《余弦定理》习题课参考教案
【教学方案】《余弦定理》时示范教学方案人教新课标B版
9.1.2余弦定理 第2课时利用余弦定理的边角互化功能判定三角形形状，解决三角形，四边形中的边长、角度、面积问题.教学重点：利用余弦定理的边角互化功能判定三角形形状，解决三角形，四边形中的边长、角度、面积问题．教学难点：余弦定理的综合应用．PPT 课件．一、问题导入问题1：学生先回忆上节课学习内容． 师生活动：学生回忆，老师引导． 预设的答案： 1．余弦定理(1)三角形任何一边的平方，等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角余弦的积的2倍．即a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .(2)应用余弦定理我们可以解决两类解三角形问题． ①已知三边，求三角．②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角． 2．余弦定理的变形 (1)余弦定理的变形：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ；cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ；cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab .(2)利用余弦定理的变形判定角：在△ABC 中，c 2＝a 2＋b 2⇔C 为直角；c 2>a 2＋b 2⇔C 为钝角；c 2<a 2＋b 2⇔C 为锐角．设计意图：承上启下，引入新课引语：进一步学习余弦定理及其应用.（板书：余弦定理及其应用（2）） 【新知探究】1． 已知两边和夹角，解三角形问题2：已知两边及其中一边的对角解三角形，如何解三角形？ 师生活动：联系正弦定理、余弦定理进行分析预设的答案：已知两边及其中一边的对角解三角形，一般情况下，利用正弦定理求出另一边所对的角，再求其他的边或角，要注意进行讨论．如果采用余弦定理来解，只需解一个一元二次方程，即可求出边来，比较两种方法，采用余弦定理较简单．设计意图：比较正弦定理、余弦定理，培养学生分析和归纳的能力. 2.在大量实例感知的基础上，总结出三角形形状的判定方法 问题3：判断该三角形的形状的方法可以有哪些？ 师生活动：结合例题感知、总结预设的答案：判断该三角形的形状一般都有“走边”或“走角”两条路，利用余弦或者正弦定理进行边角互化.设计意图：培养学生分析和归纳的能力.问题4：自主阅读教材第10页例4，思考如何求解与平面多边形有关的问题？ 师生活动：联系正弦定理、余弦定理，将多边形问题转化为三角形问题预设的答案：与平面多边形有关的问题，可以转化为三角形中的边或角问题，借助余弦定理或正弦定理来解决．设计意图：通过例题进一步熟悉运用余弦定理解决解三角形问题能力，提高学生的数学运算及逻辑推理和直观想象的核心素养．【巩固练习】例1. （1）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，已知b cos C ＋c cos B ＝2b ，则ab＝________.（2）在△ABC 中，若lg (a ＋c )＋lg (a －c )＝lg b －lg 1b ＋c，则 A ＝________.师生活动：余弦定理指出了三角形的三条边与其中的一个角之间的关系，每一个等式中都包含四个不同的量，它们分别是三角形的三边和一个角，一般是利用余弦定理的变形式进行边、角互化．预设的答案：（1）由余弦定理得b cos C ＋c cos B ＝b ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·a 2＋c 2－b 22ac ＝2a 22a ＝a ，所以a ＝2b ，即ab＝2.（2）由题意可知lg (a ＋c )(a －c )＝lg b (b ＋c )， 所以(a ＋c )(a －c )＝b (b ＋c )．即b 2＋c 2－a 2＝－bc . 所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－12.又0°<A <180°，所以A ＝120°.设计意图：进一步熟悉余弦定理及其运用例2. 在ABC ∆中，已知cos cos a A b B =用两种方法判断该三角形的形状.师生活动：尝试运用正弦定理与余弦定理预设的答案：解法一：由题意，a ⨯bc a c b 2222-+=b ⨯cab ac 2222-+∴c 44222)(b a b a -=-=))((2222b a b a -+ ∴22222b a c b a +==或 ∴ABC ∆是等腰三角形或直角三角形.