正余弦定理复习教案设计
高三数学总复习 正弦定理和余弦定理教案
高三数学总复习 正弦定理和余弦定理教案教学目标：1、掌握正弦定理和余弦定理的推导，并能用它们解三角形.2、利用正、余弦定理求三角形中的边、角及其面积问题是高考考查的热点．3、常与三角恒等变换相结合，综合考查三角形中的边与角、三角形形状的判断等.教学重点：①能充分应用三角形的性质及有关的三角函数公式证明三角形的边角关系式． ②能合理地选用正弦定理余弦定理结合三角形的性质解斜三角形．③能解决与三角形有关的实际问题．教学难点：①根据已知条件判定解的情形，并正确求解．②将实际问题转化为解斜三角形．教学过程一、基础回顾1、正余弦定理正弦定理：a sinA ＝b sinB ＝c sinC＝2R(其中R 为△ABC 外接圆的半径)． 余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ，b 2＝a 2＋c 2－2accosB ；c 2＝a 2＋b 2－2abcosC2、变形式①a ＝2RsinA ，b ＝2RsinB ，c ＝2RsinC ；(其中R 是△ABC 外接圆半径)②a ∶b ∶c ＝sinA ：sinB ：sinB③cosA ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cosB ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cosC ＝a 2＋b 2－c 22ab. 3、三角形中的常见结论(1) A ＋B ＋C ＝π.(2) 在三角形中大边对大角，大角对大边：A>B a>b sinA>sinB.(3) 任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．(4) △ABC 的面积公式① S ＝12a ·h(h 表示a 边上的高)； ② S ＝12absinC ＝12acsinB ＝12bcsinA ＝abc 4R； ③ S ＝12r(a ＋b ＋c)(r 为内切圆半径)； ④ S ＝P （P －a ）（P －b ）（P －c ），其中P ＝12(a ＋b ＋c)． 二、基础自测1、在△ABC 中，若∠A＝60°，∠B ＝45°，BC ＝32，则AC ＝________．2、在△ABC 中，a ＝3，b ＝1，c ＝2，则A ＝________．3、在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，若a ＝2bcosC ，则此三角形一定是________三角形．4、已知△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，且a 2＋b 2－c 2＝ab ，则∠C＝________．5、在△ABC 中，a ＝32，b ＝23，cosC ＝13，则△ABC 的面积为________．三、典例分析例1 (2013·惠州模拟)△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a .(1)求b a； (2)若c 2＝b 2＋3a 2，求B . 解：(1)由正弦定理，得asin B ＝bsin A ，又asin Asin B ＋bcos 2A ＝2a ，∴bsin 2A ＋bcos 2A ＝2a ，即b ＝2a ，因此b a ＝ 2. (2)由c 2＝b 2＋3a 2及余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝（1＋3）a 2c， (*) 又由(1)知，b ＝2a ，∴b 2＝2a 2，因此c 2＝(2＋3)a 2，c ＝2＋3a ＝3＋12 a. 代入(*)式，得cos B ＝22， 又0＜B ＜π，所以B ＝π4. 规律方法：1．运用正弦定理和余弦定理求解三角形时，要分清条件和目标．若已知两边与夹角，则用余弦定理；若已知两角和一边，则用正弦定理．2．在已知三角形两边及其中一边的对角，求该三角形的其它边角的问题时，首先必须判断是否有解，如果有解，是一解还是两解，注意“大边对大角”在判定中的应用．例2、(2013·合肥模拟)已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(4，－1)，n ＝(cos 2A 2，cos 2A)，且m ·n ＝72. (1)求角A 的大小； (2)若b ＋c ＝2a ＝23，试判断△ABC 的形状．解：(1)∵m ＝(4，－1)，n ＝(cos 2A2，cos 2A )， ∴m ·n ＝4cos 2A 2－cos 2A ＝4·1＋cos A 2－(2cos 2A －1)＝－2cos 2A ＋2cos A ＋3. 