范德蒙行列式不等于0充要条件
[整理版]范德蒙行列式及其应用
![[整理版]范德蒙行列式及其应用](https://img.taocdn.com/s3/m/acbe5cfc162ded630b1c59eef8c75fbfc77d94c0.png)
范德蒙行列式及其应用摘要:在高等代数中，行列式无疑是一个重点和难点。
它主要应用于高等代数理论，作为一种特殊的行列式——范德蒙行列式不仅具有特殊的形式，而且有非常广泛的应用.本文主要探讨范德蒙行列式在向量空间理论，线性变化理论，多项式理论中以及行列式计算中的应用.关键词:范德蒙行列式；多项式；线性变换一． 范德蒙行列式定义及性质1.范德蒙行列式的定义定义1 关于变元1x ,2x n x 的n 阶行列式122221211112111n n n n n n nx x x D x x x x x x ---=(1)叫做1x ，2x n x 的n 阶范德蒙行列式，记作n V （1x ,2x ,…n x ）.2.我们用定理证明范德蒙德行列式已知在错误！未找到引用源。
级行列式中，第错误！未找到引用源。
行（或第错误！未找到引用源。
列）的元素除错误！未找到引用源。
外都是零，那么这个行列式等于错误！未找到引用源。
与它的代数余子式错误！未找到引用源。
的乘积错误！未找到引用源。
，在错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。
中，从最后一行开始，每一行减去它相邻前一行的错误！未找到引用源。
倍得错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。
根据上述定理错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。
提出每一列的公因子后得错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。
最后一个因子是错误！未找到引用源。
阶范德蒙行列式，用错误！未找到引用源。
表示，则有错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。
同样可得错误！未找到引用源。
=（错误！未找到引用源。
）(错误！未找到引用源。
)错误！未找到引用源。
(错误！未找到引用源。
)错误！未找到引用源。
此处错误！未找到引用源。
是一个n-2阶范德蒙行列式，如此继续下去，最后得错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。
（错误！未找到引用源。
）错误！未找到引用源。
(错误！未找到引用源。
)错误！未找到引用源。
（错误！未找到引用源。
1.3 克莱姆法则(1)
教学要求
1 2 3 了解克莱姆法则的条件和结论； 认识范得蒙行列式； 熟悉掌握计算行列式的几种常用方法。
教学过程
一、克莱姆法则 条件：1）必须是 n 个方程，n 个未知数； 2）系数行列式 D 一定不等于零。 结论：1）线性方程组有唯一解； 2）唯一解为 x1
D1 D , x2 2 , D D
n 1 x2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱn 1 x3
n 1 xn
Dn ( x j xi )
i 1 j i 1
n
n
3 掌握范德蒙行列式的计算方法。 从第 n 行开始，后行减去前行的 x1 倍，再用行列式按行展开定理，提出每列元素的公 因式，找出递推规律，以此类推。 练习：书 P26 6 题（4） ，8 题（3） 。
a1n xn ann xn
a1n ann
D1 D , x2 2 , D D
由克莱姆法则，得到课本上第 24 页的定理 4、定理 5。 注意： 1）克莱姆法则的作用是为我们推导线性方程组的求解理论提供理论依据； 2）求解线性方程组时，我们很少用克莱姆法则； 3）在第一章讲克莱姆法则，告诉我们，行列式在求解线性方程组时的应用。
齐次线性方程组有非零解的充要条件 非齐次线性方程组有唯一解、无解和有无穷多解的充要条件
大连海事大学数学系 1
练习：书 P28
10 题、11 题、12 题。
二、范德蒙行列式 1 认识范德蒙行列式；
1 x1 Dn x
2 1
1 x2 x
2 2
1 x3 x
2 3
1 xn
2 xn
x1n 1
2 知道范德蒙行列式的结果；
大连海事大学数学系
范德蒙行列式的相关应用讲解
范德蒙行列式的相关应用（一）范德蒙行列式在行列式计算中的应用 范德蒙行列式的标准规范形式是：1222212111112111()n n n i j n i j n n n nx x x D x x x x x x x x ≥>≥---==-∏根据范德蒙行列式的特点，将所给行列式包括一些非范德蒙行列式利用各种方法将其化为范德蒙行列式，然后利用范德蒙行列式的结果，把它计算出来。
常见的化法有以下几种：1.所给行列式各列（或各行）都是某元素的不同次幂，但其幂次数排列与范德蒙行列式不完全相同，需利用行列式的性质（如提取公因式，调换各行（或各列）的次序，拆项等）将行列式化为范德蒙行列式。
例1 计算222111222333nn n nD n n n =解 n D 中各行元素都分别是一个数自左至右按递升顺序排列，但不是从0变到n r -。
而是由1递升至n 。
如提取各行的公因数，则方幂次数便从0变到1n -.[]21212111111222!!(21)(31)(1)(32)(2)(1)13331n n n n D n n n n n n nn n ---==-------!(1)!(2)!2!1!n nn =--例2 计算1111(1)()(1)()1111n n n n n n a a a n a a a n D a a a n ---+----=--解 本项中行列式的排列规律与范德蒙行列式的排列规律正好相反，为使1n D +中各列元素的方幂次数自上而下递升排列，将第1n +列依次与上行交换直至第1行，第n 行依次与上行交换直至第2行第2行依次与上行交换直至第n 行，于是共经过(1)(1)(2)212n n n n n ++-+-+++=次行的交换得到1n +阶范德蒙行列式：[][](1)21111(1)211111(1)(1)()(1)()(1)(1)(2)()2(1)((1))!n n n n n n n nn n nk aa a n D a a a n a a a n a a a a a n a a a a n a n k ++---+=--=-----=--------------=∏ 若n D 的第i 行（列）由两个分行（列）所组成，其中任意相邻两行（列）均含相同分行（列）；且n D 中含有由n 个分行（列）组成的范德蒙行列式，那么将n D 的第i 行（列）乘以-1加到第1i +行（列），消除一些分行（列）即可化成范德蒙行列式： 例3 计算1234222211223344232323231122334411111sin 1sin 1sin 1sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin D +Φ+Φ+Φ+Φ=Φ+ΦΦ+ΦΦ+ΦΦ+ΦΦ+ΦΦ+ΦΦ+ΦΦ+Φ解 将D 的第一行乘以-1加到第二行得：123422221122334423232323112233441111sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin ΦΦΦΦΦ+ΦΦ+ΦΦ+ΦΦ+ΦΦ+ΦΦ+ΦΦ+ΦΦ+Φ再将上述行列式的第2行乘以-1加到第3行，再在新行列式中的第3行乘以-1加到第4行得：12342222141234333412341111sin sin sin sin (sin sin )sin sin sin sin sin sin sin sin i j j i D ≤<≤ΦΦΦΦ==Φ-ΦΦΦΦΦΦΦΦΦ∏例4 计算211122222111111111nnnn nnx x x x x x D x x x ++++++=+++ （1）解 先加边，那么22111111222222222210001111111111111111111n n nn n n n nnnnnx x x x x x D x x x x x x x x x x x x ---+++=+++=+++ 再把第1行拆成两项之和，2211111122111120001111nnn n nnnnnnx x x x x x D x x x x x x =-11111112()(1)()()[2(1)]nnk j i k j j k ni j k nnnk j i i j k ni i x xx x x x x x x x x ≤<≤=≤<≤≤<≤===----=---∏∏∏∏∏∏2.加行加列法各行（或列）元素均为某一元素的不同方幂，但都缺少同一方幂的行列式，可用此方法： 例5 计算2221233312121113n n nnn nx x x D x x x x x x =解 作1n +阶行列式：122222121333312121111n nn nnnn n nz x x x z x x x D z x x x z x x x +==1()()ni j k i l k j nx z x x =≤<≤--∏∏由所作行列式可知z 的系数为D -，而由上式可知z 的系数为：211211(1)()()nn n j k i n j k li x x x x x x -=≥>≥--∑∏通过比较系数得：1211()()nn j k i n j k li D x x x x x x =≥>≥=-∑∏ 3.拉普拉斯展开法运用公式D =1122n n M A M A M A ++来计算行列式的值：例6 计算111111122122111000010010000100100001n n n n n n n n nnx x y y x x D y y x x y y ------=解 取第1，3，21n -行，第1，3，21n -列展开得： 11111111222211111111n n n n n n nn nnx x y y x x y y D x x y y ------==()()j i j i n j i lx x y y ≥>≥--∏4.乘积变换法 例7 设121(0,1,22)nk k k k k ni i s x xx x k n ==+++==-∑，计算行列式1112122n n n nn s s s s s s D s s s ---=解11121111222111nnn iii i nnn n iiii i i nnnn n n ii i i i nxxxxxD xxx -=====--====∑∑∑∑∑∑∑∑211111221222222122111122111111()n n n nn n n n nnnnj i l i j nx x x x x x x x x x x x x xxx x x x x -----≤<≤==-∏例8 计算行列式000101011101()()()()()()()()()n n n n n n n n nnnn n n n a b a b a b a b a b a b D a b a b a b ++++++=+++解 在此行列式中，每一个元素都可以利用二项式定理展开，从而变成乘积的和。
知识点总结高等代数
第二章行列式知识点总结一行列式定义1、n 级行列式111212122212n n ij nn n nna a a a a a a a a a =1等于所有取自不同行不同列的n 个元素的乘积1212n j j nj a a a 2的代数和,这里12n j j j 是一个n 级排列;当12n j j j 是偶排列时,该项前面带正号；当12n j j j 是奇排列时,该项前面带负号,即：1212121112121222()1212(1)n n nn n j j j ij j j nj nj j j n n nna a a a a a a a a a a a a τ==-∑;2、等价定义121212()12(1)n n ni i i ij i i i n ni i i a a a a τ=-∑和121211221212()()(1)n n n n n ni i i j j j ij i j i j i j ni i i j j j a a a a ττ+=-∑和3、由n 级排列的性质可知,n 级行列式共有!n 项,其中冠以正号的项和冠以负号的项不算元素本身所带的负号各占一半;4、常见的行列式1上三角、下三角、对角行列式 2副对角方向的行列式 3范德蒙行列式：二、行列式性质1、行列式与它的转置行列式相等;2、互换行列式的两行列,行列式变号;3、行列式中某一行列中所有的元素都乘以同一个数,等于用这个数乘以此行列式;即：某一行列中所有的元素的公因子可以提到整个行列式的外面;4、若行列式中有两行成比例,则此行列式等于零;5、若某一行列是两组数之和,则这个行列式等于两个行列式之和,而这两个行列式除这一行列以外全与原来行列式的对应的行列一样;6、把行列式某一行列的各元素乘以同一数然后加到另一行列对应的元素上,行列式不变;三、行列式的按行列展开1、子式1余子式：在n 级行列式ij D a =中,去掉元素ij a 所在的第i 行和第j 列后,余下的n-1级行列式称为ij a 的余子式,记作ij M ;2代数余子式：(1)i j ij ij A M +=-称为ij a 的代数余子式;3k 级子式：在n 级行列式ij D a =中,任意选定k 行和k 列(1)k n ≤≤,位于这些行列交叉处的2k 个元素,按原来顺序构成一个k 级行列式M,称为D 的一个k 级子式;当()k n <时,在D 中划去这k 行和k 列后余下的元素按照原来的次序组成的n k -级行列式M '称为k 级子式M 的余子式;2、按一行列展开1行列式任一行列的各元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值,即 按第i 行展开1122(1,2,,);i i i i in in D a A a A a