垂径定理典型例题及练习
垂径定理练习题及答案
垂径定理练习题及答案一、选择题1. 在一个圆中，如果一条直径的端点与圆上一点相连，这条线段的中点与圆心的距离是直径的（）A. 一半B. 半径B. 直径D. 无法确定2. 垂径定理指出，如果一条线段是圆的直径，那么它与圆上任意一点连线所形成的直角三角形的斜边是（）A. 直径B. 半径C. 线段D. 无法确定3. 圆内接四边形的对角线互相平分，且其中一条对角线是圆的直径，那么这个四边形是（）A. 平行四边形B. 矩形C. 菱形D. 无法确定4. 如果圆的半径为r，那么圆的直径是（）A. 2rB. rC. r的平方D. 2r的平方二、填空题1. 垂径定理告诉我们，如果一条线段是圆的直径，那么它与圆上任意一点连线所形成的直角三角形的斜边是______。
2. 圆的内接四边形中，如果对角线互相平分，且其中一条对角线是圆的直径，那么这个四边形的对角线长度相等，等于______。
3. 已知圆的半径为5cm，那么圆的直径是______。
三、解答题1. 已知一个圆的半径为7cm，圆内有一点P，连接点P和圆心O，得到线段OP。
如果OP的长度为4cm，求点P到圆上任意一点的距离。
2. 一个圆的直径为14cm，圆内接四边形ABCD，其中AC为直径。
已知AB=6cm，求BC的长度。
四、证明题1. 证明：如果一个三角形是直角三角形，且斜边是圆的直径，那么这个三角形的外接圆的直径是这个三角形的斜边。
2. 证明：如果一个圆的内接四边形的对角线互相平分，且其中一条对角线是圆的直径，那么这个四边形的对角线长度相等。
答案：一、选择题1. A2. A3. B4. A二、填空题1. 直径的一半2. 圆的直径3. 10cm三、解答题1. 点P到圆上任意一点的距离是3cm（利用勾股定理，OP为直角三角形的一条直角边，半径为斜边，另一直角边为点P到圆上任意一点的距离）。
2. BC的长度是8cm（利用圆内接四边形的性质，对角线互相平分，且AC是直径，所以BD=7cm，再利用勾股定理求BC）。
圆的垂径定理习题及答案
圆的垂径定理习题及答案圆的垂径定理习题⼀. 选择题 1.如图1,00的直径为10,圆⼼0到弦AB 的距离0M 的长为3,那么弦AB 的长是（）2.如图，O 0的半径为5,弦AB 的长为8,M 是弦AB 上的⼀个动点，则线段0M 长的最⼩值为（）3.过O 0内⼀点M 的最长弦为10cm 最短弦长为8cm 则0M 的长为（）A* 9cmE, 5cm4.如图，⼩明同学设计了⼀个测量圆直径的⼯具，标有刻度的尺⼦ 0A 0B 在 0点钉在⼀起，并使它们保持垂直，在测直径时，把 0点靠在圆周上，读得刻度0E=8个单位，0F=6个单位，则圆的直位 D. 15个单位5.如图，00的直径AB 垂直弦CD 于 P,且P 是半径0B 的中点，6cmCD ，则直径AB 的长是（）6. 下列命题中，正确的是（A .平分⼀条直径的弦必垂直于这条直径B .平分⼀条弧的直线垂直于这条弧所对的弦C .弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆⼼D .在⼀个圆内平分⼀条弧和它所对的弦的直线必经过这个圆的圆⼼7. 如图，某公园的⼀座⽯拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24⽶，拱的半径为13⽶，则拱⾼为A.4B. 6C. 7D. 8 B. 3 C. 4 D. 5B . 10个单位 C. 1个单A . 212个单位E & 5⽶B, 8⽶C. 7⽶D,出⽶D8.0O 的半径为5cm 弦AB//CD ,且AB=8cm,CD=6cn 则AB 与CD 之间的距离为( ) A . 1 cm B. 7cm C. 3 cm 或 4 cm D. 1cm 或 7cm9?已知等腰△ ABC 的三个顶点都在半径为5的0 0上，如果底边BC 的长为8,那么BC 边上的⾼为 ( ) A . 2 B. 8 C. 2 或 8 D. 3 ⼆、填空题1. _________________________________________________________________________ 已知AB 是O 0的弦，AB= 8cm, OCL AB 与C, 0C=3cm 则O 0的半径为 __________________________ c m2. ____________________________________________________________________ 在直径为10cm 的圆中，弦 AB 的长为8cm,则它的弦⼼距为 _______________________________ cm3. 在半径为10的圆中有⼀条长为16的弦，那么这条弦的弦⼼距等于 _____________________4. 已知AB 是O 0的弦，AB= 8cm, OC L AB 与C, 0C=3cm 则O O 的半径为 ________________ cm5. ______________________________________________________________________________ 如图，O 0的直径AB 垂直于弦CD ，垂⾜为E ，若/C0氐120°, 0E= 3厘⽶，贝U CD= ___________厘6. _____________________________________________________________ 半径为6cm 的圆中，垂直平分半径 0A 的弦长为 _______________________________________________ c m7. 过O 0内⼀点M 的最长的弦长为6cm,最短的弦长为4cm,则0M 勺长等于 cm8. 已知AB 是O 0的直径，弦CDL AB E为垂⾜，CD=8 0E=1则AB= __________9. 如图，AB 为O 0的弦，O 0的半径为5, OC L AB 于点D,交O 0于点C,且CD= l ，则弦AB 的长11. __________________________ 如图，在直⾓坐标系中，以点P 为圆⼼的圆弧与轴交于 A 、B 两点，已知P(4, 2)和A(2, 0), 贝⼙点B 的坐标是12. ____________________________________________________________ 如图，AB 是O 0的直径，ODL AC 于点D, BC=6cm 则0D ________________________________ cm10. 某蔬菜基地的圆弧形蔬菜⼤棚的剖⾯如图所⽰，已知 AB= 16m 半径04 10m 则中间柱 CD的⾼度为13. 如图，矩形ABCDf圆⼼在AB上的圆0交于点G B、F、E, GB=10 EF=8 那么AD= ______14.___________________________________________________________________________ 如图，O O 的半径是 5cm P 是o o 外⼀点，PO=8cm / P=3GO,则 AB ______________________ cm 是 __________________ Cm16. 已知AB 是圆O 的弦,半径OC 垂直AB 交AB 于D,若AB=8 CD=2则圆的半径为 _______________ 17. ⼀个圆弧形门拱的拱⾼为1⽶，跨度为4⽶，那么这个门拱的半径为 ___________________ ⽶ 18.在直径为10厘⽶的圆中，两条分别为6厘⽶和8厘⽶的平⾏弦之间的距离是厘⽶19. 如图,是⼀个隧道的截⾯,如果路⾯AB 宽为8⽶,净⾼CD 为8⽶,那么这个隧道所在圆的20. 如图,AB 为半圆直径,O 为圆⼼,C 为半圆上⼀点,E 是弧AC 的中点,OE 交弦AC 于点0 若 AC=8cm DE=2cm 则 OD 的长为 _____________ c m21. 已知等腰△ ABC 的三个顶点都在半径为5的。
(完整word版)垂径定理典型例题及练习
