初中数学解题方法(PDF版)
初中数学解题技巧口诀
有理数的加法运算同号两数来相加，绝对值加不变号异号相加大减小，大数决定和符号互为相反数求和，结果是零须记好【注】“大”减“小”是指绝对值的大小有理数的减法运算减正等于加负，减负等于加正有理数的乘法运算符号法则同号得正异号负，一项为零积是零合并同类项说起合并同类项，法则千万不能忘只求系数代数和，字母指数留原样去、添括号法则去括号或添括号，关键要看连接号扩号前面是正号，去添括号不变号括号前面是负号，去添括号都变号解方程已知未知闹分离，分离要靠移完成移加变减减变加，移乘变除除变乘平方差公式两数和乘两数差，等于两数平方差积化和差变两项，完全平方不是它完全平方公式二数和或差平方，展开式它共三项首平方与末平方，首末二倍中间放和的平方加联结，先减后加差平方完全平方公式首平方又末平方，二倍首末在中央和的平方加再加，先减后加差平方解一元一次方程先去分母再括号，移项变号要记牢同类各项去合并，系数化“1”还没好求得未知须检验，回代值等才算了因式分解与乘法和差化积是乘法，乘法本身是运算积化和差是分解，因式分解非运算因式分解两式平方符号异，因式分解你别怕两底和乘两底差，分解结果就是它两式平方符号同，底积2倍坐中央因式分解能与否，符号上面有文章同和异差先平方，还要加上正负号同正则正负就负，异则需添幂符号因式分解一提二套三分组，十字相乘也上数四种方法都不行，拆项添项去重组重组无望试求根，换元或者算余数多种方法灵活选，连乘结果是基础同式相乘若出现，乘方表示要记住【注】一提（提公因式）二套（套公式）因式分解一提二套三分组，叉乘求根也上数五种方法都不行，拆项添项去重组对症下药稳又准，连乘结果是基础二次三项式的因式分解先想完全平方式，十字相乘是其次两种方法行不通，求根分解去尝试比和比例两数相除也叫比，两比相等叫比例外项积等内项积，等积可化八比例分别交换内外项，统统都要叫更比同时交换内外项，便要称其为反比前后项和比后项，比值不变叫合比前后项差比后项，组成比例是分比两项和比两项差，比值相等合分比前项和比后项和，比值不变叫等比解比例外项积等内项积，列出方程并解之求比值由已知去求比值，多种途径可利用活用比例七性质，变量替换也走红消元也是好办法，殊途同归会变通正比例与反比例商定变量成正比，积定变量成反比正比例与反比例变化过程商一定，两个变量成正比变化过程积一定，两个变量成反比判断四数成比例四数是否成比例，递增递减先排序两端积等中间积，四数一定成比例比例中项成比例的四项中，外项相同会遇到有时内项会相同，比例中项少不了比例中项很重要，多种场合会碰到成比例的四项中，外项相同有不少有时内项会相同，比例中项出现了同数平方等异积，比例中项无处逃根式与无理式表示方根代数式，都可称其为根式根式异于无理式，被开方式无限制被开方式有字母，才能称为无理式无理式都是根式，区分它们有标志被开方式有字母，又可称为无理式求定义域求定义域有讲究，四项原则须留意负数不能开平方，分母为零无意义指是分数底正数，数零没有零次幂限制条件不唯一，满足多个不等式求定义域要过关，四项原则须注意负数不能开平方，分母为零无意义分数指数底正数，数零没有零次幂限制条件不唯一，不等式组求解集解一元一次不等式先去分母再括号，移项合并同类项系数化“1”有讲究，同乘除负要变向先去分母再括号，移项别忘要变号同类各项去合并，系数化“1”注意了同乘除正无防碍，同乘除负也变号解一元一次不等式组大于头来小于尾，大小不一中间找大大小小没有解，四种情况全来了同向取两边，异向取中间中间无元素，无解便出现幼儿园小鬼当家，(同小相对取较小) 敬老院以老为荣，(同大就要取较大) 军营里没老没少。
初中数学几何题解题技巧
初中数学⼏何题解题技巧⽴体⼏何是初中数学中的重要内容,也是学习的难点,⽽且在中考中⽴体⼏何属于必考点,通常在⼀个题⽬中会包含多个⽴体⼏何的考查点,掌握⽴体⼏何解题技巧⾄关重要。
