余弦定理 优质课
全国高中数学优质课 余弦定理教学设计
《余弦定理》教学设计一、教学内容解析本节内容选自普通高中课程标准实验教科书人教A版《数学》必修5第一章《解三角形》第一节正弦定理和余弦定理。
第一节约4课时，2课时通过探究证明正弦定理，应用正弦定理解三角形；2课时通过探究证明余弦定理，应用余弦定理解三角形。
本节课是余弦定理的第一课时，属于定理教学课。
正余弦定理是定量研究三角形边角关系的基础，它们为解三角形提供了基本方法，为后续解决测量等实际问题提供了理论基础和操作工具。
余弦定理是继正弦定理之后的解三角形又一有力工具，完善了解三角形体系，为解决三角形的边角关系提供了新的方法；是对任意三角形“边、角、边”和“边、边、边”问题进行量化分析的结果，将两种判定三角形全等的定性定理转化为可计算的公式。
纵观余弦定理的发展史，它的雏形出现公元前3世纪。
在欧几里得《几何原本》卷二对钝角三角形和锐角三角形三边关系的阐述中，利用勾股定理将余弦定理的几何形式进行了证明。
1593年，法国数学家韦达首次将欧几里得的几何命题写成了我们今天熟悉的余弦定理的三角形式，直到20世纪，三角形式的余弦定理才一统天下。
“余弦定理是作为勾股定理的推广而诞生的，以几何定理的身份出现，直到1951年，美国数学家荷尔莫斯在其《三角学》中才真正采用解析几何的方法证明了余弦定理，至于向量方法的出现，更是晚近的事了。
”从新旧教材的内容设计对比来看，无论是问题的提出，定理的证明，简单应用都呈现出变化。
旧教材数学第二册（下）中，余弦定理被安排在第五章《平面向量》的第二节解斜三角形中。
基于特殊到一般的数学思想，从直角三角形切入，提出问题后，直接用向量的方法推导定理。
新教材将余弦定理安排在独立章节《解三角形》中,首先给出探究：如果已知一个三角形的两边及其所夹的角，根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形，从量化的角度研究这个问题，也为余弦定理解三角形的类型做了铺垫。
在定理的推导过程中，同样用了向量方法，但在推导前提出思考：联系已经学过的知识，我们从什么途径来解决这个问题？新教材还结合余弦定理和余弦函数的性质，分别对三种形状的三角形进行了量化分析，旧教材没有涉及此内容。
《余弦定理》优质获奖精品教案 (7)
课题: §1.1.2余弦定理授课类型：新授课●教学目标 知识与技能：掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。
过程与方法：利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题 情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一。
●教学重点余弦定理的发现和证明过程及其基本应用； ●教学难点勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。
●教学过程 Ⅰ.课题导入C如图1．1-4，在∆ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c,已知a,b 和∠C ，求边c b aA c B(图1．1-4)Ⅱ.讲授新课 [探索研究]联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？ 用正弦定理试求，发现因A 、B 均未知，所以较难求边c 。
由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。
A如图1．1-5，设CB a =，CA b =，AB c =，那么c a b =-，则 b c()()2222 2c c c a b a ba ab b a ba b a b=⋅=--=⋅+⋅-⋅=+-⋅ C a B从而 2222cos c a b ab C =+- (图1．1-5)同理可证 2222cos a b c bc A =+-2222cos b a c ac B =+-于是得到以下定理余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。
