相似三角形的性质 (第2课时)
北师大版数学九年级上册4.7相似三角形的性质(第二课时)教学设计
（五）总结归纳
1.让学生回顾本节课所学的相似三角形的性质，总结性质的应用和证明方法。
2.引导学生将相似三角形的性质与全等三角形的性质进行对比，明确它们的联系与区别。
3.强调相似三角形在实际生活中的应用，激课后作业，要求学生在课后对所学知识进行巩固和拓展，为下一节课的学习做好铺垫。
北师大版数学九年级上册4.7相似三角形的性质（第二课时）教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.让学生掌握相似三角形的基本性质，如对应角相等、对应边成比例，并能运用这些性质解决实际问题。
2.使学生能够运用相似三角形的性质，进行几何图形的证明和计算，提高学生的逻辑思维能力和解题技巧。
3.培养学生运用相似三角形的性质，解决与生活实际相关的问题，如地图比例尺、摄影中的相似变换等。
1.学生对相似三角形定义的理解程度，是否能顺利过渡到性质的学习。
2.学生在几何证明方面的能力，是否能运用已知性质进行严密的逻辑推理。
3.学生在实际问题中运用相似三角形性质的能力，是否能够将理论知识与生活实际相结合。
针对以上情况，教师应采取生动形象的教学方法，如运用多媒体、实物模型等辅助教学，帮助学生形象地理解相似三角形的性质。同时，设计具有启发性的问题和例题，引导学生积极参与课堂讨论，提高他们的逻辑思维能力和解题技巧。在课后，关注学生的作业完成情况，及时发现并解决他们在学习过程中遇到的问题，确保学生对相似三角形性质的理解和应用。
（3）采用小组合作法，鼓励学生相互交流、讨论，共同解决几何证明和实际问题；
（4）实施启发式教学法，教师通过提问、引导学生思考，激发学生的思维潜能。
2.教学策略：
（1）逐步引导：从复习相似三角形的定义入手，逐步过渡到性质的学习，让学生在已有知识的基础上自然过渡；
北师大版九年级数学上册4.7相似三角形性质(课时2)教学设计
4.反思与总结：
-要求学生完成一份学习反思，内容包括本节课学到的知识、遇到的问题、解决方法以及收获等，帮助学生建立自我评价和反思的习惯。
-教师在批改作业时，要及时给予评价和反馈，关注学生的进步，鼓励学生持续努力。
-新知探究：组织学生分组讨论，合作探究相似三角形的性质，教师适时引导和点拨。
-性质应用：设计不同层次的例题和练习，让学生在解决问题的过程中运用相似三角形的性质。
-总结提升：引导学生归纳相似三角形性质的关键点，总结解题策略和方法。
-课堂反馈：通过课堂练习和小结，了解学生的学习情况，及时调整教学策略。
3.教学评价：
-注重培养学生的几何直观和逻辑思维能力，通过逐步引导，帮助学生建立知识体系。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
在导入新课阶段，我将以生活实例为基础，引导学生从实际问题中发现相似三角形的性质。首先，我会向学生展示一组图片，包括放大镜下的三角形、不同尺寸的国旗图案等，让学生观察并思考这些图形之间是否存在某种关系。通过学生的回答，我会引导他们回顾全等三角形和相似三角形的定义，为新课的学习做好铺垫。
接着，我会提出一个具有挑战性的问题：“如果我们在一个三角形中，知道两边和它们夹角的比例关系，我们能否求出第三边的长度？”这个问题将激发学生的好奇心，促使他们积极思考。在此基础上，导入相似三角形的性质，为接下来的新知学习奠定基础。
（二）讲授新知
在讲授新知阶段，我会采用讲解、示范、引导相结合的方式，让学生逐步理解并掌握相似三角形的性质。
3.引导学生通过观察、实践、探索，发现相似三角形在生活中的应用，提高学生将数学知识应用于实际问题的能力。
第2课时 相似三角形的判定和性质
