第一章1.1集合与常用逻辑用语
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第一章
集合与常用逻辑用语
当a＞0时，若A⊆B，如图，
则 4 a≤2
1 1 － ≥－ 2 a
a≥2 ，∴ ，∴a≥2. a≥2
综上知，当 A⊆B 时，a 的取值范围是 (－∞，－8)∪[2，＋∞)．
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(2)若 A＝B，则由(1)知 a>0. 1 1 － ＝－ 2 a 当 a>0 时，由 ， 4 ＝2 a
合相等的定义，首先分析已知元素与另一个集合
中的哪一个元素相等，有几种情况等，然后列方
程组，求解．本例中从元素“0”着手分析，问题 变得简单． (2)对于含有字母的集合，在求出字母的值后， 要注意检验集合是否满足互异性．
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备选例题(教师用书独具)
例 对于任意两个正整数m，n，定义某
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【解】
A 中不等式的解集应分三种情况讨论：
①若 a＝0，则 A＝R；
4 1 ②若 a＜0，则 A＝x a≤x＜－ a ； 1 4 ③若 a＞0，则 A＝x－ a＜x≤ . a
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(1)当 a＝0 时，若 A⊆B，此种情况不存在． 当 a＜0 时，若 A⊆B，如图， 4 1 ＞－ a＜－8 2 a 则 ，∴ 1 ，∴a＜－8. 1 a≤－2 － ≤2 a
解析：当 m＝0 时，B＝∅，此时 B⊆A. 1 当 m≠0 时，B＝xx＝m ， 1 由 B⊆A 得 ＝1，∴m＝1. m ∴m＝0 或 1.
答案：0或1
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4．(2012· 南昌质检)已知M＝{x|lgx2 ＝0}，N＝ {x|2－1<2x＋1<22，x∈Z}，则M∩N＝________.
Venn图法． 2．集合间的基本关系 表示 关系 相等 子集 文字语言 符号语言
集合A与集合B中的所有 A＝B 元素都相同 A中任意一个元素均为B A⊆B B⊇A _____或____ 中的元素
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表示 关系
文字语言
符号语言
A中任意一个元素均 为B中的元素，且B 真子集 中至少有一个元素 不是A中的元素 空集是任何集合的 非空 子集，是任何_____ 集合的真子集
的和等于________．
【解析】 (1)因为P∪M＝P，所以M⊆P，
即a∈P，得a2≤1，解得－1≤a≤1，所以a的取 值范围是[－1，1]，故选C. (2)A＝{x|－1<x<3}，A∩Z＝{0，1，2}，A∩Z
中所有元素之和等于3.故填3.
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【答案】
(1)C
(2)3
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b 【解】 由已知得 a≠0 ，∴ ＝0， a ∴b＝0.则在集合{a2，a＋b，0}中，a2＝1. ∴a＝± 1.又 a＝1 时，不合题意． ∴a＝－1. ∴a2012＋b2012＝(－1)2012＝1.
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【规律小结】 (1)解决此类题目，应利用集
_______或_______
空集
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思考探究 集合{∅}是空集吗？∅、{0}、{∅}之间有何关系？ 提示：不是．∅是不含任何元素的集合，{∅}表 示含有一个元素∅的集合，{0}表示含有一个元
素0的集合，因此有∅ {0}．若把∅当作元素，
则有∅∈{∅}，若把∅当作集合，则有∅ {∅}．
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考点2
例2
集合间的基本关系
若集合P＝{x|x2＋x－6＝0}，S＝{x|ax
＋1＝0}，且S⊆P，求由a的可能取值组成的 集合．
【解】 由题意得，P＝{－3，2}． 当 a＝0 时，S＝∅，满足 S⊆P； 1 当 a≠0 时，方程 ax＋1＝0 的解为 x＝－ ， a
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{x|x2≤1}，M＝{a}．若P∪M＝P，则a的取值范围 是( ) B．[1，＋∞) D．(－∞，－1]∪[1，＋∞)
A．(－∞，－1] C．[－1，1]
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(2)(2011· 高考天津卷)已知集合A＝{x∈R||x－ 1|<2}，Z为整数集，则集合A∩Z中所有元素
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变式训练
3．设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋2(a
＋1)x＋(a2－5)＝0}．若A∩B＝{2}，则实数a的
值为________． 解析：由x2－3x＋2＝0得x＝1或x＝2，故集合A ＝{1，2}． ∵A∩B＝{2}，∴2∈B，代入集合B中的方程，
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2．若集合M＝{－1，0，1}，N＝{0，1，2}，则 M∩N等于( )
A．{0，1}
C．{0，1，2}
B．{－1，0，1}
D．{－1，0，1，2}
解析：选A.∵M＝{－1，0，1}，N＝{0，1，2}， ∴M∩N＝{0，1}．
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3．(教材习题改编)已知集合A＝{1}，B＝{x|mx －1＝0}，若B⊆A，则m的值为________．
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§1.1
集合的概念与运算
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教材回扣夯实双基
基础梳理
互异性 确定性 (1)集合中元素的特性：________、_________、 无序性． __________ (2)集合与元素的关系 a∈A ①a属于集合A，用符号语言记作______.
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备选例题(教师用书独具)
已知集合 A＝{x|0＜ax＋1≤5}， 集合 B 1 ＝x－2 ＜x≤2.
