浅谈范德蒙行列式的构造和应用问题

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范德蒙行列式的相关应用讲解

范德蒙行列式的相关应用（一）范德蒙行列式在行列式计算中的应用范德蒙行列式的标准规范形式是：1222212111112111()n n n i j n i j n n n nx x x D x x x x x x x x ≥>≥---==-∏根据范德蒙行列式的特点，将所给行列式包括一些非范德蒙行列式利用各种方法将其化为范德蒙行列式，然后利用范德蒙行列式的结果，把它计算出来。

常见的化法有以下几种：1.所给行列式各列（或各行）都是某元素的不同次幂，但其幂次数排列与范德蒙行列式不完全相同，需利用行列式的性质（如提取公因式，调换各行（或各列）的次序，拆项等）将行列式化为范德蒙行列式。

例1 计算222111222333nn n nD n n n =解 n D 中各行元素都分别是一个数自左至右按递升顺序排列，但不是从0变到n r -。

而是由1递升至n 。

如提取各行的公因数，则方幂次数便从0变到1n -.[]21212111111222!!(21)(31)(1)(32)(2)(1)13331n n n n D n n n n n n nn n ---==-------!(1)!(2)!2!1!n nn =--例2 计算1111(1)()(1)()1111n n n n n n a a a n a a a n D a a a n ---+----=--解本项中行列式的排列规律与范德蒙行列式的排列规律正好相反，为使1n D +中各列元素的方幂次数自上而下递升排列，将第1n +列依次与上行交换直至第1行，第n 行依次与上行交换直至第2行第2行依次与上行交换直至第n 行，于是共经过(1)(1)(2)212n n n n n ++-+-+++=次行的交换得到1n +阶范德蒙行列式：[][](1)21111(1)211111(1)(1)()(1)()(1)(1)(2)()2(1)((1))!n n n n n n n nn n nk aa a n D a a a n a a a n a a a a a n a a a a n a n k ++---+=--=-----=--------------=∏ 若n D 的第i 行（列）由两个分行（列）所组成，其中任意相邻两行（列）均含相同分行（列）；且n D 中含有由n 个分行（列）组成的范德蒙行列式，那么将n D 的第i 行（列）乘以-1加到第1i +行（列），消除一些分行（列）即可化成范德蒙行列式：例3 计算1234222211223344232323231122334411111sin 1sin 1sin 1sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin D +Φ+Φ+Φ+Φ=Φ+ΦΦ+ΦΦ+ΦΦ+ΦΦ+ΦΦ+ΦΦ+ΦΦ+Φ解将D 的第一行乘以-1加到第二行得：123422221122334423232323112233441111sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin ΦΦΦΦΦ+ΦΦ+ΦΦ+ΦΦ+ΦΦ+ΦΦ+ΦΦ+ΦΦ+Φ再将上述行列式的第2行乘以-1加到第3行，再在新行列式中的第3行乘以-1加到第4行得：12342222141234333412341111sin sin sin sin (sin sin )sin sin sin sin sin sin sin sin i j j i D ≤<≤ΦΦΦΦ==Φ-ΦΦΦΦΦΦΦΦΦ∏例4 计算211122222111111111nnnn nnx x x x x x D x x x ++++++=+++ （1）解先加边，那么22111111222222222210001111111111111111111n n nn n n n nnnnnx x x x x x D x x x x x x x x x x x x ---+++=+++=+++ 再把第1行拆成两项之和，2211111122111120001111nnn n nnnnnnx x x x x x D x x x x x x =-11111112()(1)()()[2(1)]nnk j i k j j k ni j k nnnk j i i j k ni i x xx x x x x x x x x ≤<≤=≤<≤≤<≤===----=---∏∏∏∏∏∏2.加行加列法各行（或列）元素均为某一元素的不同方幂，但都缺少同一方幂的行列式，可用此方法：例5 计算2221233312121113n n nnn nx x x D x x x x x x =解作1n +阶行列式：122222121333312121111n nn nnnn n nz x x x z x x x D z x x x z x x x +==1()()ni j k i l k j nx z x x =≤<≤--∏∏由所作行列式可知z 的系数为D -，而由上式可知z 的系数为：211211(1)()()nn n j k i n j k li x x x x x x -=≥>≥--∑∏通过比较系数得：1211()()nn j k i n j k li D x x x x x x =≥>≥=-∑∏ 3.拉普拉斯展开法运用公式D =1122n n M A M A M A ++来计算行列式的值：例6 计算111111122122111000010010000100100001n n n n n n n n nnx x y y x x D y y x x y y ------=解取第1，3，21n -行，第1，3，21n -列展开得： 11111111222211111111n n n n n n nn nnx x y y x x y y D x x y y ------==()()j i j i n j i lx x y y ≥>≥--∏4.乘积变换法例7 设121(0,1,22)nk k k k k ni i s x xx x k n ==+++==-∑，计算行列式1112122n n n nn s s s s s s D s s s ---=解11121111222111nnn iii i nnn n iiii i i nnnn n n ii i i i nxxxxxD xxx -=====--====∑∑∑∑∑∑∑∑211111221222222122111122111111()n n n nn n n n nnnnj i l i j nx x x x x x x x x x x x x xxx x x x x -----≤<≤==-∏例8 计算行列式000101011101()()()()()()()()()n n n n n n n n nnnn n n n a b a b a b a b a b a b D a b a b a b ++++++=+++解在此行列式中，每一个元素都可以利用二项式定理展开，从而变成乘积的和。

范德蒙行列式及应用论文

范德蒙行列式及应用论文范德蒙行列式，又称范德蒙行列，是数学中的一个重要概念，它在线性代数、向量空间、微积分等领域有着广泛的应用。

范德蒙行列式由荷兰数学家范德蒙（Vandermonde）首先提出，它的定义和性质在很多数学分支中都发挥了重要的作用，特别是在矩阵理论、数论、代数学等领域，范德蒙行列式都有着深远的影响。

范德蒙行列式的定义是：对于给定的n个不同的数a1,a2,...,an，范德蒙行列式定义为：a1 a2 ... ana1^2 a2^2 ... an^2a1^3 a2^3 ... an^3... ... ... ...a1^n a2^n ... an^n即为由这些数按照一定顺序排列而成的矩阵行列式，其中ai^k表示ai的k次幂。

范德蒙行列式的值可以通过列主元化简为非零值，从而成为一个n阶矩阵行列式。

范德蒙行列式的应用非常广泛，下面我们来谈谈范德蒙行列式在数学中的一些重要应用。

首先，在线性代数中，范德蒙行列式是矩阵的一个重要特征，它可以用来描述矩阵的性质和结构。

通过范德蒙行列式，我们可以判断矩阵的秩、可逆性、行列式值等信息，进而用于解线性方程组、矩阵变换、特征值特征向量的求解等问题。

其次，在微积分中，范德蒙行列式也有着重要的应用。

在多元函数的求导、积分、微分方程的求解过程中，常常需要用到雅可比行列式，而雅可比行列式与范德蒙行列式有着密切的关系。

通过范德蒙行列式，我们可以求解多元函数的偏导数、雅可比行列式的值，从而解决相关的微分方程和积分问题。

另外，在数论中，范德蒙行列式也有着重要的应用。

由于范德蒙行列式的特殊性质，它经常出现在数论中的不同问题中，例如组合数学、数列求和、多项式插值等方面。

通过范德蒙行列式，我们可以推导出一些数学定理和结论，解决一些数论问题。

除了以上提到的领域外，范德蒙行列式还在代数学、几何学、概率论、信号处理、图论等领域有着重要的应用。

它不仅是数学理论研究的基础，还是许多工程技术问题的解决工具。

范德蒙德行列式的研究与应用

范德蒙德行列式的研究与应用给定n个数$x_1,x_2,...,x_n$，范德蒙德行列式定义为：$$\begin{vmatrix}1 & x_1 & x_1^2 & \cdots & x_1^{n-1} \\1 & x_2 & x_2^2 & \cdots & x_2^{n-1} \\\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\1 & x_n & x_n^2 & \cdots & x_n^{n-1} \\\end{vmatrix}$$1.行列式的值只与$x_1,x_2,...,x_n$有关，而与n无关。

