材料力学(I)第六章(配孙训方版)
孙训方《材料力学》第6版笔记课后习题考研真题详解
孙训方《材料力学》（第6版）笔记和课后习题（含考研真题）详解
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第1章绪论及基本概念
1.1复习笔记
材料力学是固体力学的一个分支，是研究结构构件和机械零件承载能力的基础学科。
其主要任务是研究材料及构件在外力作用下的变形、受力和失效的规律，为合理设计构件提供有关强度、刚度、稳定性分析的理论和方法。
本章主要介绍了材料力学的基本概念，是整个材料力学内容的一个浓缩，后面章节的叙述都是本章的展开和延伸。
一、材料力学的任务（见表1-1-1）
表1-1-1材料力学的任务
二、可变形固体的性质及其基本假设（见表1-1-2）
表1-1-2可变形固体的性质及其基本假设
三、杆件变形的基本形式（见表1-1-3）
表1-1-3杆件变形的基本形式。
材料力学(孙训方课件)
2--2截面处截取的分离体如图（c）
Y qL Q q( x a) 0 Q2 q x 2 a qL
2 2
qL
1
2
q
剪力等于梁保留一侧横 向外 力的代数和。外力对截 面的 形心顺时针为正。
( Fi ) 0 , 1 qLx2 M 2 q( x 2 a ) 2 0 2 1 M 2 q( x 2 a ) 2 qLx 2 2
A
O
x
B
M ( ) Px P(R Rcos ) PR(1 cos ) (0 )
Q( ) P 1 Psin (0 ) N ( ) P (0 ) 2 Pcos
③根据方程画内力图
M图 R P
A
O +
x
每一段的内侧点、驻点（Q=0点）
qa A B Q a
q
a
C x
BA段： Q BA qa；M BA 0； Q AB qa；M AB qa 2
若载荷、剪力、弯矩三图上下对齐，则下图函数的 增量等于上图的面积。
简易作图法: 利用内力和外力的几何关系、图形的突变规律及 面积增量关系（或特殊点的内力值）作图的方法。
[例4-4-1] 用简易作图法画下列各图示梁力图。
qa A B C a a 特殊点: q 解: 利用内力和外力的关系及
特殊点的内力值来作图。
§4–3 剪力方程和弯矩方程 · 剪力图和弯矩图
1. 内力方程：内力与截面位置坐标（x）间的函数关系式。
Q Q ( x)
M M ( x)
剪力方程 弯矩方程
2. 剪力图和弯矩图：
剪力图
孙训方材料力学(I)第五版课后习题答案完整版
第二章 轴向拉伸和压缩2-1 试求图示各杆1-1和2-2横截面上的轴力，并作轴力图。
（a ）解：；； （b ）解：；；（c ）解： ； 。
(d) 解： 。
2-2 一打入地基内的木桩如图所示，沿杆轴单位长度的摩擦力为f=kx ²（k 为常数），试作木桩的轴力图。
解：由题意可得：⎰0lFdx=F,有1/3kl ³=F,k=3F/l ³F N （x 1）=⎰1x 3Fx ²/l ³dx=F(x 1 /l) ³2-3 石砌桥墩的墩身高l=10m ，其横截面面尺寸如图所示。
荷载F=1000KN ，材料的密度ρ=2.35×10³kg/m ³，试求墩身底部横截面上的压应力。
解：墩身底面的轴力为：g Al F G F N ρ--=+-=)( 2-3图 )(942.31048.935.210)114.323(10002kN -=⨯⨯⨯⨯+⨯--=墩身底面积：)(14.9)114.323(22m A =⨯+⨯=因为墩为轴向压缩构件，所以其底面上的正应力均匀分布。
