相似三角形性质与判定复习
相似三角形的性质和判定复习优秀课件
①相似三角形的对应角 相等 ,对应边 成比例 。
②相似三角形对应高的比,对应中线的比,对应角平分线
的比都等于相似比。
③相似三形的周长的比等于 相似比 。
④相似三角形面积的比等于相似比的平方 。
2、三角形相似的判定方法： ①定理 两角对应相等的两个三角形相似 。
②定理两边对应成比例且夹角相等的两个三。角相似
AB BO CD DO
答：球能碰到墙面离 地5.4m高的地方．
2.如图，把△ABC沿AB边平移到 △A′B′C′的位置，它们的重叠部分（即 图中的阴影部分）的面积是△ABC的面 积一半，若AB=2，则求此三角形平移 的距离AA′。
C C' M
A A'
B B'
• 3（2010·珠海)如图，在平行四边ABCD中，过点 A作AE⊥BC，垂足为E，连结DE，F为线段DE 上一点，且∠AFE＝∠B.
连接BF交DC与点E,则图中相似三角形共有( D )
A. 0对 B. 1对 C. 2对 D.3对 A
D
F
E
B
(第2题)
C
3、三角形的三条中位线所构成的三角形与原三角 形的周长之比是_1_︰_2____，面积之比是_1_︰__4___。
4.如图，P 是 Rt△ABC 斜边 AB 上任意 一点(A、B 两点除外)，过 P 点作一直线， 使截得的三角形与 Rt△ABC 相似，这样
• (1)求证：△ADF∽△DEC.
• (2)若AB＝4，AD＝3 3，AE＝3 ，求AF的长．
思路与方法点拨
• 1.寻求相似三角形时要注意挖掘图形中的隐含条件， 如公共角、对顶角等。
• 2. “两角对应相等的两个三角形相似.”在证明三角 形相似中用得较多，在证明过程中应注意结合图形 和已知条件去找相等的角。
相似三角形的性质与判定讲义)
相似三角形的性质与判定讲义)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1相似三角形的性质与判定讲义【知识点拨】一、相似三角形性质(1)相似三角形对应角相等，对应边成比例．(2)相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比． (3)相似三角形周长的比等于相似比．(4)相似三角形面积的比等于相似比的平方．(5)相似三角形性质可用来证明线段成比例、角相等，也可用来计算周长、边长等二、 相似三角形的等价关系(1)反身性：对于任一ABC ∆有ABC ∆∽ABC ∆．(2)对称性：若ABC ∆∽'''C B A ∆，则'''C B A ∆∽ABC ∆．(3)传递性：若ABC ∆∽C B A '∆''，且C B A '∆''∽C B A ''''''∆，则ABC ∆∽C B A ''''''∆． 三、三角形相似的判定方法1、定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似．2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．4、判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．6、判定直角三角形相似的方法： (1)以上各种判定均适用．(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．(3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似．直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。
相似三角形的性质与判定专题讲义整理版
学生姓名：年级：老师：上课日期：上课时间：上课次数：______年级第______单元课题______——————————————————————————————————[ 课前准备 ]课前检查：作业完成情况：优（）良（）中（）差（）复习预习情况：优（）良（）中（）差（）——————————————————————————————————[ 学习内容 ]一、知识梳理（一）、相似三角形的性质：1、相似三角形的对应角，对应边。
