听课手册 第50讲抛物线
《抛物线的简单几何性质》教案全面版
《抛物线的简单几何性质》教案课题：8．6抛物线的简单几何性质（一）教学目的：1．掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质；2．能根据抛物线的几何性质对抛物线方程进行讨论，在此基础上列表、描点、画抛物线图形；3．在对抛物线几何性质的讨论中，注意数与形的结合与转化教学重点：抛物线的几何性质及其运用教学难点：抛物线几何性质的运用授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪内容分析：“抛物线的简单几何性质”是课本第八章最后一节，它在全章占有重要的地位和作用本节知识在生产、生活和科学技术中经常用到，也是大纲规定的必须掌握的内容，还是将来大学学习的基础知识之一对于训练学生用坐标法解题，本节一如前面各节一样起着相当重要的作用研究抛物线的几何性质和研究椭圆、双曲线的几何性质一样，按范围、对称性、顶点、离心率顺序来研究，完全可以独立探索得出结论已知抛物线的标准方程，求它的焦点坐标和准线方程时，首先要判断抛物线的对称轴和开口方向，一次项的变量如果为x （或y ），则x 轴（或y 轴）是抛物线的对称轴，一次项的符号决定开口方向，由已知条件求抛物线的标准方程时，首先要根据已知条件确定抛物线标准方程的类型，再求出方程中的参数p本节分两课时进行教学第一课时内容主要讲抛物线的四个几何性质、抛物线的画图、例1、例2、及其它例题；第二课时主要内容焦半径公式、通径、例3教学过程：一、复习引入：1．抛物线定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线图形xyOFl xyOFl方程)0(22p px y)0(22p px y)0(22p py x)0(22p py x焦点)0,2(p )0,2(p )2,0(p )2,0(p 准线2p x 2p x 2p y2p yxyO FlxyOF l2．抛物线的标准方程：相同点：(1)抛物线都过原点；(2)对称轴为坐标轴；(3)准线都与对称轴垂直，垂足与焦点在对称轴上关于原点对称它们到原点的距离都等于一次项系数绝对值的41，即242p p 不同点：(1)图形关于X 轴对称时，X 为一次项，Y 为二次项，方程右端为px 2、左端为2y ；图形关于Y 轴对称时，X 为二次项，Y 为一次项，方程右端为py 2，左端为2x（2）开口方向在X 轴（或Y 轴）正向时，焦点在X 轴（或Y 轴）的正半轴上，方程右端取正号；开口在X 轴（或Y 轴）负向时，焦点在X 轴（或Y 轴）负半轴时，方程右端取负号二、讲解新课：抛物线的几何性质1．范围因为p ＞0，由方程022p px y 可知，这条抛物线上的点M 的坐标(x ，y)满足不等式x ≥0，所以这条抛物线在y 轴的右侧；当x 的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．2．对称性以－y 代y ，方程022p px y 不变，所以这条抛物线关于x 轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴．3．顶点抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．在方程022p px y中，当y=0时，x=0，因此抛物线022p px y 的顶点就是坐标原点．4．离心率抛物线上的点M 与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用e 表示．由抛物线的定义可知，e=1．对于其它几种形式的方程，列表如下：标准方程图形顶点对称轴焦点准线离心率22ppx yxyOFl,0x 轴,2p 2p x1e 022ppx yxyOFl,0x 轴,2p2p x1e22ppy x,0y 轴2,0p 2p y1e 022ppy x,0y 轴2,0p 2p y1e 注意强调p 的几何意义：是焦点到准线的距离抛物线不是双曲线的一支，抛物线不存在渐近线通过图形的分析找出双曲线与抛物线上的点的性质差异，当抛物线上的点趋向于无穷远时，抛物线在这一点的切线斜率接近于对称轴所在直线的斜率，也就是说接近于和对称轴所在直线平行，而双曲线上的点趋向于无穷远时，它的切线斜率接近于其渐近线的斜率附：抛物线不存在渐近线的证明．（反证法）假设抛物线y 2＝2px 存在渐近线y ＝mx ＋n ，A （x ，y ）为抛物线上一点，A 0（x ，y 1）为渐近线上与A 横坐标相同的点如图，则有px y2和y 1＝mx ＋n ．∴pxn mxy y 21xp xn mx 2当m ≠0时，若x →＋∞，则yy 1当m ＝0时，px ny y 21，当x →＋∞，则yy 1这与y ＝mx ＋n 是抛物线y 2＝2px 的渐近线矛盾，所以抛物线不存在渐近线三、讲解范例：例1已知抛物线关于x 轴为对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点)22,2(M ，求它的标准方程，并用描点法画出图形．分析：首先由已知点坐标代入方程，求参数p ．xyA 0AO解：由题意，可设抛物线方程为px y 22，因为它过点)22,2(M ，所以22)22(2p ，即2p因此，所求的抛物线方程为x y42．将已知方程变形为x y 2，根据x y2计算抛物线在0x的范围内几个点的坐标，得x 0 1 2 3 4 …y22.83.54…描点画出抛物线的一部分，再利用对称性，就可以画出抛物线的另一部分点评：在本题的画图过程中，如果描出抛物线上更多的点，可以发现这条抛物线虽然也向右上方和右下方无限延伸，但并不能像双曲线那样无限地接近于某一直线，也就是说，抛物线没有渐近线．例 2 探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯的圆的直径60cm ，灯深为40cm ，求抛物线的标准方程和焦点位置．分析：这是抛物线的实际应用题，设抛物线的标准方程后，根据题设条件，可确定抛物线上一点坐标，从而求出p 值．解：如图，在探照灯的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使反光镜的顶点(即抛物线的顶点)与原点重合，x 轴垂直于灯口直径．设抛物线的标准方程是px y22(p ＞0)．