第2课时 相似三角形的判定和性质【知识概述】1. 相似三角形的判定方法：(1)平行于三角形一边的直线和其它两边所在的直线相交，所构成的三角形与原三角形相似； (2)两个角对应相等的两个三角形相似；(3)两边对应成比例,且夹角相等的两个三角形相似； (4)三边对应成比例的两个三角形相似. 2. 相似三角形的性质：(1)相似三角形的对应角相等,对应边成比例；(2)相似三角形的周长之比等于相似比,面积之比等于相似比的平方；(3)相似三角形对应边上的高之比、对应边上的中线之比、对应角的角平分线之比都等于相似比. 【例题精选】例1 如图，CD 是Rt △ABC 斜边上的高.求证：（1）△ABC ∽△ACD ∽△CBD ；（2）AC 2=AD ·AB ， BC 2=BD ·BA ， DC 2=DA ·DB .例2 如图，在直角梯形ABCD 中，∠A=90°，AD ∥BC ，AB=7，AD=2，BC=3，若在AB 上取一点P ，使得以P ，A ，D 为顶点的三角形和以P ，B ，C 为顶点的三角形相似.求AP 的长.(例1)(例2)例3 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，DE ∥BC ，点F 在边AC 上，DF 与BE 相交于点G ，且∠EDF ＝∠ABE .求证：(1) △DEF ∽△BDE ；(2) DG •DF ＝DB •EF .例4 如图，有一块锐角三角形的余料ABC ，要把它加工成矩形的零件，已知BC ＝8 cm ，高AD ＝12 cm ，矩形EFGH 的边EF 在BC 边上，G 、H 分别在AC 、AB 上，设HE 的长为y cm ，EF 的长为x cm . (1) 写出y 与x 的函数关系式；(2) 若EF ＝2HE ，求矩形EFGH 的周长；(3) 当矩形EFGH(例3)(例4)【配套练习】1. 要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为5cm ，6cm 和9cm ，另一个三角形的最短边长为2.5cm ，则它的最长边为（ ）A. 3cmB. 4cmC. 4.5cmD. 5cm2. 如图，点P 在△ABC 的边AC 上，如果添加一个条件后可以得到△ABP ∽△ACB ，那么以下添加的条件中，不正确的是（ ）A ．∠ABP =∠CB ．∠APB =∠ABC C ．AB 2=AP •ACD ．AB ACBP CB3. 如图，在□ABCD 中，E 、F 分别是AD 、CD 边上的点，连结BE 、AF 相交于点G ，延长BE 交CD 的延长线于点H ，则图中相似三角形共有（ ）A ．2对B ．3对C ．4对D ．5对4. 如图，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于O ，且将这个四边形分成①②③④四个三角形． 若OA ：OC =OB ：OD ，则下列结论中一定正确的是（ ）A ．①②相似B ．①③相似C ．①④相似D ．②③相似5. 如图，点P 为∠MON 平分线OC 上一点，以点P 为顶点的∠APB 两边分别与射线OM 、ON 相交于点A 、B ，如果∠MON=50°，OA •OB=OP 2，那么∠APB 的度数为____________.△APD 是等腰三角形，则PE 的长为_____________.(第3题)(第2题)(第4题)(第5题)图2DE图1(第6题)8. 如图，D 在BC 上，△ABC 和△ADE 均为等边三角形，AC 与DE 相交于点F ，直接写出图中所有的相似三角形.9. 如图，EC ∥AB ，∠EDA=∠ABF ． （1）求证：四边形ABCD 是平行四边形； （2）求证：OA 2=OE •OF10. 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=2，AC=4，P 是斜边AB 上的一个动点，PD ⊥AB ，交边AC 于点D （点D 与点A 、C 都不重合），E 是射线DC 上一点，且∠EPD=∠A ． 设A 、P 两点的距离为x ，△BEP 的面积为y ． （1）求证：AE=2PE ；（2）求y 关于x 的函数解析式，并写出x 的取值范围； （3）当△BEP 与△ABC 相似时，求△BEP 的面积．