2、相似三角形的对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于。
3、相似三角形对应周长的比等于。
4、相似三角形对应面积的比等于。
注意：在运用相似三角形的性质解题时，一定要确定好对应边、对应角；若果不能确定，则应当进行分类讨论。
（二）、相似三角形的判定：1、判定两个三角形相似的条件：（1）平行截割： _____（2）两角对应相等：（3）两边夹：（4）三边比：_____________________________________2、判定两个三角形相似的一般步骤：（1）先通过已知或平行、对顶角、公共边、寻找是否存在两对相等的角（2）若只能找到一对对应角相等，则再找到一对对应角相等,或找夹这个角的两边是否对应成比例。
（3）若找不到相等的角，就分析三边是否3、等积式的证明思路遇等积，化等比；横找、竖找定相似；不相似，莫生气，等线等比来代替；平行线转比例，两端各自拉关系。
二、基础练习1．（2013•重庆）已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为3：4，则△ABC与△DEF的面积比为（）A．4：3 B．3：4 C．16：9 D．9：162．两相似三角形的最短边分别是5cm 和3cm ，它们的面积之差为32cm 2，那么小三角形的面积为（ ） A ．10cm 2B ．14cm 2C ．16cm 2D ．18cm 23．如图，已知△ABC ，AB=6，AC=4，D 为AB 边上一点，且AD=2，E 为AC 边上一点（不与A 、C 重合），若△ADE 与△ABC 相似，则AE=（ ） A ．2B ．34 C ．3或43 D ．3或344．（2008•毕节地区）已知△ABC 的三条长分别为2cm ，5cm ，6cm ，现将要利用长度为30cm 和60cm 的细木条各一根，做一个三角形木架与△ABC 相似，要求以其中一根作为这个三角形木架的一边，将另一根截成两段（允许有余料，接头及损耗忽略不计）作为这个三角形木架的另外两边，那么这个三角形木架的三边长度分别为（ ） A ．10cm ，25cm ，30cmB ．10cm ，30cm ，36cm 或10cm ，12cm ，30cmC ．10cm ，30cm ，36cmD ．10cm ，25cm ，30cm 或12cm ，30cm ，36cm 5．（2010•淄博）在一块长为8、宽为32的矩形中，恰好截出三块形状相同、大小不等的直角三角形，且三角形的顶点都在矩形的边上．其中面积最小的直角三角形的较短直角边的长是．6．如图，D 、E 分别是AC ，AB 上的点，∠ADE ＝∠B ，AG ⊥BC 于点G ，AF ⊥DE 于点F.若AD ＝3，AB＝5，求： （1）AGAF；（2）△ADE 与△ABC 的周长之比；三、 重难点高效突破专题一：计算线段的长度或线段之间的比在几何中线段长度计算常用的方法是：1、运用勾股定理计算；2、运用相似三角形对应边成比例计算；3、综合运用进行计算。
相似三角形的专题复习课
αα6600°°
EEE
6α6α00°°
CCC
1.矩形ABCD中，把DA沿AF对折，使D与
CB边上的点E重合，若A善D于=1在0复, A杂B图=形8,
则EF=___5___
中寻找基本型
D
A
F
C
EE
B
2.已知：D为BC上一点， ∠B= ∠C= ∠EDF=60°, BE=6 , CD=3 , CF=4 ,
长线于点E.
求证：OC2＝OA·OE.
旋转型
例3. D为△ABC内的一点，E为△ABC外的一点，且∠1＝
∠2，∠3＝∠4.
求证：(1)△ABD∽△CBE；
(2)△ABC∽△DBE.
证明：(1)∵∠1＝∠2，∠3＝∠4(已知)， ∴△ABD∽△CBE.
双垂直型 例4：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于 点D.