又∵m ·n ＝72， ∴－2cos 2A ＋2cos A ＋3＝72，解得cos A ＝12. ∵0＜A ＜π，∴A ＝π3.(2)在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，且a ＝3，∴(3)2＝b 2＋c 2－2bc ·12＝b 2＋c 2－bc . ① 又∵b ＋c ＝23，∴b ＝23－c ，代入①式整理得c 2－23c ＋3＝0，解得c ＝3，∴b ＝3， 于是a ＝b ＝c ＝3，即△ABC 为等边三角形．规律方法：判定三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行转化．无论使用哪种方法，不要随意约掉公因式；要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能．例3、(2012·课标全国卷)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，acos C ＋3asin C －b －c ＝0.(1)求A ；(2)若a ＝2，△ABC 的面积为3，求b ，c.解：(1)由a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0及正弦定理得sin A cos C ＋3sin A sin C －sin B －sin C ＝0.因为B ＝π－A －C ，则sin B ＝sin A cos C ＋cos A sin C . 所以3sin A sin C －cos A sin C －sin C ＝0.由于sin C ≠0，所以sin(A －π6)＝12. 又0<A <π，故A ＝π3. (2)△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝3，故bc ＝4. ① 又a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故b 2＋c 2＝8.② 由①②联立，得b ＝c ＝2.四、练习 变式练习1：(2012·浙江高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且bsin A ＝3acos B.(1)求角B 的大小；(2)若b ＝3，sin C ＝2sin A ，求a ，c 的值．变式练习2：在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2asin A ＝(2b ＋c)sin B ＋(2c ＋b)sin C.(1)求A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状五、作业布置六、板书设计1、正余弦定理2、变形式3、三角形中常用结论典例分析七、教学反思。
江苏正弦定理和余弦定理教案
江苏正弦定理和余弦定理教案一、教学目标：1. 让学生了解正弦定理和余弦定理的定义及应用。
2. 培养学生运用正弦定理和余弦定理解决实际问题的能力。
3. 通过对正弦定理和余弦定理的学习，提高学生的数学思维能力和创新能力。
二、教学内容：1. 正弦定理的定义及证明。
2. 余弦定理的定义及证明。
3. 正弦定理和余弦定理的应用。
4. 相关例题解析。
5. 实践练习。
三、教学重点与难点：1. 正弦定理和余弦定理的推导过程。
2. 灵活运用正弦定理和余弦定理解决实际问题。
四、教学方法：1. 采用讲授法，讲解正弦定理和余弦定理的定义、证明及应用。
2. 利用多媒体展示相关例题，进行解析。
3. 开展小组讨论，让学生互动交流，巩固所学知识。
4. 布置实践练习题，巩固所学内容。
五、教学过程：1. 引入：通过回顾三角形的基本知识，引导学生思考正弦定理和余弦定理的定义。
2. 讲解：详细讲解正弦定理和余弦定理的定义、证明及应用。
3. 例题解析：利用多媒体展示相关例题，进行解析，让学生掌握解题技巧。
4. 小组讨论：让学生围绕例题展开讨论，互相交流解题思路。
5. 实践练习：布置实践练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。
6. 总结：对本节课的内容进行归纳总结，强调重点知识点。
7. 作业布置：布置课后作业，巩固所学内容。
8. 课后反思：教师对本节课的教学效果进行反思，为下一步教学做好准备。
六、教学评价：1. 课后作业：通过课后作业的完成情况，评估学生对正弦定理和余弦定理的理解和应用能力。
2. 课堂练习：通过课堂练习的实时反馈，了解学生在学习过程中的掌握情况，及时调整教学方法。
3. 小组讨论：观察学生在小组讨论中的参与程度和思考深度，评估他们的合作能力和问题解决能力。
4. 期中期末考试：通过期中期末考试的正弦定理和余弦定理部分，全面评估学生的学习成果。
七、教学资源：1. 教材：选用权威的数学教材，提供正弦定理和余弦定理的基础知识。