那么接下来给⼤家分享⼀些关于初中数学⼏何题解题技巧，希望对⼤家有所帮助。
⼀.添辅助线有⼆种情况1按定义添辅助线：如证明⼆直线垂直可延长使它们,相交后证交⾓为90°;证线段倍半关系可倍线段取中点或半线段加倍;证⾓的倍半关系也可类似添辅助线。
2按基本图形添辅助线：每个⼏何定理都有与它相对应的⼏何图形，我们把它叫做基本图形，添辅助线往往是具有基本图形的性质⽽基本图形不完整时补完整基本图形，因此“添线”应该叫做“补图”!这样可防⽌乱添线，添辅助线也有规律可循。
举例如下：(1)平⾏线是个基本图形：当⼏何中出现平⾏线时添辅助线的关键是添与⼆条平⾏线都相交的等第三条直线(2)等腰三⾓形是个简单的基本图形：当⼏何问题中出现⼀点发出的⼆条相等线段时往往要补完整等腰三⾓形。
出现⾓平分线与平⾏线组合时可延长平⾏线与⾓的⼆边相交得等腰三⾓形。
(3)等腰三⾓形中的重要线段是个重要的基本图形：出现等腰三⾓形底边上的中点添底边上的中线;出现⾓平分线与垂线组合时可延长垂线与⾓的⼆边相交得等腰三⾓形中的重要线段的基本图形。
(4)直⾓三⾓形斜边上中线基本图形出现直⾓三⾓形斜边上的中点往往添斜边上的中线。
出现线段倍半关系且倍线段是直⾓三⾓形的斜边则要添直⾓三⾓形斜边上的中线得直⾓三⾓形斜边上中线基本图形。
(5)三⾓形中位线基本图形⼏何问题中出现多个中点时往往添加三⾓形中位线基本图形进⾏证明当有中点没有中位线时则添中位线，当有中位线三⾓形不完整时则需补完整三⾓形;当出现线段倍半关系且与倍线段有公共端点的线段带⼀个中点则可过这中点添倍线段的平⾏线得三⾓形中位线基本图形;当出现线段倍半关系且与半线段的端点是某线段的中点，则可过带中点线段的端点添半线段的平⾏线得三⾓形中位线基本图形。
初中数学七、八、九年级知识点及公式总结大全(人教版).pdf
初中数学知识点总结九年级数学（上）知识点第二十一章 二次根式 一．知识框架二．知识概念１、二次根式的定义：式子叫做二次根式，其中ａ叫做被开方数。
２、最简二次根式：满足下列两个条件的二次根式是最简二次根式：（１）被开方数的因数是整数，因式是整式； （２）被开方数中不含有开得尽方的整数或整式。
３、同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。
４、二次根式的性质：（１）（２）＝|ａ|＝ ａ （ａ＞０）－ａ （ａ＜０） ０ （ａ＝０） （３）积的算数平方根性质：（ａ≥０，ｂ≥０）（４）商的算数平方根性质：ba ba =（ａ≥０，ｂ＞０）５、二次根式的乘法：＝（ａ≥０，ｂ≥０）即两个二次根式相乘，根指数不变，被开方数相乘。
注意：法则是由积的算数平方根的性质（ａ≥０，ｂ≥０）反过来即得。
６、二次根式的除法：baba =（ａ≥０，ｂ＞０） 注意：法则是由商的算数平方根的性质ba ba =（ａ≥０，ｂ＞０）反过来得到的。
７、二次根式的加减：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，在合并同类二次根式，合并同类二次根式与合并同类项类似，将同类二次根式的“系数”相加减，被开方数和根指数不变。
注意：二次根式加减混合运算的实质就是合并同类二次根式，不是同类二次根式不能合并。
８、二次根式的混合运算：二次根式的混合运算顺序与实数的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后加减，有括号的先算括号内的。
在运算过程中，有理数（式）中的运算率及乘法公式在二次根式的运算中仍然适用。
９、比较两数大小的常用方法：（１）平方法：若ａ＞０，ｂ＞０，且ａ²＞ｂ²，则ａ＞ｂ；（２）把跟号外的非负因式移到根号内，然后比较被开方数的大小。