典型例题分析：例题1、 基本概念1．下面四个命题中正确的一个是（ ）A ．平分一条直径的弦必垂直于这条直径B ．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦C ．弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心D ．在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心2．下列命题中，正确的是（ ）．A ．过弦的中点的直线平分弦所对的弧B ．过弦的中点的直线必过圆心C ．弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦，且过圆心D ．弦的垂线平分弦所对的弧例题2、垂径定理1、 在直径为52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油的最大深度为16cm ，那么油面宽度AB 是________cm.2、在直径为52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后，，如果油面宽度是48cm ，那么油的最大深度为________cm.3、如图，已知在⊙O 中，弦CD AB =，且CD AB ⊥，垂足为H ，AB OE ⊥于E ，CD OF ⊥于F .（1）求证：四边形OEHF 是正方形.（2）若3=CH ，9=DH ，求圆心O 到弦AB 和CD 的距离.4、已知：△ABC 内接于⊙O ，AB=AC ，半径OB=5cm ，圆心O 到BC 的距离为3cm ，求AB 的长．5、如图，F 是以O 为圆心，BC 为直径的半圆上任意一点，A 是的中点，AD ⊥BC 于D ，求证：AD=21BF.O A E F例题3、度数问题1、已知：在⊙O中，弦cm12=AB，O点到AB的距离等于AB的一半，求：AOB∠的度数和圆的半径.2、已知：⊙O的半径1=OA，弦AB、AC的长分别是2、3.求BAC∠的度数。
例题4、相交问题如图，已知⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，AE=6cm，EB=2cm，∠BED=30°，求CD的长.例题5、平行问题在直径为50cm的⊙O中，弦AB=40cm，弦CD=48cm，且AB∥CD，求：AB与CD之间的距离.例题6、同心圆问题如图，在两个同心圆中，大圆的弦AB，交小圆于C、D两点，设大圆和小圆的半径分别为ba,.求证：22baBDAD-=⋅.例题7、平行与相似已知：如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，于CDAE⊥E，CDBF⊥于F.求证：FDEC=.A BDCEO作 业： 一、概念题1．下列命题中错误的有（）（1）弦的垂直平分线经过圆心（2）平分弦的直径垂直于弦（3）梯形的对角线互相平分（4）圆的对称轴是直径A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2、⊙O 的直径为10，弦AB 的长为8，M 是弦AB 上的动点，则OM 的长的取值范围是（ ）（A ）5OM 3≤≤ （B ）5OM 4≤≤（C ）5OM 3<< （D ）5OM 4<<3．如图，如果AB 为⊙O 直径，弦AB CD ⊥，垂足为E ，那么下列结论中错误的是（ ）A ．DE CE =B ．C ．BAD BAC ∠=∠ D ．AD AC >4．如图，AB 是⊙O 直径，CD 是⊙O 的弦，CD AB ⊥于E ，则图中不大于半圆的相等弧有（ ）对。
初中垂径定理试题及答案
初中垂径定理试题及答案一、选择题1. 在圆中，垂直于弦的直径是该弦的（）。
A. 垂线B. 垂径C. 弦心距D. 弦长答案：B2. 垂径定理告诉我们，如果一条线段垂直于弦，并且平分弦，那么它也平分弦所对的（）。
A. 弧B. 圆心角C. 弦心距D. 弦长答案：A3. 在圆中，如果一条直径垂直于弦，那么这条直径将弦分成的两段长度（）。
A. 相等B. 不相等C. 无法确定D. 取决于圆的大小答案：A二、填空题4. 在圆中，如果弦AB的中点为M，且直径CD垂直于弦AB于点M，则弦AB所对的弧ACB的度数为______。
答案：90°5. 垂径定理在圆的几何学中非常重要，它说明了垂直于弦的直径将弦平分，并且平分的弦所对的弧是______。
答案：相等的三、解答题6. 已知圆O的半径为10cm，弦AB垂直于直径CD于点M，求弦AB的长度。
答案：由于直径CD垂直于弦AB，根据垂径定理，弦AB被直径CD平分，因此弦AB的长度为圆的直径，即20cm。
7. 在一个圆中，弦AC的长度为12cm，弦BC的长度为8cm，且AC和BC相交于点O，求圆的半径。
答案：由于AC和BC相交于圆心O，根据垂径定理，OA=OC，OB=OA，因此OA=OC=6cm，OB=OA=6cm。
根据勾股定理，圆的半径r满足r^2 =OA^2 + OB^2 = 6^2 + 6^2 = 72，所以r = √72 = 6√2 cm。
四、证明题8. 证明：在圆中，如果一条直径垂直于弦，那么这条直径将弦平分。
答案：设圆心为O，直径为CD，弦为AB，且CD垂直于AB于点M。
要证明CM=MD。
由于CD是直径，所以∠CMO=∠DMO=90°。
根据垂径定理，CM=MD，因此这条直径将弦平分。
垂径定理典型例题及练习(供参考)
典型例题分析：例题1、 基本概念1．下面四个命题中正确的一个是（ ）A ．平分一条直径的弦必垂直于这条直径B ．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦C ．弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心D ．在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心2．下列命题中，正确的是（ ）．A ．过弦的中点的直线平分弦所对的弧B ．过弦的中点的直线必过圆心C ．弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦，且过圆心D ．弦的垂线平分弦所对的弧例题2、垂径定理1、 在直径为52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油的最大深度为16cm ，那么油面宽度AB 是________cm.2、在直径为52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后，，如果油面宽度是48cm ，那么油的最大深度为________cm.3、如图，已知在⊙O 中，弦CD AB =，且CD AB ⊥，垂足为H ，AB OE ⊥于E ，CD OF ⊥于F .（1）求证：四边形OEHF 是正方形.（2）若3=CH ，9=DH ，求圆心O 到弦AB 和CD 的距离.4、已知：△ABC 内接于⊙O ，AB=AC ，半径OB=5cm ，圆心O 到BC 的距离为3cm ，求AB 的长．5、如图，F 是以O 为圆心，BC 为直径的半圆上任意一点，A 是的中点，AD ⊥BC 于D ，求证：AD=21BF.O A E F例题3、度数问题1、已知：在⊙O中，弦cm12=AB，O点到AB的距离等于AB的一半，求：AOB∠的度数和圆的半径.2、已知：⊙O的半径1=OA，弦AB、AC的长分别是2、3.求BAC∠的度数。
例题4、相交问题如图，已知⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，AE=6cm，EB=2cm，∠BED=30°，求CD的长.例题5、平行问题在直径为50cm的⊙O中，弦AB=40cm，弦CD=48cm，且AB∥CD，求：AB与CD之间的距离.例题6、同心圆问题如图，在两个同心圆中，大圆的弦AB，交小圆于C、D两点，设大圆和小圆的半径分别为ba,.求证：22baBDAD-=⋅.例题7、平行与相似已知：如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，于CDAE⊥E，CDBF⊥于F.求证：FDEC=.A BDCEO作 业：一、概念题1．下列命题中错误的有（）（1）弦的垂直平分线经过圆心（2）平分弦的直径垂直于弦（3）梯形的对角线互相平分（4）圆的对称轴是直径A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2、⊙O 的直径为10，弦AB 的长为8，M 是弦AB 上的动点，则OM 的长的取值范围是（ ）（A ）5OM 3≤≤ （B ）5OM 4≤≤（C ）5OM 3<< （D ）5OM 4<<3．如图，如果AB 为⊙O 直径，弦AB CD ⊥，垂足为E ，那么下列结论中错误的是（ ）A ．DE CE =B ．C ．BAD BAC ∠=∠ D ．AD AC >4．如图，AB 是⊙O 直径，CD 是⊙O 的弦，CD AB ⊥于E ，则图中不大于半圆的相等弧有（ ）对。
