高考数学(人教A版_理)一轮复习配套讲义：第3篇_第7讲_解三角形应用举例
2021版高考数学一轮复习第4章三角函数、解三角形第7节解三角形的综合应用课件文新人教A版
6－ 2
2a×sin
60°＋asin
15°＝
2 2 a.
答案：
2 2a
三、易错自纠
4．若点 A 在点 C 的北偏东 30°，点 B 在点 C 的南偏东 60°，且 AC＝BC，则点 A
在点 B 的( )
A．北偏东 15°
B．北偏西 15°
C．北偏东 10°
D．北偏西 10°
解析：选 B 如图所示，∠ACB＝90°， 又 AC＝BC， ∴∠CBA＝45°，而 β＝30°， ∴α＝90°－45°－30°＝15°. ∴点 A 在点 B 的北偏西 15°.
中，AB＝12AD＝
3 2 a.
答案：
3 2a
6．如图，一艘船上午 9：30 在 A 处测得灯塔 S 在它的北偏东 30°的方向上，之后 它继续沿正北方向匀速航行，上午 10：00 到达 B 处，此时又测得灯塔 S 在它的北偏东 75°的方向，且与它相距 8 2 n mile，则此船的航速是________ n mile/h.
第四章 三角函数、解三角形
第七节 解三角形的综合应用
栏
课 前 ·基 础 巩 固 1
目
导
课 堂 ·考 点 突 破 2
航
3 课 时 ·跟 踪 检 测
[最新考纲]
[考情分析]
以利用正弦定理、余弦定理
测量距离、高度、角度等实际问 能够运用正弦定理、余弦定
题为主，常与三角恒等变换、三 理等知识和方法解决一些与测量
角函数的性质结合考查，加强数 和几何计算有关的实际问题.
学知识的应用性．题型主要为选
择题和填空题，中档难度.
[核心素养]
1.数学运算 2.数学建模
1
课 前 ·基 础 巩 固
(新课标)2020年高考数学一轮总复习第三章三角函数、解三角形3_7正弦定理和余弦定理课件理新人教A版
4．三角形的面积公式
S△ABC＝12aha＝12bhb＝12chc
＝
1
1
2absin C ＝ 2bcsin
A ＝ 12acsin B
．
[三基自测] 1．(必修 5·习题 1.1B 组改编)在△ABC 中，若 sin2A＋sin2B<sin2C，则△ABC 的形 状是( ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 答案：C
2．余弦定理
b2＋c2－a2
a2＝ b2＋c2－2bccos A ，cos A＝
2bc
；
a2＋c2－b2
b2＝ a2＋c2－2accos B ，cos B＝
2ac
；
a2＋b2－c2
c2＝ a2＋b2－2abcos C ，cos C＝
2ab .
3．勾股定理 在△ABC 中，∠C＝90°⇔ a2＋b2＝c2 .
面积为154 3，则 BC 边的长为
．
[解析] 由 S△ABC＝154 3得12×3×ACsin 120°＝154 3，所以 AC＝5，因此 BC2＝AB2
＋AC2－2AB·AC·cos 120°＝9＋25＋2×3×5×12＝49，解得 BC＝7.
[答案] 7
方法 4 已知三边解三角形
【例 4】 (2015·高考北京卷)在△ABC 中，a＝4，b＝5，c＝6，则ssiinn2CA＝
(2)△ABC中，若cos2A2＝b＋ 2cc，∴cos
A2 ＋1＝sin
B＋sin 2sin C
C⇒cos
A＋1＝ssiinn
CB＋1，
∴sin Ccos A＝sin B，∴sin Ccos A＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C．
第4章 第7节 解三角形应用举例-2022届高三数学一轮复习讲义(新高考)
第七节解三角形应用举例一、教材概念·结论·性质重现1．仰角和俯角意义图示在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角.2.方位角意义图示从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α.3.方向角意义图示相对于某一正方向的水平角(1)北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向；(2)北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向；(3)南偏西等其他方向角类似.4.坡角与坡度意义图示(1)坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图，角θ为坡角)；(2)坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图，i为坡度)．坡度又称为坡比.解三角形应用问题的步骤1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．(1)若从A 处望B 处的仰角为α，从B 处望A 处的俯角为β，则α，β的关系为α＝β．(√) (2)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2．(×) (3)若点P 在点Q 的北偏东44°，则点Q 在点P 的东偏北46°． (×) (4)方位角大小的范围是[0，π)，方向角大小的范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2．(×)2．如图，两座灯塔A 和B 与海岸观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站南偏西40°，灯塔B 在观察站南偏东60°，则灯塔A 在灯塔B 的( )A ．北偏东10°B ．北偏西10°C ．南偏东80°D ．南偏西80°D 解析：由条件及图可知，∠A ＝∠CBA ＝40°，又∠BCD ＝60°，所以∠CBD ＝30°，所以∠DBA ＝10°，因此灯塔A 在灯塔B 的南偏西80°. 3．如图，为测量一棵树OP 的高度，在地面上选取A ，B 两点，从A ，B 两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A ，B 两点间的距离为60 m ，则树的高度为________m.30＋303解析：在△PAB中，∠PAB＝30°，∠APB＝15°，AB＝60 m，sin 15°＝sin(45°－30°)＝sin 45°cos 30°－cos 45°·sin 30°＝22×32－22×12＝6－2 4.