A
D E
解:∵∠AED=∠B, ∠A=∠A
∴△AED∽ △ABC（两角对 应相等，两三角形相似）
B
C
∴ AD DE
AC BC
∴ AD·BC=AC·DE
练1．如图所示,当满足下列条件之一时，都可判 定△ADC∽△ACB．
①
∠ACD=∠B
，
②
∠ACB=∠ADC
，
D
③
AD AC
AC 或AC2 AB
AD• AB。
学习目标
1、进一步熟练相似三角形的性质与判定。 2、归纳总结相似三角形的几种基本图形， 能利用这些基本图形进行相关的计算与证明。
回顾与反思
判定两个三角形相似的方法：
1.定义：三角对应相等，三边对应成比例的两个三 角形相似。 2.平行三角形一边的直线和其他两边相交(或两边的延 长线),所构成的三角形与原三角形相似. 3.三边对应成比例的两个三角形相似。 4.两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。
相似三角形性质和判定复习
相似三角形复习【知识要点】1、相似三角形的定义三边对应成_________，三个角对应________的两个三角形叫做相似三角形． 2、相似三角形的判定方法1.两个三角形相似，一般说来必须具备下列六种图形之一：2. 两个角对应相等的两个三角形__________．3. 两边对应成_________且夹角相等的两个三角形相似．4. 三边对应成比例的两个三角形___________．性质：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧比的平方、对应面积比等于相似比、对应周长比等于相似、对应边成比例、对应角相等4321判定：⎪⎩⎪⎨⎧、三边对应成比例夹角相等、两边对应成比例，且、两角对应相等3211.相似比：相似三角形对应边的比叫做相似比。
当相似比等于1时，这两个三角形不仅形状相同，而且大小也 相同，这样的三角形我们就称为全等三角形。
全等三角形是相似三角形的特例。
2. 相似三角形的判定：①两角对应相等，两三角形相似。
②两边对应成比例，且夹角相等，两三角形相似。
③三边对应成比例，两三角形相似。
3. 相似三角形的性质：①相似三角形的对应角相等。
②相似三角形的对应线段（边、高、中线、角平分线）成比例。
③相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。
FEC【典型例题】1、如图在4×4的正方形方格中，△ABC 和△DEF 的顶点都在长为1的小正方形顶点上． （1）填空：∠ABC=______，BC=_______． （2）判定△ABC 与△DEF 是否相似？2、如图所示，D 、E 两点分别在△ABC 两条边上，且DE 与BC 不平行，请填上一个你认为适合的条件_________，使得△ADE ∽△ABC ．并证明3、如图，在△ABC 中，AB =AC ，点D 、E 、F 分别在AB 、BC 、AC 边上，DE=DF ，∠EDF =∠A ．（1）求证：BCABEF DE =．(2)证明：BDE ∆与EFC ∆相似。
4、已知，如图，CD 是Rt ABC ∆斜边上的中线，DE AB ⊥交BC 于F ，交AC 的延长线于E ， 说明：⑴ ADE ∆∽FDB ∆； ⑵DF DE CD ∙=2．5、已知：如图，□AB C D 中E 为AD 的中点，AF ：AB =1：6，EF 与AC 交于M 。
相似三角形的性质和判定复习
变式练习一 如下图，梯形ABCD中，AD / /BC，对角线
AC、BD交于点O，若SAOD =1cm ，SBOC =9cm ， 求SAOB是多少？
变式练习二
2
2
如下图，梯形ABCD中，AD / /BC，EF是中位线， 若SABD:SBCD =1： 2, 求S四边形AEFD:S四边形BCEF .
[例2] 如下图，身高1.5m的人站在离河边3m处时恰好能 看到对岸岸边电线杆的全部倒影，若河岸高出水面 0.75m，电线杆高4.5m，问河有多宽？
[例3]如下图，已知 ABCD中，AE:EB=1:2， 求AEF与CDF的周长比。
[例4]如图，在ABC中，DE / /BC， SADE:SBCDE =1:4，求AD:DB。
【典型例题】
[例1] 如下图所示，甲、乙、丙三位同学欲测量旗杆AB的 高度 ,甲在操场上C处直立3m高的竹竿CD，乙从C处退到 E处恰好看到竹竿顶端D与旗杆顶端B重合，量得CE=3m， 乙的眼睛到地面的距离FE=1.5m；丙在C1处也直立3m高 的竹竿C1D1，乙从E处退后6m到E1处，恰好看到两根竹 竿和旗杆重合，且竹竿顶端D1与旗杆顶端B也重合，量得 C1E1=4m，丙的眼睛到地面的距离F1E1=1.5m。 求旗杆AB的高。
A 1：4 B 1：3
C 1： 2
D 2： 3
5.如下图，D、E分别是AB的 三等分点，DF / /EH / /BC， 则SADE:SDEHF : S EBCH
