正余弦定理习题课(1)
天津市塘沽区紫云中学2014年高中数学 1.1.2 正弦定理与余弦定理习题课课件 新人教A版必修5
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习题课
(3)已知两边和它们的夹角，解三角形． 此种情况的基本解法是先用余弦定理求第三边，再用正 弦定理或余弦定理求另一角，最后用三角形内角和定理 求第三个角． (4)已知三角形的三边，解三角形． 此种情况的基本解法是先用余弦定理求出一个角，再用 正弦定理或余弦定理求出另一个角，最后用三角形内角 和定理，求出第三个角． 要解三角形，必须已知三角形的一边的长．若已知条件 中一条边的长也不给出，三角形可以是任意的，因此无 法求解．
练一练· 当堂检测、目标达成落实处
习题课
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1．在△ABC 中，若 2cos Bsin A＝sin C，则△ABC 的形状一 定是 A．等腰直角三角形 ( C ) B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等边三角形 解析 ∵2cos Bsin A＝sin C＝sin(A＋B)，
∴sin Acos B－cos Asin B＝0， 即 sin(A－B)＝0，∴A＝B.
1 ah (1)S＝ 2 a
(ha 表示 a 边上的高)； 1 1 1 acsin B bcsin A (2)S＝ absin C＝ 2 ＝ 2 ； 2 1 (3)S＝ r(a＋b＋c)(r 为三角形内切圆半径)． 2
研一研· 题型解法、解题更高效
习题课
题型一
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利用正、余弦定理证明三角恒等式 2 2 2 tan A a ＋c －b 例 1 在△ABC 中，求证： ＝ . tan B b2＋c2－a2
小结 这是一道向量与正、余弦定理的综合题，解题的关键
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是化去向量的· 题型解法、解题更高效
习题课
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跟踪训练 3 在△ABC 中，内角 A、B、C 的对边分别为 a、 3 2 b、c，已知 b ＝ac 且 cos B＝ . 4 1 1 (1)求 ＋ 的值； tan A tan C → → 3 (2)设BA· BC＝ ，求 a＋c 的值． 2 3 解 (1)由 cos B＝ ， 4
正弦定理与余弦定理习题课课件ppt(北师大版必修五)
一边＋B＋C＝180°，求 角A；由正弦定理求出b与 c，在有解时只有一解
课前探究学习
课堂讲练互动
续表
两边和夹角(如 a，b，C)
由余弦定理求第三边c；由正弦定 余弦定理 理求出一边所对的角；再由A＋B 正弦定理 ＋C＝180°求出另一角，在有解 时只有一解 由余弦定理求出角A，B；再利用 余弦定理 A＋B＋C＝180°，求出角C，在 有解时只有一解
由正弦定理求出角B；由A＋B＋ 正弦定理 C＝180°，求出角C；再利用正 余弦定理 弦定理或余弦定理求c，可有两 解、一解或无解
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三边(a，b，c)
两边和其中一 边的对角(如 a，b，A)
2. 解三角形常用的边角关系及公式总结 (1)三角形内角和等于180° (2)两边之和大于第三边，两边之差小于第三边． (3)三角形中大边对大角，小边对小角．
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【示例】在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已
1 知 cos 2C＝－ . 4 (1)求sin C的值； (2)当a＝2,2sin A＝sin C时，求b及c的长． [思路分析]
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解 10 . 4
1 (1)因为 cos 2C＝1－2sin2C＝－ ，及 0<C<π，所以 sin C＝ 4
b＝ 6 6，所以 c＝4 b＝2 或 c＝4
6
.