由已知条件可得点A 的坐标是(40，30)，代入方程，得402302p ，即445p所求的抛物线标准方程为x y 2452．例3 过抛物线px y 22的焦点F 任作一条直线m ，交这抛物线于A 、B 两点，求证：以AB 为直径的圆和这抛物线的准线相切．分析：运用抛物线的定义和平面几何知识来证比较简捷．证明：如图．设AB 的中点为E ，过A 、E 、B 分别向准线l 引垂线AD ，EH ，BC ，垂足为D 、H 、C ，则｜AF ｜＝｜AD ｜，｜BF ｜＝｜BC ｜∴｜AB ｜＝｜AF ｜＋｜BF ｜＝｜AD ｜＋｜BC ｜＝2｜EH ｜所以EH 是以AB 为直径的圆E 的半径，且EH ⊥l ，因而圆E 和准线l 相切．四、课堂练习：1．过抛物线x y42的焦点作直线交抛物线于11,y x A ，22,y x B 两点，如果621x x ，那么||AB =（ B ）（A ）10（B ）8（C ）6（D ）4xyEOF B ADC H2．已知M 为抛物线x y42上一动点，F 为抛物线的焦点，定点1,3P ，则||||MF MP 的最小值为（ B ）（A ）3 （B ）4（C ）5（D ）63．过抛物线02a axy 的焦点F 作直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 、QF 的长分别是p 、q ，则qp11=（ C ）（A ）a2（B ）a21（C ）a4（D ）a44．过抛物线x y42焦点F 的直线l 它交于A 、B 两点，则弦AB 的中点的轨迹方程是______ (答案：122x y )5.定长为3的线段AB 的端点A 、B 在抛物线x y2上移动，求AB 中点M 到y 轴距离的最小值，并求出此时AB 中点M 的坐标（答案：22,45M , M到y 轴距离的最小值为45）五、小结：抛物线的离心率、焦点、顶点、对称轴、准线、中心等六、课后作业：1．根据下列条件，求抛物线的方程，并画出草图．（1）顶点在原点，对称轴是x 轴，顶点到焦点的距离等于8．（2）顶点在原点，焦点在y 轴上，且过P （4，2）点．（3）顶点在原点，焦点在y 轴上，其上点P （m ，－3）到焦点距离为5．2．过抛物线焦点F 的直线与抛物线交于A 、B 两点，若A 、B 在准线上的射影是A 2，B 2，则∠A 2FB 2等于3．抛物线顶点在原点，以坐标轴为对称轴，过焦点且与y 轴垂直的弦长为16，求抛物线方程．4．以椭圆1522yx的右焦点，F 为焦点，以坐标原点为顶点作抛物线，求抛物线截椭圆在准线所得的弦长．5．有一抛物线型拱桥，当水面距拱顶4米时，水面宽40米，当水面下降1米时，水面宽是多少米？习题答案：1．（1）y 2＝±32x （2）x 2＝8y（3）x 2＝－8y2．90°3．x 2＝±16 y 4．545．520米七、板书设计（略）八、课后记：课题：8．6抛物线的简单几何性质（二）教学目的：1．掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质；2．掌握焦半径公式、直线与抛物线位置关系等相关概念及公式；3．在对抛物线几何性质的讨论中，注意数与形的结合与转化教学重点：抛物线的几何性质及其运用教学难点：抛物线几何性质的运用授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：抛物线的几何性质：标准方程图形顶点对称轴焦点准线离心率22ppx yxyOFl,0x 轴,2p 2p x1e 022ppx yxyOFl,0x 轴,2p2p x1e 022ppy x,0y 轴2,0p 2p y1e 022ppy x,0y 轴2,0p 2p y1e 注意强调p 的几何意义：是焦点到准线的距离抛物线不是双曲线的一支，抛物线不存在渐近线二、讲解新课：1.抛物线的焦半径及其应用：定义：抛物线上任意一点M 与抛物线焦点F 的连线段，叫做抛物线的焦半径焦半径公式：抛物线)0(22p px y，022x p p x PF抛物线)0(22p px y，0022x p p x PF抛物线)0(22p py x，0022y p p y PF抛物线)0(22p py x，0022y p p y PF2．直线与抛物线：（1）位置关系：相交（两个公共点或一个公共点）；相离（无公共点）；相切（一个公共点）下面分别就公共点的个数进行讨论：对于)0(22p px y当直线为0y y ，即0k，直线平行于对称轴时，与抛物线只有唯一的交点当0k ，设bkxyl :将b kxy l :代入0:22FEy Dx Cy AxC ，消去y ，得到关于x 的二次方程02cbxax （*）若0，相交；0，相切；0，相离综上，得：联立pxyb kx y 22，得关于x 的方程02cbx ax当0a （二次项系数为零），唯一一个公共点（交点）当0a，则若0，两个公共点（交点）0，一个公共点（切点）0，无公共点（相离）（2）相交弦长：弦长公式：21k ad，其中a 和分别是02c bx ax（*）中二次项系数和判别式，k 为直线b kxy l :的斜率当代入消元消掉的是y 时，得到02cby ay ，此时弦长公式相应的变为：211kad（3）焦点弦：定义：过焦点的直线割抛物线所成的相交弦。
高考数学一轮复习 第50讲抛物线课件 理 新人教课标A
第50讲 │ 要点探究
► 探究点4 抛物线的综合应用
例4 一水渠的横截面积如图50－2 所示，它的横截面边界AOB是抛物线 的一段，已知渠宽AB为2 m，渠深OC 为1.5 m，水面EF距AB为0.5 m. (1)求水面EF的宽度； (2)如果把此水渠改造为横截面是等腰 梯形，要求渠深不变，不准往回填土， 只准挖土，试求截面梯形的下底边长 为多大时，才能使所挖的土最少？
2．明确p的几何意义：焦点F到准线的距离，抛物线y2＝ 2px上3．的有点关常抛设物为线的2yp2焦，y半 .径、焦点弦问题，常转化为点到准线 的距离．有关直线与抛物线的位置关系问题，常用方程组思想、 消元法，结合根与系数的关系求解．
第50讲 │ 规律总结
4．抛物线方程的四种标准形式， 可以合并为两个：y2＝mx，x2＝ my(m≠0)．
∵过抛物线焦点的直线m和准线l以及x轴构成的是等腰直角三 角形， ∴直线m的斜率为1. 设直线m与准线l交于点A， 准线l与x轴交于点P， 如图，可得各点的坐标为
Pp2，0，Ap2，p.
第50讲 │ 要点探究
∴S△PAF＝12p2＝8，解得 p＝4， ∴抛物线方程为y2＝－8x.
