高等数学练习题附答案

高等数学练习题附答案文件编码（008-TTIG-UTITD-GKBTT-PUUTI-WYTUI-8256）《高等数学》专业年级学号姓名一、判断题.将√或×填入相应的括号内.（每题2分，共20分） （）1.收敛的数列必有界.（）2.无穷大量与有界量之积是无穷大量. （）3.闭区间上的间断函数必无界.（）4.单调函数的导函数也是单调函数. （）5.若)(x f 在0x 点可导，则)(x f 也在0x 点可导.（）6.若连续函数)(x f y =在0x 点不可导，则曲线)(x f y =在))(,(00x f x 点没有切线.（）7.若)(x f 在[b a ,]上可积，则)(x f 在[b a ,]上连续.（）8.若),(y x f z =在（00,y x ）处的两个一阶偏导数存在，则函数),(y x f z =在（00,y x ）处可微.（）9.微分方程的含有任意常数的解是该微分方程的通解.（）10.设偶函数)(x f 在区间)1,1(-内具有二阶导数，且1)0()0(+'=''f f ,则)0(f 为)(x f 的一个极小值.二、填空题.（每题2分，共20分）1.设2)1(x x f =-，则=+)1(x f .2.若1212)(11+-=x xx f ，则=+→0lim x .3.设单调可微函数)(x f 的反函数为)(x g ,6)3(,2)1(,3)1(=''='=f f f 则=')3(g .4.设yxxy u +=,则=du . 5.曲线326y y x -=在)2,2(-点切线的斜率为.6.设)(x f 为可导函数,)()1()(,1)1(2x f xf x F f +==',则=')1(F .7.若),1(2)(02x x dt t x f +=⎰则=)2(f .8.x x x f 2)(+=在[0,4]上的最大值为. 9.广义积分=-+∞⎰dx e x 20.10.设D 为圆形区域=+≤+⎰⎰dxdy x y y x D5221,1.三、计算题（每题5分，共40分）1.计算))2(1)1(11(lim 222n n n n ++++∞→ . 2.求1032)10()3()2)(1(++++=x x x x y 在（0，+∞）内的导数. 3.求不定积分dx x x ⎰-)1(1.4.计算定积分dx x x ⎰-π53sin sin .5.求函数22324),(y xy x x y x f -+-=的极值.6.设平面区域D 是由x y x y ==,围成，计算dxdy yyD⎰⎰sin . 7.计算由曲线x y x y xy xy 3,,2,1====围成的平面图形在第一象限的面积. 8.求微分方程yxy y 2-='的通解. 四、证明题（每题10分，共20分）1.证明：tan arc x =)(+∞<<-∞x .2.设)(x f 在闭区间[],b a 上连续，且,0)(>x f证明：方程0)(=x F 在区间),(b a 内有且仅有一个实根.《高等数学》参考答案一、判断题.将√或×填入相应的括号内（每题2分，共20分）1.√；2.×；3.×；4.×；5.×；6.×；7.×；8.×；9.√；10.√. 二、填空题.（每题2分，共20分）1.442++x x ；；2；4.dy y x x dx y y )/()/1(2-++；3；；7.336；；2；.三、计算题（每题5分，共40分）1.解：因为21(2)n n +222111(1)(2)n n n <+++<+21n n+ 且21lim0(2)n n n →∞+=，21limn n n →∞+=0 由迫敛性定理知：))2(1)1(11(lim 222n n n n ++++∞→ =0 2.解：先求对数)10ln(10)2ln(2)1ln(ln +++++=x x x y 3.解：原式=⎰-x d x112=⎰-x d x 2)(112=2c x +arcsin4.解：原式=dx x x ⎰π023cos sin=⎰-2023sin cos πxdx x ⎰ππ223sin cos xdx x=⎰-2023sin sin πx xd ⎰ππ223sin sin x xd =2025][sin 52πx ππ225][sin 52x - =4/55.解：02832=--='y x x f x 022=-='y x f y 故⎩⎨⎧==00y x 或⎩⎨⎧==22y x 当⎩⎨⎧==0y x 时8)0,0(-=''xxf ，2)0,0(-=''yy f ，2)0,0(=''xy f 02)2()8(2>--⨯-=∆ 且A=08<-∴ （0，0）为极大值点且0)0,0(=f当⎩⎨⎧==22y x 时4)2,2(=''xxf ，2)2,2(-=''yy f ，2)2,2(=''xy f 02)2(42<--⨯=∆ ∴无法判断6.