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方法点评 三角形问题的一般解题方法 (1)合理利用三角公式，如cos 2C＝1－2sin2C＝2cos2C－1 等． (2)认真分析题目所给条件，适时利用正、余弦定理实现 边角转化．
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中职数学教案：正弦定理、余弦定理(全4课时)
江苏省XY中等专业学校2021-2022-2备课纸课时总编号：
备课组别数学
上课
日期
第课时课型
主备
教师
课
题：
§15.4正弦定理、余弦定理(第1课时)
教学目标1.了解正弦定理在生活中的实用性；
2.掌握正弦定理并能运用正弦定理解决实际问题；
3.掌握由正弦定理推导的三角形面积公式及运用。
重点正弦定理
难点应用正弦定理解决实际问题
教法讲练结合
教学
设备
多媒体一体机
教学
环节
教学活动内容及组织过程个案补充
教学内容【课前导学】
1.在我国古代有嫦娥奔月的神话故事，明月高悬，我们仰望夜空，会有无限遐想，不禁会问，月亮离我们地球有多远呢？科学家们是怎样测出来的？
【设计意图】：
让学生了解与正弦定理有关的问题，提高学习兴趣。
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高考正弦定理和余弦定理练习题及复习资料
高考正弦定理和余弦定理练习题与答案一、选择题1.已知△中, a＝c＝2, A＝30°, 则b＝( )A. B.2C.3.D. ＋1答案：B解析: ∵a＝c＝2, ∴A＝C＝30°, ∴B＝120°.由余弦定理可得b＝2.2.△中, a＝ , b＝ , ＝ , 则符合条件的三角形有( )A.1.B.2个C.3.D.0个答案：B解析: ∵＝ ,∴<b＝ <a＝ ,∴符合条件的三角形有2个.3．(2010·天津卷)在△中, 内角A, B, C的对边分别是a, b, c.若a2－b2＝ , ＝2 , 则A＝( )A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°答案：A解析: 利用正弦定理, ＝2 可化为c＝2 b.又∵a2－b2＝ ,∴a2－b2＝ b×2 b＝6b2, 即a2＝7b2, a＝ b.在△中, ＝＝＝ ,∴A＝30°.4. (2010·湖南卷)在△中, 角A, B, C所对的边长分别为a, b, c, 若∠C＝120°, c＝ a, 则( )A. a>bB. a<bC. a＝bD. a与b的大小关系不能确定答案：A解析: 由正弦定理, 得＝ ,∴＝＝>.∴A>30°.∴B＝180°－120°－A<30°.∴a>b.5.如果等腰三角形的周长是底边长的5倍, 则它的顶角的余弦值为( )A..B.C..D.答案：D解析: 方法一: 设三角形的底边长为a, 则周长为5a,∴腰长为2a, 由余弦定理知α＝＝ .方法二：如图, 过点A作⊥于点D,则＝2a, ＝ , ∴＝ ,∴α＝1－22＝1－2×＝.6.(2010·泉州模拟)△中, ＝ , ＝1, ∠B＝30°, 则△的面积等于( )A..B.C. 或.D. 或解析: ∵＝ ,∴＝·30°＝.∴C＝60°或C＝120°.当C＝60°时, A＝90°, S△＝×1×＝ ,当C＝120°时, A＝30°, S△＝×1× 30°＝ .即△的面积为或.二、填空题7. 在△中, 若b＝1, c＝ , ∠C＝ , 则a＝.答案：1解析: 由正弦定理＝ , 即＝ , ＝ .又b<c, ∴B＝ , ∴A＝ .∴a＝1.8．(2010·山东卷)在△中, 角A, B, C所对的边分别为a, b, c.若a ＝ , b＝2, ＋＝ , 则角A的大小为．答案：解析: ∵＋＝ ,∴(B＋)＝1.又0<B<π, ∴B＝ .由正弦定理, 知＝ , ∴＝ .又a<b, ∴A<B, ∴A＝ .9.(2010·课标全国卷)在△中，D为边上一点，＝，∠＝120°，＝2.若△的面积为3－，则∠＝.答案: 60°解析: S△＝×2××＝3－ ,解得＝2( －1),∴＝－1, ＝3( －1).在△中, 2＝4＋( －1)2－2×2×( －1)×120°＝6,在△中, 2＝4＋[2( －1)]2－2×2×2( －1)×60°＝24－12 ,∴＝ ( －1),则∠＝＝＝ ,∴∠＝60°.三、解答题10.如图, △是等边三角形, ∠＝45°, ＝ , A.B.C三点共线.(1)求∠的值；(2)求线段的长.解: (1)∵△是等边三角形, ∠＝45°,∴∠＝45°＋60°,∴∠＝(45°＋60°)＝45°60°＋45°60°＝.(2)在△中, ＝ ,∴＝∠×＝×＝1＋.11.(2010·全国Ⅱ卷)△中, D为边上的一点, ＝33, ＝ , ∠＝ , 求. 解: 由∠＝ >0知B< ,由已知得＝ , ∠＝ ,从而∠＝(∠－B)＝∠－∠＝×－×＝.由正弦定理得＝ ,＝＝＝25.12.(2010·安徽卷)设△是锐角三角形, a, b, c分别是内角A, B, C 所对边长, 并且2A＝＋2B.(1)求角A的值；(2)若·＝12, a＝2 , 求b, c(其中b<c).解: (1)因为2A＝＋2B＝ 2B－ 2B＋2B＝ ,所以＝±.又A为锐角, 所以A＝ .(2)由·＝12, 可得＝12.①由(1)知A＝ , 所以＝24.②由余弦定理知a2＝c2＋b2－2, 将a＝2 与①代入, 得c2＋b2＝52, ③③＋②×2, 得(c＋b)2＝100,所以c＋b＝10.因此c, b是一元二次方程t2－10t＋24＝0的两个根.解此方程并由c>b知c＝6, b＝4.。