A i n =+++= 按第j 列展开1122(1,2,,);j j j j nj nj D a A a A a A j n =+++=2行列式某一行列的元素与另一行列的对应元素的代数余子式乘积之和等零,即11220();i j i j in jn a A a A a A i j +++=≠或11220,().i j i j ni nj a A a A a A i j +++=≠3、按k 行k 列展开拉普拉斯定理：在n 级行列式中,任意取定k 个行k 列(11)k n ≤≤-,由这k 行k 列元素组成的所有的k 级子式与它们的代数余子式的乘积之和等于行列式的值; 4、其他性质1设A 为n 阶方阵,则A A '=； 2设A 为n 阶方阵,则n kA k A =；3设,A B 为n 阶方阵,则AB A B =,但A B A B ±≠±； 4设A 为m 阶方阵,设B 为n 阶方阵,则00A A AB BB*==*,但A B A B ±≠±;5行列式的乘法定理：两个n 级行列式乘积等于n 级行列式四、行列式的计算1、计算行列式常用方法：定义法、化三角形法、递推法、数学归纳法、拉普拉斯定理等等;具体计算时需要根据等到式中行或列元素的特点来选择相应的解题方法;方法一：递推法分为直接递推法和间接递推法;用直接递推法的关键是找出一个关于1n D -的代数式来表示n D ,依次从1234n D D D D D →→→→,逐级递推便可以求出n D 的值;方法二：数学归纳法;第一步发现和猜想；第二步证明猜想的正确性;第二步的关键是首先要得到n D 关于1n D -和2n D -的递推关系式;方法三：加边法;加边法是将所要计算的n 级行列式适当地添加一行一列或m 行m 列得到一个新的n+1或m+1级行列式,保持行列式的值不变,但是所得到的n+1或m+1级行列式较易计算;其一般做法如下：11111111111100n nn n n n n a a a a a a a a a a =或111111111111100nn nn n n a a b a a a a b a a =特殊情况取121n a a a ===或121n b b b ===;方法四：拆行列法;将所给的行列式拆成两上或若干个行列式之和,然后再求行列式的值;拆行列法有两种情况：一是行列式中有某行列是两项之和,可直接利用性质拆项；二是所给行列式中行列没有两项和形式,这时需作保持行列式值不变,使其化为两项和;方法五：析因子法;如果行列式D 中有一些元素是变数x 或某个参变数的多项式,那么可以将行列式D 当作一个多项式()f x ,然后对行列式()f x 实行某些变换,求出()f x 的互素的一次因式,使得()f x 与这些因式的乘积()g x 只相差一个常数因子c,根据多项式相等的定义,比较()f x 与的()g x 某一项系数,求出c 值,便可求得()D cg x =;2、行列式计算中常用的类型：类型一：“两条线”型行列式非零元分布在两条线上,例如,*等等;注：“两条线”型行列式一般采取直接展开降阶法计算,或用拉普拉斯定理展开,降阶后的行列式或为三角形行列式,或得到一个递推公式; 类型二：“三条线”行列式非零元分布在三条线上; 1“三对角”行列式,;注：“三对角”行列式可以按如下方法进行求解;首先得到一个一般的递推公式12n n n D pD qD --=+,然后可以用以下两种方法之一求出n D 的表达式：先计算123,,D D D 等,找出规律进行猜想,然后再用数学归纳法进行证明;间接递推法：借助于行列式中元素的对称性,交换行列式构造出关于n D 和1n D -的方程组,从而消去1n D -就可解得n D ;2“爪型”行列式;注：“爪型”行列式可以按行列提取公因子,然后化为上下三角形行列式进行求解;3Hessenerg型行列式;类型三：各行列元素之和相等或多数相等仅个别不相等的行列式; 注：行加法或列加法再化为三角形行列式进行求解;类型四：除主对角线外其余元素相同或成比例型行列式; 注：拆行列法或再结合其他方法进行求解; 类型五：可利用范德蒙行列式计算的行列式; 类型六：其他形式行列式;五、克莱姆法则1、克莱姆法则：如果含有n 个未知量的n 个方程的线性方程组11112211211222221122n n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩的系数行列式不等于零,即111110nn n a a D a a =≠, 则方程组有唯一解： 其中(1,2,)j D j n =是把系数行列式D 中第j 列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的n 级行列式;2、含n 个未知量的n 个方程的齐次线性方程组111122121122221122000n n n nn n nn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩只有零解的充要条件是系数行列式0D ≠；有非零解的充要条件是系数行列式0.D =。
浅析Vandermonde行列式的相关性质及其应
分类号：单位代码： 106 密级：一般学号：本科毕业论文（设计）题目：浅析Vandermonde行列式的相关性质及其应用专业：数学与应用数学姓名：王昆指导教师：张庆祥职称：教授答辩日期：二〇一〇年五月九日浅析Vandermonde行列式的相关性质及其应用摘要：在高等数学的学习中，行列式无疑是一个重点和难点，它是后续课程线性方程组、矩阵、向量空间和线性变换的基础。
而行列式的计算具有一定的规律性和技巧性。
Vandermonde行列式是一类很重要的行列式。
本文系统的阐述了Vandermonde行列式的相关性质及其应用,通过各种方法说明了行列式中的一些计算问题以及如何利用Vandermonde行列式计算一般的行列式，用多个例子论述并总结了Vandermonde行列式在科研和实践生活中的应用。
关键字：行列式；Vandermonde行列式；加边计算法；多项式The Analysis for the Relevent Properties and Applicationsof Vandermonde DeterminantAbstract：Within the study of Higher Mathematics, determinant obviously being important and difficult, was the basic of lated courses including Linear Equations, Vector spaces, Matrix, Linear transformation. There was a series regulations and skills in calculation of determinant. And Vandermonde determinant was an important determinant. Firstly, this thesis described the