解：D={}y x y y y x ≤≤≤≤2,10),(⎰⎰⎰⎰=∴102sin sin y y D dx y y dy dxdy y y=dy x yy y y 2][sin 10⎰ =dy y y y )sin (sin 10⎰- =⎰+-110cos ]cos [y yd y =⎰-+-1010cos ]cos [1cos 1ydy y y =1sin 1-7.解：令xy u =，xyv =；则21≤≤u ，31≤≤v 8.解：令u y =2，知x u u 42)(-=' 由微分公式知：)4(222c dx xe e y u dxdx+⎰-⎰==⎰-四.证明题（每题10分，共20分）1.解：设21arcsinarctan )(xx x x f +-=222222211111111)(xx x x x x xx f ++-+⋅+--+=' =0令0=x 0000)0(=∴=-=c f 即：原式成立。

2.解：],[)(b a x F 在 上连续 且dt t f a F ab⎰=)(1)(<0,dt t f b F b a ⎰=)()(>0故方程0)(=x F 在),(b a 上至少有一个实根.又)(1)()(x f x f x F +='0)(>x f 即)(x F 在区间],[b a 上单调递增∴)(x F 在区间),(b a 上有且仅有一个实根.《高等数学》专业学号姓名一、判断题（对的打√，错的打×；每题2分，共10分）1.)(x f 在点0x 处有定义是)(x f 在点0x 处连续的必要条件.2.若)(x f y =在点0x 不可导，则曲线)(x f y =在))(,(00x f x 处一定没有切线.3.若)(x f 在],[b a 上可积，)(x g 在],[b a 上不可积，则)()(x g x f +在],[b a 上必不可积.4.方程0=xyz 和0222=++z y x 在空间直角坐标系中分别表示三个坐标轴和一个点.5.设*y 是一阶线性非齐次微分方程的一个特解，y 是其所对应的齐次方程的通解，则*y y y +=为一阶线性微分方程的通解.二、填空题（每题2分，共20分）1.设,5)(,12)3(=+=a f x x f 则=a .2.设xx x f 3arcsin )21ln()(+=，当=)0(f 时，)(x f 在点0=x 连续.3.设xt t tx x f 2)11(lim )(+=∞→，则)(x f ''.4.已知)(x f 在a x =处可导，且A a f =')(，则=--+→hh a f h a f h )3()2(lim 0.5.若2)]([cos )(2x f dxdx x f =，并且1)0(=f ，则)(x f . 6.若)(),(x g x f 在点b 左连续，且)()(),()(x g x f b g b f '>'=)(b x a <<， 则)(x f 与)(x g 大小比较为)(x f ).(x g7.若2sin x y =，则=)(2x d dy ；=dxdy. 8.设⎰=xx tdt x f 2ln )(，则=')21(f .9.设y x e z 2=，则=)1,1(dz .10.累次积分dy y x f dx x R R)(202022-⎰⎰-化为极坐标下的累次积分为 .三、计算题（前6题每题5分，后两题每题6分，共42分）1.⎰⎰+→xx tx dtt t dtt 0sin 010sin )1(lim;2.设1ln 22-=x xe e y ，求y ';3.dx x x x ⎰+-2sin 1cos sin ;4.⎰-2224dx x x;5.设22y x xz +=,求 y x zy z ∂∂∂∂∂2,. 6.求由方程)ln()(2y x y x x y --=-所确定的函数)(x y y =的微分dy . 7.设平面区域D 是由x y x y ==,围成，计算dxdy yyD⎰⎰sin . 8.求方程0)ln (ln =-+dy y x ydx y 在初始条件e y x ==1下的特解.四、（7分）已知bx ax x x f ++=23)(在1=x 处有极值2-，试确定系数a 、b ，并求出所有的极大值与极小值.五、应用题（每题7分，共14分）1.一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比.