北京市九年级上学期期中数学试卷
北京市大兴区2024~2025学年上学期九年级数学期中试卷
北京市大兴区2024~2025学年上学期九年级数学期中试卷一、单选题1．下列图形中，是中心对称图形而不一定是轴对称图形的是（ ）A ．平行四边形B ．矩形C ．菱形D ．等边三角形2．抛物线224y x =-的顶点坐标是（ ）A ．()1,2-B ．()0,4-C ．()1,2--D ．()2,03．二次函数23y x =-的图象向左平移2个单位长度，得到的二次函数解析式为（ ）A ．21y x =-B ．25=-y x C ．()223y x =--D ．()223y x =+-4．已知关于x 的一元二次方程230x mx +=+的一个根为1x =，则另一个根为（ ）A ．4x =-B ．3x =C ．4x =D ．3x =-5．若关于x 的一元二次方程2210ax x ++=有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是（ ）A ．1>-aB ．1a <C ．1>-a 且0a ≠D ．1a <且0a ≠6．如图，抛物线2y ax bx c =++的部分图象如图所示，若0y >，则x 的取值范围是（）A ．41x -<<B ．31x -<<C ．<4x -或1x >D ．3x <-或1x >7．如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，将ABC 绕点C 逆时针方向旋转58︒得到11A B C ．若点1A 恰好落在AB 边上，则1B ∠度数为（ ）A ．29︒B ．32︒C ．58︒D ．61︒8．如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交点为()1,0A ，(),0B m 且21m -<<-，有下列结论：①0b <；②a b <；③20a c +<；④若图象上有两点P (x 1,y 1)，Q (x 2,y 2)，当12x x n <<时，总有12y y <，则n 的取值范围为0.50n -<<．其中，正确的结论有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个二、填空题9．在平面直角坐标系xOy 中，点()2,3-关于原点的对称点坐标为 ．10．一元二次方程240x -=的根是 ．11．抛物线24y x x =+的对称轴是 ．12．已知，点()12,P y ，()25,Q y 为二次函数()212y x =--的图象上的两个点，则1y2y （填“＞”或“＜”）．13．若抛物线24y x x k =-+与x 轴无交点，则k 的取值范围是 ．14．请写出一个对称轴为直线1x =，且经过点()0,3的抛物线解析式 ．15．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点()2,0A ，点B (0,3)，连接AB ，将线段AB 绕点A 顺时针旋转90︒得到线段AC ，连接OC ，则线段OC 的长度为 ．16．某校生物学科老师在组织学生进行野外实践活动时，学生发现自然界的植物生长具有神奇的规律．比如某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，设这种植物每个支干长出的小分支个数为x ，则可列方程为 ．三、解答题17．计算：()0π23--18．解方程2420x x --=．19．解方程：21x x -=．20．已知二次函数()20y ax bx c a =++≠图象上部分点的横坐标x ，纵坐标y 的对应值如下表所示：x...1-0123...y 03-4-3-0…画出该二次函数的图象，并求出解析式．21．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为()4,0，点B 的坐标为()4,2，连接AB ，BO ，得到OAB △．(1)画出OAB △绕原点O 顺时针旋转90︒得到的11OA B ；(2)直接写出经过点1A ，1B ，A 的二次函数图象的对称轴22．在ACB △中，90C ∠=︒，以点A 为中心，分别将线段AB AC ，逆时针旋转60︒得到线段AD AE ，，连接DE ，延长DE 交CB 于点F ．连接AF ，求CAF ∠的度数．23．在平面直角坐标系xOy 中，函数2y x =的图象与函数4y kx =+（0k ≠）的图象交于点(),2A m ．(1)求m 与k 的值；(2)当1x >时，对于x 每一个值，总有函数1y nx =+（0n ≠）的值大于函数4y kx =+（0k ≠）的值，直接写出n 的取值范围．24．今年是中华人民共和国成立75周年，国庆期间一款主题为“强国有我”的纪念品深受欢迎．某商家将该款每件进价为20元的纪念品，按每件24元出售，每日可售出40件．经市场调查发现，这种纪念品每件涨价1元，日销售量会减少2件．(1)每件纪念品涨价多少元时，每日的利润为280元？(2)每件纪念品应涨价多少元，才能使每日利润最大，最大利润是多少元？25．行驶中的汽车，在刹车后由于惯性，还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离为制动距离y （单位：m ），车速为制动时车速x （单位：m /s ），时间为制动时间t （单位：s ）．为了解某型号汽车的制动性能，在理想状态下对其进行了测试，测得数据如下表：表1制动时车速x（m /s ）0246810⋯⋯制动时间t （s ）00.250.50.751 1.25⋯⋯表2制动时车速x（m /s ）0246810⋯⋯制动距离y （m ）00.251 2.254 6.25⋯⋯为观察y 与x 之间的关系，建立平面直角坐标系，以x 为横坐标，y 为纵坐标，描出表中数据对应的点，并用平滑曲线连接（如图），可以看出，这条曲线像是抛物线的一部分，于是，我们用二次函数来近似地表示y 与x 的关系．根据以上数据与函数图象，解决下列问题：(1)根据表1，当制动时车速x 为20m /s 时，制动时间t = s ；(2)直接写出制动距离y （单位：m ）与制动时车速x （单位：m /s ）之间的函数关系式；(3)有一辆该型号汽车在公路上发生了交通事故，交通事故发生时，现场测得制动距离为42.25m ，则此车制动时车速是 m /s ，已知该公路限速为80km /h ，那么在事故发生时，该汽车是 （填“超速行驶”或“正常行驶”）．26．在平面直角坐标系xOy 中，点()14,A y -，()21,B a y +在抛物线221=-+y x ax 上，抛物线经过点()3,C n y ．(1)当5n =时，若13y y =，则a 的值为 ；(2)若对于任意的46n ≤≤都满足132y y y >>，求a 的取值范围．27．已知，ABC V 是等腰三角形，60BAC ∠=︒，O 是ABC V 内的任意一点，连接OA ，OB ，OC ．(1)如图1，=90AOC ︒∠，120BOC ∠=︒，将BOC 绕点C 顺时针旋转60︒得到ADC △．点D 恰好落在BO 所在的直线上，用等式表示线段OA ，OB ，OC 之间的数量关系，并证明；(2)如图2，设AOC α∠=，BOC β∠=．当α= ︒，β= ︒时，OA OB OC ++有最小值．28．如图，点,B C 在直线l 上，点A 为直线l 外一点，AB AC =，对于点D 给出如下定义：将线段CA 绕点C 逆时针旋转α(0°<α<90°)得到线段CD ，当点D 在直线l 上（不与B 重合）时，称点D 为线段AB 的关联点．(1)如图40ABC ∠=︒，30BAD ∠=︒，点D （填“是”或“不是”）线段AB 的关联点；(2)已知点D 为线段AB 的关联点，ABC x ∠=︒，BAD y ∠=︒，请写出y 与x 的关系式及x 的取值范围（直接写出结果）．。
北京市陈经纶中学2024~2025学年九年级上学期期中考试数学试卷
北京市陈经纶中学2024~2025学年九年级上学期期中考试数学试卷一、单选题1．抛物线()212y x =-+的顶点坐标是（）A ．()1,2B ．()1,2-C ．()1,2-D ．()1,2--2．用配方法解方程242x x +=，变形后结果正确的是（）A ．()223x -=B ．()223x +=C ．()226x -=D ．()226x +=3．图中的五角星图案，绕着它的中心O 旋转n ︒后，能与自身重合，则n 的值至少是（）A ．144B ．72C ．60D ．504．若关于x 的一元二次方程240x x m -+=有两个相等的实数根，则实数m 的值为（）A ．4B ．4-C ．4±D ．25．将抛物线231y x =+的图象向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线是（）A ．()2323y x =+-B ．()2322y x =+-C ．()2323y x =--D ．()2322y x =--6．如图，在平面直角坐标系中，△ABC 顶点的横、纵坐标都是整数．若将△ABC 以某点为旋转中心，顺时针旋转90°得到△DEF ，其中A 、B 、C 分别和D 、E 、F 对应，则旋转中心的坐标是（）A ．（0，0）B ．(1,0)C ．(1,1)-D ．()0.5,0.57．11(,)2A y -，2(1,)B y ，3(4,)C y 三点都在二次函数2(2)y x k =--+的图像上，则123,,y y y 的大小关系为（）A ．123y y y <<B ．132y y y <<C ．312y y y <<D ．321y y y <<8．四位同学在研究二次函数()260y ax bx a =+-≠时，甲同学发现函数图象的对称轴是直线1x =；乙同学发现当3x =时，y =-6；丙同学发现函数的最小值为8-；丁同学发现3x =是一元二次方程()2600ax bx a +-=≠的一个根，已知这四位同学中只有一位同学发现的结论是错误的，则该同学是()A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁二、填空题9．方程260x x -=的解是．10．请写出一个开口向上，并且与y 轴交于点()0,1-的抛物线的表达式．11．如图，将OAB △绕点O 逆时针旋转80︒，得到OCD ，若2100A D ∠=∠=︒，则α∠的度数．12．如图，已知二次函数210y ax bx c a ++≠=（）与一次函数20y kx b k +≠=（）的图象相交于点(24),82A B ﹣，（，），则2ax bx c kx b +++=的解是．13．杭州亚运会的吉祥物“江南忆”出自唐朝诗人白居易的名句“江南忆，最忆是杭州”，它融合了杭州的历史人文、自然生态和创新基因．经统计，某商店吉祥物“江南忆”6月份的销售量为1200件，8月份的销售量为1452件，设吉祥物“江南忆”6月份到8月份销售量的月平均增长率为x ，则可列方程为．14．若关于x 的一元二次方程()221310k x x k -++-=的一个根为0，则k 的值为．15．汽车刹车后行驶的距离y （单位：m ）关于行驶的时间x （单位：s ）的函数解析式是：2156s x x =-，汽车刹车后前进了米才能停下来．16．车间里有五台车床同时出现故障．已知第一台至第五台修复的时间如下表：车床代号A B C D E 修复时间（分钟）15829710若每台车床停产一分钟造成经济损失10元，修复后即可投入生产．（1）若只有一名修理工，且每次只能修理一台车床，则下列三个修复车床的顺序：①D B E A C →→→→；②D A C E B →→→→；③C A E B D →→→→中，经济损失最少的是（填序号）；（2）若由两名修理工同时修理车床，且每台车床只由一名修理工修理，则最少经济损失为元．三、解答题17．解方程22730x x -+=．18．若a 是关于x 的一元二次方程2390x x -+=的根，求代数式()()()4431a a a +---的值．19．