由正弦定理得PBsin 30°＝ABsin 15°，所以PB＝12×606－24＝30(6＋2)，所以树的高度OP＝PB sin 45°＝30(6＋2)×22＝(30＋303)(m)．4．如图，A，B两点在河的同侧，且A，B两点均不可到达，要测出A，B的距离，测量者可以在河岸边选定两点C，D．若测得CD＝32km，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝60°，∠ACB＝45°，则A，B两点间的距离为________ km.64解析：因为∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60°，∠ACD＝60°，所以∠DAC＝60°，所以AC＝CD＝32km.在△BCD中，∠DBC＝180°－∠CDB－∠ACD－∠ACB＝45°，由正弦定理，得BC＝CDsin∠DBC·sin∠BDC＝32sin 45°·sin 30°＝64(km)．在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC cos 45°＝34＋38－2×32×64×22＝38.所以AB＝64km.所以A，B两点间的距离为64km.5．要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40 m，则电视塔的高度为________．40 m解析：设电视塔的高度为x m，则BC＝x，BD＝3x.在△BCD中，由余弦定理得3x2＝x2＋402－2×40x×cos 120°，即x2－20x－800＝0，解得x＝40或x＝－20(舍去)．故电视塔的高度为40 m.考点1解三角形的实际应用——应用性考向1测量距离问题如图，某旅游景点有一座风景秀丽的山峰，山上有一条笔直的山路BC 和一条索道AC，小王和小李打算不坐索道，而是花2个小时的时间进行徒步攀登．已知∠ABC＝120°，∠ADC＝150°，BD＝1 km，AC＝3 km.假设小王和小李徒步攀登的速度为每小时1 250m，请问：两位登山爱好者能否在2个小时内徒步登上山峰．(即从B点出发到达C点)解：在△ABD中，由题意知，∠ADB＝∠BAD＝30°，所以AB＝BD＝1.因为∠ABD＝120°，由正弦定理ABsin∠ADB＝ADsin∠ABD，解得AD＝3(km)．在△ACD中，由AC2＝AD2＋CD2－2AD·CD·cos 150°，得9＝3＋CD2＋23×32×CD．即CD2＋3CD－6＝0，解得CD＝33－32(km)，BC＝BD＋CD＝33－12(km)．两个小时小王和小李可徒步攀登1 250×2＝2 500(m)，即2.5km ， 而33－12<36－12＝52＝2.5，所以两位登山爱好者可以在两个小时内徒步登上山峰．1．若将本例条件“BD ＝1 km ，AC ＝3 km ”变为“BD ＝200 m ，CD ＝300 m ”，其他条件不变，求这条索道AC 的长．解：在△ABD 中，BD ＝200，∠ABD ＝120°. 因为∠ADB ＝30°，所以∠DAB ＝30°. 由正弦定理，得BD sin ∠DAB ＝ADsin ∠ABD ， 所以200sin 30°＝ADsin 120°. 所以AD ＝200×sin 120°sin 30°＝200 3 (m)． 在△ABC 中，DC ＝300 m ，∠ADC ＝150°，所以AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ×DC ×cos ∠ADC ＝(2003)2＋3002－2×2003×300×cos 150°＝390 000，所以AC ＝10039 m.故这条索道AC 长为10039 m.2．若将本例条件“∠ABC ＝120°，∠ADC ＝150°，BD ＝1 km ，AC ＝3 km ”变为“∠ADC ＝135°，∠CAD ＝15°，AD ＝100 m ，作CO ⊥AB ，垂足为O ，延长AD 交CO 于点E ，且CE ＝50 m ，如图”，求角θ的余弦值．解：在△ACD 中，∠ADC ＝135°， ∠CAD ＝15°，所以∠ACD ＝30°. 由正弦定理可得AC ＝100×sin 135°sin 30°＝100 2.在△ACE 中，由正弦定理可得sin ∠CEA ＝AC ·sin ∠CAE CE＝3－1，所以cos θ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫∠CEA －π2＝sin ∠CEA ＝3－1.距离问题的解题思路这类实际应用题，实质就是解三角形问题，一般都离不开正弦定理和余弦定理，在解题中，首先要正确地画出符合题意的示意图，然后将问题转化为三角形问题去求解．提醒：①基线的选取要恰当准确；②选取的三角形及正弦、余弦定理要恰当． 考向2 测量高度问题如图，小明同学在山顶A 处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在A 处测得公路上B ，C 两点的俯角分别为30°，45°，且∠BAC ＝135°.若山高AD ＝100 m ，汽车从B 点到C 点历时14 s ，则这辆汽车的速度约为________m/s(精确到0.1)．参考数据：2≈1.414，5≈2.236.22．6 解析：因为小明在A 处测得公路上B ，C 两点的俯角分别为30°，45°， 所以∠BAD ＝60°，∠CAD ＝45°. 设这辆汽车的速度为v m/s ，则BC ＝14v . 在Rt △ABD 中，AB ＝AD cos ∠BAD ＝100cos 60°＝200. 在Rt △ACD 中，AC ＝AD cos ∠CAD ＝100cos 45°＝100 2. 在△ABC 中，由余弦定理，得BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB ·cos ∠BAC ， 所以(14v )2＝(1002)2＋2002－2×1002×200×cos 135°，所以v ＝50107≈22.6，所以这辆汽车的速度约为22.6 m/s.解决高度问题的注意事项(1)在解决有关高度问题时，理解仰角、俯角是关键．(2)高度问题一般是把它转化成解三角形问题，要注意三角形中的边角关系的应用．若是空间的问题要注意空间图形向平面图形的转化．1．圭表(如图1)是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标杆(称为“表” )和一把呈南北方向水平固定摆放的与标杆垂直的长尺(称为“圭” )．