2.当$x_1,x_2,...,x_n$中存在两个数相同时，行列式的值为0。

3.当$x_1,x_2,...,x_n$中的数互不相同时，行列式的值为：$$\prod_{1 \leq i < j \leq n} (x_j - x_i)$$其中$\prod$表示乘积。

1.插值多项式：给定n个互不相同的点$(x_1,y_1),(x_2,y_2),...,(x_n,y_n)$，根据这些点来构造一个插值多项式可以使用范德蒙德行列式。

具体而言，可以通过以下公式计算出多项式的系数：$$\begin{bmatrix}x_1^0 & x_1^1 & x_1^2 & \cdots & x_1^{n-1} \\x_2^0 & x_2^1 & x_2^2 & \cdots & x_2^{n-1} \\\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\x_n^0 & x_n^1 & x_n^2 & \cdots & x_n^{n-1} \\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a_0\\a_1\\\vdots \\a_{n-1}\\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}y_1\\y_2\\\vdots \\y_n\\\end{bmatrix}$$其中，$a_0,a_1,...,a_{n-1}$为待求的多项式系数。

范德蒙行列式及其应用

范德蒙行列式及其应用1 预备知识定义1.1)133(]1[p121211112111,n n n n n nx x x D x x x n x x x ---⋯⋯=,⋯⋯⋯⋯⋯⋯叫做的阶范德蒙行列式.12111121111212111n i i i n i i i n n n n nx x x D n x x x x x x x x x ---+++⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯=⋯⋯⋯⋯⋯⋯叫做阶准范德蒙行列式.定理1.2)133(]1[p ∏≤≤≤-=ni j jin x x D 1)(．证明方法一)133(]1[p由n D 的最后一行开始,每一行减去它的相邻的前一行乘以1x ,并由行列式的展开定理可得递推公式111312)())((----=n n n D x x x x x x D Λ,其中1-n D 是n x x x Λ32的n-1阶范德蒙行列式,由以上递推公式可求得∏≤≤≤-=ni j jin x x D 1)(．证明方法二将n D 看作系数与121,,-n x x x Λ有关,未知量是n x 的一元多项式．则当)1,,2,1(-==n i x x i n Λ时,0=n D ．所以121,,-n x x x Λ是n D 的根,所以,)1,2,1()(-=-n i D x x n i n Λ．又因为当j i ≠时,1),(=--j n i n x x x x ,所以*---=-)())()((12121n n n n n n x x x x x x x x x g D ΛΛ另一方面,如果将n D 按最后一列展开,可知道, n D 是n x 的n-1次多项式,且1-n n x 项的系数是n-1阶范德蒙行列式12122212111nn n n n nx x x D x x x ----⋯⋯=⋯⋯⋯⋯⋯与*可比较得 )(211n n x x x g D Λ=-．因此1121)())((-----=n n n n n n D x x x x x x D Λ；同理22122111)())((---------=n n n n n n D x x x x x x D Λ；依似类推,最后有)(1212x x D D -=．又因为11=D ,所以∏≤≤≤-=ni j jin x x D 1)(．另外利用行列式的性质可推得n 阶范德蒙行列式的性质)1(]2[p 性质1 若将n D 逆时针旋转ο90,可得值为 n n n D 2)1()1(--．性质2 若将n D 顺时针旋转ο90,可得值为n n n D 2)1()1(--．性质3 若将n D 旋转ο180,可得值为n D ．2 范德蒙行列式在行列式计算中的应用2.1 简单变形例1 计算()()()()11111nnn a a a n D a a a n -⋯-⋯⋯⋯⋯=-⋯-⋯解由范德蒙行列式性质3得!)())()((111∏∏∏=≤≤≤≤≤≤=-=---=nk ni j ni j k j i i a j a D例2 计算n+1阶行列式211111111112122222222221111111111nn n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a a b a b a b a b a a b a b a b a b D a a b a b a b a b ---+++++++++⋯⋯=⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯解从第i 行提取公因子)1,,2,1(+=n i a ni Λ,就可以得到转置的n+1阶范德蒙行列式,于是()111b nnn i iji j i n D a b =≤<≤+=-∏∏例3 计算行列式2111111212222221111n n n n n nn n x x x x x x x x x x D x x x x x ---⋯-⋯-=⋯⋯⋯⋯⋯⋯-解从第i 行提取公因子)1,,2,1(1+=-n i x x i iΛ,然后再把第1列加到第2列,之后再把第2列加到第3列,⋯,再把第n-1列加到第n 列,就得到n 阶范德蒙行列式,于是()111nii j i j i ni x D x x x =≤<≤=--∏∏．例4 计算行列式()()()()()()11112122221222212221111n nnnn n n n n n n n n n n n D n n n n ----⋯--⋯--=⋯⋯⋯⋯⋯--⋯⋯解由范德蒙行列式性质得()()()()()()()()12111111112122212122221222n n n n n n nnnn n n n n D n n n n n n n n +----⋯--⋯⋯⋯⋯⋯⋯=-⋯--⋯--()1!nn =-1!2!⋯2.2 升阶法求解例1 计算n 阶行列式221111222222221*********n n n n n n n n n n n n nnnnx x x x x x x x D x x x x x x x x --------⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯=⋯⋯解将D 升阶为下面的n+1阶行列式221111112212222212211111122122111111n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n nx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x xx x x x ----+-----------⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯∆=⋯⋯⋯既插入一行与一列,使1+∆n 是关于x x x x n ,,,21Λ的n+1阶范德蒙行列式,此处x 是变数．于是∏≤≤≤+----=∆ni j j in n x xx x x x x x 1211)()())((Λ,故1+∆n 是一个关于x 的n 次多项式,它可以写成{}ΛΛ++++-+-=∆-≤≤≤+∏12111))(1()(n n n ni j j in x x x x x x x．另一方面,将1+∆n 按其第n+1行展开,既得Λ+-+-=∆-+≤≤≤+∏11211)1()(n n n ni j j in Dx x x x,比较1+∆n 中关于1-n x的系数,既得∏≤≤≤-+++=ni j j in x xx x x D 121)()(Λ．例2 计算211122222111111111nnnnnnx x x x x x D x x x ++++++=+++L L L LL LL解将行列式增加第一行第一列并保持行列式值不变21112100011111111nnnn nx x x D x x x +++=+++L L L L LL LL把第一列乘以-1分别加到其它的列得21112111111n n n n n x x x D x x x ---=L L L L L L L L 把第一行拆分得2211111122200011111111nn n n nn nnn nx x x x x x D x x x x x x =-L L L L LL L L L L L L L L LL第一个行列式按第一行展开提取i x 后为n 阶范德蒙行列式,第二个行列式为1n +阶范德蒙行列式()()()111121nniijijii j i nj i ni D x x x x x x =≤≤≤≤==----∏∏∏∏p p()()11121n ni i i j i i j i nx x x x ==≤≤⎡⎤=---⎢⎥⎣⎦∏∏∏p2.3 套用定理法求解定理 2.3.1()12121211111211112121111,2,3,1n i n in i i i i p p p n n p p p i i i n n n n nx x x D x x x D i n x x x x x x x x x -----+⋯+++⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯==⋯=⋯-⋯⋯⋯⋯⋯⋯∑其中i p p p x x x -Λ21是1,2,3,⋯,n 中()n i -个数的正序排列,∑-in p p p x x x Λ21表示()n i -阶排列和,nD 为n 阶范德蒙行列式． W证明过程大部分是用数学归纳法给出其计算结果的,本文用代数教程中广泛使用的升阶法证明证明 ()i 在行列式1+i D 中第1i +行和()1n +列相应的元素．考虑()1n +阶范德蒙行列式()122222121111121211111111121111n n i i i i ni i i i n i i i i n n n nnx x x x x x x x f x D x x x x x x x x x x x x x x x x ----++++⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯==⋯=⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯()()()()213111n x x x x x x xx --⋯--()()()3222n x x x x xx -⋯--⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ()n x x -=()()()()121n ijj i nxx x x x x x x ≤<≤--⋯--∏ )(*()ii 由()*式的两端,分别计算多项式()f x 中i x 项的系数．在()*式的左端,由行列式计算得,ix 项的系数为行列式中该元素对应的代数余子式()()()()()111,11111i n i n i n i i A D D ++++++++=-=-在()*式的右端,由多项式计算得,由12,,n x x x ⋯为()0f x =的n 个不同根,根据根与系数的关系,ix 项的系数为()()()1212110,1,2,1nnn in i p p p ij p p p j i na x x x xx i n --⋯≤<≤=-⋯-=⋯-∑∏其中i p p p x x x -Λ21是1,2,3,⋯,n 中()n i -个数的正序排列,i p p p x x x -Λ21表示()n i -阶排列和．()iii 比较()f x 中i x 项的系数计算行列式1i D +,因为()*式的左右端i x 项的系数应相等,所以 ()()()12121111n in ii nn ii p p p ij p p p j i nD x x x xx --+-+⋯≤<≤-=-⋯-∑∏ ()()121211n in ii p p p ij p p p j i nD x x x xx --+⋯≤<≤=⋯-**∑∏()()1212110,1,2,1n nn ii p p p n p p p D x x x D i n -+⋯=-⋯=⋯-∑定理得证．利用定理可以计算各阶准范德蒙行列式,简便易行．例1计算准范德蒙行列式1234562222221234564444444123456555555123456666666123456111111a a a a a a a a a a a a D a a a a a a a a a a a a aaaaaa=解由定理,因为6,3,n i ==所以()123123416p p p ij p p p j i D a a a aa ≤<≤=-=∑∏()()12312445616ijj i a a a a a a a a a a a ≤<≤++⋯+-∏．可以看出升阶法求解中的例1套用定理求解更简单．3 范德蒙行列式在其它方面的应用例1设()21211112111111,1n n n n n n x x x a a a p x a a a ------⋯⋯=⋯⋯⋯⋯⋯⋯其中121,n a a a -,⋯是互不相同的数．(1)由行列式定义,说明()p x 是一个1n -次多项式； (2)由行列式的性质求()p x 的根．证明（1）将()p x 按第一行展开知它是x 的多项式,又1n x-的系数为()11n +-乘以一个范德蒙行列式,其值不为零（因为i a 互异）,故()p x 为关于x 的1n -次多项式．（2）取()1,2,i x a i n ==⋯,则行列式两行相同其值为零,即有()0i p a =,故121,n a a a -,⋯是()p x 的全部根．例2 设()112n n f x a a x a x-=+++L 011,,,n εεε-L 为全部的n 次单位根,证明：()()()123112211132011345122341n n nn n n n n n n na a a a a a a a a a a a a a a D f f f a a a a a a a a a a εεε-------==L L L L L L LL L L L L证明令ε为n 次原根,且假定()0,1,1iji n εε==-L 用范德蒙行列式()()()()212124211111111111n n n n n n εεεεεεεεε------∆=L L L L LLL LL左乘D ,再从每列分别提出()()()111,,n f ff εε-L 即得()()()()()()()()()()()()()()()()()()()111212121111111111n n n n n n n n n n f f f f f f D f f f f f f f f f f εεεεεεεεεεεεεεεεε----------∆==∆L L L L L LLL因为0∆≠,所以()()()()()()1101n n D f ff f f f εεεεε--==LL ．只要熟悉了范德蒙行列式使用的形式和使用技巧,便可以很好地应用范德蒙行列式了．例3 如果n 次多项式()21121n n n n n o f x a a x a x a x a x ---=+++++L 有1n +个不同的根,那么()0f x ≡．证明设121,,n x x x +L 是()f x 的1n +个不同的根,则有2111211112112222221112111100n n n n n o n nn n n o n n n n n n n n o n a a x a x a x a x a a x a x ax a x a a x a x a x a x --------+-+++⎧+++++=⎪+++++=⎪⎨⎪⎪+++++=⎩L L L L L L L L L L L L L L L L L L 上式可看作1n +个未知量10,,,n n a a a -L 1n +个方程的齐次线性方程组．其系数行列式为()2111222211121111101n n n ijj i n n n n n x x x x x x D x x x x x +≤≤++++==-≠∏p L L L L LLLL所以上式只有零解．即1100,n n a a a a -=====L 也就是说()0f x ≡.。