如图，ABC V 是直角三角形，90C ∠=︒，将ABC V 绕点C 顺时针旋转90︒．(1)试作出旋转后的DCE △，其中B 与D 是对应点；(2)在作出的图形中，已知5,3AB BC ==，求BE 的长．20．已知抛物线()20y ax bx c a =++≠图象上部分点的横坐标x 与纵坐标y 的对应值如下表：x ...2-1-0123...y (50)3-4-3-0…(1)并画出图象；(2)求此抛物线的解析式；(3)结合图象，直接写出当03x <<时y 的取值范围．21．已知关于x 的一元二次方程2(2)10x m x m -+++=．(1)求证：无论m 取何值，方程总有两个实数根；(2)若方程的一个实数根是另一个实数根的两倍，求m 的值．22．景区内有一块58⨯米的矩形郁金香园地（数据如图所示，单位：米），现在其中修建一条花道（阴影所示），供游人赏花．若改造后观花道的面积为12平方米，求x 的值．23．数学活动课上，老师提出一个探究问题：制作一个体积为310dm ，底面为正方形的长方体包装盒，当底面边长为多少时，需要的材料最省（底面边长不超过3dm ，且不考虑接缝）．某小组经讨论得出：材料最省，就是尽可能使得长方体的表面积最小．下面是他们的探究过程，请补充完整：(1)设长方体包装盒的底面边长为x dm ，表面积为2dm y 、可以用含x 的代数式表示长方体的高为210dm x ．根据长方体的表面积公式：长方体表面积=2×底面积+侧面积．得到y 与x 的关系式：_________（03x <≤）；(2)列出y 与x 的几组对应值：（说明：表格中相关数值精确到十分位）x /dm …0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.02/dm y …80.542.031.2①28.531.3(3)在下面的平面直角坐标系xOy 中，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象：(4)结合画出的函数图象，解决问题：长方体包装盒的底面边长约为_______dm 时，需要的材料最省．24．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线(²0)y ax bx c a =++>的对称轴为x t =，点(),A t m -，()2,B t n ，()00,C x y 在抛物线上．(1)当2t =时，直接写出m 与n 的大小关系；(2)若对于056x <<都有0m y n >>求t 的取值范围．25．在ABC V 中，AB AC =，090BAC ︒<∠<︒，将线段AC 绕点A 逆时针旋转α得到线段AD ，连接BD ，CD ．(1)如图1，当BAC α∠=时，则ABD ∠=______（用含有α的式子表示）；(2)如图2，当90α=︒时，作BAD ∠的角平分线交BC 的延长线于点F ，交BD 于点E ，连接DF ．①依题意在图2中补全图形，并求DBC ∠的度数；②用等式表示线段AF ，CF ，DF 之间的数量关系，并证明．26．对于平面直角坐标系xOy 内的点P 和图形M ，给出如下定义：如果点P 绕原点O 顺时针旋转90︒得到点P '，点P '落在图形M 上或图形M 围成的区域内，那么称点P 是图形M 关于原点O 的“伴随点”．已知点()()()1,1,3,1,3,2A B C ．(1)在点()()()1232,0,1,1,1,2P P P ---中，点______是线段A 关于原点O 的“伴随点”；(2)如果点(),2D m 是ABC V 关于原点O 的“伴随点”，直接写出m 的取值范围；(3)已知抛物线()21y x n =--+上存在ABC V 关于原点O 的“伴随点”，求n 的最大值和最小值．。
北京市2024~2025学年上学期九年级期中考试数学试卷(无答案)
2024-2025学年度第一学期初三年级数学期中练习学校______ 姓名______ 准考证号______注意事项1．本调研卷共8页，满分100分，时间120分钟.2．在调研卷和答题纸上准确填写学校名称、姓名和准考证号.3．调研卷答案一律填涂或书写在答题纸上，在调研卷上作答无效.4．在答题纸上，选择题用2B 铅笔作答，其他题用黑色字迹签字笔作答.第一部分 选择题一、选择题（共16分，每题2分）第1~8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ）A ．1，3，1B ．，，C ．，，D ．，，2．下面四幅球类的平面图案中，是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．3．已知，，三点都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为（）A ．B ．C ．D ．4．用配方法解一元二次方程时，变形后的结果正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．5．将抛物线先向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，得到的抛物线是（ ）A ．B ．C ．D ．6．如图，一块含角的三角尺绕点顺时针旋转到的位置，当点，，在一条直线上时，三角尺旋转的角度为（）A ．B ．C ．D ．7．如图，二次函数的图象经过，，三点，下面四2310x x +-=031-131-13-1-()12,A y -()21,B y ()34,C y 25y x =-+1y 2y 3y 123y y y <<312y y y <<231y y y <<321y y y <<241x x -=2(2)1x +=2(2)5x +=2(2)5x -=2(2)3x -=-25y x =25(2)3y x =-+25(2)3y x =++25(2)3y x =--25(2)3y x =+-30︒ABC C A B C ''△B C A 'ABC 30︒120︒60︒150︒2(0)y ax bx c a =++≠(0,54)A (20,57.9)B (40,46.2)C个结论中正确的是（ ）A ．抛物线开口向上B ．当时，取最大值57.9C ．该抛物线的对称轴的取值范围是D ．当时，一元二次方程总有两个不相等的实数根8．如图，已知正方形的中心为．将正方形绕点逆时针旋转得到正方形，两个正方形的公共点为，，，，，，，．对八边形给出下面四个结论：①该八边形各边长都相等；②该八边形各内角都相等；③点到该八边形各顶点的距离都相等；④点到该八边形各边的距离都相等．上述结论中，所有正确结论的序号是（）A ．①④B ．①③C ．②④D ．①②③④第二部分 非选择题二、填空题（共16分，每题2分）9．请写出有一个根为的一元二次方程______．10．请写出一个开口向上，顶点坐标是的抛物线表达式______．11．已知一元二次方程的两个根为，，则______．12．已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，那么______．13．如图，在中，，在同一平面内，将绕点旋转到的位置，使得，则的度数为______．20x =y x h =1020h <<54m >2ax bx c m ++=ABCD O ABCD O 60︒A B C D ''''G H I J K L M N GHIJKLMN O O 2-(1,2)2620x x +-=1x 2x ()()1211x x ++=x 2610x x m ++-=m =ABC △65CAB ∠=︒ABC △A AB C ''△CC AB '∥BAB ∠'13题14．如图，是二次函数的部分图象，由图象可知关于的不等式的解集为______．14题15．如图，在正方形网格中，将绕某一点旋转某一角度得到了，则旋转中心可能是点______（填，，，之—）15题16．下表记录了二次函数中两个变量与的三组对应值：281点，在该函数图象上．若当时，，下列四个结论：①；②；③；④若记二次函数的图象为图形，存在直线与图形有两个交点，则．上述结论中，所有正确结论的序号是______．三、解答题（本题共68分，第17题8分，18-25题每题5分，第26题6分，第27、28题每题7分）17．解方程：2y ax bx c =++x 22ax bx c ++>ABC △A B C '''△1P 2P 3P 4P 2(0)y ax bx c a =++≠x y x2- ynn()11,P x y ()22,Q x y 122x x <<121y y <<0a <126x x +>25510a b c ++->()218,0y ax bx c x x a =++<<≠G y k =G 123x <<（1）；（2）．18．已知是方程的一个根，求代数式的值．19．如图，在中，点，分别在，上，，连接与对角线相交于点．（1）求证：；（2）连接，为的中点，连接．若，求的长．20．已知关于的方程（为实数，）．（1）求证：此方程总有两个实数根；（2）如果此方程的两个实数根都为负整数，求整数的值．21．如图，在平面直角坐标系中，点，，，点与点关于原点对称．（1）点的坐标是______；（2）在图中画出绕着点顺时针旋转后的；（3）在轴上是否存在点，使得的面积等于的面积．若存在，直接写出点的坐标，若不存在，说明理由.22．已知二次函数．（1）将二次函数化成的形式；（2）在平面直角坐标系中画出的图象．25x x =2680x x -+=m 2240x x +-=2(2)(3)(3)m m m +++-ABCD E F AB CD BE DF =EF AC O OE OF =CE G CE OG 2OG =AE x 2(2)20mx m x +--=m 0m ≠m xOy (2,0)A (1,3)B -(1,3)D B C C ABD △A 90︒11AB D △x E ADE △ABC △E 223y x x =+-2()y a x h k =-+223y x x =+-步骤一：列表步骤二：根据表中数值描点，画图.（3）当时，结合函数图象，直接写出的取值范围______．23．如图，用一条长60m 的绳子围成矩形，设边的长为x m.（1）边的长为______m ，矩形的面积为______（均用含的代数式表示）；（2）矩形的面积是否可以是？请给出你的结论，并用所学的方程或者函数知识说明理由．24．二次函数的图象经过点，当时，函数的最小值为.（1）求该二次函数的解析式；（2）直线与抛物线和直线的交点分别为点，点．①当时，______；②结合函数的图象，直接写出时的取值范围______．25．跳水运动是一项以高度、技术和美感为特点的水上运动项目．某跳水运动员进行10米跳台跳水训练，身体（看成一点）在空中的运动轨迹可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到落水的过程中，运动员离水面的竖直高度（单位：m ）与离起跳点的水平距离（单位：m ）近似满足函数关系．xy22x -<<y ABCD AB BC ABCD 2m x ABCD 2230m 2(0)y ax bx c a =++≠(3,0)1x =4-x m =2(0)y ax bx c a =++≠3y x =-C D 1m =-CD =4CD ≥m OB y A x 2()y a x h k =-+（1）运动员第一次跳水时水平距离与竖直高度的几组数据如下：水平距离00.250.50.75 1.5竖直高度10.0010.7511.0010.757.00①根据上述数据，运动员第一次跳水的竖直高度的最大值为______m ：②正常情况下，运动员在距水面高度5米之前必须完成规定的翻腾、打开动作，并调整好入水姿势，否则就会失误．若运动员在第一次跳水时在空中调整好入水姿势时，恰好距离起跳点的水平距离为1.7米，那么判断他是否会失误?请说明理由.（2）进水角度是指运动员跳入水中时身体与水平面的夹角，如图中所示．