第二十二章 一元二次根式 一．知识框 二.知识概念１.一元二次方程：方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．一般地，任何一个关于x的一元二次方程，•经过整理，•都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．２.一元二次方程的解法：（1）运用开平方法解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程；领会降次──转化的数学思想．（2）配方法：将一元二次方程变形为(x+p)２ =q的形式，如果q≥0，方程的根是x=-p±√q；如果q＜0,方程无实根．（3）公式法：将方程化为一般形式ax2+bx+c=0，当b2-4ac≥0时，•将a、b、c代入式子x=242b b aca−±−就得到方程的根．第二十三章旋转一.知识框架二．知识概念1.旋转：在平面内，将一个图形绕一个点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转。
初中数学奥林匹克竞赛解题方法大全(配PDF版)一元一次方程及汇总
第四章一元一次方程及其应用第一节一元一次方程例1、在解方程的过程中，为了使得到的方程和原方程同解，可在原方程的两边（）A、乘以同一个数B、乘以同一个整式C、加上同一个代数式D、都加上同一个数例2、方程甲3(x-4)=3x与方程乙x-4=4x同解，其根据是（） 4A、甲方程两边都加上了同一个整式B、甲方程两边都乘以了4/3xC、甲方程两两边都乘以了4/3D、甲方程两边都乘以了3/4例3、方程1⎧1⎡1⎛1⎫⎤⎫x-1⎪-1⎥-1⎬-1=2001的根x=__________。
⎨⎢2⎩2⎣2⎝2⎭⎦⎭例4、1992+1994+1996+1998＝5000- 成立，则中应当填的数是（）A、5B、-900C、-1900D、-2980例5、若P、Q都是质数，以X为未知数的方程PX＋5Q＝97的根是1。
则P2－Q＝____。
例6、有理数111xz、、8恰是下列三个方程的根，则-＝________。
25yx（1）2x-110x+12x+1-=-1 （2）3(2y+1)=2(1+y)+3(y+3) 3124（3）1⎡1⎤2z-(z-1)=(z-1) ⎥2⎢2⎣⎦327例7、解方程：x-=1990的去处时，某同学误将3.57 错写成3.57，结果与正确答案例8、在计算一个正数乘以3.57相差1.4，求正确的乘积应是多少？ 2829第二节列方程解应用题例1、海滩上有一堆核桃，第一天猴子吃了这堆核桃的2/5，又将4个扔到大海里；第二天猴子吃掉的核桃数加上3个就是第一天所剩核桃数的5/8。
若第二天剩下6个核桃。
问海滩上原有多少个核桃？（20个）例2、古希腊数学家丢番图的墓志铭上记载：“坟中安葬着丢番图，多幺令人惊讶，它忠实地记录了所经历的道路。
上帝给予的童年占六分之一，又过十二分之一，两颊长胡，再过七分之一，点燃起结婚的蜡烛。
五年之后天赐贵子，可怜迟到的宁馨儿，享年仅及其父之半，便进入冰冷的墓。
悲伤只有用数论的研究去弥补，又过四年，他也走完了人生的旅途。
初中数学常见解题模型及套路(思路、题眼)总汇
初中数学压轴题常见解题模型及套路（自有定理）A ．代数篇：1．循环小数化分数:设元—扩大——相减（无限变有限）相消法。
例.把0.108108108化为分数。
设S=0.108108108（1）两边同乘1000得：1000S=108.108108（2）（2）-（1）得：999S=108 从而：S=108999余例仿此——2．对称式计算技巧：“平方差公式—完全平方公式”—整体思想之结合：x+y ；x-y ；xy ；22xy中，知二求二。
222222()2()2x y x y x y xy x y x y2222()2()4xy xyx y x y x y加减配合，灵活变型。
3．特殊公式22112x xx x2（）的变型几应用。