(1)若A⊆B，求实数a的取值范围； (2)A、B能否相等？若能，求出a的值；若不 例
能，试说明理由．
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3．集合的基本运算 集合的并集 集合的交集 符号 表示 集合的补集
A∪B
若全集为U，则 A∩B _________ 集合A的补集为 ∁UA
图形 表示
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集合的并集 集合的交集 意义 {x|x∈A， 或x∈B} A⊆A∪B B⊆A∪B A∪B＝B ⇔A⊆B
助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数
轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端 点值，做到准确无误，一般含“＝”用实心点 表示，不含“＝”用空心点表示．(3)对两集合 A、B，当A⊆B时，不要忘记A＝∅的情况．
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解得 a＝2. 综上，若 A＝B，a 的值为 2.
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变式训练
2．若集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋
1≤x≤2m－1}，且B⊆A，求由m的可能取值组
成的集合． 解：当m＋1>2m－1， 即m<2时，B＝∅， 满足B⊆A；
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解析：∵M＝{x|lgx2＝0}＝{－1，1}，
N＝{x|2－1<2x＋1<22，x∈Z}＝{－1，0}． ∴M∩N＝{－1}． 答案：{－1}
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考点探究讲练互动
考点突破 考点1 集合的概念
b 2 例1 设 a，b∈R，集合{a， ，1}＝{a ，a＋b，0}， a 求 a2012＋b2012 的值．
若 B≠∅，且满足 B⊆A，如图所示，
m＋1≤2m－1， 则m＋1≥－2， 2m－1≤5， m≥2， 即m≥－3， m≤3.
∴2≤m≤3.
故m<2或2≤m≤3，即所求集合为{m|m≤3}．
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考点3
例3
ห้องสมุดไป่ตู้
集合的运算
(1)(2011· 考 北 京 卷 ) 已 知 集 合 P ＝ 高
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集合与常用逻辑用语
得a2＋4a＋3＝0⇒a＝－1或a＝－3. 当a＝－1时，
B＝{x|x2－4＝0}＝{－2，2}，满足条件；
当m，n都为正偶数或正奇数时，
36＝1＋35＝2＋34＝3＋33＝…＝17＋19＝ 18＋18，共18个等式，能组成的实数对(a， b)为18×2－1＝35对；
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当m，n中一个为正奇数，另一个为正偶数时， 36＝1×36＝3×12＝4×9，能组成的实数对(a，
b)为2×3＝6对，因此集合中共有41个元素，
a∉A ②a不属于集合A，用符号语言记_____.
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集合与常用逻辑用语
(3)常见集合的符号表示
自然数 数集 集非负 整数集 N _____
正整数集
有理 整数集 数集
实数 集
符号
N＋ _________
高中数学第1章集合与常用逻辑用语1.1集合的概念第1课时集合的含义人教A版必修第一册
1．(变条件)本例若去掉条件“a∈A”，其他条件不变，求实数a的取 值范围．
点、易混点)
自主预习 探新知
1．元素与集合的相关概念 (1)元素：一般地，把研究对象统称为元素，常用小写的拉丁字母 a，b，c，… 表示． (2)集合：一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，常用大写拉丁 字母 A，B，C，… 表示． (3)集合相等：指构成两个集合的元素是一样 的． (4)集合中元素的特性：确定性 、互异性和无序性 ．
元素与集合的关系
【例2】 (1)下列所给关系正确的个数是( )
①π∈R；② 2∉Q；③0∈N*；④|－5|∉N*.
A．1
B．2
C．3
D．4
(2)已知集合A含有三个元素2,4,6，且当a∈A，有6－a∈A，那么a为
() A．2
B．2或4
C．4
D．0
(1)B (2)B [(1)①π是实数，所以π∈R正确； ② 2是无理数，所以 2∉Q正确；③0不是正整数，所以0∈N*错误； ④|－5|＝5为正整数，所以|－5|∉N*错误．故选B. (2)集合A含有三个元素2,4,6，且当a∈A，有6－a∈A，a＝2∈A,6－a ＝4∈A， 所以a＝2， 或者a＝4∈A,6－a＝2∈A， 所以a＝4， 综上所述，a＝2或4.故选B.]
