精品解析：江苏省常州市2019年中考数学试题(原卷版)
江苏省常州市2019年中考数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分。
在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的）
1.3-的相反数是（ ） A. 1
3 B. 1
3- C. 3 D. 3-
2.若代数式1
3x x +-有意义，则实数x 的取值范围是（ ）
A. 1x =-
B. 3x =
C. 1x ≠-
D. 3x ≠ 3.如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）
A. 圆柱
B. 正方体
C. 圆锥
D. 球
4.如图，在线段PA 、PB 、PC 、PD 中，长度最小的是（ ）
A . 线段PA B. 线段P
B C. 线段P
C D. 线段P
D 5.若ABC A B C '''∆∆～，相似比为1:2，则ABC ∆与A B C '''∆的周长的比为（ ）
A. 2:1
B. 1:2
C. 4:1
D. 1:4
6.下列各数中与23+的积是有理数的是（ ）
A. 23+
B. 2
C. 3
D. 23- 7.判断命题“如果n ＜1，那么n 2﹣1＜0”是假命题，只需举出一个反例．反例中的n 可以为（ ）
A. ﹣2
B. ﹣12
C. 0
D. 12
8.随着时代的进步，人们对 2.5PM （空气中直径小于等于2.5微米的颗粒）的关注日益密切．某市一天中2.5PM 的值1y （3/ug m ）随时间t （h ）的变化如图所示，设2y 表示0时到t 时 2.5PM 的值的极差（即0时到t 时 2.5PM 的最大值与最小值的差），则2y 与t 的函数关系大致是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。
不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9.计算：3a a ÷=__________．
10.4的算术平方根是 ．
11.分解因式：24ax a -=________.
12.如果∠α＝35°
，那么∠α的余角为_____． 13.如果20a b --=，那么代数式122a b +-的值是_____．
14.平面直角坐标系中，点()3,4P -到原点的距离是_____．
15.若12
x y =⎧⎨=⎩，是关于x 、y 的二元一次方程3ax y +=的解，则a =_____． 16.如图，AB 是⊙O 的直径，C 、D 是⊙O 上的两点，120AOC ∠=︒，则CDB ∠=_____︒．
17.如图，半径为3的⊙O 与边长为8的等边三角形ABC 的两边AB 、BC 都相切，连接OC ，则tan OCB ∠=_____．
18.如图，
在矩形ABCD 中，3310AD AB ==，点P 是AD 的中点，点E 在BC 上，2CE BE =，点M 、N 在线段BD 上．若PMN ∆是等腰三角形且底角与DEC ∠相等，则MN =_____．
三、解答题（本大题共10小题，共84分。
请在答题卡指定区域内作答，如无特殊说明，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19.计算：（1）()120132π-⎛⎫+- ⎪⎝⎭
；（2）()()()111x x x x -+--． 20.解不等式组10,38x x x
+>⎧⎨-≤-⎩并把解集数轴上表示出来． 21.如图，把平行四边形纸片ABCD 沿BD 折叠，点C 落
点C '处，BC '与AD 相交于点E ．
（1）连接AC '，则AC '与BD 的位置关系是 ；（2）EB 与ED 相等吗？证明你的结论．
22.在“慈善一日捐”活动中，
为了解某校学生的捐款情况，抽样调查了该校部分学生的捐款数（单位：元），并绘制成下面的统计图．
（1）本次调查的样本容量是________，这组数据的众数为________元；
（2）求这组数据的平均数；
（3）该校共有600学生参与捐款，请你估计该校学生的捐款总数．
23.将图中的A 型（正方形）
、B 型（菱形）、C 型（等腰直角三角形）纸片分别放在3个盒子中，盒子的形状、大小、质地都相同，再将这3个盒子装入一只不透明的袋子中．
（1）搅匀后从中摸出1个盒子，盒中的纸片既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是 ；
（2）搅匀后先从中摸出1个盒子（不放回），再从余下的2个盒子中摸出1个盒子，把摸出的2个盒中的纸片长度相等的边拼在一起，求拼成的图形是轴对称图形的概率．（不重叠无缝隙拼接）
24.甲、乙两人每小时共做30个零件，甲做180个零件所用的时间与乙做120个零件所用的时间相等．甲、乙两人每小时各做多少个零件？
25.如图，在OABC 中，22OA =，45AOC ∠=︒，点C 在y 轴上，点D 是BC 的中点，反比例函数()0k y x x
=>的图象经过点A 、D
（1）求k 的值；（2）求点D 的坐标．