2. 多媒体课件：制作精美的多媒体课件，通过动画、图像等形式直观展示正弦定理和余弦定理的应用。
正弦定理和余弦定理的运用教案
正弦定理和余弦定理的运用教案正文：正弦定理和余弦定理的运用教案一、教学目标1. 理解正弦定理和余弦定理的含义和基本公式；2. 掌握正弦定理和余弦定理在解决三角形相关问题中的应用方法；3. 培养学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力。
二、教学重点1. 正弦定理的推导和应用；2. 余弦定理的推导和应用。
三、教学难点1. 正弦定理和余弦定理的理解和记忆；2. 通过具体问题实际运用，使学生深入理解定理的应用方法。
四、教学准备1. 教材：三角函数学科教材；2. 工具：投影仪、黑板、粉笔、直尺、量角器。
五、教学过程Ⅰ. 导入（10分钟）1. 教师简要复习三角比的概念和计算方法；2. 教师引导学生思考：在已知某一角的情况下，如何确定三角形的边长呢？Ⅱ. 正弦定理的推导和应用（20分钟）1. 教师通过投影仪展示正弦定理的基本公式：a/sinA = b/sinB =c/sinC；2. 教师讲解正弦定理的推导过程，并与学生一同完成推导；3. 教师给出具体问题，引导学生运用正弦定理解决问题，并逐步引导学生总结出应用方法。
Ⅲ. 余弦定理的推导和应用（20分钟）1. 教师通过投影仪展示余弦定理的基本公式：c² = a² + b² - 2abcosC；2. 教师讲解余弦定理的推导过程，并与学生一同完成推导；3. 教师给出具体问题，引导学生运用余弦定理解决问题，并逐步引导学生总结出应用方法。
Ⅳ. 正弦定理和余弦定理的综合应用（25分钟）1. 教师给出一些复合问题，要求学生结合正弦定理和余弦定理解决问题；2. 学生分组讨论、解答问题，并在黑板上展示解题过程；3. 教师组织学生展示解题思路和方法，并针对不同解题方法进行及时点评。
Ⅴ. 拓展应用（15分钟）1. 教师布置一些拓展性应用题，要求学生在课后完成；2. 学生自主学习拓展内容，并在下节课讲解时与教师进行互动讨论。
Ⅵ. 总结与作业（10分钟）1. 教师对本节课的要点进行总结，并强调正弦定理和余弦定理的重要性；2. 布置作业：完成课后习题，复习和巩固所学知识。
江苏正弦定理和余弦定理教案
江苏正弦定理和余弦定理教案一、教学目标1. 让学生掌握正弦定理和余弦定理的定义及表达式。
2. 培养学生运用正弦定理和余弦定理解决实际问题的能力。
3. 引导学生通过观察、分析、归纳和验证等方法，深入理解正弦定理和余弦定理的内在联系。
二、教学内容1. 正弦定理：在三角形中，各边的长度与其对角的正弦值成比例。
2. 余弦定理：在三角形中，各边的平方和等于其他两边平方和与这两边夹角余弦值的乘积的两倍。
三、教学重点与难点1. 教学重点：正弦定理和余弦定理的定义及应用。
2. 教学难点：正弦定理和余弦定理的推导过程及其在实际问题中的应用。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生通过观察、分析、归纳和验证等方法，探索正弦定理和余弦定理。
2. 利用多媒体课件，直观展示正弦定理和余弦定理的推导过程。
3. 设计具有代表性的例题，讲解正弦定理和余弦定理在解决实际问题中的应用。
4. 组织学生进行小组讨论和探究，提高学生的合作能力和解决问题的能力。
五、教学过程1. 导入新课：通过展示三角形模型，引导学生思考三角形中的几何关系。
2. 探究正弦定理：让学生观察三角形模型，引导学生发现各边长度与对角正弦值的关系，进而总结出正弦定理。
3. 验证正弦定理：让学生运用正弦定理解决具体问题，验证其正确性。
4. 探究余弦定理：引导学生观察三角形模型，发现各边平方和与夹角余弦值的关系，总结出余弦定理。
5. 验证余弦定理：让学生运用余弦定理解决具体问题，验证其正确性。
6. 总结正弦定理和余弦定理：引导学生对比总结两个定理的异同点。
7. 巩固练习：设计具有针对性的练习题，让学生巩固正弦定理和余弦定理的应用。
8. 拓展与应用：引导学生运用正弦定理和余弦定理解决实际问题，提高学生的应用能力。
六、教学评价1. 课堂讲解：评价学生对正弦定理和余弦定理的理解程度，以及运用这两个定理解决问题的能力。
2. 练习题：通过布置练习题，检验学生对正弦定理和余弦定理的掌握情况。
《正弦定理和余弦定理》复习课教学设计
《正弦定理和余弦定理》复习课教学设计《正弦定理和余弦定理》复习课教学设计教材分析这是高三一轮复习，内容是必修5第一章解三角形。
本章内容准备复习两课时。
本节课是第一课时。
标要求本章的中心内容是如何解三角形，正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，最后应落实在解三角形的应用上。