解法二：由题意，sin A cos A =sin B cos B , ∴sin2A =sin2B , ∴2A =2B ,或2A +2B =180︒∴A =B 或A +B =90︒ ∴ABC ∆是等腰三角形或直角三角形.设计意图：判断该三角形的形状一般都有“走边”或“走角”两条路，利用余弦或者正弦定理进行边角互化.例 3. 如图所示平行四边形ABCD 中，已知180,2,42,4,25o B D AB BC CD AD +=====，求四边形ABCD 的面积.师生活动：与平面多边形有关的问题，可以转化为三角形中的边或角问题，借助余弦定理或正弦定理来解决．预设的答案：连接A ，C 如图所示． 再,ABC ADC ∆∆中分别使用余弦定理可得：2222cos AC AB BC AB BC B =+-⨯ 2222cos AC AD CD AD CD D =+-⨯又因为180o B D +=，所以cos cos(180)cos oD B B =-=-，因此2222222424cos B B +-⨯⨯=++⨯解得：cos 0B =，因此cos 0,2D B D π=∴==从而可知四边形的面积为：112422⨯⨯⨯⨯= 设计意图：培养学生分析转化问题的能力【课堂小结】1．板书设计： 9.1.2余弦定理（2）1．余弦定理及其变式 例1 2．解三角形 例2 3．判断三角形的形状 例3 练习与作业： 2．总结概括：问题：（1）三角形的形状判断方法有哪些？ （2）对所给条件进行变形的途径有哪些特性？ 师生活动：学生尝试总结，老师适当补充.预设的答案：（1）利用正弦定理、余弦定理的边角互化功能判定三角形形状； （2）对所给条件进行变形，主要有两种途径：化边为角；化角为边，并常用正弦(余弦)定理进行边、角转换．设计意图：通过梳理本节课的内容，能让学生更加明确余弦定理的有关知识． 布置作业：【目标检测】1. 思考辨析(1)余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，因此，它适应于任何三角形．( ) (2)在△ABC 中，若a 2>b 2＋c 2，则△ABC 一定为钝角三角形．( ) (3)在△ABC 中，已知两边和其夹角时，△ABC 不唯一．( ) 设计意图：巩固运用余弦定理2. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2＋b 2＋2ab ＝c 2，则角C 为( )A.π4B.3π4C.π3D.2π3 设计意图：巩固运用余弦定理的变式3. 在△ABC 中，sin 2A 2＝c －b 2c (a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对应边)，则△ABC 的形状为( )A ．正三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形设计意图：巩固运用余弦定理4. 在△ABC 中，若（a ＋b ＋c ）（b ＋c －a ）＝3bc ，并且sin A ＝2sin B cos C ，试判断△ABC 的形状.设计意图：巩固运用余弦定理的变式5. 在△ABC 中，BC =a ，AC =b ，且a ，b 是方程02322=+-x x 的两根，()1cos 2=+B A ．(1)求角C 的度数； (2)求AB 的长； (3)求△ABC 的面积． 设计意图：巩固运用余弦定理的变式 参考答案：1. (1)√ (2)√ (3)× 由余弦定理可知，已知△ABC 的两边和其夹角时，第三边是唯一确定的，所以△ABC 是唯一的，(3)错误．2.B∵a 2＋b 2＋2ab ＝c 2，∴a 2＋b 2－c 2＝－2ab ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－2ab 2ab ＝－22，∵C ∈(0，π)，∴C ＝3π4.故选B .3. B∵sin 2A 2＝1－cosA 2＝c －b 2c ，∴cos A ＝b c ＝b 2＋c 2－a 22bc⇒a 2＋b 2＝c 2，符合勾股定理．故△ABC 为直角三角形．故选B .4. 由已知条件（a ＋b ＋c ）（b ＋c －a ）＝bc 及余弦定理得 cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12∴A ＝60°又由已知条件sin A ＝2sin B cos C 得sin （B ＋C ）＝sin （B ＋C ）＋sin （B －C ） ∴sin （C －B ）＝0，∴B ＝C ，于是有A ＝B ＝C ＝60°，故△ABC 为等边三角形.5. (1) ()cos cos[]C A B π=-+()cos A B =-+1223C π=-⇒=（2）因为a ，b 是方程02322=+-x x 的两根，所以⎩⎨⎧==+232ab b a22222cos3AB b a ab π∴=+- ()210a b ab AB =+-=⇒= （3）23sin 21==∆C ab S ABC ．。
