第三章电子光学中的场PPT课件

几个假设：
1。静场 2。真空 3。不考虑空间电荷和电流的影响。 4。场结构简单：轴对称或者面对称
物理基础
麦克斯韦方程组：
E B t
H D J t
D
B 0
（3－1）
数学基础
矢量公式通用形式
e1
h1q1
e2
h2q2
e3
h3q3
1
•
D
h1h2h3
[ q1
(h2 h3 D1 )
3.1.3 轴对称电场的积分表达式
利用分离变量法求解拉普拉斯方程
(r, z) 1
2
V (z ir sin a)da
2 0
(3－7)
3.1.4 轴对称E的调和级数展开
调和级数展开可以对某一点附近的电场 进行研究（例如鞍点或阴极前的场）
(r, z) Ck Pk (r, z z0 ) k 0
2
1 r
r
(r
)
r
1 r2
2 2
2
z 2
0
（3－4）
数学基础
拉梅系数联接了直角坐标系（x、y、z） 同其它正交曲线系（q1、q2、q3）。
hi2
x ( qi
)2
y ( qi
)2
z ( qi
)2
（3－2）
3.1.2 轴对称E的幂级数表达式
假设，场的作用空间无奇异点、无点电荷、无面电荷 和偶电层，则电位是解析函数，可以展成幂级数。
B 0
(3-17)
3.4.1 轴对称磁场的矢位
由于磁场的旋转对称性
Br
1 r
(rA ) z
Bz
1 r
( rA r
)
B 0
（3－18）
3.4.1 轴对称磁场的矢位
由磁场的旋转对称性：
Ar Az 0, A A ( r , z )
（3－19）
上式表明，矢位A仅有角向分量，即：
A A (r, z)
3.2.3 等位面的曲率
梅尼定理：曲面上任意曲线B的曲率半径等于 在曲面法线上所截取的对应法截线的曲率半 径在曲线B的主法线上的正射影。
Rs RM cos
(3-14)
2。等位面在轴上的任何方位的曲率相同，即
2V (z) Rm Rs V (z)
3.3 轴对称静电场力函数
电位函数描述等位面，通过力函数引入 力管概念。
q2
(h1h3D2 )
q3
(h2h1D3 )]
数学基础
e1 h2 h3 A q1 h1 A1
e2
e1
h1h3 h2 h3
q2 q3
h2 A2 h3 A3
（3－3）
2
1 h1h2h3
q1
( h2h3 h1
) q1
q2
( h1h3 h2
) q2
q3
( h2h1 h3
q3
)
数学基础
圆柱坐标系下拉氏方程：
第三章 电子光学中的场
教师：王丽
本章组织
数理基础 3.1 轴对称静电场的数学表达式 3.2 轴对称静电场近轴区性质 3.3 轴对称静电场力函数（流函数）性质 3.4 轴对称磁场的矢位和标位 3.5 轴对称磁场的数学表达式 3.6 数学解析法求解静电场与静磁场。
数理基础
电子光学的首要问题：求解电场、磁场 分布。
于轴的圆盘内的磁通量的
1
2
倍：
rA
1
2
B d
s
S
（3－22）
3.4.2 轴对称磁场的标位
由磁场标位和电场标位函数相似性可得 磁标位的谢尔茨公式为：
(r, z)
(1)k
1 (k!)2
(
r 2
)
2
k
o
(
2k
)
(
z
)
（3－23）
注意：1。电场恒为无旋场，因此电位的引入无条件。 力函数的引入需要在无空间电荷条件下， 才满足无源条件
（3－20）
3.4.1 轴对称磁场的矢位
在无自由空间电荷区间，磁场无旋：
2 ( rA ) 1 ( rA ) 2 ( rA ) 0
r 2 r r
z 2
（3－21）
其中，矢量磁位 rAφ 的物理意义：
此矢量等同于静电场的电位标量，表示磁场中的流
函数。它是通过以r为半径，以z轴为圆心的且垂直
k d
（3－12）
称为曲线在点M的曲率半径。
3.2.3 等位面的曲率
当曲线方程为：y=f(x)时，
R (1 y2 )3/ 2 y
即是曲线的曲率半径。
（3－13）
3.2.3 等位面的曲率
要求得等位面上各点的弯曲程度，只需 求出通过该点的、任意两个彼此垂直方 向上的曲率。
1。子午曲率。RM 2。弧矢曲率。Rs
Po 1 P1 z zo P2 (z zo )2 r 2 / 2
3.2.3 等位面的曲率
1。曲率和曲率半径：曲线上两点Q和M的切线正
向的夹角与弧长之比，当Q趋向与M时的极限，
即：
k lim
d
QM MQ ds
（3－11）
称为曲线在点M的曲率，也即是切线的方向角对 于弧长的转动率。
R 1 ds
Fz eEz eV ' (z)
（3－9）
3.2.2对称轴附近的等位面形状
旋转对称电场中，等位面方程：
(r, z) C
（3－10）
其中，C为常数，对应与不同取值的等位面。
• 子午面，子午线，等位线。
3.2.2对称轴附近的等位面形状
例1 在圆柱坐标系下，求对称轴上任一 点zo附近的等位线形状。
2。磁场恒为无源场，力函数的引入无条件。 磁标位的引入需要在自由空间电流条件下， 才满足无旋条件
3.5 轴对称磁场的数学表达式
1。磁标位的幂级数表达式（3－23） 2。磁矢量的幂级数表达式
A(r, z) a2k1(z)r 2k1 k 0
a2 k 1 (r ,
谢尔茨公式：
(r, z)
(1)k
1 (k!)2
( r )2kV (2k)(z) 2
（3－6）
由上式可知：已知轴上电位分布可求空间电位分布
贝塞尔微分方程：
d 2
dz 2
1 z
d
dz
(1
z
2 2
)
0
（3－5）
贝塞尔函数
Jn（x）函数是震荡衰减函数，有无穷多个单重实零点，在x 轴上关于原点对称。

（3－8）
3.2 轴对称静电场近轴区性质
研究近轴区： 1。掌握近轴区性质对于定性分析电子在场内的运动是 有利的。 2。目前广泛采用的数值计算方法求解电场，更加需要 注意轴附近电位分布的特殊点，以及等位面的曲率和 形状。
3.2.1 近轴区电场对电子作用
受力分析：
Fr
eEr
e V '' (z)r 2
力函数：等于通过z轴，面积为S的圆盘 内的电力线通量平均值：
1
2
s
E dS
（3－15）
3.4 轴对称磁场的矢位和标位
旋转对称静磁场是电子光学系统中广泛采用的磁场。由电磁场理 论知道 ，磁场是无源的，引入磁矢量位 A，使磁感应强度满足：
B A
(3-16)
Br Br ( r ,z ),Bz Bz ( r ,z )