(附答案)《垂径定理》典型例题
《垂径定理》典型例题例1. 选择题：（1）下列说法中，正确的是（）A. 长度相等的弧是等弧B. 两个半圆是等弧C. 半径相等的弧是等弧D. 直径是圆中最长的弦答案：D（2）下列说法错误的是（）A. 圆上的点到圆心的距离相等B. 过圆心的线段是直径C. 直径是圆中最长的弦D. 半径相等的圆是等圆答案：B例2. 如图，已知AB是⊙O的直径，M、N分别是AO、BO的中点，CM⊥AB，DN⊥AB。
分析：要证弧相等，可证弧所对的弦相等，也可证弧所对的圆心角相等。
证明：连结OC、OD∵M、N分别是OA、OB的中点∵OA＝OB，∴OM＝ON又CM⊥AB，DN⊥AB，OC＝OD∴Rt△OMC≌Rt△OND∴∠AOC＝∠BOD例3. 在⊙O中，弦AB＝12cm，点O到AB的距离等于AB的一半，求∠AOB 的度数和圆的半径。
分析：根据O到AB的距离，可利用垂径定理解决。
解：过O点作OE⊥AB于E∵AB＝12由垂径定理知：∴△ABO为直角三角形，△AOE为等腰直角三角形。
例4. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心，CA 为半径的圆与AB、BC分别交于点D、E。
求AB、AD的长。
分析：求AB较简单，求弦长AD可先求AF。
解：过点C作CF⊥AB于F∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4∵∠A＝∠A，∠AFC＝∠ACB∴△AFC∽△ACB例5. 如图，⊙O中，弦AB＝10cm，P是弦AB上一点，且PA＝4cm，OP＝5cm，求⊙O的半径。
分析：⊙O中已知弦长求半径，通常作弦心距构造直角三角形，利用勾股定理求解。
解：连OA，过点O作OM⊥AB于点M∵点P在AB上，PA＝4cm即⊙O的半径为7cm。
例6. 如图“五段彩虹展翅飞”是某省利用国债资金修建的横跨渡江的琼洲大桥已正式通车，该桥的两边均有五个红色的圆拱，最高的圆拱的跨度为110米，拱高为22米，求这个圆拱所在圆的直径。
垂径定理(含答案)
9题10题11题5题6题《垂径定理》练习题1.半径为8的圆中，垂直平分半径的弦长为 。
2.⊙O 的半径为6，M 为⊙O 内一点，OM=4，则过点M 的所有弦中，最长的弦长为 ,最短的弦长为 。
3. 如图，⊙O 的AB 垂直平分半径OACB 的形状为 。
4.如图，⊙O 中，AB ⊥AC ，OE ⊥AB 于E ，OF ⊥AC 于F ，且OE=3,OF=4,则AB= ,AC= ,⊙O 的半径R= 。
5.如图，⊙O 中，AB 为弦，AB=8m,直径为10cm ，若M 为弦AB 上一点，则OM 的长x 的取值范围为 。
6.如图，⊙O 中，AB 为弦，且AB=421 cm ，sin ∠OAB=25,则⊙O 的半径为 。
7.如图，AB 是半径为15cm 的⊙O 中的一条弦，交半径为13cm 的同心圆于点C 、D 两点，已知，O 到AB 的距离为12cm,则AC+BD= 。
8.如图，有一条圆弧形拱桥，桥的跨度AB=16m,拱高CD=4m ，则拱形的半径为 。
9.如图，⊙O 的直径CD 与弦AB 交于点M ，添加一个条件 ，就可以得到M 为AB 的中点。
10.如图，某机械传动装置在静止状态时，连杆PA 与点A 运动所形成的⊙O 交于点B ，现测得PB=4cm,AB=10cm, ⊙O 的半径R=13cm,此时P 点到圆心O 的距离是 。
11.如图，已知AB 为⊙O 的弦，P 是AB 上一点，若AB=10cm,PB=4cm,OP=5cm,则⊙O 的半径为 。
12.如图，水平放置的圆柱形水管的截面半径为5dm,水面宽AB 为6dm,则此时水深为 。
13.⊙O 的半径为13cm ，E 为⊙O 内一点，OE=5cm,则过E 点的所有弦中，长度为整数的弦有 条。
14.⊙O 中弦AB 与弦CD 垂直于点P ，且AP=PB=4cm,PC=2cm,则⊙O 的直径为 .15.已知P 为⊙O 内一点，且经过P 点的最长弦长为26cm, 过P 点的最短弦长为10cm ，则OP= 。
垂径定理的应用专项练习60题(有答案)ok
垂径定理的应用专项练习60题（有答案）1．某蔬菜基地的圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知AB=16m，半径OA=10m，则中间柱CD的高度为多少m？2．赵州桥建于1400多年前的隋朝，是我国石拱桥中的代表性的桥梁，桥拱是圆弧形（如图）．经测量，桥拱下的水面距拱顶6m时，水面宽34.64m，已知桥拱跨度是37.4m，运用你所学的知识计算出赵州桥的大致拱高．（注意：运算时取37.4=14，34.64=20）3．有一圆弧形拱桥，水面AB的宽32米，当水面上升4米时，水面宽24米，当上游洪水来到时，水面每小时上升0.25米，问再过几小时，洪水会漫过桥面？4．有一石拱桥的桥拱是圆弧形，如下图所示，正常水位下水面宽AB=60m，水面到拱项距离CD=18m，当洪水泛滥时，水面宽MN=32m时，高度为5m的船是否能通过该桥？请说明理由．5．一个半圆形桥洞截面如图所示，圆心为O，直径AB是河底线，弦CD是水位线，CD∥AB，且CD=16m，OE⊥CD于点E．已测得sin∠DOE=．（1）求半径OD；（2）根据需要，水面要以每小时0.5m的速度下降，则经过多长时间才能将水排干？6．某居民小区的一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需要确定管道圆形截面的半径．如图，若这个输水管道有水部分的水面宽AB=16cm，水最深的地方的高度为4cm，求这个圆形截面的半径．7．某处一个圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，下图是水平放置的破裂管道有水部分的截面，量得AB的长为16cm，截面最深处为4cm，请你帮助维修人员确定管道圆形截面的半径长．8．已知排水管的截面为如图所示的圆O，半径为10，圆心O到水面的距离是6，求水面宽AB．9．如图是小方在十一黄金周某旅游景点看到的圆弧形门，小方同学很想知道这扇门的相关数据．于是她从景点管理人员处打听到：这个圆弧形门所在的圆与水平地面是相切的，AB=CD=20cm，BD=200cm，且AB、CD与水平地面都是垂直的．根据以上数据，请你帮助小方同学计算出这个圆弧形门的半径是多少？10．某居民区一处圆形地下水管道破裂，修理工人准备更换一段新管道，经测量得到如图所示的数据，修理工人应准备内径多大的管道？11．在直径为650mm的圆柱形油罐内装进一些油后，其横截面如图，若油面宽AB=600mm，求油的最大深度．12．小明想知道一个大理石球的半径，于是找了两块厚10cm的砖塞在球的两侧（如图），并量的两砖之间的距离是60cm，请你在图中利用所学的几何知识，求出大理石球的半径（要写计算过程）．13．如图，水平放置的圆柱形排水管的截面为⊙O，有水部分弓形的高为2，弦AB=（1）求⊙O的半径；（2）求截面中有水部分弓形的面积．（保留根号及π）14．一种花边是由如图的弓形组成，弧ACB的半径为5，弦AB=8．求弓形的高．15．有一座圆弧形的拱桥，桥下水面宽度8m，拱顶高出水面2m．现有一货船载一货箱欲从桥下经过，已知货箱宽6m，高1.5m（货箱底与水面持平），问该货船能否顺利通过该桥？16．我们在园林游玩时，常见到如图所示的圆弧形的门，若圆弧所在圆与地面BC相切于E点，四边形ABCD是一个矩形．已知AB=米，BC=1米．（1）求圆弧形门最高点到地面的距离；（2）求弧AMD的长．17．一辆卡车装满货物后，高4米，宽2.8米．（1）这辆卡车能通过横截面如图所示（上方是一个半圆）的隧道吗？请说明你的理由；（2）若将此隧道的上部（从边AB、CD的中点起）装上彩灯，请计算彩灯线的总长度L．（结果保留整数）18．如图，是一块残破的圆轮片，A、B、C是圆弧上的三点．（1）作出弧ACB所在的⊙O（不写作法，保留作图痕迹）；（2）如果AC=BC=60cm，∠ACB=120°，求该残破圆轮片的半径．19．某公园中央地上有一个大理石球，小明想测量球的半径，于是找了两块厚10cm的砖塞在球的两侧（如图所示），他量了下两砖之间的距离刚好是60cm，聪明的你也能算出这个大石球的半径了吗？请你建立一个用于求大理石球的几何模型，并写出你的计算过程．20．如图，有一座石拱桥的桥拱是以O为圆心，OA为半径的一段圆弧．（1）请你确定弧AB的中点；（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）（2）如果已知石拱桥的桥拱的跨度（即弧所对的弦长）为24米，拱高（即弧的中点到弦的距离）为8米，求桥拱所在圆的半径．