4．立方差公式：3322a b a b a abb m （）（）5．等差数列求和的三种方法：首尾相加法；梯形大法；倒序相加法。
例.求：1+2+3+···+2017的和。
三种方法举例：略6．等比数列求和法：方法+公式：设元—乘等比—相减—求解。
例.求1+2+4+8+16+32+ (2)n令S=1+2+4+8+16+32+···+2n（1）两边同乘2得:2S=2+4+8+32+64+ (2)+12n （2）（2）-（1）得：2S-S=12n - 1 从而求得S 。
7．11nmmnmn的灵活应用：如：111162323等。
8．用二次函数的待定系数法求数列（图列）的通项公式f （n ）。
9．韦达定理求关于两根的代数式值的套路：⑴．对称式：变和积。
22221111xy xy xy22；；；xy +x y 等（x 、y 为一元二次方程方程的两根）⑵．非对称式：根的定义—降次—变和积（一代二韦）。
10. 三大非负数：三大永正数；11．常用最值式：2x y （）正数等（非负数+正数）。
12．换元大法。
13．自圆其说加减法与两肋插刀法。
代数式或函数变型（如配方）只能加一个数，同时减去同一个数；如果是方程则只需要两边同时加上或者减去同一个数即可。
（完整版）初二数学因式分解技巧
（完整版）初⼆数学因式分解技巧因式分解技巧⽅法第⼀部分：⽅法介绍多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之⼀，它被⼴泛地应⽤于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有⼒⼯具．因式分解⽅法灵活，技巧性强，学习这些⽅法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，⽽且对于培养学⽣的解题技能，发展学⽣的思维能⼒，都有着⼗分独特的作⽤．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运⽤公式法、分组分解法和⼗字相乘法．本讲及下⼀讲在中学数学教材基础上，对因式分解的⽅法、技巧和应⽤作进⼀步的介绍．⼀、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)⼆、运⽤公式法.在整式的乘、除中，我们学过若⼲个乘法公式，现将其反向使⽤，即为因式分解中常⽤的公式，例如：（1）(a+b)(a -b) = a 2-b 2 ---------a 2-b 2=(a+b)(a -b)；(2) (a ±b)2 = a 2±2ab+b 2 ——— a 2±2ab+b 2=(a ±b)2；(3) (a+b)(a 2-ab+b 2) =a 3+b 3------ a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2)；(4) (a -b)(a 2+ab+b 2) = a 3-b 3 ------a 3-b 3=(a -b)(a 2+ab+b 2)．下⾯再补充两个常⽤的公式：(5)a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a 3+b 3+c 3-3abc=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2-ab -bc -ca)；例.已知a b c ，，是ABC ?的三边，且222a b c ab bc ca ++=++，则ABC ?的形状是（）A.直⾓三⾓形 B 等腰三⾓形 C 等边三⾓形 D 等腰直⾓三⾓形解：222222222222a b c ab bc ca a b c ab bc ca ++=++?++=++222()()()0a b b c c a a b c ?-+-+-=?==三、分组分解法.（⼀）分组后能直接提公因式例1、分解因式：bn bm an am +++分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运⽤公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为⼀组，后两项分为⼀组先分解，然后再考虑两组之间的联系。