通常情况下，跳水运动员努力控制身体与水面的角度接近垂直，是减小水花的关键因素之一．在第二次跳水时，该运动员的竖直高度与水平距离近似满足函数关系式：，则此时的水花相比第一次跳水的水花______（填“变大”“不变”或“变小”）．26．在平面直角坐标系中，点，在抛物线上，抛物线的对称轴为直线（1）若，则______；（2）若，比较，的大小，并说明理由；（3）已知点也在该抛物线上，若，都有，求的取值范围．27．已知：在中，，，是内的一点，．（1）如图1，请写出与的大小关系，并证明.（2）如图2，点为的中点，连接，.用等式表示，之间的数量关系并证明．28．在平面直角坐标系中，对于图形给出如下定义：图形绕点顺时针旋转得到的图形记为图形，对于图形上任意一点，存在实数满足，则称满足条x y /x m /y mA ∠αy x 28(0.5)12y x =--+xOy (1,)M m (3,)N n 2(0)y ax bx c a =++>x t=m n =t =2t >m n ()0,P x p 010x -<<m p n <<t ABC △AC BC =90ACB ∠=︒E ABC △135AEB ∠=︒ABE ∠CAB ∠F AB EF EC EF EC xOy P P (,)()M a b x a ≠90︒Q Q (,)x y k ||||0k x a y b ---=件的的最大值为图形关于点“旋转最大值”（1）若为原点，，，线段绕点顺时针旋转的图形记为线段．①画出线段；②直接写出线段关于点的“旋转最大值”______；（2）若为原点，，，，直接写出线段关于点的“旋转最大值”______．（3）若点，图形是顺次连接，，，所组成的四边形，图形关于点，则的取值范围是______．k P M M (0,4)B (1,5)C BC M 90︒B C ''B C ''BC M M (,4)B m (1,5)C m +02m ≤≤BC M (,)M t t P (2,1)E t -(2,1)F t --(2,1)G t +-(2,1)H t +P M t。
北京市 九年级(上)期中数学试卷-(含答案)
九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.里约奥运会后，受到奥运健儿的感召，群众参与体育运动的热度不减，全民健身再次成为了一种时尚，球场上也出现了更多年轻人的身影．请问下面四幅球类的平面图案中，是中心对称图形的是（）A. B. C. D.2.用配方法解方程x2+6x+2=0，配方正确的是（）A. (x+3)2=9B. (x−3)2=9C. (x+3)2=6D. (x+3)2=73.如图，小林坐在秋千上，秋千旋转了80°，小林的位置也从A点运动到了A'点，则∠OAA'的度数为（）A. 40∘B. 50∘C. 70∘D. 80∘4.将抛物线y=2x2平移后得到抛物线y=2x2+1，则平移方式为（）A. 向左平移1个单位B. 向右平移1个单位C. 向上平移1个单位D. 向下平移1个单位5.在△ABC中，∠C=90°，以点B为圆心，以BC长为半径作圆，点A与该圆的位置关系为（）A. 点A在圆外B. 点A在圆内C. 点A在圆上D. 无法确定6.若扇形的圆心角为60°，半径为6，则该扇形的弧长为（）A. πB. 2πC. 3πD. 4π7.已知2是关于x的方程x2+ax-3a=0的根，则a的值为（）A. −4B. 4C. 2D. 458.太阳影子定位技术是通过分析视频中物体的太阳影子变化，确定视频拍摄地点的一种方法．为了确定视频拍摄地的经度，我们需要对比视频中影子最短的时刻与同一天东经120度影子最短的时刻．在一定条件下，直杆的太阳影子长度l（单位：米）与时刻t（单位：时）的关系满足函数关系l=at2+bt+c（a，b，c是常数），如图记录了三个时刻的数据，根据上述函数模型和记录的数据，则该地影子最短时，最接近的时刻t是（）A. 12.75B. 13C. 13.33D. 13.5二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）9.方程x2-x=0的解是______ ．10.请写出一个对称轴为x=3的抛物线的解析式______ ．11.若关于x的方程x2-2x-m=0有两个相等的实数根，则m的值是______．12.CPI指居民消费价格指数，反映居民家庭购买消费商品及服务的价格水平的变动情况．CPI的涨跌率在一定程度受到季节性因素和天气因素的影响．根据北京市2015年与2016年CPI涨跌率的统计图中的信息，请判断2015年1～8月份与2016年1～8月份，同月份比较CPI涨跌率下降最多的月份是______ 月；请根据图中提供的信息，预估北京市2016年第四季度CPI涨跌率变化趋势是______ ，你的预估理由是______ ．三、解答题（本大题共13小题，共72.0分）13.求抛物线y=x2-2x的对称轴和顶点坐标，并画出图象．14.已知：m2+2m-3=0．求证：关于x的方程x2-2mx-2m=0有两个不相等的实数根．15.如图，在等边△ABC中，点D是AB边上一点，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转60°后得到CE，连接AE．求证：AE∥BC．16.如图1是某公园一块草坪上的自动旋转喷水装置，这种旋转喷水装置的旋转角度为240°，它的喷灌区是一个扇形．小涛同学想了解这种装置能够喷灌的草坪面积，他测量出了相关数据，并画出了示意图．如图2，A，B两点的距离为18米，求这种装置能够喷灌的草坪面积．17.2（1）二次函数图象的开口向______ ，顶点坐标是______ ，m的值为______ ；（2）当x＞0时，y的取值范围是______ ；（3）当抛物线y=ax2+bx+c的顶点在直线y=x+n的下方时，n的取值范围是______ ．18.如图，在△ABC中，AB=BC，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E，过点A作⊙O的切线交BC的延长线于点F，连接AE．（1）求证：∠ABC=2∠CAF；（2）过点C作CM⊥AF于M点，若CM=4，BE=6，求AE的长．19.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+mx+n-1的对称轴为x=2．（1）m的值为______ ；（2）若抛物线与y轴正半轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B，当△OAB是等腰直角三角形时，求n的值；（3）点C的坐标为（3，0），若该抛物线与线段OC有且只有一个交点，求n的取值范围．20.在菱形ABCD中，∠BAD=α，E为对角线AC上的一点（不与A，C重合），将射线EB绕点E顺时针旋转β角之后，所得射线与直线AD交于F点．试探究线段EB与EF的数量关系．小宇发现点E的位置，α和β的大小都不确定，于是他从特殊情况开始进行探究．（1）如图1，当α=β=90°时，菱形ABCD是正方形．小宇发现，在正方形中，AC 平分∠BAD，作EM⊥AD于M，EN⊥AB于N．由角平分线的性质可知EM=EN，进而可得△EMF≌△ENB，并由全等三角形的性质得到EB与EF的数量关系为______．（2）如图2，当α=60°，β=120°时，①依题意补全图形；②请帮小宇继续探究（1）的结论是否成立．若成立，请给出证明；若不成立，请举出反例说明；（3）小宇在利用特殊图形得到了一些结论之后，在此基础上对一般的图形进行了探究，设∠ABE=γ，若旋转后所得的线段EF与EB的数量关系满足（1）中的结论，请直接写出角α，β，γ满足的关系：______21.点P到∠AOB的距离定义如下：点Q为∠AOB的两边上的动点，当PQ最小时，我们称此时PQ的长度为点P到∠AOB的距离，记为d（P，∠AOB）．特别的，当点P在∠AOB的边上时，d（P，∠AOB）=0．在平面直角坐标系xOy中，A（4，0）．（1）如图1，若M（0，2），N（-1，0），则d（M，∠AOB）= ______ ，d（N，∠AOB）= ______ ；（2）在正方形OABC中，点B（4，4）．①如图2，若点P在直线y=3x+4上，且d（P，∠AOB）=22，求点P的坐标；②如图3，若点P在抛物线y=x2-4上，满足d（P，∠AOB）=22的点P有______ 个，请你画出示意图，并标出点P．答案和解析1.【答案】C【解析】解：A、不是中心对称图形，故此选项错误；B、不是中心对称图形，故此选项错误；C、是中心对称图形，故此选项正确；D、不是中心对称图形，故此选项错误；故选：C．根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心进行分析即可．此题主要考查了中心对称图形，关键是掌握中心对称图形的定义．2.【答案】D【解析】解：x2+6x=-2，x2+6x+9=-2+9，（x+3）2=7，故选：D．将常数项移至方程的右边，再两边都加上一次项系数一半的平方即可得．本题主要考查配方法，用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为ax2+bx+c=0（a≠0）的形式；②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．3.【答案】B【解析】解：∵秋千旋转了80°，小林的位置也从A点运动到了A'点，∴AOA′=80°，OA=OA′，∴∠OAA'=（180°-80°）=50°．故选：B．根据旋转角的定义、旋转的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理进行解答．本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．4.【答案】C【解析】解：抛物线y=2x2平移得到抛物线y=2x2+1的步骤是：向上平移1个单位．故选：C．直接利用二次函数图象平移规律（左加右减，上加下减）进而得出答案．此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确记忆平移规律是解题关键．5.【答案】A【解析】解：∵在△ABC中，∠C=90°，∴AB＞BC，∴点A在圆外．故选A．根据点与圆的位置关系即可得出结论．本题考查的是点与圆的位置关系，熟知点与圆的三种位置关系是解答此题的关键．6.【答案】B【解析】解：弧长l==2π．故选B．根据弧长公式进行求解即可．本题考查了弧长的计算，解答本题的关键是掌握弧长公式：l=．7.【答案】B【解析】解：∵2是关于x的方程x2+ax-3a=0的一个根，∴把x=2代入得：22+2a-3a=0，解得：a=4．故选：B．根据题意把x=2代入方程，即可求出a的值，从而选出选项．本题主要考查了对一元一次方程的解及解法的理解和掌握，把2代入方程，求出关于a的方程的解是解此题的关键．8.【答案】C【解析】解：把（12，0.6）、（13，0.35）、（14，0.4）代入l=at2+bt+c中得：，解得：，∴l=0.15t2-4t+27，∵0.15＞0，∴l有最小值，当t=-=≈13.33时，该地影子最短；故选C．利用待定系数法求二次函数的解析式，求顶点坐标的横坐标即可．本题是二次函数的应用，考查了利用待定系数法求二次函数的解析式，具体思路为：把三个点的坐标代入解析式中，列三元一次方程组，解出方程组的解，写出解析式，最后求最值．9.【答案】0或1【解析】解：原方程变形为：x（x-1）=0，∴x=0或x=1．本题应对方程进行变形，提取公因式x，将原式化为两式相乘的形式，再根据“两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0”来解题．本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的提点灵活选用合适的方法．本题运用的是因式分解法．10.【答案】y=（x-3）2（答案不唯一）【解析】解：依题意取a=1，顶点坐标（3，0），由顶点式得y=（x-3）2．