(第8题)(第9题) (第10题)第2课时 相似三角形的判定和性质参考答案例1 证明：(1) 在 △ABC 与△ACD 中，∵∠B +∠A =90°，∠DCA +∠A =90°，∴∠B =∠DCA ，又∵∠A =∠A ，∴△ABC ∽△ACD ，同理△ABC ∽△CBD ，∴△ABC ∽△ACD ∽△CBD ．(2) 由(1) 知△ABC ∽△ACD ，∴AC AD ＝AB AC ，∴AC 2=AD ·AB ，由(1) 知△ABC ∽△CBD ，∴BC BD ＝BABC，∴BC 2=BD ·BA ，由(1) 知△ACD ∽△CBD ，∴DC DB ＝DADC ，∴DC 2=DA ·DB ．例2 设AP 的长为x ，当△APD ∽△BPC 时，则AD BC ＝AP BP ，即23＝x 7－x ，解得x=145；当△APD ∽△BCP 时，则AP BC ＝AD BP ，即x 3＝27－x 解得x=1或x=6．∴AP=145或1或6．例3 (1) ∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠C ，∵DE ∥BC ，∴∠ABC ＋∠BDE ＝180°，∠C ＋∠CED ＝180°．∴∠BDE ＝∠CED ．又∵∠EDF ＝∠ABE ，∴△DEF ∽△BDE ．(2) 由△DEF ∽△BDE ，得DE BD ＝EFDE． ∴DE 2＝DB ·EF ，由△DEF ∽△BDE ，得∠BED ＝∠DFE ．∵∠GDE ＝∠EDF ，∴△GDE ∽△EDF ． ∴DG DE ＝DEDF，∴DE 2＝DG ·DF ，∴DG ·DF ＝DB ·EF ．例4 (1)∵BC ＝8，AD ＝12，HE ＝y ，EF ＝x ，四边形EFGH 是矩形，∴AK ＝AD －y ＝12－y ，HG ＝EF ＝x ，HG ∥BC ．∵AD ⊥BC ，∴AK ⊥HG ，∴△AHG ∽△ABC ，∴AK AD ＝HG BC ，即12－y 12＝x 8．∴y ＝12－32x ．(2) ∵EF=2HE ， 即x=2y ． ∴x ＝2(12－32x )，解得x=6， y=3．∴矩形EFGH 的周长为2(x +y )=18cm ．(3)设矩形的面积为S ，则22333(12)12(4)24222x x x x S x -=-+=--+＝． ∴当x ＝4时，矩形EFGH 的面积最大，最大为24 cm 2．此时矩形EFGH 的两条边长EF ＝4 cm ，HE ＝6 cm ． 【练习】1． C 2． D 3． C 4． C 5． 155° 6． 6037，6025+12n 7．65或38．△ABC ∽△ADE ；△ABD ∽△AEF ；△AEF ∽△DCF ；△ABD ∽△DCF ；△ADF ∽△ACD ．9． (1)∵EC ∥AB ，∴∠EDA ＝∠DAB ．∵∠EDA ＝∠ABF ，∴∠DAB ＝∠ABF ，∴AD ∥BC ，∴四边形ABCD 为平行四边形．(2)∵EC ∥AB ，∴△OAB ∽△OED ，∴OA OE ＝OBOD，∵AD ∥BC ，∴△OBF ∽△ODA ，∴OB OD ＝OF OA ，∴OA OE ＝OFOA，∴OA 2＝OE ·OF ． 10．(1) ∵∠APD=∠C=90°，∠A=∠A ，∴△ADP ∽△ABC ．∴PD AP ＝BC AC =12．∵∠EPD=∠A ，∠PED=∠AEP ，∴△EPD ∽△EAP ．∴PE AE ＝PD AP =12．∴AE=2PE ．(2)由△EPD ∽△EAP ，得DE PE ＝PD AP =12．∴PE=2DE ．∴AE=2PE=4DE ．如图，作EH ⊥AB 于点H ，∵AP=x ，∴PD=12AP=12x ．∵PD ∥HE ，∴HE PD ＝AE AD =43．∴HE=23x ．而AB∴21121)(02233y BP HE x x x x =⋅=⋅=-+< (3) 由△PEH ∽△BAC ，得PE HE ＝AB AC ，则PE ＝52×23x＝53x ．当△BEP 与△ABC 相似时，只有两种情形：①当∠BEP=∠C=90°时，由PE PB ＝BC AB，解得x =代入213y x =-，得y =2516 ②当∠EBP=∠C=90°时，同理可得x =352，y =54（练10）。