[点评] 求抛物线的标准方程，只需确定一个待定参数．具体 求解时，要确定参数p的值和开口方向两个条件，必要时要进行 讨论．
•11、凡为教者必期于达到不须教。对人以诚信，人不欺我;对事以诚信，事无不成。 •12、首先是教师品格的陶冶，行为的教育，然后才是专门知识和技能的训练。 •13、在教师手里操着幼年人的命运，便操着民族和人类的命运。2022/1/182022/1/18January 18, 2022 •14、孩子在快乐的时候，他学习任何东西都比较容易。 •15、纪律是集体的面貌，集体的声音，集体的动作，集体的表情，集体的信念。 •16、一个人所受的教育超过了自己的智力，这样的人才有学问。 •17、好奇是儿童的原始本性，感知会使儿童心灵升华，为其为了探究事物藏下本源。2022年1月2022/1/182022/1/182022/1/181/18/2022 •18、人自身有一种力量，用许多方式按照本人意愿控制和影响这种力量，一旦他这样做，就会影响到对他的教育和对他发生作用的环境。 2022/1/182022/1/18
【焦点】高考数学一轮复习第九章平面解析几何第50课抛物线教师用书
【关键字】焦点第50课抛物线[最新考纲]平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫作抛物线．点F叫作抛物线的焦点，直线l叫作抛物线的准线．2．抛物线的标准方程与几何性质(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( )(2)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是，准线方程是x＝－.( )(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．( )(4)AB为抛物线y2＝2px(p>0)的过焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝，y1y2＝－p2，弦长AB＝x1＋x2＋p.( )[答案] (1)×(2)×(3)×(4)√2．(教材改编)若抛物线y＝4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是________．[M到准线的距离等于M到焦点的距离，又准线方程为y＝－，设M(x，y)，则y＋＝1，∴y＝.]3．抛物线y＝x2的准线方程是________．y＝－1 [∵y＝x2，∴x2＝4y，∴准线方程为y＝－1.]4．已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线经过点(－1,1)，则该抛物线焦点坐标为________．(1,0) [抛物线y2＝2px(p>0)的准线为x＝－且过点(－1,1)，故－＝－1，解得p＝2，所以抛物线的焦点坐标为(1,0)．]5．(2016·浙江高考)若抛物线y2＝4x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是________．9 [设点M的横坐标为x，则点M到准线x＝－1的距离为x＋1，由抛物线的定义知x ＋1＝10，∴x＝9，∴点M到y轴的距离为9.](1)＝x0，则x0＝________.(2)已知抛物线y2＝4x，过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，过A，B分别作y轴的垂线，垂足分别为C，D，则AC＋BD的最小值为__________．(1)1 (2)2 [(1)由y2＝x，知2p＝1，即p＝，因此焦点F，准线l的方程为x＝－.设点A(x0，y0)到准线l的距离为d，则由抛物线的定义可知d＝AF.从而x0＋＝x0，解得x0＝1.(2)由y2＝4x，知p＝2，焦点F(1,0)，准线x＝－1.根据抛物线的定义，AF＝AC＋1，BF＝BD＋1.因此AC＋BD＝AF＋BF－2＝AB－2.所以AC＋BD取到最小值，当且仅当AB取得最小值，又AB＝2p＝4为最小值．故AC＋BD的最小值为4－2＝2.][规律方法] 1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理．如本例充分运用抛物线定义实施转化，使解答简捷、明快．2．若P(x0，y0)为抛物线y2＝2px(p>0)上一点，由定义易得PF ＝x0＋；若过焦点的弦AB 的端点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长为AB ＝x1＋x2＋p ，x1＋x2可由根与系数的关系整体求出．[变式训练1] 已知抛物线C ：y2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若＝4 ，则QF ＝________.【导学号：】3 [∵＝4 ， ∴FP ＝4FQ ， ∴＝.如图，过Q 作QQ ′⊥l ，垂足为Q ′，设l 与x 轴的交点为A ，则AF ＝4， ∴＝＝， ∴QQ ′＝3.根据抛物线定义可知QF ＝QQ ′＝3.]如图50-1直角边OA 与OB 的长分别为1和8，求抛物线的方程．图50-1[解] 设直线OA 的方程为y ＝kx ，k ≠0，则直线OB 的方程为y ＝－x ， 由得x ＝0或x ＝.∴A 点坐标为，同理得B 点坐标为(2pk2，－2pk)，由OA ＝1，OB ＝8， 可得②÷①得k6＝64，即k2＝4. 则p2＝＝.又p >0，则p ＝255，故所求抛物线方程为y 2＝455x .[规律方法] 1.求抛物线的标准方程的方法：(1)求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有p ，所以只需一个条件确定p 值即可．(2)因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量． 2．由抛物线的方程可以确定抛物线的开口方向、焦点位置、焦点到准线的距离；从而进一步确定抛物线的焦点坐标及准线方程．[变式训练2] 写出适合下列条件的抛物线的标准方程： (1)抛物线的焦点与双曲线3x 2－y 2＝3的一个焦点重合； (2)焦点到准线的距离为3.[解] (1)∵双曲线3x 2－y 2＝3的焦点坐标为(±2,0)， 当焦点坐标为(2,0)时，抛物线的标准方程为y 2＝8x ； 当焦点坐标为(－2,0)时，抛物线的标准方程为y 2＝－8x . 综上可知，抛物线的标准方程为y 2＝±8x .(2)由题意可知p ＝3，故2p ＝6，故所求抛物线的标准方程为y 2＝±6x 或x 2＝±6y .抛物线的几何性质已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是过F 的直线与抛物线的两个交点，求证：(1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24；(2)1AF ＋1BF为定值；(3)以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切. 【导学号：】[证明] (1)由已知得抛物线焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0.由题意可设直线方程为x ＝my ＋p2，代入y 2＝2px ，得y 2＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫my ＋p 2，即y 2－2pmy －p 2＝0.(*)则y 1，y 2是方程(*)的两个实数根，所以y 1y 2＝－p 2. 因为y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，所以y 21y 22＝4p 2x 1x 2，所以x 1x 2＝y 21y 224p 2＝p 44p 2＝p 24.(2)1AF ＋1BF ＝1x 1＋p 2＋1x 2＋p2 ＝x 1＋x 2＋px 1x 2＋p 2x 1＋x 2＋p 24.因为x 1x 2＝p 24，x 1＋x 2＝AB －p ，代入上式，得1AF ＋1BF ＝ABp24＋p2AB －p ＋p24＝2p(定值)．(3)设AB 的中点为M (x 0，y 0)，分别过A ，B 作准线的垂线，垂足为C ，D ，过M 作准线的垂线，垂足为N ，则MN ＝12(AC ＋BD )＝12(AF ＋BF ) ＝12AB . 所以以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切．[规律方法] 在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点解题，同时要注意抛物线定义的应用，如焦点弦问题：AB ＝x 1＋x 2＋p ，其中A ，B 为焦点弦的两个端点．[变式训练3] 过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点．若AF ＝3，则△AOB 的面积为________．322[由题意设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(y 1>0，y 2<0)，如图所示，AF ＝x 1＋1＝3， ∴x 1＝2，y 1＝2 2.设AB 的方程为x －1＝ty ，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x －1＝ty消去x 得y 2－4ty －4＝0.∴y 1y 2＝－4. ∴y 2＝－2，x 2＝12，∴S △AOB ＝12×1×|y 1－y 2|＝322.][思想与方法]1．抛物线定义的实质可归结为“一动三定”：一个动点M ，一个定点F (抛物线的焦点)，一条定直线l (抛物线的准线)，一个定值1(抛物线的离心率)．2．抛物线的定义中指明了抛物线上点到焦点的距离与到准线距离的等价性，故二者可相互转化，这一转化思想在解题中有着重要作用．3．抛物线的焦点弦：设过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的直线与抛物线交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则：(1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24；(2)若直线AB 的倾斜角为θ，则AB ＝2psin 2θ＝x 1＋x 2＋p . [易错与防范]1．认真区分四种形式的标准方程．(1)区分y ＝ax 2(a ≠0)与y 2＝2px (p >0)，前者不是抛物线的标准方程．(2)求标准方程要先确定形式，必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为y 2＝mx 或x 2＝my (m ≠0)．2．直线与抛物线结合的问题，不要忘记验证判别式．3．抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与直线垂直的直线．当直线与抛物线有一个公共点，并不表明直线与抛物线相切．课时分层训练(五十) A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)1．(2016·四川高考改编)抛物线y 2＝4x 的焦点坐标是________． (1,0) [由y 2＝4x 知p ＝2，故抛物线的焦点坐标为(1,0)．]2．已知点F 是抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，点A 在抛物线C 上，若AF ＝4，则线段AF 的中点到抛物线C 的准线的距离为________．3 [由题意易知F (1,0)，F 到准线的距离为2，A 到准线的距离为AF ＝4，则线段AF 的中点到抛物线C 的准线的距离为2＋42＝3.]3．