浅析Vandermonde行列式的相关性质及其应用毕业论文

本科毕业论文（设计）题目：浅析Vandermonde行列式的相关性质及其应用专业：数学与应用数学姓名：指导教师：职称：答辩日期：二〇一〇年五月八日浅析Vandermonde行列式的相关性质及其应用摘要：在高等数学的学习中，行列式无疑是一个重点和难点，它是后续课程线性方程组、矩阵、向量空间和线性变换的基础。

而行列式的计算具有一定的规律性和技巧性。

Vandermonde行列式是一类很重要的行列式。

本文系统的阐述了Vandermonde 行列式的相关性质及其应用,通过各种方法说明了行列式中的一些计算问题以及如何利用Vandermonde行列式计算一般的行列式，用多个例子论述并总结了Vandermonde 行列式在科研和实践生活中如何更好的应用。

关键字: 行列式；Vandermonde行列式；VandermondeVandermonde determinant of the natureand application of relevantAbstract: Within the study of advanced-math,determinant obviously bing important and difficult,was the basic of lated courses including Linear Equations，Vector spaces，Matrix，Linear transformation.There was a series regulations and skills in calculation of determinant.And Vandermonde determinant was an important determinant.Firstly,this thesis described the related natures and the application of Vandermonde determinant systermatically. Secondly,it illustrated several issues of Vandermonde determinant and how to take use of Vandermonde determinant to calculate the general determinant through some approaches.Finally,this thesis instructed and concluded how to take better use of Vandermonde determinant in scientific study and practice.Key words：Determinant; Vandermonde determinant; Vandermonde1 引言在中学数学和解析几何里，我们学习过两个未知量和三个未知量的线性方程组及其解法。

范德蒙行列式的应用探究

范德蒙行列式的应用探究
范德蒙行列式（也称为双核格式或矩阵表示）是一种数学表示，指先把问题所
考虑的因果和变量抽象为不同维度罗列（行或列），叶构成表格，其中每一格按顺序表达一次变量的关系。

这种表示能够有效地帮助任务分解者清楚地辨明任务中存在的因果关系，以便创造出一种有针对性的解决方案。

通过使用范德蒙行列式，可以把任务中存在的因果关系构建起来。

这种表示方
法既可以把任务中各个因素用文字表达出来，也可以用简洁而准确的矩阵形式来表示。

因此，范德蒙行列式具有贴切地反映任务因果关系、把握任务结构、增强理解能力等优点，在模式分析、决策分析、任务调度等行业任务中得到了广泛应用。

例如，在服务行业中常常会遇到一组要求，也被称为SLA（服务级别协议）。

SLA的结构是复杂的，可能存在若干层次的流程关系、服务因素、责任者等，因此，使用范德蒙行列式详细描述SLA能够更好地阐明其各个层次之间的关系和联系，进而针对具体情况制定完善的SLA。

此外，范德蒙行列式也可以用于任务计划，例如在新产品的研发上。

对于一项
新产品的研发，可以采用范德蒙行列式来表示船将和其他因素之间的关系，把子任务放在一起详细描述，从而分析出每一步的责任、要求、能力等，以构建一个合理有效的研发计划。