第一章 集合与常用逻辑用语
1.1 集合的概念 第1课时 集合的含义
学习目标
核心素养
1.通过实例了解集合的含义．(难点) 1.通过集合概念的学习，逐步
高中数学一章集合与常用逻辑用语1.1.1集合及其表示方法集合的含义
第1课时集合的含义考点学习目标核心素养集合的概念了解集合与元素的概念数学抽象理解元素与集合的关系，掌握数学元素与集合的关系数学抽象、逻辑推理中一些常见的集合及其记法理解集合中元素的特征，并能利用数学运算、数学抽象集合中元素的特征及应用它们进行解题问题导学预习教材P3－P5的内容，思考以下问题：1．集合和元素的概念是什么？2．如何用字母表示集合和元素？3．元素和集合之间有哪两种关系？4．常见的数集有哪些？分别用什么符号来表示？5．按元素个数的多少，集合可分为哪几类？1．元素与集合的概念(1)集合：把一些能够确定的、不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象组成的集合(有时简称为集)，通常用英文大写字母A，B，C，…表示．(2)元素：组成集合的每个对象都是这个集合的元素，通常用英文小写字母a，b，c，…表示．(3)元素的特性①确定性：集合的元素必须是确定的；②互异性：对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的．③无序性：集合中的元素可以任意排列，与次序无关.■名师点拨(1)在解决集合问题时，首先要明确集合中的元素是什么，集合中的元素可以是点，也可以是一些人或一些物．(2)集合中的元素与顺序无关，只要两个集合中的元素是一样的，这两个集合就是同一个集合．2．元素与集合的关系关系 语言描述 记法 读法属于a 是集合A 中的元素 a ∈Aa 属于A不属于a 不是集合A 中的元素a ∉Aa 不属于A■名师点拨对元素和集合之间关系的两点说明(1)符号“∈”“∉”刻画的是元素与集合之间的关系．对于一个元素a 与一个集合A 而言，只有“a ∈A ”与“a ∉A ”这两种结果．(2)“∈”和“∉”具有方向性，左边是元素，右边是集合，形如“R ∈0”是错误的． 3．空集(1)定义：不含任何元素的集合． (2)符号：∅．4．常用的数集及其记法 常用的数集 自然数集正整数集 整数集 有理数集实数集 记法 NN *或N ＋ZQR5.集合的分类(1)集合⎩⎪⎨⎪⎧有限集：含有有限个元素的集合无限集：含有无限个元素的集合(2)空集是有限集．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)集合中的元素一定是数．( )(2)高一四班的全体同学组成一个集合．( )(3)由1，2，3构成的集合与由3，2，1构成的集合是同一个集合． ( ) (4)一个集合中可以找到两个相同的元素．( ) (5)集合N 中的最小元素为0.( ) (6)若a ∈Q ，则一定有a ∈R .( )答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)× (5)√ (6)√ 由“title ”中的字母构成的集合中元素个数为( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5解析：选C.由“title ”中的字母构成的集合中元素为t ，i ，l ，e ，共4个． 下列关系中：①0.21∈Q ；②105∉N *；③－4∈N *；④4∈N ；⑤0∈∅.其中正确的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选C.①是正确的；②中105＝2∈N *，故②错误；③中－4＝－2∉N *，故③错误；④4＝2∈N 是正确的，⑤0∉∅，故⑤错误．故①④正确．已知集合M 有两个元素3和a ＋1，且4∈M ，则实数a ＝________． 解析：由题意知a ＋1＝4，即a ＝3. 答案：3 集合的概念2019年9月，我们踏入了心仪的高中校园，找到了自己的班级．则下列对象能构成一个集合的是哪些？并说明你的理由．(1)你所在班级中全体同学； (2)班级中比较高的同学；(3)班级中身高超过178 cm 的同学； (4)班级中比较胖的同学； (5)班级中体重超过75 kg 的同学； (6)学习成绩比较好的同学．【解】 (1)班级中全体同学是确定的，所以可以构成一个集合． (2)因为“比较高”无法衡量，所以对象不确定，所以不能构成一个集合． (3)因为“身高超过178 cm ”是确定的，所以可以构成一个集合． (4)因为“比较胖”无法衡量，所以对象不确定，所以不能构成一个集合． (5)因为“体重超过75 kg ”是确定的，可以构成一个集合．(6)因为“学习成绩比较好”无法衡量，所以对象不确定，所以不能构成一个集合．判断一组对象能否构成集合的方法一般地，确认一组对象a 1，a 2，a 3，…，a n (a 1，a 2，…，a n 均不相同)能否构成集合的过程为1．(2019·临川检测)考察下列每组对象，能组成一个集合的是( )①一中高一年级聪明的学生；②直角坐标系中横、纵坐标相等的点；③不小于3的正整数；④3的近似值．A．①②B．③④C．②③D．①③解析：选C.①“一中高一年级聪明的学生”的标准不确定，因而不能构成集合；②“直角坐标系中横、纵坐标相等的点”的标准是确定的，因而能构成集合；③“不小于3的正整数”的标准是确定的，因而能构成集合；④“3的近似值”的标准不确定，所以不能构成集合．2．中国男子篮球职业联赛(China Basketball Association)，简称中职篮(CBA)，是由中国篮球协会所主办的跨年度主客场制篮球联赛，是中国最高等级的篮球联赛．下列对象能构成一个集合的是哪些？并说明你的理由．(1)2018～2019赛季，CBA的所有队伍；(2)CBA中比较著名的队员；(3)CBA中得分前五位的球员；(4)CBA中比较高的球员．解：(1)CBA的所有队伍是确定的，所以可以构成一个集合．(2)“比较著名”没有衡量的标准，对象不确定，所以不能构成一个集合．(3)“得分前五位”是确定的，可以构成一个集合．(4)“比较高”没有衡量的标准，对象不确定，所以不能构成一个集合．元素与集合的关系(1)下列关系中，正确的有( )①12∈R；②2∉Q；③|－3|∈N；④|－3|∈Q.A．1个B．2个C．3个D．4个(2)满足“a∈A且4－a∈A，a∈N且4－a∈N”，有且只有2个元素的集合A的个数是( )A．0 B．1C．2 D．