(2017·南京模拟)抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 2－y 23＝1的渐近线的距离是________. 【导学号：】32 [由双曲线x 2－y 23＝1知其渐近线方程为y ＝±3x ，即3x ±y ＝0， 又y 2＝4x 的焦点F (1,0)， ∴焦点F 到直线的距离d ＝332＋－12＝32.] 4．已知抛物线C 与双曲线x 2－y 2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C 的方程是________．y 2＝±42x [因为双曲线的焦点为(－2，0)，(2，0)．设抛物线方程为y 2＝±2px (p >0)，则p2＝2，p ＝2 2.所以抛物线方程为y 2＝±42x .]5．过抛物线y 2＝4x 的焦点F 作倾斜角为45°的直线交抛物线于A ，B 两点，则弦长AB 为__________．8 [设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．易得抛物线的焦点是F (1,0)，所以直线AB 的方程是y ＝x －1.联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝x －1，消去y 得x 2－6x ＋1＝0.所以x 1＋x 2＝6，所以AB ＝x 1＋x 2＋p ＝6＋2＝8.]6．已知点A (－2,3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为__________．－34 [∵点A (－2,3)在抛物线C 的准线上． ∴－p2＝－2，∴p ＝4，焦点F (2,0)．∴k AF ＝3－0－2－2＝－34.]7．若抛物线y 2＝2px 的焦点与椭圆x 29＋y 25＝1的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为__________．x ＝－2 [由椭圆x 29＋y 25＝1，知a ＝3，b ＝5，所以c 2＝a 2－b 2＝4，所以c ＝2. 因此椭圆的右焦点为(2,0)，又抛物线y 2＝2px 的焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0.依题意，得p2＝2，于是抛物线的准线x ＝－2.]8．设P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，则点P 到点A (－1,1)的距离与点P 到直线x ＝－1的距离之和的最小值为__________. 【导学号：】5 [如图，易知抛物线的焦点为F (1,0)，准线是x ＝－1，由抛物线的定义知：点P 到直线x ＝－1的距离等于点P 到F 的距离．于是，问题转化为在抛物线上求一点P ，使点P 到点A (－1,1)的距离与点P 到F (1,0)的距离之和最小．连结AF 交抛物线于点P ，此时最小值为AF ＝[1－－1]2＋0－12＝ 5.]9．如图502，正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为a ，b (a <b )，原点O 为AD 的中点，抛物线y 2＝2px (p >0)经过C ，F 两点，则ba＝__________.图5022＋1 [由题意可得C ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，－a ，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫a2＋b ，b ， 则⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝pa ，b 2＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋b ，ba＝2＋1(舍去2－1)．]10．(2017·徐州模拟)抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，其准线与双曲线y 2－x 2＝1相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p ＝__________.2 3 [y 2＝2px 的准线为x ＝－p2.由于△ABF 为等边三角形． 因此不妨设A ⎝⎛⎭⎪⎫－p 2，p 3，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p2，－p 3. 又点A ，B 在双曲线y 2－x 2＝1， 从而p 23－p 24＝1，所以p ＝2 3.]11．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点弦AB 的两端点坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1y 2x 1x 2的值一定等于________． －4 [①若焦点弦AB ⊥x 轴， 则x 1＝x 2＝p 2，所以x 1x 2＝p 24；∴y 1＝p ，y 2＝－p ，∴y 1y 2＝－p 2， ∴y 1y 2x 1x 2＝－4. ②若焦点弦AB 不垂直于x 轴， 可设AB 的直线方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，联立y 2＝2px 得k 2x 2－(k 2p ＋2p )x ＋p 2k 24＝0，则x 1x 2＝p 24.y 1y 2＝－p 2，∴y 1y 2x 1x 2＝－4.] 12．设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点M 在C 上，MF ＝5.若以MF 为直径的圆过点(0,2)，则C 的方程为________. 【导学号：】y 2＝4x 或y 2＝16x [由已知得抛物线的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，设点A (0,2)，点M (x 0，y 0)．则AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，－2，AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 202p ，y 0－2.由已知得，AF →·AM →＝0，即y 20－8y 0＋16＝0，因而y 0＝4，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫8p，4.由MF ＝5，得⎝ ⎛⎭⎪⎫8p －p 22＋16＝5， 又p >0，解得p ＝2或p ＝8. 故C 的方程为y 2＝4x 或y 2＝16x .]B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，则AB ＝________.12 [∵F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，∴F ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，0， ∴AB 的方程为y －0＝tan 30°⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34，即y ＝33x －34. 联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝3x ，y ＝33x －34，得13x 2－72x ＋316＝0， ∴x 1＋x 2＝－－7213＝212，即x A ＋x B ＝212.由于AB ＝x A ＋x B ＋p ， ∴AB ＝212＋32＝12.]2．(2016·全国卷Ⅰ改编)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点．已知AB ＝42，DE ＝25，则C 的焦点到准线的距离为________．4 [设抛物线的方程为y 2＝2px (p ＞0)，圆的方程为x 2＋y 2＝r 2. ∵AB ＝42，DE ＝25， 抛物线的准线方程为x ＝－p2，∴不妨设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4p ，22，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，5. ∵点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4p ，22，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，5在圆x 2＋y 2＝r 2上，∴⎩⎪⎨⎪⎧16p 2＋8＝r 2，p 24＋5＝r 2，∴16p 2＋8＝p24＋5，∴p ＝4(负值舍去)． ∴C 的焦点到准线的距离为4.]3．(2017·南京模拟)如图503，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交其准线l 于点C ，若BC ＝2BF ，且AF ＝3，则此抛物线的方程为________．图503y 2＝3x [如图，分别过A ，B 作AA 1⊥l 于A 1，BB 1⊥l 于B 1，由抛物线的定义知：AF ＝AA 1，BF ＝BB 1，∵BC ＝2BF ，∴BC ＝2BB 1，∴∠BCB 1＝30°， ∴∠AFx ＝60°，连结A 1F ，则△AA 1F 为等边三角形，过F 作FF 1⊥AA 1于F 1，则F 1为AA 1的中点，设l 交x轴于K ，则KF ＝A 1F 1＝12AA 1＝12AF ，即p ＝32，∴抛物线方程为y 2＝3x .]4．O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝42x 的焦点，P 为C 上一点，若PF ＝42，则△POF 的面积为________．2 3 [如图，设点P 的坐标为(x 0，y 0)， 由PF ＝x 0＋2＝42，得x 0＝32， 代入抛物线方程得，y 20＝42×32＝24， 所以|y 0|＝26，所以S △POF ＝12OF |y 0|＝12×2×26＝2 3.]5．(2017·南通调研)已知P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，Q 是圆(x －3)2＋(y －1)2＝1上的一个动点，N (1,0)是一个定点，则PQ ＋PN 的最小值为________．3 [由抛物线方程y 2＝4x ，可得抛物线的焦点F (1,0)，又N (1,0)，所以N 与F 重合． 过圆(x －3)2＋(y －1)2＝1的圆心M 作抛物线准线的垂线MH ，交圆于Q ，交抛物线于P ，则PQ ＋PN 的最小值等于MH －1＝3.]6．已知一条过点P (2,1)的直线与抛物线y 2＝2x 交于A ，B 两点，且P 是弦AB 的中点，则直线AB 的方程为________．x －y －1＝0 [依题意，设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有y 21＝2x 1，y 22＝2x 2，两式相减得y 21－y 22＝2(x 1－x 2)，即y 1－y 2x 1－x 2＝2y 1＋y 2＝1，直线AB 的斜率为1，直线AB 的方程是y －1＝x －2，即x －y －1＝0.]此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word 可编辑版本！。
《抛物线》_课件详解人教版2
求它的焦点坐标和准线方程.
