5.2_平行线的性质
平行线的性质及推导方法
平行线的性质及推导方法平行线，是指在同一个平面内，永不相交的两条直线。
平行线的性质与推导方法是几何学中的重要内容，下面我们将详细介绍平行线的性质及推导方法。
一、平行线的性质1. 平行线定理：如果一条直线与两条平行线相交，那么这条直线将被两条平行线所截成的锐角和钝角互补。
证明：设直线l与平行线m和n相交于A点，BC与m、n平行。
由平行线的性质可知∠ABC=∠ACD，又∠ABC+∠ACD=180°（线l与m、n相交，∠ABC和∠ACD互补），所以∠ABC和∠ACD互补。
2. 平行线的性质之间的关系：如果两条平行线被一条交线所截，那么它们与这条交线所构成的内错角、内外错角、对顶角以及同位角是相等的。
证明：设直线l与平行线m和n相交于点O，AB与m平行，CD与n平行。
先证明内错角相等，连接AC、BD。
由三角形的内角和为180°可知∠ACB+∠BCA+∠CDA+∠DAB=180°，∠ACB+∠BCA+∠ADB=180°（∠CDA和∠DAB互补），所以∠ACB+∠BCA+∠CDA+∠DAB=∠ACB+∠BCA+∠ADB，化简得∠CDA=∠ADB。
同理可证∠ACD=∠ABC，∠BAC=∠DCB，∠ADC=∠BCD。
二、平行线的推导方法1. 利用平行线的性质证明线段比例关系。
证明：设AB与CD分别是平行线m和n上的两个点，交线AC与BD相交于E点。
若已知AE:EC=BD:DE，要证明AB:BC=BD:DC（即证明∆ABD∽∆CBD）。
由已知的比例关系可得：AE/EC=BD/DE，即AE/BD=EC/DE。
又因为∠AEB和∠CDE为同位角，根据同位角定理可知∠AEB=∠CDE。
由此可得∆ABE∽∆CDE，进一步得出AB:BE=CD:DE。
同理可证∆CBD∽∆ADE，从而得出BC:BD=DE:DA。
综合上述比例关系，可以得出AB:BC=BD:DC，证明了平行线性质下的线段比例关系。
平行线的性质
平行线的性质平行线是几何学中一个重要的概念，它具有一系列独特的性质和规律。
本文将从定义、性质以及常见应用几个方面来探讨平行线的特点。
一、定义平行线指在同一个平面上，永远不会相交的两条直线。
两条平行线之间的距离是不变的，无论它们延伸多远。
二、性质1. 平行线具有相同的斜率：对于两条平行线，它们的斜率相等。
可以通过直线的斜率公式来证明这个性质。
2. 平行线没有交点：平行线不会相交，因此在它们之间不存在交点。
这一性质是平行线的基本特征。
3. 平行线的内角和性质：当一条直线与两条平行线相交时，相应的内角和是补角。
也就是说，这些内角的和等于180度。
4. 平行线的外角性质：当一条直线与两条平行线相交时，相应的外角是等于对应内角的。
5. 平行线的转角性质：当有两条平行线与一条交线相交时，它们所对应的转角相等。
三、应用平行线的性质在几何学中有广泛的应用。
下面列举几个常见的应用场景。
1. 建筑与设计：在建筑和设计过程中，平行线的概念经常被用来处理墙壁、地板、屋顶等元素的布局。
通过确保平行线之间的距离一致，可以营造出整齐、协调的空间效果。
2. 路面交通：在道路设计和交通规划中，平行线的性质被用于绘制车行道、人行道和停车位等交通设施。
通过确保平行线的平直性和正确的间距，可以提高交通流畅度和安全性。
3. 数学证明：平行线的性质在数学证明中扮演重要的角色。
通过运用平行线的相关性质和定理，可以推导出更复杂的几何定理，解决各种几何问题。
总结：平行线是几何学中一个基础而重要的概念，它具有独特的性质和规律。
通过理解和应用平行线的性质，我们可以更好地解决几何问题，同时在建筑、设计和交通规划等领域中发挥重要作用。
