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计量经济学第二章 简单线性回归模型公式
ˆ 1
x y x
i 2 i
i
E ( k ) k
^
方差
标准误差
Var ( 1 )
SE ( 1 )
^
^
xi
2
2
Var ( 0 ) 2
SE ( 0 )
^
^
n xi
Xi
2 2
2 2
x
2
i
OLS估计式是最佳线性无偏估计式。
X n x
18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 50-60 70-80
35% 30% 25% 20%
`
15% 10% 5% 0% 90-100
计量经济学
第 二 章
简单线性回归模型
第二章小结
1、变量间的关系： 函数关系——相关关系。 相关系数——对变量间线性相关程度的度量。 2、现代意义的回归：一个被解释变量对若干个解释变量依存 关系的研究 回归的实质：由固定的解释变量去估计被解释变量的平均 值。 3、总体回归函数（PRF）：将总体被解释变量Y的条件均值表 现为解释变量X的某种函数。 E (Yi X i ) 0 1 X i Y X u
i 0 1 i i
样本回归函数（SRF）：将被解释变量Y的样本条件均值表 示为解释变量X的某种函数。
ˆ ˆ X e Yi 0 1 i i
ˆ ˆX ˆ Y i 0 1 i
2
总体回归函数与样本回归函数的区别与联系。
4、随机扰动项：被解释变量实际值与条件均值的偏差，代表排
除在模型以外的所有因素对Y的影响。
3
随机扰动与解释变量不相关假定: 正态性假定:
ui ~ N (0, 2 )
计量公式大全
第二章主要公式1、回归模型概述（1）相关分析与回归分析经济变量之间的关系：函数关系、相关关系相关关系：单相关和复相关，完全相关、不完全相关和不相关，正相关与负相关，线性相关和负相关，线性相关和非线性相关。
相关分析：——总体相关系数cov(,)var()var()XY X Y X Y ρ=——样本相关系数12211()()()()nii i XY nniii i XX Y Y r XX Y Y ===--=--∑∑∑——多个变量之间的相关程度可用复相关系数和偏相关系数度量 回归分析：相关关系 + 因果关系（2）随机误差项：含有随机误差项是计量经济学模型与数理经济学模型的一大区别。
（3）总体回归模型总体回归曲线：给定解释变量条件下被解释变量的期望轨迹。
总体回归函数：(|)()i i E Y X f X =总体回归模型：(|)()i i i i i Y E Y X f X μμ=+=+ 线性总体回归模型：011,2,...,i i iY X i n ββμ=++=（4）样本回归模型样本回归曲线：根据样本回归函数得到的被解释变量的轨迹。
（线性）样本回归函数： 01ˆˆˆi i Y X ββ=+ （线性）样本回归模型：01ˆˆˆi i iY X e ββ=++ 2、一元线性回归模型的参数估计（1）基本假设① 解释变量：是确定性变量，不是随机变量var()0i X =② 随机误差项：零均值、同方差，在不同样本点之间独立，不存在序列相关等()01,2,...,i E i n μ== 2var()1,2,...,i i n μσ==cov(,)0;,1,2,...,i j i j i j n μμ=≠=③ 随机误差项与解释变量：不相关cov(,)01,2,...,i i X i n μ==④ （针对最大似然法和假设检验）随机误差项：2~(0,)1,2,...,i N i n μσ=⑤ 回归模型正确设定。
【前四条为线性回归模型的古典假设，即高斯假设。
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1.普通最小二乘法(Ordinary Least Squares,OLS)：已知一组样本观测值{}n i Y X i i ,2,1:),(⋯=，普通最小二乘法要求样本回归函数尽可以好地拟合这组值，即样本回归线上的点∧i Y 与真实观测点Yt 的“总体误差”尽可能地小。