初中数学最值问题解题技巧,初中几何最值问题方法归纳总结
几何最值问题大一统追本溯源化繁为简目有千万而纲为一，枝叶繁多而本为一。
纲举则目张，执本而末从。
如果只在细枝末节上下功夫，费了力气却讨不了好。
学习就是不断地归一，最终以一心一理贯通万事万物，则达自由无碍之化境矣（呵呵，这境界有点高，慢慢来）。
关于几何最值问题研究的老师很多，本人以前也有文章论述，本文在此基础上再次进行归纳总结，把各种知识、方法、思想、策略进行融合提炼、追本溯源、认祖归宗，以使解决此类问题时更加简单明晰。
一、基本图形所有问题的老祖宗只有两个：①[定点到定点]：两点之间，线段最短；②[定点到定线]：点线之间，垂线段最短。
由此派生：③[定点到定点]：三角形两边之和大于第三边；④[定线到定线]：平行线之间，垂线段最短；⑤[定点到定圆]：点圆之间，点心线截距最短（长）；⑥[定线到定圆]：线圆之间，心垂线截距最短；⑦[定圆到定圆]：圆圆之间，连心线截距最短（长）。
余不赘述，下面仅举一例证明：[定点到定圆]：点圆之间，点心线截距最短（长）。
已知⊙O半径为r，AO=d，P是⊙O上一点，求AP的最大值和最小值。
证明：由“两点之间，线段最短”得AP≤AO+PO，AO≤AP+PO，得d-r≤AP≤d+r，AP最小时点P在B处，最大时点P在C处。
即过圆心和定点的直线截得的线段AB、AC分别最小、最大值。
(可用“三角形两边之和大于第三边”，其实质也是由“两点之间，线段最短”推得）。
上面几种是解决相关问题的基本图形，所有的几何最值问题都是转化成上述基本图形解决的。
二、考试中出现的问题都是在基本图形的基础上进行变式，如圆与线这些图形不是直接给出，而是以符合一定条件的动点的形式确定的；再如过定点的直线与动点所在路径不相交而需要进行变换的。
类型分三种情况：（1）直接包含基本图形；（2）动点路径待确定；（3）动线（定点）位置需变换。
（一）直接包含基本图形。
AD一定，所以D是定点，C是直线的最短路径，求得当CD⊥AC时最短为是定点，B'是动点，但题中未明确告知B'点的运动路径，所以需先确定B'点运动路径是什么图形，一般有直线与圆两类。
初中数学解题方法与技巧(必读)
初中数学解题方法与技巧要学好数学，学会解题是关键。
在进行解题的过程中，不仅需要加强必要的训练，其还要掌握一定的解题规律与技巧。
一、数学思想方法在解题中有不可忽视的作用解题的学习过程通常的程序是：阅读数学知识，理解概念；在对例题和老师的讲解进行反思，思考例题的方法、技巧和解题的规范过程；然后做数学练习题。
基本题要练程序和速度；典型题尝试一题多解开发数学思维；最后要及时总结反思改错，交流学习好的解法和技巧。
著名的数学教育家波利亚说“如果没有反思，就错过了解题的的一次重要而有意义的方面。
”教师在教学设计中要让解学生好数学问题，就要对数学思想方法有清楚的认识，才能更好的挖掘题目的功能，引导学生发现总结题目的解法和技巧，提高解题能力。
1. 函数与方程的思想函数与方程的思想是中学数学最基本的思想。
所谓函数的思想是指用运动变化的观点去分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，再运用函数的图像与性质去分析、解决相关的问题。
而所谓方程的思想是分析数学中的等量关系，去构建方程或方程组，通过求解或利用方程的性质去分析解决问题。
2. 数形结合的思想数与形在一定的条件下可以转化。
如某些代数问题、三角问题往往有几何背景，可以借助几何特征去解决相关的代数三角问题；而某些几何问题也往往可以通过数量的结构特征用代数的方法去解决。