余弦定理的教案（通用3篇）
余弦定理的教案（通用3篇）余弦定理的篇1一、单元教学内容运算定律P——P二、单元教学目标1、探索和理解加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律和分配律，能运用运算定律进行一些简便计算。
2、理解和掌握减法和除法的运算性质，并能应用这些运算性质进行简便计算。
3、会应用运算律进行一些简便运算，掌握运算技巧，提高计算能力。
4、在经历运算定律和运算性质的发现过程中，体验归纳、总结和抽象的数学思维方法。
5、在经历运算定律的字母公式形成过程中，能进行有条理地思考，并表达自己的思考结果。
6、经历简便计算过程，感受数的运算与日常生活的密切联系，并在活动中学会与他人合作。
7、在经历解决问题的过程中，体验运算律的价值，增强应用数学的意识。
三、单元教学重、难点1、理解加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律和分配律，能运用运算定律进行一些简便计算。
2、理解和掌握减法和除法的运算性质，并能应用这些运算性质进行简便计算。
四、单元教学安排运算定律10课时第1课时加法交换律和结合律一、教学内容：加法交换律和结合律P17——P18二、教学目标：1、在解决实际问题的过程中，发现并掌握加法交换律和结合律，学会用字母表示加法交换律和结合律。
2、在探索运算律的过程中，发展分析、比较、抽象、概括能力，培养学生的符号感。
3、培养学生的观察能力和概括能力。
三、教学重难点重点：发现并掌握加法交换律、结合律。
难点：由具体上升到抽象，概括出加法交换律和加法结合律。
四、教学准备多媒体五、教学过程（一）导入新授1、出示教材第17页情境图。
师：在我们班里，有多少同学会骑自行车？你最远骑到什么地方？师生交流后，课件出示李叔叔骑车旅行的场景：骑车是一项有益健康的运动，你看，这位李叔叔正在骑车旅行呢！2、获取信息。
师：从中你知道了哪些数学信息？（学生回答）3、师小结信息，引出课题：加法交换律和结合律。
（二）探索发现第一环节探索加法交换律1、课件继续出示：“李叔叔今天上午骑了40km，下午骑了56km，一共骑了多少千米？”学生口头列式，教师板书出示： 40+56=96（千米） 56+40=96（千米）你能用等号把这两道算式写成一个等式吗？ 40+56=56+40 你还能再写出几个这样的等式吗？学生独自写出几个这样的等式，并在小组内交流各自写出的等式，互相检验写出的等式是否符合要求。
《余弦定理》教案(含答案)
《余弦定理》教案（含答案）章节一：余弦定理的定义与表达式教学目标：1. 了解余弦定理的定义及其在几何中的应用。
2. 掌握余弦定理的表达式。
3. 能够运用余弦定理解决实际问题。
教学内容：1. 余弦定理的定义。
2. 余弦定理的表达式：a^2 = b^2 + c^2 2bccosA。
3. 余弦定理的应用实例。
教学活动：1. 引入余弦定理的概念，通过几何图形引导学生理解余弦定理的定义。
2. 推导余弦定理的表达式，并通过实例解释其含义。
3. 运用余弦定理解决实际问题，如已知三角形两边和夹角，求第三边的长度。
作业布置：1. 复习余弦定理的定义和表达式。
2. 完成课后练习题，如已知三角形ABC中，AB = 5cm，BC = 8cm，AC = 10cm，求角A的余弦值。
章节二：余弦定理的应用教学目标：1. 掌握余弦定理在三角形中的应用。
2. 能够运用余弦定理解决三角形的不全信息问题。
教学内容：1. 余弦定理在三角形中的应用。
2. 余弦定理解决三角形不全信息问题的方法。
教学活动：1. 通过几何图形引导学生理解余弦定理在三角形中的应用。
2. 讲解余弦定理解决三角形不全信息问题的方法，如已知两边和夹角，求第三边和两个角。
作业布置：1. 复习余弦定理在三角形中的应用。
2. 完成课后练习题，如已知三角形ABC中，AB = 5cm，BC = 8cm，角A = 30°，求AC的长度。
章节三：余弦定理在实际问题中的应用教学目标：1. 了解余弦定理在实际问题中的应用。
2. 能够运用余弦定理解决实际问题。
教学内容：1. 余弦定理在实际问题中的应用实例。
2. 运用余弦定理解决实际问题的方法。
教学活动：1. 通过实际问题引导学生理解余弦定理的应用。
2. 讲解运用余弦定理解决实际问题的方法，如测量三角形的边长和角度。
作业布置：1. 复习余弦定理在实际问题中的应用。
2. 完成课后练习题，如已知三角形ABC中，AB = 5cm，BC = 8cm，角A = 30°，求AC的长度。
《余弦定理》教学设计、导学案、同步练习