通过本节学习，学生应当达到以下学习目标：（1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理解三角形。
（2）能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法判断三角形形状的问题。
本章内容与三角函数、向量联系密切。
作为复习课一方面将本章知识作一个梳理，另一方面通过整理归纳帮助学生进一步达到相应的学习目标。
学情分析学生通过必修5的学习，对正弦定理、余弦定理的内容已经了解，但对于如何灵活运用定理解决实际问题，怎样合理选择定理进行边角关系转化从而解决三角形综合问题，学生还需通过复习提点有待进一步理解和掌握。
教学目标知识目标：（1）学生通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦、余弦定理的内容及其证明方法；会运用正、余弦定理与三角形内角和定理，面积公式解斜三角形的两类基本问题。
（2）学生学会分析问题，合理选用定理解决三角形综合问题。
能力目标：培养学生提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力，培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力，培养学生合情推理探索数学规律的数学思维能力。
情感目标：通过生活实例探究回顾三角函数、正余弦定理，体现数学来源于生活，并应用于生活，激发学生学习数学的兴趣，并体会数学的应用价值，在教学过程中激发学生的探索精神。
教学方法探究式教学、讲练结合重点难点1、正、余弦定理的对于解解三角形的合理选择；2、正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用。
教学策略1、重视多种教学方法有效整合；2、重视提出问题、解决问题策略的指导。
3、重视加强前后知识的密切联系。
4、重视加强数学实践能力的培养。
5、注意避免过于繁琐的形式化训练6、教学过程体现“实践→认识→实践”。
正余弦定理解三角形复习教案
6. 在△ABC 中，b = 8，c =38，S △ABC =316，则∠A 等于( )A. 30 ºB. 60ºC. 30º 或 150ºD. 60º 或120º7、在△ABC 中，已知B=30°, b=503 ,c=150，那么这个三角形是 （ ） A ．等边三角形 B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形8、在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c,A=3π,a=3,b=1，则c= (A) 1 （B ）2 （C ）3—1 （D ）39.在△AOB 中，()2cos 2sin OA αα=，，()5cos 5sin OB ββ=，，若5OA OB =，则AOB S △等于（ ）Ａ．3Ｂ．32Ｃ．53Ｄ．53210. 在ABC △中，cos cos sin sin A B A B >，则ABC △是（ ） Ａ．锐角三角形 Ｂ．直角三角形 Ｃ．钝角三角形 Ｄ．正三角形 11.ABC ∆中，3π=A ，BC ＝3，则ABC ∆的周长为（ ）A ．33sin 34+⎪⎭⎫⎝⎛+πB B ．36sin 34+⎪⎭⎫ ⎝⎛+πB C ．33sin 6+⎪⎭⎫ ⎝⎛+πB D ．36sin 6+⎪⎭⎫ ⎝⎛+πB 12．在△ABC 中，A ＝60°，b ＝1，S ABC △=3，求a b cA B C++++sin sin sin 的值。
13.在△ABC 中，若a bAB 22=tan tan ，试判断△ABC 的形状。
14.在△ABC 中，αβcos cos A b =，判断△ABC 的形状。
二．余弦定理1、余弦定理：在C ∆AB 中，有2222cos a b c bc =+-A ，2222cos b a c ac =+-B ，2222cos c a b ab C =+-．2、余弦定理的推论：222cos 2b c a bc +-A =，222cos 2a c b ac +-B =，222cos 2a b c C ab+-=．3、设a 、b 、c 是C ∆AB 的角A 、B 、C 的对边，则：①若222a b c +=，则90C =；②若222a b c +>，则90C <；③若222a b c +<，则90C >．典型例题：1．在△ABC 中，若8,3,7===c b a ，则其面积等于（ ） A ．12 B ．221C ．28D ．36Ｂ．直角三角形ABC中，(1)求sin B的值；b=ABC的面积。
高中数学正余弦定理教案模板(精选7篇)-最新
高中数学正余弦定理教案模板（精选7篇）作为一位杰出的老师，时常要开展教案准备工作，编写教案有利于我们准确把握教材的重点与难点，进而选择恰当的教学方法。