(2)已知抛物线的焦点坐标是F(0,－2),
求它的标准方程．
(1)焦点为(
3 2
,
0)
,准线方程为x
3 2
.
(2)x2＝－8y.
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2.4 抛物线
2.4.1 抛物线及其标准方程 第一课时
复习回顾
1.椭圆和双曲线的统一方程
Ax2＋By2＝1（AB≠0，A≠B） 2.椭圆和双曲线有什么共同的几何特征？
到焦点的距离与到相应准线的距离之比 等于离心率.
探求新知
平面内到一个定点F的距离与到一条定直
线l(不经过点F)的距离之比为常数e的点的轨
探求新知
抛物线y＝ax2(a≠0)，其焦点坐标和准 线方程分别是什么？
焦点为
(
0
,
1 4a
)
，
准线方程为 y
1 4a
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典例讲评
例1 (1)已知抛物线的标准方程是y2＝6x,
交抛物线于A、B两点，求线段AB的中点M的轨
迹方程.
y
A
y2＝2(x－1).
M
F
x
OB
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课堂小结
1.椭圆、双曲线、抛物线的定义特征可 统一为：到一个定点的距离与到一条定直线 的距离之比为常数.
抛物线及其标准方程说课稿
抛物线及其标准方程说课稿
尊敬的老师、同学们：
今天，我很荣幸能够给大家讲一讲抛物线及其标准方程。
抛物线，也称为二次函数，是指具有统一的函数分析图形，其坐标点的坐标总是满足某种函数的方程式。
首先，让我们来看看抛物线的图像，它是一个由对称的拱形组成的形状，有一定的半径和焦点。
抛物线图像中心台阶，即图像上最高点，在图形的中心，左右两边向下应该有一定的幅度，从而形成曲线形状。
抛物线的标准方程格式为：y=ax^2+bx+c （a、b、c为常数），其中a、b、c称为系数，x称为自变量，y称为因变量。
抛物线的参数a决定抛物线的凹凸度，参数b和c决定抛物线的斜率以及位置。
综上所述，我们可以看出，抛物线可以用来描述许多实际问题。
如物理中的抛射运动，勺形路线等；在建筑学中，抛物线也蕴含着一定的意义。
从经济上讲，还可以运用抛物线来分析市场中消费者的消费行为，更加准确地预测价格的变化，使其经济活动更加高效率。
通过本节课的学习，我们更加清楚地了解了抛物线及其标准方程式的特征，希望我们都能够更加深入地理解抛物线，从而拓展自己的应用领域，发现更多抛物线的有趣特征。
谢谢老师，谢谢各位同学！。
抛物线(公开课)
过点F，与抛物线C交于A，B两点(点A在第一象限)，与抛物线C的准线交
于点D.若|AF|＝8，则以下结论正确的是
√A.p＝4
√B. D→F＝F→A
√C.|BD|＝2|BF|
D.|BF|＝4
如图所示，分别过点A，B作抛物线C的准线的垂线，垂足分别为点 E，M，连接EF.设抛物线C的准线交x轴于点P，则|PF|＝p.因为直线l 的斜率为 3，所以其倾斜角为60°. 因为AE∥x轴，所以∠EAF＝60°， 由抛物线的定义可知，|AE|＝|AF|， 则△AEF为等边三角形， 所以∠EFP＝∠AEF＝60°， 则∠PEF＝30°， 所以|AF|＝|EF|＝2|PF|＝2p＝8，得p＝4， 故A正确；
线准线的垂线，垂足为D，
则|PF|＝|PD|， ①
|PM|＋|PF|＝|PM|＋|PD|.
当点M，P，D三点共线时，|PM|＋|PF|的值最小. 由最小值为 41，得 20＋p2＝41，解得 p＝42.
当点M(20,40)位于抛物线外时，如图②，当点P，M，F 三点共线时，|PM|＋|PF|的值最小.
A.y1y2＝－1
√B.|AB|＝25 16
√C.PB平分∠ABQ √D.延长AO交直线x＝－14 于点C，则C，B，Q三点共线
设抛物线的焦点为F， 则 F14，0. 因为 P4116，1， 且l1∥x轴， 故A(1,1)， 故直线 AF：y＝11－－014x－14＝43x－13.
由y＝43x－13， y2＝x
又因为点A到y轴的距离为9，即x＝9，
所以9＋
p 2
＝12，解得p＝6.
(2)已知点M(20,40)，抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F.若对于抛物线上的一 点P，|PM|＋|PF|的最小值为41，则p的值等于_4_2_或__2_2__.