普通最小二乘法给出的判断标准是：被解释变量的估计值与实际观测值之差的平方和最小。
2.广义最小二乘法GLS ：加权最小二乘法具有比普通最小二乘法更普遍的意义，或者说普通最小二乘法只是加权最小二乘法中权恒取1时的一种特殊情况。
从此意义看，加权最小二乘法也称为广义最小二乘法。
3.加权最小二乘法WLS ：加权最小二乘法是对原模型加权，使之变成一个新的不存在异方差性的模型，然后采用普通最小二乘法估计其参数。
4.工具变量法IV ：工具变量法是克服解释变量与随机干扰项相关影响的一种参数估计方法。
5.两阶段最小二乘法2SLS, Two Stage Least Squares ：两阶段最小二乘法是一种既适用于恰好识别的结构方程，以适用于过度识别的结构方程的单方程估计方法。
6.间接最小二乘法ILS ：间接最小二乘法是先对关于内生解释变量的简化式方程采用普通小最二乘法估计简化式参数，得到简化式参数估计量，然后过通参数关系体系，计算得到结构式参数的估计量的一种方法。
7.异方差性Heteroskedasticity ：对于不同的样本点，随机干扰项的方差不再是常数，而是互不相同，则认为出现了异方差性。
8.序列相关性Serial Correlation ：多元线性回归模型的基本假设之一是模型的随机干扰项相互独立或不相关。
如果模型的随机干扰项违背了相互独立的基本假设，称为存在序列相关性。
9.多重共线性Multicollinearity ：对于模型i k i i X X X Y μββββ++⋯+++=i k 22110i ，其基本假设之一是解释变量X 1,X 2,…,Xk 是相互独立的。
计量经济学rss公式
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回归平方和：ESS，残差平方和：RSS，总体平方和：TSS。
1、回归平方和，是反映自变量与因变量之间的相关程度的偏差平方和。
用回归方程或回归线来描述变量之间的统计关系时，实验值yi与按回归线预测的值Yi并不一定完全一致。
2、残差平方和是在线性模型中衡量模型拟合程度的一个量，用连续曲线近似地刻画或比拟平面上离散点组，以表示坐标之间函数关系的一种数据处理方法。
3、总体平方和是被解释变量Y的观测值与其平均值的离差平方和（总平方和）(说明Y的总变动程度）扩展资料：RSS(ResidualSumofSquares)=∑(u)2称为残差平方和，ESS(ExplainedSumofSquares)=∑(ŷ-ȳ)2称为回归平方和。
残差平方和越小，自变量与因变量之间的相关性越好。
性质解释变量与残差平方和残差平方和RSS具有以下性质：1、性质1只有常数项没有其他解释变量的回归方程的RSS和TSS相等，其决定系数为0。
2、性质2增加解释变量必然导致RSS减小。
因此，如果想降低RSS，只要在回归方程中尽可能地加入解释变量就能达到目的。
3、性质3包含常数项全部解释变量的个数K等于样本数n时，RSS为0，决定系数为1。
F检验和t检验之间的关系在一些场合t检验不仅可以进行双侧检验，也可以进行单侧检验。
而F检验没有单侧和双侧的区别。
当进行双侧检验的时候两种检验的P值相同。
计量经济学主要公式
序公式名称计算公式号y t = β0 + β1 x t + u t1真实的回归模型2估计的回归模型y t =+x t +3真实的回归函E(y t) = β0 + β1 x t数4估计的回归函数=+x t5最小二乘估计公式6和的方差7σ2的无偏估计量= s2 =8和估计的方差9总平方和∑(y t -) 210回归平方和∑(-) 211误差平方和∑(y t -)2 = ∑()2 12可决系数（确定系数）13检验β0，β1 是否为零的t统计量14β1的置信区间-tα(T-2) ≤β1≤+tα(T-2)15单个y T+1的点预测=+x T+116E(y T+1)的区间预测17单个y T+1的区间预测18样本相关系数表3.4 多元线性回归模型的主要计算公式序号公式名称计算公式1 