26.【阅读】
：数学中，常对同一个量（图形的面积、点的个数、三角形的内角和等）用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，我们把这一思想称为“算两次”．“算两次”也称做富比尼原理，是一种重要的数学思想．
【理解】：（1）如图，两个边长分别为a 、b 、c 的直角三角形和一个两条直角边都是c 的直角三角形拼成一个梯形．用两种不同的方法计算梯形的面积，并写出你发现的结论；
（2）如图2，n 行n 列的棋子排成一个正方形，用两种不同的方法计算棋子的个数，可得等式：2n =________；
【运用】：（3）n 边形有n 个顶点，在它的内部再画m 个点，以（m n +）个点为顶点，把n 边形剪成若干个三角形，设最多可以剪得y 个这样的三角形．当3n =，3m =时，如图，最多可以剪得7个这样的三角形，所以7y =．
①当4n =，2m =时，如图，y = ；当5n =，m = 时，9y =；
②对于一般的情形，在n 边形内画m 个点，通过归纳猜想，可得y = （用含m 、n 的代数式表示）．请对同一个量用算两次的方法说明你的猜想成立．
27.如图，二次函数2
3y x bx =-++的图象与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，点A 的坐标为()1,0-，点D 为OC 的中点，点P 在抛物线上．
（1）b = ；
（2）若点P 在第一象限，过点P 作PH x ⊥轴，垂足为H ，PH 与BC 、BD 分别交于点M 、N ．是否存在这样的点P ，使得PM MN NH ==？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）若点P 的横坐标小于3，过点P 作PQ BD ⊥，垂足为Q ，直线PQ 与x 轴交于点R ，且2P Q B Q R B S S ∆∆=，
求点P 的坐标．
28.已知平面图形S ，点P 、Q 是S 上任意两点，我们把线段PQ 的长度的最大值称为平面图形S 的“宽距”．例如，正方形的宽距等于它的对角线的长度．
（1）写出下列图形的宽距：
①半径为1的圆：________；
②如图，上方是半径为1的半圆，下方是正方形的三条边的“窗户形“：________；
（2）如图，在平面直角坐标系中，已知点()1,0A -、()10B ,
，C 是坐标平面内的点，连接AB 、BC 、CA 所形成的图形为S ，记S 的宽距为d ．
①若2d =，用直尺和圆规画出点C 所在的区域并求它的面积（所在区域用阴影表示）；
②若点C 在⊙M 上运动，⊙M 的半径为1，圆心M 在过点()0,2且与y 轴垂直的直线上．对于⊙M 上任
意点C ，都有58d ≤≤，直接写出圆心M 的横坐标x 的取值范围．。
江苏省常州市2019年中考数学试题含答案解析
常州市2019年中考数学试题一、选择题（每小题2分，共16分） 1．－3的绝对值是A ．3B ．－3C ．31D ．－312．要使分式23x 有意义，则x 的取值范围是 A ．x ＞2 B ．x ＜2 C ．x ≠－2 D ．x ≠23．下列“慢行通过，注意危险，禁止行人通行，禁止非机动车通行”四个交通标志图（黑白阴影图片）中为轴对称图形的是A ．B ．C ．D ．4．如图，BC ⊥AE 于点C ，CD ∥AB ，∠B ＝40°，则∠ECD 的度数是E DCA BA ．70°B ．60°C ．50°D ．40°5．如图，□ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，则下列说法一定正确的是ODBCAA ．AO ＝ODB ．AO ⊥ODC ．AO ＝OCD ．AO ⊥AB6．已知a ＝22，b ＝33，c ＝55，则下列大小关系正确的是A ．a ＞b ＞cB ．c ＞b ＞aC ．b ＞a ＞cD ．a ＞c ＞b7．已知二次函数y ＝2x ＋（m －1）x ＋1，当x ＞1时，y 随x 的增大而增大，而m 的取值范围是A ．m ＝－1B ．m ＝3C ．m ≤－1D ．m ≥－18．将一张宽为4cm 的长方形纸片（足够长）折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形，则这个三角形面积的最小值是AA ．338cm 2 B ．8cm 2 C ．3316cm 2 D ．16cm 2二、填空题（每小题2分，共20分） 9．计算12)1(-+-π＝_________．10．太阳的半径约为696000km ，把696000这个数用科学记数法表示为_______________________．11．分解因式：2222y x -＝____________________________．12．已知扇形的圆心角为120°，弧长为6π，则扇形的面积是________．13．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD ：DB ＝1：2，DE ＝2，则BC 的长是______．EDBCA14．