《三角函数线》(课件)ppt课件
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三角函数线
P
T
O
M
A
S OPA SOPA S OAT 1 1 1 2 MP OA 1 AT OA 2 2 2 sin tan
4、比较sin11550与sin(-16540)的大小。
sin11550=sin750 sin(-16540)=sin1460
思考：
• 为了去掉上述等式中的绝对值符号，能否 给线段OM、MP、AT规定一个适当的方向， 使它们的取值与点P的坐标一致？
当角α的终边不在坐标轴上时，以O为始点、 M为终点，规定：
• 当线段OM与x轴同向时，OM的方向为正，且有 正值x； • 当线段OM与x轴反向时，OM的方向为负，且有 负值x。 • 这样，无论哪一种情况都有
75
P1 P2 M2 O M1
146
sin11550 >sin(-16540)
小结
• 1、 sin y MP
• 2、 • 3、
cos x OM
y tan AT x
• 4、有向线段：既有长度又有方向的线段
• 作业布置：课堂作业P10作业二
1、做出下列各角的三角函数线
• （1） 3
P T
O
M
A
2 • （2） 3
T
M
O
P
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
A
• 2、你能从单位圆中的三角函数线出发 得出三角函数的哪些性质吗?
y x
yx
O
3、已知 0， ，在单位圆中作出角 2
的正弦线、正切线，并证明： sin tan
• 当线段AT与y轴同向时，AT的方向为正，且有正 y • 值 ；
第五章第四节三角函数的图象与性质课件共63张PPT
偶__函__数__
__x_x__≠_k_π_＋__π2__ _R_ _π _
奇__函__数__
___2_k_π_－__π_，__2_kπ___ (kπ－π2 ，kπ＋π2 )
递减 区间 对称 中心 对称轴 方程
_2_k_π_＋__π2_，__2_k_π_＋__3_2π___ __2_k_π_，__2_k_π_＋__π_ _
(1)y＝sin x 在第一、第四象限是增函数．( )
(2)由
sin
π6＋23π
＝sin
π 6
知，23π
是正弦函数
y＝sin
x(x∈R)的一个周
期．( )
(3)正切函数 y＝tan x 在定义域内是增函数．( )
(4)已知 y＝k sin x＋1，x∈R，则 y 的最大值为 k＋1.( )
答案： (1)× (2)× (3)× (4)×
求三角函数单调区间的两种方法 (1)代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个 角 u(或 t)，利用复合函数的单调性列不等式求解．(如本例(1)) (2)图象法：画出三角函数的正、余弦曲线，结合图象求它的单调区间． [注意] 要注意求函数 y＝A sin (ωx＋φ)的单调区间时 ω 的符号，若 ω<0， 那么一定先借助诱导公式将 ω 化为正数．同时切莫漏掉考虑函数自身的定义 域．
答案： 1
3．若函数 f(x)＝sin ωx(ω>0)在0，π3 上单调递增，在区间π3，π2 上单调 递减，则 ω＝________．
解析： 法一：由于函数 f(x)＝sin ωx(ω>0)的图象经过坐标原点，由已
π 知并结合正弦函数的图象可知， 3
为函数 f(x)的14
周期，故2ωπ
__x_x__≠_k_π_＋__π2__ _R_ _π _
奇__函__数__
___2_k_π_－__π_，__2_kπ___ (kπ－π2 ，kπ＋π2 )
递减 区间 对称 中心 对称轴 方程
_2_k_π_＋__π2_，__2_k_π_＋__3_2π___ __2_k_π_，__2_k_π_＋__π_ _
(1)y＝sin x 在第一、第四象限是增函数．( )
(2)由
sin
π6＋23π
＝sin
π 6
知，23π
是正弦函数
y＝sin
x(x∈R)的一个周
期．( )
(3)正切函数 y＝tan x 在定义域内是增函数．( )
(4)已知 y＝k sin x＋1，x∈R，则 y 的最大值为 k＋1.( )
答案： (1)× (2)× (3)× (4)×
求三角函数单调区间的两种方法 (1)代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个 角 u(或 t)，利用复合函数的单调性列不等式求解．(如本例(1)) (2)图象法：画出三角函数的正、余弦曲线，结合图象求它的单调区间． [注意] 要注意求函数 y＝A sin (ωx＋φ)的单调区间时 ω 的符号，若 ω<0， 那么一定先借助诱导公式将 ω 化为正数．同时切莫漏掉考虑函数自身的定义 域．
答案： 1
3．若函数 f(x)＝sin ωx(ω>0)在0，π3 上单调递增，在区间π3，π2 上单调 递减，则 ω＝________．
解析： 法一：由于函数 f(x)＝sin ωx(ω>0)的图象经过坐标原点，由已
π 知并结合正弦函数的图象可知， 3
为函数 f(x)的14
周期，故2ωπ
课件10：1.2.2 单位圆与三角函数线
得 sin α=ON=MP,tan α=AT,又α= 的长,
所以 S△AOP= 1 ·OA·MP= 1 sin α,
2
2
1 S 扇形 AOP= ·
的长·OA= 1 ·
的长= 1 α,
2
2
2
S△AOT= 1 ·OA·AT= 1 tan α.