即故答案为y=（x-3）2（答案不唯一）．根据对称轴为x=3可知顶点的横坐标为3，纵坐标可任意选择一个数，由顶点式写出二次函数解析式．此题主要考查了抛物线的对称轴、开口方向与抛物线顶点式的关系：顶点式y=a（x-h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是x=h．a＞0时，开口向上，a＜0时，开口向下．11.【答案】-1【解析】解：∵关于x的方程x2-2x-m=0有两个相等的实数根，∴△=0，∴（-2）2-4×1×（-m）=0，解得m=-1．根据方程有两个相等的实数根，判断出根的判别式为0，据此求出m的值即可．本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．12.【答案】8；先减后增；2015年9～12月份CPI涨跌率先减后增，所以预估北京市2016年第四季度CPI涨跌率变化趋势是先减后增【解析】解：由函数图象可知，2015年1～8月份与2016年1～8月份，同月份CPI涨跌率8月份相差2.6%-1%=1.6%，∴同月份比较CPI涨跌率下降最多的月份是8月；根据图中提供的信息，预估北京市2016年第四季度CPI涨跌率变化趋势是先减后增，预估理由是2015年1～8月份与2016年1～8月份，同月份CPI涨跌率基本保持一致，而2015年9～12月份CPI涨跌率先减后增，∴预估北京市2016年第四季度CPI涨跌率变化趋势是先减后增，故答案为：8，先减后增，2015年9～12月份CPI涨跌率先减后增，所以预估北京市2016年第四季度CPI涨跌率变化趋势是先减后增．根据前8个月CPI涨跌率的差值确定最大差距即可得，由2015年1～8月份与2016年1～8月份，同月份CPI涨跌率基本保持一致，而2015年9～12月份CPI涨跌率先减后增，可预估北京市2016年第四季度CPI涨跌率变化趋势是先减后增．本题主要考查函数的图象，理解题意弄懂函数图象是解题的关键．13.【答案】解：y=（x-1）2-1，∴对称轴为x=1，顶点为（1，-1）．其函数图象如图所示．【解析】把二次函数解析式化为顶点式，可求得其对称轴及其顶点坐标，再利用描点法可画出其函数图象．本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a（x-h）2+k中，其顶点坐标为（h，k），对称轴为x=h．14.【答案】解：∵m2+2m-3=0，∴m2+2m=3，∴△=4m2+8m=4（m2+2m）=12＞0，∴原方程有两个不相等的实数根．【解析】求出根的判别式，判断其值大于0，即可得证．此题考查了根的判别式，一元二次方程中根的判别式大于0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式小于0，方程没有实数根；根的判别式等于0，方程有两个相等的实数根．15.【答案】解：∵△ABC是等边三角形，∴AC=BC，∠B=∠ACB=60°．∵线段CD绕点C顺时针旋转60°得到CE，∴CD=CE，∠DCE=60°，∴∠DCE=∠ACB，即∠BCD+∠DCA=∠DCA+∠ACE，∴∠BCD=∠ACE，在△BCD与△ACE中，BC=AC∠BCD=∠ACE DC=EC∴△BCD≌△ACE，∴∠EAC=∠B=60°，∴∠EAC=∠ACB，∴AE∥BC．【解析】根据等边三角形的性质得出AC=BC，∠B=∠ACB=60°，根据旋转的性质得出CD=CE，∠DCE=60°，求出∠BCD=∠ACE，根据SAS推出△BCD≌△ACE，根据全等得出∠EAC=∠B=60°，求出∠EAC=∠ACB，根据平行线的判定得出即可．本题考查了平行线的判定，等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定，旋转的性质的应用，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．16.【答案】解：过点O作OC⊥AB于C点．∵OC⊥AB，AB=18，∴AC=12AB=9，∵OA=OB，∠AOB=360°-240°=120°，∴∠AOC=12∠AOB=60°．在Rt△OAC中，OA2=OC2+AC2，OA，又∵OC=12∴r=OA=63．∴S=240πr2=72π（m2）．360【解析】作OC⊥AB，根据垂径定理得出AC=9，继而可得圆的半径OA的值，再根据扇形面积公式可得答案．本题主要考查垂径定理和扇形的面积公式，熟练掌握垂径定理求得圆的半径是解题的关键．17.【答案】上；（1，-2）；2；y≥-2；n＞-3【解析】解：（1）把点（0，-1），（1，-2）和（2，-1）代入二次函数解析式可得，解得，∴二次函数解析式为y=x2-2x-1=（x-1）2-2，∴二次函数图象开口向上，顶点坐标为（1，-2），令x=-1，代入可得m=2，故答案为：上；（1，-2）；2；（2）∵y=（x-1）2-2，∴当x=1时，y有最小值-2，∴当x＞0时，y≥-2，故答案为：y≥-2；（3）在y=x+n中，令x=1代入可得y=1+n，∵抛物线y=ax2+bx+c的顶点在直线y=x+n的下方时，∴1+n＞-2，解得n＞-3，故答案为：n＞-3．（1）由表中所给x、y的对应值，可求得二次函数解析式，可求得抛物线的开口方向及顶点坐标，令x=-1代入可求得m的值；（2）由二次函数的解析式可求得其增减性，当x＞0时，可知其有最小值，无最大值，可求得y的取值范围；（3）在y=x+n中，令x=1代入，结合条件可得到关于n的不等式，可求得n的取值范围．本题主要考查二次函数的性质，利用待定系数法求得二次函数解析式是解题的关键．18.【答案】（1）证明：连接BD，∵AB是直径，∴∠ADB=90°，∵AF是⊙O的切线，∴∠BAF=90°．∴∠1+∠BAC=∠2+∠BAC=90°．∴∠1=∠2．∵AB=BC，∴∠ABC=2∠1=2∠2；（2）解：∵∠1=∠2=∠3，∠3=∠4，∴∠2=∠4．∵AB是直径，∴CE⊥AE，∵CM⊥AF，CM=4，∴CE=CM=4，∵BE=6，∴AB=BC=BE+EC=10．在Rt△ABE中，AE=2−BE2=102−62=8．【解析】（1）首先连接BD，由AB为直径，可得∠ADB=90°，然后由等角的余角相等，证得∠1=∠2，继而证得结论；（2）由圆周角定理，易证得∠2=∠4，又由AB为直径，CM⊥AF，可求得CE=CM=4，继而求得AB的长，则可求得答案．此题考查了切线的性质、圆周角定理、勾股定理以及直角三角形的性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．19.【答案】-4【解析】解：（1）对称轴：x=-=2，m=-4；（2）把m=-4代入抛物线y=x2+mx+n-1得：y=x2-4x+n-1，当x=0时，y=n-1，∴A（0，n-1），B（2，0），∵△OAB是等腰直角三角形，∴OA=OB，即：n-1=2，n=3；（3）①如图1，当抛物线顶点在x轴上时，△=0，（-4）2-4×1×（n-1）=0n=5，②如图2，当抛物线过点C（3，0）时，把（3，0）代入得：32-4×3+n-1=0，n=4，③如图3，当抛物线过原点时，n-1=0，n=1，结合图象可得，1≤n＜4或n=5．（1）根据对称轴公式：x=-代入计算，可求m；（2）把m=-4代入后，令x=0，计算出与y轴交点，写出点A的坐标，点B是对称轴与x轴的交点，所以B（2，0）；（3）分三种情况：①如图1，当抛物线顶点在x轴上时，与抛物线只有一个交点，则△=0；②如图2，当抛物线过点C（3，0）时，代入可求n；③如图3，当抛物线过原点时，即过（0，0）代入可求n，发现从过原点时的抛物线向上平移，一直到过图2，都符合条件，所以n的取值为：1≤n＜4或n=5．本题考查了二次函数的图象和等腰直角三角形的性质，明确等腰直角三角形中两条边相等，同时还要熟知：①对称轴公式：直线x=-；②抛物线过原点时，经过（0，0）；③抛物线的顶点在x轴上时，△=0；本题的易错点在：抛物线与线段OC有且只有一个交点，当n在4与5之间时不满足条件，要注意．20.【答案】EB=EF；α+β=180°或α2+β2+γ=180°【解析】解：（1）EB=EF，故答案为：EB=EF；（2）①补全图形如图2所示，②结论依然成立EB=EF；证法1：如图3，过点E作EM⊥AF于M，EN⊥AB于N．∵四边形ABCD为菱形，∴∠CAD=∠CAB．∵EM⊥AF，EN⊥AB．∴∠FME=∠N=90°，EM=EN，∵∠BAD=60°，∠BEF=120°，∴∠F+∠ABE=360°-∠BAD-∠BEF=180°．∵∠ABE+∠EBN=180°，∴∠F=∠EBN；在△EFM与△EBN中，∴△EFM≌△EBN．∴EF=EB；证法2：如图4，连接ED∵四边形ABCD是菱形，∴AD=AB，∠DAC=∠BAE．又∵AE=AE，∴△ADE≌△ABE．∴ED=EB，∠ADE=∠ABE，又∵∠DAB=60°，∠BEF=120°．∴∠F+∠ABE=180°．又∵∠ADE+∠FDE=180°，∴∠F=∠FDE．∴EF=ED．∴EF=EB．（3）如图3，由（2）的证法1知，△FEM≌△BEN，∴∠FEM=∠BEN，∴∠BEF=∠MEN，在四边形AMEN中，∠BAC+∠MEN=180°，∴∠BAC+∠BEF=180°，∴α+β=180°如图4，由（2）的证法2知，△ADE≌△ABE，∴∠ADE=∠ABE=γ，∠DAE=∠BAE=，∠AEB=∠AED=，根据三角形的内角和得，∠ADE+∠DAE+∠AED=180°，∴°．故答案为：α+β=180°或°．（1）直接得出结论；（2）①依题意补全图形如图2所示，②证法1，利用菱形的性质得出，∠DAC=∠BAC，再用角平分线的性质，得出EM=EN，进而判断出△EFM≌△EBN即可；证法2，利用菱形的性质直接判断出△AED≌△AEB，即可得出结论；（3）借助（2）的两种证法，利用全等三角形的性质和四边形和三角形的内角和即可得出结论．此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，解本题的关键△ADE≌△ABE．21.【答案】1；1；4【解析】解：（1）∵M（0，2），∠AOB=60°，∴d（M，∠AOB）=OM=1；∵N（-1，0），∴d（N，∠AOB）=ON=1；故答案为：1；1．（2）①如图，当点P在上时，OP=，设P（x，3x+4），则x2+（3x+4）2=8，解得（舍），∴P（-2，-2）；点P在射线FG上时，P到射线OB的距离为，∵点C到OB的距离为，∴点P与点C重合，∴P（0，4），综上所述，P（-2，-2）或（0，4）．②如图所示，点P有4个．（1）根据M（0，2），∠AOB=60°，得出d（M，∠AOB）=OM=1；再根据N（-1，0），得出d（N，∠AOB）=ON=1；（2）先设P（x，3x+4），当点P在上时，根据勾股定理列出方程x2+（3x+4）2=8，求得x的值即可；当点P在射线FG上时，根据P到射线OB的距离为，得出点C到OB的距离为，最后根据点P与点C重合得出结论；（3）根据点P在抛物线y=x2-4上，满足d（P，∠AOB）=2，画出与OB距离为2的平行线，与x轴距离为2的平行线以及以O为圆心，2长为半径的弧线，与抛物线的交点即为所求．本题主要考查了二次函数的综合应用，解决问题的关键是掌握点P到∠AOB的距离定义，解题时注意灵活运用等腰直角三角形的性质以及勾股定理．解题时注意：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．。
北京市第二十中学2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷参考答案