related properties and the applications of Vandermonde determinant systermatically. Secondly, it illustrated several issues of Vandermonde determinant and how to take use of Vandermonde determinant to calculate the general determinant through some approaches. Finally, this thesis instructed and concluded the applications of Vandermonde determinant in scientific study and practice.Key words：d eterminant; Vandermonde determinant; calculating method by adding side; polynomial1 引言在中学数学和解析几何里，我们学习过两个未知量和三个未知量的线性方程组及其解法。
范德蒙德行列式的两种形式
范德蒙德行列式的两种形式说到范德蒙德行列式，哇，真是个让人又爱又恨的数学概念。
听起来好像高深莫测，其实它就像一道美味的菜，吃的时候你会觉得特别过瘾，搞明白了之后，绝对让你有种“原来如此”的恍惚感。
想象一下，你走进一个数学课堂，教授一脸严肃地站在黑板前，开始讲解这道神秘的行列式，大家都一脸懵逼，心里想：“这又是什么玩意儿啊？”范德蒙德行列式就像一颗珍珠，表面光滑，内里却隐藏着无数的奥秘。
咱们得明白，范德蒙德行列式有两种形式，一种是直接的行列式，另一种是它的多项式表达形式。
直接的行列式，乍一看就让人觉得眼花缭乱，数不胜数的数摆在那里，感觉就像个数学版的拼图，没拼好简直难以入手。
你知道吗，范德蒙德行列式的定义就像给这些数搭建了一个家，每一个数都有它的位置，就像每个住户都有自己的房间，谁也不能打乱这个秩序。
它的形式长得就像一个大矩阵，行和列排得整整齐齐，让人看了有种说不出的满足感。
每一行的元素都是从一组特定的数中提取的，形成了一个华丽的数学舞蹈，真是让人忍不住想要鼓掌。
咱们聊聊它的多项式形式，哎呀，这玩意儿一看就更像是个数学的“调皮鬼”。
多项式表达式可不是随便说说的，它与那个直接的行列式有着千丝万缕的关系。
想象一下，范德蒙德行列式就像一场盛大的宴会，直行列式是上菜的过程，而多项式形式就像是在展示这些美食的菜单。
多项式里，每个项都在讲述一个故事，数的组合就像调料的搭配，让整个菜肴更加美味可口。
简直就像数学界的米其林星级餐厅，让人欲罢不能。
对了，别以为范德蒙德行列式只有这两种形式，它还有个特别的性质，就是它的值总是可以被简化到一种非常简便的形式。
就像你的老妈做的家常菜，总有个“绝活”，一做就好，一道简单的家常菜也能做得色香味俱全。
这种简化的过程，真是妙不可言，像是一种魔法，数学的魅力尽在其中。
这也就是为什么很多数学家对范德蒙德行列式趋之若鹜，想要一探究竟。
咱们再来聊聊它的应用，哇，那可真是一个广阔的天地。
范德蒙德行列式在很多领域都能大显身手，特别是在代数和数论中，简直就是个“万金油”。
广义Vandermonde行列式
广义Vandermonde 行列式作者：袁敏 指导老师：舒阿秀摘要 Vandermonde 行列式是行列式的一种特殊形式，而广义Vandermonde 行列式是Vandermonde行列式的一种推广形式，在实际应用中占有十分重要的地位，如在Hermite 插值问题适定性证明等问题中都可以用到它. 本文主要在Vandermonde 行列式基础上介绍广义Vandermonde 行列式及其性质、计算与应用，并在此基础上加以适当推广，介绍增次广义Vandermonde 矩阵的含义和一些相关性质.关键词 Vandermonde 行列式 广义Vandermonde 行列式 增次广义Vandermonde 矩阵1引言在高等代数中，行列式是一个极其重要的概念，而Vandermonde 行列式又是行列式的一种特殊形式，目前许多文献都对它进行了广泛的研究并得到了许多丰富的成果. 本文主要在Vandermonde 行列式的基础上对广义Vandermonde 行列式及其性质、应用等进行一些归纳和讨论.1.1 Vandermonde 行列式的定义称形如12322221231111123111...1........................n nn n n n nD a a a a a a a a aaaa----=(1.1)的行列式为n 级范德蒙德（V andermonde ）行列式.1.2 性质任意的(2)n n ≥级范德蒙德行列式等于12,,,n a a a 这n 个数的所有可能的差i α-j α(1)j i n ≤<≤的乘积. 用连乘号，这个结果可以简写成123222212311111123111...1......()..................n nijj i nn n n n na a a a a a a a a a aaaa≤<≤----=-∏由这个结果立即得出，V andermonde 行列式为零的充分必要条件是12,,,n a a a 这n 个数中至少有两个相等.2 广义Vandermonde 行列式 2.1 定义设m 维向量21(;)(1,,,...,)m F m λλλλ-=,它对λ的一阶导数为()2(;)0,1,2,...,(1)m F m m λλλ-'=- （2.1）同样可以定义(;)F m λ对λ的k 阶导数()(;)k F m λ，显然，当k m ≥时，()(;)k F m λ是零向量，令(1)F(,)1F (,)1!1F (,)(;;)2!...1F (,)(1)!d d mm m m F d m m d λλλλλ-⨯⎡⎤⎢⎥⎢⎥'⎢⎥⎢⎥''⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦ （2.2）考虑如下的Vandermonde 型的12(...)t d d d m +++⨯阶矩阵11221212F(;;)F(;;)(,,...;,,...;)...F(;;)t t t t d m d m V d d d m d m λλλλλλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦（2.3） 这里,1,2,...,i d N i t ∈=.显然，当12...t d d d m +++=时，1212(,,...;,,...;)t t V d d d m λλλ是m 阶方阵.当i λ在（2.3）式中不出现时，约定0i d =，这里仍写成121112111212(,,...,,,...,;,,...,,,...,;)(,,...;,,...;)i i t i i t t t V d d d d d m V d d d m λλλλλλλλ-+-+≡ （2.4）显然，行列式1212(,,...;,,...,;)t t V d d d m λλλ是通常的Vandermonde 行列式2111121222121211...1...