因此数形结合的思想对问题的解决有举足轻重的作用。
3. 分类讨论的思想分类讨论的思想之所以重要，原因一是因为它的逻辑性较强，原因二是因为它的知识点的涵盖比较广，原因三是因为它可培养学生的分析和解决问题的能力。
原因四是实际问题中常常需要分类讨论各种可能性。
解决分类讨论问题的关键是化整为零，在局部讨论降低难度。
常见的类型：类型1 ：由数学概念引起的的讨论，如实数、有理数、绝对值、点（直线、圆）与圆的位置关系等概念的分类讨论；类型2 ：由数学运算引起的讨论，如不等式两边同乘一个正数还是负数的问题；类型3 ：由性质、定理、公式的限制条件引起的讨论，如一元二次方程求根公式的应用引起的讨论；类型4 ：由图形位置的不确定性引起的讨论，如直角、锐角、钝角三角形中的相关问题引起的讨论。
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初中数学解题方法或技巧目录一、通用解题方法（解题三步骤）： (2)1.具体内容： (2)2.解题三步骤本质是： (2)3. 学生中常见的两种不正确的做法： (2)4.结果和过程的关系： (3)二、解题通用方法的应用 (3)1.七年级上册例题： (3)2.七年级下册例题： (3)3.八年级上册例题： (5)4.八年级下册例题： (6)5.九年级上册例题： (7)6.九年级下册例题： (9)三、时间控制： (11)1.考试时的时间控制： (11)2.平常的时间控制： (12)四、初中生常见的一些问题及解决方法： (12)1.应对生理的变化： (12)2.建立良好的人际关系： (12)3.观念的转变： (13)4.对待情绪的认识和态度： (13)5.在知识学习方面： (13)6.家务劳动方面： (14)7.目标与执行： (14)一、通用解题方法（解题三步骤）：1.具体内容：2.解题三步骤本质是：目标导向。
3.学生中常见的两种不正确的做法：1)只重过程：看到一道题，题都没看完，就开始着急做，不管有没有思路，思路是否正确，计算量大不大，就开始动笔，可能做到一半就发现没法进行了，也不舍得放弃。
给的条件肯定是多的，如果没有目标导向，那就是做到哪是哪，靠运气，可能到进行不下去了，才发现走偏了，时间也浪费了，你也会更着急。
2)只重结果：做题时先看一下问题，特别是选择题，半做半蒙。
题上给的条件与问题之间可能能找到部分联系，不深究不严谨的地方，我感觉这样是对的，就走下去了。
看着好像掌握的还不错，其实学过的知识都是浮于表面的，就靠着自己的一点儿小聪明，在那学习，知识不连贯，串不起来。
这样的，不叫聪明，只能算是小聪明。
聪明加勤奋才能取得优秀的结果，何况这都算不上聪明。
4.结果和过程的关系：两者都重要，缺一不可，但相比来说，结果比过程稍重要。
二、解题通用方法的应用1.七年级上册：列方程解应用题：《九章算术》中“盈不足术”的问题，原文如下：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三。
问人数、羊价各几何？”题意是若干人买羊，每人出5元，则差45元；每人出7元，则差3元。
求人数和羊价各是多少？解题三步骤（思路）：a)看问题：应用题，求的是具体的值，所以要列方程。
一般求什么，就设什么？这里我们设人数为x人；（像这种含有古文类型的题，前面都不用看，直接从“题意是”开始看。
）b)看条件：有三个，分别是：①若干人买羊；②每人出5元，则差45元；；③每人出7元，则差3元。
c)找联系：列方程要找等量关系，具体到这道题，就是不管每人出几元，羊价是不变的（或相等的），复杂一点的，先把等量关系式列出来，在代入数字和未知数。
解题过程：解：设人数是x人；5x + 45 =7x + 3解得，x=21.羊价=5x + 45=150.答：人数是21人，羊价是150元。