北京市第二十中学九年级第一学期期中练习数学答案及评分标准二、填空题：（每题2分，共计16分）17.∵a ＝1，b ＝﹣6，c ＝﹣16，∴Δ＝b 2﹣4ac ＝（﹣6）2﹣4×1×（﹣16）＝36+64＝100＞0， ∴x ＝21006±＝3±5， ∴x 1＝8，x 2＝﹣2；（有过程，对一个答案3分，两个5分） 18.解：（1）证明：∵△ABC 是等边三角形， ∴∠BAC ＝60°，AB ＝AC ．∵线段AD 绕点A 顺时针旋转60°，得到线段AE ，∴∠DAE ＝60°，AE ＝AD ．..................................................1分 ∴∠BAD +∠EAB ＝∠BAD +∠DAC ．∴∠EAB ＝∠DAC ． .................................................2分 在△EAB 和△DAC 中，∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=AD AE DAC EAB AC AB , ∴△EAB ≌△DAC （SAS ）． .................................................3分 （2）∠BED ＝45°． .................................................5分 19.解：∵a 是方程2-210x x −=的一个根，∴2210a a −−=． ................................................1分∴221a a −=． .................................................2分∴a (a -4)＋(a ＋1)(a －1)=a 2-4a +a 2-1=2a 2-4a -1 .................................................3分 =2(a 2-2a )-1 ................................................4分 =1． .................................................5分20.解：（1）∵22y x x =−1)1(11222−−=−+−=x x x .............2分 ∴该二次函数的顶点坐标为（1，−1）； .............3分(2)该二次函数的图象的开口方向向上， .............4分 点P (1，0)不在该抛物线上. .............5分21.解：（1）关于x 的一元二次方程x 2－mx ＋2m －4＝0中，1,,24a b m c m ==−=−，()()()2222442481640b ac m m m m m ∴∆=−=−−−=−+=−≥ ∴方程总有两个实数根； .................................................2分（2）2240x mx m −+−=∴(2)(2)0x x m −+−=解得122,2x x m ==− .................................................3分 方程有一个实数根为负数，20m ∴−<解得2m < ...............................................4分 m 是正整数1m ∴= .................................................5分22.解：（1）令0y =，则2(1)10x −−=， 解得10x =，22x =，B ∴点坐标为(2,0)， .................................................1分列表得：画图得：.................................................3分（2）如图，由图形可得12x <<时，2(1)1kx b x +>−−． .................................................5分 23.解：（1）111A B C △如下图所示：.................................................3分（其中画平移1分，画旋转2分）由图可知：1(32)B ，； .................................................4分 （2）212A B C 如上图所示：m 的取值范围是：252<<m ..................................................6分 24.解：（1）(4-x )(4+2x )； .................................................1分 (4-x )(4+2x )=16 ............................................2分 解得x 1=0（舍），x 2=2答：此时的x 值为2； .............................................3分 （2）(4-x )(4+2x )=-2x 2+4x +16=-2(x -1)2+18..............................................5分 ∴改造后的面积最大为18，此时x =1. ...............................................6分 25.解：（1）当0x =时，20.2(0 2.5) 2.35 1.1y =−−+=，故击球点的高度为1.1m ； .................................................1分 （2）由表格信息可知，第二次练习时，抛物线的顶点为(3,2)， 设抛物线的解析式为：2(3)2y a x =−+， 过点(4,1.9)，21.9(43)2a ∴=−+，解得0.1a =−，∴抛物线的解析式为：20.1(3)2y x =−−+； ...............................4分（3）<． .................................................6分 26.解：（1）22x =，2y c =，42a b c c ∴++=， 2b a ∴=−，12bt a∴=−=， .................................................2分 （2）2(0)y ax bx c a =++<， ∴抛物线开口向下，抛物线的对称轴为x t =，112t x t +<<+，∴点M 在对称轴的右侧，①当点N 在对称轴上或对称轴右侧时， 抛物线开口向下，∴在对称轴右侧，y 随x 的增大而减小．由12y y >，∴12x x <，∴4,24t t ≤⎧⎨+≤⎩， 解得42t t ≤⎧⎨≤⎩，∴2t ≤，②当点N 在对称轴上或对称轴左侧时，设抛物线上的点()22,N x y 关于x t =的对称点为()2,N d y '，2t x d t ∴−=−，解得22d t x =−，∴()222,N t x y '−，245x <<，∴225224t t x t −<−<−，在对称轴右侧，y 随x 的增大而减小， 由12y y >，∴122x t x <−，∴5225t t t ≥⎧⎨+≤−⎩，解得57t t ≥⎧⎨≥⎩，∴7t ≥，综上所述，t 的取值范围是2t ≤或7t ≥．.................................................6分27.解：（1）补全图形，如图所示：.................................................1分（2）根据题意可知AB AD AC ==，BAD ∠=α，∴902aADB ABD ∠=∠=︒−， .................................................2分90BAC ∠=︒，∴90DAC α∠=︒+，∴452ADC ACD α∠=∠=︒−， ∴45CDB ADB ADC =−=︒∠∠∠． .................................................3分 （3）AE BD CD 22+=，证明如下：.................................................4分如图，作AF AE⊥，交CD于点F，∴90EAF∠=︒，∴EAB FAC∠=∠，BE CD⊥，45BDC∠=︒，∴45DBE∠=︒，22BE DE BD∴==，BAD∠=α，452ABE ACDα∴∠=︒−=∠，. ................................................5分在ABE和ACF△中EAB FACAB ACABE ACF∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴()ASAABE ACF≌，................................................6分∴AE AF=，BE CF=，2EF AE∴=，∴22CD DE EF CF BD=++=．................................................7分28.解：（1）②③；................................................2分（2）设直线y＝33x+3与x轴和y轴的交点分别为C点和D点，在直线y＝33x+3中，当x＝0时，y＝3，当y＝0时，x＝﹣3，∴C（0，3），D（﹣3，0），∴OC＝3，OD＝3,∵∠COD=90°∴CD=23在Rt△OCD中，∠ODC＝30°，................................................3分∴∠OCD＝60°，连接AC，如下图，①当点B 在点A 的左侧时 ∵A （1，0）， ∴OA ＝1，在Rt △OCA 中，AC ＝2OA ＝2， ∴∠OCA ＝30°，∵∠ACD ＝∠OCD +∠OCA ＝60°+30°＝90°，故AC ⊥CD ， ∵直线y ＝33x +3是线段AB 的60°﹣联络图形， ∴AB ≥AC ， 即AB ≥2，∴t ≤﹣1； ................................................4分 ②当点B 在点A 的右侧时同理可得t ≥5......................................5分 ∴t ≤﹣1或t ≥5 （3）431m <4． ................................................7分。
北京市第二十五中学2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷(10月)