掌握平行线的性质对于理解几何学和应用几何学都是至关重要的。
5.2平行线的性质和判定
G 2 34AB CD1567 89EFH5.2平行线的性质和判定1．如图所示：（1）∠1与∠9是直线被所截而得的．（2）∠7与∠5是直线被所截而得的．（3）∠3与∠DCB是直线被所截而得的．选做：图中的同位角有对，内错角有对，同旁内角有对．2．两条直线被第三条直线所截，∠1和∠2是同旁内角，∠3和∠2是内错角(其中∠1＞90°).（1）根据条件，画出符合题意的示意图；（2）∠1与∠3是怎样位置关系的角；（3）若∠1= 3∠2，∠2= 3∠3，求∠2的度数．3．在同一平面内，直线AB与CD没有交点，那么AB与CD的位置关系是.4．已知直线l及l外一点P，若过点P画直线与l平行，那么这样的直线有条.5．在同一平面内两条直线的位置关系是（）A．相交B．平行C．相交或平行D．垂直或平行6．在同一平面内有三条直线a、b、c，有a∥b，a与c相交，则b与c的关系是（）A．平行B．相交C．平行或相交D．不能确定7．如图，AB∥CD，过点E画EF∥AB，则EF与CD的位置关系是，理由是.8．下列说法正确的是（）①同一平面内，不重合的两条不相交的直线是平行线；②过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行．A．①B．②C．①②D．都不正确9．平面内四条直线最少有a个交点，最多有b个交点，则a+b=( )A．6 B．4 C．2 D．010．如图，按要求画图．（1）经过BC上一点P画AB的平行线，交AC于T；（2）过C画MN∥AB；（3）直线PT、MN有什么关系，试证明.11．在同一平面内，直线，的同侧有A、B、C三点，如果AB∥l，BC∥l，那么A、B、C 三点是否在同一直线上？为什么？HABCDG MN FE12．如图，△ABC 中，∠ABC =∠ACB ，BD 平分∠ABC ，CE 平分∠ACB ，BD 、CE 交于点O ，F 、G 分别是AC 、BC 延长线上一点，且∠EOD +∠OBF =180°，∠DBC =∠G . 指出图中所有的平行线并说明理由.13．如图，AB 与MN 交于F ，FG 平分∠MFB ，FH 平分∠AFG ，CD 与MN 交于E ， 若∠HFM = 60°，∠CEN = 40°．证明AB ∥CD ．14．如图，已知∠1+∠2 = 180°，∠3 =∠B ，且∠AFE = 50°. 求∠ACB 的度数．15．已知：如图, CD ⊥AB , DE //BC , DF //AC , FG ⊥AB , ∠1＝∠2, 求证：FG 平分∠BFD .ABDEF12345ABOCDE FFHGED CB AFHGED CB A16、如图，已知，AC∥DE，DC∥FE，CD平分∠ACB，求证：EF平分∠BED17、如图，DE⊥AO于E，BO⊥AO于O，FC⊥AB于C，∠CFB＝∠EDO．求证：DO⊥AB18、已知：如图，AB∥CD，EF分别交于AB、CD于E、F.若EG平分∠AEF，FH平分∠EFD，求证：EG∥FH.19、已知：如图，AB∥CD，EF分别交于AB、CD于E、F.若∠AEG=∠DFH，求证：EG∥FH.20．如图，已知AB ∥CD ，写出下列四个图形中∠P 与∠A ，∠C 的关系， 请你-从所得的四个关系中任选一个加以说明．(1) (2) (3)21．(6分) 如图，已知AB ∥CD ，∠1 =∠2，求证：∠3 =∠4． \22．如图, 已知∠B ＝25°, ∠BCD ＝45°, ∠CDE ＝30°, ∠E ＝10°, 试说明：AB //EF .23．