MPa kPa mkN A N 34.071.33914.9942.31042-≈-=-==σ2-4 图示一混合屋架结构的计算简图。
屋架的上弦用钢筋混凝土制成。
下面的拉杆和中间竖向撑杆用角钢构成，其截面均为两个75mm ×8mm 的等边角钢。
已知屋面承受集度为的竖直均布荷载。
试求拉杆AE 和EG 横截面上的应力。
解：=1） 求内力 取I-I 分离体得（拉）取节点E 为分离体，故（拉）2）求应力75×8等边角钢的面积A=11.5 cm2(拉)（拉）2-5图示拉杆承受轴向拉力，杆的横截面面积。
如以表示斜截面与横截面的夹角，试求当，30，45，60，90时各斜截面上的正应力和切应力，并用图表示其方向。
解：2-6 一木桩柱受力如图所示。
柱的横截面为边长200mm的正方形，材料可认为符合胡克定律，其弹性模量E=10 GPa。
材料力学课后标准答案
解：取轴向长为 的管分析：微元 上，作用力为
向分量 ，积分得
则： ，而
则：
题6-12图题6-13图
6-13长输水管受内压 ，管的内径为 ， ， ，用第四强度理论计算壁厚。（提示：可设管的轴向应变为零。）
解： ，数据代入，得：
，
所以
现已知
,
得
题6-5图
题6-6图题6-7图
6-6图示简支梁为 工字梁， ， 。 点所在截面在集中力 的左侧，且无限接近 力作用的截面。试求： 点在指定斜截面上的应力； 点的主应力及主平面位置（用单元体表示）。
解： 所处截面上弯矩、剪力：
，
查型钢表后， 点以下表面对中性轴静矩：
，
同理，积分得
所以， 处转角为 ，为顺时针方向； 处挠度为 ，为竖直向下。
8-6试求图示各刚架 点的竖直位移，已知刚架各杆的 相等。
解： 段： ； 段上
由卡氏定理， 处的竖直位移
分段带入后面积分：
为正值，则与 同向，竖直向下
分析可知， 处已经作用有竖直方向的力，为了能利用卡氏定理解题， 处和竖杆中间处的 分别为
（压）， （拉）
进而求得 （拉），由
求得：
8-3计算图示各杆件结构的变形能。
题8-3图
解： 首先求解 处的约束反力为
弯矩方程为：
则
分段积分：
解： 以逆时针方向为正，
，积分得
8-4试求图示各梁的 点的挠度的转角。
题8-4图
解： 以 点为 轴起点，结构的弯矩方程为：
则：
得
撤去 和 ，在 处作用逆时针向
材料力学(孙训方版全套课件)
有利于建立数学模型
2021/1/10
单元体的力学性质能代表整个物体 的力学性能。
三、材料的各向同性假设
内容：材料沿各个方向的力学性能是相同的。
四、小变形条件
内容：构件在荷载作用下产生的变形与其原始尺寸相比，
可以忽略不计，这样的变形为小变形。
B
FN,AB
A
FN,AC
A
C
2021/1/10
§4 材料力学主要研究对象的几何特征
受力特征：外力合力的作用线与杆件的轴线重合 2021/1变/10 形特征：轴向伸长或缩短
§2 内力、截面法、轴力及轴力图
1、内力的概念
固有内力：分子内力.它是由构成物体的材料的物理性 质所决定的.(物体在受到外力之前，内部就存在着内力)
附加内力：在原有内力的基础上，又添加了新的内力
内力与变形有关
2021/1/10
2021/1/10
§2 材料力学与生产实践的关系
人类历史有多久，力学的历史就 有多久。
“力”是人类对自然的省悟。
2021/1/10
经计算,符合现代力学原理.
2021/1/10
用竹索做成悬索桥，以充分利用竹材的拉伸强度。
2021/1/10
物理和理论力学: 运动的一般规律(质点 刚体) 质点:只有质量,没有大小. 刚体:有质量,有大小,但没有变形.