21．如图1是某学校存放学生自行车的车棚的示意图（尺寸如图所示），车棚顶部是圆柱侧面的一部分；图2是车棚顶部截面的示意图．（1）用尺规在图2中作出弧AB所在圆的圆心（保留作图痕迹，不写作法与证明）；（2）车棚顶部是用一种帆布覆盖的，由图1中给出数据求覆盖棚顶的帆布的面积（不考虑接缝等因素，计算结果保留π）．22．如图，一拱形公路桥，圆弧形桥拱的水面跨度AB=80米，桥拱到水面的最大高度为20米．求：（1）桥拱的半径．（2）现有一轮船宽60米，船舱顶部为长方形并高出水面9米要经过这里，这艘轮船能顺利通过吗？23．如图是有一部分埋藏在地下的圆形水管截面的示意图，小明量得这个圆形水管的弦AB=160cm，露出地面部分的高为40cm，求圆形水管的半径．24．小明家在进行新房装修时准备在阳台中间位置做一个圆弧形的观景台．已知阳台的宽为80cm，廊道的宽为60cm，观景台的跨度AB为120cm，观景台的外端到墙壁EF的最近距离为40cm．求设计的圆弧形的观景台的半径应为多少cm？25．如图，一条公路的转变处是一段圆弧（图中的弧AB），点O是这段弧的圆心，C弧AB是上一点，OC⊥AB，垂足为D，AB=300m，CD=50m，求这段弯路的半径．26．一辆装满货物的卡车，高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图所示的某工厂，问这辆卡车能否通过厂门（厂门上方为半圆形拱门）？说明你的理由．27．如图是某公园新建的圆形人工湖．为测量该湖的半径，小强和小丽沿湖边选取A、B、C三根木桩，使得A、B 之间的距离与B、C之间的距离相等，并测得B到AC的距离为3米，AC的长为60米，请你帮他们求出人工湖的半径．28．如图所示，有一圆弧形拱桥，拱的跨度AB=30m，拱形的半径R=30m，则拱形的弧长为多少？29．某地方有座弧形的拱桥，如图，桥下的水面宽为7.2米，拱顶高出水面2.4米，现有一艘宽3米，船舱顶部为长方形并高出水面2米的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座拱形桥吗？30．如图，破残的圆形轮片上，弦AB的垂直平分线交AB于C，交弦AB于D．（1）求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）；（2）若AB=24cm，CD=8cm，求（1）中所作圆的半径．31．如图是无为中学某景点内的一个拱门，它是⊙O的一部分．已知拱门的地面宽度CD=2m，它的最大高度EM=3m，求构成该拱门的⊙O的半径．32．如图是输水管的切面，阴影部分是有水部分，其中水面宽16cm，最深地方的高度是4cm，求这个圆形切面的半径．33．一辆汽车装满货物的卡车，2.5m的高，1.6m的宽，要进厂门形状如图某工厂，问这辆卡车能否通过门？请说明理由．34．在半径为13cm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图．若油面宽AB=24cm，求油的最大深度．35．如图，水平放置的一个油管的截面半径为13cm，其中有油部分油面宽AB为24cm，求截面上有油部分油面高CD（单位：cm）．36．一条排水管的截面如右图所示，截面中有水部分弓形的弦AB为cm，弓形的高为6cm．（1）求截面⊙O的半径．（2）求截面中的劣弧AB的长．37．工程上常用钢珠来测量零件上小孔的直径，假设钢珠的直径是12毫米，测得钢珠顶端离零件表面的距离为9毫米，如图所示，则这个小孔的直径AB是多少毫米？38．如图，是一个直径为650㎜的圆柱形输油管的横截面，若油面宽AB=600㎜，求油面的最大深度．39．如图，半径是13cm圆柱形油槽，装入油后，油深CD为8cm，求油面宽度AB．40．①白云商厦服装柜在销售中发现：“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了迎接“六•一”国际儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存．经市场调查发现：如果每件童装每降价4元，那么平均每天就可多售出8件，要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？②如图，有一圆弧形的拱桥，桥下水面宽度为7.2m，拱顶高出水面2.4m，现有一竹排运送一货箱从桥下经过，已知货箱长10m，宽3m，高2m（竹排与水面持平）．问：该货箱能否顺利通过该桥？41．（1）试找出如图3所示的破残轮片的圆心的位置；（不写作法，保留作图痕迹）（2）如图4，在等边△ABC外接圆劣弧上任取一点P，连接PA、PB、PC，判断结论“PB+PC＞PA”是否正确，若正确请证明，若不正确，请举反例．42．如图为桥洞的形状，其正视图是由圆弧和矩形ABCD构成．O点为所在⊙O的圆心，点O又恰好在AB 为水面处．若桥洞跨度CD为8米，拱高（OE⊥弦CD于点F ）EF为2米．（1）求所在⊙O的半径DO；（2）若河里行驶来一艘正视图为矩形的船，其宽6米，露出水面AB的高度为h米，求船能通过桥洞时的最大高度h．43．如图是团风某座石拱桥的设计图，设计数据如图所示，桥拱是圆弧形，则桥拱的半径为？44．当宽为3cm的刻度尺的一边与⊙O相切时，另一边与圆的两个交点处的读数如图所示（单位：cm），那么该圆的半径为多少cm？45．如图所示，一种花边是由如图弧ACB组成的，弧ACB所在圆的半径为5，弦AB=8，则弓形的高CD为多少？46．如图直径为26cm的圆柱形的油槽内装入一些油以后截面如图所示，若油面宽AB=24cm，求油的最大深度．47．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧AB，点O是这段弧的圆心，AB=300m，C是AB上一点，OC⊥AB，垂足为D，CD=45m，求这段公路的半径．48．某地有一座圆弧形拱桥，圆心为O，桥下水面宽度为7.2m，过O作OC⊥AB于D，交圆弧于C，CD=2.4m（如图所示）．现有一艘宽3m、船舱顶部为正方形并高出水面AB，2m的货船要经过拱桥，此货船能否顺利通过这座拱桥？49．如图，在直径为100mm的半圆铁片上切去一块高为20mm的弓形铁片，求弓形的弦AB的长．50．高速公路上一个隧道的横截面的形状是以O为圆心的圆的一部分（弓形ACB），如图，若路面AB=10米，隧道顶端与路面的最大距离（弓形高）CD=7米，求⊙O的半径．51．小明家位于六朝古都西安，一个星期天的早晨，小明吃过早饭，像往常一样来到菜地，帮助妈妈锄草，“铛”的一声，引起小明的注意，好奇的小明发现草丛下面的土里，有一个圆形的破损的古镜，爱动脑筋的小明想知道这个古镜的半径大小，他在古镜上随意找到了三个点A、B、C．若构成的△ABC恰好是等腰三角形，底边BC=8cm，腰AB=5cm，你能帮忙计算镜子的半径吗？52．将图中的破轮子复原，已知弧上三点A、B、C，（1）画出该轮子的圆心；（用直尺与圆规）（2）若△ABC是等腰三角形，底边BC=10cm，腰AB=6cm，求圆片的半径R．53．如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，∠QON=30°，公路PQ上A处距离O点240米，如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路MN上沿MN方向以72千米/小时的速度行驶时，A处是否会受到噪音影响？若受到影响，求出影响的时间，若不受到影响，请说明理由．54．如图，要把破残的圆形模具复制完整，已知弧上的三点A、B、C；（1）用尺规作图法，找出B、A、C所在圆的圆心（保留作图痕迹，不写作法）（2）若△ABC是等腰直角三角形，腰AB=5cm，求圆形模具中弧AC的长．55．如图是一个装有水的水管的截面，已知水管的直径是100cm，装有水的液面宽度为AB=60cm，则水管中水的最大深度为多少？56．如图，某排水管模截面，已知原有积水的水平面宽CD=0.8m时最大水深0.2m，当水面上升0.2m时水面宽多少？57．如图是一个弓形零件的截面图．已知弓形高为9cm，弦长为6cm，求弓形所在圆的半径．58．如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN=30°．点A处有一所中学，AP=160m，一辆拖拉机从P 沿公路MN前行，假设拖拉机行驶时周围100m以内会受到噪声影响，那么该所中学是否会受到噪声影响，请说明理由，若受影响已知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间为多长？