如图，已知AB ∥CD ，试写出∠1，∠2，∠3，∠4之间的数量关系，PD C B A PD C B A P D C B A 13244323211123图④图③图②图①ABCDA B C D A B CD D C BA24．已知，AB ∥CD ，AM 、CM 分别平分∠BAP 、∠DCP ．试探索∠M 与∠P 的数量关系．25．如图，点E 与△ABC 在同一平面内，请你过点．．E ．添加适当的平行线．．．来说明∠A +∠B +∠C 的度数不变.26．如图：（1）△ABC ，点D 在BC 的延长线上，试说明∠（2）利用图①的结构特点，请探究以下各图：AB ∥CD 时，∠A、∠C、∠P的关系式为：图 ①A BAC D PM 图 ② A BA C D P M 图 ③A B C DM P27．如图：AB∥CD，∠1=180°－∠2，试探究：∠F与∠M的大小关系？28．如图，AB∥CD，MN⊥AB于M交CD于N、P为射线MB上一动点，连接NP、NE平分∠CNP，NF⊥NE. 当点P运动时，请探究MPNMNE∠∠的值是否变化？。
平行线的性质知识点
平行线的性质知识点平行线是几何学中常见的概念，其性质和特点对于理解和解决几何问题非常重要。
本文将介绍平行线的定义、性质以及与平行线相关的定理。
一、平行线的定义平行线是指在同一个平面内永远不会相交的直线。
简单来说，如果两条直线在同一个平面内，并且它们永远不会相交，那么它们就是平行线。
二、平行线的判定方法1. 同位角判定法：当一条直线与另外两条直线相交时，如果同位角对应相等（即两条直线被切分的同位角互相相等），则这两条直线是平行线。
2. 内错角判定法：当一条直线与另一条直线相交时，如果内错角互相补角相等（即两条直线被切分的内错角互为补角），则这两条直线是平行线。
3. 平行线判定定理：如果两条直线的斜率相等且不相交，则这两条直线是平行线。
三、平行线的性质1. 平行线具有等倾斜角性质：对于两条平行线上的任意一对相对应的同位角，它们的角度相等。
2. 平行线具有同旁内错角性质：对于两条平行线上的任意一对相对应的内错角，它们是互补角。
3. 平行线具有同旁外错角性质：对于两条平行线上的任意一对相对应的外错角，它们是对应角或互补角。
4. 平行线具有同旁错角成比例性质：对于两条平行线上的任意一对相对应的错角，它们成比例关系。
5. 平行线之间的距离始终相等：如果从两条平行线上任意取一对相对应的点，连接这两条点所在直线上的线段，得到的线段与两条平行线之间的距离是相等的。
四、平行线的相关定理1. 平行线定理：如果一条直线与两条平行线相交，那么这条直线的同位角对应相等。
2. 平行线外角定理：如果一条直线与两条平行线相交，那么这条直线的外错角互补。
3. 平行线内角定理：如果一条直线与两条平行线相交，那么这条直线的内错角互补。
4. 平行线内外角定理：如果一条直线与两条平行线相交，那么这条直线的内错角与外错角是对应角或互补角。
总结：平行线是几何学中的重要概念，具有许多重要性质和特点。
通过掌握平行线的定义、判定方法、性质以及相关定理，可以在解决几何问题时更加灵活运用平行线的知识，加深对几何学的理解和掌握。
平行线的知识点归纳(两篇)
引言概述：平行线是几何学中一个重要的概念，它在数学和物理学等领域具有广泛的应用。
在本文中，我们将进一步归纳平行线的一些重要知识点，包括平行线的定义、性质以及平行线与其他几何元素的关系。
通过深入理解这些知识点，我们将能够更好地应用平行线的概念解决实际问题。
正文内容：1. 平行线的定义1.1 平行线的定义平行线是指在同一个平面内不相交且不重合的两条直线。
平行线可以永远延伸而不会相交。
1.2 平行线的表示方法平行线可以用符号“∥”来表示。