北京市第二十五中学2024－2025学年九年级上学期期中考试数学试卷（10月）一、单选题1．若关于x 的方程2210ax ax -+=的一个根是1-，则a 的值是（）A ．1B ．1-C ．13-D ．3-2．围棋起源于中国，距今已有4000多年的历史，2017年5月，柯洁与人工智能机器人AlphaGo 进行了围棋人机大战．截取首局对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是（）A ．B ．C ．D ．3．关于二次函数22(4)6y x =-+的最大值或最小值，下列说法正确的是（）A ．有最大值4B ．有最小值4C ．有最大值6D ．有最小值64．在同一平面直角坐标系xOy 中，函数1y kx =+与(0)ky k x=≠的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．5．某厂家2020年1～5月份的口罩产量统计如图所示．设从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x ，根据题意可得方程（）A ．180（1﹣x ）2=461B ．180（1+x ）2=461C ．368（1﹣x ）2=442D ．368（1+x ）2=4426．如图，在平面直角坐标系xOy 中，B 是反比例函数2(0)y x x=>的图象上的一点，则矩形OABC 的面积为()A ．1B ．2C ．3D ．47．将抛物线221y x =+绕原点O 旋转180︒，则旋转后的抛物线的解析式为（）A ．221y x =-+B ．221y x =--C ．2112y x =-+D ．2112y x =--8．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2(3)y m x k =-+与x 轴交于(,0),(,0a b ）两点，其中a b <，将此抛物线向上平移，与x 轴交于(,0),(,0)c d 两点，其中c d <，下面结论正确的是（）A ．当0m >时，,a b c d b a d c +=+->-B ．当0m >时，,a b c d b a d c +>+-=-C ．当0m <时，,a b c d b a d c +>+->-D ．当0m <时，,a b c d b a d c+>+-<-二、填空题9．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线245y x x =-+与y 轴交于点C ，则点C 的坐标为．10．把抛物线2112y x =+向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为．11．请写出一个常数c 的值，使得关于x 的方程220x x c ++=有两个不相等的实数根，则c 的值可以是．12．在平面直角坐标系xOy 中，若函数(0)ky k x=≠的图象经过点(,2)A a 和(,2)B b -．则a b +的值为．13．已知二次函数2y x =，当12x -≤≤时，函数值y 的取值范围是．14．风力发电机可以在风力作用下发电，如图的转子叶片图绕中心旋转n 后能与原来的图案里合，那么n 的最小值是．15．以▱ABCD 对角线的交点O 为原点，平行于BC 边的直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．若A 点坐标为（﹣2，1），则C 点坐标为．16．我们给出如下定义：在平面内，点到图形的距离是指这个点到图形上所有点的距离的最小值．在平面内有一个矩形,4,2ABCD AB AD ==，中心为O ，在矩形外有一点P ，3OP =，当矩形绕着点O 旋转时，则点P 到矩形的距离d 的取值范围为．三、解答题17．解方程2420x x --=．18．已知1x =是关于x 的方程2223x ax a ++=的一个根，求代数式()215a a a a -++的值．19．如图，在平面直角坐标系xOy 中，()()2420A B --，，，，将OAB △绕原点O 顺时针旋转90︒得到OA B ''△（A B ''，分别是A ，B 的对应点）．(1)在图中画出OA B ''△，点A '的坐标为____________；(2)若点(),2M m 位于OAB △内（不含边界），点M '为点M 绕原点O 顺时针旋转90︒的对应点，直接写出M '的纵坐标n 的取值范围．20．在平面直角坐标系xOy 中，一次函数()()210y k x k =+->的图象与反比例函数()0my m x=≠的图象的一个交点为()2A n -，．(1)求反比例函数my x=的解析式；(2)当1x >时，对于x 的每一个值，一次函数()()210y k x k =+->的值大于反比例函数()0my m x=≠的值，直接写出k 的取值范围．21．如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，3AC =，4BC =，将ABC V 绕点C 逆时针旋转得到DEC ，使点A 的对应点D 落在BC 边上，点B 的对应点为E ，求线段BD ，DE 的长．22．某学校举办的“青春飞扬”主题演讲比赛分为初赛和决赛两个阶段.(1)初赛由10名教师评委和45名学生评委给每位选手打分（百分制）.对评委给某位选手的打分进行整理、描述和分析.下面给出了部分信息.a .教师评委打分：86889091919191929298b .学生评委打分的频数分布直方图如下（数据分6组：第1组8285x ≤<，第2组8588x ≤<，第3组8891x ≤<，第4组9194x ≤<，第5组9497x ≤<，第6组97100x ≤≤）：c .评委打分的平均数、中位数、众数如下：平均数中位数众数教师评委9191m学生评委90.8n93根据以上信息，回答下列问题：①m 的值为___________，n 的值位于学生评委打分数据分组的第__________组；②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余8名教师评委打分的平均数为x ，则x ___________91（填“>”“=”或“<”）；(2)决赛由5名专业评委给每位选手打分（百分制）.对每位选手，计算5名专业评委给其打分的平均数和方差.平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排序靠前，5名专业评委给进入决赛的甲、乙、丙三位选手的打分如下：评委1评委2评委3评委4评委5甲9390929392乙9192929292丙90949094k若丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，则这三位选手中排序最靠前的是____________，表中k （k 为整数）的值为____________.23．抛物线2y ax bx c =++上部分点的横坐标x ，纵坐标y 的对应值如下表：x…2-1-012…y…04-4-08…() 1根据上表填空：①抛物线与x 轴的交点坐标是________和________；②抛物线经过点(3-,________)；③在对称轴右侧，y 随x 增大而________；()2试确定抛物线2y ax bx c =++的解析式．24．已知关于x 的一元二次方程()22120x m x m +++-=．(1)求证：无论m 取何值，此方程总有两个不相等的实数根；(2)当该方程的判别式的值最小时，写出m 的值，并求出此时方程的解．25．在投掷实心球时，球以一定的速度斜向上抛出，不计空气阻力，在空中划过的运动路线可以看作是抛物线的一部分．如图，建立平面直角坐标系xOy ，实心球从出手到落地的过程中，它的竖直高度y （单位：m ）与水平距离x （单位：m ）近似满足二次函数关系，记出手点与着陆点的水平距离为投掷距离．(1)小刚第一次投掷时水平距离x 与竖直高度y 的几组数据如下：水平距离/m x 01234竖直高度/my 1.62.12.42.52.4（1）根据上述数据，实心球运行的竖直高度的最大值为____________m ；(2)①求小刚第一次的投掷距离；②已知第二次投掷出手点竖直高度与第一次相同，且实心球达到最高点时水平距离与第一次也相同．若小刚第二次投掷距离比第一次远，则实心球第二次运行过程中竖直高度的最大值比第一次____________（填“大”或“小”）．26．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()()1,,2,n p -在二次函数22y x bx =-++的图象上．(1)当n p =时，求b 的值；(2)当()()20n n p -->，求b 的取值范围．27．已知正方形ABCD ，将线段BA 绕点B 旋转α（090α︒<<︒），得到线段BE ，连接EA ，EC ．(1)如图1，当点E 在正方形ABCD 的内部时，若BE 平分ABC ∠，4AB =，则AEC ∠=______°，四边形ABCE 的面积为______；(2)当点E 在正方形ABCD 的外部时，①在图2中依题意补全图形，并求AEC ∠的度数；②作EBC ∠的平分线BF 交EC 于点G ．交EA 的延长线于点F ，连接CF ．用等式表示线段AE ，FB ，FC 之间的数量关系，并证明．28．设a 、b 是任意两个实数，定义符号{}min ,a b 的含义为：当a b ≥时，{}min ,a b b =；当a b <时，{}min ,a b a =．例如：{}{}min 1,22,min 1,11-=---=-．参照上面的材料，解答下列问题：(1){}min 5,3-=．(2)若{}min 31,55x x x +-+=-+，求x 的取值范围．(3)①写出函数22y x =-+与y x =的图像的交点坐标．②根据函数22y x =-+和y x =的图像写出当x =时，{}2min ,2x x -+的最大值为．。
北京市第十四中学2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷
北京市第十四中学2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷一、单选题1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的为()A ．B ．C ．D ．2．抛物线()2235y x =--+的顶点坐标是（）A ．()3,5-B ．()3,5-C ．()3,5D ．()3,5--3．如图，在Rt ABC △中，90,30ACB ABC ∠=︒∠=︒，将ABC V 绕点C 顺时针旋转α角()0180a ︒<<︒至A B C ''△，使得点A '恰好落在AB 边上，则α等于（）A ．150︒B ．90︒C ．30︒D ．60︒4．若关于x 的一元二次方程2210kx x --=有两个实数根，则k 的取值范围是（）A ．1k ≥B ．1k ≥-C ．1k ≥-且0k ≠D ．1k -＞且0k ≠5．如图，点A ，B ，C 都在O 上，OC OB ^，点A 在 BC上，且OA AB =，则ABC ∠的度数是（）A ．15︒B ．20︒C ．25︒D ．30°6．某厂家2024年1—5月份的口罩产量统计如图所示，设从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x ，根据题意可得方程（）A ．2180(1)442x -=B ．2180(1)461x +=C ．2137(1)461x +=D ．2368(1)442x +=7．如图，抛物线y ＝﹣116x 2+1与x 轴交于A ，B 两点，D 是以点C (0，﹣3)为圆心，2为半径的圆上的动点，E 是线段BD 的中点，连接OE ，则线段OE 的最大值是（）A ．2B ．72C ．3D ．528．计算机处理任务时，经常会以圆形进度条的形式显示任务完成的百分比．下面是同一个任务进行到不同阶段时进度条的示意图：若圆半径为1，当任务完成的百分比为x 时，线段MN 的长度记为d （x ）．下列描述正确的是（）A ．()25%1d =B ．当50%x >时，()1d x >C ．当12x x >时，()()12d x d x >D ．当12100%x x +=时，12dx d x =（）（）二、填空题9．在平面直角坐标系xOy 中，点()3,4P -关于原点O 的对称点的坐标为．10．若()2223my m x x -=-+是关于x 的二次函数，则m 的值为．11．如图，直线y mx n =+与抛物线2y x bx c =++交于A ，B 两点，其中点()2,3A -，点()5,0B ，不等式2x bx c mx n ++<+的解集为．12．如图是某停车场的平面示意图，停车场外围的长为30米，宽为18米．停车场内车道的宽都相等．停车位总占地面积为288平方米．设车道的宽为x 米，可列方程为．13．如图，C ，D 为AB 的三等分点，分别以C ，D 为圆心，CD 长为半径画弧，两弧交于点E ，F ，连接EF ．