2
2
又因为 S△AOP<S 扇形 AOP<S△AOT,所以 sin α<α<tan 圆于 C、D 两点,连接 OC 与 OD,则 OC 与 OD 2
围成的区域(图②阴影部分)即为角α的终边的范围.故满足条件的角α
的集合为{α|2kπ+ 2π≤α≤2kπ+ 4π,k∈Z}.
3
3
方法技巧 利用三角函数线根据三角函数值的范围求角α的范围.
变式训练 2-1:角 x 在[0,2π]上满足 sin x≥ 1 ,则 x 的取值范围是( ) 2
(2)以A为原点建立y′轴与y轴同向,y′轴与α的终边(或其反向延长 线)相交于点T(或T′)(图②所示),则tan α=AT(或AT′).
我们把轴上向量 OM , ON 和 AT (或 AT )分别叫做α的 余弦线 、 正弦线 和 正切线 .
【拓展延伸】 理解三角函数线应注意的问题 对三角函数线的图形,要弄清以下几点: (1)三角函数线的位置:正弦线在y轴上,余弦线在x轴上,正切线在 过单位圆与x轴正方向的交点的切线上,三条有向线段中两条在 坐标轴上,一条与单位圆相切. (2)三角函数线的方向:正弦线与余弦线由原点指向垂足;正切线 由切点指向α终边(或其反向延长线)与切线的交点. (3)三角函数线的正负,即三条有向线段的正负:凡与x轴或与y轴同 向的为正值,反向的为负值.
三角函数图像得画法 PPT
y
1 sin x
2
y= 2s in x
y=1 sinx
2
y=1 sinx 2
O
0
2
01
3
2
2
0 -1 0
0 2 0 -2 0
01
2
0
1 2
0
y=2sinx图象由y=sinx图象（横标不变）， 纵标伸长2倍而得。
2π
x
1 y=
sinx图象由y=sinx图象（横标不变），纵标伸长
倍而得。
2
水平伸缩变换
2图像向左平移源自63横坐标不变 y 3sin( 2x )
纵坐标变为3倍
3
例4. 画出函数
y3sin2(x) xR
3
的简图.
x
y3si2xn 3 ()3si 2 (xn 6)
y sin x
5 2
3
3
6
12
3
7 12
5 6
y
ysin2(x)
y
sin(
x
3
)
3
由 y = s i n x 到 y = A s i n ( ω x + ) 的 图 象 变 换 步 骤
步骤1 步骤2
画 出 y = s i n x 在 0 ， 2 π 上 的 简 图
横坐标向左 (>0) 或向右(<0) 平移 || 个单位
得 到 y = s i n ( x + ) 在 某 周 期 内 的 简 图
步骤3 步骤4
将各点的横坐标变为原来的 1/ω 倍(纵坐标不变).
得 到 y = s i n ( ω x + ) 在 某 周 期 内 的 简 图
各点的纵坐标变为原来的A倍(横坐标不变)；
三角函数复习 ppt PT课件
高考要求：
3 掌握两角和与两角差的正弦、余弦、 正切公式；掌握二倍角的正弦、余弦、 正切公式；通过公式的推导，了解他们 的内在联系，从而培养逻辑推理能力。 能正确运用上述公式进行简单三角函 数式的化简、求值和恒等式证明。
高考要求：
4 了解如何利用正弦线、正切线画出正弦函 数、正切函数的图像，了解利用诱导公式由正 弦函数的图像画出余弦函数的图像；并通过这 些图像了解正弦、余弦、正切函数的性质；会 用“五点法”画出正弦函数、余弦函数和 y=Asin(bx+c)的简图。
3
T 2
2
例2（04—京15）
在 ABC 中，sin A cos A 2 , AC 2, 2
AB 3, 求 tan A 的值和 ABC 的面积 . 分析：sin A cos A 2 cos( A 45 ) 2
2 cos( A 45 ) 1 , 0 A 180
在三角函数式恒等变型中，化简最常 见，其主要途径是：
（1）降低式子的次数（常用半角公式）； （2）减少角的种类； （3）减少三角函数的种类。 指导思想：注重大思路，淡化小技巧。 基本方向是通过等价变形，努力造成合并、约
分和特殊角。 在运算能力上注意精算与估算结合、以图助算、
列表分析等方法。
三角函数
知识网络
角的推广
角的度量（弧度制） 三角函数线 三角函数图象
三
任意角的三角 函数的定义
诱导公式（九组）
角 函 数
的
同角三角函数基本关系式
性
两角和与差
质
（和、差、倍、半公式）
的三角函数
高考要求（考什么）：
1 理解任意角的概念、弧度的意义；能正确地 进行弧度与角度的换算。
高中数学同步教学课件 单位圆与三角函数线
所以 tan π7>sin π7.