3【解析】 (1)12是实数，2是无理数，|－3|＝3是非负整数，|－3|＝3是无理数．因此，①②③正确，④错误． (2)因为a ∈A 且4－a ∈A ，a ∈N 且4－a ∈N ，若a ＝0，则4－a ＝4， 此时A 满足要求； 若a ＝1，则4－a ＝3， 此时A 满足要求； 若a ＝2，则4－a ＝2， 此时A 含1个元素不满足要求．故有且只有2个元素的集合A 有2个，故选C. 【答案】 (1)C (2)C判断元素和集合关系的两种方法(1)直接法：如果集合中的元素是直接给出的，只要判断该元素在已知集合中是否给出即可. 此时应首先明确集合是由哪些元素构成的．(2)推理法：对于某些不便直接表示的集合，判断元素与集合的关系时，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可．此时应首先明确已知集合的元素具有什么属性，即该集合中元素要符合哪种表达式或满足哪些条件．1．用适当的符号填空：已知集合A 中的元素x 是被3除余2的整数，则有： 17________A ；－5________A . 解析：由题意可设x ＝3k ＋2，k ∈Z ， 令3k ＋2＝17得，k ＝5∈Z . 所以17∈A .令3k ＋2＝－5得，k ＝－73∉Z .所以－5∉A .答案：∈ ∉2．已知集合A 中元素满足2x ＋a >0，a ∈R .若1∉A ，2∈A ，则实数a 的取值范围为________． 解析：因为1∉A ，2∈A ，所以⎩⎪⎨⎪⎧2×1＋a ≤0，2×2＋a >0，即－4<a ≤－2. 答案：－4<a ≤－2 集合中元素的特征及应用已知集合A 中含有两个元素a 和a 2，若1∈A ，则实数a 的值为________． 【解析】 若1∈A ，则a ＝1或a 2＝1，即a ＝±1. 当a ＝1时，集合A 中有重复元素， 所以a ≠1；当a ＝－1时，集合A 含有两个元素1，－1，符合元素的互异性，所以a ＝－1. 【答案】 －11．(变条件)若去掉本例中的条件“1∈A ”，则实数a 的取值范围是什么？ 解：因为集合A 中含有两个元素a 和a 2， 所以a ≠a 2， 即a ≠0且a ≠1.2．(变条件)若将本例中的“1∈A ”改为“2∈A ”，则a 为何值？ 解：因为2∈A ， 所以a ＝2或a 2＝2， 即a ＝2或a ＝± 2.3．(变条件)若由a 和a 2构成的集合只有一个元素，则a 为何值？解：因为由a 和a 2构成的集合只有一个元素，所以a ＝a 2，即a ＝0或a ＝1.由集合中元素的特征求解字母取值(范围)的步骤1．若集合M 中的三个元素是△ABC 的三边长，则△ABC 一定不是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．等腰三角形解析：选D.由集合中元素的互异性可知，集合中的任何两个元素都不相同，故选D. 2．若集合A 中的三个元素x ，x ＋1，1与集合B 中的三个元素x ，x ＋x 2，x 2相同，求实数x 的值．解：因为集合A 与B 的元素相同，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝x 2，1＝x 2＋x 或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝x 2＋x ，1＝x 2. 解得x ＝±1.经检验，x ＝1不符合集合中元素的互异性，而x ＝－1符合， 所以x ＝－1.1．下列各组对象可以组成集合的是( ) A ．数学必修1课本中所有的难题 B ．小于8的所有质数C ．直角坐标平面内第一象限的一些点D ．所有小的正数解析：选B.A 中“难题”的标准不确定，因而不能构成集合；B 能构成集合；C 中“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合．D 中“小”没有明确的标准，所以不能构成集合．2．下列结论中，不正确的是( ) A ．若a ∈N ，则1a∉NB ．若a ∈Z ，则a 2∈Z C ．若a ∈Q ，则|a |∈Q D ．若a ∈R ，则3a ∈R解析：选A.A 不正确．反例：a ＝1∈N ，1a＝1∈N .3．若以方程x 2－5x ＋6＝0和x 2－x －2＝0的解为元素组成集合M ，则M 中元素的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C.方程x 2－5x ＋6＝0的解为x ＝2或x ＝3，x 2－x －2＝0的解为x ＝2或x ＝－1，所以集合M 中含有3个元素．4．下列集合中________是有限集，________是无限集(填序号)． (1)由小于8的正奇数组成的集合； (2)大于5小于20的实数组成的集合．解析：(1)因为小于8的正奇数有1，3，5，7，所以其组成的集合是有限集． (2)因为大于5小于20的实数包括整数、小数等，有无数个，所以其组成的集合是无限集．答案：(1) (2)5．已知集合A 是由0，m ，m 2－3m ＋2三个元素构成的集合，且2∈A ，则实数m ＝________． 解析：由题意知，m ＝2或m 2－3m ＋2＝2， 解得m ＝2或m ＝0或m ＝3，经验证， 当m ＝0或m ＝2时， 不满足集合中元素的互异性， 当m ＝3时，满足题意， 故m ＝3. 答案：3[A 基础达标]1．现有以下说法，其中正确的是( ) ①接近于0的数的全体构成一个集合； ②正方体的全体构成一个集合； ③未来世界的高科技产品构成一个集合； ④不大于3的所有自然数构成一个集合． A ．①② B ．②③ C ．③④D ．②④解析：选D.在①中，接近于0的数的全体不能构成一个集合，故①错误；在②中，正方体的全体能构成一个集合，故②正确；在③中，未来世界的高科技产品不能构成一个集合，故③错误；在④中，不大于3的所有自然数能构成一个集合，故④正确．2．给出下列关系：①13∈R ；②5∈Q ；③－3∉Z ；④－3∉N ，其中正确的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B.13是实数，①正确；5是无理数，②错误；－3是整数，③错误；－3是无理数，④正确．故选B.3．设A 是方程2x 2＋ax ＋2＝0的解集，且2∈A ，则实数a 的值为( ) A ．－5 B ．－4 C ．4D ．5解析：选A.因为2∈A ， 所以2×22＋2a ＋2＝0， 解得a ＝－5.4．