范德蒙行列式在行业任务中有着广泛的应用，它能有效地帮助任务分解者对任
务中存在的因果关系有更清晰的认识，从而为创造出一种有针对性的解决方案提供有力的指导。

(整理)范德蒙行列式及其应用

范德蒙行列式及其应用摘要:在高等代数中，行列式无疑是一个重点和难点。

它主要应用于高等代数理论，作为一种特殊的行列式——范德蒙行列式不仅具有特殊的形式，而且有非常广泛的应用.本文主要探讨范德蒙行列式在向量空间理论，线性变化理论，多项式理论中以及行列式计算中的应用.关键词:范德蒙行列式；多项式；线性变换一．范德蒙行列式定义及性质 1.范德蒙行列式的定义定义1 关于变元1x ,2x n x 的n 阶行列式122221211112111n n n n n n nx x x D x x x x x x ---= (1)叫做1x ，2x n x 的n 阶范德蒙行列式，记作n V （1x ,2x ,…n x ）.2.我们用定理证明范德蒙德行列式已知在级行列式中，第行（或第列）的元素除外都是零，那么这个行列式等于与它的代数余子式的乘积，在=中，从最后一行开始，每一行减去它相邻前一行的倍得=根据上述定理=提出每一列的公因子后得=最后一个因子是阶范德蒙行列式，用表示，则有=同样可得=（）()()此处是一个n-2阶范德蒙行列式，如此继续下去，最后得=（）()（）由以上的计算可以得出，定理1 n 阶范德蒙行列式n V （1x ,2x ,…n x ）=12222121111211...1nn n n n nx x x x x x x x x ---=∏(i j x x -).有这个结果立即得出定理2 n 阶范德蒙行列式为零的充分必要条件是1x ,2x ,…n x 这n 个数中至少有两个相等.二．范德蒙行列式的应用范德蒙行列式由于其独特的构造和优美的形式，而有着广泛的应用.下面将集中说明范德蒙行列式在行列式计算和证明及在微积分计算中的应用，并对范德蒙行列式在线性空间理论，线性变换理论，多项式理论中的应用作出探讨.1. 范德蒙行列式在多项式理论中的应用在多项式理论中，涉及到求根问题的有许多.在分析有些问题时，范德蒙行列式能够起到关键作用的，若能够熟练有效地运用范德蒙行列式，则对我们最终解决问题会有直接的帮助. 例1 证明一个n 次多项式在至多有n 个互异根. 证不妨设n>0,如果 f(x)=2012n n a a x a x a x ++++有n+1个互异的零点1x ,2x ,…n x ，1n x +，则有 ()i f x =22012=0i n+i i n i a a x a x a x ++++≤≤，11即 201121120222222012110,0,.......................0.n n nn n n n n n n a a x a x a x a a x a x a x a a x a x a x +++⎧++++=⎪++++=⎪⎨⎪⎪++++=⎩这个关于01,,...n a a a 的齐次线性方程组的系数行列式是范德蒙行列式211122222111111nn n n n n x x x x x x x x x +++=∏(i j x x -)≠0.因此010n a a a ====，这个矛盾表明，f （x ）至多有n 个互异根. 例2 设12,,n a a a 是数域F 中互不相同的数，12,,n b b b 是数域F 中任一组给定的不全为零的数，则存在唯一的数域F 上次数小于n 的多项式()f x ，使(),1,2,i i f a b i n ==.证明：设()1011n n f x c c x c x --=+++，有条件得，(),1,2,i i f a b i n ==.知101111110121221011,,.n n n n n n n n n c c a c a b c c a c a b c c ac a b ------⎧+++=⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩因为12,,n a a a 互不相同，所以，方程组的系数行列式()21111212221211101n n ji i j nn nnna a a a a a D aa a a a --≤<≤-==-≠∏.则方程组有唯一解，即唯一解小于n 的多项式，使得()1011n n f x c c x c x --=+++，使得(),1,2,i i f a b i n ==.例 3 证明：对平面上n 个点()()()12,1,,,i i n a b i n a a a ≤≤互不相等，必存在唯一的一个次数不超过n-1的多项式()f x 通过该n 个点()(),1i i a b i n ≤≤，即()i i f a b =()1i n ≤≤.证明：设()12121n n n n f x c xc x c x c ---=++++，要使()i i f a b =()1i n ≤≤，即满足关于12,,,n c c c 的线性方程组：12111211112212221212121,,.n n n n n n n n n n n n n n n n a c a c a c c b a c a c a c c b a c a c a c c b ---------⎧++++=⎪++++=⎪⎨⎪⎪++++=⎩，而该方程组的系数行列式为范德蒙行列式：121111222212111121111n n n n n n n n n n n n nn a a a a a a D a a a a a a -----------=.当12,,,n a a a 互不相等时该行列式不为零，由Cramer 定理知方程组有唯一解，即对平面上n 个点()()()12,1,,,i i n a b i n a a a ≤≤互不相等，必存在唯一的一个次数不超过n-1的多项式()f x 通过该n 个点.2. 范德蒙行列式在矩阵的特征值与特征向量中的应用例 4 A 是3阶方阵，A 有3个不同的特征值123,,,l l l ，对应的特征向量依次为123,,,a a a 令123b a a a =++.证明：2,,b Ab A b 线性无关.证 21231123()k b k Ab k A b k a a a ++=++22221122333112233()()k l a l a l a k l a l a l a ++++++=222121311222322333333()()()k k l k l a k k l k l a k k l k l a ++++++++=0.123,,a a a 线性无关，故有2111222223331101l l k l l k l l k ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 由于i j l l ≠，则0A ≠，所以方程组只有零解，即2,,b Ab A b 线性无关.例 5 设A 是n 阶矩阵，证明A 的属于不同特征值的特征向量线性无关. 证明：设12,,r λλλ是A 的两两不同的r 个特征值，非零向量12,,r ααα是其相应的特征向量，即r i r A αλα=，1i r ≤≤，假设11220r r x x x ααα+++=那么，()11220,11jr r Ax x x j r ααα+++=≤≤-，即()1110r r rjjj i i i i i i i i i i A x x A x ααλα===⎛⎫=== ⎪⎝⎭∑∑∑.由于其系数行列式()12,,0r V λλλ≠，故11220r r x x x ααα====，又0i α≠于是，0i x =，这证明了12,,r ααα线性无关.3. 范德蒙行列式在向量空间理论中的应用在向量空间理论中，我们常常会遇到需要用范德蒙行列式转化问题，通过转化，我们很容易就能得到需要的结论. 例。