例如，若AB∥CD，我们可以写成AB∥CD来表示线段AB与线段CD平行。
1.3 平行线的判定方法判定两条直线是否平行有多种方法，常用的方法包括使用同位角、平行线定理以及垂线的性质等。
2. 平行线的性质2.1 平行线的夹角关系当两条平行线被一条横截线相交时，它们所成的对应角、内错角、同位角具有一些特定的关系。
例如，对应角相等、内错角互补、同位角互等等。
2.2 平行线的影子定理若一条横截线与两条平行线分别相交，那么这两条平行线上的对应线段与其所分割的横截线上的线段成比例。
2.3 平行线的平行四边形定理若一条对角线把平行四边形分成两个三角形，那么这两个三角形中的对角线之间的向量是相等的。
3. 平行线与其他几何元素的关系3.1 平行线与角度的关系平行线与角度之间有密切的关系。
例如，当平行线被一条横截线相交时，不同角对应的角度关系等。
3.2 平行线与多边形的关系平行线与多边形的性质也有一定的关系。
例如，对于平行四边形来说，两组对边是平行的。
3.3 平行线与圆的关系平行线与圆的关系也是几何学中一个重要的知识点。
例如，在圆内部的任意两条平行线都会与圆的弦垂直。
4. 平行线的应用4.1 平行线的测量在实际应用中，我们经常需要测量平行线间的距离。
通过使用测量仪器和几何定理，我们可以准确地测量平行线的距离。
4.2 平行线与平行线的相交当两组平行线相交时，我们可以利用平行线的性质推导出一些重要的结论。
平行线的性质及应用
平行线的性质及应用平行线是几何学中的重要概念，具有许多特殊的性质和应用。
在本文中，我将为您详细介绍平行线的性质以及其在实际生活中的应用。
一、平行线的定义在欧几里得几何中，平行线是指在同一个平面内永远不会相交的直线。
简而言之，两条平行线之间不存在任何交点。
二、平行线的性质1. 互换性质：如果有一条直线和另外一条直线平行，那么可以互换它们位置，结果仍然是平行的。
2. 对偶性质：如果有两个直角相互垂直，那么它们与一条平行线的交线也是相互垂直的。
3. 唯一性质：通过一个给定点可以作一条且仅一条直线与已知的直线平行。
4. 平行线之间的距离是恒定的，在同一平面内，两条平行线的距离始终相等。
三、平行线的应用1. 地理测量：在地理测量中，平行线的概念被广泛应用。
例如，在制图和测绘中，通过绘制平行线可以准确地表示不同地区的经纬度。
2. 建筑设计：平行线在建筑设计中起着重要作用。
建筑师使用平行线概念来确定建筑物的平面布局和立面设计。
平行线的使用可以使结构更加稳定和美观。
3. 交通规划：在交通规划中，平行线可以用于道路设计、车道划分和交叉口设计。
通过保持道路与车道之间的平行关系，交通流动更加顺畅。
4. 电路设计：在电路设计中，平行线被用于电缆的布线。
通过保持电缆之间的平行关系，可以减少信号干扰和电流的损失。
5. 数学推理：平行线的性质在数学推理中被广泛应用。
例如，在证明中，我们可以利用平行线的性质来推导出新的定理和结论。
四、平行线的相关定理除了前文提到的平行线性质外，还有一些相关定理需要了解：1. 同位角定理：当两条直线被一条截线切割时，同位角相等。
2. 内错角定理：当两条平行线被一条截线切割时，内错角相等。
3. 别错角定理：当两条平行线被一条截线切割时，别错角之和为180度。
综上所述，平行线是几何学中的重要概念，具有许多特殊的性质和应用。
我们可以利用平行线的性质来解决实际问题，同时也可以通过平行线的性质进行数学推理。
5.2.3平行线的性质1
解∵a∥b(已知),
∴∠1=∠2(两直线平行,
a
同位角相等). b
又∵ ∠1=∠3(对顶角相等),
∴ ∠2=∠3(等量代换).