设集合M 是由不小于23的数组成的集合，a ＝11，则下列关系中正确的是( ) A ．a ∈M B ．a ∉M C ．a ＝MD ．a ≠M解析：选B.因为集合M 是由不小于23的数组成的集合，a ＝11，所以a 不是集合M 中的元素，故a ∉M .5．由实数x ，－x ，|x |，x 2，－3x 3所组成的集合，最多含有 ( ) A ．2个元素 B ．3个元素 C ．4个元素D ．5个元素解析：选A.x 2＝|x |，－3x 3＝－x . 当x ＝0时，它们均为0；当x >0时，它们分别为x ，－x ，x ，x ，－x ； 当x <0时，它们分别为x ，－x ，－x ，－x ，－x .通过以上分析，它们最多表示两个不同的数，故此集合中元素最多含有2个． 6．下列说法：①集合N 与集合N *是同一个集合；②集合N 中的元素都是集合Z 中的元素；③集合Q 中的元素都是集合Z 中的元素；④集合Q 中的元素都是集合R 中的元素；⑤方程x 2＋2x ＋3＝0的解集是∅.其中正确的有________(填序号)．解析：集合N *表示正整数集，N 表示自然数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集，因为方程x 2＋2x ＋3＝0无解，所以它的解集为∅.所以①③的说法不正确，②④⑤的说法正确． 答案：②④⑤7．已知集合A 是由偶数组成的，集合B 是由奇数组成的，若a ∈A ，b ∈B ，则a ＋b ________A ，ab ________A ．(填“∈”或“∉”)解析：因为a 是偶数，b 是奇数，所以a ＋b 是奇数，ab 是偶数，故a ＋b ∉A ，ab ∈A . 答案：∉ ∈8．若a ，b ∈R ，且a ≠0，b ≠0，则|a |a ＋|b |b的可能取值所组成的集合中元素的个数为________．解析：当a >0且b >0时，|a |a ＋|b |b＝2；当a ·b <0时，|a |a ＋|b |b＝0；当a <0且b <0时， |a |a ＋|b |b＝－2.所以集合中的元素为2，0，－2. 即元素的个数为3. 答案：39．已知集合A 含有两个元素a －3和2a －1，a ∈R . (1)若－3∈A ，试求实数a 的值； (2)若a ∈A ，试求实数a 的值．解：(1)因为－3∈A ，所以－3＝a －3或－3＝2a －1.若－3＝a －3，则a ＝0.此时集合A 含有两个元素－3，－1，符合题意； 若－3＝2a －1，则a ＝－1.此时集合A 含有两个元素－4，－3，符合题意． 综上所述，实数a 的值为0或－1. (2)因为a ∈A ，所以a ＝a －3或a ＝2a －1. 当a ＝a －3时，有0＝－3，不成立；当a ＝2a －1时，有a ＝1，此时A 中有两个元素－2，1，符合题意．综上知a ＝1. 10．集合A 是由形如m ＋3n (m ∈Z ，n ∈Z )的数构成的，试分别判断a ＝－3，b ＝13－3，c ＝(1－23)2与集合A 的关系．解：因为a ＝－3＝0＋(－1)×3，而0，－1∈Z ，所以a ∈A ； 因为b ＝13－3＝3＋3（3－3）（3＋3）＝12＋36，而12，16∉Z ，所以b ∉A ；因为c ＝(1－23)2＝13＋(－4)×3，而13，－4∈Z ，所以c ∈A .[B 能力提升]11．集合A 中的元素y 满足y ∈N 且y ＝－x 2＋1，若t ∈A ，则t 的值为( ) A ．0 B ．1C ．0或1D ．小于或等于1解析：选C.由y ∈N 且y ＝－x 2＋1≤1，所以y ＝0或y ＝1，所以A ＝{0，1}．又因为t ∈A ，所以t ＝0或t ＝1，故选C.12．集合A 的元素y 满足y ＝x 2＋1，集合B 的元素(x ，y )满足y ＝x 2＋1(A ，B 中x ∈R ，y ∈R )．则下列选项中元素与集合的关系都正确的是( )A ．2∈A ，且2∈BB ．(1，2)∈A ，且(1，2)∈BC ．2∈A ，且(3，10)∈BD ．(3，10)∈A ，且2∈B解析：选C.集合A 中的元素为y ，是数集，又y ＝x 2＋1≥1，故2∈A ，集合B 中的元素为点(x ，y )，且满足y ＝x 2＋1，经验证，(3，10)∈B ，故选C.13．(2019·信阳检测)已知集合P 中元素x 满足：x ∈N ，且2<x <a ，又集合P 中恰有三个元素，则整数a ＝________.解析：因为集合P 中恰有三个不同元素，且元素x 满足x ∈N ，且2<x <a ，则满足条件的x 的值为3，4，5，所以a 的值是6.答案：614．设集合A 中的元素是实数，且满足1∉A ，且若a ∈A ，则11－a∈A .若2∈A ，写出集合A 中的元素．解：因为2∈A ，所以11－2＝－1∈A ， 所以11－（－1）＝12∈A ， 所以11－12＝2， 再求下去仍然只得到2，－1，12这三个数， 所以集合A 中的元素只有三个－1，12，2. [C 拓展探究]15．定义满足“如果a ∈A ，b ∈A ，那么a ±b ∈A ，且ab ∈A ，且a b∈A (b ≠0)”的集合A 为“闭集”．试问数集N ，Z ，Q ，R 是否分别为“闭集”？若是，请说明理由；若不是，请举反例说明．解：(1)数集N ，Z 不是“闭集”，例如，3∈N ，2∈N ，而32＝1.5∉N ；3∈Z ，－2∈Z ，而3－2＝－1.5∉Z ，故N ，Z 不是闭集． (2)数集Q ，R 是“闭集”．由于两个有理数a 与b 的和，差，积，商，即a ±b ，ab ，a b (b ≠0)仍是有理数，所以Q 是闭集，同理R 也是闭集．。
高三理科数学第一轮复习§1.1： 集合
解析
解析
第一章：集合与常用逻辑用语
第1节： 集合
解析
第一章：集合与常用逻辑用语
第1节： 集合
第一章：集合与常用逻辑用语
第1节： 集合
第一章：集合与常用逻辑用语
第1节： 集合
第一章：集合与常用逻辑用语
第1节： 集合
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
解析
第一章：集合与常用逻辑用语
第1节： 集合
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第1节： 集合
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第一章：集合与常用逻辑用语
第1节： 集合
解析
集合的概念
集合A
集合中的元素有什么特征?