当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图2是一个根据北京的地理位置设计的圭表的示意图，已知北京冬至正午太阳高度角(即∠ABC)为26.5°，夏至正午太阳高度角(即∠ADC)为73.5°，圭面上冬至线与夏至线之间的距离(即BD的长)为a，则表高(即AC的长)为()A．a sin 53°2sin 47°B．2sin 47°a sin 53°C．a tan 26.5°tan 73.5°tan 47°D．a sin 26.5°sin 73.5°sin 47°D解析：由题意得，∠BAD＝73.5°－26.5°＝47°.在△ABD中，由正弦定理可得，BDsin∠BAD＝ADsin∠ABD，即asin 47°＝ADsin 26.5°，则AD＝a sin 26.5°sin 47°.在△ACD中，ACAD＝sin∠ADC＝sin 73.5°，所以AC＝a sin 26.5°·sin 73.5°sin 47°.故选D．2．如图是改革开放四十周年大型展览的展馆——国家博物馆．现欲测量博物馆正门柱楼顶部一点P 离地面的高度OP (点O 在柱楼底部)．在地面上的A ，B 两点测得点P 的仰角分别为30°，45°，且∠ABO ＝60°，AB ＝50米，则OP 为( )A ．15米B ．25米C ．35米D ．45米B 解析：如图所示：由于∠OAP ＝30°，∠PBO ＝45°，∠ABO ＝60°，AB ＝50米，OP ⊥AO ，OP ⊥OB ．设OP ＝x ，则OA ＝3x ，OB ＝x ，在△OAB 中，由余弦定理得OA 2＝OB 2＋AB 2－2OB ·AB ·cos ∠ABO ， 即(3x )2＝502＋x 2－2×50x ×12，所以x 2＋25x －1 250＝0，解得x ＝25或x ＝－50(舍)．3．海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞．若要测量如图所示的蓝洞的口径A ，B 两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C ，D ，测得CD ＝80米，∠ADB ＝135°，∠BDC ＝∠DCA ＝15°，∠ACB ＝120°，则A ，B 两点间的距离为________米．805 解析：如图，在△ACD 中，∠DCA ＝15°，∠ADC ＝150°，所以∠DAC ＝15°.由正弦定理，得AC＝80sin 150°sin 15°＝406－24＝40(6＋2)(米)．在△BCD中，∠BDC＝15°，∠BCD＝135°，所以∠CBD＝30°.由正弦定理，得CDsin∠CBD＝BCsin∠BDC，所以BC＝CD·sin∠BDCsin∠CBD＝80×sin 15°sin 30°＝40(6－2)(米)．在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB＝1 600(8＋43)＋1 600(8－43)＋2×1 600(6＋2)×(6－2)×12＝1 600×16＋1 600×4＝1 600×20，解得AB＝805(米)，则A，B两点间的距离为805米．考点2正余弦定理在平面几何中的应用(2020·青岛模拟)如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥AD，AB＝1，AD ＝3，BC＝ 2.(1)若CD＝1＋3，求四边形ABCD的面积；(2)若sin∠BCD＝325，∠ADC∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，求sin∠ADC．解：(1)如图，连接BD，在Rt△ABD中，由勾股定理可得，BD2＝AB2＋AD2＝4，所以BD＝2.在△BCD 中，由余弦定理可得，cos C ＝BC 2＋CD 2－BD 22BC ·CD ＝2＋(1＋3)2－222×2×(1＋3)＝22. 因为C 为三角形的内角，故C ＝π4， 所以S △ABD ＝12AB ·AD ＝12×1×3＝32， S △BCD ＝12BC ·CD sin C ＝12×2×(1＋3)×22＝1＋32， 故四边形ABCD 的面积S ＝1＋232.(2)在△BCD 中，由正弦定理可得BC sin ∠BDC ＝BDsin ∠BCD ， 所以sin ∠BDC ＝BC ·sin ∠BCD BD＝35. 因为∠ADC ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以∠BDC ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2， 所以cos ∠BDC ＝45，在Rt △ABD 中，tan ∠ADB ＝AB AD ＝33， 故∠ADB ＝π6，所以sin ∠ADC ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫∠BDC ＋π6＝35×32＋45×12＝4＋3310.正余弦定理解平面几何问题的注意点(1)图形中几何性质的挖掘往往是解题的切入点，或是问题求解的转折点． (2)根据条件或图形，找出已知，未知及求解中需要的三角形，用好三角恒等变换公式，运用正弦定理，余弦定理解题．(3)养成应用方程思想解题的意识．1．如图，为了测量A ，C 两点间的距离，选取同一平面上B ，D 两点，测出四边形ABCD 各边的长度(单位：km)，AB ＝5，BC ＝8，CD ＝3，AD ＝5，且∠B 与∠D 互补，则AC 的长为( )A ．7 kmB ．8 kmC ．9 kmD ．6 kmA 解析：在△ACD 中，由余弦定理得cos D ＝AD 2＋CD 2－AC 22AD ·CD ＝34－AC 230. 在△ABC 中，由余弦定理得cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC＝89－AC 280. 因为∠B ＋∠D ＝180°，所以cos B ＋cos D ＝0，即34－AC 230＋89－AC 280＝0，解得AC 2＝49.所以AC ＝7.2．(2020·山师附中高三模拟)如图，在平面四边形ABCD 中，已知AB ＝26，AD ＝3，∠ADB ＝2∠ABD ，∠BCD ＝π3.(1)求BD ；(2)求△BCD 周长的最大值．解：在△ABD 中，设BD ＝x ，∠ABD ＝α，则∠ADB ＝2α， 因为AB sin 2α＝AD sin α， 所以cos α＝63.