1 3
2
c
平行线的性质2
a
1
3
b
2
两条平行线被第三条直线所截， 内错角相等.
c
简写为：两直线平行，内错角相等.
符号语言: ∵a∥b,
∴∠2=∠3.
探索3
如图,已知a//b, 那么2与4有 什么关系呢？ 为什么?
练习178页4题
P178
3、如图，两条平行线a、b被第三条直 线c所截，若∠ 1=52 ° ，那么∠ 2= ▁ 5∠2°3= ▁ ∠1248=°▁. 52°
c
1
a
2
34 b
p178
5、如图，已知直线a∥b, ∠3=131°求∠1、∠2 的度数。
抄写下面的解答过程，并填空（理由或数学式）
解∶∵∠3=131°﹙ 已知﹚ 又∵∠3=∠1﹙ 对顶角相等﹚ ∴∠1=﹙ 131﹚°﹙ 等量代换 ﹚ ∵a∥b﹙ 已知﹚
c
a
1
b
2
图5.2.10
探索1 65° c
1
a
2
b
65°
任意一条直线c去截平行线a、b 所得的同位角都相等吗？
c a
b
平行线的性质1
a
1
b
2
同位两角条相平等行. 线被第三条直线所截，c
简写为：两直线平行，同位角相等.
符号语言: ∵a∥b,
∴∠1=∠2.
探索2
如图：已知a//b,那么2与3相等吗？ 为什么?
解: ① ∵ ∴ ∠B +
平行线的性质与判定方法
平行线的性质与判定方法平行线是几何学中的重要概念，它们具有一些独特的性质和判定方法。
本文将详细介绍平行线的性质和判定方法。
1. 性质一：不相交的平行线在任意平面上不会相交。
两条平行线永远保持相同的距离，无论它们延长到多远。
2. 性质二：平行线具有相同的斜率。
两条平行线的斜率都相等，这是判定平行线的一个重要性质。
3. 性质三：互补角相等。
如果两条平行线被一条横截线切割，那么同位角是互补角，即它们的和等于180度。
4. 性质四：内错角相等。
当两条平行线被一条横截线所穿过时，内错角是相等的。
根据以上性质，我们可以推导出一些平行线的判定方法。
下面我们将重点介绍三种常见的判定方法。
1. 通过线段的平行判定：如果两个线段的对应边平行且长度相等，那么这两个线段所在直线就是平行线。
这个方法利用了平行线的性质一。
2. 通过角的平行判定：如果两个角的对应边平行且对应角相等，那么这两个角所在的直线就是平行线。
这个方法利用了平行线的性质二和性质三。
3. 通过垂直判定：如果两条线段互相垂直，并且其中一条线段与第三条线段平行，那么第三条线段也与另一条垂直线段平行。
这个方法利用了平行线的性质二和性质四。
除了这些常见的判定方法，还有其他一些特殊情况下的判定方法。
例如，当两条直线被一条平行于它们的直线所切割时，如果同位角相等，那么这两条直线就是平行线。
在实际应用中，平行线的性质和判定方法在解决几何问题和证明几何定理时起着重要的作用。
它们帮助我们确定直线的相对位置，并应用于建筑、工程、地理测量等领域。
总结起来，平行线具有不相交、斜率相同、互补角相等和内错角相等等性质。
通过线段的平行判定、角的平行判定和垂直判定等方法可以确定平行线的存在。
这些性质和判定方法在几何学中具有重要的应用价值。
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c
性质发现
a
1 3 2
结论
平行线的性质2
b
两条平行线被第三条直线所截， c 内错角相等.
简写为： 两直线平行，内错角相等. 符号语言: ∵a∥b,
∴∠2=∠3.