6.如下图，将矩形ABCD沿着直线 AE折叠，顶点D恰好落在BC边上 的F点处，CE 3cm，AB 8cm， 则图中阴影部分的面积为 。
7.如下图，在 ABCD中， AE:EB=1:2，若SAEF =8cm 试题】
相似三角形的判定与性质
相似三角形的判定与性质一、知识回顾1、相似三角形的判定：（1）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
（2）平行于三角形一边的直线与其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
（3）如果两个三角形的两组对应边的比相等，且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似（4）如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。
2、相似三角形的性质（1）对应边的比相等，对应角相等。
（2）相似三角形的周长比等于相似比。
（3）相似三角形的面积比等于相似比的平方。
（4）相似三角形的对应边上的高、中线、角平分线的比等于相似比。
二、典型例题例 1：如图，已知直线 AB： y=4/3 x+b 交 x 轴于点 A（ -3 ， 0），交 y 轴于点 B，过点 B 作BC⊥AB 交 x 轴于点 C．（1）试证明：△ ABC∽△ AOB；（ 2）求△ ABC 的周长．例 2：如图，一次函数y=kx+b 的图象经过点A（ -1 ，0）和点（ 1，4）交 y 轴于点 B．（ 1）求一次函数解析式和 B 点坐标．（ 2）过 B 点的另一直线 1 与直线 AB垂直，且交X轴正半轴于点P，求点 P 的坐标．（3）点 M（ 0，a）为 y 轴正半轴上的动点，点N（ b，O）为 X 轴正半轴上的动点，当直线MN⊥直线 AB时，求 a： b 的值．例 3：（ 2000·陕西）如图，在矩形ABCD 中， EF 是 BD 的垂直平分线，已知 BD=20， EF=15，求矩形 ABCD 的周长．例 4：（ 2010·攀枝花）如图所示，在△ ABC 中， BC ＞ AC ，点 D 在 BC 上，且 DC=AC ，∠ ACB 的平分线 CF 交 AD 于点 F ．点 E 是 AB 的中点，连接 EF ．（ 1）求证： EF ∥BC ；（ 2）若△ ABD 的面积是 6，求四边形 BDFE 的面积．例题(1) 两个相似三角形的面积比为 s 1 : s 2 ，与它们对应高之比h 1 : h 2 之间的关系为 _______(2) 如图，已知 D E ∥ BC ， CD 和 BE 相交于 O ，若 SABC:SCOB9 :16 ，则 AD:DB=_________AABADD ’DEODEEFFGA A ’CC ’OCB B ’BCDBC(2)题图(3) 题图(4) 题图(5) 题图(3)如图，已知 AB ∥CD,BO:OC=1:4, 点 E、 F 分别是 OC， OD的中点，则 EF:AB 的值为(4) 如图，已知DE∥FG∥ BC,且 AD:FD:FB=1:2:3, 则S ABC: S四边形DFGE: S四边形FBCG()A.1:9:36B.1:4:9C.1:8:27D.1:8:36(5)如图，把正方形 ABCD 沿着对角线 AC 的方向移动到正方形 A’B ’C’D ’的位置，它们的重叠部分的面积是原正方形面积的一半，若AC= 2 ,则正方形移动的距离 AA ’是(6) 梯形 ABCD中， AD∥BC，（ AD<BC）， AC、 BD交于点 O,若S OAB6S ABCD,则△AOD与△BOC的周长25之比为 __________ 。
相似的性质和判定
三角形相似的判定和性质1一、知识梳理：1、相似的判定：①如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
（两角对应相等，两个三角形相似。
）②如果两个三角形的两组对应边成比例，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
（两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似。
）③如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个三角形相似。
（三边对应成比例，两个三角形相似。
）④如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
（斜边与直角边对应成比例，两个直角三角形相似。
）⑤两个三角形三边对应平行，则两个三角形相似。
（三边对应平行，两个三角形相似。
）⑥如果两个三角形全等，那么这两个三角形相似（相似比为1：1）（全等三角形相似）。
2、相似的性质：①相似三角形的对应角相等；相似三角形的对应边成比例。