关于范德蒙德行列式的性质探讨

范德蒙德行列式的应用探讨李珊珊摘要：范德蒙德行列式作为一种重要的、著名的行列式性质独特、形式优美，利用范德蒙德行列式能大大降低我们解题时的难度，起到事半功倍的效果. 本文将介绍范德蒙德行列式的概念及其性质，并且给出范德蒙德行列式在行列式计算，向量空间理论，线性变换理论，多项式理论和微积分问题五个方面较全面的具体应用，并对方法和技巧做出概括和总结.关键词：范德蒙德行列式；向量空间；线性变换；多项式；微积分中图分类号：O13Discussion on The Application of VandermondeDeterminantLi Shan-shanAbstract:The determinant is an important tool in Mathematics. It is the basis of the follow-up to the content system, such as linear equations, matrix, vector spaces and linear transformations. And it has a wide range of applications. As an important and famous determinant, Vandermonde determinant has not only unique structure, but also exquisite form. Using V andermonde determinant can greatly reduce our computation on solving problems. That is also the essence of using V andermonde determinant. This article will introduce the concept of V andermonde determinant and its calculation method and properties. What's more, this article will summarize V andermonde determinant in determinant computation, vector space, linear transformation theory, theory of polynomial and solving the problems of calculus in specific applications. And the article in the methods and techniques of Vandermonde determinant will make a summary.Keywords: V andermonde determinant; vector space; linear transformation; polynomial; Calculus1. 引言行列式在高等代数中是一个重要的数学工具，活跃在数学的各个分支. 行列式最早出现在16世纪关于求解线性方程组的问题中. 它的研究是伴随着线性代数的发展而发展起来的. 18世纪，法国著名的数学家范德蒙德（A.T.V andermonde ,1735-1796）将行列式的理论脱离线性方程组，而放到理论高度作为专门的理论进行研究，并在此基础上确立了行列式的一些性质，使行列式逐步成为一门独立的数学研究课题. 范德蒙德行列式是范德蒙德在1772年提出的一种著名的行列式，具有重要的理论研究价值和广泛的应用价值. 利用范德蒙德行列式和它的一些性质，我们可以使计算变得更为简单、直接，从而大大的提高对高等代数和数学分析中问题的计算速度. 自上世纪50年代以来，数学工作者对范德蒙德行列式的计算方法和在一些应用方面进行了研究. 不同研究者的角度、出发点和研究方向均不相同. 例如：北京大学第三版《高等代数》教材（高等教育出版社，王萼芳石生明修订）中就提到了范德蒙德行列式在行列式计算和多项式根的存在性问题中的应用. 在一些高校的学报中我们也可以找到许多范德蒙德行列式的应用. 如：徐杰在《范德蒙德行列式的应用》（职校论坛，2009）中探讨了应用范德蒙德行列式证明向量的线性相关性问题；张文治、赵艳在《范德蒙德行列式应用三则》（北华航天工业学院学报，2007）中给出了构造范德蒙德行列式计算缺项行列式；程伟健、贺冬冬在《范德蒙德行列式在微积分中的应用》（大学数学，2004）中研究了利用范德蒙德行列式求高阶无穷小和证明K 阶导数极限存在问题等等. 综上所述，虽然国内外对范德蒙德行列式的应用研究比较多，但是对应用方法技巧的总结、归纳还比较欠缺和零散，系统性、规范性不足. 针对这种情况，本文较为系统的探讨范德蒙德行列式的应用，并对方法和技巧做出了总结.2. 范德蒙德行列式的概念及其性质定义形如12322221231111123111...1........................n n n n n n na a a a a a a a a a a a ----的行列式，称为n 阶范德蒙德（V andermonde ）行列式，记为n D .范德蒙德行列式构造独特、形式优美，并且有独特的性质. 下面将给出范德蒙德行列式的各种性质.首先，范德蒙德行列式拥有普通行列式的所有性质.（1）行列互换，行列式不变；（2）以一个数乘行列式的一行（列），相当于用这数乘此行列式；（3）行列式某一行（列）是两组数的和，则此行列式等于两个行列式的和；（4）如果行列式中两行（列）成比例，则行列式为零；（5）把一行（列）的倍数加到另一行（列），行列式不变；（6）行列式中两行（列）的位置，行列式符号改变.其次，我们给出范德蒙德行列式的五个更特别的性质. 性质1 对任意的(2)n n ≥，123222212311111123111...1......()..................n n n i j j i nn n n n na a a a D a a a a a a a a a a ≤<≤----==-∏，并且0n D =的充要条件是12,,...,n a a a 这n 个数中至少有两个相等，其中∏表示同类因子的乘积.证明：对n 进行数学归纳. 当2n =时，211211n D a a a a ==-，结果正确. 假设对于1n -结论成立，即111()n i j j i n D a a -≤<≤-=-∏.则对于n 阶的情况有，在n D 中第n 行减去第1n -行的1a 倍，第1n -行减去第2n -行的1a 倍，以此类推，由下向上依次减去上一行的1a 倍，有2131122221231311212122123131111...10 0..................0...n n n nn n n n n n nna a a a a a D a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---------=------=2131122221231311212122123131.....................n n nn n n n n n nna a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---------------=1232222213111232222123111...1...()()...().....................n n n n n n n na a a a a a a a a a a a a a a a a a -------.后面这是一个1n -阶的范德蒙德行列式，根据归纳法假设，它等于所有可能差(2)i j a a j i n -≤<≤的乘积，而包含1a 的差全在前面出现了. 因之，结论对n 阶范德蒙德行列式也成立. 根据数学归纳法，可知 1()n i j j i nD a a ≤<≤=-∏.由n D =1()i j j i na a ≤<≤-∏，可知0n D =的充要条件是12,,...,n a a a 这n 个数中至少有两个相等，证毕.注 2.1 因为T n n D D =，所以范德蒙德行列式还可以写成211112122221333211...1...1..................1...n n n n nnna a a a a a a a a a a a ----，行列式的值不变.性质2 若将范德蒙德行列式n D 顺时针旋转90 ，可得1211112222(1)1233312...1...1...1..................1n n n n n n n n n nnna a a a a a D a a a a a a --------=，则有(1)(1)2(1)n n nn DD -=-.证明：因为T n n D D =，所以2111121222(1)21333211 (1)...1..................1...n n Tn n n n nnna a a a a a D D a a a a a a ----==，交换行列式的第1列与第n 列，则根据行列式的性质（6），行列式的值变为原来的-1倍，即有12111122221233312...1 (1)...1..................1n n n n n nnna a a a a a D a a a a a a ----=-，再交换所得行列式的第2列和第1n -列，行列式变为原来的2(1)-倍，即有121111222221233312...1 (1)(1)...1..................1n n n n n n n n n nnna a a a a a D a a a a a a --------=-，依次进行下去，得到最终的行列式12111122221233312...1...1...1..................1n n n n n n n n nnna a a a a a a a a a a a --------，这样进行了(1)2(1)n n --次，于是1211112222(1)12233312...1...1(1)...1..................1n n n n n n n n n n n nnna a a a a a D a a a a a a ---------=-，结论得到证明.性质3 若将范德蒙德行列式n D 逆时针旋转90 ，可得(2)nD =212111121222211111 (1)...1 (1)...n n n nnn n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a --------------，有(1)(2)2(1)n n nn D D -=-.事实上，与性质2 的证明类似，依次交换行列式的两行，我们容易得到性质3 的结果.性质4 若将范德蒙德行列式n D 旋转180 ，可得(3)nD =111112122121211111............ (1)1...11n n n n n n n n n n nn n n n n a a a a a a a a a a a a -------------，有(3)nn D D =.事实上，类似于性质2和性质3的证明，连续进行两次性质2 或性质3 的变换，就可以得到性质4 的结果.性质 5 n 阶准范德蒙1232222123(4)111112311111231231111n n nk k k k n k k k k nnnnnnx x x x x x x x D x x x x x x x x x x x x ----++++=1212,,...,1()n k n ki j p p p p p p j i nx x x x x --≤<≤=-∑∏，(1,2,,1)k n =- ，其中12,,,n k p p p - 是1,2,,n 中()n k -个数的一个正序排列，12,,,n kp p p -∑表示对所有()n k -阶排列求和.证明：在行列式中增补第(1)k +行和(1)n +列相应的元素. 考虑1n +阶范德蒙德行列式123222221231111111231231111112312311111()n n k k k k k n n kkkkknk k k k k nnnnnnnx x x x x x x x x xD x x x x x xx x x x x x x x x xx x x x x-----++++++=，按第1n +列展开，有11,12,11,11,111()1...()...()()inn n n i n n n n i j j i nD x A xA x A x A x x x x x x +++++++≤<≤=++++=---∏，其中,1(1,2,...,1)i n A i n +=+分别是21,,,...,n x x x 的代数余子式. 于是(4)(1)(1)1,1(1)n i ni n D A +++++=-. （1）对于11,12,11,11,111()1...()...()()inn n n i n n n n i j j i nD x A xA x A x A x x x x x x +++++++≤<≤=++++=---∏，由根与系数的关系（Vieta 定理）有12121,1,,...,1(1)...()n kn kn ii n p p p i j p p p j i nA x x x x x ---++≤<≤=--∑∏，由（1）式，可知1212(4),,...,1()n k n kni j p p p p p p j i nD x x x x x --≤<≤=-∑∏.3. 