59．如图，两条公路EF和PQ在点O外交汇，∠QOF=30°，在点A处有一栋居民楼，AO=200米，如果公路上的汽车行驶时，周围200米以内会受噪音影响，那么一汽车在公路EF上沿OF的方向行驶时，居民楼是否会受影响？如果这辆汽车的速度是每小时72千米，居民楼受影响的时间约为多少秒？（≈1.732，精确到0.1秒）60．如图所示，某城区的过境公路MN和城区马路PQ在点P处交汇，且∠QPN=30°，现计划在点A（马路PQ边）处建一所中学，AP=160m，假设汽车行驶时，周围100m以内会受到噪声的影响．（1）那么汽车在公路MN上沿PN方向行驶时，学校A是否会受到噪声的影响？请说明理由；（2）如果受到影响，已知汽车的速度限为60km/小时，那么学校受到影响的时间为多少秒？参考答案：1．如图所示：已知AB=16m，半径OA=10m，AB为弦，∴OC垂直平分AB∴AD=AB=8m在Rt△AOD中，由勾股定理可得：OD2=AO2﹣AD2∴OD=6m∴CD=OC﹣OD=4m答：中间柱CD的高度为4m．2．如图，设圆弧所在圆的圆心为O，AB=37.4=14m，CD=34.6=20m，GE=6m．在Rt△OCE中，OE=OC﹣6，CE=10．∵OC2=CE2+OE2，∴OC2=（10）2+（OC﹣6）2．∴OC=28（m）．∴OA=28．在Rt△OAF中，AF=7，∴．∴拱高GF=28﹣21=7（m）．3．如图，AE=AB=16m，CF=CD=12m设OE=x，OF=4+x根据勾股定理R2=AE2+OE2=CF2+OF2即162+x2=122+（4+x）2解得x=12∴R==2020﹣（12+4）=44÷0.25=16∴时间为16小时4．不能通过．设OA=R，在Rt△AOC中，AC=30，CD=18，R2=302+（R﹣18）2，R2=900+R2﹣36R+324解得R=34m连接OM，在Rt△MOE中，ME=16，OE2=OM2﹣ME2即OE2=342﹣162=900，∴OE=30，∴DE=34﹣30=4，∴不能通过．5．（1）∵OE⊥CD于E，CD=16，∴ED=CD=8．在Rt△DOE中，∵sin∠DOE==，∴OD=10（m）；（2）在Rt△DOE中，OE==（m），根据题意知：水面要以每小时0.5m的速度下降，即时间t=6÷0.5=12（小时），故将水排干需12小时．6．过点O作OC⊥AB于D，交⊙O于C，连接OB，∵OC⊥AB∴BD=AB=×16=8cm由题意可知，CD=4cm∴设半径为xcm，则OD=（x﹣4）cm在Rt△BOD中，由勾股定理得：OD2+BD2=OB2（x﹣4）2+82=x2解得：x=10．答：这个圆形截面的半径为10cm．7．设圆形截面的圆心过O作OC⊥AB于D，交弧AB于C，连接AO，（1分）∵OC⊥AB，∴cm．（3分）由题意可知：CD=4cm，设半径为xcm，则OD=（x﹣4）cm在Rt△AOD中，由勾股定理得：OD2+AD2=OA2，∴（x﹣4）2+82=x2．∴x=10．（5分）答：这个圆形截面的半径为10cm．8．过O点作OC⊥AB，连接OB，∴AB=2BC，在Rt△OBC中，BC2+OC2=OB2，∵OB=10，OC=6，∴BC=8，∴AB=16．答：水面宽AB为16．9．∵AB⊥BD，CD⊥BD∴AB∥CD∵AB=CD∴ABCD为矩形∴AC=BD=200cm，GN=AB=CD=20cm∴AG=GC=100cm （3分）设⊙O的半径为R，得R2=（R﹣20）2+1002，解得R=260cm答：这个圆弧形门的半径是260cm10．过O作OD⊥AB于D，设内径为R，则有：AD2=DO2+AO2，故R2=（R﹣10）2+302，解得：R=50．答：修理工人应准备内径为50cm的管道．11．过点O作OD⊥AB于点C，交⊙O于点D，连接OA，由垂径定理得：AC=AB=×600=300（mm），在Rt△ACO中，AC2+OC2=AO2，∴3002+OC2=3252，解得：OC=125mm，∴CD=OD﹣OC=325﹣125=200（mm）．答：油的最大深度是200mm12．连接AC，OA，OB，设⊙O的半径为r，∵AC=60cm，BD=10cm，OB⊥AC，∴AD=AC=×60=30cm，在Rt△ADO中，AD2+OD2=OA2，即302+（r﹣10）2=r2，解得r=50cm．答；大理石球的半径为50cm13．（1）过点O作OC⊥AB于点D ，交于点C，连接OB，设⊙O的半径为r，则OD=r﹣2，∵OC⊥AB，∴BD=AB=×4=2，在Rt△BOD中，∵OD2+BD2=OB2，即（r﹣2）2+（2）2=r2，解得r=4；（2）∵由（1）可知，BD=2，OB=4，∴sin∠BOD===，∴∠BOD=60°，∴∠AOB=2∠BOD=120°，∴S弓形=S扇形AOB﹣S△AOB =﹣×2×2=﹣214．如右图，连接OC、OA，设OC与AB的交点为D点．在Rt△OAD中，OA=5，OD=5﹣CD，AD=AB=4；由勾股定理得：52=（5﹣CD）2+42，解得CD=2．故弓形的高为2．15．作出弧AB所在圆的圆心O，连接OA、ON，则NH=MN=6=3，设OA=r，则OD=OC﹣CD=r﹣2，AD=AB=4，在Rt△AOD中，∵OA2=AD2+OD2，∴r2=42+（r﹣2）2，∴r=5（m）在Rt△ONH中，OH2=ON2﹣NH2∴，∴FN=DH=OH﹣OD=4﹣3=1（m），∵1＜1.5，∴货船不可以顺利通过这座拱桥．16．（1）设圆弧所在圆的圆心为O，连接OE交AD于F，连接OA，如图所示：设⊙O半径为x，则OF=x ﹣米，AF=米在Rt△AOF中x2=（）2+（x ﹣）2解得：x=1 圆弧门最高点到地面的距离为2米．（2）∵OA=1，OF=1﹣=∴∠AOF=30°∴∠AOD=60°（8分）弧AMD的长==米．17．（1）如图，设半圆O的半径为R，则R=2，作弦EF∥AD，且EF=2.8，OH⊥EF于H，连接OF，由OH⊥EF，得HF=1.4，（3分）又OH=，∴此时隧道的高AB+OH＞2.6+1.4=4（米），∴这辆卡车能通过此隧道；（2）L=（AB+CD）+AD=2.6+2π=8.88≈9（米）．18．①如图1所示：②如图2，∵AC=BC=60cm，∠ACB=120°∴∠AOC=∠BOC，又∵AO=CO，CO=BO，∴△AOC≌△COB，∴∠CBO=∠ACO=60°，∵BO=CO，∴∠OBC=∠BCO=60°，∴△OBC是等边三角形，∴半径为60cm．19．根据题意可以建立圆中垂径定理的模型如图：AC=60cm，BD=10cm，设半径为r，∵OB⊥AC，∴，在Rt△ADO中，AD2+OD2=OA2，可得：302+（r﹣10）2=r2，解得r=50cm．答：大理石球的半径为50cm．20．（1）如图：点E即为所求（2）设和AB的交点是D，在直角三角形AOD中，AB=24m，DE=8m，：r2=122+（r﹣8）2解得：r=13cm．答：桥拱所在圆的半径为13cm．21．（1）如图所示：；（2）如（1）中的图，根据垂径定理，得AD=2．设圆的半径是r．在直角三角形AOD中，根据勾股定理，得r2=（r﹣2）2+（2）2，解得r=4．则OD=2．∴∠AOD=60°，∴∠AOB=2∠AOD=120°，则弧AB 的长是=，则覆盖棚顶的帆布的面积是×60=160π（m2）．22．（1）如图，点E是拱桥所在的圆的圆心，作EF⊥AB 于F，延长EF交圆于点D，则由垂径定理知，点F是AB的中点，AF=FB=AB=40，EF=ED﹣FD=AE﹣DF，由勾股定理知，AE2=AF2+EF2=AF2+（AE﹣DF）2，设圆的半径是r，则：r2=402+（r﹣20）2，解得：r=50；（2）货船能顺利通过这座拱桥．理由：连接EM，设MD=30米．∵DE⊥MN，EF=50﹣20=30（m），在Rt△DEM中，DE==40（米），∵DF=DF﹣EF=40﹣30=10（米）∵10米＞9米，∴货船能顺利通过这座拱桥．23．设圆心为O，作OD⊥AB于点D，交圆于点C．∵OC⊥AB，∴BD=AB=×160=80cm，设圆形水管的半径是rcm，则在直角△ODB中，OB=rcm，OD=r﹣40cm．根据勾股定理可以得到：r2=802+（r﹣40）2．解得：r=100cm．24．找AB中点D，作OC垂直AB于D，连OB．OC为⊙O半径，设⊙O半径为x．由图可知，CD=80﹣40=40cm∵D是AB的中点，AB=120cm，∴BD==60cm，∵△BOD是直角三角形，∴OB2=OD2+BD2，即x2=（x﹣40）2+602，x2=x2﹣80x+1600+3600，80x=5200，解得，x=65cm．