已知x ＝2是关于x 的方程a x a 21)1(=+＋x 的解，则a 的值是______________．15．二次函数y ＝－2x ＋2x －3图像的顶点坐标是____________．16．如图是根据某公园的平面示意图建立的平面直角坐标系，公园的入口位于坐标原点O ，古塔位于点A （400，300），从古塔出发沿射线OA 方向前行300m 是盆景园B ，从盆景园B 向左转90°后直行400m 到达梅花阁C ，则点C 的坐标是_______________．y （单位：m ）（单位：m ）Ox300400CBA17．数学家歌德巴赫通过研究下面一系列等式，作出了一个著名的猜想．4＝2＋2； 12＝5＋7；6＝3＋3； 14＝3＋11＝7＋7；8＝3＋5；16＝3＋13＝5＋11；10＝3＋7＝5＋5 18＝5＋13＝7＋11；…通过这组等式，你发现的规律是_______________________________________（请用文字语言表达）．18．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB＝3，AD＝5，∠BAD＝60°，点C为弧BD的中点，则AC 的长是_______________．C OBAD三、解答题（共10小题，共84分）19．（6分）先化简，再求值：)2()1(2x x x --+，其中x ＝2．20．（8分）解方程和不等式组： ⑴x x x 311213--=-； ⑵⎩⎨⎧->->+.521,042x x21．（8分）某调查小组采用简单随机抽样方法，对某市部分中小学生一天中阳光体育运动时间进行了抽样调查，并把所得数据整理后绘制成如下的统计图：⑴该调查小组抽取的样本容量是多少？⑵求样本学生中阳光体育运动时间为1.5小时的人数，并补全占频数分布直方图； ⑶请估计该市中小学生一天中阳光体育运动的平均时间．1.5小时 24％1小时0.5小时 20％2小时时间/小时人数2小时1.5小时20018016014012010080601小时400200.5小时22．（8分）甲，乙，丙三位学生进入了“校园朗诵比赛”冠军、亚军和季军的决赛，他们将通过抽签来决定比赛的出场顺序． ⑴求甲第一个出场的概率； ⑵求甲比乙先出场的概率．23．（8分）如图，在□ABCD 中，∠BCD ＝120°，分别延长DC 、BC 到点E ，F ，使得△BCE 和△CDF都是正三角形． ⑴求证：AE ＝AF ； ⑵求∠EAF 的度数．ABDFEC24．（8分）已知某市的光明中学、市图书馆和光明电影院在同一直线上，它们之间的距离如图所示．小张星期天上午带了75元现金先从光明中学乘出租车去了市图书馆，付费9元；中午再从市图书馆乘出租车去了光明电影院，付费12.6元．若该市出租车的收费标准是：不超过3公里计费为m 元，3公里后按n 元/公里计费．光明中学市图书馆光明电影院2公里5公里⑴求m ，n 的值，并直接写出车费y （元）与路程x （公里）（x ＞3）之间的函数关系式；⑵如果小张这天外出的消费还包括：中午吃饭花费15元，在光明电影院看电影花费25元．问小张剩下的现金够不够乘出租车从光明电影院返回光明中学？为什么？25．（8分）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝45°，∠ADB＝∠ABC＝105°．⑴若AD＝2，求AB；⑵若AB＋CD＝23＋2，求AB．CDA B26．（10分）设ω是一个平面图形，如果用直尺和圆规经过有限步作图（简称尺规作图），画出一个正方形与ω的面积相等（简称等积），那么这样的等积转化称为ω的“化方”． ⑴阅读填空如图①，已知矩形ABCD ，延长AD 到E ，使DE ＝DC ，以AE 为直径作半圆．延长CD 交半圆于点H ，以DH 为边作正方形DFGH ，则正方形DFGH 与矩形ABCD 等积．理由：连接AH ，EH ．∵ AE 为直径 ∴ ∠AHE ＝90° ∴ ∠HAE ＋∠HEA ＝90°． ∵ DH ⊥AE ∴ ∠ADH ＝∠EDH ＝90° ∴ ∠HAD ＋∠AHD ＝90°∴ ∠AHD ＝∠HED ∴ △ADH ∽_____________． ∴DEDH DH AD，即2DH ＝AD ×DE ． 又∵ DE ＝DC ∴ 2DH ＝____________，即正方形DFGH 与矩形ABCD 等积．FHBE D ACD⑵操作实践平行四边形的“化方”思路是，先把平行四边形转化为等积的矩形，再把矩形转化为等积的正方形．如图②，请用尺规作图作出与□ABCD等积的矩形（不要求写具体作法，保留作图痕迹）．⑶解决问题三角形的“化方”思路是：先把三角形转化为等积的_________________（填写图形名称），再转化为等积的正方形．如图③，△ABC的顶点在正方形网格的格点上，请作出与△ABC等积的正方形的一条边（不要求写具体作法，保留作图痕迹，不通过计算△ABC面积作图）．⑷拓展探究n边形（n＞3）的“化方”思路之一是：把n边形转化为等积的n－1边形，…，直至转化为等积的三角形，从而可以化方．如图④，四边形ABCD的顶点在正方形网格的格点上，请作出与四边形ABCD等积的三角形（不要求写具体作法，保留作图痕迹，不通过计算四边形ABCD面积作图）．