关于范德蒙德行列式应用的探讨前面介绍了范德蒙德行列式的概念及其性质，接下来我们将从行列式计算，向量空间理论，线性变换理论，多项式理论和微积分问题五个方面探讨范德蒙德行列式的应用.3.1 范德蒙德行列式在行列式计算中的应用范德蒙德行列式在行列式计算问题中起着举足轻重的作用. 利用范德蒙德行列式计算行列式已经被确立为一种特殊的方法被广泛使用. 下面我们来看几个例子：例1 计算行列式12322221232222123123111...1...........................n n n n n n nnnnnnx x x x x x x x D x x x x x x x x ----=.解：法1 构造1n +阶范德蒙德行列式1232222212312222212311111123123111...11......()...........................n n n n n n n n nn n n n n nnnnnnnx x x x x x x x x xD x x x x x x x x x x xx x x x x+----------=，则行列式D 为1()n D x +中元素1n x -的余子式，将行列式1()n D x +按1n +列展开得11,12,11,1()1...nn n n n n D x A xA x A +++++=+++，其中1n x -的系数为21,1,1,1(1)n n n n n n n A M M D ++++=-==-.又111()()...()()n n i j j i nD x x x x x x x +≤<≤=---∏，由根与系数的关系有1n x-的系数是1ni i x =-∑，因此在1()n D x +中1n x -的系数为11()nij i i i j nx x x =≤<≤--∑∏，所以11()nij i i i j nD x x x =≤<≤=--∑∏.法2 由范德蒙德行列式的性质 5，1212,,...,1()n k n ki j p p p p p p j i nD x x x x x --≤<≤=-∑∏，这里11()nij i i i j nD x x x =≤<≤=--∑∏.例2 证明n 阶循环行列式123121112122341.........()()...()..................n n n n n n n a a a a a a a a a a a a f f f a a a a εεε---=，其中112()...n n f x a a x a x -=+++，12,,...,n εεε是所有的n 次单位根.证明：由于12,,...,n εεε是所有的n 次单位根，其所构成的n 阶范德蒙德行列式12322221231111123111...1......0..................n n n n n n nεεεεεεεεεεεε----≠，令123121123222211212311112341123...111...1................................................n nn n n n n n n n n n na a a a a a a a D a a a a a a a a εεεεεεεεεεεε-------=⋅，再由行列式的乘法，D 的第i 行第j 列的元素是2112311......i i n ij n i n i j n jj n i jd a a a a a εεεε----+-+-+=++++++，1,2,...,i n =，规定n k k a a +=.由于22cossin,(1,2,...,)m m m i m n ππεππ=+=，所以1mm εε=.于是(2)(1)(1)23111111......jj i j i j i ij n i n i n n i d a a a a a εεεε----+-+-+=++++++.又11nε=，因而(1)11,,1,2,...,j i ij j d d i j n ε-==.而右端的数恰好为行列式111231222221231311111231111...100...0 00...0. 00...0....................................nn n n n n nna a a a εεεεεεεεεεεε---- 的第i 行第j 列的元素，即上面的行列式也等于D ，且原循环行列式的值为11121...n a a a ，由行列式D 的形状可知：1112...(),1,2,...,n j j n jj a a a a f j n εεε-=+++==.于是再根据行列式的性质有1232341(1)(2)2345212121.........(1)()()...()..................n n n n nn a a a a a a a a a a a a f f f a a a a εεε---=-.通过对上述例题的分析，可归纳出构造和利用范德蒙德行列式来计算行列式的一些技巧：① 观察要计算的行列式是否具有范德蒙德行列式的的某些结构特征； ② 通过适当的方法构造范德蒙德行列式；③ 结合范德蒙德行列式以及题目的要求进行行列式的求解；④ n 阶循环行列式的解法以多项式理论为基础，结合范德蒙德行列式进行求解，方法简便易行，具有一定的实用价值.3.2 范德蒙德行列式在向量空间理论中的应用向量空间有时也称为线性空间，它是线性代数最基本的概念之一，也是我们在高等代数的学习中接触到的第一个抽象的概念. 向量空间与其子空间的关系问题，向量空间中向量的线性相关性问题都是向量空间研究的重点和难点，对逻辑推理有较高的要求. 对于判断、证明、计算向量空间中相应问题多往往比较难. 但将其与行列式适当结合，特别是与范德蒙德行列式相结合时，题目就会变得容易理解和掌握，如下面几个例子：例3 设V 是数域F 上的n 维向量空间，则V 不能写成它的有限个真子空间的并.证明：对n 进行数学归纳. 当1n =时，显然成立.设1n >时，令123,,,...,n a a a a 是V 的一组基，设1*12{...|}n n S a ka k a k F V -=+++∈⊂, 其中*F 是F 中元素的集合，令*112:,...n n F S k e ke k e ϕ-→→+++，其中12,,...,n e e e 是单位向量，则易证ϕ是双射,从而S 中有无穷多个不同的元素.设i V （1,2,...i t =）为V 的真子空间，则S 中的元素在i V 中的个数小于n . 否则，若,1,2,...,j i V j n β∈=,111121112........................................n n n nn n n a k a k a a k a k aββ--⎧=+++⎪⎨⎪=+++⎩,即211111121222222133333211...1...1 (1)...n n n n nn nnn a k k k a k k k a k k k a k k k ββββ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,则由,,1,2,...,,i j k k i j n i j ≠=≠知123,,,...,n a a a a 的系数行列式为范德蒙德行列式，由范德蒙德行列式的性质 1知系数行列式非零，故,1,2,...,j k a V j n ∈=.进而,1,2,...,i V V i t ==矛盾, 从而S 中只有有限多个元素在1ti i V = ，即V 不能写成它有限个真子空间的并的形式.例4 设V 是数域F 上的n 维向量空间，任给正整数m n ≥，则在V 中存在m 个向量，其中任取n 个向量都线性无关.证明：因为n V F ≅，所以只需在n F 中考虑即可. 取211(1,,,...,)n a c c c -=,222122(1,,(),...,())n a c c c -=, .......................................... 21(1,,(),...,())m m n m m a c c c -=.令111222333212121211()...()1()...()1()...()...............1()...()nnnk k k n k k k n k k k n n k k k n c c c c c c D cc ccc c----=,121...,n k k k m ≤≤≤≤≤c为任意常数.因为111222333212121211()...()1()...()1()...()...............1()...()nnnk k k n k k k n k k k n n k k k n c c c c c c D cc ccc c----=是范德蒙德行列式，由范德蒙德行列式的性质1知n 0D ≠，所以12,,...,nk k k a a a 线性无关. 再由n V F ≅，所以结论成立.在向量空间理论中，我们经常会碰到需要用范德蒙德行列式转化的问题，通过转化我们很容易地得到所需要的结论. 而这就要求我们充分掌握范德蒙德行列式以及它的结构特征，达到灵活的使用.3.3 范德蒙德行列式在线性变换理论中的应用线性变换反映了线性空间中元素之间的一种最基本的联系，它是线性函数的推广.线性变换与行列式、矩阵联系密切. 利用行列式，尤其是范德蒙德行列式，来解决线性变换的特征值与特征向量问题能达到事半功倍的效果.例5 如果12,,...,s λλλ是线性变换的全部两两不同的特征值，(1,2,...)ii V i s λα∈=，则当12...0s ααα+++=时，必有12...0s ααα====.证明：注意到(1)i i i i s αλα=≤≤，对等式12...0s ααα+++=左右两边同时逐次作用，得112222211221111122 0...0 0s s s s s s s s s λαλαλαλαλαλαλαλαλα---+++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩，用矩阵表示为()21111212222112333211 (1)...,,...,(0,0,...,0)1..................1...s s s s s sss λλλλλλαααλλλλλλ----⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. （2）矩阵211112122221333211...1 (1)..................1...s s s s sss B λλλλλλλλλλλλ----⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭的行列式是范德蒙德行列式，并且由于12,,...,s λλλ两两不同，从而B 是可逆矩阵. 在（2）式两边右乘1B -,得()12,,...,(0,0,...,0)s ααα=，所以12...0s ααα====.例6 设数域F 上的n 维向量空间V 的线性变换σ有n 个互异的特征根12,,...,n λλλ则：（i ）与σ可交换的V 的线性变换都是21,,,...,n e σσσ-的线性组合，其中e 为恒等变换；（ii ）21,,,,...,n V αασασασα-∀∈线性无关的充要条件是1nii αα==∑，其中(),1,2,...,i i i i n σαλα==.证明：（i ）设δ是与σ可交换的线性变换，且(),1,2,...,i i i i n σαλα==，则{|}ii V k k F λα=∈是δ的不变子空间.令21121...n n xe x x x δσσσ--=++++且(),1,2,...,i i i k i n σαα==，则有下方程组21111211121212221221121.......................................n n n n n nn n n n k x x x x k x x x x k x x x x λλλλλλλλλ------⎧=+++⎪=+++⎪⎨⎪⎪=+++⎩ , （3）可知（3）的系数行列式是范德蒙德行列式，且系数行列式1()i j j i nD λλ≤<≤=-∏，因为12,,...,n λλλ互异，由范德蒙德行列式的性质 1知0D ≠.于是方程组（3）有唯一解，所以δ是21,,,...,n e σσσ-的线性组合. （ii ）先证明充分性. 因为1nii αα==∑，所以21111212222121123333211 (1)...(,,,...,)(,,...,)1..................1...n n n n n n n nnλλλλλλασασασαααααλλλλλλ-----=.且2111121222213331211...1...()01..................1...n n n i j j i nn n nnλλλλλλλλλλλλλλ---≤<≤-=-≠∏，因而211112122221333211...1...1..................1...n n n n n nnλλλλλλλλλλλλ----是可逆矩阵. 又由12,,...,n ααα是V 的一组基，可知21,,,...,n ασασασα-线性无关. 再证必要性.设12,,...,n e e e 是分别属于12,,...,n λλλ的特征向量，则12,,...,n e e e 构成V 的一组基，因而有1122...n n k e k e k e α=+++. 若0,1,2,...,i k i n ≠=则i i k e 是σ的属于i λ的特征向量，故结论成立. 