已知当速度为)/(10h km 时，燃料费为每小时6元，而其它与速度无关的费用为每小时96元.问轮船的速度为多少时,每航行km 1所消耗的费用最小2.过点)0,1(向曲线2-=x y 作切线，求：（1）切线与曲线所围成图形的面积；（2）图形绕y 轴旋转所得旋转体的体积. 六、证明题（7分）设函数)(x f 在a x <≤0上的二阶导数存在，且0)0(=f ,0)(>''x f .证明xx f x g )()(=在a x <<0上单调增加. 高等数学参考答案一、判断题1.√；2.×；3.√；4.×；5.√. 二、填空题；2.32；3.x e x 2)1(4+；4.A 5；5.x sin 1+；6.<；7.22cos 2,cos x x x ；8.2ln ；9.dy dx +2；10.⎰⎰20)2cos (πθθRrdr r f d .三、计算题1.原式xxxx xx sin cos )sin 1(limsin 10+=→2.2222222222)1(2)1(212111-⋅--⋅-⋅-='x xx x x xxxxe e e e e e e e e y 3．原式=dx x x xx ⎰+-2)cos (sin cos sin 4．设t x sin 2=则tdt dx cos 2= 原式=⎰⋅⋅202cos 2cos 2sin 4πtdt t t5．23222222)(22y x xy y x y x y x yz +-=++⋅-=∂∂6．两边同时微分得：即)()ln()ln(2dy dx dy y x dx y x dx dy -+---=- 故dx y x y x dy )ln(3)ln(2-+-+=（本题求出导数后，用dx y dy '=解出结果也可）7．⎰⎰⎰⎰=102sin sin y y Ddx yy dy dxdy y y8．原方程可化为yx y y dy dx 1ln 1=+通解为]1[ln 1ln 1C dy ye ex dy y y dyy y +⋅⎰⎰=⎰-e y x ==1代入通解得1=C故所求特解为：01ln 2)(ln 2=+-y x y 四、解：b ax x x f ++='23)(2因为)(x f 在1=x 处有极值2-，所以1=x 必为驻点 故023)1(=++='b a f 又21)1(-=++=b a f 解得：3,0-==b a于是x x x f 3)(3-=)1(3)(2-='x x f 由0)(='x f 得1±=x ，从而06)1(>=''f ，在1=x 处有极小值2)1(-=f 06)1(<-=-''f ，在1-=x 处有极大值2)1(=-f五、1.解：设船速为)/(h km x ，依题意每航行km 1的耗费为 又10=x 时，6103=⋅k 故得006.0=k ，所以有)96006.0(13+=x xy ，),0(∞+∈x 令0)8000(012.032=-='x x y ，得驻点20=x 由极值第一充分条件检验得20=x 是极小值点.由于在),0(∞+上该函数处处可导，且只有唯一的极值点，当它为极小值点时必为最小值点，所以求得船速为)/(20h km 时，每航行km 1的耗费最少，其值为2.7209620006.02min =+⨯=y （元） 2.解：（1）设切线与抛物线交点为),(00y x ，则切线的斜率为100-x y，又因为22-=x y 上的切线斜率满足12='⋅y y ，在),(00y x 上即有120='y y 所以112000=-⋅x y y ，即1200-='x y 又因为),(00y x 满足2020-=x y ，解方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=-=212020020x y x y 得⎩⎨⎧==1300y x 所以切线方程为)1(21-=x y则所围成图形的面积为：（2）图形绕x 轴旋转所得旋转体的体积为： 六、证：22)]0()([)()()(])([x f x f x f x x x f x f x x x f --'=-'=' 在],0[x 上，对)(x f 应用拉格朗日中值定理，则存在一点),0(x ∈ξ，使得代入上式得2)()(])([x f x f x x x f ξ-'=' 由假设0)(>''x f 知)(x f '为增函数，又ξ>x ，则)()(ξf x f '>', 于是0)()(>'-'ξf x f ,从而0])([>'x x f ，故xx f )(在),0(a 内单调增加. 《高等数学》试卷专业学号姓名一、填空题（每小题1分，共10分） 1．函数arcsin y =的定义域为_______________。