AC BADC B27．（10分）如图，一次函数y ＝－x ＋4的图像与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ，过点A 作x 轴的垂线l ，点P 为直线l 上的动点，点Q 为直线AB 与△OAP 外接圆的交点，点P 、Q 与点A 都不重合． ⑴写出点A 的坐标；⑵当点P 在直线l 上运动时，是否存在点P 使得△OQB 与△APQ 全等？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．⑶若点M 在直线l 上，且∠POM ＝90°，记△OAP 外接圆和△OAM 外接圆的面积分别是1S 、2S ，求2111S S 的值．l yxO BQ A P28．（10分）如图，反比例函数y ＝x k 的图像与一次函数y ＝41x 的图像交于点A 、B ，点B 的横坐标是4．点P 是第一象限内反比例函数图像上的动点，且在直线AB 的上方．⑴若点P 的坐标是（1，4），直接写出k 的值和△PAB 的面积；⑵设直线PA 、PB 与x 轴分别交于点M 、N ，求证：△PMN 是等腰三角形；⑶设点Q 是反比例函数图像上位于P 、B 之间的动点（与点P 、y xOA B PB不重合），连接AQ、BQ，比较∠PAQ与∠PBQ的大小，并说明理由．。
精品解析2023年江苏省高考数学试卷(原卷版)
2023年高考（江苏卷）2023年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．）．1.已知集合A?{?1,0,1,2},B?{0,2,3}，则AB?_____2.已知i是虚数单位，则复数z?(1?i)(2?i)的实部是_____.3.已知一组数据4,2a,3?a,5,6的平均数为4，则a的值是_____.4.将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是_____.5.如图是一个算法流程图，若输出y的值为?2，则输入x的值是_____..y2x256.在平面直角坐标系xOy中，若双曲线2﹣=1(a＞0)的一条渐近线方程为y=x，则该双曲线的离心5a2率是____.7.已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时， f?x??x3 ，则f(-8)的值是____. 8.已知sin(22?2??) =，则sin2?的值是____.349.如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2 cm，高为2 cm，内孔半轻为0.5 cm，则此六角螺帽毛坯的体积是____cm.ππ﹢)的图象向右平移个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是10.将函数y=3sin(2x462023年高考（江苏卷）____.11.设{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q的等比数列．已知数列{an+bn}的前n项和Sn?n2?n?2n?1(n?N?)，则d+q的值是_______．12.已知5x2y2?y4?1(x,y?R)，则x2?y2最小值是_______．13.在△ABC中，AB?4，AC?3，∠BAC=90?，D在边BC上，延长AD到P，使得AP=9，若3PA?mPB?(?m)PC（m为常数），则CD的长度是________．14.在平面直角坐标系xOy中，已知P(13A，B是圆C：x2?(y?)2?36上的两个动点，满足PA?PB，0)22则△PAB面积的最大值是__________．二、解答题：（本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字．．．．．．．说明、证明过程或演算步骤．）15.在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，B1C⊥平面ABC，E，F分别是AC，B1C的中点．的（1）求证：EF∥平面AB1C1；（2）求证：平面AB1C⊥平面ABB1．16.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a?3,c?2,B?45?．2023年高考（江苏卷）（1）求sinC的值；4（2）在边BC上取一点D，使得cos?ADC??，求tan?DAC的值．517.地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O在水平线MN上、桥AB与MN平行，OO?为铅垂线(O?在AB上).经测量，左侧曲线AO上任一点D到MN的距离h1(米)与D到OO?的距离a(米)之间满足关系式h1?之间满足关系式h2??12a；右侧曲线BO上任一点F到MN的距离h2(米)与F到OO?的距离b(米)4013b?6b.已知点B到OO?的距离为40米.800（1）求桥AB的长度；（2）计划在谷底两侧建造平行于OO?的桥墩CD和EF，且CE为80米，其中C，E在AB上(不包括端点).桥墩EF每米造价k(万元)、桥墩CD每米造价最低?3k(万元)(k>0).问O?E为多少米时，桥墩CD与EF的总造价2x2y218.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E:??1的左、右焦点分别为F1，F2，点A在椭圆E上且在43第一象限内，AF2⊥F1F2，直线AF1与椭圆E相交于另一点B．（1）求△AF1F2的周长；（2）在x轴上任取一点P，直线AP与椭圆E的右准线相交于点Q，求OP?QP的最小值；（3）设点M在椭圆E上，记△OAB与△MAB的面积分别为S1，S2，若S2=3S1，求点M的坐标．。