(,,...,)()...............1...n n n i j j i n n n n n V λλλλλλλλλλλλλλ--≤<≤-==-∏的一种推广，即当12...1t d d d ====时，有121212(,,...;,,...;)(,,...),tt tV m V d dd λλλλλλ=.以下称1212(,,...;,,...;)t t V m d d d λλλ为广义Vandermonde 行列式.2.2 性质定理 设12121,1,...,1,...t t d d d d d d m ≥≥≥+++=且，则有 1212(,,...;,,...;)t t V m d d d λλλ=1223341......2131132422....1()()()()()()()t t t t d d d d d d d d d t t dt t λλλλλλλλλλλλλλ-⎡⎤⎡⎤⋅⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤⋅⋅-⎢⎥⎣⎦------- （2.5）证明 将1212(,,...;,,...;)t t V m d d d λλλ的第1,2,...,2,1m m --列各乘以1()λ-，然后分别加到第,1,2,...,2m m m --列，并按第1行展开得到一个1m -阶行列式，设为1V ，也即11212(,,...;,,...;)t t V V m d d d λλλ==111111121122113211211112122212122122121112112221132212121()().........() (00)0...1...()()().........()1.........m m m d d m d m m m m m m C C C C C C C C C C C C C C λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ----------------------22211321211122221111112212.....................000...1...()....................()()........()0...1...t t t tm d d m d m m m t t tt t t t d m d d m d m m C C C C λλλλλλλλλλλλλλλλλ--------------------（1V 是1m -阶） 显然1V 的第一行是1m -维向量1(;1)F m λ-，1V 的第二行是1132121(0,1,,...,)m m C C λλ--， 1V 的第三行是2243121(0,0,1,,...,)m m C C λλ--，………1V 的第11d -行是1111221121(0,0,...,0,1,,...,)d d m d d m C C λλ-----. 从而知1V 的前11d -行是11(;1;1)F d m λ--，又易知21λλ-是1V 的第1d 行各元素的公因子，故第1d 行可变成（将21λλ-提到行列式的外边相乘）：222222;1(1,,,...,)()m m F λλλλ--=.再把第1d 行乘以1-加到第11d +行上去，得第11d +行为()()1011011021212113222112221211321221222120,(),(),...,()0,,(),...,()m m m m m m C C C C C C CC C c c λλλλλλλλλλλλλλλ------------=---它也有公因子21λλ-，也提到行列式外边相乘，这时，第11d +行变成11322222(0,1,,...,)(;1)m m C C F m λλλ--'=-. 再把第11d +行乘以1-加到第12d +行，于是第12d +行变成为()()2122122132432221432312323122224221321232120,0,(),(),...,()0,0,(),(),...,()m m m m m m m C C C C C C C CC C C C λλλλλλλλλλλλλλλ----------------，它也有公因子21()λλ-，可提到行列式外边相乘，这时，第12d +行变为21(;1)2!F m λ''-，这样一直进行到第121d d +-行（共2d 次）为2(1)221(;1)(1)!d F m d λ---，而提出到行列式外面的因子为221()d λλ-，同理，可依次得到1V 的其余121m d d --+行，最后得出1122112112122F(;1;1)F(;;1)()...F(;;1)()(,,...,;1,,...,;1)ii td i i t t td i t t i d m d m V d m V d d d m λλλλλλλλλλ==---=--=---∏∏即有212122111212(,,...;,,...;)()...()V(,,...,;1,,...,;1)tt t d d t t t V m d d d m d d d λλλλλλλλλλ=---- （2.6）反复用（2.6）式即得（2.5）式：()1211212112122123231212123(,,...;,,...;)()V(,,...,;1,,...,;1)...=()V(,,...,;,,...,;)...=()()...()ii j i t t t td it t i d t d i t t i d dt t d d d i j t t i j V m d d d m d d d m d d d d λλλλλλλλλλλλλλλλλλλ==-===---=⎛⎫--= ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∏∏∏∏1.t d -于是定理得证.2.3 应用在Hermite 插值问题适定性的证明中将用到广义Vandermonde 行列式，下面我们将介绍这个应用.首先，我们陈述一下Hermite 插值问题.对1,2...,()i s s z +=∈ ,设i x R ∈是第i 个插值结点,且s 个结点互异；设ix z +∈是关于第i 个结点的插值重度，记()k i y R ∈为关于第i 个结点k 阶导数的任意给定参数(0,1,...,1)i k α=-，确定满足条件：()()()(0,1,...,1;1,...,)k k n i i i p x y k i s α==-=的一元n 次多项式()n p x ，其中01,1si i n Z n α=∈+=∑，且称上条件为Hermite 插值条件；称满足Hermite 插值条件的一元n 次多项式()n p x 为Hermit 插值多项式.现在我们给出Hermite 插值问题的直观性证明.定理2.1[1] Hermit 插值多项式是存在唯一的.