概率论与数理统计复习(完整)

概率论与数理统计复习一、概率论的基本概念： 1、事件的运算律：交换律：A B B A =，BA AB =；结合律：()()C B A C B A =，()()C B A C B A =； 分配律：()()()BC AC C B A =，()()()C A B A BC A =； 德·摩根法则：B A B A =，B A B A =； 减法运算：AB A B A B A -==-。

2、概率的性质： 性质1 ()0=φP ；性质2 （有限可加性）当n 个事件n A A ,,1 两两互不相容时，()()()n n A P A P A A P ++= 11；性质3 对于任意一个事件A ，()()A P A P -=1； 性质4 当事件B A ,满足B A ⊂时，()()()A P B P A B P -=-，()()B P A P ≤；性质5 对于任意两个随机事件B A ,，()()()AB P B P A B P -=-； 性质6 对于任意一个事件()1≤A P ；性质7 （广义加法法则）对于任意两个事件B A ,，()()()()AB P B P A P B A P -+= 。

3、条件概率：在已知A 发生的条件下，B 事件的概率为：()()()A P AB P A B P =（()0>A P ）。

注意：所有概率的性质对条件概率依然适用，但使用公式必须在同一条件下进行。

4、全概率公式与贝叶斯公式：设n 个事件n A A ,,1 构成样本空间Ω的一个划分，B 是一个事件，当()0>i A P（n i ,,1 =）时， 全概率公式：()()()∑==ni iiA B P A P B P 1；贝叶斯公式：当()0>B P 时，()()()()()∑==nl lli i i A B P A P A B P A P B A P 1， n i ,,1 =。

应用全概率公式和贝叶斯公式计算事件A 的概率或其在已知条件下的条件概率时，关键的问题是找到一个完备事件组n B B B ,,,21 ，使得A 能且仅能与n B B B ,,,21 之一同时发生，然后运用古典概型、概率的加法和乘法法则计算出()i B P 和()i B A P ，n i ,,1 =，并套用全概率公式或贝叶斯公式即可。

若一个较复杂的事件是由多种“原因”产生的样本点构成时，多考虑用全概率公式，而这些样本点就构成一个完备事件组；若已知试验结果而要追查“原因”时，往往使用贝叶斯公式，这些“原因”的全体即是所求的完备事件组。

5、随机事件的独立性： 事件独立性的结论： （1）事件A 与B 独立⇔()()()B P A P AB P =；（2）若事件A 与B 独立，则A 与B ，A 与B ，A 与B 中的每一对事件都相互独立； （3）若事件A 与B 独立，且()0>A P ，()0>B P ，则()()A P B A P =，()()B P A B P =；（4）若事件n A A ,,1 相互独立，则()()∏==ni in A P A A P 11 ；（5）若事件n A A ,,1 相互独立，则()∏∑==-=⎪⎭⎫⎝⎛ni i n i i A P A P 111。

注意：（1）事件B A ,相互独立只要求满足()()()B P A P AB P =，而事件B A ,互斥（互不相容）只要求φ=AB ，这两个概念前一个与事件的概率有关，后一个与事件有关，两者之间没有必然的联系；（2）如果事件B A ,相互独立，则A 与B 不相关，反之一般不成立。

（3）对于任意n 个随机事件n A A ,,1 ，相互独立则两两独立，反之未必；（4）对于任意n 个相互独立的随机事件n A A ,,1 ，它们中任意一部分事件的运算结果（和、差、积、逆等）与其他一部分事件或它们的运算结果都相互独立，如：21A A +与3A ，21A A -与3A ，21A A 与3A 都相互独立；6、贝努利概型与二项概率公式：设一次试验中事件A 发生的概率为p ()10<<p ，则n 重贝努利试验中，事件A 恰好发生k 次的概率()k P n 为()()kn kk n n p p C k P --=1，n k ,,1 =。

贝努利试验每次试验相互独立，只关心某一次试验中事件A 或A 是否发生，且每次事件A 发生的概率都相同。

二、随机变量及其分布：（一）离散型随机变量及其分布： 1、分布律（概率函数）及其性质：离散型随机变量X 的分布律（概率函数）为：()i i p x X P ==， ,2,1=i 。

分布律也可以写成表格形式，列表法是求解离散型随机变量问题的常用方法。

离散型随机变量X 的分布律（概率函数）的性质： （1）()0≥==i i p x X P ， ,2,1=i ； （2）1=∑iip。

注意：确定分布律中的未知常数大多考虑随机变量分布律的性质。

2、离散型随机变量X 的分布律与分布函数和事件概率的关系：如果已知X 的分布律为()i i p x X P ==， ,2,1=i ，则X 的分布函数()()∑≤=≤=xa i i p x X P x F ；而事件{}b X a ≤<的概率为()∑≤<=≤<bx a ii pb X a P 。