即 2222cos a b c bc A =+-2222cos b a c ac B =+-2222cos c a b ab C =+-思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？（由学生推出）从余弦定理，又可得到以下推论：222cos 2+-=b c a A bc 222cos 2+-=a cb B ac 222cos 2+-=b ac C ba[理解定理]从而知余弦定理及其推论的基本作用为：①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边； ②已知三角形的三条边就可以求出其它角。
第1课时 余弦定理(优秀经典公开课课件)
a2＋c2－b2
cos B＝______2_a_c_________，
a2＋b2－c2 cos C＝______2_a_b_________
导学 2 解三角形 一般地，三角形的三个角 A，B，C 和它们的对边 a，b，c 叫做三角形的 __元__素____．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做___解__三__角__形___．
题型三 判断三角形的形状(一题多变) [例 3] 在△ABC 中，若(a－c·cos B)·b＝(b－c·cos A)·a，判断△ABC 的形状．
[解析] (角化边)∵(a－c·cos B)·b＝(b－c·cos A)·a， ∴由余弦定理可得a－c·a2＋2ca2c－b2·b＝b－c·b2＋2cb2c－a2·a， 整理得(a2＋b2－c2)b2＝(a2＋b2－c2)a2， 即(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0， ∴a2＋b2－c2＝0 或 a2＝b2. ∴a2＋b2＝c2 或 a＝b. 故△ABC 为直角三角形或等腰三角形．
[基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)在三角形中，勾股定理是余弦定理针对直角三角形的一个特例．( ) (2)余弦定理只适用于已知三边和已知两边及夹角的情况．( ) (3)已知三角形的三边求三个内角时，解是唯一的．( ) (4)在△ABC 中，若 b2＋c2＞a2，则∠A 为锐角．( )
A．60°
B．45°或 135°
C．120°
D．30°
(2)△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 b2＝ac，c＝2a，则 cos
B＝( )
A．41
B．43
C．
2 4
D．
2 3
解析 (1)∵c2＝a2＋b2－2abcos C， ∴a2－c2＋b2＝2abcos C． ∴ab＝2abcos C． ∴cos C＝21.∴C＝60°. (2)cos B＝a2＋2ca2c－b2＝a2＋24aa·22－a 2a2＝43. 答案 (1)A (2)B
余弦定理优质示范课市公开课一等奖课件名师大赛获奖课件
c2 a2 b2 2ab cos C
c
解法一：向量法
AB CB CA
﹚
2
2
c | AB | AB CB CA
2
2
CB CA 2CA CB
a2 b2 2ab cos C
c2 a2 b2 2ab cos C
探 究： 在△ABC中，已知CB = a, AC= b，CB与CA
的夹角为∠C，求边c.
b cosAC, b sin C
c2 a2 b2 2ab cos C
办解法法二二：：作坐高标法法
b
c
c (b cos C a)2 (b sin C 0)2
C Da B
a,0
c b2 cos2 C 2ab cos C a2 b2 sin2 C
c2 a2 b2 2ab cos C
cos C a2 b2 c2
2ab
注意：（11、）熟已悉知定三理边的形，式求构三造个特角点，; 注意“平方”“夹角”“余
弦”等（22、）当已∠知C＝两9边0和时，它则们c的osC夹＝角0，，∴求c第2＝三a2＋边b，2，进即而余弦定 理是还勾股可定求理其的它推两广个，勾角股。定理是余弦定理的特例
SABC 12 bc sin A 12 ac sin B 12 ab sin C
5.运用正弦定理能够解决哪些解三角形的问题？
①已知 两角
-
②已知两边
。
任意一和边 其中一边和 的对角
ab sin A sin B
岛屿A
岛屿B
120°
?
岛屿C
用正弦定理能否直接求出 AC？
探 究： 在△ABC中，已知CB = a, CA= b，CB与CA
【余弦定理优质课教学设计】余弦定理优秀教学设计优秀9篇