由余弦定理得cos α＝x 2＋24－946x ＝63. 整理得x 2－8x ＋15＝0，解得x ＝5或x ＝3. 当x ＝3时，得∠ADB ＝2α＝π2， 与AD 2＋BD 2≠AB 2矛盾，故舍去， 所以BD ＝5.(2)在△BCD 中，设∠CBD ＝β， 所以BD sin π3＝BC sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－β＝CD sin β，所以BC ＝1033sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－β，CD ＝1033sin β，所以BC ＋CD ＝1033·⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin β＋32cos β＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π6≤10. 所以△BCD 周长的最大值为15.考点3 解三角形与三角函数的综合问题(2020·合肥模拟)已知函数f (x )＝cos 2x ＋3sin(π－x )sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2－12.(1)求函数f (x )在[0，π]上的单调递减区间；(2)锐角△ABC 的内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，已知f (A )＝－1，a ＝2，求△ABC 的面积的最大值．解：(1)f (x )＝1＋cos 2x 2－3sin x cos x －12＝12cos 2x －32sin 2x ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6. 令2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2， 得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )，所以函数f (x )在[0，π]上的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3和⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π. (2)因为△ABC 为锐角三角形，所以0<A <π2，所以－π6<2A －π6<5π6. 又f (A )＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π6＝－1， 所以2A －π6＝π2，即A ＝π3.因为a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝b 2＋c 2－bc ≥2bc －bc ＝bc ，当且仅当b ＝c ＝2时，等号成立．又a ＝2，所以bc ≤4， 所以S △ABC ＝12bc sin A ≤ 3. 即△ABC 的面积的最大值为 3.解三角形与三角函数综合问题的一般步骤已知函数f (x )＝32sin 2x －cos 2x －12(x ∈R )，设△ABC 的内角A ，B ，C 的对应边分别为a ，b ，c ，且c ＝3，f (C )＝0.(1)求角C ；(2)若向量m ＝(1，sin A )与向量n ＝(2，sin B )共线，求△ABC 的周长． 解：(1)f (x )＝32sin 2x －cos 2x －12＝32sin 2x －12cos 2x －1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－1. 因为f (C )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2C －π6－1＝0且C 为三角形内角，所以C ＝π3. (2)若向量m ＝(1，sin A )与向量n ＝(2，sin B )共线， 则sin B －2sin A ＝0. 由正弦定理得b ＝2a ，由余弦定理得cos π3＝a2＋4a2－3 2·a·2a＝12，解得a＝1，b＝2，故△ABC的周长为3＋ 3.。
高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形课件文新人教A版
有些同学在听课的过程中常碰到这样的问题，比如老师讲到一道很难的题目时，同学们听课的思路就“卡壳“了，无法再跟上老师的思路。这时候该怎么办呢？
如果“卡壳”的内容是老师讲的某一句话或某一个具体问题，同学们应马上举手提问，争取让老师解释得在透彻些、明白些。
如果“卡壳”的内容是公式、定理、定律，而接下去就要用它去解决问题，这种情况下大家应当先承认老师给出的结论（公式或定律）并非继续听下去，先把问题记 下来，到课后再慢慢弄懂它。
尖子生好方法:听课时应该始终跟着老师的节奏，要善于抓住老师讲解中的关键词，构建自己的知识结构。利用老师讲课的间隙，猜想老师还会讲什么，会怎样讲， 怎样讲会更好，如果让我来讲，我会怎样讲。这种方法适合于听课容易分心的同学。
2019/5/22
精选最新中小学教学课件
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2019/5/22
第三章 三角函ห้องสมุดไป่ตู้、解三角形
[五年考情]
考点
2016 年
2015 年 2014 年 2013 年
2012 年
任意角和弧度制及
全国卷
任意角的三角函数
Ⅰ·T2
同角关系、诱导公
全国卷
式
Ⅰ·T2
三角函数的图象和 全国卷Ⅱ·T3 全国卷Ⅰ·T8 全国卷
全国卷·T9
全国卷Ⅰ·T9
性质
全国卷Ⅲ·T14 全国卷Ⅱ·T11 Ⅰ·T7
全国卷·T16
正弦型函数及应用
全国卷Ⅱ·T16
全国卷Ⅰ·T12
简单的三角 全国卷Ⅰ·T13 恒等变换 全国卷Ⅱ·T11
全国卷Ⅰ·T16 全国卷Ⅱ·T14
全国卷Ⅱ·T6
全国卷Ⅲ·T6
正弦定理和 余弦定理
高三新高考一轮复习(人教A版)第4章第7节解三角形的综合应用课件
∴sin∠ADC＝ 1－cos2∠ADC＝
12 1－ 7 ＝
48 49
＝4
3，则 7
sin∠BAD＝sin(∠ADC－∠B)
＝sin∠ADC·cos∠B－cos∠ADC·sin∠B
＝4 3×1－1× 3＝3 3. 7 2 7 2 14
(2)在△ABD 中，由正弦定理得 BD＝ABs·ins∠inA∠DBBAD＝8×4 31343＝3.