人教版数学必修五(文)学案：1.1正弦定理、余弦定理习题课
1.1正弦定理、余弦定理习题课【学习目标】1.能够应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化；2.能够利用正、余弦定理判断三角形的形状；3.能够利用正、余弦定理证明三角形中的三角恒等式【自主检测】1.在△ABC 中，BC ＝5，AC ＝3，sin C ＝2sin A .(1)求AB 的值；(2)求sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A －π4的值．2.在锐角△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，且3a ＝2c sin A .(1)确定角C 的大小；(2)若c ＝7，且△ABC 的面积为332，求a ＋b 的值．【典型例题】例1.在四边形ABCD 中，已知AD ⊥CD ，AD ＝10，AB ＝14，∠BDA ＝60°，∠BCD ＝135°，求BC 的长．例2.设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，cos(A －C )＋cos B ＝32，b 2＝ac ，求B .【目标检测】1.在△ABC 中，已知b ＝a sin B ，且cos B ＝cos C ，则△ABC 的形状是( )A ．等边三角B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形2.根据下列条件，判断三角形解的情况，其中正确的是( )A ．a ＝8 b ＝16 A ＝30°有两解B ．b ＝18 c ＝20 B ＝60°有一解C．a＝5 b＝2 A＝90°无解 D．a＝30 b＝25 A＝120°有一解3.已知△ABC中，AB＝3，AC＝1，且B＝30°，则△ABC的面积等于( )A.32B.34C.32或 3 D.34或324*.在△ABC中，若tan A－tan Btan A＋tan B＝c－bc，求角A【总结提升】1.在证明三角形问题或者三角恒等式时，要注意正弦定理、余弦定理与所证结论的联系，并注意特殊正、余弦关系的应用，比如互补角的正弦值相等，互补角的余弦值互为相反数等；2.三角恒等式的证明或者三角形形状的判断，重在发挥正、余弦定理的边角互换作用。
正弦定理余弦定理 导学案答案
日照一中2019级数学导学案班级： 姓名: 使用日期：2020年3月6 日知识梳理1．正弦、余弦定理在△ABC 中，若角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 的外接圆半径，则 定理正弦定理余弦定理内容a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R . a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ；b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C变形(1)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ， c ＝2R sin C ；(2)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sinC ；(3)a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝asin A ＝2R .cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ； cos B ＝c 2＋a 2－b 22ac ； cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab2.三角形常用面积公式目 录 学案序号 课 题习题课课 型新授课课 时 第 1 课时 编写人 丁明谦 审核人 张念胜 学科联系人签字 孙正吉学法指导运用正弦定理余弦定理解决两类基本的解三角形问题课标要求(1)通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。
(2)能够运用余弦定理知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题素养达成培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力，通过正弦定理余弦定理等知识间的练习，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一.(1)S＝12a·h a(h a表示边a上的高)；(2)S＝12ab sin C＝12ac sin B＝12bc sin A；(3)S＝12r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)．[常用结论]1．在△ABC中，A＞B⇔a＞b⇔sin A＞sin B. 2．三角形中的射影定理在△ABC中，a＝b cos C＋c cos B；b＝a cos C＋c cos A；c＝b cos A＋a cos B.3．