2021/1/10
30
(a)
(b)
材料力学的任务：
研究材料及构件在外力作用下所表现的力学 性质，为合理设计构件提供有关强度、刚度、稳 定性分析的理论和方法。
2021/1/10
构件受力后，由于塑性屈服引起塑性变形而导致其丧 失正常工作能力。试问这种情况是属于强度、刚度、 还是稳定性问题？
材料力学 孙训方 习题答案
[习题2-2]一打入基地内的木桩如图所示，杆轴单位长度的摩擦力f=kx**2，试做木桩的后力图。
解：由题意可得：33233110,,3/()3/(/)ll N fdx F kl F k F l F x Fx l dx F x l =====⎰⎰1有3[习题2-3] 石砌桥墩的墩身高m l 10=，其横截面面尺寸如图所示。
荷载kN F 1000=，材料的密度3/35.2m kg =ρ，试求墩身底部横截面上的压应力。
解：墩身底面的轴力为：g Al F G F N ρ--=+-=)( 2-3图 )(942.31048.935.210)114.323(10002kN -=⨯⨯⨯⨯+⨯--=墩身底面积：)(14.9)114.323(22m A =⨯+⨯=因为墩为轴向压缩构件，所以其底面上的正应力均匀分布。
MPa kPa mkNA N 34.071.33914.9942.31042-≈-=-==σ[习题2-7] 图示圆锥形杆受轴向拉力作用，试求杆的伸长。
2-7图解：取长度为dx 截离体（微元体）。
则微元体的伸长量为：)()(x EA Fdx l d =∆ ，⎰⎰==∆l l x A dxE F dx x EA F l 00)()(lxr r r r =--121，22112112d x l d d r x l r r r +-=+⋅-=， 2211222)(u d x l d d x A ⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=ππ，dx l d d du d x l d d d 2)22(12112-==+- du d d l dx 122-=，)()(22)(221212udud d l du u d d lx A dx -⋅-=⋅-=ππ因此，)()(2)()(202100u dud d E Fl x A dx E F dx x EA F l l l l⎰⎰⎰--===∆π lld x l d d d d E Fl u d d E Fl 011221021221)(21)(2⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=ππ ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+--=21221)(2111221d d l l d d d d E Fl π ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=122122)(2d d d d E Fl π214d Ed Fl π=[习题2-10] 受轴向拉力F 作用的箱形薄壁杆如图所示。
附录 材料力学 孙训方
材料力学电子教程
21
至于I x 则需先求出半圆形对其自身 2 形心轴的惯性矩。根据平行移轴公式可 2 2 2d πd ，而半圆形对于 得 I x′ = I x + ⋅ C 8 3π 直径轴x'(图b)的惯性矩等于圆形对x'轴 πd 4 的一半，于是得 的惯性矩 64
I xC
组合截面对某一轴的静矩应等 于其各组成部分对该轴静矩的 代数和。 代数和。
xc =
∑Ax
i i
n
ci
∑A
i
n
yc =
∑A y
i i
n
ci
i
∑A
i
n
i
材料力学电子教程 例题
附
录
10
一矩形截面如图所示， 均为已知值。 一矩形截面如图所示，图中的b、h和y1均为已知值。试 的静矩。 求有阴影线部分的面积对于对称轴X的静矩。
O
材料力学电子教程
简单几何图形的惯性矩： 简单几何图形的惯性矩：
附
录
14
求矩形截面对于对称轴（即形心轴） 求矩形截面对于对称轴（即形心轴）X和Y的惯性矩
bh 3 I x = ∫ y dA = ∫ y bdy = 12 h A
2 2
h 2
X
hb Iy = 12
3
−
2
求图示圆形截面对于形心轴即直径轴的惯性矩。 求图示圆形截面对于形心轴即直径轴的惯性矩。
用惯性半径表示惯性矩： 用惯性半径表示惯性矩：
Ix = ∫ y
A
2
dA
=
2 ix A
或
ix =
iy =
Ix A
Iy A
Iy
=
孙训芳材料力学课件 附录
y
2
∫ ( xy )dA = 0
A 2
dA
I P = ∑ I Pi
i =1
I x = ∑ I xi
i =1
I y = ∑ I yi
i =1
I xy = ∑ I xyi
i =1
惯性半径:
任意形状的截面图形的面积为A,则图形对 y轴和x轴的惯性半径分别定义为
y
iy =
x
dA
Iy A
ix =
Ix A
惯性半径的特征:
A. y轴不动,x轴平移; B. x轴不动,y轴平移; C. x轴不动,y轴任意移动;
O
x
D. y,x同时平移.
B
本章作业
I-1, I-16, I-3(c), I-19, I-6, I-9,
�
b/2 y b/2 xc
bh h h bh 2 S x = Ayc = = 2 2 3 12
h/2 x h/2 x1
dy y O
bh 3 ′ 2 = ∫ h2 y 2bdy = I x = ∫ y dA 12 A 2
h
1 bh 3 bh 3 Ix = = 2 12 24
2h bh I x1 = I xc + 3 2
2
h h bh I x = I xc + 2 3 2
2
3 3 2 bh 3 h bh 2bh bh 3 I = + I xc = = x1 9 36 6 36 4 24 2
例题
I.4
图示为三个等直径圆相切的组合问题,求对形 心轴x的惯性矩.