真实的回归模型Y= X β+ u2 估计的回归模型Y = X+3 真实的回归函数E(Y) = X β4 估计的回归函数= X5 最小二乘估计公式= (X 'X)-1X 'Y6 回归系数的方差Var() = σ2(X 'X)-17 σ2的无偏估计量= s2 ='/ (T - k)8 回归系数估计的方差() =(X 'X)-19 回归平方和SSR = = '- T10 总平方和SST = Y 'Y - T11 残差平方和SSE = '12 可决系数13 调整的可决系数14 F统计量15 t统计量16 点预测公式C = (1 x T+1 1 x T+1 2… x T+1 k-1 )= C = 0 +1 x T+1 1 + … + k-1 x T+1 k-117 E(y T+1) 的置信区间预测C±tα/2 (1, T-k)s18 单个y T+1的置信区间预测C±tα/2 (T-k)s19 预测误差e t = - y t, t= 1, 2, …, T20 相对误差PE = , t= 1, 2, …, T21 误差均方根22 绝对误差平均23 相对误差绝对值平均24 Theil系数25 偏相关系数是控制zt不变条件下的x t, y t的简单相关系数。
期末：计量经济学公式
序号 公式名 称 计 算 公式1 真实的回归模型 y t = β0 + β1 x t + u t2 估计的回归模型 y t =+x t +3 真实的回归函数 E(y t ) = β0 + β1 x t4 估计的回归函数 =+x t5最小二乘估计公式()()()∑∑∑∑∑∑--=---==-=2222221X n X Y X n Y X X X Y Y X X x y x b X b Y b ii i iiiii i6和的方差7 σ 2 的无偏估计量= s 2=8和估计的方差9总平方和TSS∑ (y t -) 210 回归平方和RSS ∑ (-) 211 误差平方和ESS ∑ (y t -)2 = ∑ ()212 可决系数（确定系数）=RSS/TSS13 检验β0，β1 是否为零的t 统计量14 β1的置信区间-t α (T -2) ≤β1 ≤+t α (T -2)15单个y T+1的点预测=+x T+116E(yT+1)的区间预测17单个yT+1的区间预测18样本相关系数表3.4 多元线性回归模型的主要计算公式+= X= (X 'X)-1X 'YVar(= s2 ='/ (T - k)() =(X 'X)-1= '= '= +… +C s==是控制z t不变条件下的x t, y t的简单相关系数。
是y t与的简单相关系数。
其中是y t对x t1,x t2,…x tk–12：随机误差项的性质（1）误差项代表了未纳入模型变量的影响；（2）即使模型中包括了决定数学分数的所有变量，其内在随机性也不可避免，这是做任何努力都无法解释的；（3）u代表了度量误差；（4）“奥卡姆剃刀原则”，即描述应该尽可能简单，只要不遗漏重要的信息。
3：解释回归结果的步骤（1）看整个模型的显著性，看F统计量的值；（2）看单个参数的显著性；（3）解释斜率的经济含义；（4）解释R²。
计量经济学基础知识
（4）F 分布
2.5
2
F(100,100)
1.5
1
F(2,8) F(10,10)
0.5 1 1.5 2 2.5 3
0.5
F 分布密度曲线是单峰的， 右偏倚的。 随着自由度 n1 和 n2 的加大， F 分布的众数趋近于 1。当 n2 变大时，E(F(n1, n2)) 趋近于 1。 检验模型总显著性的统计量服从 F 分布。
1 n x = xi n i 1
其中 n 表示样本容量，xi 表示样本观测值，则样本平均数 x 的期望与方差分别是
1 E( x ) = E ( n
i 1
n
1 xi ) = n
n
i 1
n
1 n E( xi ) = = n i 1
n
1 Var ( x ) Var ( n
xi ) n 2 Var ( xi ) n 2
1．统计量评价标准， （1）无偏性：对于总体参数，若有估计量 ˆ 满足Ｅ( ˆ ) = .