内角和公式的变形(1)sin(A＋B)＝sin C；(2)cos(A＋B)＝－cos C.4．角平分线定理：在△ABC中，若AD是角A的平分线，如图，则ABAC ＝BD DC.一．自学探究1、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．()(2)在△ABC中，若sin A＞sin B，则A＞B. ()(3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素．()(4)当b2＋c2－a2＞0时，△ABC为锐角三角形；当b2＋c2－a2＝0时，△ABC 为直角三角形；当b2＋c2－a2＜0时，△ABC为钝角三角形．()2．已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A＝π6，B＝π4，a＝1，则b＝()A．2B．1C. 3D. 23．在△ABC中，若a＝18，b＝24，A＝45°，则此三角形有() A．无解B．两解C．一解D．解的个数不确定4．在△ABC中，a cos A＝b cos B，则这个三角形的形状为二．典例讲解考点1利用正、余弦定理解三角形问题解三角形的常见题型及求解方法(1)已知两角A，B与一边a，由A＋B＋C＝π及asin A＝bsin B＝csin C，可先求出角C及b，再求出c.(2)已知两边b，c及其夹角A，由a2＝b2＋c2－2bc cos A，先求出a，再求出角B，C.(3)已知三边a，b，c，由余弦定理可求出角A，B，C.(4)已知两边a，b及其中一边的对角A，由正弦定理asin A＝bsin B可求出另一边b的对角B，由C＝π－(A＋B)，可求出角C，再由asin A＝csin C可求出c，而通过asin A＝bsin B求角B时，可能有一解或两解或无解的情况．例1 (1)(2019·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a sin A－b sin B＝4c sin C，cos A＝－14，则bc＝()A．6B．5C．4 D．3(2)(2019·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.设(sin B －sin C)2＝sin2A－sin B sin C.①求A；②若2a＋b＝2c，求sin C.练习1.(2019·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b sin A＋a cos B＝0，则B＝.2．在△ABC中，AB＝4，AC＝7，BC边上中线AD＝72，则BC＝9考点2与三角形面积有关的问题三角形面积公式的应用原则(1)对于面积公式S＝12ab sin C＝12ac sin B＝12bc sin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．例2.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sin A＋3cos A＝0，a＝27，b＝2.(1)求c；(2)[一题多解]设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积1.(2019·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b＝6，a＝2c，B＝π3，则△ABC的面积为．2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b＋c＝2a cosB.(1)证明：A＝2B；(2)若△ABC的面积S＝a24，求角A的大小．考点3判断三角形的形状判断三角形形状的2种思路(1)化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．(2)化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状．此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．例3设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b cos C＋c cos B＝a sin A，则△ABC的形状为()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定[母题探究]1．(变条件)本例中，若将条件变为2sin A cos B＝sin C，判断△ABC的形状．2．(变条件)本例中，若将条件变为a2＋b2－c2＝ab，且2cos A sin B＝sin C，判断△ABC的形状．三【课堂小结】1、本节课学了哪些知识内容？2、本节课用了哪些方法思想？四、【课堂达标】1．在△ABC中，a＝3，A＝120°，b＝1，则角B的大小为()A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°2．在△ABC 中，A ＝45°，AC ＝4，AB ＝2，那么cos B ＝( ) A ．31010B ．－31010C ．55D ．－553．已知关于x 的方程x 2－x cos A ·cos B ＋2sin 2C2＝0的两根之和等于两根之积的一半，则△ABC 一定是( )A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形4．