2.七年级下册：(2019河南新乡长垣期末)如图，∠1=80°，∠2=100°，∠C=∠D.（1）判断BC与DE的位置关系，并说明理由。
（2）若∠A=35°，求∠F的度数。
CDEF原图 标记后的图解题三步骤（思路）：a) 看问题：第一问问的是BC 与DE 的关系，从图上看像平行，那就猜它们的关系式平行，看看能不能证明出来（从平行线的判定出发，有三种角的关系可以证明），并将目标用圆圈标在图上？第二问，如果它们是平行关系，∠A 与∠F 是内错角关系，知道了∠A 的度数，∠F 的度数也就知道了。
（“判断XX 与XX 的关系，并说明理由”这是一种常见的问法，前半句是要求你答题开始时就下个结论，不管证不证的出来，至少给1分；后半句就是要你写出证明过程。
） b) 看条件：一共四个，分别是：①∠1=80°，②∠2=100°，③∠C =∠D ，④图形；并将条件在图上标出来。
①②④可以推出∠1+∠2=180°，位置关系是同旁内角，可以继续推出BD ∥CE.其他的暂时看不出来。
c) 找联系：要证BC ∥DE ，那肯定得从“三线八角”模型出发，现在两条直线有了，就差截线了，截线可以是BD 或CE ，看条件③，分别有两条截线有联系，要往一起凑，需要找个中间量∠CED ，∠C 和∠D 与中间量的关系，可以从BD ∥CE 得出，这样就有了严谨的逻辑。
解题过程： 解：（1）BC ∥DE ，理由如下： ∵∠1=80°，∠2=100°； ∴∠1+∠2=180°∴BD ∥CE （同旁内角互补，两直线平行）∴∠D +∠DEC =180°（两直线平行，同旁内角互补。
） 又∵∠C =∠D∴∠C +∠DEC =180°（等量代换） ∴BC ∥DE （同旁内角互补，两直线平行） （2） 由（1）知BC ∥DE ，∴∠A =∠F （两直线平行，内错角相等） ∵∠A =35° ∴∠F =35°。
12ABCDEF这道题的第一问也可以用内错角来证明，同学们可以自己思考一下。
3.八年级上册：（2017江苏苏州中考）如图，∠A=∠B，AE=BE，点D在AC边上，∠1=∠2，AE和BD 相交于点O.（1）求证：△AEC≅△BED；（2）若∠1=42°，求∠BDE的度数。
BB原图标记后的图解题三步骤（思路）：a)看问题：第一问要证两个三角形全等，那就要想到判定全等的5个定理。
第二问要求∠BDE的度数，由第一问的全等可得：∠BDE=∠C，就转化为求∠C的度数了，在一个三角形中了，就给了一个角的度数，可能是等腰或直角。
b)看条件：给了四个条件，分别是：①∠A=∠B，②AE=BE，③∠1=∠2，④图形；并将条件标到图上。
c)找联系：①②条件可以直接用，是AS，条件③是关于角的，那就猜用ASA，要证∠BED=∠AEC或者用AAS，要证∠BDE=∠C；两种方法都从条件③④推出，看哪种能推出来，哪个简单，就用哪种。
第一问的方法：第一种：要证∠BED=∠AEC，两者有公共角∠AED，所以只需证∠1=∠BEA；知道∠1=∠2，那看能不能证出∠BEA=∠2？你会看到△BOE和△AOD组成一个“8”模型，∠BOE=∠AOD,①∠A=∠B，这两个条件一结合，就可以证出来了。
倒推正着写就可以了。
第二种：要证∠BDE=∠C，而且要和∠1、∠2联系在一起，是不是想到了三角形的外角和内角的关系（三角形的一个外角等于不相邻的两个内角之和），即∠BDE+∠2=∠1+∠C，因为③∠1=∠2，是不是就得到了要求的？从以上分析来看，第二种方法简单，应选择；下面把两种方法都写出来，参考一下，开拓视野。
解题过程：方法一：（1）证明：在△BOE和△AOD中即∠BED=∠AEC。