问题1：我班所有的“帅哥”能否构成一个集合?由此说明什么?
集合中元素必须是确定的(即确定性),也就是说,给定
一个集合,那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了.
问题2：在一个给定的集合中能否有相同的元素？由此说明什么？
集合中的元素是互不相同的(即互异性)，也就是说，
集合中的元素是不重复出现的.
2.初中的集合实例
数集：①自然数的集合;
②方程x2+5x＋6=0的实数根集合;
③不等式x-7<3的解的集合.
点集：①平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合(即圆).
②到一条线段的两个端点的距离相等的点的集合(即这条
线段的垂直平分线).
那么，在高中阶段我们又是怎样定义“集合”的呢？
一、探究新知
看下面的例子：
问题3：我班所有同学组成一个集合，调整座位后这个集合有没有
变化？由此说明什么？
集合中的元素是没有顺序的(即无序性)，也就是说，
集合中的任何两个元素都可以交换位置.
二、集合的有关概念
知识点二
集合的特性
2.集合中元素的特性： 确定性、互异性、无序性.
如果构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两
个集合是相等的.
{ 1 ，2 ，3 }
先用花括号
(表示整体）
用“，”隔开
①要把集合中的元素都列举出来，写在{ }内
注意
②元素之间用，隔开
③元素不重复且无顺序
例1 用列举法表示下列集合
（1）小于10的所有自然数的集合；
（2）方程x 2 = x的所有实数根组成的集合.
那同学们思考一下x-7＜3的解集还能用列举法表示吗？
2019新人教版高中数学必修第一册第1章集合与常用逻辑用语知识点总结
2019新人教版高中数学必修第一册第1章集合与常用逻辑用语知识点总结的表示法是将a放在大括号中，表示一个只含有a这一个元素的集合。
2）描述法中，要注意符号的使用和表达的准确性。
3）在交集与并集的性质中，要注意交集和并集的交换律和结合律。
4）在全集和补集的性质中，要注意补集的定义和符号的使用。
第一章集合和常用逻辑用语1.1 集合的含义和表示集合是由一些元素组成的总体。
元素具有确定性、互异性和无序性。
我们通常用大写的拉丁字母A、B、C等表示集合，用小写拉丁字母a、b、c等表示元素。
如果元素x在集合A中，我们称x属于A，记为x∈A，否则称x不属于A，记作x∉A。
常用的数集有非负整数集（即自然数集）记作N，正整数集记作N*或N+，整数集记作Z，有理数集记作Q，实数集记作R。
集合的表示法有列举法、描述法和图示法。
列举法是把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。
描述法是用集合所含元素的公共特征表示集合的方法，可以用语言描述法和数学式子描述法。
图示法是用Venn图表示集合和元素之间的关系。
1.2 集合间的基本关系集合间有“包含”关系和“相等”关系。
如果集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，则A叫做B的子集，记为A⊆B，例如N⊆Z。
子集的个数为2的n次方（n为集合中元素个数）。
如果A是B的子集，而且B中存在元素不属于A，则A叫B的真子集。
真子集的个数为2的n次方减1（n为集合中元素个数）。
如果A是B的子集，B也是A的子集，则称A与B相等。
空集是不含任何元素的集合，用∅来表示。
空集∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。
1.3 集合的基本运算集合有交集和并集两种基本运算。
交集是指集合A和集合B中共同拥有的元素组成的集合，记为A∩B。
并集是指集合A和集合B中所有元素组成的集合，记为A∪B。
交集和并集有交换律和结合律。
全集是指包含所有元素的集合，通常用U来表示。
补集是指集合A中不属于集合B的元素组成的集合，记为CBA。
高中数学第一章集合与常用逻辑用语1.1集合1.1.1集合及其表示方法学案含解析第一册
1．1 集合1．1。
1集合及其表示方法内容标准学科素养1。
通过实例了解集合的含义,体会元素与集合的“属于”关系．数学抽象数学建模2.能用自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题。
授课提示：对应学生用书第1页[教材提炼]知识点一元素与集合的概念1．集合：有一些能够确定的、不同的对象汇聚在一起，就说由这些对象构成一个集合．通常用英文大写字母A，B，C…表示．2．元素：组成集合的每个对象都是这个集合的元素，通常用英文小写字母a，b，c…表示．3．空集：不含任何元素的集合称为空集，记作∅。
知识点二元素与集合的关系1．属于:如果a是集合A的元素，就记作a∈A，读作a属于A。
2．不属于:如果a不是集合A中的元素,就记作a∉A，读作a 不属于集合A。