证明 记一元多项式()n p x 为01()...n n n p x c c x c x =+++，其中(0,1,...,)i c i n =为待定系数，利用上Hermite 插值条件可得如下关于待定系数01,,...,n c c c 的方程组1()111...,!0,...,1;1,...,.k k k n k k k k i k n i n i i C c C x c C x c y k k i s α-++⎧+++=⎪⎨⎪=-=⎩ 显然上方程组的系数矩阵为广义Vandermonde 矩阵V ，利用定理2.1由插值结点互异知，广义Vandermonde 行列式不等于0，从而上方程组的解存在且唯一.定理2.2 Hermit 插值多项式可表为111111,,...,,...,()/,...,,...,,...,ns n s s s x x x x p x V x x y V αααα⎡⎤=-⎛⎫⎢⎥⎣⎦ ⎪⎝⎭其中(1)(0)(1)111(,...,);(,,...,),(1,...,)1!(1)i T s i i i i i y y y y y y y i s αα-===- .证明 参见文献[1].另外，在图书流通管理中可应用广义范德蒙德（V andermonde ）行列式的纵向思维过程；关于WJ-A VE5数字特技机在电视节目制作过程中的使用可应用广义范德蒙德（Vandermonde ）行列式的统计运算功能；目前许多行业，如饲料工业上的应用、肉碱在畜禽水产养殖上的应用、计算机应用基础课程教学模式的探讨、计算机辅助教学课件的应用分析等等，都在利用数学模拟计算方法包括广义范德蒙德（V andermonde ）行列式在内的一系列的基础数学理论，以精确的理论数据进行可维护的实践操作. 另外上定理可将控制论中许多关于iA e 的计算得到简化.3 增次广义Vandermonde 行列式 3.1 定义对于第2节中给出的广义范德蒙德行列式的定义（2.4），若去掉1212(,,...;,,t V d d λλλ...;t d )m 的第1,...,r k k 列，11...,1r k k m r m ≤<<≤≤≤，而在末尾增加诸i λ次数顺序为,...,1m m r +-的列，则所得矩阵称为增r 次广义Vandermonde 矩阵，记为111(,...,;,...,;;,...,)t t r V d d m k k λλ=111111112221111111131311111112212112111111122221.........01..........................................00.........1.........1...rrrrrrk k k k m rk k k k m r k k k k m r d m d rm r C C C C C C C λλλλλλλλλλλλλλλλλ---+-----+---+--+-+111111222212222313111111122222222212112......01..........................................000.........1...............................rr rrrrk k k km rk k k k m rk k k k m r d m d r m r C C C C C C C λλλλλλλλλλλ---+-----+---+--+-+111111222131311111112222111...........1.........01 (00).........1.........rrrrrrt t k k k k m rt t t t t t t k k k k m rt k t k t k tk t m r td m d r m r t C C C C C C C λλλλλλλλλλλλλλ---+-----+---+--+-+⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭3.2性质Laplace 定理的引理 行列式D 的任一k 阶子式M 与它的代数余子式A 的乘积MA 中的每一项都是D 的一项，而且符号一致.定理3.1 11111(,...,;,...,;;)(,...,;,...,;)t t t t k V d d m k V d d m λλλλτ-=⋅. （3.1） 证明 11(,...,;,...,;;)t t V d d m k λλ是111(,...,,;,...,;1;1)t t t V d d m λλλ++的按最后一行展开式中项11k t λ-+的系数1×(1)m k++-，而13221341112131132422111112121(,...,,;,...,;1;1)()()()()()()...()()(,,...;,,...;)()t t tti id d d d t t t t td d d d d d d t t t t i i td t i t t i V d d m V m d d d λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ-+-+=+=⎡⎤+=--⋅⋅⋅-⎣⎦⎡⎤⎡⎤⋅--⋅⋅⋅-⋅⋅--⎣⎦⎣⎦=⋅-∏∏.再由韦达定理知11()i td t i i λλ+=-∏中11k t λ-+的系数为(1)1(1)m k k τ----，所以1(1)11111(,...,;,...,;;)(,...,;,...,;)(1)(1)m k m k t t t t k V d d m k V d d m λλλλτ++---=⋅-⋅-.化简即得（3.1）式.推论3.1 111111(,...,;,...,;;)(,...,;,...,;)(...)t t t t t t V d d m m V d d m d d λλλλλλ=⋅++. 推论3.2 当12...1t d d d ====时，有：111(,...,;1,...,1;;)(,...,)t t k V m k V λλλλτ-=，且仅当k t =时，有111(,...,;1,...,1;;)(...)()t t ijj i tV m t λλλλλλ≤<≤=++-∏.推论3.3 若()i j i j λλ≠≠，则1212(,,...;,,...;)t t V d d d m λλλ的秩为m . 推论3.4 若1(),0i j k i j λλτ-≠≠≠，则11(,...,;,...,;;)t t V d d m k λλ的秩为m . 推论3.5 若12(),(...)0i j t i j λλλλλ≠≠++≠时，1(,...,;1,...,1;;)t V m t λλ的秩为m . 推论3.6 若11(),(...)0i j t t i j d d λλλλ≠≠++≠时,11(,...,;,...,;;)t t V d d m m λλ的秩为m .