如何把教案做到重点突出呢？这里给大家分享一些关于高中数学余弦定理教案，方便大家学习。
下面是的为您带来的7篇《高中数学正余弦定理教案模板》，希望能够对困扰您的问题有一定的启迪作用。
余弦定理教案篇一今天我说课的内容是余弦定理，本节内容共分3课时，今天我将就第1课时的余弦定理的证明与简单应用进行说课。
下面我分别从教材分析。
教学目标的确定。
教学方法的选择和教学过程的设计这四个方面来阐述我对这节课的教学设想。
一、教材分析本节内容是江苏教育出版社出版的普通高中课程标准实验教科书《数学》必修五的第一章第2节，在此之前学生已经学习过了勾股定理。
平面向量、正弦定理等相关知识，这为过渡到本节内容的学习起着铺垫作用。
本节内容实质是学生已经学习的勾股定理的延伸和推广，它描述了三角形重要的边角关系，将三角形的“边”与“角”有机的联系起来，实现边角关系的互化，为解决斜三角形中的边角求解问题提供了一个重要的工具，同时也为在日后学习中判断三角形形状，证明三角形有关的等式与不等式提供了重要的依据。
在本节课中教学重点是余弦定理的内容和公式的掌握，余弦定理在三角形边角计算中的运用；教学难点是余弦定理的发现及证明；教学关键是余弦定理在三角形边角计算中的运用。
二、教学目标的确定基于以上对教材的认识，根据数学课程标准的“学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者。
引导者与合作者”这一基本理念，考虑到学生已有的认知结构和心理特征，我认为本节课的教学目标有：1、知识与技能：熟练掌握余弦定理的内容及公式，能初步应用余弦定理解决一些有关三角形边角计算的问题；2、过程与方法：掌握余弦定理的两种证明方法，通过探究余弦定理的过程学会分析问题从特殊到一般的过程与方法，提高运用已有知识分析、解决问题的能力；3、情感态度与价值观：在探究余弦定理的过程中培养学生探索精神和创新意识，形成严谨的数学思维方式，培养用数学观点解决问题的能力和意识、三、教学方法的选择基于本节课是属于新授课中的数学命题教学，根据《学记》中启发诱导的思想和布鲁纳的发现学习理论，我将主要采用“启发式教学”和“探究性教学”的教学方法即从一个实际问题出发，发现无法使用刚学习的正弦定理解决，造成学生在认知上的冲突，产生疑惑，从而激发学生的探索新知的欲望，之后进一步启发诱导学生分析，综合，概括从而得出原理解决问题，最终形成概念，获得方法，培养能力。
高三数学总复习---正弦定理和余弦定理教案
第七讲 正弦定理和余弦定理教学目标：1、掌握正弦定理和余弦定理的推导，并能用它们解三角形.2、利用正、余弦定理求三角形中的边、角及其面积问题是高考考查的热点．3、常与三角恒等变换相结合，综合考查三角形中的边与角、三角形形状的判断等.教学重点：①能充分应用三角形的性质及有关的三角函数公式证明三角形的边角关系式． ②能合理地选用正弦定理余弦定理结合三角形的性质解斜三角形． 教学难点：①根据已知条件判定解的情形，并正确求解．②将实际问题转化为解斜三角形．课型及课时：复习课，2课时（第一课时）教学过程一、教材回顾，追根溯源1、正余弦定理正弦定理：a sinA ＝b sinB ＝c sinC＝2R(其中R 为△ABC 外接圆的半径)． 余弦定理 a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ，b 2＝a 2＋c 2－2accosB ，c 2＝a 2＋b 2－2abcosC 变形式①a ＝2RsinA ，b ＝2RsinB ，c ＝2RsinC ；(其中R 是△ABC 外接圆半径)②a ∶b ∶c ＝sinA ：sinB ：sinB③cosA ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cosB ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cosC ＝a 2＋b 2－c 22ab. 2、正、余弦定理的作用正弦定理主要解决以下两类问题：（1）已知两角及任一边求解三角形； （2）已知两边及其一边的对角求解三角形。
余弦定理主要解决以下三类问题：（1）已知两边及其夹角求解三角形； （2）已知三边求解三角形。
（3）已知两边及其一边的对角求解三角形。