②相似三角形的周长比，对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。
③相似三角形的面积比等于相似比的平方，相似比等于面积比的算术平方根。
3、推论：推论一：顶角或底角相等的两个等腰三角形相似。
推论二：腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似。
推论三：有一个锐角相等的两个直角三角形相似。
推论四：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形都相似。
推论五：如果一个三角形的两边和三角形任意一边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形相似。
4、射影定理：射影定理：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。
每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
①CD2＝AD·BD；②AC2＝AD·AB；③BC2＝BD·AB二、相似的基本图形：（一）平行线型如图，若DE∥BC,则△ADE∽△ABC,形象地说图为“A”型或“X”型,故称之为平行线型的基本图形.例1、如图,在平行四边形ABCD中,E是AB延长线上一点,连结DE交AC于G，交BC于F,则图中相似三角形(不含全等三角形)共有 对. （二）相交线型若∠AED=∠B,则△ADE ∽△ABC,称之为相交线型的基本图形.例2、如图，D 、E 分别为△ABC 的边AC 、AB 上一点，BD,CE 交于点O,且CODOBO EO,试问△ADE 与△ABC 相似吗?如果是,请说明理由.（三）母子型如图，有△ACD ∽△ABC,称之为“子母”型的基本图形.特别地,令∠ACB=90,CD 则为斜边上高(如图9), 则有△ACD ∽△ABC ∽△CBD.DABCABCD例3 如图,在△ABC 中,P 为AB 上一点,要使△APC ∽△ACB,还需具备的一个条件是 或 或 或 ； （四）旋转型△ADE ∽△ABC,称之为旋转型的基本图形.AB例4、如图，D 为△ABC 内一点，E 为△ABC 外一点，且∠1=∠2，∠3=∠4． 证明：△ABC ∽△DBE ．（五）三垂直型如右图，AB⊥BC, AD⊥DE, CE⊥BC,则△ABD∽△DCE,这种图形称之为三垂直型.AEBD C随堂练习一．选择题：1．如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（）A．∠ABP=∠C B．∠APB=∠ABC C．= D．=2．△ABC和△DEF满足下列条件，其中能使△ABC与△DEF相似的是（）DE=EF=DF=，AC=BC=DE=△BDE△CDE△DOE△AOC 的值为（）A． B． C． D．4．如图为两正方形ABCD、BEFG和矩形DGHI的位置图，其中G、F两点分别在BC、EH上．若AB=5，BG=3，则△GFH的面积为何？（）A．10 B．11 C． D．二．填空题：5．如图，△ABC中，D为BC上一点，∠BAD=∠C，AB=6，BD=4，则CD的长为．6．如图，四边形ABCD为矩形，，则∠MAN的度数为度．7．如图，小伟在打网球时，击球点距离球网的水平距离是8米，已知网高是0.8米，要使球恰好能打过网，且落在离网4米的位置，则球拍击球的高度h为米．8．△ABC中，AB：AC：BC=4：3：2，△A1B1C1中，A1B1：A1C1：B1C1=3：2：4，则△ABC与△A1B1C1（相似或不相似）．9．如图，已知△ABC中，AE：EB=1：3，BD：DC=2，AD与CE相交于F，则= ．10．如图，菱形ABCD的边长为1，直线l过点C，交AB的延长线于M，交AD的延长线于N，则+= ．11．如图，矩形ABCD中，F是DC上一点，BF⊥AC，垂足为E，=，△CEF的面积为S1，△AEB的面积为S2，则的值等于．12．已知正方形ABC1D1的边长为1，延长C1D1到A1，以A1C1为边向右作正方形A1C1C2D2，延长C2D2到A2，以A2C2为边向右作正方形A2C2C3D3（如图所示），以此类推…．若A1C1=2，且点A，D1，D2，D3，…，D10都在同一直线上，则正方形A9C9C10D10的边长是．三．解答题：13．如图，等边△ABC，点D、E分别在BC、AC上，且BD=CE，AD与BE相交于点F．（1）试求出∠AFE的度数．（2）△AEF与△ABE相似吗？说说你的理由．（3）BD2=AD•DF吗？请说明理由．14．已知：平行四边形ABCD，E是BA延长线上一点，CE与AD、BD交于G、F．求证：CF2=GF•EF．15．如图，过▱ABCD的顶点A的直线交BD于点P，交CD于点Q，交BC的延长线于点R．求证：．16．如图，四边形ABCD，DCFE，EFGH是三个正方形．