若9AB =，则EF 的长为．14．已知函数2=23y x x --，当1x a -≤≤时，函数的最小值是-4，实数a 的取值范围是.15．在二次函数2(0)y ax bx c a =++≠中，y 与x 的部分对应值如表：x (1)-0 1.523…y…02mn…则m n ，的大小关系为mn ．（填“>”“=”或“<”）16．如图，已知Rt ACB △，90ACB ∠=︒，=60B ∠︒，AC =D 在CB 所在直线上运动，以AD 为边作等边三角形ADE ，则CB =．在点D 运动过程中，CE 的最小值．三、解答题17．解下列方程：(1)21610x -=(2)249211x x x +-=-(3)2210x -+=18．已知二次函数y ＝x 2－4x ＋3．（（1）用配方法将y ＝x 2－4x ＋3化成y=a （x -h ）2+k 的形式；（2）求抛物线与x 轴交点坐标；（3）在平面直角坐标系xOy 中，画出这个二次函数的图象；（4）结合图象直接写出y＞0时，自变量x的取值范围是______；（5）当0＜x＜3时，y的取值范围是______．19．下面是小元设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程．已知：如图，⊙O及⊙O上一点P．求作：过点P的⊙O的切线．作法：如图，作射线OP；①在直线OP外任取一点A，以A为圆心，AP为半径作⊙A，与射线OP交于另一点B；②连接并延长BA与⊙A交于点C；③作直线PC；则直线PC即为所求．根据小元设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明：证明：∵BC是⊙A的直径，∴∠BPC=90°（填推理依据）．∴OP⊥PC．又∵OP是⊙O的半径，∴PC是⊙O的切线（填推理依据）．20．已知关于x的一元二次方程22-+=．40x mx m(1)求证：不论m 为何值，该方程总有两个实数根；(2)若=2是该方程的根，求代数式()()22223m m ---的值．21．如图，在平面直角坐标系xOy 中，△ABC 的三个顶点分别为A （－3，4），B （－5，1），C （－1，2）．（1）画出△ABC 关于原点对称的△A 1B 1C 1，并写出点B 1的坐标；（2）画出△ABC 绕原点逆时针旋转90°后的△A 2B 2C 2，并写出点B 2的坐标．22．如图1是博物馆展出的古代车轮实物，《周礼·考工记》记载：“……故兵车之轮六尺有六寸，田车之轮六尺有三寸……”据此，我们可以通过计算车轮的半径来验证车轮类型，请将以下推理过程补充完整．如图2所示，在车轮上取A 、B 两点，设 AB 所在圆的圆心为O ，半径为cm r ．作弦AB 的垂线OC ，D 为垂足，则D 是AB 的中点．其推理的依据是：．经测量，90cm AB =，15cm CD =，则AD =cm ；用含r 的代数式表示OD ，OD =cm ．在Rt OAD △中，由勾股定理可列出关于r 的方程：2r =，解得r =．通过单位换算，得到车轮直径约为六尺六寸，可验证此车轮为兵车之轮．23．小明进行铅球训练，他尝试利用数学模型来研究铅球的运动情况．他以水平方向为x 轴方向，1m 为单位长度，建立了如图所示的平面直角坐标系，铅球从y 轴上的A 点出手，运动路径可看作抛物线，在B 点处达到最高位置，落在x 轴上的点C 处．小明某次试投时的数据如图所示．(1)根据图中信息，求出铅球路径所在抛物线的表达式；(2)若铅球投掷距离（铅球落地点C 与出手点A 的水平距离OC 的长度）不小于10m ，成绩为优秀．请通过计算，判断小明此次试投的成绩是否能达到优秀．24．如图，四边形ABCD 是O 的内接四边形，BD 为直径，AE 是O 切线，且AE CD ⊥的延长线于点E ．(1)求证：DA 平分BDE ∠；(2)若46AE CD ==，，求O 的半径和AD 的长．25．如图，已知点()()1122,,,M x y N x y 在二次函数2(2)1(0)y a x a =-->的图像上，且213x x -=．(1)若二次函数的图像经过点(3,1)．①求这个二次函数的表达式；②若12y y =，求顶点到MN 的距离；(2)当12x x x ≤≤时，二次函数的最大值与最小值的差为1，点M ，N 在对称轴的异侧，求a 的取值范围．26．已知：Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ．（1）如图1，点D 是BC 边上一点（不与点B ，C 重合），连接AD ，过点B 作BE ⊥AD ，交AD 的延长线于点E ，连接CE ．①若∠BAD ＝α，求∠DBE 的大小（用含α的式子表示）；②用等式表示线段EA ，EB 和EC 之间的数量关系，并证明．（2）如图2，点D 在线段BC 的延长线上时，连接AD ，过点B 作BE ⊥AD ，垂足E 在线段AD 上，连接CE ．①依题意补全图2；②直接写出线段EA ，EB 和EC 之间的数量关系．27．如图，在平面直角坐标系xOy 中的W 上，有弦MN ，取MN 的中点P ，将点P 绕原点O 顺时针旋转90︒得到点Q ，称点Q 为弦MN 的“中点对应点”．设W 是以()3,0W -为圆心，半径为2的圆．(1)已知弦MN 长度为2，点Q 为弦MN 的“中点对应点”．①当MN x ∥轴时，在图1中画出点Q ，并且直接写出线段OQ 的长度；②当MN 在圆上运动时，直接写出线段WQ 的取值范围．(2)已知点()5,0M -，点N 为W 上的一动点，设直线y x b =+与x 轴、y 轴分别交于点A 、点B ，若线段AB 上存在弦MN 的“中点对应点”点Q ，求出b 的取值范围．。
北京市第四中学2024~2025学年上学期九年级期中考试数学试卷
北京市第四中学2024~2025学年上学期九年级期中考试数学试卷一、单选题1．下面四个标志中是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．2．方程220x x -=的根是（）A ．2x =B ．0x =C ．2x =-，=0D ．=2，=03．若()13,A y -，()22,B y -，()33,C y 为二次函数()21y x =+图象上的三点，则1y ，23,y y 的大小关系是（）A ．123y y y <<B ．213y y y <<C ．312y y y <<D ．132y y y <<4．二次函数()()57y x x =-+的图象的对称轴是（）A ．直线1x =-B ．直线1x =C ．直线2x =D ．直线6x =5．如图，AB 为⊙O 直径，点,C D 在⊙O 上，如果70ABC ∠=︒，那么D ∠的度数为（）A ．20︒B ．30︒C ．35︒D ．70︒6．2024年北京第一季度GDP 约为1.058万亿元，第三季度GDP 约为1.167万亿元，设2024年北京平均每季度GDP 增长率为x ，则可列关于x 的方程为（）A ．()21.0581 1.167x -=B ．()1.05812 1.167x +=C ．()21.0581 1.167x +=D ．()21.1671 1.058x -=7．如图是一个钟表表盘，若连接整点2时与整点10时的B 、D 两点并延长，交过整点8时的切线于点P ，若切线长2PC =，表盘的半径长为（）A ．3BC ．D ．8．某农场用篱笆围成饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），已知计划中的篱笆（不包括门）总长为12m ，现有四种方案（如图）中面积最大的方案为（）A 方案为一个封闭的矩形B 方案为一个等边三角形，并留一处1m 宽的门C 方案为一个矩形，中间用一道垂直于墙的篱笆隔开，并在如图所示的三处各留1m 宽的门D 方案为一个矩形，中间用一道平行于墙的篱笆隔开，并在如图所示的四处各留1m 宽的门A ．B ．C ．D ．二、填空题9．在平面直角坐标系xOy 中，将抛物线23y x 向上平移1个单位，得到的抛物线表达式为．10．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，E 为BC 延长线上一点，∠A=50°，则∠DCE 的度数为．11．抛物线y ＝x 2－5x ＋6与y 轴交点的坐标是．12．如图，,PA PB 分別切⊙O 于,A B 两点，点C 为AB 上一点，过点C 作⊙O 的切线分别交,PA PB 于,M N 两点，若PMN 的周长为10，则切线长PA 等于．13．已知22310a a -+=，则代数式()()233a a a -++的值为．14．“青山绿水，畅享生活”，人们经常将圆柱形竹筒改造成生活用具，图1所示是一个竹筒水容器，图2为该竹筒水容器的截面．已知截面的半径为10cm ，开口AB 宽为12cm ，这个水容器所能装水的最大深度是cm ．15．二次函数()20y ax bx c a =++≠的部分图象如图所示，图象过点()1,0-，对称轴为直线2x =，抛物线与y 轴交点在()0,1A 和()0,2B 之间（不与A B 、重合）．下列结论：①0abc >；②93a c b +>；③40a b +=；④当0y >时，15x -<<；⑤a 的取值范围为2155a -<<-．其中正确结论有（填序号）16．如图，在直角三角形ABC 中，90A ∠=︒，D 是AC 上一点，10BD =，AB CD =，则BC 的最大值为．三、解答题17．解下列方程：(1)23610x x -+=；(2)()233x x x -=-．18．如图，在平面直角坐标系中，已知ABC V 的三个顶点的坐标分别为()1,1A -，()3,1B -，()1,4C -．将ABC V 绕着点B 顺时针旋转90︒后得到11A BC V ．(1)请在图中画出11A BC V ；(2)线段BC 旋转过程中所扫过的面积是______（结果保留π）．19．如图，D 是等边三角形ABC 内一点，将线段AD 绕点A 顺时针旋转60︒，得到线段AE ，连接CD ，BE．(1)求证：AEB ADC ≌ ；(2)连接DE ，若96ADC ∠=︒，求BED ∠的度数．20．已知关于x 的一元二次方程()22840x k x k +--=．(1)求证：该方程总有两个实数根；(2)若该方程有一个根小于3，求k 的取值范围．21．已知：如图，O 及O 外一点P ．求作：直线PB ，使PB 与O 相切于点B．李华同学经过探索，想出了两种作法．具体如下（已知点B 是直线OP 上方一点）：作法一（如图1）作法二（如图2）①接OP ，作线段OP 的垂直平分线，交OP 于点A ；②以点A 为圆心，以AO 的长为半径作A ，A 交O 于点B ；③作直线PB ，则直线PB 是⊙O 的切线．①连接OP ，交O 于点M ，过点M 作OP 的垂线MN ；②以点O 为圆心，以OP 的长为半径作弧，交直线MN 于点Q ；③连接OQ ，交于点B ；④作直线PB ，则直线PB 是的切线．证明：如图1，连接OB ，PO 为A 直径，∴90PBO ∠=︒．（______）∴PB OB ⊥，∵OB 是O 的半径，∴直线PB 是O 的切线．证明：……请仔细阅读，并完成相应的任务：(1)“作法一”中的“依据”是指______；(2)请写出“作法二”的证明过程．22．在平面直角坐标系xOy 中，二次函数2y x bx c =++的图象经过()0,2A -，()2,0B 两点．(1)求这个二次函数的解析式；(2)填写表格并在给出的平面直角坐标系中画出这个函数的图象；x⋅⋅⋅1-01212⋅⋅⋅y⋅⋅⋅2-0⋅⋅⋅(3)若一次函数y mx n =+的图象也经过,A B 两点，结合图象，直接写出不等式2x bx c mx n ++<+的解集．23．如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，BE 平分ABC ∠交AC 于点E ，点D 在AB 上，DE EB ⊥．(1)求证：AC 是BDE V 的外接圆的切线；(2)若2AD =，AE =，求EC 的长．