《6.4.3 余弦定理、正弦定理》教学设计第一课时余弦定理【教材分析】本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》（人教A版）第六章《平面向量及其应用》，本节课主要学习余弦定理及利用余弦定理的应用。
本节课在证明了余弦定理及其推论以后,教科书从余弦定理与勾股定理的比较中,提出了一个考问题“勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系,余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系,如何看这两个定理之间的关系?”并进而指出,“从余弦定理以及余弦函数的性质可知,如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么第三边所对的角是直角;如果小于第三边的平方,那么第三边所对的角是钝角;如果大于第三边的平方那么第三边所对的角是锐角。
由上可知,余弦定理是勾股定理的推广”,还要启发引导学生注意余弦定理的各种变形式并总结余弦定理的适用题型的特点，在解题时正确选用余弦定理达到求解，求证目的启发学生在证明余弦定理时能与向量数量积的知识产生联系，在应用向量知识的同时注意使学生体会三角函数、正弦定理、向量数量积等多处知识之间的联系。
【教学目标与核心素养】【教学重点】：余弦定理的发现和证明过程及其基本应用；【教学难点】：利用向量的数量积推导余弦定理的思想方法及利用余弦定理求解三角形的思路。
【教学过程】【答案】。
相同起点，尾尾相连，指向被减向量。
2.向量的数量积【答案】 3.证明三角形全等的方法有哪些？ 【答案】ASA ，AAS ，SAS ，SSS 。
二、探索新知探究1.在三角形ABC 中，三个角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，怎样用a ，b 和C 表示c ？【解析】，所以。
同理可证：余弦定理：三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即应用：已知两边和一个夹角，求第三边．思考1：余弦定理指出了三角形的三条边与其中的一个角之间的关系，应用余弦定理，我们可以解决已知三角形的三边确定三角形的角的问题，怎么确定呢？由余弦定理变形得BA OB OA =-θcos ||||b a b a =⋅→→→→→→→→→-====b a c c AB b CA a CB 那么如图，设,,,Cab b a ba b b a a b a b a c c c cos 22222-+=⋅-⋅+⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⋅=→→→→→→→→→→→→→C ab b a c cos 2222-+=Bac c a b A bc c b a cos 2cos 2222222-+=-+=Cab b a c B ac c a b A bc c b a cos 2cos 2cos 2222222222-+=-+=-+=bcac b A 2cos 222-+=所以，例2.在中，已知a =7，b =8，锐角C 满足，求B 。
余弦定理教案
余弦定理教案余弦定理教案余弦定理教案1教学准备教学目标进一步熟悉正、余弦定理内容，能熟练运用余弦定理、正弦定理解答有关问题，如判断三角形的形状，证明三角形中的三角恒等式.教学重难点教学重点：熟练运用定理.教学难点：应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化.教学过程一、复习准备：1.写出正弦定理、余弦定理及推论等公式.2.讨论各公式所求解的三角形类型.二、讲授新课：1.教学三角形的解的讨论：①出示例1：在△ABC中，已知下列条件，解三角形.分两组练习→讨论：解的个数情况为何会发生变化?②用如下图示分析解的情况.(A为锐角时)②练习：在△ABC中，已知下列条件，判断三角形的解的情况.2.教学正弦定理与余弦定理的活用：①出示例2：在△ABC中，已知sinA∶sinB∶sinC=6∶5∶4，求角的余弦.分析：已知条件可以如何转化?→引入参数k，设三边后利用余弦定理求角.②出示例3：在ΔABC中，已知a=7，b=10，c=6，判断三角形的类型.分析：由三角形的什么知识可以判别?→求角余弦，由符号进行判断③出示例4：已知△ABC中，，试判断△ABC的形状.分析：如何将边角关系中的边化为角?→再思考：又如何将角化为边?3.小结：三角形解的情况的讨论;判断三角形类型;边角关系如何互化.三、巩固练习：3.作业：教材P11B组1、2题.余弦定理教案2一)教材分析(1)地位和重要性：正、余弦定理是学生学习了平面向量之后要掌握的两个重要定理，运用这两个定理可以初步解决几何及工业测量等实际问题，是解决有关三角形问题的有力工具。
(2)重点、难点。