3、 △ABC 的面积公式① S ＝12a ·h(h 表示a 边上的高)； ② S ＝12absinC ＝12acsinB ＝12bcsinA ＝abc 4R； ③ S ＝12r(a ＋b ＋c)(r 为内切圆半径)； ④ S ＝P （P －a ）（P －b ）（P －c ），其中P ＝12(a ＋b ＋c)． 二、走进考纲，解读高考三、双基自测，夯实基础1、（教材习题改编）在△ABC 中，A ＝45°，C ＝30°，c ＝6，则a 等于( )A ．3 2B ．62C ． 2 6D ．3 62、（教材习题改编）在△ABC 中，已知a ＝5，b ＝7，c ＝8，则A ＋C ＝( )A ．90°B ．120°C ．135°D ．150°3、已知a 、b 、c 分别为△ABC 三个内角A 、B 、C 的对边，若cos B ＝45，a ＝10，△ABC 的面积为42，则c ＝_______四、直击高考，突破考点高频考点：利用正、余弦定理解三角形，三角形的面积公式利用正、余弦定理解三角形和三角形的面积公式都是高考的热点，三种题型在高考中时有出现，其试题为中档题．高考对该考点的考查有以下两个命题角度：(1)由已知求边、角、面积；(2)已知面积求边、角、周长等．例1 （2017高考全国乙卷）17．（12分）ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()2sin 8sin 2B AC +=． （1）求cos B ；（2）若6a c +=，ABC △的面积为2，求b ．跟踪训练 1、(2016·高考全国卷乙，T17)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos C (a cos B ＋b cos A )＝c .(1)求C ；(2)若c ＝7，△ABC 的面积为332，求△ABC 的周长.【解】 (1)由已知及正弦定理得，2cos C (sin A cos B ＋sin B cos A )＝sin C ，2cos C sin(A ＋B )＝sin C ，故2sin C cos C ＝sin C ．可得cos C ＝12，所以C ＝π3. (2)由已知，12ab sin C ＝332.又C ＝π3，所以ab ＝6.由已知及余弦定理得，a 2＋b 2－2ab cos C ＝7，故a 2＋b 2＝13，从而(a ＋b )2＝25. 所以△ABC 的周长为5＋7.2、(2017·重庆第一次适应性测试)在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos(B＋C)＝－33sin 2A．(1)求A；(2)设a＝7，b＝5，求△ABC的面积．[解] (1)由cos(B＋C)＝－33sin 2A可得，－cos A＝－33sin 2A，所以cos A＝33×2sin A cos A，因为△ABC为锐角三角形，所以cos A≠0，故sinA＝32，从而A＝π3.(2)因为A＝π3，故cos A＝12，由余弦定理可知，a2＝b2＋c2－2bc cos A，即49＝25＋c2－5c，所以c2－5c－24＝0，解得c＝－3(舍去)，c＝8，所以△ABC的面积为12bc sin A＝12×5×8×32＝10 3.五、归纳小结，掌握技巧解题策略(1)解三角形时，如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；如果式子中含有角的余弦或二次式时，要考虑用余弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到。
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正弦、余弦定理一. 教学内容： 正弦、余弦定理 二. 教学重、难点： 1. 重点：正弦、余弦定理。
2. 难点：运用正、余弦定理解决有关斜三角形问题。
一、正弦定理和余弦定理1、正弦定理和余弦定理 cos ,cos ,cos .bc A ac B ab C 注：在ΔABC 中，sinA>sinB 是A>B 的充要条件。
（∵sinA>sinB ⇔22R R>⇔a>b ⇔A>B ）二、应用举例1、实际问题中的常用角 （1）仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下文的叫俯角（如图①）（2）方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B 点的方位角为α（如图②）注：仰角、俯角、方位角的区别是：三者的参照不同。
仰角与俯角是相对于水平线而言的，而方位角是相对于正北方向而言的。
（3）方向角：相对于某一正方向的水平角（如图③）①北偏东α即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向； ②北偏本α即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向；③南偏本等其他方向角类似。
（4）坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数（如图④，角θ为坡角） 坡比：坡面的铅直高度与水平长度之比（如图④，i 为坡比） 2、ΔABC 的面积公式（1）1()2a a S a h h a =表示边上的高； （2）111sin sin sin ()2224abcS ab C ac B bc A R R ====为外接圆半径；（3）1()()2S r a b c r =++为内切圆半径。