24．如图1所示的某种发石车是古代一种远程攻击的武器．将发石车置于山坡底部O 处，以点O 为原点，水平方向为x 轴方向，建立如图2所示的平面直角坐标系，将发射出去的石块当作一个点看，其飞行路线可以近似看作抛物线2(20)y a x k =-+的一部分，山坡OA 上有一堵防御墙，其竖直截面为ABCD ，墙宽2BC =米，BC 与x 轴平行，点B 与点O 的水平距离为28米、垂直距离为6米．已知发射石块在空中飞行的最大高度为10米(1)求抛物线的解析式；(2)试通过计算说明石块能否飞越防御墙；25．如图1，线段AB 及一定点,C P 是线段AB 上一动点，作直线CP ，过点A 作AQ CP ⊥于点Q ，已知7cm AB =，设,A P 两点间的距离为cm x ，,A Q 两点间的距离为1cm y ，,P Q 两点间的距离为2cm y ．小明根据学习函数的经验，分别对函数12,y y 随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究．下面是小明的探究过程：第一步：按照下表中自变量x 的值进行取点、画图、测量，分别得到了1y 、2y 与x 的几组对应值．/cm x 00.30.50.81 1.52345671/cmy 00.280.490.7911.481.872.372.612.722.762.782/cmy 00.080.090.0600.290.73 1.82 3.03 4.20 5.33 6.41第二步：在同一平面直角坐标系xOy 中，描出表中各组数值所对应的点()()12,,,x y x y ，并画出函数12,y y 的图象．解决问题：(1)在给出的平面直角坐标系中（图2）补全函数2y 的图象；(2)结合函数图象，解决问题：当APQ △中有一个角为30︒时，AP 的长度约为______cm ．26．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线()2240y ax a x a =-≠．(1)当1a =时，求抛物线的顶点坐标；(2)已知()11,M x y 和()22,N x y 是抛物线上的两点．若对于15x a =，256x ≤≤，都有12y y <，求a 的取值范围．27．已知，如图，在ABC V 中，90ACB ∠=︒，45ABC ∠=︒，点D 在BC 的延长线上，点E 在CB 的延长线上，DC BE =，连接AE ，过C 作CF AE ⊥于F ，CF 交AB 于G ，连接DG ．(1)求证：AEB ACF ∠=∠；(2)用等式表示CG ，DG 和AE 的数量关系，并证明．28．对于平面直角坐标系xOy 内的直线l 和点P ，若点A 关于l 作轴对称变换得到点1A ，点1A 关于点P 作中心对称变换得到点2A ，我们则称点2A 为点A 关于直线l 和点P 的“正对称点”．已知()1,0B -，()2,0C ，(1)写出B 关于y 轴和点C 的“正对称点”的坐标______；(2)已知点()112,02C m m ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭，存在过原点O 的直线1l ，使得点B 关于直线1l 和点1C 的“正对称点”在直线2:l y x b =+上，求b 的取值范围；(3)已知点H 是直线1x =上的一点，且点H 的纵坐标小于0，()3,0C ，E 点在以C 为圆心1为半径的圆上，对于直线6x =上的点()6,F h ，以F 为圆心，1为直径作圆F ，若圆F 上存在点B 关于直线OH 和点E 的“正对称点”，直接写出h 的取值范围．。
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北京市九年级上学期期中数学试卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、选择题 (共10题；共20分)
1. （2分） (2017八下·嵊州期中) 剪纸是我国传统的民间艺术，下列剪纸作品中，是中心对称图形的为（）
A .
B .
C .
D .
2. （2分）已知点P1（a，3）与P2（﹣5，﹣3）关于原点对称，则a的值为（）
A . 5
B . 3
C . 4
D . -5
3. （2分）若关于x一元二次方程x2﹣10x+k+1=0有两个相等的实数根，则k的值为（）
A . 8
B . 9
C . 12
D . 24
4. （2分） (2020九上·川汇期末) 在平面直角坐标系中，抛物线y＝x（x+2）经过平移变换后得到抛物线y ＝（x﹣1）2 ，其变换是（）
A . 右移2个单位，下移1个单位
B . 右移2个单位，上移1个单位
C . 左移2个单位，上移1个单位
D . 左移2个单位，下移1个单位
5. （2分） (2018九上·东莞期中) 定义：如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）满足a+b+c=0，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知ax2+bx+c=0（a≠0）是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（）
A . a=c
B . a=b
C . b=c
D . a=b=c
6. （2分） (2017七下·莒县期末) 在直角坐标系内，将点P（1，﹣2）向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，可以得到对应点P1的坐标为（）
A . （﹣1，1）
B . （﹣1，﹣5）
C . （3，1）
D . （3，﹣5）
7. （2分）某化肥厂今年一月份某种化肥的产量为20万吨，通过技术革新，产量逐月上升，第一季度共生产这种化肥95万吨，设二、三月份平均每月增产的百分率为x，则可列方程（）
A . 20（1+x）2=95
B . 20（1+x）+20（1+x）2=95
C . 20+20（1+x）+20（1+x）2=95
D . 20（1+x）2=95-20
8. （2分）若x＝2是关于x的一元二次方程x2－mx＋8＝0的一个解，则m的值是（）
A . 6
B . 5
C . 2
D . －6
9. （2分） (2015九上·罗湖期末) 对于抛物线y=﹣3（x﹣2）2+1，下列说法中错误的是（）
A . 抛物线开口向下
B . 对称轴是直线x=2
C . 顶点坐标是（2，1）
D . 抛物线与x轴没有交点
10. （2分）如图，将三角尺ABC（其中∠ABC=60°，∠C=90°）绕点B按顺时针转动一个角度到A'BC'的位置，使得点A、B、C'在同一条直线上，那么这个角度等于
（）
A . 30°
B . 60°
C . 90°
D . 120°
二、填空题 (共6题；共8分)
11. （1分）当x=________时，代数式3x2﹣6x的值等于9．
12. （1分）设x1、x2是一元二次方程x2﹣5x﹣1=0的两实数根，则x12+x22的值为________．
13. （1分） (2016九上·义马期中) 如图，在△ABC中，∠BAC=35°，将△ABC绕点A顺时针方向旋转50°，得到△AB′C′，则∠B′AC的度数是________．
14. （1分）(2017·宝坻模拟) 如图，正方形ABCD绕点B逆时针旋转30°后得到正方形BEFG，EF与AD相交于点H，延长DA交GF于点K．若正方形ABCD边长为，则HD的长为________．
15. （3分） (2019九上·杭州月考) 的图象开口向________，顶点坐标为________，当
时，值随着值的增大而________．
16. （1分）(2017·石景山模拟) 请写出一个开口向下，并且过坐标原点的抛物线的表达式，y=________．
三、解答题 (共9题；共78分)
17. （10分） (2018九上·韶关期末) 已知关于x的方程x2+2x+a-2=0一个根为1 。
（1）求a的值及方程的另一根．
（2）以原点为圆心，｜a｜为半径作圆，判断点P(1，1)与该圆的位置关系。
18. （5分）已知一个二次函数的图像经过点（4，1）和（-1，6）．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）求这个二次函数图像的顶点坐标和对称轴．
19. （10分） (2015九上·宜昌期中) 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC的顶点均在格点上，请按要求完成下列步骤：
（1）画出将△ABC向右平移3个单位后得到的△A1B1C1，再画出将△A1B1C1绕点B1按逆时针方向旋转90°后所得到的△A2B1C2；
（2）求线段B1C1旋转到B1C2的过程中，点C1所经过的路径长．
20. （7分） (2019九上·海淀期中) 已知二次函数的图象与轴只有一个公共点.
（1）求该二次函数的解析式；
（2）当时，y的最大值为________，最小值为________.
21. （5分）阅读下面的例题，解方程（x﹣1）2﹣5|x﹣1|﹣6=0
例：解方程x2﹣|x|﹣2=0；解：令y=|x|，原方程化成y2﹣y﹣2=0
解得：y1=2，y2=﹣1
当|x|=2，x=±2；当|x|=﹣1时（不合题意，舍去）
∴原方程的解是x1=2，x2=﹣2．
22. （10分）已知：如图，O为坐标原点，四边形OABC为长方形，A（10，0），C（0，4），点D是OA的中点，点P在BC上运动．
（1）当△ODP是等腰三角形时，请直接写出点P的坐标；
（2）求△ODP周长的最小值．（要有适当的图形和说明过程）
23. （6分） (2018九上·黄冈月考) 某汽车销售公司月份销售某厂家的汽车，在一定范围内，每部汽车的进价与销售量有如下关系：若当月仅售出部汽车，则该部汽车的进价为万元，每多售出部，所有售出的汽车的进价均降低万元/部，月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司，销售量在部以内（含部），每部返利万元；销售量在部以上，每部返利万元．
（1）若该公司当月售出部汽车，则每部汽车的进价为________万元；
（2）如果汽车的售价为万元/部，该公司计划当月盈利万元，那么需要售出多少部汽车？（盈利
销售利润+返利）
24. （10分）(2017·临海模拟) 如图是由边长为1的小正三角形组成的网格图，点O和△ABC的顶点都在正三角形的格点上，将△ABC绕点O逆时针旋转120°得到△A′B′C′．
（1）
在网格中画出旋转后的△A′B′C′；
（2）
求AB边旋转时扫过的面积．
25. （15分）(2017·双柏模拟) 已知，如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、B、C分别为坐标轴上的三个点，且OA=1，OB=3，OC=4．
（1）
求经过A、B、C三点的抛物线的解析式及顶点坐标；
（2）
在抛物线上是否存在一点P，使△ACP的面积等于△ACB的面积？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）
在平面直角坐标系xOy中是否存在一点Q，使得以点A、B、C、Q为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案一、选择题 (共10题；共20分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
二、填空题 (共6题；共8分)
11-1、
12-1、
13-1、
14-1、
15-1、
16-1、
三、解答题 (共9题；共78分)
17-1、17-2、18-1、
19-1、19-2、
20-1、20-2、
21-1、22-1、
22-2、23-1、
23-2、24-1、24-2、
25-1、
25-2、
25-3、。