答：设计的圆弧型的观井台的半径应为65cm．25．∵OC⊥AB，∴BD=AB=×300=150m，∵设这段弯路的半径长是r，则在直角△OBD中，OB=r，OD=r﹣50m，OB2=OD2+BD2，∴r2=1502+（r﹣50）2，解得：r=250m26．这辆卡车能通过厂门．理由如下：如图M，N为卡车的宽度，过M，N作AB的垂线交半圆于C，D，过O作OE⊥CD，E为垂足，则CD=MN=1.6m，AB=2m，由作法得，CE=DE=0.8m，又∵OC=OA=1m，在Rt△OCE中，OE===0.6（m），∴CM=2.3+0.6=2.9m＞2.5m．所以这辆卡车能通过厂门．27．设点O为圆心，连接半径OA、OB、OC，设OB交AC 于点D．∵AB=BC，∴=，∴OB⊥AC，∴∠AOB=∠COB，∵OA=OC，∴AD=CD=30米．设OA=x米，则有x2﹣（x﹣3）2=302，解得x=151.5（米）．故人工湖的半径为151.5米28．过O作OD⊥AB，交AB于点C ，交于点D，如图所示，∴C为AB的中点，即AC=BC=AB=15m，在Rt△AOC中，sin∠AOC===，∴∠AOC=60°，∴∠AOB=2∠AOC=120°，则拱形的弧长l==2π．29．假设圆心在O处，连接OA，OC，过O作OK⊥AB于K，交CD于H，交圆O于G点．设圆O的半径为r，则OA=OG=r，GK=2.4，OK=OG﹣GK=r﹣2.4，又∵AB为7.2米，所以AK=3.6米，在直角三角形AOK中，根据勾股定理得：（r﹣2.4）2+3.62=r2解得：r=3.9，∴OK=3.9﹣2.4=1.5（米），当CD=3米时，HC=1.5米，则OH2=3.92﹣1.52，解得OH=3.6，∴HK=OH﹣OK=3.6﹣1.5=2.1米＞2米．∴此货船能顺利通过这座拱形桥．30．（1）如图：⊙O即为所求；（2）∵AB⊥CD，∴AD=AB=12cm，设OA=x，OD=（x﹣8）cm，∵OA2=OD2+AD2，即x2=144+（x﹣8）2，解得：x=13．∴圆的半径为13．31．连接OC．设⊙O的半径为xm，∵EM⊥CD，∴CM=CD=1m．在Rt△OCM中，由OM2+CM2=OC2，得（3﹣x）2+1=x2．解得：x=．答：构成该拱门的⊙O 的半径为m32．设圆形切面的半径，过点O作OD⊥AB于点D，交⊙O于点E，则AD=BD=AB=×16=8cm，∵最深地方的高度是4cm，∴OD=r=4，在Rt△OBD中，OB2=BD2+OD2，即r2=82+（r﹣4）2，解得r=10（cm）．答：这个圆形切面的半径是10cm．33．这辆卡车能通过厂门．理由如下：如图M，N为卡车的宽度，过M，N作AB的垂线交半圆于C，D，过O作OE⊥CD，E为垂足，则CD=MN=1.6m，AB=2m，由作法得，CE=DE=0.8m，又∵OC=OA=1m，∴OE==0.6m∴CM=0.6+2.3=2.9m＞2.5m∴卡车能通过大门．34．过O作OC⊥AB于C，交优弧AB于D，连OA，如图，∵OA=OD=13cm，AB=24cm，∴AC=BC=12cm，在Rt△AOC中，OA=13，AC=12，∴OC=5，∴CD=5+12=17（cm）．所以油的最大深度为17cm．35．如图；连接OA；根据垂径定理，得AC=BC=12cm；Rt△OAC中，OA=13cm，AC=12cm；根据勾股定理，得：OC==5cm；∴CD=OD﹣OC=8cm；∴油面高为8cm．36．（1）设⊙O半径为r，作OC⊥AB于C点，交弧AB于D点∵AB=12，∴AC=BC=AB=6，∵CD=6，∴，解得：r=12（cm）答：截面⊙O的半径为12cm．（2）连接AD，∵∴AD=OA=OD∴△AOD是等边三角形，∴∠AOD=60°同理∠BOD=60°∴∠AOB=120°∴弧长．答：截面中有水部分弓形的弧AB的长为8πcm．37．如图，设钢珠的圆心为O，过O作OC⊥AB于C，交优弧AB于D，连OC，则OA=12÷2=6mm，CD=9mm，OC=9mm﹣6mm=3mm，∵OC⊥AB，∴CA=CB，在Rt△AOC中，AC===3，∴AB=6mm．所以这个小孔的直径AB是6毫米．38．过点O作OD⊥AB于点D ，交于点F，连接OA，∵AB=600mm，∴AD=300mm，∵底面直径为650mm，∴OA=×650=325mm，∴OD===125mm，∴DF=OF﹣OD=×650﹣125=200mm．答：油面的最大深度为200mm．39．连接OA，故OC⊥AB于点D，由垂径定理知，点D为AB的中点，AB=2AD，∵OA=13cm，∴OD=OC﹣CD=13﹣8=5（cm），由勾股定理知，AD===12（cm），故油面宽度AB=24cm．40．①∵如果每件童装每降价4元，那么平均每天就可多售出8件，∴如果每件童装每降价1元，那么平均每天就可多售出2件，设每件童装应降价x元，根据题意列方程得，（40﹣x）（20+2x）=1200，解得x1=20，x2=10（舍去），答：每件童装应降价20元；②连接OA，OM，设OA=r，ME=2，则OM=r，DG=2，∵AB=7.2，∴AD=3.6，∵CD=2.4，∴OD=r﹣2.4，在Rt△AOD中，∵OA2=AD2+OD2，∴r2=3.62+（r﹣2.4）2，∴r=3.9，OD=3.9﹣2.4=1.5，∴OG=OD+DG=1.5+2=3.5，在Rt△OMG中，MG2=OM2﹣OG2=3.92﹣3.52=2.96，∴MG==，∴MN=2MG=≈3.44＞3，∴该货箱能顺利通过该桥．41．（1）点O就是所求的圆心．（2）在PA上截取PE=PC，连接CE，∵△ABC是等边三角形，∴∠APC=∠ABC=60°，∴△PCE是等边三角形，∴PC=CE，∠PCE=∠ACB=60°，∴∠PCB=∠ACE，∵BC=AC，∠PBC=∠CAE，∴△ACE≌△PBC，∴PB=AE，∴PA=PB+PC．故结论“PB+PC＞PA”不正确42．（1）∵OE⊥弦CD于点F，CD为8米，EF为2米，∴EO垂直平分CD，DF=4m，FO=DO﹣2（m），在Rt△DFO中，DO2=FO2+DF2，则DO2=（DO﹣2）2+42，解得：DO=5；答：所在⊙O的半径DO为5m；（2）如图所示：假设矩形的船为矩形MQRN，船沿中点O为中心通过，连接MO，∵MN=6m，∴MY=YN=3m，在Rt△MOY中，MO2=YO2+NY2，则52=YO2+32，解得：YO=4，答：船能通过桥洞时的最大高度为4m．43．如图，桥拱所在圆心为E，作EF⊥AB，垂足为F，并延长交圆于点H．由垂径定理知，点F是AB的中点．由题意知，FH=10﹣2=8m，则AE=EH，EF=EH﹣HF．由勾股定理知，AE2=AF2+EF2=AF2+（AE﹣HF）2，即AE2=122+（AE﹣8）2，解得：AE=13m．答：桥拱的半径为13m．44．连接OC，交AB于点D，连接OA，由图可得：AB=9﹣1=8（cm），∵刻度尺的一边与⊙O相切，∴OC⊥CE，∵AB∥CE，∴OD⊥AB，∴AD=AB=4cm，设OA=xcm，则OD=（x﹣3）cm，在Rt△OAD中，OA2=OD2+AD2，∴x2=（x﹣3）2+42，解得：x=．∴该圆的半径为cm．45．找出圆心O，连接OA，OC，D必然在OC上，∴OA=OC=5，∵OC⊥AB，AB=8，∴AD=BD=4，在Rt△AOD中，OA=5，AD=4，根据勾股定理得：OD==3，则弓形的高CD=OC﹣OD=5﹣3=2．46．连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，∵AB=24cm，∴BD=AB=×24=12cm，∵⊙O的直径为26cm，∴OB=OC=12cm，在Rt△OBD中，OD===5cm，∴CD=OC﹣OD=13﹣5=8cm．答；油的最大深度为8cm．47．如图，设半径为r，则OD=r﹣CD=r﹣45，∵OC⊥AB，∴AD=BD=AB，∴在Rt△AOD中，AO2=AD2+OD2，即r2=（×300）2+（r﹣45）2=22500+r2﹣90r+2025，90r=24525，解得，r=272.5m．答：这段弯路的半径是272.5m．48．如图，连接ON，OB．∵OC⊥AB，∴D为AB中点，∵AB=7.2m，∴BD=AB=3.6m．又∵CD=2.4m，设OB=OC=ON=r，则OD=（r﹣2.4）m．在Rt△BOD中，根据勾股定理得：r2=（r﹣2.4）2+3.62，解得r=3.9．∵CD=2.4m，船舱顶部为正方形并高出水面AB，2m，∴CE=2.4﹣2=0.4m，∴OE=r﹣CE=3.9﹣0.4=3.5m，在Rt△OEN中，EN2=ON2﹣OE2=3.92﹣3.52=2.96（m2），∴EN=（m）．