1.3 第二课时 相似三角形的性质 课件(人教A选修4-1)
5 又两三角形的相似比为 ， 12 12 2 144π ∴S′内切圆＝( ) S 内切圆＝ (cm2)， 5 25 12 2 S′外接圆＝( ) S 外接圆＝36π(cm2)． 5
点击下图进入应用创新演练
对应中线、角平分线和高，应包括一切“对应点”连接的线
段；同时也可推演到对应的内切圆、外接圆的半径．
[例1]
已知如图，△ABC中，
CE⊥AB于E，BF⊥AC于F，若S△ABC ＝36 cm2，S△AEF＝4 cm2，求sin A的值． [思路点拨] 由题目条件证明△AEC∽△AFB，得
AE∶AF＝AC∶AB，由此推知△AEF∽△ACB，进而求
利用相似三角形的性质进行有关的计算往往与相 似三角形对应边的比及对应角相等有关，解决此类问
题，要善于联想，变换比例式，从而达到目的．
1．如图，在△ABC中，DE∥BC， 在AB上取一点F， 使S△BFC＝ S△ADE.求证：AD2＝AB· BF.
证明：∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， S△ADE AD2 ∴ ＝ 2. S△ABC AB 又∵SADE＝S△BFC， S△BFC AD2 ∴ ＝ 2. S△ABC AB S△BFC BF BF AD2 又∵ ＝AB，∴AB＝ 2. AB S△ABC ∴AD2＝AB· BF.
600 1 200 答：加工成的矩形零件的边长分别为 mm 和 mm. 7 7
4．已知一个三角形的三边长分别为3 cm,4 cm,5 cm，和 它相似的另一个三角形的最长边为12 cm，求另一个
三角形内切圆和外接圆的面积．
解： 设边长为 3 cm,4 cm,5 cm 的三角形的内切圆半径为 r， 外接圆半径为 R，因为该三角形为直角三角形， 5 1 1 所以 R＝ ，且 (3＋4＋5)r＝ ×3×4，即 r＝1. 2 2 2 5 2 25π ∴S 内切圆＝π(cm )，S 外接圆＝π·( ) ＝ (cm2)． 2 4
4.7《相似三角形的性质》第2课时 数学北师大版 九年级上册教学课件
课堂练习
3．两个相似三角形的一组对应边的长分别是15和23，它们周长的差是40，则这
两个三角形的周长分别为（ A ）．
A．75，115
B．60，100
C．85，125
D．45，85
4．如图，在△ABC中，BC=2，
DE是△ABC的中位线，下面三个结论：
（1）DE=1（2）△ADE∽△ABC（3）△ADE的面积与△ABC的面积之比为
∴△GEC∽△ABC（两角分别相等的两个三角形相似）．
∴
S△GEC S△ABC
EC BC
2
EC 2
BC2 （相似三角形的面积比等于相似比的平
方），即 1 EC 2 ． 2 22
A
D
∴EC2=2．即EC= 2．
G
∴BE=BC-EC 2 2 ，
即△ABC平移的距离为 2 2 ． B
E
C
F
课堂练习
第四章 图形的相似
4.7 相似三角形的性质 第 2 课时
学习目标
1．巩固相似三角形的性质定理：相似三角形对应高的比、对应角 平分线的比、对应中线的比都等于相似比． 2．了解相似三角形的性质定理：相似三角形的周长比对应相似比， 面积比等于相似比的平方．
复习引入
相似三角形的性质： 1．相似三角形的对应角相等，对应边成比例． 2．相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的 比都等于相似比．
结论：两个相似多边形的周长比等于相似比面积比等于相似比的平方.