►规律方法 求距离即是求一条线段的长度，把该线段看作某个三角 形的边，根据已知条件求出该三角形的部分元素后，即可使 用正弦定理或者余弦定理求该边的长度．
[例 2－2] 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西 行驶，到 A 处时测得公路北侧一山顶 D 在西偏北 30°的方 向上，行驶 600 m 后到达 B 处，测得此山顶在西偏北 75° 的方向上，仰角为 30°，则此山的高度 CD＝________m.
(b)中 B 点的方位角为 α.
3．方向角
相对于某正方向的_水__平_角__，如北偏东 α，即由正北方向
顺时针旋转 α 到达目标方向(如图(c))，其他方向角类似．
4．坡角
坡面与_水_平__面__所成的二面角的度数(如图(d)所示，坡角
为 θ)． 5．坡比
坡面的垂直高度与_水__平__长_度__之比(如图(d)所示，i 为坡
(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化 为平面问题．
[巩固演练] 2.如图所示，A，B 两点在河的两岸，一名测量者在 A 的同侧河岸边选定一点 C，测出 A，C 两点的距离为 50 m， ∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，则 A，B 两点间的距离为 (A ) A．50 2 m B．50 3 m C．25 2 m D．252 2 m
2024届高考一轮复习数学课件(新教材人教A版 提优版)：解三角形及其应用举例
A.10 6 km
B.30( 3－1)km
C.30( 2－1)km
√D.10 5 km
在△ACD中，∠ADC＝30°，∠ACB＝75°∠ACD＝120°， 所以∠BCD＝45°，∠CAD＝30°，∠ADC＝∠CAD＝30°， 所以 AC＝CD＝10 3，
在△BDC中，∠CBD＝180°－(30°＋45° ＋45°)＝60°， 由正弦定理得 BC＝10si3ns6in0°75°＝5 2＋5 6， 在△ABC 中，由余弦定理得 AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB＝ (10 3)2＋(5 2＋5 6)2－2×10 3×(5 2＋5 6)cos 75°＝500， 所以 AB＝10 5，即基站 A，B 之间的距离为 10 5 km.
命题点3 测量角度问题
例3 (1)(2023·南通模拟)图1是南北方向水平放置的圭表(一种度量日影长
的天文仪器，由“圭”和“表”两个部件组成)的示意图，其中表高为h，
日影长为l.图2是地球轴截面的示意图，虚线表示点A处的水平面.已知某测
绘兴趣小组在冬至日正午时刻(太阳直射点的纬度为南纬23°26′)，在某
在△ABD 中，由正弦定理得sAinDB＝sin∠ABADB，
12 所以 AD＝
6× 3
2 2 ＝24(n
mile)，故
A
正确；
2
在△ACD中，由余弦定理得 CD＝ AC2＋AD2－2AC·ADcos∠CAD，
即 CD＝ 8 32＋242－2×8 3×24× 23＝8 3(n mile)， 故B错误； 由B项解析知CD＝AC，所以∠CDA＝∠CAD＝30°， 所以灯塔C在D处的西偏南60°，故C正确； 由∠ADB＝60°，得D在灯塔B的北偏西60°，故D错误.