求∠1+∠2+∠3的度数．17．如下图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm．点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/s 的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1 cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0≤t≤6）那么：（1）当t为何值时，△QAP为等腰直角三角形？（2）求四边形QAPC的面积，提出一个与计算结果有关的结论；（3）当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似？九年级数学图形的相似2参考答案一．选择题（共4小题）1．D 2．C 3．D 4．D二．填空题（共8小题）5．5 6．90 7．2.4 8．相似 9．10．1 11．12．。
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相似三角形复习【知识要点】1、相似三角形的定义三边对应成_________，三个角对应________的两个三角形叫做相似三角形．2、相似三角形的判定方法1.两个三角形相似，一般说来必须具备下列六种图形之一：2. 两个角对应相等的两个三角形__________．3. 两边对应成_________且夹角相等的两个三角形相似．4. 三边对应成比例的两个三角形___________．性质：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧比的平方、对应面积比等于相似比、对应周长比等于相似、对应边成比例、对应角相等4321判定：⎪⎩⎪⎨⎧、三边对应成比例夹角相等、两边对应成比例，且、两角对应相等3211.相似比：相似三角形对应边的比叫做相似比。
当相似比等于1时，这两个三角形不仅形状相同，而且大小也相同，这样的三角形我们就称为全等三角形。
全等三角形是相似三角形的特例。
2.相似三角形的判定：①两角对应相等，两三角形相似。
②两边对应成比例，且夹角相等，两三角形相似。
③三边对应成比例，两三角形相似。
3.相似三角形的性质：①相似三角形的对应角相等。
②相似三角形的对应线段（边、高、中线、角平分线）成比例。
③相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。
FED CBA 【典型例题】1、如图在4×4的正方形方格中，△ABC 和△DEF 的顶点都在长为1的小正方形顶点上． （1）填空：∠ABC=______，BC=_______． （2）判定△ABC 与△DEF 是否相似？2、如图所示，D 、E 两点分别在△ABC 两条边上，且DE 与BC 不平行，请填上一个你认为适合的条件_________，使得△ADE ∽△ABC ．并证明3、如图，在△ABC 中，AB =AC ，点D 、E 、F 分别在AB 、BC 、AC 边上，DE=DF ，∠EDF =∠A ．（1）求证：BCABEF DE =．(2)证明：BDE ∆与EFC ∆相似。
4、已知，如图，CD 是Rt ABC ∆斜边上的中线，DE AB ⊥交BC 于F ，交AC 的延长线于E ，说明：⑴ ADE ∆∽FDB ∆； ⑵DF DE CD •=2．5、已知：如图，□AB C D 中E 为AD 的中点，AF ：AB =1：6，EF 与AC 交于M 。
求：AM ：AC 。
A DB F【随堂训练】1.如图，若ABAE= ，则△AEF∽△ABC，理由是 .2.在△ABC与△DEF中，已知AB=3，BC=2，DE=6，EF=4，再补充条件∠=∠，就可以判定△ABC∽△DEF .3.如图，AD=6，AE=8，EC=4，则当BD= 时，△ADE∽△ACB.4.如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且32==ABADACAE，若DE=4㎝，则BC= ㎝.5.D是△ABC边AB上一点，要使△ACD∽△ABC，则还须具备的条件是（）A.AC：CD=AB：BCB.CD：AD=BC：ACC. CD226.判断题：（1）相似三角形的对应角相等( )（2）相似三角形的高的比等于相似比( )（3）相似三角形的对应角平分线的比等于相似比( )（4）△ABC和△A1B1C1的中线AD：A1D1=k,则AB: A1B1=k( )7.已知：如图，在ABC△中，DE∥BC，DE分别与AB、AC相交于D、E，:1:3AD AB=．若2DE=，则BC=_________．8.下列判断正确的是（）A.两个直角三角形相似B.两个相似三角形一定全等C.凡等边三角形都相似D.