反思感悟
利用三角函数线比较三角函数值的大小时，一般分三步 (1)角的位置要“对号入座”. (2)比较三角函数线的长度. (3)由有向线段的方向确定三角函数值的正负.
跟踪训练2 利用三角函数线，比较： (1)sin 75°与sin 146°的大小；
如图，在单位圆中，分别作出 75°和 146°的 正弦线—M—1P→1 ，—M—2P→2 . ∵|—M—1P→1 |>|—M—2P→2 |，且符号皆正， ∴sin 75°>sin 146°.
∵π4<27π<π2， ∴|O→M|<|M→P|<|A→T|，∴b<a<c.
1234
4.不等式sin
x≤
1 2
的解集为__x__2_k_π_＋__56_π_≤__x≤__2_k_π_＋__1_36_π_，__k_∈__Z____.
如图，作出满足 sin x＝12的角的正弦线—M—1P→1 和—M—2P→2 ，∠M2OP2＝π6，∠M2OP1＝56π.
D.正弦线为P→M，正切线为A→T
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
3.(多选)下列四个命题中，正确的是
√A.当α一定时，单位圆中的正弦线一定
B.在单位圆中，有相同正弦线的角相等
√C.α和α＋π有相同的正切线 √D.具有相同正切线的两个角的终边在同一条直线上
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
10.已知函数 f(α)＝ sin α＋lg(2cos α－1)，求函数 f(α)的定义域.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
反思感悟
利用三角函数线比较三角函数值的大小时，一般分三步 (1)角的位置要“对号入座”. (2)比较三角函数线的长度. (3)由有向线段的方向确定三角函数值的正负.
跟踪训练2 利用三角函数线，比较： (1)sin 75°与sin 146°的大小；
如图，在单位圆中，分别作出 75°和 146°的 正弦线—M—1P→1 ，—M—2P→2 . ∵|—M—1P→1 |>|—M—2P→2 |，且符号皆正， ∴sin 75°>sin 146°.
∵π4<27π<π2， ∴|O→M|<|M→P|<|A→T|，∴b<a<c.
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4.不等式sin
x≤
1 2
的解集为__x__2_k_π_＋__56_π_≤__x≤__2_k_π_＋__1_36_π_，__k_∈__Z____.
如图，作出满足 sin x＝12的角的正弦线—M—1P→1 和—M—2P→2 ，∠M2OP2＝π6，∠M2OP1＝56π.
D.正弦线为P→M，正切线为A→T
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
3.(多选)下列四个命题中，正确的是
√A.当α一定时，单位圆中的正弦线一定
B.在单位圆中，有相同正弦线的角相等
√C.α和α＋π有相同的正切线 √D.具有相同正切线的两个角的终边在同一条直线上
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
10.已知函数 f(α)＝ sin α＋lg(2cos α－1)，求函数 f(α)的定义域.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
三角函数的几何表示——三角函数线ppt 人教课标版
练习2.
若 sin θ cos θ 0 , 则 θ 在 _____ .
B
A . 第一、二象限 B . 第一、三象
C . 第一、四象限 D . 第二、四象
本节课探究：
角是一个几何概念，同时角的大小也具 有数量特征.我们从数的观点定义了三 角函数，如果能从图形上找出三角函数 的几何意义，就能实现数与形的完美统 一.
sin y |MP | MP
cos x |OM | OM
M
y
O
x
P （x ，y ）
思考3：由上分析可知，当角α为第一、三 象限角时，sinα、cosα可分别用有向线 段MP、OM表示，即MP= sinα，OM=cosα， 那么当角α为第二、四象限角时，你能检 验这个表示正确吗？
y
y x
y tan AT x
T
A M
O
TA xP Nhomakorabea思考5：根据上述分析，你能描述正切线 的几何特征吗？
y P O A x T P O A T x y
过点A（1，0）作单位圆的切线，与角α 的终边或其反向延长线相交于点T，则 tanα=AT.