高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形考前增分微课2解三角形的综合应用课件理新人教A版
第三节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词2019考纲考题考情1．简单的逻辑联结词(1)命题中的且、或、非叫做逻辑联结词。
(2)命题p∧q、p∨q、綈p的真假判定(1)全称量词和存在量词①全称量词有：所有的，任意一个，任给一个，用符号“∀”表示；存在量词有：存在一个，至少有一个，有些，用符号“∃”表示。
②含有全称量词的命题，叫做全称命题。
“对M中任意一个x，有p(x)成立”用符号简记为：∀x∈M，p(x)。
③含有存在量词的命题，叫做特称命题。
“存在M中元素x0，使p(x0)成立”用符号简记为：∃x0∈M，p(x0)。
(2)含有一个量词的命题的否定1．用“并集”的概念来理解“或”，用“交集”的概念来理解“且”，用“补集”的概念来理解“非”。
2．记忆口诀：(1)“p或q”，有真则真；(2)“p且q”，有假则假；(3)“非p”，真假相反。
3．命题p∧q的否定是(綈p)∨(綈q)；命题p∨q的否定是(綈p)∧(綈q)。
一、走进教材1．(选修1－1P26A组T3改编)命题“∀x∈R，x2＋x≥0”的否定是( )A．∃x0∈R，x20＋x0≤0B．∃x0∈R，x20＋x0<0C．∀x∈R，x2＋x≤0D．∀x∈R，x2＋x<0解析由全称命题的否定是特称命题知命题B正确。
故选B。
答案 B2．(选修1－1P18A组T1(3)改编)已知命题p：2是偶数，命题q：2是质数，则命题綈p，綈q，p∨q，p∧q中真命题的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．4解析p和q显然都是真命题，所以綈p，綈q都是假命题，p∨q，p∧q都是真命题。
故选B。
答案 B二、走近高考3．(2017·山东高考)已知命题p：∀x>0，ln(x＋1)>0；命题q：若a>b，则a2>b2。
下列命题为真命题的是( )A．p∧q B．p∧(綈q)C．(綈p)∧q D．(綈p)∧(綈q)解析因为x>0，所以x＋1>1，ln(x＋1)>0，所以对于∀x>0，ln(x＋1)>0，故p为真命题。
高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形考前增分微课2解三角形的综合应用课件理新人教A版
“＝”，故cosC的最小值是
6－ 4
2。
答案
6－ 2 4
2．求边的最值 【例4】 (2019·石家庄市一模)如图，四边形ABCD的对角线交点位于 四边形的内部，AB＝BC＝1，AC＝CD，AC⊥CD，当∠ABC变化时，BD的 最大值为________。
解析 设∠ACB＝θ0<θ<2π，则∠ABC＝π－2θ，∠DCB＝θ＋π2，由余 弦定理可知，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos∠ABC，即AC＝DC＝
考前增分微课(二) 三角函数与三角形中的最值问题
纵观近几年的高考试题和高考模拟试题，不难发现在三角函数和三角 形中求最值问题成为其中一个亮点，本文从求三角函数的最值、三角形中 的最值两个方面举例说明，希望对高考备考有所帮助。
类型一 三角函数的最值 1.可化为“y＝Asin(ωx＋φ)＋B”型的最值问题 【例1】 (2018·北京高考)已知函数f(x)＝sin2x＋ 3sinxcosx。 (1)求f(x)的最小正周期； (2)若f(x)在区间－π3，m上的最大值为32，求m的最小值。
化为y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式求最值时，特别注意自变量的取值范围 对最大值、最小值的影响，可通过比较闭区间端点的取值与最高点、最低 点的取值来确定函数的最值。
【变式训练】 函数f(x)＝3sinx＋4cosx，x∈[0，π]的值域为 ________。
解析 f(x)＝3sinx＋4cosx＝5 35sinx＋45cosx ＝5sin(x＋φ)，其中cosφ＝ 35，sinφ＝45 ，0<φ<π2 。因为0≤x≤π，所以φ≤x＋φ≤π＋φ。所以当x＋φ＝ π2 时，f(x)max＝5；当x＋φ＝π＋φ时，f(x)min＝5sin(π＋φ)＝－5sinφ＝－4。所 以f(x)的值域为[－4,5]。
全国近年高考数学一轮复习第3章三角函数、解三角形第7讲解三角形的应用举例学案(2021年整理)
（全国版）2019版高考数学一轮复习第3章三角函数、解三角形第7讲解三角形的应用举例学案编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（全国版）2019版高考数学一轮复习第3章三角函数、解三角形第7讲解三角形的应用举例学案）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为（全国版）2019版高考数学一轮复习第3章三角函数、解三角形第7讲解三角形的应用举例学案的全部内容。
第7讲解三角形的应用举例板块一知识梳理·自主学习［必备知识］考点1 仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角（如图①）．考点2 方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．考点3 方向角指北或指南方向线与目标方向所成的小于90°的角叫做方向角,如北偏东α，南偏西α。
特别地，若目标方向线与指北或指南方向线成45°角称为西南方向，东北方向等．（1)北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向（如图③）；（2)北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向；(3）南偏西等其他方向角类似．考点4 坡角与坡度1．坡角:坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④，角θ为坡角）．2．坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④,i为坡度)．坡度又称为坡比．[必会结论]1．仰角与俯角是相对水平视线而言的，而方位角是相对于正北方向而言的．2．“方位角"与“方向角”的区别：方位角大小的范围是[0,2π)，方向角大小的范围是错误!。
［考点自测］1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”）（1）方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系．( ）（2）从A处望B处的仰角为α,从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.()（3）若点P在Q的北偏东44°,则Q在P的东偏北46°。
高考数学(理)一轮复习课件：3-7解三角形(人教A版)
4 5
，
b＝ 3.
(1)求sinC的值；
(2)求△ABC的面积．
[思路点拨] △ABC中求角的三角函数值，主要从已 知条件出发利用正弦定理或余弦定理及诱导公式等求解， 对于△ABC的面积主要是面积公式的应用．
[解] (1)因为角A，B，C为△ABC的内角，
且B＝π3 ，cosA＝54，
所以C＝2π3 －A，sinA＝35.