E( x ) E( E( x1 x 2 x3 x 4 x5 1 ) [ E( x1 ) E( x 2 ) E( x3 ) E( x 4 ) E( x5 )] 5 5
0.3
0.2
2(4) 2(6)
2.5 5 7.5 10 12.5 15
0.1
E(2(n)) = n，Var(2(n)) = 2n, n > 2 2 分布密度曲线是单峰的，右偏倚的。随着自由度 n 的加大， 偏倚程度变小。当 n 增大时，2 分布的形状趋近于正态分布。 检验序列白噪声性的 Q 统计量服从2 分布。
( xt y t ) = x t y t
计量经济学基础知识梳理(超全)
2.自然对数
近似计算的作用： 定义y对x的弹性（elasticity）为
y x %y x y %x
换言之，y对x的弹性就是当x增加1%时y的百分数变化。
若y是x的线性函数：y 0 1x ，则这个弹性是
y x
x y
1
x y
1
0
x
1x
它明显取决于x的取值（弹性并非沿着需求曲线保持不变）。
在经验研究工作中还经常出现使用对数函数的其他可 能性。假定y>0，且
logy 0 1x 则 logy 1x ，从而 100 logy 100 1x。
由此可知，当y和x有上述方程所示关系时，
%y 100 1x
例： 对数工资方程
假设小时工资与受教育年数有如下关系：
logwage 2.78 0.094edu
y 0 1 x;dy dx 1 2 x1 2
y 0 1logx;dy dx 1 x y exp0 1x;dy dx 1 exp0 1x
4.微分学
当y是多元函数时，偏导数的概念便很重要。假定y=f
（x1，x2），此时便有两个偏导数，一个关于x1，另一个关
于 x1的x2普。通y对导x1数的。偏类导似数的记，为yxy1就，是就固是定把xx12时看方做程常对数x时2的方导程数对。
的最大值出现在x*=8/4=2处，并且这个最大值是6+8×2-
2×（2）2=14。
y 16
14
12
10
8
6
4
2
0
x
0
1
2
3
4
1.二次函数
对方程式 y 0 1x 2x2
2 0 意味着x对y的边际效应递减，这从图中清晰可
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2：随机误差项的性质
（1）误差项代表了未纳入模型变量的影响；
（2）即使模型中包括了决定数学分数的所有变量，其内在随机性也不可避免，这是做任何
努力都无法解释的； （3）u 代表了度量误差； （4）“奥卡姆剃刀原则”，即描述应该尽可能简单，只要不遗漏重要的信息。
3：解释回归结果的步骤
（1）看整个模型的显著性，看F 统计量的值； （2）看单个参数的显著性； （3）解释斜率的经济含义；
（4）解释R ²。
4：古典线性回归模型的基本假定（同多元线性回归模型的基本假定相同） （1）所有自变量是确定性变量； （2）
（3）自变量之间不存在完全多重共线性。
12：样本回归方程，i e 为残差项，
i i i e X b b Y ++=21
总体回归方程，i u 为随机误差项
i i i u X B B Y ++=21
5：
样本回归函数：
随机样本回归函数：
总体回归函数：
随机总体回归方程：
观察值可表示为： 6：普通最小二乘法就是要选择参数1b 、2b ，使得参差平方和最小。
()()()
∑∑∑∑∑∑--=---==-=2
2
2
22
21X n X Y X n Y X X X Y Y X X x y x b X b Y b i
i i i
i
i
i
i i
i
i i i i i i i i i i i i i i i u
X Y E Y e Y
Y u
X B B Y X B B X Y E e
X b b Y X b b Y
+=+=++=+=++=+=)|(ˆ)|(ˆ21212121
7：R ²的计算公式：( R ²度量了回归模型对Y 变异的解释比例)
TSS ：总离差平方和 ESS ：回归平方和 RSS ：残差平方和
（1）
（2）
（3）
8：F 检验
)
3,2(~)
3(2
)(.
...23322--+=
=∑∑∑n F n e x y b x y b f d RSS f d ESS F t t t t t
()1
//1/1/1P ..-------⋅=n TSS
k
n RSS k n RSS p
k
n RSS k ESS k ESS k ESS F f
d SS MSS f d 总离差
来自残差来自回归值值自由度平方和方差来源
9：F 与判定系数R2之间的重要关系
当R2＝0，F ＝0，当R2＝1，F 值为无穷大
10：校正的判定系数R ²
(
)k
n n R R ----=1112
2
11：普通最小二乘估计量的一些重要性质:
∑∑∑====+=0
ˆ00
21i
i i i i Y e X e n e e X b b Y
21ESS RSS
TSS TSS
ESS
R TSS =+
=
RSS ESS TSS +=)()1()1(22
k n R k R F ---=
13：不同函数形式的总结。