数学物理教案：抛物线的性质与应用
数学物理教案：抛物线的性质与应用一、抛物线的性质实践教案1.1 抛物线的定义与基本性质抛物线是二次函数的图像，具有特殊的几何性质和应用价值。
在数学中，我们常用一般式方程 y=ax^2+bx+c （其中a≠0 ）来描述抛物线。
在这个教案中，我们将重点探讨抛物线的性质与应用。
首先，我们来介绍抛物线的基本性质。
抛物线的对称轴与 x 轴平行，方程形式为 x= -b/2a。
对称轴上的点称为抛物线的顶点，也是对称中心。
通过点对称性，可以得出抛物线关于顶点对称。
抛物线在顶点处取得最值，当 a>0 时，最小值为 -D/4a；当 a<0 时，最大值为 -D/4a。
其中 D=b^2 - 4ac 称为方程的判别式。
抛物线的开口方向由 a 的正负决定，当 a>0 时，抛物线开口向上；当 a<0 时，抛物线开口向下。
1.2 抛物线的性质之焦点与准线接下来，我们将讨论抛物线的焦点和准线。
对于给定的抛物线，焦点F（p, q）是位于对称轴上的一个点，满足距离的性质：焦点到抛物线上任意一点的距离等于焦点到准线上的相应点的距离。
准线是过焦点 F 且垂直于对称轴的一条直线，其方程为 y=-(D/4a)。
我们可以利用这一性质来确定焦点的坐标，通过解方程组将焦点的坐标表示为（p, q）=（-b/2a, -D/4a）。
二、抛物线的应用实践教案2.1 抛物线的应用之物体运动轨迹抛物线不仅在数学领域有重要性质，而且在物理学中也具有广泛的应用。
抛物线可用于描述和分析物体在自由落体或斜抛运动中的轨迹。
在物理学中，我们知道自由落体运动是指只受重力作用的运动。
当一个物体以初速度 v₀进行向下抛掷时，其运动轨迹可以用抛物线来描述。
根据抛物线的性质，我们可以计算物体的最高点、最大高度以及落地点等重要信息。
2.2 抛物线的应用之天体运动除了物体运动轨迹外，抛物线还可以用于描述天体的运动。
在天文学中，行星、卫星和彗星等天体在星际空间中的运动轨迹往往呈现出抛物线形状。
2020年高考数学(文科)一轮复习 第八单元 听课手册 第50讲抛物线
听课手册 第50讲 抛物线1.抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )的距离 的点的轨迹叫作抛物线,点F 叫作抛物线的焦点,直线l 叫作抛物线的准线. 2.抛物线的标准方程和几何性质y =2px (p>0) y =-2px (p>0)(续表))x =2py (p>0)x =-2py (p>0)y ≥0,x ∈R y ≤0,x ∈R常用结论1.焦半径:抛物线上的点P(x0,y0)与焦点F之间的线段叫作抛物线的焦半径,记作r=|PF|.(1)y2=2px(p>0),r=x0+;(2)y2=-2px(p>0),r=-x0+;(3)x2=2py(p>0),r=y0+;(4)x2=-2py(p>0),r=-y0+.2.焦点弦的常用结论以抛物线y2=2px(p>0)为例,设AB是抛物线的过焦点的一条弦(焦点弦),F是抛物线的焦点,A(x1,y1),B(x2,y2),A,B在准线上的射影分别为A1,B1,则有以下结论:(1)x1x2=,y1y2=-p2;,|BF|=;(2)若直线AB的倾斜角为θ,则|AF|=-(3)|AB|=x1+x2+p=(其中θ为直线AB的倾斜角),抛物线的通径长为2p,通径是最短的焦点弦;(4)S△AOB=(其中θ为直线AB的倾斜角);(5)+=(定值);(6)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切;(7)以AF(或BF)为直径的圆与y轴相切;(8)以A1B1为直径的圆与直线AB相切,切点为F,∠A1FB1=90°;(9)A,O,B1三点共线,B,O,A1三点也共线.3.y2=ax(a≠0)的焦点坐标为,准线方程为x=-.题组一常识题1.[教材改编]抛物线8x2+y=0的焦点坐标为,准线方程为.2.[教材改编]抛物线y=ax2(a≠0)的准线方程是y=2,则a的值为.3.[教材改编]若点P到点F(0,2)的距离比它到直线y+4=0的距离小2,则点P的轨迹方程为.4.[教材改编]抛物线y2=8x的焦点为F,P在抛物线上,若|PF|=4,则P点坐标为.5.[教材改编]过抛物线y2=4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1,y1),Q(x2,y2)两点,如果x1+x2=4,则|PQ|等于.题组二常错题◆索引:忽视抛物线的类型;不注意抛物线方程的标准形式;在方程中没有限制条件p>0的情况下,p可以为负值.6.已知抛物线的顶点是坐标原点,对称轴为坐标轴,并且经过点P(-2,-4),则该抛物线的标准方程为.7.抛物线x2+2py=0的焦点到准线的距离为4,则p= .8.过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫作抛物线的通径,那么抛物线y=-x2(a≠0)的通径长为.探究点一抛物线的标准方程例1 (1)已知抛物线的顶点在坐标原点,焦点为双曲线-=1的右焦点,则此抛物线的方程为()A. y2=2xB. y2=4xC. y2=8xD. y2=16x(2)抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点O是坐标原点,过点O,F的圆与抛物线C的准线相切,且该圆的面积为36π 则抛物线的方程为.[总结反思] 求抛物线方程的基本方法是定义法和待定系数法:(1)定义法就是根据抛物线的定义得到其焦参数、焦点位置,然后根据抛物线方程的形式写出其方程.(2)待定系数法就是根据已知得到焦参数的方程,求出焦参数,求解的关键是求出焦参数p和确定抛物线的焦点位置,焦点在x轴上的抛物线的标准方程可以用y2=λx(λ≠0)表示,焦点在y 轴上的抛物线的标准方程可以用x2=λy(λ≠0)表示.变式题(1)直线l过抛物线y2=-2px(p>0)的焦点,且与该抛物线交于A,B两点,若线段AB的长是8,AB的中点到y轴的距离是2,则此抛物线的方程是()A. y2=-12xB. y2=-8xC. y2=-6xD. y2=-4x(2)已知抛物线C与双曲线x2-y2=1有相同的焦点,且顶点在原点,则抛物线C的方程是()A. y2=±2xB. y2=±2xC. y2=±4xD. y2=±4x探究点二抛物线的定义有关问题微点1动弦中点到坐标轴距离最短问题例2 (1)已知抛物线x2=4y上有一条长为6的动弦AB,则AB的中点到x轴的最短距离为()A. B.C. 1D. 2(2)已知A(x1,y1),B(x2,y2)是抛物线y2=4x上的两个动点,且|AB|=8,则x1+x2的最小值是()A. 4B. 6C. 8D. 10[总结反思] 将定长线段的中点到准线的距离转化为线段的两个端点到准线距离之和的一半,再根据三角形中两边之和大于第三边得出不等式,这是解决此类问题的一般方法.微点2距离之和最小问题例3 (1)若点B的坐标为(3,2),F是抛物线y2=6x的焦点,点P在抛物线上移动时,使|PF|+|PB|取得最小值的P的坐标为()A. (0,0)B.C. (1,)D. (2,2)(2)已知抛物线方程为y2=8x,直线l的方程为x-y+4=0,在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1,到直线l的距离为d2,则d1+d2的最小值为.[总结反思] 利用抛物线的定义解决问题时,应灵活地进行抛物线上的点到焦点距离与其到准线距离之间的等价转化.“看到准线应该想到焦点,看到焦点应该想到准线”,这是解决抛物线距离有关问题的有效途径.涉及距离和最小值的两个常见转化策略:①将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离,构造出“两点之间线段最短”,使问题得解;②将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离,利用“直线外一点与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决.