相似三角形的判定及性质

D
ABD EBC,
A
B
DBE ABC. (1)
又EBC ABD, ECB DAB.
E
ABD ∽ CBE.
BE BC .即 BE BD . (2) BD AB BC AB
由(1)(2)及判定定理2知 DBE ∽ ABC.
判定定理3
对于任意两个三角形,如果一个三角形的三条边 和另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两 个三角形相似.
简述:三边对应成比例,两三角形相似
已知:如图,在△ABC和△ABC中
AB BC CA AB BC CA
A
求证: △ABC∽△A’B’C’
证明: 在△ABC的边AB(或延长线)上截取 AD=AB,过点D作DE//BC,交AC于点E.
AD DE EA AB BC CA
△ADE∽△ABC
∵ AD=AB
第一讲 相似三角形的判定及有关性质
1.3 相似三角形的判定及性质
复习回顾
相似三角形的定义
对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做 相似三角形.相似三角形对应边的比值叫做相 似比(或相似的系数).
预备定理
平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的 延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似.
判定定理1
求证：(1)AD•BC=BE•AC (2)AH•HD=BH•HE
分析: (1)只要证明Rt△ADC∽Rt△BEC (2)只要证明Rt△AHE∽Rt△BHD
思考：
既然相似三角形中的高，中线，内角平分线， 周长，面积等要素都与相似比有关.
那么，与三角形有关但不在三角形内的 其他元素是否与三角形的相似比有联系呢？
你想到哪些元素？
三角形的外接圆和内接圆
结论：两个相似三角形的外接圆的直径比，周长比等于相似比；面积比等于相似比的平方。
问题1 两个相似三角形的外接圆的直径比，周长比，面积比与相似比有什么关系？
成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边.
已知:如图△ABC中,点D、E分别在AB、AC上，且
A
AD AE AB AC
求证：DE//BC
D
E
证明: 作 DE//BC,交AC于E
AD AE' AB AC
B
C
AD AE AB AC
采用了“同一法”
AE AE' AC AC
的间接证明
∴AE=AE
（2）如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例， 那么它们相似。
类比直角三角形全等的判定定理(斜边和一条直角边对应相等 的两个直角三角形全等)能得直角三角形相似的另一个判定定 理.
定理 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的
斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
已知: RtABC和RtABC中.C C 900. AB AC . AB AC
求证 : RtABC ∽ RtABC
A A΄
证明：设
AB AB
AC AC
k.
那么，AB kAB. AC kAC.
BC2 AB2 AC2 k 2 ( AB2 AC2 ) k 2BC2.
C΄
C
B
BC kBC.
AB AC BC k. AB AC BC
由判定定理 3得RtABC ∽ RtABC
对于任意两个三角形,如果一个三角形的两个角 与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三 角形相似.
简述:两角对应相等,两三角形相似
判定定理2 对于任意两个三角形,如果一个三角形的两边和
另一个三角形的两边对应成比例,并且夹角相等,那 么这两个三角形相似.
简述:两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似
引理 如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段
然后证明图形符合已知条件,确定所做图形与提设条件所 指的图形相同,
从而证明命接AD和BD,
点E在△ABC外, EBC ABD,ECB DAB.
求证 : DBE ∽ ABC.
证明:在△DBE与△ABC中,
DBE EBC CBD,ABC ABD DBC.
AD AB AB AB
DE BC , EA CA BC BC CA CA
DE BC, EA CA
AB BC CA ∴△ADE≌△ABC AB BC CA ∴△ABC∽△ABC
B
C
A
D
E
B
C
如图,已知D、E、F分别是△ABC三边、BC、CA、AB的 中点. 求证：△DEF∽△ABC
证明: ABC ∽ ABC
B B. ADB ADB 900.
ABD ∽ ABD.
AD AB . AD AB
B
D
C
A´
B´
D´
C´
（2）相似三角形周长的比等于相似比；
A
证明: ABC ∽ ABC
AB AC BC k. AB AC BC
B
D
C
AB kAB. BC kBC.AC kAC.
因此E与点E重合即DE与DE重合, 所以 DE//BC
在探究数学问题的过程中，应当做到“步步有据”。 有时,为了寻找某个步骤的推理依据,往往会产生一个原
命题的辅助问题.数学家把这种辅助问题称为引理.
当直接证明比较困难时,用间接法. “同一法”是一种间接证明方法. “同一法”证明问题时:先作出一个满足命题结论的图 形,
证明:∵线段EF、FD、DE都是 △ABC的中位线
EF 1 BC, FD 1 CA, DE 1 AB
2
2
2
EF FD DE 1 BC CA AB 2
∴△DEF∽△ABC
A
F
E
B
D
C
直角三角形相似的判定定理
定理
两角对应相等
（1）如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它 们相似。
两边对应成比例及夹角相等
AB BC CA
A´
AB BC CA
k(AB BC CA) k. AB BC CA
B´
D´
C´
（3）相似三角形面积的比等于相似比的平方。
SABC
1 BC AD 2
BC • AD k • k k2.
SABC 1 BC AD BC AD
2
A´ A
B
D
C
B´
D´
C´
如图，已知AD、BE分别是△ABC中BC边和AC 边上的高，H是AD、BE的交点
2.相似三角形的性质
（1）相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应 角平分线的比都等于相似比； （2）相似三角形周长的比等于相似比； （3）相似三角形面积的比等于相似比的平方。
A´ A
B
D
C
B´
D´
C´
2.相似三角形的性质
（1）相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应
角平分线的比都等于相似比；
A