O2,O3到xc轴的距离
O1
1 3 3 d= d 3 2 6 2 3 3 d= d 3 2 3
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4. 将补充方程与平衡方程联立求解得：
FN1 FN2
eEA l
1
1 2
EA
，
E3 A3
FN3
eE3 A3 l
1
1 E3 A3
2EA
所得结果为正，说明原先假定杆1,2的装配内力为拉
力和杆3的装配内力为压力是正确的。
载Me和“多余”未知力偶矩MB，如图b；它应满足的位移 相容条件为
BMe
BM B
注：这里指的是两个扭转角的绝对值相等。
33
材料力学Ⅰ电子教案
第六章 简单的超静定问题
3. 根据位移相容条件利用物理关系得补充方程：
Mea M Bl GI p GI p
由此求得“多余”未知力，亦即约束力偶矩MB为
材料力学Ⅰ电子教案
第六章 简单的超静定问题
在基本静定系上加
B
C
D
上原有荷载及“多
1
2
余”未知力
FN3
并使“多余”约束
A
A
处满足变形(位移)
ΔA'
相容条件
A'
ΔA
A
F
FN3
相当系统 (equivalent system)
6
材料力学Ⅰ电子教案
第六章 简单的超静定问题
B 1
C 2
FN3
第六章 简单的超静定问题
求算FN3需利用位移(变形)相容条件 (图a)
AA AA e
列出补充方程
FN3l3 E3 A3
FN3l1
2 E1 A1cos2
e
(a)
由此可得装配力FN3，亦即杆3中的装配内力为
FN3
l3 E3 A3
e
l1
2 E1 A1cos2
(拉力）
20
材料力学Ⅰ电子教案
材料力学Ⅰ电子教案
第六章 简单的超静定问题
FN1=2FN3, FN2=2FN1=4FN3
FAx
FN1 FN3 FN2
FAy
F
(b)
5. 将上述二个补充方程与由平衡条件ΣMA=0所得平衡方程
FN1a FN3
1 2
a
FN
2
(2a)
F
(3a)
0
联立求解得
FN3
3 2F 110 2
5. 各杆横截面上的装配应力如下：
1
2
FN1 A
74.53
MPa
（拉应力）
3
FN3 A3
19.51
MPa
25
（压应力）
材料力学Ⅰ电子教案
第六章 简单的超静定问题
(2) 温度应力 也是由于超静定杆系存在“多余”约束，杆件会因温
度变化产生的变形受到限制而产生温度内力及温度应力。 铁路上无缝线路的长钢轨在温度变化时由于不能自由伸缩， 其横截面上会产生相当可观的温度应力。
下端的约束力，并求C截面的位移。杆 的拉压刚度为EA。
解: 1. 有两个未知约束力FA , FB(见图a)， 但只有一个独立的平衡方程
FA+FB-F=0 故为一次超静定问题。
11
材料力学Ⅰ电子教案
第六章 简单的超静定问题
2. 取固定端B为“多余” 约束。相应的相当系统如图b， 它应满足相容条件ΔBF+ΔBB=0， 参见图c，d。
26
材料力学Ⅰ电子教案
第六章 简单的超静定问题
例题6-4 试求两端与刚性支承连接的等截面杆(图a) 当温度升高t 时横截面上的温度应力。杆的横截面面积为
A，材料的弹性模量为E，线膨胀系数为l。
(a)
27
材料力学Ⅰ电子教案
第六章 简单的超静定问题
解: 1. 由平衡方程只能知道杆两端的轴向支约束力数 值相等而指向相反，但不能给出约束力的值，可见这是一 次超静定问题。
21
材料力学Ⅰ电子教案
22
第六章 简单的超静定问题
例题6-3 两端用刚性块连 接在一起的两根相同的钢杆1, 2(图a)，其长度l =200 mm，直 径d =10 mm。试求将长度为 200.11 mm，亦即e=0.11 mm的 铜杆3(图b)装配在与杆1和杆2 对称的位置后(图c)各杆横截面 上的应力。已知：铜杆3的横截 面为20 mm×30 mm的矩形，钢 的弹性模量E=210 GPa，铜的弹 性模量E3=100 GPa。
Fb a l EA
Fab lEA
13