所有等腰三角形都相似9、如图△ABC中，DE∥BC，AE=1，AC=2，则S△ADE：S△ABC=（）A、1：2B、1：3C、1：4D、1：910．如图，△ABC中，AD⊥BC于D，且有下列条件：（1）∠B＋∠DAC＝90°；（2）∠B＝∠DAC；（3）ADCD＝ABAC；（4）AB2＝BD·BC其中一定能够判定△ABC是直角三角形的共有（）A、3个B、2个C、1个D、0个题10 题11 题1211．如图，将△ADE绕正方形ABCD顶点A顺时针旋转90°，得△ABF，连结EF交AB于H，则下列结论中错误的是（）A、AE⊥AFB、EF︰AF＝2︰1C、AF2＝FH·FED、FB︰FC＝HB︰ECFBA第1题CE第3题BDEAC第4题BD EAC7、9图ACDB第五题12．如图，在矩形ABCD中，点E是AD上任意一点，则有（）A、△ABE的周长＋△CDE的周长＝△BCE的周B、△ABE的面积＋△CDE的面积＝△BCE的面积C、△ABE∽△DECD、△ABE∽△EBC13．ACD∆∽ABC∆，则下列各式成立的是（）A、ABADAC⋅=2B、DBADCD⋅=2C、BCABCDAC::=D、ACBCADCD::=14.下列五类图形．①两个矩形；②两个等腰三角形；③两个等边三角形；④两个正方形；⑤两个菱形。
其中两个图形一定相似的是( )A．四组 B．三组 C．两组 D．一组二、填空题1．已知，在△ABC中，AB＝AC＝27，D在AC上，且BD＝BC＝18，DE∥BC交AB于E，则DE＝_______．2．如图，□ABCD中，E是AB中点，F在AD上，且AF＝21FD，EF交AC于G，则AG︰AC＝______．题2 题33．如图，已知△ABC，P是AB上一点，连结CP，要使△ACP∽△ABC，只需添加条件______（只要写出一种合适的条件）．4．如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC，EF∥BC，AB＝15，AF＝4，则DE的长等于________．题4 题55．如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥AB，AD＝8，BC＝10，则梯形ABCD面积是_________．6.两个相似三角形对应高的比为 1∶3，则它们的相似比为；对应中线的比为；对应角平分线的比为；周长比为；面积比为；7．在菱形ABCD和菱形A′B′C′D′中，∠A=∠A′=60°，若AB∶A′B′=1∶3，则BD∶A′C′=________．三、解答题1、如图，在Rt△ABC中，AD为斜边BC上的高，若S△CAD=3S△ABD，求AB∶AC2、如图，ΔABC中，BD是角平分线，过D作DE∥AB交BC于点E，AB=5cm，BE=3cm，求EC的长.ABCD E3.如图，AO ⊥OD ，点B 、C 在OD 上，且OA=OB=BC=CD ，求证：△ABC ∽△DBA 。
4.梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 、F 分别为AB 、CD 上的一点，且梯形AEFD ∽梯形EBCF ，若AD=8，BC=18，试求AE ：EB 的值。
5．已知在△ABC 中，△ABC ∽ADE ，DE ∥BC ，如果23=DB AD ，AE=15，求AC 和EC 的长 。
相似三角形提高练习一、选择题4. 如图，在ABC △中，5AB AC ==，6BC =，点M 为BC 的中点，MN AC ⊥于点N ，则MN 等于（ ）A ．65 B ．95 C ．125 D ．1655. 如图，ABC △中，CD AB ⊥于D ，一定能确定ABC △为直角三角形的条件的个数是（ ）①1A ∠=∠，②CD DBAD CD=，③290B ∠+∠=°，④345BC AC AB =∶∶∶∶， A ．1 B ．2 C ．3 D ．43.在△ABC 中，AB =12，AC =10，BC =9，AD 是BC 边上的高.将△ABC 按如图所示的方式折叠，使点A 与点D 重合，折痕为EF ，则△DEF 的周长为( )A ．9.5B ．10.5C ．11D ．15.5A OBCD A B CD EF`1 2 34.如图，在长为8 cm 、宽为4 cm 的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形（图中阴影部分）与原矩形相似，则留下矩形的面积是（ ）A.22cm B.24cm C. 28cm D. 216cm 5.如图，正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，AF ⊥DE 于点O ， 则DOAO等于（ ） A ．352 B ．31 C ．32 D ．216.一张等腰三角形纸片，底边长cm 15，底边上的高长22．5cm ．现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3cm的矩形纸条，如图所示．