重点：正余弦定理的证明和应用难点：利用向量知识证明定理(二)教学目标(1)知识目标：①要学生掌握正余弦定理的推导过程和内容;②能够运用正余弦定理解三角形;③了解向量知识的应用。
(2)能力目标：提高学生分析问题、解决问题的能力。
(3)情感目标：使学生领悟到数学来源于实践而又作用于实践，培养学生的学习数学的兴趣。
《余弦定理》教案、导学案、课后作业
《6.4.3 余弦定理、正弦定理》教案第1课时余弦定理【教材分析】本节首先研究把已知两边及其夹角判定三角形全等的方法进行量化，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题，利用向量的数量积比较容易地证明了余弦定理，然后利用其初步解三角形.【教学目标与核心素养】课程目标1．掌握余弦定理的表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题；2．培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一.数学学科素养1.数学抽象：余弦定理及其推论；2.逻辑推理：余弦定理在边角互化中的应用；3.数学运算：解三角形；4.数学建模：通过将三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间联系起来，体现了知识之间的辩证统一.【教学重点和难点】重点：余弦定理的发现和证明过程及基本运用；难点：余弦定理的探索及证明.【教学过程】一、情景导入问题:在三角形中,已知两边及其夹角,怎么求出此角的对边?已知三条边,怎么求出它的三个角呢?要求：让学生自由发言，教师不做判断。
而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本42-44页，思考并完成以下问题1、什么是余弦定理？2、余弦定理有哪些变形？3、什么是解三角形？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究1、余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。
即 a 2=b 2+c 2−2bccosAb 2=a 2+c 2−2accosB c 2=a 2+b 2−2abcosC推论：2、解三角形一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。
3、应用从而知余弦定理及其推论的基本作用为：① 已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边； ② 已知三角形的三条边就可以求出其它角。
(完整版)《余弦定理》教案完美版
《余弦定理》教案(一）教学目标1．知识与技能：掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题.2.过程与方法:利用向量的数量积推出余弦定理及其推论,并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题，3．情态与价值:培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系,来理解事物之间的普遍联系与辩证统一.（二）教学重、难点重点：余弦定理的发现和证明过程及其基本应用；难点:勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用.(三）学法与教学用具学法：首先研究把已知两边及其夹角判定三角形全等的方法进行量化，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题，利用向量的数量积比较容易地证明了余弦定理。
从而利用余弦定理的第二种形式由已知三角形的三边确定三角形的角教学用具:直尺、投影仪、计算器(四）教学设想［创设情景］ C 如图1．1—4，在∆ABC 中,设BC=a ，AC=b,AB=c ，已知a,b 和∠C ，求边c b aA c B（图1．1-4）[探索研究］联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？用正弦定理试求,发现因A 、B 均未知，所以较难求边c 。
由于涉及边长问题,从而可以考虑用向量来研究这个问题. A如图1．1-5,设CB a =，CA b =，AB c =，那么c a b =-，则 b c()()222 2 2c c c a b a ba ab b a b a b a b =⋅=--=⋅+⋅-⋅=+-⋅ C a B从而 2222cos c a b ab C =+- (图1．1—5）同理可证 2222cos a b c bc A =+-2222cos b a c ac B =+-于是得到以下定理余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。