材料力学Ⅰ电子教案
第六章 简单的超静定问题
例题 求图a所示结构中杆1, 2, 3的内力FN1 , FN2 , FN3。
杆AB为刚性杆，杆1, 2 , 3的拉压刚度均为EA。
E
F
13 2
a
AC
D
B
a
a
aF
(a)
14
材料力学Ⅰ电子教案
第六章 简单的超静定问题
6. 杆的横截面上的温度应力为
FN A
l Et
29
材料力学Ⅰ电子教案
第六章 简单的超静定问题
FN A
l Et
若该杆为钢杆而l =1.2×10-5/(˚C)，E=210GPa，则当
温度升高t =40˚时有
l Et 1.2105 / C 210109 GPa 40 C
3. 补充方程为
Fa FBl 0 EA EA
由此求得
FB
Fa l
所得FB为正值，表示FB的指向
与假设的指向相符，即向上。
12
材料力学Ⅰ电子教案
第六章 简单的超静定问题
4. 由平衡方程 FA+FB-F=0
得
FA=F-Fa/l=Fb/l。
5. 利用相当系统(如图)求得
ΔC
FAa EA
18
材料力学Ⅰ电子教案
第六章 简单的超静定问题
(a)
(b)
图a中所示杆系(E1A1=E2A2)中杆3的长度较应有长度 短了e，装配后各杆的位置将如图中虚线所示。此时，
杆3在结点 A' 处受到装配力FN3作用(图b)，而杆1,2在汇 交点A' 处共同承受与杆3相同的装配力FN3作用(图b)。
19
材料力学Ⅰ电子教案
第六章 简单的超静定问题
而杆1和杆2中的装配内力利用图b中右侧的图可知为
FN1
FN 2
FN3
2 c os
2
c
os
l3 E3 A3
e
2E1
l1 A1 cos2
压力
至于各杆横截面上的装配应力只需将装配内力(轴力) 除以杆的横截面面积即得。
由此可见，计算超静定杆系(结构)中的装配力和装配 应力的关键,仍在于根据位移(变形)相容条件并利用物理 关系列出补充方程。
100106 Pa 100 MPa （压应力）
30
材料力学Ⅰ电子教案
第六章 简单的超静定问题
§6-3 扭转超静定问题
例题6-5 两端固定的圆截面等直杆AB，在截面C处受 扭转力偶矩Me作用，如图a。已知杆的扭转刚度为GIp。试 求杆两端的约束力偶矩以及C截面的扭转角。
(a)
31
材料力学Ⅰ电子教案
，FN1
2FN3
6 2F 110 2
，FN2
4FN3
12 2F 110 2
17
材料力学Ⅰ电子教案
第六章 简单的超静定问题
Ⅱ. 装配应力和温度应力 (1) 装配应力
超静定杆系(结构)由于 存在“多余”约束，因此如 果各杆件在制造时长度不相 匹配，则组装后各杆中将产 生附加内力──装配内力， 以及相应的装配应力。
解：1. 共有五个未知力，如图b所示，但只有三个独 立的静力平衡方程，故为二次超静定问题。
2. 取杆1与结点C处的连接以及杆2与结点D处的连接 为多余约束，得基本静定系如图c。
FAx
FN1 FN3 FN2
FAy
F
(b)
3
C
D
(c)
15
材料力学Ⅰ电子教案
第六章 简单的超静定问题
3. 相当系统应满足的变形相容条件如图d所示为
材料力学Ⅰ电子教案
第六章 简单的超静定问题
(d)
解：1. 如图d所示有三个未知的装配内力FN1, FN2 , FN3， 但对于平行力系却只有二个独立的平衡方程，故为一次超静定
问题。也许有人认为，根据对称关系可判明FN1=FN2，故未知 内力只有二个，但要注意此时就只能利用一个独立的静力平衡
方程：
Fx 0， FN3 2FN1 0
MB
Mea l
另一约束力偶矩MA可由平衡方程求得为
MA
Me
MB
Me
Mea l
M eb l
34
材料力学Ⅰ电子教案 (a)
第六章 简单的超静定问题
4. 杆的AC段横截面上的扭矩为
TAC
M A
M eb l
(4) “多余”约束的选择虽然是任意的，但应以计算 方便为原则。
如上所示连续梁若取B处铰支座为“多余”约束，则
求解比较复杂。
y
q
A
C
Bx
l/2
l/2
q
A
Bx
C