【余弦定理优质课教学设计】余弦定理优秀教学设计优秀9篇余弦定理教案篇一本节知识是职业高中数学教材第五章第九节《解三角形》的内容，与初中学习的勾股定理有密切的联系，在日常生活和工业生产中也时常有解三角形的问题，在实际测量问题及航海问题中都有着广泛的用，而且解三角形和三角函数联系在高考当中也时常考一些解答题。
并且在探索建立余弦定理时还用到向量法，坐标法等数学方法，同时还用到了数形结合，方程等数学思想。
因此，余弦定理的知识非常重要。
特别是在三角形中的求角问题中作用更大。
做为职业高中的学生必须学好学透这节知识根据上述教材内容分析，考虑到学生已有的认知结构心理特征及原有知识水平，制定如下教学目标：①理解掌握余弦定理，能正确使用定理②培养学生教形结合分析问题的能力③培养学生严谨的推理思维和良好的审美能力。
教学重点：定理的探究及应用教学难点：定理的探究及理解对于职业高中的高一学生，虽然知识经验并不丰富，但他们的智利发展已到了形式运演阶段，具备了较强的抽象思维能力和演绎推理能力，所以我在授课时注重引导、启发和探讨以符合这类学生的心理发展特点，从而促进思维能力的进一步发展。
根据教材的内容和编排的特点，为更有效地突出重点，突破难点，以学生的发展为本，遵照学生的认识规律，本讲遵照以教师为主导，以学生为主体，训练为主线的指导思想，采用探究式课堂教学模式，即在教学过程中，在教师的启发引导下，以学生独立自主和合作交流为前提，以“余弦定理的发现”为基本探究内容，让学生的思维由问题开始，到发想、探究，定理的推导，并逐步得到深化。
突破重点的手段：抓住学生情感的兴奋点，激发他们的兴趣，鼓励学生大胆猜想，积极探索，以及及时地鼓励，使他们知难而进。
另外，抓知识选择的切入点，从学生原有的认知水平和所需的知识特点入手，教师在学生主体下给以适当的提示和指导。
突破难点的方法：抓住学生的能力线，联系方法与技能使学生较易证明余弦定理，另外通过例题和练习来突破难点，注重知识的形成过程，突出教学理念的创新。
余弦定理优秀教学设计优秀5篇
余弦定理优秀教学设计优秀5篇作为一位杰出的教职工，时常会需要准备好教案，借助教案可以提高教学质量，收到预期的教学效果。
怎样写教案才更能起到其作用呢？下面是的我为您带来的余弦定理优秀教学设计优秀5篇，希望大家可以爱好并共享出去。
余弦定理教案篇一《余弦定理》教案一、教材分析《余弦定理》选自人教A版高中数学必修五第一章第一节第一课时。
本节课的紧要教学内容是余弦定理的内容及证明，以及运用余弦定理解决“两边一夹角”“三边”的解三角形问题。
余弦定理的学习有充分的基础，中学的勾股定理、必修一中的向量学问、上一课时的正弦定理都是本节课内容学习的学问基础，同时又对本节课的学习供应了确定的方法引导。
其次，余弦定理在高中解三角形问题中有侧紧要的地位，是解决各种解三角形问题的常用方法，余弦定理也常常运用于空间几何中，所以余弦定理是高中数学学习的一个特别紧要的内容。
二、教学目标学问与技能：1、理解并把握余弦定理和余弦定理的推论。
2、把握余弦定理的推导、证明过程。
3、能运用余弦定理及其推论解决“两边一夹角”“三边”问题。
过程与方法：1、通过从实际问题中抽象出数学问题，培育同学学问的迁移本领。
2、通过直角三角形到一般三角形的过渡，培育同学归纳总结本领。
3、通过余弦定理推导证明的过程，培育同学运用所学学问解决实际问题的本领。
情感态度与价值观：1、在交流合作的过程中加强合作探究、团结协作精神，体验解决问题的成功喜悦。
2、感受数学一般规律的美感，培育数学学习的喜好。
三、教学重难点重点：余弦定理及其推论和余弦定理的运用。
难点：余弦定理的发觉和推导过程以及多解情况的判定。
四、教学用具一般教学工具、多媒体工具（以上均为命题教学的准备）余弦定理教案篇二一、教材（一）教材地位与作用《余弦定理》是必修5第一章《解三角形》的第一节内容，前面已经学习了正弦定理以及必修4中的任意角、诱导公式以及恒等改换，为后面学习三角函数奠定了基础，因此本节课有承上启下的作用。
省级优质课《余弦定理》教案设计