微点3焦点弦中距离之和最小问题例4 (1)已知抛物线y2=4x,过焦点F的直线与抛物线交于A,B两点,过A,B作y轴的垂线,垂足分别为C,D,则|AC|+|BD|的最小值为.(2)[2018·江西上饶三模]已知抛物线y2=2x,焦点为F,过F点的直线交抛物线于A,B两点,则|AF|+2|BF|的最小值为.[总结反思] 过抛物线的焦点且与抛物线的对称轴垂直的弦称为抛物线的通径,通径是抛物线过焦点的所有弦中最短的,若能将问题转化为与通径有关的问题,则可以用“通径最短”求最值.应用演练1.【微点1】定长为6的线段MN的两端点在抛物线y2=4x上移动,设点P为线段MN的中点,则点P到y轴的距离的最小值为()A.6B.5C.3D.22.【微点3】[2018·重庆巴蜀中学月考]直线l过抛物线C:x2=4y的焦点F且交抛物线C 于A,B两点,则|AF|+2|BF|的最小值为()A. 3+2B. 2+3C. 6D. 43.【微点3】[2019·唐山海港高级中学模拟]过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A,B两点,则|AF|+|BF|的最小值是 ()A. 2B.C. 4D. 24.【微点2】设P是抛物线y2=4x上的一个动点,F为其焦点,若B(3,4),则|PB|+|PF|的最小值为.5.【微点2】已知M是抛物线x2=8y上一点,F为其焦点,点A在圆C:(x+1)2+(y-5)2=1上,则|MA|+|MF|的最小值是.探究点三抛物线的几何性质例5 (1)[2018·东北三省三校一模]抛物线y=4x2的焦点到准线的距离为 ()A. 2B. 1C. D.(2)[2018·厦门二模]已知拋物线C:y2=4x的焦点为F,过F的直线与抛物线C交于A,B两点,|AB|=6,则AB的中点到y轴的距离是()A. 1B. 2C. 3D. 4[总结反思] 抛物线的几何性质主要表现为两点:一是抛物线上的点与焦点和准线的关系;二是抛物线的焦点弦,利用抛物线的定义以及一些常用结论公式即可解决问题.变式题(1)过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F作斜率大于0的直线交抛物线于A,B两点(A在B的上方),且与准线交于点C,若=4,则=()A. B.C. 3D. 2(2)[2018·银川4月质检]已知F1,F2分别为双曲线3x2-y2=3a2(a>0)的左、右焦点,P是抛物线y2=8ax与双曲线的一个交点,若|PF1|+|PF2|=12,则抛物线的准线方程为()A. x=-4B. x=-3C. x=-2D. x=-1探究点四直线与抛物线的位置关系例6 已知直线l经过抛物线y2=4x的焦点且与此抛物线交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,|AB|<8,直线l与抛物线y=x2-4交于M,N两点,且M,N两点在y轴的两侧.(1)证明:y1y2为定值;(2)求直线l的斜率的取值范围;(3)若·=-48(O为坐标原点),求直线l的方程.[总结反思] 直线与抛物线相交问题处理规律:(1)凡涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率问题时都要注意利用韦达定理,避免求交点坐标的复杂运算,特别是有关弦长问题,要注意直线是否过抛物线的焦点,若过抛物线的焦点,可直接使用公式|AB|=x1+x2+p,若不过焦点,则使用弦长公式|AB|=-;(2)对于直线与抛物线相交、相切、中点弦、焦点弦问题,以及定值、存在性问题的处理,最好是作出草图,由图形结合几何性质作出解答,并注意“设而不求”“整体代入”“点差法”的灵活应用.变式题[2019·四川华蓥一中调研]已知抛物线C:y2=2px(p>0),斜率为1的直线l1交抛物线C于A,B两点,当直线l1过点(1,0)时,以AB为直径的圆与直线x=-1相切.(1)求抛物线C的方程;(2)与l1平行的直线l2交抛物线于C,D两点,若平行线l1,l2之间的距离为,且△OCD的面积是△OAB的面积的倍(O为坐标原点),求l1和l2的方程.完成课时作业(五十)。
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听课手册第50讲抛物线1.抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离的点的轨迹叫作抛物线,点F叫作抛物线的焦点,直线l叫作抛物线的准线.2.抛物线的标准方程和几何性质标准方程y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)图形(续表)标准方程y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)性质范围,y∈R ,y∈R准线方程x=-p2x=p2焦点F(p2,0)F(-p2,0)对称性关于对称顶点离心率e=焦半径|MF|=p2+x0|MF|=p2-x0(续表)标准方程x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)图形性质范围y≥0,x∈R y≤0,x∈R 准线方程y=-p2y=p2焦点F(0,p2)F(0,-p2)对称性关于对称顶点 离心率 e=焦半径|MF|=|MF|=常用结论1.焦半径:抛物线上的点P (x 0,y 0)与焦点F 之间的线段叫作抛物线的焦半径,记作r=|PF|. (1)y 2=2px (p>0),r=x 0+p 2;(2)y 2=-2px (p>0),r=-x 0+p 2;(3)x 2=2py (p>0),r=y 0+p 2;(4)x 2=-2py (p>0),r=-y 0+p 2.2.焦点弦的常用结论以抛物线y 2=2px (p>0)为例,设AB 是抛物线的过焦点的一条弦(焦点弦),F 是抛物线的焦点,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),A ,B 在准线上的射影分别为A 1,B 1,则有以下结论: (1)x 1x 2=p 24,y 1y 2=-p 2;(2)若直线AB 的倾斜角为θ,则|AF|=p1-cosθ,|BF|=p1+cosθ;(3)|AB|=x 1+x 2+p=2p sin 2θ(其中θ为直线AB 的倾斜角),抛物线的通径长为2p ,通径是最短的焦点弦;(4)S △AOB =p 22sinθ(其中θ为直线AB 的倾斜角);(5)1|AF|+1|BF|=2p(定值);(6)以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切; (7)以AF (或BF )为直径的圆与y 轴相切; (8)以A 1B 1为直径的圆与直线AB 相切,切点为F ,∠A 1FB 1=90°;(9)A ,O ,B 1三点共线,B ,O ,A 1三点也共线. 3.y 2=ax (a ≠0)的焦点坐标为(a 4,0),准线方程为x=-a 4.题组一 常识题1.[教材改编] 抛物线8x 2+y=0的焦点坐标为 ,准线方程为 . 2.[教材改编] 抛物线y=ax 2(a ≠0)的准线方程是y=2,则a 的值为 .3.[教材改编] 若点P 到点F (0,2)的距离比它到直线y+4=0的距离小2,则点P 的轨迹方程为.4.[教材改编]抛物线y2=8x的焦点为F,P在抛物线上,若|PF|=4,则P点坐标为.5.[教材改编]过抛物线y2=4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1,y1),Q(x2,y2)两点,如果x1+x2=4,则|PQ|等于.题组二常错题◆索引:忽视抛物线的类型;不注意抛物线方程的标准形式;在方程中没有限制条件p>0的情况下,p可以为负值.6.已知抛物线的顶点是坐标原点,对称轴为坐标轴,并且经过点P(-2,-4),则该抛物线的标准方程为.7.抛物线x2+2py=0的焦点到准线的距离为4,则p= .8.过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫作抛物线的通径,那么抛物线y=-12ax2(a≠0)的通径长为.