【典型例题】[例1] 已知在ABC ∆中，︒=∠45A ，2=a ，6=c 解此三角形。
练习：不解三角形，判断下列三角形解的个数。
（1）5=a ，4=b ，︒=120A （2）7=a ，14=b ，︒=150A （3）9=a ，10=b ，︒=60A （4）50=c ，72=b ，︒=135C正弦定理余弦定理的应用：例2：在ABC∆中，角,,A B C 所对的边分,,a b c .若cos sin a A b B =，则2s i n c o sc o s AA B +=（ ）A ．12 B ．12C ． -1D ． 1 练习：在△ABC 中，222sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-，则A 的取值范围是（A ）(0,]6π（B ）[,)6ππ（C ）(0,]3π（D ）[,)3ππ利用正弦定理余弦定理判断三角形的形状及求取值范围[例3]若△ABC 的三个内角满足sin :sin :sin 5:11:13A B C =则△ABC A ．一定是锐角三角形. B ．一定是直角三角形.C ．一定是钝角三角形.D ．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形. 练习：1、在锐角△ABC 中，BC ＝1，B ＝2A ，则ACcos A的值等于______，AC 的取值范围为______． 2、在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，π3＜C ＜π2且b a －b ＝sin2C sin A －sin2C(1)判断△ABC 的性状；(2)若|BA ＋BC |＝2，求BA ·BC 的取值范围．3、在△ABC 中，cos 2B 2＝a ＋c 2c，(a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，则△ABC 的形状为( )A ．正三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．等腰直角三角形利用正余弦定理求三角形面积〖例4〗（2009浙江文）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足cos2A =，3AB AC ⋅=．（I ）求ABC ∆的面积； （II ）若1c =，求a 的值．练习：在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，且满足cos 25A =，3AB AC ⋅=． （I ）求ABC ∆的面积； （II ）若6b c +=，求a 的值．正余弦定理实际应用问题 〖例5〗（本小题满分12分）如图，A ，B 是海面上位于东西方向相距5(3＋3)海里的两个观测点，现位于A 点北偏东45°，B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60°且与B 点相距203海里的C 点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/时，该救援船到达D 点需要多长时间？ 已知在ABC ∆中，︒=∠45A ，2=a ，6=c 解此三角形。
解：由余弦定理得：445cos 62)6(22=︒⋅-+b b∴ 02322=+-b b ∴ 13±=b又 C b b cos 222)6(222⨯-+= ∴ 21cos ±=C ，︒=∠60C 或︒=∠120C∴ ︒=∠75B 或︒=∠15B ∴ 13+=b ，︒=∠60C ，︒=∠75B 或13-=b ，︒=∠120C ，︒=∠15B[例4] 已知a 、b 、c 是ABC ∆中，A ∠、B ∠、C ∠的对边，S 是ABC ∆的面积，若4=a ，5=b ，35=S ，求c 的长度。
解：∵ 4=a ，5=b ，35sin 21==C ab S∴23sin =C ∴ ︒=60C 或︒120∴ 当︒=60C 时，21222=-+=ab b a c ∴ 21=c当︒=120C 时，61222=++=ab b a c ∴ 61=cBDCA即4)(2≤+c a ∴ 2≤+c a 又1>+c a ∴ 21≤+<c a[例6] 在ABC ∆中，已知)13(-=a b ，︒=30C ，求A 、B 。