∴MN=2EN=2×≈3.44m＞3m．∴此货船能顺利通过这座拱桥．49．OA=50mm，CD=20mm∴OD=OC﹣CD=30mm在Rt△AOD中AD==40（mm）∴AB=2AD=80mm．50．∵CD⊥AB且过圆心O，∴AD=AB=×10=5m，设半径为rm，∴OA=OC=rm，∴OD=CD﹣OC=（7﹣r）m，∴在Rt△AOD中，OA2=OD2+AD2，∴r2=（7﹣r）2+52，解得：r=，⊙O 的半径为．51．连接AO，OB，∵△ABC恰好是等腰三角形，∴AB=AC ，∴=，∴AO⊥BC，∵BC=8cm，∴BD=4cm，∵AB=5cm，∴AD==3（cm），设圆片的半径为R，在Rt△BOD中，OD=（R﹣3）cm，∴R2=52+（R﹣3）2，解得：R=8.5（cm），答：圆片的半径R为8.5cm52．（1）如图所示：分别作弦AB和AC的垂直平分线交点O即为所求的圆心；（2）连接AO，OB，∵BC=10cm，∴BD=5cm，垂径定理的应用----21∵AB=6cm，∴AD==cm，设圆片的半径为R，在Rt△BOD中，OD=（R ﹣）cm，∴R2=52+（R ﹣）2，解得：R=cm，∴圆片的半径R 为cm．53．如图：过点A作AC⊥ON，AB=AD=200米，∵∠QON=30°，OA=240米，∴AC=120米，当火车到B点时对A处产生噪音影响，此时AB=200米，∵AB=200米，AC=120米，∴由勾股定理得：BC=160米，CD=160米，即BD=320米，∵72千米/小时=20米/秒，∴影响时间应是：320÷20=16（秒）．54．（1）如图所示：（2）连接AO，∵△ABC是等腰直角三角形，腰AB=5cm，∴AC=5，BC==5，∴AO⊥BC，∴∠AOC=90°，∴圆的半径为：，∴弧AC 的长为：=π．55．连接OA，根据题意得：CD⊥AB，∴AD=AB=×60=30（cm），∵水管的直径是100cm，∴OA=50cm，在Rt△AOD中，OD==40（cm），∴CD=OC+OD=90（cm）．∴水管中水的最大深度为90cm．56．如图，AB为水面上升0.2m时水面宽，CD=0.8m，过O作OH⊥AB于H，交CD于F，交⊙O于E，则EF=0.2m，FH=0.2m，连OA，OC，∵OH⊥AB，∴OF⊥CD，∴CF=DF=0.4m，AH=BH，设⊙O的半径为R，在Rt△OCF中，OF=R﹣0.2，∴R2=（R﹣0.2）2+0.42，解得R=0.5，在Rt△OAH中，OH=R﹣0.4=0.1，∴AH==，∴AB=m．即当水面上升0.2m 时水面宽为m．57．连接OA，过点O作OE⊥AB于点E，∵OE⊥AB，AB=6cm，∴AE=3cm，设弓形所在圆的半径OA=r，则OE=9﹣r，在Rt△AOE中，OA2=OE2+AE2，即r2=（9﹣r）2+32，解得r=5cm．垂径定理的应用----22故弓形所在圆的半径为5cm58．过点A作AB⊥MN于B，∵∠QPN=30°，AP=160m，∴AB=AP=×160=80（m），∵80＜100，∴该所中学会受到噪声影响；以A为圆心，100m为半径作圆，交MN于点C与D，则AC=AD=100m，在Rt△ABC中，BC==60（m），∵AC=AD，AB⊥MN，∴BD=BC=60m，∴CD=BC+BD=120m，∵18km/h=5m/s，∴学校受影响的时间为：120÷5=24（秒）．59．过点A作AD⊥EF，∵∠QOF=30°，AO=200米，∴AD=AO•sin30°=200×=100米＜200米，∴居民楼会受到影响；连接AB，∵OA=200米，AD⊥OB，∴OB=2DO，∵在Rt△AOD中，AO=200米，AD=100米，∴OD===100米，∴OB=200米，∵这辆汽车的速度是每小时72千米=20米/秒，∴=10≈17.3秒．答：居民楼受影响的时间约为17.3秒．60．（1）汽车在公路MN上沿PN方向行驶时，学校A会受到噪声的影响．理由是：过A作AE⊥PN于E，∵∠QPN=30°，AP=160，∴AE=80＜100，∴汽车在公路MN上沿PN方向行驶时，学校A会受到噪声的影响．（2）以A为圆心，以100m为半径作圆，交PN与C、D，连接AC、AD，AC=AD=100，∵AE⊥CD，∴CE=DE==60，∴CD=120m，60KM/小时=m/秒，∴120÷=7.2（秒），答：学校受到影响的时间为7.2秒．垂径定理的应用----23。
《垂径定理》精编测试题及参考答案(教材同步)
《垂径定理》精编测试题及参考答案测试题一1.如图,⊙O的直径CD垂直弦AB于点E,且CE=2,DE=8,求AB的长.2.如图,⊙O的直径AB垂直于弦CD,垂足为E,∠OAC=22.5°,OC=6,求CD 的长.2.在直径为200cm的圆柱形油槽内装入一些油以后,截面如图所示,若油面的宽AB=160cm,求油的最大深度.4.已知如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于E,CD=6,AE=1,求⊙O的直径.5.如图,“今有圆材,埋在壁中,不知大小,以锯锯之,深一寸,锯道长一尺,问径几何.”用几何语言可表述为:CD为⊙O的直径,弦AB⊥CD于E,CE=1寸,AB=10寸,求直径CD的长.̂,点O是这段弧所在圆的圆6.如图,一条公路的转弯处是一段圆AB̂的中点,CD⊥AB且CD=10m,求这段弯路所在圆的心,AB=40m,点C是AB半径.7.如图,CD为⊙O的直径,弦AB⊥CD,垂足为M,若AB=12,OM:MD=5:8,求⊙O的周长.测试题二8.如图,MN是⊙O的直径,矩形ABCD的顶点A、D在MN上,顶点B、C 在⊙O上,若⊙O的半径为5,AB=4,求AD边的长.9.如图,在△ABC中,已知∠ACB=130°,∠BAC=20°,BC=2,以点C为圆心,CB为半径的圆交AB于点D,求BD的长.10.如图,AB是圆O的直径,弦CD⊥AB,垂足为E,连接AC.若∠CAB=22.5º,CD=8cm,求⊙O的半径.11.如图,已知⊙O的半径是5,弦AB与弦CD平行,它们之间距离为5,AB=6,求弦CD的长.12.AB是⊙O的直径,弦CD垂直平分半径OA,若CD长为6,求⊙O的半径.13.如图是一根圆形下水管道的横截面,管内有少量的污水,此时的水面宽AB为0.6米,污水的最大深度为0.1米.(1)求此下水管横截面的半径;(2)随着污水量的增加,水位又被抬升了0.7米,求此时水面的宽度增加了多少?参考答案1.82.√23. 40cm4. 55.136.257.1328.69.2√310.4√211.4√612.2√3 12.0.5 0.2。
垂径定理练习题及答案
垂径定理练习题及答案垂径定理练习题及答案垂径定理是几何学中的一个重要定理，它解决了关于圆的切线和半径之间的关系问题。
在学习和应用垂径定理时，我们需要通过大量的练习题来巩固理论知识，并提高解题能力。
下面将给出一些垂径定理的练习题，并附上详细的解答，希望能对大家的学习有所帮助。
练习题一：在一个圆中，直径为10厘米，且过圆心的直径AC与切线BD相交于点E。
若AC=8厘米，求BE的长度。
解答：根据垂径定理，切线BD与半径AC垂直，所以∠BAC=90°。
由此可知，三角形BAC是一个直角三角形。
根据勾股定理可得：BA²+AC²=BC²代入已知条件，得：BA²+8²=10²化简得：BA²+64=100移项得：BA²=36开方得：BA=6由于∠BAC=90°，所以BE也是直径，即BE=10厘米。
练习题二：在一个圆中，直径为16厘米，切线AB与半径CD相交于点E。
若AE=3厘米，求BE的长度。
解答：同样地，根据垂径定理，切线AB与半径CD垂直，所以∠CAD=90°。
由此可知，三角形CAD是一个直角三角形。
根据勾股定理可得：CA²+AD²=CD²代入已知条件，得：CA²+16²=CD²化简得：CA²+256=CD²移项得：CA²=CD²-256开方得：CA=√(CD²-256)根据垂径定理，AE是半径CD的垂直平分线，所以AE=DE。
又已知AE=3厘米，所以DE=3厘米。
由于∠CAD=90°，所以BE也是直径，即BE=16厘米。
练习题三：在一个圆中，直径为12厘米，切线AB与半径CD相交于点E。
若AE=5厘米，求BE的长度。
解答：同样地，根据垂径定理，切线AB与半径CD垂直，所以∠CAD=90°。
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【基础知识回顾】
一、圆的定义及性质：
1、圆的定义：