探究点一抛物线的标准方程例1(1)已知抛物线的顶点在坐标原点,焦点为双曲线x 29-y27=1的右焦点,则此抛物线的方程为()A. y2=2xB. y2=4xC. y2=8xD. y2=16x(2)抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点O是坐标原点,过点O,F的圆与抛物线C的准线相切,且该圆的面积为36π,则抛物线的方程为.[总结反思]求抛物线方程的基本方法是定义法和待定系数法:(1)定义法就是根据抛物线的定义得到其焦参数、焦点位置,然后根据抛物线方程的形式写出其方程.(2)待定系数法就是根据已知得到焦参数的方程,求出焦参数,求解的关键是求出焦参数p和确定抛物线的焦点位置,焦点在x轴上的抛物线的标准方程可以用y2=λx(λ≠0)表示,焦点在y轴上的抛物线的标准方程可以用x 2=λy (λ≠0)表示.变式题 (1)直线l 过抛物线y 2=-2px (p>0)的焦点,且与该抛物线交于A ,B 两点,若线段AB 的长是8,AB 的中点到y 轴的距离是2,则此抛物线的方程是 ( )A. y 2=-12xB. y 2=-8xC. y 2=-6xD. y 2=-4x(2)已知抛物线C 与双曲线x 2-y 2=1有相同的焦点,且顶点在原点,则抛物线C 的方程是( )A. y 2=±2√2xB. y 2=±2xC. y 2=±4x D. y 2=±4√2x探究点二 抛物线的定义有关问题 微点1 动弦中点到坐标轴距离最短问题例2 (1)已知抛物线x 2=4y 上有一条长为6的动弦AB ,则AB 的中点到x 轴的最短距离为 ( )A. 34B. 32 C. 1 D. 2(2)已知A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)是抛物线y 2=4x 上的两个动点,且|AB|=8,则x 1+x 2的最小值是 ( )A. 4B. 6C. 8D. 10[总结反思] 将定长线段的中点到准线的距离转化为线段的两个端点到准线距离之和的一半,再根据三角形中两边之和大于第三边得出不等式,这是解决此类问题的一般方法.微点2 距离之和最小问题例3 (1)若点B 的坐标为(3,2),F 是抛物线y 2=6x 的焦点,点P 在抛物线上移动时,使|PF|+|PB|取得最小值的P 的坐标为 ( ) A. (0,0) B. (23,2)C. (1,√2)D. (2,2)(2)已知抛物线方程为y2=8x,直线l的方程为x-y+4=0,在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1,到直线l的距离为d2,则d1+d2的最小值为.[总结反思]利用抛物线的定义解决问题时,应灵活地进行抛物线上的点到焦点距离与其到准线距离之间的等价转化.“看到准线应该想到焦点,看到焦点应该想到准线”,这是解决抛物线距离有关问题的有效途径.涉及距离和最小值的两个常见转化策略:①将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离,构造出“两点之间线段最短”,使问题得解;②将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离,利用“直线外一点与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决.微点3焦点弦中距离之和最小问题例4(1)已知抛物线y2=4x,过焦点F的直线与抛物线交于A,B两点,过A,B作y轴的垂线,垂足分别为C,D,则|AC|+|BD|的最小值为.(2)[2018·江西上饶三模]已知抛物线y2=2x,焦点为F,过F点的直线交抛物线于A,B两点,则|AF|+2|BF|的最小值为.[总结反思]过抛物线的焦点且与抛物线的对称轴垂直的弦称为抛物线的通径,通径是抛物线过焦点的所有弦中最短的,若能将问题转化为与通径有关的问题,则可以用“通径最短”求最值.应用演练1.【微点1】定长为6的线段MN的两端点在抛物线y2=4x上移动,设点P为线段MN的中点,则点P 到y 轴的距离的最小值为 ( )A .6B .5C .3D .22.【微点3】[2018·重庆巴蜀中学月考] 直线l 过抛物线C :x 2=4y 的焦点F 且交抛物线C 于A ,B 两点,则|AF|+2|BF|的最小值为( )A. 3+2√2B. 2+3√2C. 6D. 43.【微点3】[2019·唐山海港高级中学模拟] 过抛物线y 2=4x 的焦点F 的直线交抛物线于A ,B 两点,则|AF|+|BF|的最小值是 ( ) A. 2 B. √2 C. 4 D. 2√24.【微点2】设P 是抛物线y 2=4x 上的一个动点,F 为其焦点,若B (3,4),则|PB|+|PF|的最小值为 .5.【微点2】已知M 是抛物线x 2=8y 上一点,F 为其焦点,点A 在圆C :(x+1)2+(y-5)2=1上,则|MA|+|MF|的最小值是 .探究点三 抛物线的几何性质例5 (1)[2018·东北三省三校一模] 抛物线y=4x 2的焦点到准线的距离为 ( ) A. 2 B. 1C. 12D. 18(2)[2018·厦门二模] 已知拋物线C :y 2=4x 的焦点为F ,过F 的直线与抛物线C 交于A ,B 两点,|AB|=6,则AB 的中点到y 轴的距离是 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4[总结反思] 抛物线的几何性质主要表现为两点:一是抛物线上的点与焦点和准线的关系;二是抛物线的焦点弦,利用抛物线的定义以及一些常用结论公式即可解决问题.变式题 (1)过抛物线y 2=2px (p>0)的焦点F 作斜率大于0的直线交抛物线于A ,B 两点(A 在B 的上方),且与准线交于点C ,若CB⃗⃗⃗⃗⃗ =4BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则|AF||BF|= ( ) A. 53B. 52C. 3D. 2(2)[2018·银川4月质检] 已知F 1,F 2分别为双曲线3x 2-y 2=3a 2(a>0)的左、右焦点,P 是抛物线y 2=8ax 与双曲线的一个交点,若|PF 1|+|PF 2|=12,则抛物线的准线方程为 ( )A. x=-4B. x=-3C. x=-2D. x=-1探究点四 直线与抛物线的位置关系例6 已知直线l 经过抛物线y 2=4x 的焦点且与此抛物线交于A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)两点,|AB|<8,直线l 与抛物线y=x 2-4交于M ,N 两点,且M ,N 两点在y 轴的两侧.(1)证明:y 1y 2为定值;(2)求直线l 的斜率的取值范围;(3)若OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-48(O 为坐标原点),求直线l 的方程.[总结反思]直线与抛物线相交问题处理规律:(1)凡涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率问题时都要注意利用韦达定理,避免求交点坐标的复杂运算,特别是有关弦长问题,要注意直线是否过抛物线的焦点,若过抛物线的焦点,可直接使用公式|AB|=x1+x2+p,若不过焦点,则使用弦长公式|AB|=√[(x1+x2)2-4x1x2](1+k2);(2)对于直线与抛物线相交、相切、中点弦、焦点弦问题,以及定值、存在性问题的处理,最好是作出草图,由图形结合几何性质作出解答,并注意“设而不求”“整体代入”“点差法”的灵活应用.变式题[2019·四川华蓥一中调研]已知抛物线C:y2=2px(p>0),斜率为1的直线l1交抛物线C于A,B两点,当直线l1过点(1,0)时,以AB为直径的圆与直线x=-1相切.(1)求抛物线C的方程;,且△OCD的面积是(2)与l1平行的直线l2交抛物线于C,D两点,若平行线l1,l2之间的距离为√22△OAB的面积的√3倍(O为坐标原点),求l1和l2的方程.完成课时作业(五十)。