课 题: 余弦定理教学目标:1.知识与技能目标（1）能选用适当的方法证明余弦定理（主要是向量法）； （2）能从余弦定理得到它的推论；（3）能利用余弦定理及推论解三角形（两类）. 2.过程与能力目标(1)通过用向量的方法证明余弦定理，体现向量的工具性，加深对 向量知识应用的认识．(2)通过启发、诱导学生发现和证明余弦定理的过程，培养学生观 察与分析、归纳与猜想、抽象与概括等逻辑思维能力． 3.情感与态度目标（1）通过余弦定理与勾股定理的对比，体会特殊与一般的关系.（2）通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，理解事物之间的普遍联系与辩证统一.教学重点:余弦定理及推论证明和其基本应用．教学难点:用向量知识证明余弦定理时的思路分析与探索． 教学过程:I.情景引入我省有很多隧道, 技术人员在修建每个隧道前（打通前）都需要确定隧道长度.其方法是:先在地面上选一适当位置A ，量出A 到山脚B 、C 的距离,再利用测量仪器测出A ∠的大小,最后通计算求出山脚的长度BC.大家想知道工程技术人员是怎样计算出来的吗?Ⅱ.讲授新课 探索研究这其实是个数学问题:“三角形中已知两边及夹角,求第三边.” 其对应数学模型: 在ABC ∆中,已知AB c =,AC b =及A A ∠=,求()a BC 即.学情分析：在学习本节内容之前学生已经学习了解直角三角形以及利用正弦定理解斜三角形的知识。
大多数同学已掌握，并能熟练应用这一知识。
教学准备：投影（学生展示用），通过学生讨论，老师引导的方法突破难点.把问题作为教学的出发点，直接引出课题．激发学生的求知欲，明确本课要解决的问题.3分钟后请学生回答,若没人想出老师需进一步启发、引导.和的数量AC AB积引入.让学生感受到向量的威力，同时培养学生类比推理问题的能力.。
余弦定理(优秀课件)
北师大版必修5· 新课标· 数学
第二章 解三角形
人 教 3．余弦定理与勾股定理 版 必 (1)勾股定理是余弦定理的特殊情况，在余弦定理表达 修 2 2 2 2 2 2 一 式中令A＝90°，则a ＝b ＋c ；令B＝90°，则b ＝a ＋c ； 2＝a2＋b2. 令 C ＝ 90 °，则 c 新 课 (2) 在△ ABC 中，若 a2<b2 ＋ c2 ，则 A 为⑧ ________ 角， 标 反之亦成立；若 a2 ＝ b2 ＋ c2 ，则 A为⑨________ 角，反之亦 地 2>b2＋c2，则A为⑩________角，反之亦成立． 成立；若 a 理
由正弦定理知，AC＝2rsinB， AC ∴r＝ ≈2.5(km)． 2sinB r2＋BC2－r2 由余弦定理知，cos∠OBC＝ ＝0.74， 2rBC ∴∠OBC≈42° . 故医院应建在△ABC 的内部的点 O 处， 使 OB 约 为 2.5 km，且∠OBC 约为 42° .
北师大版必修5· 新课标· 数学
人 教 版 必 修 一 · ·
6＋ 2 解析：cos15° ＝cos(45° －30° )＝ 4 . 由余弦定理知 c2＝a2＋b2－2abcosC＝4＋8－2 2×( 6＋ 2)＝
新 课 8－4 3， 标 2 ∴ c ＝ 8 － 4 3 ＝ 6 － 2 ＝ 6－ 2. 地 理 a c 由正弦定理得sinA＝sinC，
· ·
北师大版必修5· 新课标· 数学
第二章 解三角形
人 教 解析：在△ABC中，由余弦定理： 版 必 BC2 ＝ AB2 ＋ AC2 － 2AB·AC·cos∠BAC ＝ 32 ＋ 52 － 修 一 2×3×5·cos120°＝49， ∴BC＝7， 新 课 设BD＝x，则DC＝7－x，由内角平分线定理： 标 地 理
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余弦定理教学设计
一、教学内容分析
人教版《普通高中课程标准实验教科书·必修（五）》（第2版）第一章《解三角形》第一单元第二课《余弦定理》。
二、学生学习情况分析
本课之前，学生已经学习了三角函数、向量基本知识和正弦定理有关内容，对于三角形中的边角关系有了较进一步的认识。
在此基础上利用向量方法探求余弦定理，学生已有一定的学习基础和学习兴趣。
总体上学生应用数学知识的意识不强，创造力较弱，看待与分析问题不深入，知识的系统性不完善，使得学生在余弦定理推导方法的探求上有一定的难度，在发掘出余弦定理的结构特征、表现形式的数学美时，能够激发学生热爱数学的思想感情；从具体问题中抽象出数学的本质，应用方程的思想去审视，解决问题是学生学习的一大难点。
三、设计思想
新课程的数学提倡学生动手实践，自主探索，合作交流，深刻地理解基本结论的本质，体验数学发现和创造的历程，力求对现实世界蕴涵的一些数学模式进行思考，作出判断；同时要求教师从知识的传授者向课堂的设计者、组织者、引导者、合作者转化，从课堂的执行者向实施者、探究开发者转化。
本课尽力追求新课程要求，利用师生的互动合作，提高学生的数学思维能力，发展学生的数学应用意识和创新意识，深刻地体会数学思想方法及数学的应用，激发学生探究数学、应用数学知识的潜能。
四、教学目标
1、知识与技能
（1）掌握余弦定理的证明方法，牢记公式.