2019年江苏省常州市中考数学试题(原卷+解析)
2019年江苏省常州市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分。
在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的）1．（2分）﹣3的相反数是（）A．B．C．3D．﹣3【分析】根据相反数的定义：只有符号不同的两个数称互为相反数计算即可．【解答】解：（﹣3）+3＝0．故选：C．2．（2分）若代数式有意义，则实数x的取值范围是（）A．x＝﹣1B．x＝3C．x≠﹣1D．x≠3【分析】分式有意义的条件是分母不为0．【解答】解：∵代数式有意义，∴x﹣3≠0，∴x≠3．故选：D．3．（2分）如图是某几何体的三视图，该几何体是（）A．圆柱B．正方体C．圆锥D．球【分析】通过俯视图为圆得到几何体为圆柱或球，然后通过主视图和左视图可判断几何体为圆锥．【解答】解：该几何体是圆柱．故选：A．4．（2分）如图，在线段P A、PB、PC、PD中，长度最小的是（）A．线段P A B．线段PB C．线段PC D．线段PD【分析】由垂线段最短可解．【解答】解：由直线外一点到直线上所有点的连线中，垂线段最短，可知答案为B．故选：B．5．（2分）若△ABC～△A′B'C′，相似比为1：2，则△ABC与△A'B′C'的周长的比为（）A．2：1B．1：2C．4：1D．1：4【分析】直接利用相似三角形的性质求解．【解答】解：∵△ABC～△A′B'C′，相似比为1：2，∴△ABC与△A'B′C'的周长的比为1：2．故选：B．6．（2分）下列各数中与2+的积是有理数的是（）A．2+B．2C．D．2﹣【分析】利用平方差公式可知与2+的积是有理数的为2﹣；【解答】解：∵（2+）（2﹣）＝4﹣3＝1；故选：D．7．（2分）判断命题“如果n＜1，那么n2﹣1＜0”是假命题，只需举出一个反例．反例中的n可以为（）A．﹣2B．﹣C．0D．【分析】反例中的n满足n＜1，使n2﹣1≥0，从而对各选项进行判断．【解答】解：当n＝﹣2时，满足n＜1，但n2﹣1＝3＞0，所以判断命题“如果n＜1，那么n2﹣1＜0”是假命题，举出n＝﹣2．故选：A．8．（2分）随着时代的进步，人们对PM2.5（空气中直径小于等于2.5微米的颗粒）的关注日益密切．某市一天中PM2.5的值y1（ug/m3）随时间t（h）的变化如图所示，设y2表示0时到t时PM2.5的值的极差（即0时到t时PM2.5的最大值与最小值的差），则y2与t的函数关系大致是（）A．B．C．D．【分析】根据极差的定义，分别从t＝0、0＜t≤10、10＜t≤20及20＜t≤24时，极差y2随t的变化而变化的情况，从而得出答案．【解答】解：当t＝0时，极差y2＝85﹣85＝0，当0＜t≤10时，极差y2随t的增大而增大，最大值为43；当10＜t≤20时，极差y2随t的增大保持43不变；当20＜t≤24时，极差y2随t的增大而增大，最大值为98；故选：B．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。
精品解析：2023-2024学年江苏省南通市海安市苏教版三年级上册期末考试数学试卷(原卷版)
2023－2024学年江苏省南通市海安县三年级数学第一学期期末考试试题（时间：90分钟 分数：100分）一、填空题。
1. 一个长方形长3厘米,宽1厘米,周长是（）厘米．2. “鸟巢”占地20公顷，1平方千米的土地相当于________个“鸟巢”的占地面积。
3. 有（ ）条对称轴，有（ ）条对称轴， 有（）条对称轴4. 小文家最后一个季度的电表读数如表：时间10月底11月底12月底电表读数（千瓦时）472524？11月份，小文家用电（ ）千瓦时。
12月份，因为家中使用空调，用电达到218度，12月底的电表读数是（）。
5. 找规律填一填。
(1)6940,6960,6980,（ ）,（）,（）。
(2)1,4,9,16,（）,（）。
6. 把24幅书画作品拼在一起，做一个“2020武汉加油”展板。
要在展板四周制作边框装饰。
最少需要（）分米边框。
7. 横线上填合适的数。