3．无序性:集合中的元素,可以任意排列，与次序无关．知识点三集合元素的特点1．确定性：集合的元素必须是确定的．2．互异性：对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的．知识点四集合的分类1．有限集:含有有限个元素的集合．2．无限集：含有无限个元素的集合．知识点五几种常见的数集号N＊知识点六集合的表示方法1．列举法把集合的所有元素一一列举出来(相邻元素之间用逗号分隔），并写在大括号内，这种表示集合的方法称为列举法．2．描述法(1)特征性质：一般地,如果属于集合A的任意一个元素x都具有性质p(x)，而不属于集合A的元素都不具有这个性质，则性质p(x）称为集合A的一个特征性质．(2)描述法：用特征性质p(x）来表示集合的方法，称为特征性质描述法，简称描述法．知识点七区间及其表示1．如果a<b，则有下表:定义名称符号数轴表示｛x|a≤x≤b｝闭区间[a,b］｛x｜a 〈x<b｝开区间（a，b){x|a≤x 〈b}半开半闭区间［a，b）{x｜a<x≤b}半开半闭区间(a，b]2.实数集R可以用区间表示为(－∞,＋∞），“∞"读作“无穷大”．如：符号［a,＋∞)（a，＋∞)(－∞,a］(－∞，a）定义｛x｜x≥a}{x|x〉a｝｛x|x≤a｝｛x｜x〈a}［自主检测]1．下列给出的对象中，能组成集合的是(）A．与定点A，B等距离的点B．高中学生中的游泳能手C．无限接近10的数D．非常长的河流答案:A2．若一个集合中的三个元素a，b,c是△ABC的三边长,则此三角形一定不是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形答案：D3．下列结论中，不正确的是(）A．若a∈N，则错误!∉NB．若a∈Z，则a2∈ZC．若a∈Q，则|a|∈QD．若a∈R，则错误!∈R答案：A4．分别用描述法、列举法表示大于0小于6的自然数组成的集合．解析：描述法：｛x∈N｜0＜x＜6}，列举法：{1，2，3，4，5｝．授课提示:对应学生用书第2页探究一集合的概念［例1]下列对象中可以构成集合的是（)A．大苹果B．小橘子C．中学生D．著名的数学家[解析］选项正误原因A×大苹果到底以多重算大，标准不明确B×小橘子到底以多重算小，标准不明确C√中学生标准明确，故可构成集合Dד著名”的标准不明确[答案］C判断一个“全体"是否能构成一个集合，其关键是对标准的“确定性”的把握，即根据这个“标准”，可以明确判定一个对象是或者不是给定集合的元素．给出下列元素①学习成绩较好的同学；②方程x2－1＝0的解;③漂亮的花儿；④大气中直径较大的颗粒物．其中能组成集合的是(）A．②B．①③C．②④D．①②④答案:A探究二元素与集合的关系［例2］集合A中的元素x满足错误!∈N，x∈N，则集合A 中的元素为________．［解析]由错误!∈N,x∈N知x≥0，错误!＞0，且x≠3，故0≤x＜3.又x∈N，故x＝0,1,2。
高中数学第一章集合与常用逻辑用语1.1.1集合及其表示方法(第2课时)集合的表示
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区间及其表示 把下列数集用区间表示： (1)x|x≥－12； (2){x|x＜0}； (3){x|－2＜x≤3}； (4){x|－3≤x＜2}； (5){x|－1＜x＜6}．
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第二十七页，共四十六页。
【解】 (1)－12，＋∞； (2)(－∞，0)； (3)(－2，3]； (4)[－3，2)； (5)(－1，6)．
集合表示法 学会在集合的不同表示法
的简单应用 中作出选择和转换
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核心素养 数学抽象
数学抽象
数学抽象 数学抽象
问题导学 预习教材 P5 倒数第 4 行－P8 的内容，思考以下问题： 1．集合有哪几种表示方法？它们如何定义？ 2．列举法的使用条件是什么？如何用符号表示？ 3．描述法的使用条件是什么？如何用符号表示？ 4．如何用区间表示集合？
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2．描述法 一般地，如果属于集合 A 的任意一个元素 x 都具有性质 p(x)， 而不属于集合 A 的元素都不具有这个性质，则性质 p(x)称为集 合 A 的一个特征性质．此时，集合 A 可以用它的特征性质 p(x) 表 示 为 _____{_x_|p_(_x_)}_____ ． 这 种 表 示 集 合 的 方 法 ， 称 为 __特__征__(t_èz_hē_n_g)_性_质__描__述_法___，简称为描述法．
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3．使 51－x有意义的 x 的取值范围为________(用区间表示)． 解析：要使 51－x有意义，则 5－x＞0，即 x＜5. 答案：(－∞，5)
试分别用描述法和列举法表示下列集合： (1)由方程 x(x2－2x－3)＝0 的所有实数根组成的集合； (2)大于 2 小于 7 的整数． 解：(1)用描述法表示为{x∈R|x(x2－2x－3)＝0}，用列举法表示 为{0，－1，3}． (2)用描述法表示为{x∈Z|2<x<7}，用列举法表示为 {3，4，5，6}．
高中数学必修第一册第1章 集合与常用逻辑用语
6 集合的3种表示方法之描述法
一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x
所组成的集合表示为｛ x ∈A|P(x)｝，这种表示集合的方法称为描述法。
例如，我们可以把奇数集表示为｛ x ∈Z| x =2k + 1(k∈Z)｝，
偶数集表示为｛ x ∈Z| x =2k(k∈Z)｝；
如{x|x < −1或x > 2}
6 课堂练习
请用描述法表示下列集合：
（1）方程x 2 − 4 = 0的所有实数根组成的集合A；
（2）由大于10而小于20的所有整数组成的集合B.