已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是( )A ．第4张B ．第5张 C.第6张 D ．第7张 7.某班在布置新年联欢会会场时，需要将直角三角形彩纸裁成长度不等的矩形彩条，如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=30㎝，AB=50㎝，依次裁下宽为1㎝的矩形纸条a 1、a 2、a 3…，若使裁得的矩形纸条的长都不小于5㎝，则每张直角三角形彩纸能裁成的矩形纸条的总数是( )A.24B.25C.26D.274 5 6 78.如图，在Rt ABC△中，90ACB∠=°，3BC=，4AC=，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点E，则CE的长为（）A．32B．76C．256D．29.如图所示，已知点E F、分别是ABC△中AC AB、边的中点，BE CF、相交于点G，2FG=，则CF 的长为（）A．4 B．4.5 C．5 D．68 9二、填空题1、如图，点M是△ABC内一点，过点M分别作直线平行于△ABC的各边，所形成的三个小三角形△1、△2、△3（图中阴影部分）的面积分别是4，9和49．则△ABC的面积是．2、如图，Rt ABC△中，90ACB∠=°，直线EF BD∥，交AB于点E，交AC于点G，交AD于点F，若13AEG EBCGS S=△四边形，则CFAD=．3、将三角形纸片（△ABC）按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折痕为EF．已知AB＝AC＝3，BC＝4，若以点B′，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，那么BF的长度是．AF ECB10 11 12三、解答题1、已知：P为平行四边形ABCD对角线AC上一点，过点P的直线与AD、BC，CD的延长线，AB的延长线分别相交于点E、F、G、H求证：PGPHPFPEHFGBDACPE2、已知：在三角形ABC中，D为AB中点，E为AC上一点，且ECAE=2，BE、CD相交于点F，求EFBFFDEAB3、已知：在三角形ABC中，AD=31AB，延长BC到F，使CF=31BC，连接FD交AC于点E，求证：（1）DE=EF，（2）AE=2CEEFDA4、如图，DE//BC ，ADE S ∆ =1，BDE S ∆ =1 求：ABC S ∆5、PD//AB 交AC 于D ，联结PA ，设BP=x, ADP S ∆=y 求：（1）y 与x 之间的函数关系式并写出x 的范围；（2）当x 为何值时，y=34?6、如图，D 是等边三角形ABC 的BC 上的一个动点，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，E 、F 是垂足 （1）求证：△BDE ～△CDE ； （2）求证：BDF S ∆=CDE S ∆；（3）设AB=1 ，BD=x ,求△BDF 的面积y 关于x 的函数解析式C7、已知：在正△ABC 中，点D 、E 分别是AB 、BC 延长线上的点，且BD=CE ，直线CD 与AE 相交于点F 求证：(1) DC=AE ； (2) DF DC AD 2•=8、已知：直角梯形ABCD 中，AB//CD ，∠ABC=90°，AB=2CD ，对角线BD ⊥AC ，垂足为F ，过点F 作EF//AB 交AD 于E ，CF=4（1）求证：△DAB 为等腰三角形 （2）求AE 的长9、如图，在等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，5AB DC ==，6AD =，12BC =．动点P 从D 点出发沿DC 以每秒1个单位的速度向终点C 运动，动点Q 从C 点出发沿CB 以每秒2个单位的速度向B 点相似三角形判定专项练习30题（有答案）页脚内容11 运动．两点同时出发，当P 点到达C 点时，Q 点随之停止运动．（1）梯形ABCD 的面积等于 ；（2）当PQ AB ∥时，P 点离开D 点的时间等于 秒；（3）当P Q C ，，三点构成直角三角形时，P 点离开D 点多少时间？10、如图，在平面直角坐标系中，点(30)C -，，点A B ，分别在x 轴，y轴的正半轴上，且满足10OA -=．（1）求点A ，点B 的坐标．（2）若点P 从C 点出发，以每秒1个单位的速度沿射线CB 运动，连结AP ．设ABP △的面积为S ，点P 的运动时间为t 秒，求S 与t 的函数关系式，并写出自变量的取值范围．（3）在（2）的条件下，是否存在点P ，使以点A B P ，，为顶点的三角形与AOB △相似？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．Bx。