【余弦定理优质课教学设计】余弦定理优秀教学设计优秀9篇
【余弦定理优质课教学设计】余弦定理优秀教学设计优秀9篇余弦定理教案篇一本节知识是职业高中数学教材第五章第九节《解三角形》的内容，与初中学习的勾股定理有密切的联系，在日常生活和工业生产中也时常有解三角形的问题，在实际测量问题及航海问题中都有着广泛的用，而且解三角形和三角函数联系在高考当中也时常考一些解答题。
并且在探索建立余弦定理时还用到向量法，坐标法等数学方法，同时还用到了数形结合，方程等数学思想。
因此，余弦定理的知识非常重要。
特别是在三角形中的求角问题中作用更大。
做为职业高中的学生必须学好学透这节知识根据上述教材内容分析，考虑到学生已有的认知结构心理特征及原有知识水平，制定如下教学目标：①理解掌握余弦定理，能正确使用定理②培养学生教形结合分析问题的能力③培养学生严谨的推理思维和良好的审美能力。
教学重点：定理的探究及应用教学难点：定理的探究及理解对于职业高中的高一学生，虽然知识经验并不丰富，但他们的智利发展已到了形式运演阶段，具备了较强的抽象思维能力和演绎推理能力，所以我在授课时注重引导、启发和探讨以符合这类学生的心理发展特点，从而促进思维能力的进一步发展。
根据教材的内容和编排的特点，为更有效地突出重点，突破难点，以学生的发展为本，遵照学生的认识规律，本讲遵照以教师为主导，以学生为主体，训练为主线的指导思想，采用探究式课堂教学模式，即在教学过程中，在教师的启发引导下，以学生独立自主和合作交流为前提，以“余弦定理的发现”为基本探究内容，让学生的思维由问题开始，到发想、探究，定理的推导，并逐步得到深化。
突破重点的手段：抓住学生情感的兴奋点，激发他们的兴趣，鼓励学生大胆猜想，积极探索，以及及时地鼓励，使他们知难而进。
另外，抓知识选择的切入点，从学生原有的认知水平和所需的知识特点入手，教师在学生主体下给以适当的提示和指导。
突破难点的方法：抓住学生的能力线，联系方法与技能使学生较易证明余弦定理，另外通过例题和练习来突破难点，注重知识的形成过程，突出教学理念的创新。
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《余弦定理》习题课参
考教案
-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
§1．1．2余弦定理
授课类型：习题课
【教学目标】
1．
掌握余弦定理的推导过程，熟悉余弦定理的变形用法。
2． 较熟练应用余弦定理及其变式，会解三角形，判断三角形的形状。
【教学重、难点】
重点：熟练应用余弦定理。
难点：解三角形，判断三角形的形状。
【教学过程】
【知识梳理】
1.余弦定理：
(1)形式一：
A cos bc 2c b a 222⋅-+=；
B cos ac 2c a b 222⋅-+=；
C cos ab 2b a c 222⋅-+=.
形式二：
bc 2a c b A cos 2
22-+=；
ac 2b c a B cos 2
22-+=；
ab 2c b a C cos 2
22-+=.（角到边的转换）
2.解决以下两类问题：
1）、已知三边，求三个角；（唯一解）
2）、已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角；（唯一解）
3.三角形ABC 中 222222222是直角
ABC 是直角三角形是钝角ABC 是钝角三角形
是锐角a b c A a b c A a b c A =+⇔⇔∆>+⇔⇔∆<+⇔⇔ABC 是锐角三角形
∆
4.解决以下两类问题：
1）、已知三边，求三个角；（唯一解）
2）、已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角；（唯一解）
【典例应用】
题型一 根据三角形的三边关系求角
例1．已知△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝( 3 ＋1)∶( 3 －1)∶10 ，求最大角.
解：∵a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝k
∴sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝( 3 +1)∶( 3 －1)∶10
设a ＝( 3 ＋1)k ，b ＝( 3 －1)k ，c ＝10 k (k ＞0)
则最大角为C .cos C ＝a 2＋b 2－c 2
2ab
＝( 3 ＋1)2＋( 3 －1)2－10 22×( 3 ＋1) ( 3 －1)
＝－12 ∴C ＝120°.