解：（1）A={| x 2 − 4 = 0}
（2）B={∈Z|10 < < 20}
7 表示集合的三种方法各有什么特点？
同，那么它们就是相等的集合。｛1，2，3｝和｛3，2，1｝是
同样的集合
3 集合和元素怎么表示？它们之间有什么关系？
一般来说：用大写拉丁字母A、B、C…等表示集合
用小写拉丁字母, , …等表示元素
元素与集合的关系：
如果是是集合A的元素，那么就说属于集合A，记作∈A；
如果是不是集合A的元素，那么就说不属于集合A，记作∉A；
比如，3∈自然数集；4∉奇数集
4 常用的数集比如自然数集怎么表示？
注意写法
【自然数集】全体自然数组成的集合，0，1，2…，记作N，也叫非负整数集
【正整数集】全体正整数组成的集合，记作N*或N+；
【整数集】 全体整数组成的集合，记作Z；
【有理数集】全体有理数组成的集合，记作Q；
【实数集】 全体实数组成的集合，记作R；
确定性
对于一个给定的集合，它的元素必须是确定的。也就是说，对于
高考数学《1.1集合与常用逻辑用语》
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解析 答案
第一章
1.1 集合的概念与运算
知识体系
知识梳理
核心考点
-13-
知识梳理 双基自测 自测点评
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5.(教材例题改编P8例5)设集合A={x|(x+1)·(x-2)<0},集合 B={x|1<x<3},则A∩B=( )
A.(-1,3) B.(-1,0) C.(1,2) D.(2,3)
A.{1,2,3} B.{1,2,4}
C.{1,3,4} D.{2,3,4}
解析 ∵A={1,4},B={2,4}, ∴A∩B={4}. 又U={x∈N*|x≤4}={1,2,3,4}, A∴∁U(A∩B)={1,2,3}
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解析 答案
第一章
1.1 集合的概念与运算
知识体系
知识梳理
核心考点
-12-
12345
2.集合间的基本关系
关系 自然语言
符号语言
集合 A 中所有元素都在 子集 集合 B 中(即若 x∈A,则 x A⊆B(或B⊇A)
∈B)
真子 集
相等
集合 A 是集合 B 的子集, 且集合 B 中至少有一个 元素不在集合 A 中
集合 A,B 中元素相同或 集合 A,B 互为子集
A⫋B(或B⫌A) A=B
-5-
Venn 图 或
第一章
1.1 集合的概念与运算
知识体系
知识梳理
核心考点
-6-
知识梳理 双基自测 自测点评
12345
3.集合的运算
集合的并集
集合的交集
集合的补集
图形
符号
A∪B
={x|x∈A或x∈B}
高中数学教材必修第一册第一章1.1集合的概念
2．下列三个关系式：① 5∈R；②14∉Q；③0∈Z.其中正确的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．0
【解析】 ①正确；②因为14∈Q，错误；③0∈Z，正确． 【答案】 B
3．a，b，c，d 为集合 A 的四个元素，那么以 a，b，c，d 为边长构成的四边形
可能是( )
A．矩形
B．平行四边形
第一章 集合与常用逻辑用语
1.1集合的概念
情景导学
情景1：“集合”是日常生活中的一个常用词，现代汉语 解释为:许多的人或物聚在一起. 康托尔（G.Cantor,1845-1918）.德国 数学家，集合论创始人.人们把康托尔于 1873年12月7日给戴德金的信中最早提出集
合论思想的那一天定为集合论诞生日.
还可以把奇数集合表示为 {x | x 2k 1, x Z}
又如所有偶数的集合怎样表示？
{ x∈Z | x=2k , k∈Z}
描述法：用这个集合所含元素的共同特征表示集合
的方法．
{x I | p( x)}
代表元素
共同特征
取值范围
注意：如果从上下文的关系来看， x∈R ，x∈Z 是明确的，那么x∈R ，x∈Z 可以省略，只写元素x. 例如 { x∈R | x<10 } = { x | x<10 }
思考:
上述每个问题都由若干个对象组成，每组对象的全体都能组成集合吗？ 我们把研究的对象统称为元素，元素分别是什么？
集合定义的理解
1.是一定范围内的确定的对象； 2.是不同的对象； 3.是这些对象的全体.
归纳总结
一般地， 我们把研究对象统称为元素. 通常用小写拉丁字母a,b,c,...来表示. 我们把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集). 通常用大写拉丁字母A,B,C,...来表示.