定理3.2 12121112111221(,...,;,...,;;;)(,...,;,...,;)()t t t t k k k k V d d m k k V d d m λλλλττττ----=-.证明 设1121(,...,,,;,...,,1,1;2)t t t t V d d m λλλλ+++按最后两行展开后， 121221121111111112121122k k k k k k t t t t t t k k t t λλλλλλλλ------++++++--++=- 的系数为12,k k D ，则1212121112,(,...,;,...,;;;)(1)m m k k t t k k V d d m k k D λλ+++++=-从而112111122111(,...,,,;,...,,1,1;2)(,...,;,...,;)()()()jit t t t t t ttd d t i t j t t i j V d d m V m d d λλλλλλλλλλλλ++++++==+=⋅---∏∏.注意到11()i td t i i λλ+=-∏,展开式中111211,k k t t λλ--++的系数分别为11111212(1),(1)m k m k k k ττ-+-+----；而21()jtd t j j λλ+=-∏展开式中221222,k k t t λλ--++的系数分别为22221212(1),(1)m k m k k k ττ-+-+----，于是1121(,...,,,;,...,,1,1;2)t t t t V d d m λλλλ+++中121112,k k t t λλ--++的系数是12121212(1)(1)m k m k k k ττ-+-+-----12122121(1)(1)m k m k k k ττ-+-+----.由Laplace 定理的引理知：121212121111211121221(,...,;,...,;;;)(,...,;,...,;)(1)()(1)k k t t t t m m k k k k k k V d d m k k V d d m λλλλττττ--+++++----=⋅--⋅-化简上式即得定理成立.推论3.7 若12121221(),ij k k k k i j λλττττ----≠≠≠，则11(,...,;,...,;)t t V d d m λλ的秩为m .3.3 计算例1 计算234623524234623523461012346001361510123461x x x x x x x x x x x x V y y y y y y y y y zz z z z =.解63232V (x ,y ,z ,u ;3,2,1,1;7)()()()()()()y x z x z y u x u y u z =------. V是V(x,y,z,u;3,2,1,1;7)的按最后一行展开式中5u 项系数⨯6+7（-1），得63267632()()()[(32)](1)()()()(32).V y x z x z y x y z y x z x z y x y z +=----++⨯-=---++例2 计算236725645236725623671012367013152110123671x x x x x x x x x x x x V y y y y y y y y y zz z z z =. 解 6323213V (x ,y ,z ,u ,v ;3,2,1,1,1;8)()()()()()()(y x z xz yu x u y u z v x=------- 21()()()v y v z v u ---V 是V(x,y,z,u,v;3,2,1,1,1;8)的按最后两行展开中45455445u u u v u v v v=-项系数5678(1)+++⨯-，得321()()()u x u y u z ---中43,u u 的系数为2343(1),(1)ττ--，54,v v 的系数为254(1),(1)ττ--，所以6322453()()()()V y x z x z y τττ=----.结 束 语本文主要在Vandermonde 行列式的基础上对广义Vandermonde 行列式的概念、性质及其应用等加以归纳和讨论，并在此基础上适当推广，讨论了增次广义Vandermonde 行列式的含义、性质与计算. 由于广义Vandermonde 行列式的应用较为广泛，目前在这方面的研究已经取得了丰硕的成果，对此本文不再深入讨论.参考文献[1] 盛中平. 林正华, 广义Vandermonde行列式及其应用[J]，高等学校计算数学学报，3（1996），217-225.[2] 邱建霞. 吴康，广义Vandermonde行列式的再推广[J]，西华师范大学学报(自然科学版)，25：3（2004），328-332.[3] 王向东,，广义Vandermonde行列式[J]，佛山科学技术学院报，19：1（2001），1-4.[4] 邱建霞，增次广义Vandermonde行列式[J]，大学数学，21：3（2005），85-90.[5] 邱建霞，增次广义Vandermonde行列式的计算[J]，高等数学研究，9：1（2006），19-21.[6] 普丰山. 陈军，广义Vandermonde行列式及其应用[J]，河南科学，24：5（2006），26-28.[7] SEYMOURL Inpschut. Schaum’s outline of Theory and problems of Linear Algebra [M]. McGraw 2 Hill Book Company, 1968Generalized Vandermonde DeterminantAuthor: Yuan Min Supervisor: Shu AxiuAbstract: Vandermonde determinant is a special determinant, and generalized Vandermonde determinant is promotion of Vandermonde determinant which is important in practical application. For instance, it can be used to solve the question of qualitative property of Hermit interpolation. In this paper , we introduced the property , calculation and application of generalized Vandermonde determinant, extended appropriately ,and introduced the definition and property of generalized additional involution Vandermonde matrixesKey words: Vandermonde determinant; generalized Vandermonde determinant;generalized additional involution Vandermonde matrixes。