（2）掌握余弦定理公式的变式，会灵活应用余弦定理.
2、过程与方法
（1）使学生经历公式的推导过程，培养严谨的逻辑思维.
（2）培养学生数形结合的能力.
（3）培养学生的问题解决能力.
3、情感态度价值观
经历余弦定理的推导过程，感受数学思维的严谨美，通过比较余弦定理公式感受数学公式的对称美，通过比较勾股定理以及余弦定理体会一般与特殊的关系.
五、教学重点与难点
教学重点：余弦定理的发现过程及定理的应用；
教学难点：用向量的数量积推导余弦定理的思路方法及余弦定理在应用求解三角形时的思路。
六、教学过程：
七、教学反思
本课的教学应具有承上启下的目的。
因此在教学设计时既要兼顾前后知识的联系，又要使学生明确本课学习的重点，将新旧知识逐渐地融为一体，构建比较完整的知识系统。
所以在余弦定理的表现方式、结构特征上重加指导，只有当学生正确地理解了余弦定理的本质，才能更好地应用求解问题。
本课教学设计力求在型（模型、类型），质（实质、本质），思（思维、思想方法）上达到教学效果。
本课之前学生已学习过三角函数，平面几何，平面向量、解析几何、正弦定理等与本课紧密联系的内容，使本课有了较多的处理工具，也使余弦定理的探讨有了更加简洁的工具。
因此在本课的教学设计中抓住前后知识的联系，重视数学思想的教学，加深对数学概念本质的理解，认识数学与实际的联系，学会应用数学知识和方法解决一些实际问题。
学生应用数学的意识不强，创造力不足、看待问题不深入，很大原因在于学生的知识系统不够完善。
因此本课运用联系的观点，从多角度看待问题，在提出问题、思考分析问题、解决问题等多方面对学生进行示范引导，将旧知识与新知识进行重组拟合及提高，帮助学生建立自己的良好知识结构。
点评：
本课是在学生学习了三角函数、平面几何、平面向量、正弦定理的基础上而设置的教学内容，因此本课的教学有较多的处理办法。
李老师从解三角形的问题出发，提出解题需要，引发认知冲突，激起学生的求知欲望，调动了学生的学习积极性；在定理证明的教学中，引导学生从平面几何、三角函数、向量知识、坐标法等方面进行分析讨论，注意分析思路，揭示蕴含在证明中的数学思想，最后引导学生用向量知识推导出公式，在给出余弦定理的三个等式和三个推论之后，
又对知识进行了归纳比较，发现特征，便于学生识记，同时也指出了勾股定理是余弦定理的特殊情形，提高了学生的思维层次。
命题的应用是命题教学的一个重要环节，学习命题的重要目的是应用命题去解决问题。
所以，例题的精选、讲解是至关重要的。
设计中的例1、例2是常规题，让学生应用数学知识求解问题，巩固正弦定理、余弦定理知识。
例3是已知两边一对角，求解三角形问题，可用正弦定理求之，也可用余弦定理求解，通过比较分析，突出了正、余弦定理的联系，深化了对两个定理的理解，培养了解决问题的能力。
但李老师在对例3解法的总结时，指出“能用正弦定理解决的问题均可以用余弦定理解决，更具有优越性。
”这结论有点片面。
本课在继承了传统数学教学模式优点，结合新课程的要求进行改进和发展，以发展学生的数学思维能力为主线，发挥教师的设计者，组织者作用，在使学生掌握知识的同时，帮助学生摸索自己的学习方法。