典例精析
例 如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DEF，△ABC 与△DEF重叠部分(图中阴影部分)的面积是△ABC的面积的 一半．已知BC=2，求△ABC平移的距离．
A
D
沪科版数学九年级上册22.3《相似三角形的性质》(第2课时)教学设计
沪科版数学九年级上册22.3《相似三角形的性质》（第2课时）教学设计一. 教材分析《相似三角形的性质》是沪科版数学九年级上册第22章第3节的内容。
本节内容是在学生已经掌握了相似三角形的概念和性质的基础上进行教学的。
通过本节课的学习，使学生能够熟练掌握相似三角形的性质，并能够运用性质解决一些实际问题。
教材通过实例引入相似三角形的性质，引导学生通过观察、归纳、推理等方法发现性质，并通过练习题进行巩固。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和推理能力，对于相似三角形的概念和性质已经有了一定的了解。
但学生在运用性质解决实际问题时，可能会出现理解不深刻、应用不灵活的情况。
因此，在教学过程中，教师需要引导学生通过观察、归纳、推理等方法发现和掌握相似三角形的性质，并能够灵活运用。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生能够熟练掌握相似三角形的性质，并能够运用性质解决一些实际问题。
2.过程与方法：通过观察、归纳、推理等方法，引导学生发现和掌握相似三角形的性质。
3.情感态度价值观：培养学生的团队协作意识，让学生在合作中发现问题、解决问题。
四. 教学重难点1.重点：相似三角形的性质。
2.难点：相似三角形的性质在实际问题中的应用。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生通过观察、归纳、推理等方法发现和掌握相似三角形的性质。
2.运用多媒体教学手段，展示实例和练习题，帮助学生更好地理解和运用性质。
3.采用小组合作学习的方式，培养学生的团队协作意识。
六. 教学准备1.准备相关的多媒体教学课件和练习题。
2.准备黑板和粉笔，用于板书。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示一些生活中的相似图形，引导学生观察并思考：这些图形有什么共同的特点？从而引出相似三角形的性质。
2.呈现（10分钟）展示相似三角形的性质，引导学生通过观察、归纳、推理等方法发现性质。
在呈现过程中，教师引导学生对比、分析，帮助学生理解和记忆性质。
4.7_相似三角形性质(课时2)(教案)
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了相似三角形的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对相似三角形性质的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决几何问题时灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
最后，我会在课后收集学生的反馈，了解他们在学习过程中的困惑和需求，以便在接下来的教学中做出相应的调整。我相信，通过不断反思和改进，我们能更好地激发学生的学习兴趣，提高他们的几何学科素养。
五、教学反思
在今天的相似三角形性质教学中，我发现学生们对对应角和对应边成比例的概念掌握得还不错，但在具体的案例分析中，有些同学在辨识对应角和对应边时仍然感到困惑。这让我意识到，我们需要在接下来的课程中加强对这部分知识点的巩固。
课堂上，我尝试通过引入日常生活中的实例，让学生感受到相似三角形性质的实际应用，这样的教学方式似乎引起了学生的兴趣。不过，我也注意到，在理论介绍环节，部分学生显得有些吃力，可能是因为概念的理解需要更多的时间和练生在辨识相似三角形中的对应角和对应边时，容易混淆，需要教师通过具体示例和练习进行指导。
-性质证明的逻辑推理：学生在证明相似三角形性质时，可能会遇到推理不严密、逻辑混乱等问题，教师应引导学生梳理证明过程，强化逻辑推理能力。
举例：
