)3()3(31222111---=n k k k n k k k n k k k n n n nD 是范德蒙行列式 且0≠n D ,所以n k k k a a a ,,,21 线性无关.3.2在线性变换中的应用线性变换是代数学中的一个重要概念,它的抽象性使我们在掌握这个概念时比较困难.此时,我们可以应用线性变换的定义及性质,考虑构造新函数,运用方程思想解决此类问题.例 2.设数域F 上的n 维向量V 的线性变换σ有个互异的特征值n λλλ,,,21 ,则与σ可交换的V 的线性变换是12,,,,-n e σσσ 的线性组合,这里e 为恒等变换.证明:由题意,由于σ是n 维向量V 上的线性变换,由线性变换的定义得n i i i i ,,2,1,)( ==αλασ,假设{}F k k V i ∈=|αλ是δ的不变子空间.根据不变子空间的特点,δ是与σ可交换的线性变换.令112210--++++=n n x x x e x σσσδ 且n i k i i i ,,2,1,)( ==αασ,则有以下方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=------111012121021111101n nn n n n n n n x x x k x x x k x x x k λλλλλλ （2） 由于线性方程组的系数矩阵的行列式)(j 1j i ni D λλ-∏=≤<≤,所以方程组（2）有唯一解,即就是12,,,,-n e σσσ 这n 个向量线性无关,题目得证. 3.3多项式理论中的应用在多项式理论中,许多题目涉及求根问题.一般情况下,我们可以用综合除法解决这类问题,但是在不知道多项式函数最高次项系数和常数项系数的条件下,我们可根据题意列出线性方程组.通过计算该线性方程组对应的系数矩阵的行列式是否为零判断根的情况,进而得出结论.例 3.设n n x c x c c x f +++= 110)(.若()f x 至少有1+n 个不同的根,则0)(=x f .证明:取121,,,+n x x x 为()f x 的1+n 个不同的根.则有由齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++=++++=++++++000121211022222101212110n n n n n nn n n x c x c x c c x c x c x c c x c x c x c c (3) 其中n c c c ,,,10 看作未知量.且0)(1≠-∏=≤<≤j i ni j x x D .由于该方程组的等式右端的数均为零,由变形后的定理得:此方程组的解全为零.从而010====n c c c .即)(x f 是零多项式.3.4微积分中的应用例4.设)(y f 在],[b a 上连续,在),(b a 内存在2阶导数]2[.证明:在b x a <<上有)(21)()()()(''c a b a f b f a x a f x f f=-----.这里),(b a c ∈证明:在],[b a 上构造函数)(1)(1)(1)(1)(2222b f b bx f x x a f a a y f y y y F =是范德蒙行列式,而函数)(y F 满足中值定理条件: 因)()()(y F x F a F ==.由中值定理,在),(b a 内存在b x x x a <<<<21，使0)()(2''1''==x F x F .故存在),(21x x c ∈,使0)(''=c F .即就是0)(1)(1)(1)(200)(222''''==b f b b x f x x a f a ac f c F .按行列式定义展开,即得所证. 3.5行列式计算中的应用涉及行列式计算问题时,经常运用行列式的性质解决问题,但其复杂多变的形式给行列式的计算增加了难度.对于具体的行列式,我们可以根据它的性质和定义解决.但对于那些结构特殊的、抽象的行列式,可通过观察、归纳总结,我们可以用特殊的方法迅速解决问题. (1)用提取公因式计算行列式例5.计算nn n n n n n D 222333222111= 解:由观察得到:该行列式中每行元素都分别是同一个数的不同方幂,并且其方幂次数从左至右依次增加,但它的次数是由1递加至n ,由行列式的相关性质,得1212121333122211111321---⨯⨯⨯⨯=n n n n n n n n D仔细观察,我们在右边的行列式中,从第2行开始,每行的1都写成该行中这个自然数的零次幂的形式,则它为n 阶范德蒙行列式,故)]1([)2()24)(23)(1()13)(12(!--------=n n n n n D n!1!2)!2()!1(! --=n n n (2）对换行列式中每一行(或每一列)的次序例6.计算1111)()()1()1(1111n b b b n b n b b b b b D n nn nn nn ------=---+ 分析:遇到这类问题,我们经常考虑运用行列式的六条性质来解决.为此,我们可以调换该行列式的次序,将它化为标准形式.解:把1+n 行依次与上面的每一行交换至第1行,第n 行依次与上面的每一行交换至第2行,以此类推,由自然数排列的逆序原则,共经过2)1(12)2()1(+=+++-+-+n n n n n 次交换 得到1+n 阶范德蒙行nn nn n n n n n n b b b n b b b n b b b D)()1()()1(1111)1(1112)1(1-------=---++)]1([)]1(2)[()2)(1()1(2)1(--------------=+n b n b b b b n b b b b b n n !1k nk =∏=(3)用拆行（列）计算行列式n 阶行列式中的i 行(列)由两个互异元素构成,且任意相邻两行(列)都含有共同元素,那么我们可以利用行列式的初等变换原则,通过消去一些分行中某一元素的方法,巧妙运用范德蒙行列式结论.例7.计算4阶行列式3424332332223121244233222211432111111111a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a D ++++++++++++=分析:观察此行列式,我们可以看出:该行列式满足拆项行(列)计算行列式的特点,因此我们可以用该方法来解决这个问题.解:消去此行列式第二行每一项中的数字1,得:342433233222312124423322221143211111a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++++++++ (4) 消去行列式 (4)第三行中加号前的元素,得:34243323322231212423222143211111a a a a a a a a a a a a a a a a ++++ (5)再从行列式(5)中消去第4行中与第三行一样的元素得:343332312423222143211111aaaaa a a aa a a a因为该行列式为4阶范德蒙行列式,故)(11114134333231242322214321j i i j a a a a a a a a a a a a a a -∏==≤<≤ (4)用加边法计算行列式行列式的各行（或列）有明显范德蒙行列式定义的特点,但共同元素的方幂并不是按连续的自然数的顺序依次增加,此时我们可以考虑用加边法.例8.计算4级行列式444422221111d c b a dcbad c b a D =分析：D 不是范德蒙德行列式,但具有该行列式的特点,可考虑构造5级的范德蒙德行列式,再利用范德蒙德行列式的结果,间接求出D 的值. 解：构造5阶范德蒙行列式按第五列展开得45534523525155x A x A x A x A A D ++++=其中3x 的系数为D D A -=-=+5445)1( 又利用范德蒙行列式的结果得))()()(())()()()()((5d x c x c d b x b d b c a x a d a c a b D ----⨯------= ])([))()()()()((34 ++++-⨯------=x d c b a x c d b d b c a d a c a b其中错误!未找到引用源。