解：由余弦定理，ab c b a C 22330cos cos 222-+==︒=∴)13(3)324(2222-=--+a c a a ∴ 22)32(a c -= ∴aa c 21332-=-=由正弦定理：︒-=-=30sin 213sin )13(sin aB a A a ∴2230sin 2sin =︒=B∵ b a > ∴ B A > ∴ B 为锐角 ∴ ︒=45B ∴ ︒=︒+︒-︒=105)3045(180A[例7] 已知ABC ∆中，B b aC A sin )()sin (sin 2222-=-，外接圆半径为2。
（1）求C ∠（2）求ABC ∆面积的最大值 解：（1）由B b aC A sin )()sin (sin 2222-=- ∴R b b a R c R a 2)()44(22222-=-2 ∴ 2=R ∴ 222b ab c a -=- ∴ ab c b a =-+222∴212cos 222=-+=ab c b a C 又 ︒<<︒1800C ∴ ︒=60C（2）B A abC ab S sin sin 322321sin 21=⨯==)sin 120cos cos 120(sin sin 32)120sin(sin 32A A A A A ︒-︒=-︒⋅=232cos 232sin 23sin 3cos sin 32+-=+=A A A A A23)302sin(3+︒-=A∴ 当︒=1202A 即︒=60A 时，233max =S[例8] 在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c 依次成等比数列，求BB B y cos sin 2sin 1++=的取值范围。
解：∵ ac b =2∴2121)(2122cos 22222≥-+=-+=-+=a c c a acacc a acb c a B∴30π≤<B)4sin(2cos sin cos sin )cos (sin cos sin 2sin 12π+=+=++=++=B B B B B B B B B B y∵ πππ12744<+<B ∴ 1)4sin(22≤+<πB ∴ 21≤<y[例9] 在ABC ∆中，若三边长为连续三个正整数，最大角是钝角，求此最大角。
解：设1-=k a ，k b =，1+=k c ，*N k ∈且1>k∵ C 是钝角 ∴ 0)1(242cos 222<--=-+=k k ab c b a C解得41<<k ∵ *N k ∈ ∴ 2=k 或3 当2=k 时，1cos -=C （舍去）当3=k 时，41cos -=C ∴ )41arccos(-=c∴ 最大角为)41arccos(-【模拟试题】（答题时间：60分钟）一. 选择题：1. 在ABC ∆中，一定成立的等式是（ ） A. B b A a sin sin = B. B b A a cos cos = C. A b B a sin sin =D. A b B a cos cos =2. 在ABC ∆中，若a bB A =cos cos ，则ABC ∆是（ ）A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 直角三角形D. 等腰或直角三角形 3. 已知ABC ∆中，AB=1，BC=2，则C ∠的取值范围是（ ）A.]6,0(πB.)2,0(πC. ]2,6(ππ D. ]3,6(ππ4. ABC ∆中，若A b a sin 23=，则B 为（ ）A. 3πB. 6πC. 3π或π32D. 6π或π655. ABC ∆的三边满足ab c b a c b a 3))((=-+++，则C ∠等于（ ） A. ︒15 B. ︒30 C. ︒45 D. ︒606. 在ABC ∆中，AB=3，BC=13，AC=4，则边AC 上的高为（ ）A. 223B. 233C. 23D. 337. ABC ∆中，“B A sin sin =”是“A=B ”的（ ）条件A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要8. ABC ∆中，C C B B A 222sin sin sin sin sin ++=，则A 等于（ ）A. ︒30B. ︒60C. ︒120D. ︒1509. ABC ∆中，︒=30B ，350=b ，150=c ，则这个三角形是（ ） A. 等边三角形 B. Rt 三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰或直角三角形10. 在ABC ∆中，kC cB b A a ===sin sin sin ，则k =（ ） A. 2R B. R C. 4R D. 21R二. 填空：1. 在ABC ∆中，已知7=a ，8=b ，1413cos =C ，则最大角的余弦值为 。
2. 在ABC ∆中，C B A sin cos 2sin =，则三角形为 。
3. 在ABC ∆中，:6:)13(::+=c b a 2，则最小角为 。
4. 若)(341222a c b S -+=∆，则A= 。