⑴形成性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转形成的图形叫做圆，固定的端点叫线段OA叫做
⑵描述性定义：圆是到定点的距离等于的点的集合
【名师提醒：1、在一个圆中，圆心决定圆的半径决定圆的
2、直径是圆中的弦】
2、弦与弧：
弦：连接圆上任意两点的叫做弦
弧：圆上任意两点间的叫做弧，弧可分为、、三类
*
3、圆的对称性：
⑴轴对称性：圆是轴对称图形，有条对称轴的直线都是它的对称轴
⑵中心对称性：圆是中心对称图形，对称中心是
【名师提醒：圆不仅是中心对称图形，而且具有旋转性，即绕圆心旋转任意角度都被与原来的图形重合】
二、垂径定理及推论：
1、垂径定理：垂直于弦的直径，并且平分弦所对的
2、推论：平分弦（）的直径，并且平分弦所对的
【名师提醒：1、垂径定理及其推论实质是指一条直线满足：⑴过圆心⑵垂直于弦⑶平分弦⑷平分弦所对的优弧⑸平分弦所对的劣弧五个条件中的两个，那么可推出其中三个，注意解题过程中的灵活运用
2、圆中常作的辅助线是过圆心作弦的线
3、垂径定理常用作计算，在半径r弦a弦心d和弦h中已知两个可求另外两个】
）
三、圆心角、弧、弦之间的关系：
1、圆心角定义：顶点在的角叫做圆心角
2、定理：在中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量它们所对应的其余各组量也分别
【名师提醒：注意：该定理的前提条件是“在同圆或等圆中”】
四、圆周角定理及其推论：
1、圆周角定义：顶点在并且两边都和圆的角叫圆周角
2、圆周角定理：在同圆或等圆中，圆弧或等弧所对的圆周角都等于这条弧所对的圆心角的
推论1、在同圆或等圆中，如果两个圆周角那么它们所对的弧
推论2、半圆（或直弦）所对的圆周角是900的圆周角所对的弦是
【名师提醒：1、在圆中，一条弦所对的圆心角只有一个，而它所对的圆周角有个，它们的关系是
2、~
3、作直弦所对的圆周角是圆中常作的辅助线】
五、圆内接四边形：
定义：如果一个多边形的所有顶点都在圆上，这个多边形叫做这个圆叫做
性质：圆内接四边形的对角
【名师提醒：圆内接平行四边形是圆内接梯形是】
垂径定理典型例题分析：
例题1、 基本概念
1．下面四个命题中正确的一个是（ ）
A ．平分一条直径的弦必垂直于这条直径
B ．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦
C ．弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心
D ．在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心 \
2．下列命题中，正确的是（ ）．
A ．过弦的中点的直线平分弦所对的弧
B ．过弦的中点的直线必过圆心
C ．弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦，且过圆心
D ．弦的垂线平分弦所对的弧
例题2、垂径定理
1、 在直径为52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油的最大深
度为16cm ，那么油面宽度AB 是________cm.
2、在直径为52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后，，如果油面宽度是48cm ，那么油的
最大深度为________cm.
—
3、如图，已知在⊙O 中，弦CD AB =，且CD AB ⊥，垂足为H ，AB OE ⊥于E ，CD OF ⊥于F .
（1）求证：四边形OEHF 是正方形.
（2）若3=CH ，9=DH ，求圆心O 到弦AB 和CD 的距离.
*
4、已知：△ABC 内接于⊙O ，AB=AC ，半径OB=5cm ，圆心O 到BC 的距离为3cm ，求AB 的长．
5、如图，F 是以O 为圆心，BC 为直径的半圆上任意一点，A 是
的中点，AD ⊥BC 于D ，求证：AD=21BF.
【
A E F
例题3、度数问题
1、已知：在⊙O 中，弦cm 12=AB ，O 点到AB 的距离等于AB 的一半，求：AOB ∠的度数和圆的半径.
2、已知：⊙O 的半径1=OA ，弦AB 、AC 的长分别是2、3.求BAC ∠的度数。
，
例题4、相交问题
如图，已知⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点E ，AE=6cm ，EB=2cm ，∠BED=30°，求CD 的长.
例题5、平行问题
在直径为50cm 的⊙O 中，弦AB=40cm ，弦CD=48cm ，且AB ∥CD ，求：AB 与CD 之间的距离.
-
例题6、同心圆问题
如图，在两个同心圆中，大圆的弦AB ，交小圆于C 、D 两点，设大圆和小圆的
半径分别为b a ,.求证：2
2b a BD AD -=⋅.
%
A B D
E O
作 业：
一、概念题
(
1．下列命题中错误的有（）
（1）弦的垂直平分线经过圆心（2）平分弦的直径垂直于弦
（3）梯形的对角线互相平分（4）圆的对称轴是直径
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
2、⊙O 的直径为10，弦AB 的长为8，M 是弦AB 上的动点，则OM 的长的取值范围是（ ）
（A ）5OM 3≤≤ （B ）5OM 4≤≤
（C ）5OM 3<< （D ）5OM 4<<
3．如图，如果AB 为⊙O 直径，弦AB CD ⊥，垂足为E ，那么下列结论中错误的
是（ ）
A ．DE CE =
B ．
C ．BA
D BAC ∠=∠
D ．AD AC > 【
4．如图，AB 是⊙O 直径，CD 是⊙O 的弦，CD AB ⊥于E ，则图中不大于半圆的相等
弧有（ ）对。
A ．1对
B ．2对
C ．3对
D ．4对
二、垂径定理
1、过⊙O 内一点P 的最长弦为10cm ，最短的弦为6cm ，则OP 的长为 .
2.在⊙O 中，弦AB 长为cm 8，圆心到弦AB 的距离为cm 3，则⊙O 半径长为 cm
3．半径是5cm 的圆中，圆心到cm 8长的弦的距离是 cm
4．如图，有一圆弧形桥拱，拱形的半径m 10=OA ，桥拱的距度16=AB m ，则拱高
_____=CD m.
5．一水平放置的圆柱型水管的横截面如图所示，如果水管横截面的半径是13cm ，水面宽
24=AB ，则水管中水深是_______cm.
/
6．如图，⊙O 的直径⊥CD AB ，垂足为点E ，若8,2==ED CE ，则=AB （ ）
A ．2
B ．4
C ．8
D ．16
7．过⊙O 内一点M 的最长的弦长为4cm ，最短的弦长为2cm ，
则OM 的长为（ ）
A ．3cm
B ．2cm
C ．1
D ．3cm
8．已知：如图，⊙O 中直径AB 垂直于弦CD ，垂足为E ，若6,10==CD AB ，则BE 的长是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
9．已知⊙O 的弦AB 长8cm ，弦心距为3cm ，则⊙O 的直径是（ ）
A ．5cm
B ．10cm
C ．55cm
D ．73cm 10．已知⊙O 的半径为2cm ，弦AB 长32cm ，则这条弦的中点到弦所对劣弧的中点的距离为（ ）
？
A ．1cm
B ．2cm
C ．2cm
D ．3cm
11如图，已知⊙O 的半径为cm 6，两弦AB 与CD 垂直相交于E ，若cm CE 3=，
cm DE 9=，则=AB （ ）
A ．cm 6
B ．cm 33
C ．cm 3
D ．cm 36
三、度数问题
1、在⊙O 中，AB 是弦，C 是AB 的中点，延长OC 交⊙O 于D ．若CD OC =，则AOB ∠的度数是（ ）．
A ．︒90
B ．︒100
C ．︒120
D ．︒60
四、相交问题
1、圆的弦与直径相交成30°角，并且分直径为6cm 和4cm 两部分，则弦心距为（ ）
A ．33
B ．3
C ．2
1 D ．23 五、平行问题
；
1、 圆的两互相平行的弦长分别8cm 1和4cm 2，又两弦之间距离为cm 3，则圆的半径长是 cm
2、 在半径为cm 5的圆内有两条互相平行的弦，弦长分别为cm 8、cm 6，则这两条弦之间的距离为________
六、同心圆
1、如图，在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C 、D 两点，cm 6,cm 10==CD AB ，则AC 的长为（ ）
A ．
B ．1cm
C ．
D ．2cm。