关于行列式两个定理的证明
关于行列式两个定理的证明摘要：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和及任意k行（列）中一切k阶子式与其代数余子式的乘积之和，行列式是从解线性方程组诞生出来的,它的应用非常广泛且早己超出代数的范畴,成为几何、分析、方程、统计等许多数学分支的基本工具。
因此,对行列式的学习应予足够重视。
对行列式的证明也是众多初学者感觉较为困难的问题。
本文就行列式的两个定理的证明谈谈自己的看法。
关键词：Cramer定理；Vandermonde行列式；证明方法本文首先借助于三阶行列式介绍克莱姆定理以及范德蒙行列式的一些简洁证明方法.1 Cramer 定理定理1 设方程组（1）的系数行列式D≠0，则方程组（1）有唯一解：（2）其中证明：首先证明（2）是（1）的一组解，因为这足以说明（2）满足方程组（1）的第一个方程。
同样，假设把上述四阶行列式的第一行换成a2，b2，c2，d2，同样按第一行展开，可证（2）满足（1）的第二个方程，把a3，b3，c3，d3，换第一行，可证满足第三个方程，从而得证（2）满足方程组（1）。
再证唯一性，我们设x=x0，y=y0，z=z0是方程组（1）的任意一组解，那么，利用同样的方法可证：定理2 令方程组（3）的系数行列式D≠0，则方程组（3）有唯一的解：（4）其中证明：本定理证明方法可参考定理1，首先证明（4）是方程组（3）的一组解。
因为这样就证明了（4）为（3）的一组解。
下面再证明（3）只有一组解（4），现在假设（3）的任一组解为：那么，，同理可以证明这便完成定理得证明.2 Vandermonde行列式定理3证明：当a1，a2，a3中有相等的，定理当然成立。
下面我们证明三者两两互异的情形，令（5）那么按第3列展开可知f（x）是二次多项式，f（x）有两个根a1和a2。
因此（k是待定系数）再由（5）式可以得出则有，证明完毕定理4 令换言之，就是要证明证明：如果a1，a2，…，an中有相等的，该定理显然成立。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
范德蒙行列式不等于0充要条件
1. 引言
在线性代数中，范德蒙行列式是一种重要的概念，它在矩阵、方程组以及插值多项式的求解中都有广泛的应用。
而范德蒙行列式不等于0充要条件则是一个值得深入探讨的主题。
本文将从浅入深地探讨范德蒙行列式的概念及其重要性，最终论证范德蒙行列式不等于0充要条件的结论。
2. 范德蒙行列式的概念及应用
让我们回顾一下范德蒙行列式的定义。
给定n个不同的实数或复数x1, x2, ..., xn，将它们按一定的次序排成n行，并且规定它们的次序以后不再更改，则由这n个数按照这个次序排成的行列式称为范德蒙行列式，记作V(x1, x2, ..., xn)。
范德蒙行列式在代数方程组的求解、插值多项式的构造以及曲线拟合等领域中都有着重要的应用。
3. 范德蒙行列式不等于0的意义
接下来，让我们探讨范德蒙行列式不等于0的意义。
范德蒙行列式不等于0意味着所给定的n个数x1, x2, ..., xn满足某种特定的条件，这
种条件反映了这n个数之间的关系。
在实际问题中，范德蒙行列式不
等于0意味着一组数据具有一定的规律性和相关性，这对于数据处理、曲线拟合等问题具有重要的指导意义。
4. 范德蒙行列式不等于0充要条件的证明
现在，让我们探讨范德蒙行列式不等于0充要条件的证明。
我们可以
根据行列式的展开定理来证明这一结论。
我们可以利用线性代数的知识，通过对n维向量空间的变换及其性质来进行推导。
我们还可以从
数学分析的角度来看待这个问题，利用函数的性质和连续性来论证。
5. 个人观点和理解
在我看来，范德蒙行列式不等于0充要条件的结论是线性代数中一个
非常重要且基础的结论。
它不仅为我们提供了在实际问题中处理数据
和方程组的重要工具，同时也反映了数学中抽象概念和实际问题之间
的深刻联系。
在今后的学习和工作中，我会更加深入地理解范德蒙行
列式及其应用，努力将这些知识用于实际问题的解决中。
6. 总结
范德蒙行列式不等于0充要条件是线性代数中的一个重要概念，它在
代数方程组、插值多项式、曲线拟合等问题中有着重要的应用。
通过
本文的探讨，我们对范德蒙行列式的概念及其应用有了更深入的理解，同时也证明了范德蒙行列式不等于0充要条件的结论。
希望本文的内
容能够对您有所帮助，同时也期待在您未来的学习和工作中能够更好
地应用这些知识。
7. 范德蒙行列式在实际问题中的应用
除了在代数方程组、插值多项式、曲线拟合等数学问题中的应用外，
范德蒙行列式还在实际问题中具有广泛的应用价值。
在工程领域中，
我们常常需要利用已知的数据来进行曲线拟合，以便预测未来的趋势
或进行参数的估计。
范德蒙行列式的不等于0充要条件的结论可以为
我们提供一种有效的数据处理工具，使得我们能够更准确地进行曲线
拟合和参数估计，从而为工程设计和决策提供更可靠的依据。
另外，在经济学和金融学领域中，范德蒙行列式的概念也得到了广泛
的应用。
在经济数据分析中，我们常常需要对已有的数据进行插值估
计或曲线拟合，以便预测未来的经济走势或进行政策制定。
范德蒙行
列式的不等于0充要条件的结论可以为我们提供一种有效的数据处理
方法，使得我们能够更加准确地进行经济预测和政策分析，从而为经
济发展和政策制定提供更有力的支持。
8. 范德蒙行列式与人工智能的关系
近年来，随着人工智能技术的飞速发展，数据处理和计算能力的需求
也日益增加。
范德蒙行列式作为一种有效的数据处理工具，与人工智
能技术的发展密切相关。
在机器学习领域中，我们常常需要利用已有的数据来进行模型训练和参数估计，以便进行智能决策和预测分析。
范德蒙行列式的不等于0充要条件的结论可以为我们提供一种有效的数据处理方法，使得我们能够更准确地进行模型训练和参数估计，从而为人工智能技术的发展提供更坚实的基础。
9. 范德蒙行列式在科学研究中的应用
除了在工程、经济和人工智能领域中的应用外，范德蒙行列式还在科学研究中具有重要的应用价值。
在生物医学领域中，我们常常需要利用已知的数据来进行生物参数的估计或进行生物模型的拟合。
范德蒙行列式的不等于0充要条件的结论可以为我们提供一种有效的数据处理方法，使得我们能够更准确地进行生物参数估计和模型拟合，从而为医学研究和临床诊断提供更有力的支持。
10. 结语
在本文中，我们对范德蒙行列式的概念及其重要性进行了探讨，并证明了范德蒙行列式不等于0充要条件的结论。
通过对范德蒙行列式在实际问题中的应用进行了扩展，我们发现范德蒙行列式不仅在数学领域中具有重要的应用，同时也在工程、经济、人工智能和科学研究等领域中具有广泛的应用价值。
希望本文的内容能够对读者有所启发，
同时也期待在未来的学习和工作中能够更好地应用范德蒙行列式的知识，为实际问题的解决提供更有效的方法和工具。