评析：在将已知条件中角的关系转化为边的关系时，运用了正弦定理的变形式：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，这一转化技巧，应熟练掌握.在三角形中，大边对大角，所以角C 最大。
[变式训练1]
在△ABC 中，若,3))((bc a c b c b a =-+++则A = ( )
A ．090
B ．060
C ．0135
D ．0150
解： 22()()3,()3,a b c b c a bc b c a bc +++-=+-= 222222
013,cos ,6022b c a b c a bc A A bc +-+-==== 答案：B
题型二：题型二 已知三角形的两边及夹角解三角形 例2.在△ABC 中，BC =a ，AC =b ，且a ，b 是方程02322=+-x x 的两根，()1cos 2=+B A 。
（1） 求角C 的度数；
（2） 求AB 的长；
（3）求△ABC 的面积。
评析：在余弦定理的应用中，注意与一元二次方程中韦达定理的应用。
方程的根往往不必直接求出，要充分利用两根之和与两根之差的特点。
[变式训练]
1在△ABC 中，60,16,2203,A AC S BC ===面积求的长
2. 钝角△ABC 的三边长为连续的自然数，求三边的长。
题型三：判断三角形的形状
例3.在ABC ∆中，若2222sin sin 2cos cos b C c B bc B C +=，试判断ABC ∆的形状. 解：方法一：
由正弦定理和已知条件得：
2222sin sin sin sin 2sin sin cos cos B C C B B C B C +=，
∵sin sin 0B C ≠，∴sin sin cos cos B C B C =，即cos()0B C +=，
∵B 、C 为ABC ∆的内角，∴90B C +=，90A =
故ABC ∆为直角三角形.
方法二：
原等式变形为：2222(1cos )(1cos )2cos cos b C c B bc B C -+-=，
即：222222cos cos 2cos cos b c b C c B bc B C +--=，
由余弦定理得：
222
222
222222
222
222()()22222a b c a c b a c b a b c b c b c bc ab ac ac ab +-+-+-+-+--=⋅⋅ ⇒2222222
22
2[()()]4a b c a c b b c a +-++-+=⇒222b c a += 故ABC ∆为直角三角形.
评述：判断三角形的形状，一般是从题设条件出发，根据正弦定理、余弦定理进行边角变换，全化为边的关系或全化为角的关系，导出边或角的某种特殊关系，然后利用平面几何知识即可判定三角形的形状。
[变式训练2]
1.在△ABC 中，若2cos B sin A =sin C ，则△ABC 的形状一定是（ ）
A.等腰直角三角形
B.直角三角形
C.等腰三角形
D.等边三角形
解：由2cos B sin A =sin C 得ac
b c a 222-+×a =c ，∴a =b . 答案：C
2. 在∆ABC 中，b A a B cos cos =，则三角形为（ ）
A. 直角三角形
B. 锐角三角形
C. 等腰三角形
D. 等边三角形 解：由余弦定理可将原等式化为：b b c a bc a a c b ac
⋅+-=⋅+-222222
22 即，2222b a a b =∴=
答案：C
[典例训练]
1．在△ABC 中，若0030,6,90===B a C ，则b c -等于（ ）
A ．1
B ．1-
C ．32
D ．32-
2．若A 为△ABC 的内角，则下列函数中一定取正值的是（ ）
A ．A sin
B ．A cos
C ．A tan
D ．A
tan 1 3．在△ABC 中，角,A B 均为锐角，且,sin cos B A >则△ABC 的形状是（ ）
A ．直角三角形
B ．锐角三角形
C ．钝角三角形
D ．等腰三角形
4．等腰三角形一腰上的高是3，这条高与底边的夹角为060，则底边长为（ ）
A ．2
B ．2
3 C ．3 D ．32 5．在△ABC 中，若B a b sin 2=，则A 等于（ ）
A ．006030或
B ．006045或
C ．0060120或
D ．0015030或
6．边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是（ ）
A ．090
B ．0120
C ．0135
D ．0150
7.在△ABC 中，若,cos cos cos C c B b A a =+则△ABC 的形状是什么？
8．在△ABC 中，求证：
)cos cos (a A b B c a b b a -=-
9．在△ABC 中，设,3,2π=
-=+C A b c a 求B sin 的值。
10．已知三角形的两边和为4，其夹角60°，求三角形的周长最小值。
[课堂小节]：熟练应用余弦定理解三角形，判断三角形的形状。
[课下作业]：[典例训练]部分的5、7、10。