180分＝______小时 4千克＝______克1分20秒＝______秒 8000米＝______千米1吨－400千克＝______千克 6分米＋4分米＝______分米8. 同学们从左到右排成一行，然后按如下规律从左向右报数：先让第一位同学报1，然后从第二位同学开始，每位同学都把前一位同学所报的数乘2，再报出乘积的个位来，那么第50个同学报的是__________．9. 在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。
的（） 6吨（）6000克 130厘米（ ）13分米3分（）300秒 90毫米（ ）7分米 4千米（）3800米10. 括号里填合适数。
2吨－500千克＝（ ）千克 80分＝（ ）时（ ）分5厘米＋5毫米＝（）毫米 180秒＝（）分二、选择题。
11. 过冬啦，兔妈妈打算储存一些胡萝卜，已经储存了30个，从今天起每天还要再储存5个，那么到第3天一共能储存（ ）个。
A. 40B. 45C. 105D. 11012. 科技书有100本，[ ]，文艺书有多少本？如果求文艺书本数的列式为100×（1＋）。
精品人教版2019-2020学年九年级数学上册期中模拟试卷(二)解析版
人教版2019-2020学年九年级数学上册期中模拟试卷（二）一．选择题（共8小题，满分6分）1．一元二次方程x2＝3x的解为（）A．x＝0B．x＝3C．x＝0或x＝3D．x＝0 且x＝32．方程2x2+5＝7x根的情况是（）A．有两个不等的实数根B．有两个相等的实数根C．有一个实数根D．没有实数根3．将抛物线y＝﹣3x2先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式是（）A．y＝﹣3（x﹣1）2﹣2B．y＝﹣3（x﹣1）2+2C．y＝﹣3（x+1）2﹣2D．y＝﹣3（x+1）2+24．（3分）如图，∠CAB＝25°，CA、CB是等腰△ABC的两腰，将△ABC绕点A顺时针进行旋转，得到△ADE．当点B恰好在DE的延长线时，则∠EAB的度数为（）A．155°B．130°C．105°D．75°5．在平面直角坐标系中，将点P（2，3）绕原点O顺时针旋转90°后得到点P′，则点P′的坐标是（）A．（﹣2，3）B．（3，﹣2）C．（﹣3，2）D．（2，﹣3）6．如图，∠AOB＝100°，点C在⊙O上，且点C不与A、B重合，则∠ACB的度数为（）A．50°B．80°或50°C．130°D．50°或130°7．如图，A，B，C三点在⊙O上，且∠BOC＝100°，则∠A的度数为（）A．40°B．50°C．80°D．100°8．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，以下结论：①abc＞0；②4ac＜b2；③2a+b＞0；④其顶点坐标为（，﹣2）；⑤当x＜时，y随x的增大而减小；⑥a+b+c＞0中正确的有（）A．3 个B．4 个C．5 个D．6 个二．填空题（共8小题，满分18分）9．（3分）当a＝时，（a﹣3）x|a|﹣1﹣x＝5是关于x的一元二次方程．10．（3分）平面直角坐标系中，一点P（﹣2，3）关于原点的对称点P′的坐标是．11．（3分）二次函数y＝﹣x2﹣2x+3的最大值是．12．（3分）已知抛物线y＝ax2+x+c与x轴交点的横坐标为﹣1，则a+c＝．13．（3分）已知关于x的方程x2+kx﹣3＝0的一个根是x＝﹣1，则另一根为．14．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x经过点A，作AB⊥x轴于点B，将△ABO绕点B逆时针旋转60°得到△CBD，若点B的坐标为（2，0），则点C的坐标为．15．如图，P是⊙O的直径AB延长线上的一点，PC切⊙O于点C，∠APC的平分线交AC于点D．若∠APC＝40°，则∠CDP＝．16．如图，已知点C是的一点，圆周角∠ACB为125°，则圆心角∠AOB＝度．三．解答题（共2小题，满分16分，每小题8分）17．（8分）解方程与不等式：（1）（x﹣3）（x﹣2）+33＝（x+9）（x+1）（2）（2x+3）（2x﹣3）＜4（x﹣2）（x+3）18．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+3x﹣m＝0有实数根．（1）求m的取值范围（2）若两实数根分别为x1和x2，且x12+x22＝11，求m的值．四．解答题（共2小题）19．如图，在正方形网格中，△ABC的三个顶点都在格点上，点O也在格点上．（1）画△A'B'C'，使△A'B'C'与△ABC关于直线OP成轴对称，点A的对应点是A'；（2）画△A''B''C''，使△A''B''C''与△A'B'C'关于点O成中心对称，点A'的对应点是A''．20．在平面直角坐标系中，O为原点，点A（2，0），点B（0，），把△ABO绕点B逆时针旋转，得△A′BO′，点A，O旋转后的对应点为A′，O′，记旋转角为α．如图，若α＝90°，求AA′的长．五．解答题（共2小题，满分20分，每小题10分）21．（10分）已知二次函数的图象以A（﹣1，4）为顶点，且过点B（2，﹣5）（1）求该函数的关系式；（2）求该函数图象与坐标轴的交点坐标；（3）将该函数图象向右平移，当图象经过原点时，A、B两点随图象移至A′、B′，求△OA′B′的面积．22．