B. 135°
C. 45°
D. 30°
答案：C
解析：由正弦定理可得sinaA＝sinbB， 即sin4603°＝s4inB2 ，∴sinB＝ 22，又∵a>b，A＝ 60°， ∴0°<B<60°，∴B＝45°.
2. 在△ABC 中，a＝ 3，b＝1，c＝2，则 A 等于( )
A. 30°
B. 45°
高考测点典例研习
利用正余弦定理解三角形
例1 [2012·衡水中学周练]在△ABC中，a、b、c 分别为角A、B、C的对边，试根据以下条件解三角 形．
(1)a＝ 3，b＝ 2，B＝45°. (2)a、b是方程x2－2 3 x＋2＝0的两个根，且 2cos(A＋B)＝1. ①求角C；②求AB的长．
[思路点拨] 利用已知条件解三角形主要是利用正 弦定理与余弦定理，解题时要注意△ABC解的情况．同时 注意三角形中隐含条件的应用．
bb 22RR
，sinC＝
cc 2R2R
；③a∶b∶c＝ssininAA∶∶ssiinnBB∶
cosA＝b22＋2cb22c－ c－aa22； cosB＝c22＋2ac22aa－－bb22；
si∶nCsinC ;
cosC＝a22＋＋22baba2b2－b－cc22.
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解三角形应用举例[最新考纲]能够运用正弦定理、余弦定理等知识解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．知识梳理1．距离的测量背景可测元素图形目标及解法两点均可到达a，b，α求AB：AB＝a2＋b2－2ab cos α只有一点可到达b，α，β求AB：(1)α＋β＋B＝π；(2)ABsin β＝bsin B两点都不可到达a，α，β，γ，θ求AB：(1)△ACD中，用正弦定理求AC；(2)△BCD中，用正弦定理求BC；(3)△ABC中，用余弦定理求AB2.高度的测量背景可测元素图形目标及解法底部可到达a，α求AB：AB＝a tan_α底部不可到达a，α，β求AB：(1)在△ACD中用正弦定理求AD；(2)AB＝AD sin_β3.实际问题中常见的角(1)仰角和俯角在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角(如图1)．(2)方位角从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角．如B点的方位角为α(如图2)．(3)方向角：正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，如南偏东30°，北偏西45°等．(4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数．辨析感悟1．测量距离问题(1)海上有A，B，C三个小岛，测得A，B两岛相距10n mile，∠BAC＝60°，∠ABC＝75°，则B，C间的距离是5 6 n mile. ()(2)如图1，为了测量隧道口AB的长度，测量时应当测量数据a，b，γ. ()图1图22．测量高度问题(3)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.()(4)如图2，B，C，D三点在地面同一直线上，DC＝a，从C，D两点测得A点的仰角分别为β和α(α＜β)，则可以求出A点距地面的高度AB.()3．测量角度问题(5)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系，其范围均是⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2. ( )(6)若点A 在点C 的北偏东30°方向，点B 在点C 的南偏东60°方向，且AC ＝BC ，则点A 在点B 北偏西15°方向．( )[感悟·提升]1．一个区别 “方位角”与“方向角”的区别：方位角大小的范围是[0,2π)，方向角大小的范围一般是⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2.2．解三角形应用题的一般步骤(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型． (3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等.【例1】 要测量对岸A ，B 两点之间的距离，选取相距 3 km 的C ，D 两点，并测得∠ACB ＝75°，∠BCD ＝45°，∠ADC ＝30°，∠ADB ＝45°，求A ，B 之间的距离．规律方法 (1)测量两个不可到达的点之间的距离问题，一般是把求距离问题转化为应用余弦定理求三角形的边长的问题．然后把求未知的另外边长问题转化为只有一点不能到达的两点距离测量问题，然后运用正弦定理解决．(2)测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知两个角和一条边解三角形的问题，从而运用正弦定理解决．【训练1】 (2013·茂名二模) 为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩A ，B (如图)，要测量A ，B 两点的距离，测量人员在岸边定出基线BC ，测得BC ＝50 m ，∠ABC ＝105°，∠BCA ＝45°.就可以计算出A ，B 两点的距离为( )．A ．50 2 mB ．50 3 mC ．25 2 m D.25 22m【例2】如图，某人在塔的正东方向上的C处在与塔垂直的水平面内沿南偏西60°的方向以每小时6千米的速度步行了1分钟以后，在点D处望见塔的底端B 在东北方向上，已知沿途塔的仰角∠AEB＝α，α的最大值为60°.(1)求该人沿南偏西60°的方向走到仰角α最大时，走了几分钟；(2)求塔的高AB.规律方法(1)测量高度时，要准确理解仰、俯角的概念．(2)分清已知和待求，分析(画出)示意图，明确在哪个三角形内应用正、余弦定理．(3)注意竖直线垂直于地面构成直角三角形．【训练2】(2014·宁波模拟)某大学的大门蔚为壮观，有个学生想搞清楚门洞拱顶D到其正上方A点的距离，他站在地面C处，利用皮尺量得BC＝9米，利用测角仪测得仰角∠ACB＝45°，测得仰角∠BCD后通过计算得到sin∠ACD＝26 26，则AD的距离为()．A．2米B．2.5米C．3米D．4米【例3】 如图，在海岸A 处，发现北偏东45°方向距A 为(3－1)海里的B 处有一艘走私船，在A 处北偏西75°方向，距A 为2海里的C 处的缉私船奉命以103海里/时的速度追截走私船．此时走私船正以10海里/时的速度从B 处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？