若存在{1,2,...,}j n ∈使0j k ≠，不妨设12,,...,r k k k 全不为零，而1...0r n k k +===，因而有1122...r r k e k e k e α=+++，则211111111212222222212112333333321......(,,,...,)(,,...,).....................n n n n r n rr rr rr r k k k k k k k k e e e k k k k k k k k λλλλλλασασασαλλλλλλ-----⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.利用范德蒙德行列式的性质 1可知21111111121222222221333333321...........................n n n n rr rr rr r k k k k k k k k A k k k k k k k k λλλλλλλλλλλλ----⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭有一个r 阶子式不为零，所以秩（A ）=r ，从而21(,,,...,)n r ασασασα-=秩，又因为21,,,...,n ασασασα-线性无关，所以21(,,,...,)n n ασασασα-=秩.而r n <,矛盾. 所以1nii αα==∑，其中(),1,2,...,ii i i nσαλα==.在高等代数中，线性变换一直是最难的部分之一，题目的变化也很多. 在这些题目中，我们巧妙地运用范德蒙德行列式来使复杂的问题得到解决.3.4 范德蒙德行列式在多项式理论中的应用多项式是一类最常见、最简单的函数，它的应用非常广泛. 虽然多项式在整个高的代数中相对独立，然而却为高等代数的基本内容提供了理论依据. 研究多项式、多项式根的存在性问题、多项式求根问题是多项式理论中的重难点. 而多项式的求根问题又与行列式相关联，巧妙应用它们之间的联系，会起到化繁为简的作用. 例7 设01()n n f x c c x c x =+++ ，若()f x 至少有n+1个不同的根，则()0f x =. 证明：121,,,n x x x + 为()f x 的n+1个不同的根，则有齐次线性方程组20112112012222201121100n n nn n n n n n c c x c x c x c c x c x c x c c x c x c x +++⎧++++=⎪++++=⎪⎨⎪⎪++++=⎩. （4）将01,,,n c c c 看作方程组（4）的未知量.因为方程组（4）的系数行列式D 是范德蒙行列式，且1()0i j i j nD x x ≤<≤=-≠∏，由克莱姆法则知方程组（4）只有零解，从而有010n c c c ==== ，即()f x 是零多项式.例8 设12,,,n a a a 是数域F 中互不相同的数，12,,,n b b b 是数域F 中任一组给定的不全为零的数，则存在唯一的数域F 上次数小于n 的多项式()f x ，使(),1,2,,i i f a b i n == .证明：设1011()n n f x c c x c x --=+++ ，由(),1,2,,i i f a b i n == ，知21011211112101222122210121n n n n n n n n n n c c a c a c a b c c a c a c a b c c a c a c a b------⎧++++=⎪++++=⎪⎨⎪⎪++++=⎩ . (5）因为12,,,n a a a 互不相同，所以方程组（5）的系数行列式21111212222133312111()01...1n n n i j i j nn nnna a a a a a D a a a a a a a a ---≤<≤-==-≠∏.由克莱姆法则知方程组（5）有唯一解，即存在唯一的数域F 上次数小于n 的多项式1011()n n f x c c x c x--=+++ ，使得(),1,2,,i i f a b i n == .在多项式理论中，涉及到求根问题的有很多. 在分析有些题目时，范德蒙德行列式是能够起到关键的作用. 主要应用在多项式组成的方程组中，系数组成的行列式是范德蒙德行列式. 若系数行列式不为零（即范德蒙德行列式的性质 1），则由克莱姆法则知方程组只有零解. 熟练有效地运用范德蒙德行列式，对我们最终解决问题会有直接的帮助.3.5 范德蒙德行列式在微积分中的应用无穷大量、无穷小量、高阶导数和极限是微积分的主要内容. 这些概念的正确理解和掌握对学好微积分是必要的. 在解决这类问题的时候，有时巧妙地构造范德蒙德行列式变换形式，可以使问题得到容易理解的解答.例9 设f(x )在区间I 上n 阶可导(2)n ≥，若对x I ∀∈，0|()|f x M ≤，()|()|n n f x M ≤(0,n M M 是正常数）.证明：若存在1n -个正常数121,,...,n M M M -，对x I ∀∈，()|()|(1,2,...,1)k k f x M k n ≤=-.证明：设121,,,,0,()n i i j a a a I a a a i j -∈≠≠≠ 且，由泰勒公式，对1,2,...,1i n ∀=-，()()11()()()()!!k n n kni ii k fx ff x a f x a a k n ξ==+=++∑，由此得()()11()()()()!!k n n k nii i k fx fa f x a f x a k n ξ===+--∑，所以有()()101()|()||||()||()|||2,!!!k n n k nii i n k fx fA a f x a f x a M M k n n ξ==≤+++≤+∑其中11||m ax n ii n A a ≤≤-=.令1()1()()!kn k ii k a fx A x k ===∑，(x I ∈，1,2,...,1)i n =-，（6）则0|()|2!i n A A x M M n ≤+，(x I ∀∈，1,2,...,1)i n =-.由于方程组（6）的系数行列式D 为231111123122222311111...2!3!(1)!...2!3!(1)!..................2!3!(1)!n n n n n n n a a a a n a a a a D n a a a a n --------=--211112122221121333211111...1......1...1!2!...(1)!...............1...n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a n a a a --------=-右边的行列式为121,,,n a a a - 的范德蒙德行列式，由0,()i i j a a a i j ≠≠≠知0D ≠，由克莱姆法则知，存在与x 无关的常数()()()121,,...,k k k n λλλ-，使得 1()()1()(),,1,2,...,1n k k i i i fx A x x I k n λ-==∀∈=-∑,由此推得x I ∀∈，1,2,...,1k n =-11()()()0011|()||||()|||(2)!n n k k k ii ik i i A fx A x M M M n λλ--==≤≤+=∑∑.例10 设函数f(x)在x=0附近有连续的n 阶导数，且'()(0)0,(0)0,...,(0)0n f f f≠≠≠，若121,,...,n p p p +是一组两两互异的实数，证明：存在惟一的一组实数121,,...,n λλλ+，使得当0h →时，11()(0)n i i i f p h f λ+=-∑是比n h 高阶的无穷小.证明：由题设的条件，可得()i f p h ，1,2,...,1i n =+在0x =处带有皮亚诺余项的麦克劳林展开式为：()110()(0)(),!k knk nk p h f p h fo h k ==+∑（1q ）()220()(0)(),!kknk nk p h f p h fo h k ==+∑（2q ）.........................()110()(0)(),!k knk nn n k p h f p h fo h k ++==+∑（1n q +）112211()()...()n n q q q λλλ++⨯+⨯++⨯,得111()11111()(0)(1)(0)()(0)()!n n nn k k kn ii i ii i i k i f p h f f p fh o h k λλλ+++====-=-++∑∑∑∑.当0h →时，若11()(0)n i i i f p h f λ+=-∑为比n h 高阶的无穷小，则有121112211222112211112211...1...0...0 0n n n n n n n n n n p p p p p p p p p λλλλλλλλλλλλ++++++++++=⎧⎪+++=⎪⎪+++=⎨⎪⎪+++=⎪⎩，这是以121,,...,n λλλ+为未知数的线性方程组，其系数行列式有123122221231111231111...1......()0..................n n j i i j n nn nn n p p p p D p p p p p p p p p p ++≤<≤++==-≠∏，所以上述方程组有惟一的解，即存在唯一的一组实数121,,...,n λλλ+，使得当0h →时，11()(0)n i i i f p h f λ+=-∑为比n h 高阶的无穷小.例11 设f(x)至少有k 阶导数，且对某个实数α有()lim ()0,lim ()0k x x x f x x f x αα→∞→∞==. （7）试证：()lim ()0,0,1,2,...,i x x f x i k α→∞==，其中(0)()()fx f x =.证明：由条件（7）知，要证明()lim ()0i x x f x α→∞=，只要将()()i f x 写成()f x 与()()k f x 的线性组合的形式即可，利用泰勒公式，21'"(1)()()()()()...()()2!(1)!!k kk k m mmmf x m f x m f x f x fx fk k ξ--+=+++++- （8）其中,1,2,...,m x x m m k ξ<<+=.这是关于'"(1)(),(),...,()k f x f x f x -的线性方程组，其系数行列式为21211111...2!(1)!2212...2!(1)! (1)...2!(1)!k k k k D kkkk ----=-212121111 (1)122 (21133)...31!2!...(1)!...............1...k k k k kkk ---=-，后一行列式是范德蒙德行列式，且有212121111 (1)122...21!2!...(1)!133...3 (1)...k k k k kkk---=-，所以D =1. 于是可从方程组（8）把'"(1)(),(),.()k f x f x f x-写成()(1,2,...,)f x m m k +=与()()(1,2,...,)k m fm k ξ=的线性组合. 只需证明()lim ()lim ()0,(1,2,..,)k m x x x f x m x fm k ααξ→∞→∞+===.事实上，设x t x k ≤≤+，于是()()()lim ()lim ()()lim ()lim ()0,(0,)i i i x x x x x x x ft t ft t ft i k tt ααααα→∞→∞→∞→∞====.在此式中分别令,0t x m i =+=和令,m t i k ξ==，则得()lim ()lim ()0,(1,2,..,)k m x x x f x m x fm k ααξ→∞→∞+===.通过对以上例题的分析可以总结利用范德蒙德行列式解决微积分问题的方法： ① 首先要应用泰勒公式，写出函数在某点的近似解；② 根据构造函数在某点的泰勒展开形式，构造范德蒙德行列式；③结合范德蒙德行列式和题目本身进行求解.4. 结束语范德蒙德行列式为问题的求解提供了十分有效地手段. 对范德蒙德行列式的应用，不仅需要对范德蒙德行列式的形式、特点及性质熟练掌握，而且要能灵活的应用. 范德蒙德行列式应用中，构造范德蒙德行列式是解决问题的难点和关键点. 要巧妙地构造范德蒙德行列式进行解题，必须对高等数学的基础知识熟练掌握，要善于将知识衔接起来. 达到这样的境界非一日之功，因此只有打好高等数学的基础，不断地分析解决典型的题目，找出内在的规律，日积月累，对范德蒙德行列式的应用才能得到进一步的掌握.参考文献：[1] 北京大学数学系集合与代数教研室前代数小组.高等代数[M].北京：高等教育出版社，2003.[2] 华东师范大学数学系.数学分析[M]. 北京：高等教育出版社，2001.[3] 裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京：高等教育出版社，2006.[4] 邹应.数学分析习题及其解答[M].武汉：武汉大学出版社，2001.[5] 章乐.几道考研试题的推广[J].大学数学，2003.[6] 牛莉.线性代数[M].北京：中国水利水电出版社，2005.[7] 吴良森，毛羽辉，宋国栋，魏木生，数学分析习题精解[M].北京：科学出版社，2002.[8] 易大义, 陈道琦. 数值分析引论[M].杭州: 浙江大学出版社, 1998.。