思考6：当角α 的终边在坐标轴上时，角 α 的正切线的含义如何？ y
P
P
p p p s i n < <ta n 4 4 4
O
x
当角α 的终边在x轴上时，角α 的正切线 是一个点；当角α 的终边在y轴上时，角 α 的正切线不存在.
三角函数线 把有向线段MP、OM、AT叫做角 的正弦线、余弦线、正切线.
步骤： ⑴ 找出角的终边与单位圆的交点P． ⑵ 从P点向x轴作垂线,垂足为M． ⑶ 过A(1, 0)作x轴垂线与终边(或反向延长 线)交于T．
高中数学必修四课件：三角函数线
∵S△AOP＝12OA·MP＝12sinα， S扇形AOP＝12α·r2＝12α， S△OAT＝12OA·AT＝12AT＝12tanα， 又S△AOP<S扇形AOP<S△AOT， ∴12sinα<12α<12tanα，即sinα<α<tanα. (2)∵MP＋OM>OP，又MP＝sinα，OM＝cosα，OP＝1，∴ sinα＋cosα>1.
3．若sinθ≥0，则θ的取值范围是________． 答案 [2kπ，2kπ＋π](k∈Z)
4．函数y＝ sinx＋ －cosx的定义域为________． 答案 {x|2π＋2kπ≤x≤π＋2kπ，k∈Z}
π的终边为OP1，
4 5
π的终边为OP2，过P1、P2分别作x轴的垂线，垂足为M1、M2，
反向T2.则
sin23π＝M1P1，sin45π＝M2P2.
∵M1P1>M2P2，M1P1，M2P2与y轴正方向相同， ∴sin23π>sin45π.
思考题3 比较大小． ①sin15°与sin120°； ②cos40°与cos50°； ③tan105°与tan120°.
【答案】 ①< ②> ③<
例4 求下列函数的定义域． (1)y＝ 2cosx－1； (2)y＝lg(3－4sin2x)．
【思路分析】 首先作出单位圆，然后根据各问题的约束 条件利用三角函数线画出角x满足条件的终边范围．
∠M1OP1＝6π，∠M1OP2＝56π， ∴满足sinα≥12的α的集合为 {α|2kπ＋6π≤α≤2kπ＋56π，k∈Z}．
例2 利用单位圆证明当α∈(0，π2)时，求证：
(1)sinα<α<tanα；
(2)sinα＋cosα>1.
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一全正，二正弦，三正切，四余弦.
诱导公式一 sin( 2k ) sin cos( 2k ) cos tan( 2k ) tan
(k Z)
终边相同的角的同名三角函数值相等.
角是一个几何概念, 同时角的大小也具 有数量特征. 我们从数的观点定义了三角函 数, 如果能从图形上找出三角函数的几何意 义，就能实现数与形的完美统一. 下面我们 再从图形角度认识一下三角函数。
引申：对于不等式 sinα<α<tanα （其中α为锐角），你能用数形结合思 想证明吗？
yT
P
x
O MA
1. 三角函数线是三角函数的一种几何表示， 即用有向线段表示三角函数值，是今后进一步 研究三角函数图象的有效工具.
1. 三角函数线是三角函数的一种几何表示， 即用有向线段表示三角函数值，是今后进一步 研究三角函数图象的有效工具.
2. 正弦线的始点随角的终边位置的变化而 变化，余弦线和正切线的始点都是定点，分 别是原点O和点A（1，0）.
1. 角α的三角函数是y怎样定义的？
p( x, y)
o
A
x
sin y , cos x , tan y
r
r
x
2、三角函数的定义域：
三角函数 sinα cosα tanα
定义域
2、三角函数的定义域：
三角函数 sinα cosα tanα
定义域
R
R { | k , k Z}
2
3. 三角函数在各象限的函数值符号 分别如何？
(2) 5 ;
(3) 2 ;
(4) 12
4
6
3
5
【例2】在0~2内，求使sin 3 成立
2
的的取值.
y 3 2
y
P2
P1
OM
x
1. 三角函数线是三角函数的一种几何表示， 即用有向线段表示三角函数值，是今后进一步 研究三角函数图象的有效工具.
2. 正弦线的始点随角的终边位置的变化而 变化，余弦线和正切线的始点都是定点，分 别是原点O和点A（1，0）.