(2019年山西运城模拟)△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .已知b ＝c ，a 2＝2b 2(1－sin A )，则A ＝( )A ．3π4B ．π3C ．π4D ．π65．已知△ABC 中，b 2＋c 2＞a 2且角A 为三个内角中的最大角，则角A 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎫2π3，πB ．⎝⎛⎭⎫π2，2π3 C ．⎝⎛⎭⎫π3，π2D ．⎝⎛⎭⎫π4，π36．(2019年广西梧州校级月考)如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内，若飞机的高度为海拔18 km ，速度为1 000 km/h ，飞行员先看到山顶的俯角为30°，经过1 min 后又看到山顶的俯角为75°，则山顶的海拔高度为(精确到0.1 km ，参考数据：3≈1.732)( )A．5.1 km B．5.6 kmC．6.1 km D．6.6 km7．在△ABC中，若b＝2，A＝120°，三角形的面积S＝3，则三角形外接圆的半径为()A． 3 B．2C．2 3 D．48．如图，在△ABC 中，已知点D 在BC 边上，AD ⊥AC ，sin ∠BAC ＝223，AB ＝32，AD ＝3，则BD 的长为( )A ． 2B ．2 2C ． 3D ．239．在△ABC 中，已知角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 且c (a cos B －b cos A )＝b 2，则sin Asin B＝________.10．已知△ABC 的周长为2＋1且sin A ＋sin B ＝2sin C ．若△ABC 的面积为16sin C ，则C ＝________.11．(2019年湖北武汉模拟)如图，A，B是海面上位于东西方向相距5(3＋3)海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距203海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/时，则该救援船到达D点需要________小时．12．(2017年新课标Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin(A ＋C )＝8sin 2 B2.(1)求cos B ；(2)若a ＋c ＝6，△ABC 的面积为2，求b .12. 【解析】(1)∵A ＋B ＋C ＝π，∴sin(A ＋C )＝sin B ． 又8sin 2B2＝8×1－cos B 2＝4(1－cos B )， ∴sin B ＝4(1－cos B )，两边平方，整理，得17cos 2B －32cos B ＋15＝0， 解得cos B ＝1517或cos B ＝1(舍去)．(2)由cos B ＝1517得sin B ＝817，∴S △ABC ＝12ac sin B ＝417ac ＝2，则ac ＝172.由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B )＝36－2×172×⎝⎛⎭⎫1＋1517＝4，∴b ＝2.13．如图，在△ABC 中，D 为AB 边上一点，DA ＝DC ，已知B ＝π4，BC ＝1.(1)若△ABC 是锐角三角形，DC ＝63，求角A 的大小； (2)若△BCD 的面积为16，求边AB 的长．13. 【解析】(1)在△BCD 中，B ＝π4，BC ＝1，DC ＝63，由正弦定理得BC sin ∠BDC ＝CDsin B ，解得sin ∠BDC ＝1×2263＝32，则∠BDC ＝π3或2π3.若∠BDC ＝π3，则∠BCD ＝π－π3－π4＝5π12，由DA ＝DC 可得∠A ＝∠ACD ＝π6，此时∠ACB＝5π12＋π6 ＝7π12，与△ABC 是锐角三角形矛盾，不合题意；若∠BDC ＝2π3，则∠BCD ＝π－2π3－π4＝π12，由DA＝DC可得∠A＝∠ACD＝π3，此时∠ACB＝π12＋π3＝5π12，满足题意．综上所述，A＝π3.(2)由于B＝π4，BC＝1，△BCD的面积为16，得12·BC·BD·sinπ4＝16，解得BD＝23.由余弦定理得CD2＝BC2＋BD2－2BC·BD·cos π4＝1＋29－2×23×22＝59，解得CD＝5 3，则AB＝AD＋BD＝CD＋BD＝5＋2 3，∴边AB的长为5＋2 3.参考答案1.A2.D 3C. 4.C 5.C 6.D 7.B 8.C 9.2 10. 60°11.1。
正弦定理和余弦定理
2 2 ∵ sinC＝ 1－ cos C＝ ， a＝ 3 2，∴ b＝ 2 3. 3
必修⑤
第1章
1.1
第2课时
第1章
解三角形
4．△ ABC 中，已知 b＝ 2 2，c＝ 2 6，C＝ 60° ，则 A＝ ________.
人 教 B 版 数 学
[答案]
90°
必修⑤
第1章
1.1
第2课时
第1章
解三角形
人 教 B 版 数 学
又由 b>a，知 B>A， ∴ 30° <B<180° ，∴ B＝ 90° . ∴ C＝ 180° －(A＋ B)＝ 180° － (30° ＋90° )＝60° . ∴ c＝ b2－ a2＝ 162－ 82＝ 8 3.