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浅谈范德蒙行列式的构造和应用问题
摘要：主要介绍范德蒙行列式的定义及其性质，研究范德蒙行列式的几种构造方法和其在多项式理论中的应用问题，最后对应用方法技巧作出概括和总结。

关键词：范德蒙行列式多项式线性变换
行列式的研究是伴随着线性代数的发展而发展起来的,它最早出现在16世纪关于求解线性方程组的问题中。

18世纪,法国著名的数学家范德蒙（Van de monde）将行列式的理论脱离线性方程组，作为专门的理论进行研究，并在此基础上确立了行列式的一些性质，使行列式逐步成为一门独立的数学研究课题。

范德蒙行列式是范德蒙在1772年提出的一种著名的行列式，具有重要的理论研究意义和广泛的应用价值。

自上世纪50年代以来，数学工作者对范德蒙行列式的计算方法和一些应用进行了研究，但是对其构造方法和应用技巧的总结、归纳还比较欠缺，系统性和规范性也存在不足。

一、范德蒙行列式的定义及其性质
定义1：形如的行列式，称为x1，
x2，…，xn的n阶范德蒙行列式，记作Vn（x1，x2，…，xn）。

定理1：n阶范德蒙行列式Vn（x1，x2，…，xn）=
=（xi-xj）（1）
定理2：范德蒙行列式（1）为零的充分必要条件是x1，x2，…，xn这n个数中至少有两个相等。

二、范德蒙行列式的构造
1.利用行列变换法构造范德蒙行列式。

2.利用加边法构造范德蒙行列式。

三、范德蒙行列式在多项式理论中的应用
例：设f（x）=a0+a1x+a2x2+…+anxn，证明如果f（x）有n+1个不同的根，则f（x）为零多项式，即f（x）=0。

证明：由题设知f（x）有n+1个不同的根，不妨设为x1，…，xn+1，其中xi≠xj，i≠j，将其分别代入函数f（x）表达式，得n+1个方程如下：
a0+a1x1+a2a12+…+anx1n=0
a0+a1x2+a2a22+…+anx2n=0
a0+a1xn+1+a2an+12+…+anxn+1n=0
将a0，a1，a2，…an看作未知量得上述方程组的系数行列式为Dn+1=（xi-xj），由于xi≠xj（i≠j），因此Dn+1≠0，由克莱姆法则知，该方程组只有零解，也即
a0=a1=a2=…=an=0，因此f（x）=0。

四、范德蒙行列式在线性变换理论中的应用
例：如果λ1，λ2，…λs是线性变换的两两不同的特征值ai∈Vλ （1，2，…s），则当时
a1+a2+…+as=0时，必有a1=a2=…=as=０。

证明：注意到ai=λiai（1≤i≤s）（设是Vλ 的线性变换)，对等式a1+a2+…+as=0两边逐次作用，
得用矩阵表示为
式，由于λ1，λ2，…λs两两不同，从而B是可逆矩阵。

在上式两边右乘B-1得a1=a2=…=as=0。

五、结语
范德蒙行列式为问题的求解提供了十分有效的手段，对范德蒙行列式的应用不仅需要对范德蒙行列式的形式、特点及性质熟练掌握，而且要能灵活地运用。

只有打好数学基础，不断地分析和解决典型的题目，找出内在的规律，日积月累，对范德蒙行列式的应用才能得到进一步的掌握。

参考文献
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