探究3、正切线
tan y AT
x
正切线
yT
P
x
O MA
的终边 y
P
MO
(II)
y
A(1, 0) x
T
(I)
T
y
T 的终边
P
A(1, 0) x
OM
y
M
的终边
O
P
A(1, 0) x
M A(1, 0) x
O
(III )
(IV )
P
T
的终边
【例1】作出下列各角的正弦线、余弦线、 正切线：
(1) ;
3. 利用三角函数线处理三角不等式问题， 是一种重要的方法和技巧，也是一种数形结 合的数学思想.
【例3】求函数f ( ) 2cos 1的定义域.
y P2 P
O Mx P1 x1 2
思考：观察下列不等式：
sin tan
66
6
sin tan
44
4
ห้องสมุดไป่ตู้
sin tan
33
3
你有什么一般猜想？
三角函数线
角α的终边与单位圆交于点P，过点P作x轴
的垂线，垂足为M，根据三角函数定义，我们有
sin y MP
r
正弦线
y
p( x, y)
cos
x r
OM
余弦线
o
A
Mx
像OM、MP这种被看作带有方向的线段， 叫做有向线段.
注：线段从始点到终点与坐标轴同向时为正方向， 反向时为负方向.
思考
（2）你能借助单位圆，找到一条如OM、 MP一样的线段来表示角α的正切吗？
诱导公式一 sin( 2k ) sin cos( 2k ) cos tan( 2k ) tan
(k Z)
终边相同的角的同名三角函数值相等.
角是一个几何概念, 同时角的大小也具 有数量特征. 我们从数的观点定义了三角函 数, 如果能从图形上找出三角函数的几何意 义，就能实现数与形的完美统一. 下面我们 再从图形角度认识一下三角函数。
引申：对于不等式 sinα<α<tanα （其中α为锐角），你能用数形结合思 想证明吗？
yT
P
x
O MA
1. 三角函数线是三角函数的一种几何表示， 即用有向线段表示三角函数值，是今后进一步 研究三角函数图象的有效工具.
1. 三角函数线是三角函数的一种几何表示， 即用有向线段表示三角函数值，是今后进一步 研究三角函数图象的有效工具.
2. 正弦线的始点随角的终边位置的变化而 变化，余弦线和正切线的始点都是定点，分 别是原点O和点A（1，0）.
1. 角α的三角函数是y怎样定义的？
p( x, y)
o
A
x
sin y , cos x , tan y
r
r
x
2、三角函数的定义域：
三角函数 sinα cosα tanα
定义域
2、三角函数的定义域：
三角函数 sinα cosα tanα
定义域
R
R { | k , k Z}
2
3. 三角函数在各象限的函数值符号 分别如何？
(2) 5 ;
(3) 2 ;
(4) 12
4
6
3
5
【例2】在0~2内，求使sin 3 成立
2
的的取值.
y 3 2
y
P2
P1
OM
x
1. 三角函数线是三角函数的一种几何表示， 即用有向线段表示三角函数值，是今后进一步 研究三角函数图象的有效工具.
2. 正弦线的始点随角的终边位置的变化而 变化，余弦线和正切线的始点都是定点，分 别是原点O和点A（1，0）.
探究3、正切线
tan y AT
x
正切线
yT
P
x
O MA
的终边 y
P
MO
(II)
y
A(1, 0) x
T
(I)
T
y
T 的终边
P
A(1, 0) x
OM
y
M
的终边
O
P
A(1, 0) x
M A(1, 0) x
O
(III )
(IV )
P
T
的终边
【例1】作出下列各角的正弦线、余弦线、 正切线：
(1) ;
3. 利用三角函数线处理三角不等式问题， 是一种重要的方法和技巧，也是一种数形结 合的数学思想.
【例3】求函数f ( ) 2cos 1的定义域.
y P2 P
O Mx P1 x1 2
思考：观察下列不等式：
sin tan
66
6
sin tan
44
4
ห้องสมุดไป่ตู้
sin tan
33
3
你有什么一般猜想？
三角函数线
角α的终边与单位圆交于点P，过点P作x轴
的垂线，垂足为M，根据三角函数定义，我们有
sin y MP
r
正弦线
y
p( x, y)
cos
x r
OM
余弦线
o
A
Mx
像OM、MP这种被看作带有方向的线段， 叫做有向线段.
注：线段从始点到终点与坐标轴同向时为正方向， 反向时为负方向.
思考
（2）你能借助单位圆，找到一条如OM、 MP一样的线段来表示角α的正切吗？