3、离散型随机变量函数的分布：如果已知X 的分布律为()i i p x X P ==， ,2,1=i ，则当()X g Y =的所有取值为jy（ ,2,1=j ）时，随机变量Y 有分布律()()()∑====ji y x g ij x X P y Y P 。

注意：（1）若X 和()X g Y =均为无限可列的离散型随机变量，需要注意函数关系的转化求分布律，如：已知()4~P X ，要求23-=X Y 的分布律，则()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+===-==3223k X P k X P k Y P ；（2）求离散型随机变量函数()X g Y =分布时，要注意对应不同的i x 时，j y 的值有没有重复，若j y 的值有重复，则()()∑===ji y x g ij p y Y P 。

（二）连续型随机变量及其概率密度：1、连续型随机变量的概率密度函数()x f 的性质： （1）()0≥x f ； （2）()1=⎰+∞∞-dx x f ；（3）()0==a X P 。

2、连续性随机变量的概率密度与分布函数和事件概率之间的关系： （1）若X 的概率密度为()x f ，则X 的分布函数为()()⎰∞-=xdt t f x F ，当()x f 为分段函数时其分布函数()x F 要做分段讨论；（2）()b X a P <<=()b X a P <≤=()b X a P ≤<=()b X a P ≤≤ =()()()⎰=-badx x f a F b F ；（3）若X 的分布函数为()x F ，则在连续点处有()()x F x f '=。

3、连续性随机变量函数的分布：方法一：设随机变量X 的概率密度函数为()x f X ()+∞<<∞-x ，那么()X g Y =的分布函数为()()()()()()⎰≤=≤=≤=yx g XY dx x f y X g P y Y P y F ，其概率密度函数为()()y F y f Y Y '=。

方法二：设随机变量X 的概率密度函数为()x f X ()+∞<<∞-x ，那么()X g Y =的概率密度为()()[]()⎪⎩⎪⎨⎧<<=其余,0,'βαy y h y h f y f X Y 其中()y h 是()x g 的反函数，()(){}∞+∞-=g g ,min α，()(){}∞+∞-=g g ,max β。

三、多维随机变量及其分布： （一）二维离散型随机变量： 1、联合分布律（概率函数）：二维离散型随机变量()Y X ,的联合分布律为：()ij i i p y Y x X P ===,， ,2,1,=j i ；联合概率函数可以计算概率：对于平面上任意一个集合D ，()()()()()()()∑∑∑∑∈∈====∈j i Db a ijj i Db a jij i ji pb Y a X P D Y X P ,,,,,,。

2、边缘分布律：二维离散型随机变量()Y X ,关于X 和Y 的边缘分布律分别为：()∑∞=⋅===1j i ij i x X P p p ， ,2,1=i ；()∑∞=⋅===1i j ij j y Y P p p ， ,2,1=j 。

注意：（1）求离散型随机变量的边缘分布函数，常先求出其边缘分布律，将其化为求一元离散型随机变量的分布函数；（2）列表法是解决联合分布和边缘分布问题常用的方法。

3、条件分布律：()Y X ,是二维离散型随机变量，在{}j y Y =条件下随机变量X 的条件分布律为：()jij j i p p y Y x X p ⋅===， 0>⋅j p ， ,2,1=i ；在{}i x X =条件下随机变量Y 的条件分布律为：()⋅===i ij i j p p x X y Y p ，0>⋅i p ， ,2,1=j 。

4、随机变量的独立性：离散型随机变量相互独立的条件是j i ij p p p ⋅⋅=， ,2,1,=j i 。

5、随机变量函数的分布律：已知离散型随机变量()Y X ,的分布律()ij j i p y Y x X P ===,，则()Y X g Z ,=的分布为：()()()()∑=====kj i z y x g ijk k p z Y X g P z Z P ,,。

（二）二维连续型随机变量： 1、联合概率密度：若()y x f ,为()Y X ,的联合概率密度，则分布函数为()()⎰⎰∞-∞-=x xdudv v u f y x F ,,；联合概率函数可以计算概率：对于xOy 平面上任意一个区域G ，()()()⎰⎰=∈Gdxdy y x f G Y X P ,,。

2、边缘概率密度：二维连续型随机变量()Y X ,关于X 和Y 的边缘概率密度分别为：()()⎰+∞∞-=dy y x f x f X , 和 ()()⎰+∞∞-=dx y x f y f Y ,。

3、条件概率密度：()Y X ,是二维连续型随机变量，在{}y Y =条件下随机变量X 的条件概率密度为：()()()y f y x f y x f Y Y X ,=， ()0>y f Y ；在{}x X =条件下随机变量Y 的条件概率密度为：()()()x f y x f x y f X X Y ,=， ()0>x f X ； 4、随机变量的独立性：连续型随机变量相互独立的充要条件是()()()y f x f y x f Y X =,。