(1)难点突破：教师展示多个相似三角形图形，让学生辨识对应角和对应边，并提供提示和指导，如“如何快速找到相似三角形中的对应角和对应边？”
(2)逻辑推理：针对性质证明的难点，教师可以设计梯度性练习题，从简单到复杂，让学生逐步掌握证明方法。例如，先证明“相似三角形中，对应角相等”，再证明“相似三角形中，对应边成比例”。
北师大版数学九年级上册4.7《相似三角形的性质》第二课时优秀教学案例
4.总结归纳与知识应用：在总结归纳环节，让学生回顾学习内容，总结相似三角形的性质和判定方法，形成系统的知识体系。同时，强调相似三角形性质在几何证明和实际问题解决中的应用，提高学生的知识应用能力。
五、案例亮点
1.生活情境的引入：通过引入实际问题和生活情境，激发学生的学习兴趣和积极性。例如，计算建筑物面积或解决角度问题等，使学生感受到相似三角形性质在实际生活中的应用，提高学习的贴切性和实际意义。
2.问题导向与学生主动探究：以问题为导向，引导学生主动探究和发现相似三角形的性质。提出引导性问题激发学生思考，通过观察、操作和归纳等方法，发现和总结相似三角形的性质，培养学生的问题解决能力和科学探究精神。
二、教学目标
（一）知识与技能
1.学生能够理解相似三角形的性质，包括对应边成比例、对应角相等。
2.学生能够运用相似三角形的性质解决实际问题，如计算面积、解决角度问题等。
3.学生能够熟练运用相似三角形的判定方法，判断两个三角形是否相似。
4.学生能够掌握相似三角形的性质在几何证明中的应用，提高证明能力。
（二）过程与方法
5.作业小结与反馈指导：布置有关相似三角形性质的练习题，巩固所学知识。要求学生在作业中运用相似三角形的性质解决实际问题，培养学生的应用能力。在批改作业过程中，及时给予反馈和指导，帮助学生纠正错误和提高解题能力。
情境的方式，让学生思考和讨论实际问题。例如，展示一张图片，图片中有一个矩形和一个相似的平行四边形，让学生计算它们的面积。通过这个问题，引导学生思考相似形的性质，从而引出本节课的主题——相似三角形的性质。
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相似三角形的性质（第2课时）
一、教学目标
1．掌握相似三角形的性质定理2、3．
2．学生掌握综合使用相似三角形的判定定理和性质定理2、3来解决问题．3．进一步培养学生类比的教学思想．
4．通过相似性质的学习，感受图形和语言的和谐美
二、教法引导
三、重点及难点
1．教学重点：是性质定理的应用．
2．教学难点：是相似三角形的判定与性质等相关知识的综合使用．
四、课时安排
1课时
五、教具学具准备
投影仪、胶片、常用画图工具．
六、教学步骤
［复习提问］
叙述相似三角形的性质定理1．
［讲解新课］
让学生类比“全等三角形的周长相等”，得出性质定理2．
性质定理2：相似三角形周长的比等于相似比．
∽，
同样，让学生类比“全等三角形的面积相等”，得出命题．
“相似三角形面积的比等于相似比”教师对学生作出的这种判断暂时不作否定，待证明后再强调是“相似比的平方”，以加深学生的印象．
性质定理3：相似三角形面积的比，等于相似比的平方．
∽，
注：（1）在应用性质定理3时要注意由相似比求面积比要平方，这个点学生容易掌握，但反过来，由面积比求相似比要开方，学生往往掌握不好，教学时可增加一些这方面的练习．（2）在掌握相似三角形性质时，一定要注意相似前提，如：两个三角形周长比是，它们的面积之经不一定是，因为没有明确指出这两个三角形是否相似，以此教育学生要认真审题．
例1 已知如图，∽，它们的周长分别是60cm和72cm，且AB=1 5cm，，求BC、AB、、．
此题学生一般不会感到有困难．
例2 有同一三角形地块的甲、乙两地图，比例尺分别为1：200和1：500，求甲地图与乙地图的相似比和面积比．
教材上的解法是用语言叙述的，学生不易掌握，教师可提供另外一种解法．
解：设原地块为，地块在甲图上为，在乙图上为．
∽∽且，．
．
学生在使用掌握了计算时，容易出现的错误，为了纠正或防止这类错误，教师在课堂上可举例说明，如：，而
［小结］
1．本节学习了相似三角形的性质定理2和定理3．
2．重点学习了两个性质定理的应用及注意的问题．
七、布置作业
教材P247中A组4、5、7．
八、板书设计。