合作交流三
如图,已知a//b, 那么2与4有 什么关系呢？ 为什么?
a b c
1 4 2
解： ∵a//b （已知）, ∴ 1= 2（两直线平行， 同位角相等）. ∵ 1+ 4=180° （邻补角定义）, ∴ 2+ 4=180° （等量代换）.
性质发现
a
1
结论
平行线的性质3
b
4 2
两条平行线被第三条直线所截， c 同旁内角互补.
简写为： 两直线平行，同旁内角互补. 符号语言: ∵a∥b,
∴ 2+ 4=180°.
师生互动,典例示范
例 如图，已知直线a∥b， ∠1 = 500, 求∠2的度数.
解：∵ a∥b(已知), ∴∠ 1= ∠ 2 (两直线平行,内错角相等). 又∵∠ 1 = 500 (已知), ∴∠ 2= 500 (等量代换).
2 1
c
3
a b
4
变式１：已知条件不变，求∠3，∠4的度数？
变式2:已知∠3 =∠4，∠1=47°,求∠2的度数？
解：∵ ∠3 =∠4( ∴a∥b (
) )
d
c
2 1
a
b ）43Fra bibliotek又∵∠ 1 = 470 (
∴∠ 2= 470 （
)
如图在四边形ABCD中,已知AB∥CD, ∠B = 600. ①求∠C的度数; ②由已知条件能否求得∠A的度数?
∴∠B=∠C (两直线平行， 内错角相等).
？
1420
A
B
又∵∠B=142° （已知）,
∴∠B=∠C=142° （等量代换）.
小明在纸上画了一个角∠A，准备用量角器测量 它的度数时，因不小心将纸片撕破，只剩下如图的一 部分，如果不能延长DC、FE的话，你能帮他设计出多 少种方法可以测出∠A的度数？
解: ① ∵ AB∥CD(已知), ∴ ∠B + ∠C= 1800(两直线平行,同旁内角互补). 又∵ ∠B = 600 (已知), A 0 (等式的性质). ∴∠C = 120 ②根据题目的已知条件, 无法求出∠A的度数.
D
B
C
如图，在汶川大地震当中，一辆抗震救灾汽 车经过一条公路两次拐弯后，和原来的方向相 同，也就是拐弯前后的两条路互相平行.第一次 拐的角∠B等于142 0 ，第二次拐的角∠C是多少 度？为什么？ C D 解： ∵AB∥CD （已知）,
b
两条平行线被第三条直线所截， c 同位角相等.
简写为： 两直线平行，同位角相等. 符号语言: ∵a∥b,
∴∠1=∠2.
合作交流二
如图：已知a//b,那么2与3相等吗？ 为什么?
解∵a∥b(已知), ∴∠1=∠2(两直线平行, a
3
2 1
同位角相等). b
又∵ ∠1=∠3(对顶角相等),
∴ ∠2=∠3(等量代换).
两直线平行
反过来,如果两条直线平行,同位角、 内错角、同旁内角各有什么关系呢?
交流合作,探索发现 猜一猜∠1和∠2相等吗？
a b
2 1
c
心动
不如行动
合作交流一
65°
c
1 2 65°
a
b
c
1
a
2
b
∠1=∠2
是不是任意一条直线去截平行线a、b 所得的同位角都相等呢？
性质发现
a
1 2
结论
平行线的性质1
D G F
1 C
2
E
A
A
目前，它与 地面所成的 较小的角 为∠1=85º 3 2
1
小结
同位角相等 两直线平行 内错角相等 同旁内角互补 性质 判定
线的关系
角的关系
区平 行 线 别 的 性 与质 和 平 联行 线 的 系判 定 方 法 的
创设情境，复习导入
世界著名的意大 利比萨斜塔，建于公 元1173年，为８层圆 柱形建筑，全部用白 色大理石砌成塔高 54.5米．
目前，它与地 面所成的较小 的角 为∠1=85º
3
2
1
5.2 平行线的性质
5.2.3平行线的性质
复习回顾 平行线的判定方法是什么？
1、同位角相等 2、内错角相等 3、同旁内角互补