并求出所需要的时间(注：6≈2.449)．规律方法 (1)对于和航行有关的问题，要抓住时间和路程两个关键量，解三角形时将各种关系集中在一个三角形中利用条件求解．(2)根据示意图，把所求量放在有关三角形中，有时直接解此三角形解不出来，需要先在其他三角形中求解相关量．【训练3】 如图所示，位于A 处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°，相距20海里的C 处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线CB 前往B 处救援，则cos θ等于( )．A.217B.2114C.32114D.21281．解三角形实际应用问题的一般步骤是：审题——建模(准确地画出图形)——求解——检验作答．2．把生活中的问题化为二维空间解决，即在一个平面上利用三角函数求值．3．解三角形应用题的两种情形(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解破解实际应用中的方向角问题【典例】如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向❶的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向❷追赶渔船乙，刚好用2小时追上❸，此时到达C处．(1)求渔船甲的速度；(2)求sin α的值．[反思感悟] 本题的难点在于确定已知角度和所求角度之间的关系，这也是解三角形问题在实际应用中的一个易错点，破解此类问题的关键在于结合图形正确理解“南偏西”、“北偏东”等概念，把相关条件转化为三角形中的内角和边长，然后利用正弦定理、余弦定理进行求解．基础巩固题组一、选择题1．两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站北偏东40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的()．A．北偏东10°B．北偏西10°C．南偏东10°D．南偏西10°2．在某个位置测得某山峰仰角为α，对着山峰在水平地面上前进900 m后测得仰角为2α，继续在水平地面上前进300 3 m后，测得山峰的仰角为4α，则该山峰的高度为()．A．300 m B．450 mC．300 3 m D．600 m3．要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度，在黄浦江西岸选择甲、乙两观测点，在甲、乙两点测得塔顶的仰角分别为45°，30°，在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为120°，甲、乙两地相距500 m，则电视塔的高度是()．A．100 2 m B．400 m C．200 3 m D．500 m4．(2014·广州调研)如图所示，长为3.5 m 的木棒AB 斜靠在石堤旁，木棒的一端A 在离堤足C 处1.4 m 的地面上，另一端B 在离堤足C 处2.8 m 的石堤上，石堤的倾斜角为α，则坡度值tan α等于( )．A.2315B.516C.23116D.1155．(2013·哈尔滨模拟)如图，两座相距60 m 的建筑物AB ，CD 的高度分别为20 m ，50 m ，BD 为水平面，则从建筑物AB 的顶端A 看建筑物CD 的张角为( )．A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°二、填空题6．在相距2千米的A ，B 两点处测量目标点C ，若∠CAB ＝75°，∠CBA ＝60°，则A ，C 两点之间的距离为______千米．7. (2013·杭州一中测试)如图，一艘船上午9：30在A处测得灯塔S在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°处，且与它相距8 2 n mile.此船的航速是________ n mile/h.8．某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角为45°，沿倾斜角为30°的斜坡前进1 000 m后到达D处，又测得山顶的仰角为60°，则山的高度BC为________m.三、解答题9.如图所示，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，现测得∠BCD＝α，∠BDC＝β，CD＝s，并在点C测得塔顶A的仰角为θ，求塔高AB.10. (2014·石家庄模拟)已知岛A 南偏西38°方向，距岛A 3海里的B 处有一艘缉私艇．岛A 处的一艘走私船正以10海里/时的速度向岛北偏西22°方向行驶，问缉私艇朝何方向以多大速度行驶，恰好用0.5小时能截住该走私船？ ⎝ ⎛⎭⎪⎫参考数据：sin 38°＝5314，sin 22°＝3314提升题组一、选择题1．一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进100 m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是()．A．50 m B．100 m C．120 m D．150 m2.如图，在湖面上高为10 m处测得天空中一朵云的仰角为30°，测得湖中之影的俯角为45°，则云距湖面的高度为(精确到0.1 m)()．A．2.7 m B．17.3 mC．37.3 m D．373 m二、填空题3．如图所示，福建省福清石竹山原有一条笔直的山路BC，现在又新架设了一条索道AC.小明在山脚B处看索道AC，此时张角∠ABC＝120°；从B处攀登200米到达D处，回头看索道AC，此时张角∠ADC＝150°；从D处再攀登300米到达C处．则石竹山这条索道AC长为________米．三、解答题4．(2013·江苏卷)如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径．一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C .现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1 min 后，再从B 匀速步行到C .假设缆车匀速直线运行的速度为130 m/min ，山路AC 长为1 260 m ，经测量，cosA ＝1213，cos C ＝35.(1)求索道AB 的长；(2)问：乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？。