必修⑤
第1章
1.1
第2课时
第1章
解三角形
在△ ABC 中，a＝ λ，b＝ 3λ，∠ A＝ 45° ，则满足此 条件的三角形个数是( A． 0 C． 2 ) B． 1 D．无数个
解三角形
正弦定理的综合应用
[例 2] 在△ABC 中，已知∠ B＝ 60° ， tanAtanC＝ 2 ＋ 3，又知顶点 C 的对边 c 上的高为 4 3，求三角形三边 的长． [分析 ] 由已知件不难求出 tanA 和 tanC，从而求出 4 3 4 3 ∠ A 和∠ C，然后根据边 c＝ ＋ 进而问题得解． tanA tanB
人 教 B 版 数 学
必修⑤
第1章
1.1
第2课时
第1章
解三角形
人 教 B 版 数 学
必修⑤
第1章
1.1
第2课时
第1章
解三角形
一、选择题 1．在△ABC 中，a＝ 80，b＝ 100，A＝ 45° ，则此三 角形解的情况是( A．一解 C．一解或两解 ) B．两解 D．无解
余弦定理习题及练习
❖ 2．余弦定理的应用
❖ 利用余弦定理可以解决以下两类解三角形 的问题：
❖ 1已知三边,求三个角； ❖ 2已知两边和它们的夹角,可以求第三边,进
而求出其他角．
❖ 解：由于a＋b＋cb＋c－a＝3bc,
❖ 所以a2＝b2＋c2－bc,
❖ 又由余弦定理有a2＝b2＋c2－2bccosA,
❖ 又∵sinA＝sinB＋C ❖ ＝sinBcosC＋cosBsinC且 ❖ sinA＝2sinBcosC, ❖ ∴sinBcosC＝cosBsinC, ❖ 即sinB－C＝0,∴B＝C, ❖ 又B＋C＝120°,∴B＝C＝60°. ❖ 故△ABC为等边三角形．
❖ 例 3 在 △ ABC 中 , 若 b2sin2C ＋ c2sin2B ＝ 2bccosBcosC,试判断三角形的形状．
❖ 分析 由题目可获取以下主要信息：
❖ ① 边 角 之 间 的 关 系 ： b2sin2C ＋ c2sin2B ＝ 2bccosBcosC；
❖ ②确定三角形的形状．
❖ 解答本题先由正弦定理将边转化为角,然后 由三角恒等式进行化简,得出结论；也可先 由余弦定理及同角三角函数关系转化成边 之间的关系,然后由边的关系确定三角形形 状．
❖ 例4 在△ABC中,C＝2A,a＋c＝10,cosA ＝ ,求b.
❖ 点评 1本例首先由正弦定理结合倍角公式求出a、c,再利 用余弦定理求出b的值,通过正、余弦定理的完美结合求得 结果．
❖ 2正弦定理和余弦定理揭示的都是三角形的边角关系,要解 三角形,必须已知三角形的一边的长,对于两个定理,根据实 际情况可以选择地运用,也可以综合地运用,要注意以下关 系式的运用：
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（2）在 ABC 中，若
a cos A 2
b cos B 2
c cos C 2
，则 ABC 是( D )
A．等腰三角形 C．直角三角形
B．等腰直角三角形 D．等边三角形
例2 在△ABC中,sinA:sinB:sinC=4:5:6, 求cosA:cosB:cosC. a b c A 2R 由 解： sin A sin B sin C 得 a:b:c=sinA:sinB:sinC =4:5:6 ， 可设 a=4k，b=5k，c=6k，k>0 ，
∵ A、B为△ABC的内角 ，∴ A=B .
又 (a b c )(a b c ) 3ab， 2 2 2 a b c 1 2 2 2 . 得 a b c ab， cos C 2 2ab
∴ C=60°， ∴ A=B=C=60°，
故△ABC为等边三角形 .