∵∠BOE=∠AOD（对顶角相等）在△AEC和△BED中∠A=∠B（已知）∠A=∠B∴∠BEA=∠2；AE=BE又∵∠1=∠2；∠BED=∠AEC∴∠BEA=∠1；∴△AEC≅△BED（ASA）∴∠BEA+∠AED=∠1+∠AED；（2）由（1）△AEC≅△BED得：∠BDE=∠C，ED=EC；又∵∠1=42°，∴∠C=（180°-∠1）÷2=69°；∴∠BDE=69°方法二：（1）证明：∵∠BDE+∠2=∠1+∠C∠1=∠2∴∠BDE=∠C在△AEC和△BED中∠A=∠BAE=BE∠BDE=∠C∴△AEC≅△BED（AAS）（3）略，同方法一相同。
4.八年级下册：[2019四川雅安中考]某超市计划购进甲、乙两种商品，两种商品的进价、售价如下表：商品甲乙进价（元/件）x+60 x售价（元/件）200 100若用360元购进甲种商品的件数与用180元购进乙种商品的件数相同。
（1）甲、乙两种商品的进价各是多少？（2）若超市销售甲、乙两种商品共50件，其中销售甲种商品为a件（a≥30）.设销售完50件，甲、乙两种商品的总利润为w元，求w与a之间的函数关系式，并求出w的最小值。
解题思路：a)看问题：第一问求两种商品的进价，是确定的值，且已经设了未知数，所以要列方程解决。
第二问是求函数关系式，要找等量关系，求w的最小值，要根据函数的增减性（函数一般的自变量范围是实数，而应用题根据实际情况，自变量是由一个限定的范围的，要注意一下）b)看条件：三个条件；①是表格信息；②是“若用360元购进甲种商品的件数与用180元购进乙种商品的件数相同。
”③是“若超市销售甲、乙两种商品共50件，其中销售甲种商品为a件（a≥30）.设销售完50件，甲、乙两种商品的总利润为w元，”c)找联系：第一问是条件②的等量关系；第二问是：总利润=甲的销售利润+乙的销售利润。
解题过程：（1）依题意列方程：=，（分式方程）解得x=60，经检验x=60是原方程的解，∴x+60=120答：甲、乙两种商品的进价分别是120元/件，60元/件。
（2）销售甲种商品为a件（a≥30）,销售乙种商品为（50-a）件。
根据题意得w=(200-120)a+(100-60)(50-a)=40a+2000（a≥30）40>0，W的值随a的增大而增大，=40*30+2000=3200（元）当a=30时，最小值5.九年级上册：[2017江苏淮安中考]如图，在ABC中，∠ACB=90。
，O是边AC上一点，以O为圆心，OA为半径的圆分别交AB，AC于点E，D，在BC的延长线上取点F，使得EF=BF，EF与AC交于点G.（1）试判断直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若OA=2，∠A=30。
，求图中阴影部分的面积。
原图标记后的图解题思路：第一问：a)看问题：让判断直线EF与⊙O的位置关系，一条直线与圆的关系有三种：相离、相切、相交三种位置关系，判断的依据是圆心到直线的距离与圆半径的大小比较来确定，一般考察的都是相切。
所以这里猜测位置关系是相切，现在已知E点在圆上，要证相切，连接OE,只需证明OE⊥EF，即OE就是圆心到直线EF的距离。
b)看条件：题中给了3个条件：①∠ACB=90。
②⊙O，③EF=BF；④图形。
虽然看着是简单的4个条件，但条件②所含的信息量很大，具体包括：1)圆心角三定理：在同圆或等圆中，相同的圆心角所对的弦相等，所对的弧也相等。
（记住一个就行，其他两个就是这三个条件中的一个推两个。
）2)圆周角三定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
同弧或等弧所对的圆周角相等。
半圆（或直径）所对的圆周角为直角，90°的圆周角所对的弦是直径。
3)等腰三角形：圆上任意两点和圆心组成的三角形都是等腰三角形。
4)圆的对称性：圆上轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴。
5)垂径定理及推论：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。