（10分）如图，在⊙O中，直径AB经过弦CD的中点E，点M在OD上，AM的延长线交⊙O于点G，交过D 的直线于F，且∠BDF＝∠CDB，BD与CG交于点N．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）连结MN，猜想MN与AB的位置有关系，并给出证明．六．解答题（共2小题，满分20分，每小题10分）23．（10分）某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件40元．每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销．（1）若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元，求两次下降的百分率；（2）经调查，若该商品每降价0.5元，每天可多销售4件，那么每天要想获得510元的利润，每件应降价多少元？24．（10分）某商品的进价为每件50元．当售价为每件70元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出20件．在确保盈利的前提下，解答下列问题：（1）若设每件降价x元、每星期售出商品的利润为y元，请写出y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；（2）当降价多少元时，每星期的利润最大？最大利润是多少？七．解答题（共1小题）25．在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点E是对角线BD上一动点．（1）如图1，当CE⊥BD时，求DE的长；（2）如图2，作EM⊥EN分别交边BC于M，交边CD于N，连MN．①若，求tan∠ENM；②若E运动到矩形中心O，连CO．当CO将△OMN分成两部分面积比为1：2时，直接写出CN的长．八．解答题（共1小题）26．如图，已知关于x的二次函数y＝﹣x2+bx+c（c＞0）的图象与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OB＝OC＝3，顶点为M．（1）求出二次函数的关系式；（2）点P为线段MB上的一个动点，过点P作x轴的垂线PD，垂足为D．若OD＝m，△PCD的面积为S，求S关于m的函数关系式，并写出m的取值范围；（3）探索线段MB上是否存在点P，使得△PCD为直角三角形？如果存在，求出P的坐标；如果不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分6分）1．【解答】解：方程移项得：x2﹣3x＝0，分解因式得：x（x﹣3）＝0，解得：x＝0或x＝3，故选：C．2．【解答】解：方程化为2x2﹣7x+5＝0，因为△＝（﹣7）2﹣4×2×5＝9＞0，所以方程有两个不相等的实数根．故选：A．3．【解答】解：将抛物线y＝﹣3x2向左平移1个单位所得直线解析式为：y＝﹣3（x+1）2；再向下平移2个单位为：y＝﹣3（x+1）2﹣2，即y＝﹣3（x+1）2﹣2．故选：C．4．【解答】解：∵CA＝CB，∴∠CBA＝∠CAB＝25°，∵△ABC绕点A顺时针进行旋转，得到△ADE．点B恰好在DE的延长线上，∴∠D＝∠ABC＝25°，∠DAE＝∠BAC＝25°，AD＝AB，∴∠ABD＝25°，∴∠ABD＝∠CAB，∴AC∥BD，∴∠D+∠DAC＝180°，∴∠EAB＝180°﹣25°﹣25°﹣25°＝105°．故选：C．5．【解答】解：如图，过P、P′两点分别作x轴，y轴的垂线，垂足为A、B，∵线段OP绕点O顺时针旋转90°，∴∠POP′＝∠AOB＝90°，∴∠AOP＝∠P′OB，且OP＝OP′，∠P AO＝∠P′BO＝90°，∴△OAP≌△OBP′，即P′B＝P A＝3，BO＝OA＝2，∴P′（3，﹣2）．故选：B．6．【解答】解：当点C在优弧上时，∠AC′B＝∠AOB＝×100°＝50°，当点C在劣弧上时，∠ACB＝（360°﹣∠AOB）＝×（360°﹣100°）＝130°．故选：D．7．【解答】解：由题意得∠A＝∠BOC＝×100°＝50°．故选：B．8．【解答】解：①由图象开口可知：a＞0，c＜0，∵＞0，∴b＜0，∴abc＞0，故①正确；②由图象可知：△＞0，∴b2﹣4ac＞0，∴b2＞4ac，故②正确；③抛物线与x轴交于点A（﹣1，0），B（2，0），∴抛物线的对称轴为：x＝，∴＜1，∴2a+b＞0，故③正确；④由图象可知顶点坐标的纵坐标小于﹣2，故④错误；⑤由③可知抛物线的对称轴为x＝，∴由图象可知：x＜时，y随着x的增大而减小，故⑤正确；⑥由图象可知：x＝1时，y＜0，∴a+b+c＜0，故⑥错误；故选：B．二．填空题（共8小题，满分18分）9．【解答】解：∵（a﹣3）x|a|﹣1﹣x＝5是关于x的一元二次方程，∴a﹣3≠0，|a|﹣1＝2，解得：a＝﹣3，即当a＝﹣3时，（a﹣3）x|a|﹣1﹣x＝5是关于x的一元二次方程，故答案为：﹣3．10．【解答】解：根据中心对称的性质，得点P（﹣2，﹣3）关于原点对称点P′的坐标是（2，﹣3）．故答案为：（2，﹣3）．11．