练习 1. 例7 、 在ABC中，已知4 sinB sinC 1， b 2 c 2 a 2 bc， 且 B C ，求 A、B、C . 2 2 2 1 bc b c a 解： 由余弦定理， cos A 2bc 2 2bc 0 A 180 ， A 60 . B C 120
4 sinB sinC 1 4 sinB sin( 120 B) 1 3 1 4 sinB( cosB Bsin B )120 1 sinB) 1 (sin120 cos cos 2 2
3 sin2B 2 sin2 B 1 3 sin2B cos2B
2 由条件 （sin A sin B） sin2 C 3 sin A sin B 解：
sin2 A sin2 B sin2 C sin A sin B 由正弦定理 a b c 2R sin A sin B sin C ( a )2 ( b )2 ( c )2 a b 2R 2R 2R 2R 2R
a2 b2 c2 ab
cos C a b c ab 1 2ab 2ab 2
2 2 2
C 60 .
课后作业
1.预习教材1.2应用举例 2.《新概念》学生用书1.1.3课堂练习 3.《新概念》课时作业1.1.3
SABC
1 1 1 bc sin A ca sin B ab sin C 2 2 2
（三角形面积公式）
例1.ABC中，c 2 7 , C 120 , SABC 2 3，求a, b.
例2.ABC中，若(c-a)(c+a)=b 2 +ab，求C.
a+b+c 例3.ABC中，A= ,a= 3 ,求 的值 . 3 sin A sin B sin C
例4.判断ABC的形状 (1)a sin A b sin B;(2)a cos A b cos B
例4.判断ABC的形状 (1)a sin A b sin B;(2)a cos A b cos B
总结：
三角形边角化简就是消元，通过“化边为角”、“化 角为边”达到统一为角或边的目的 A+B+C=180 a 2 R sin A, b 2 R sin B, c 2 R sin C （1）化边为角： （2）化角为边：余弦定理推论， a b c sin A ,sin B ,sin C 2R 2R 2R
A
余弦定理
推论：
B
C
利用余弦定理,可解决“三边一角”问题
a b c sin A sin B sin C
BAຫໍສະໝຸດ chbC
a
1 1 1 S ABC a ha ac sinB ab sinC 2 2 2 1 1 同理可证：S ABC bc sin A ba sinC 2 2
1.1.2 正、余弦定理习题课（1）
A c B a C b
a b c 正弦定理： 2R sin A sin B sin C
利用正弦定理，可以解决“两边两角”问题
b2 c 2 a2 cos A 2bc c 2 a2 b2 cos B 2ca a2 b2 c 2 cos C 2ab
(2b c)(2b c) 3b ， b c .
2
abc.
故△ABC为等边三角形 .
例4 在△ABC中，已知 (a+b+c)(a+b-c)=3ab， 且 2cosAsinB=sinC，确定△ABC的形状 .
∵ A+B+C=180°， ∴ sin(A+B)= sinC， 解 2： 又 2cosAsinB=sinC， ∴ 2cosAsinB=sinAcosB+cosAsinB . 即 sinAcosB – cosAsinB =0 ，∴ sin(A－B)= 0 .
C
C
c 2 R sin C
2 R sin(A B)
a cos B b cos A
2 R sin A cos B 2 R sin B cos A
A
B
同理可证： b a cosC c cos A , a b cosC c cos B ,
例4 在△ABC中，已知 (a+b+c)(a+b-c)=3ab， 且 2cosAsinB=sinC，确定△ABC的形状 . sinC 由已知得， 解： cos A 2 sinB b2 c 2 a 2 c ab. 即 2bc 2b 又 (a b c )(a b c ) 3ab，
O
1 cos A a 例5.在ABC中，若 , 判断三角形的形状 1 cos B b
3 2 例5.在ABC中， cos( A C ) cos B , b ac , 求B. 2
练习： 1. （1）在 ABC 中，一定成立的等式是（ C ）
A. a sin A b sin B C . a sin B b sin A B . a cos A b cos B D. a cos B b cos A
B b2 c 2 a 2 由余弦定理有 cos A 2bc 25k 2 36k 2 16k 2 3 . 4 2 5k 6k 1 9 同理可得 cos B ，cosC ， 8 16 3 9 1 cos A : cos B : cosC : : 12 : 9 : 2 . 4 16 8
3 2 B 15 或 B B 30 或 2 B105 210 tan2 B 3 由于 B C 120 且 B C 60 B 120
B 105 ，C 180 ( A B) 15 .
2.在ABC中，若 （sinA sinB sinC） （sinA sinB sinC） 3 sinA sinB，求 C .