【解答】解：∵y＝﹣x2﹣2x+3＝y＝﹣（x2+2x+1﹣1）+3＝﹣（x+1）2+4，∴当x＝﹣1时，y取得最大值4，故答案为：4．12．【解答】解：∵抛物线y＝ax2+x+c与x轴交点的横坐标为﹣1，∴抛物线y＝ax2+x+c经过（﹣1，0），∴a﹣1+c＝0，∴a+c＝1，故答案为1．13．【解答】解：设方程的另一个根为x2，则﹣1×x2＝﹣3，解得：x2＝3，故答案为：3．14．【解答】解：过点C作CE⊥x轴于点E，∵OB＝2，AB⊥x轴，点A在直线y＝x上，∴AB＝2，OA＝＝4，∴RT△ABO中，tan∠AOB＝＝，∴∠AOB＝60°，又∵△CBD是由△ABO绕点B逆时针旋转60°得到，∴∠D＝∠AOB＝∠OBD＝60°，AO＝CD＝4，∴△OBD是等边三角形，∴DO＝OB＝2，∠DOB＝∠COE＝60°，∴CO＝CD﹣DO＝2，在RT△COE中，OE＝CO•cos∠COE＝2×＝1，CE＝CO•sin∠COE＝2×＝，∴点C的坐标为（﹣1，），故答案为：（﹣1，）．15．【解答】解：如图，连接OC，∵PC为圆O的切线，∴PC⊥OC，即∠PCO＝90°，∴∠CPO+∠COP＝90°，∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO＝∠COP，∵PD为∠APC的平分线，∴∠APD＝∠CPD＝∠CPO，∴∠CDP＝∠APD+∠A＝（∠CPO+∠COP）＝45°．故答案为：45°．16．【解答】解：在优弧AB上取点D，连接AD，BD，∵∠ACB＝125°，∴∠ADB＝180°﹣125°＝55°，∴∠AOB＝110°，故答案为：110．三．解答题（共2小题，满分16分，每小题8分）17．【解答】解：（1）x2﹣5x+6+33＝x2+10x+9，x2﹣5x﹣x2﹣10x＝9﹣6﹣33，﹣15x＝﹣30，x＝2；（2）4x2﹣9＜4（x2+x﹣6），4x2﹣9＜4x2+4x﹣24，4x2﹣4x2﹣4x＜﹣24+9，﹣4x＜﹣15，x＞．18．【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+3x﹣m＝0有实数根，∴△＝b2﹣4ac＝32+4m≥0，解得：m≥﹣；（2）∵x1+x2＝﹣3、x1x2＝﹣m，∴x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1•x2＝11，∴（﹣3）2+2m＝11，解得：m＝1．四．解答题（共2小题）19．【解答】解：（1）如图所示，△A'B'C'为所求三角形；（2）如图所示，△A''B''C''为所求三角形．20．【解答】解：∵点A（2，0），点B（0，），∴OA＝2，OB＝．在Rt△ABO中，由勾股定理得AB＝．根据题意，△A′BO′是△ABO绕点B逆时针旋转900得到的，由旋转是性质可得：∠A′BA＝90°，A′B＝AB＝，∴AA′＝＝．五．解答题（共2小题，满分20分，每小题10分）21．【解答】解：（1）设抛物线顶点式y＝a（x+1）2+4将B（2，﹣5）代入得：a＝﹣1∴该函数的解析式为：y＝﹣（x+1）2+4＝﹣x2﹣2x+3（2）令x＝0，得y＝3，因此抛物线与y轴的交点为：（0，3）令y＝0，﹣x2﹣2x+3＝0，解得：x1＝﹣3，x2＝1，即抛物线与x轴的交点为：（﹣3，0），（1，0）（3）设抛物线与x轴的交点为M、N（M在N的左侧），由（2）知：M（﹣3，0），N（1，0）当函数图象向右平移经过原点时，M与O重合，因此抛物线向右平移了3个单位故A'（2，4），B'（5，﹣5）∴S△OA′B′＝×（2+5）×9﹣×2×4﹣×5×5＝15．22．【解答】（1）证明：∵直径AB经过弦CD的中点E，∴AB⊥CD，．∴∠BOD＝2∠CDB．∵∠BDF＝∠CDB，∴∠BOD＝∠CDF，∵∠BOD+∠ODE＝90°，∴∠ODE+∠CDF＝90°，即∠ODF＝90°，∴DF是⊙O的切线；（2）猜想：MN∥AB．证明：连结CB．∵直径AB经过弦CD的中点E，∴，．∴∠CBA＝∠DBA，CB＝BD．∵OB＝OD，∴∠DBA＝∠ODB．∴∠AOD＝∠DBA+∠ODB＝2∠DBA＝∠CBD，∵∠BCG＝∠BAG，∴△CBN∽△AOM，∴．∵AO＝OD，CB＝BD，∴，∴，∵∠ODB＝∠MDN，∴△MDN∽△ODB，∴∠DMN＝∠DOB，∴MN∥AB．六．解答题（共2小题，满分20分，每小题10分）23．【解答】解：（1）设每次降价的百分率为x．40×（1﹣x）2＝32.4x＝10%或190%（190%不符合题意，舍去）答：该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元，两次下降的百分率啊10%；（2）设每天要想获得510元的利润，且更有利于减少库存，则每件商品应降价y元，由题意，得（40﹣30﹣y）（4×+48）＝510，解得：y1＝1.5，y2＝2.5，∵有利于减少库存，∴y＝2.5．答：要使商场每月销售这种商品的利润达到510元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价2.5元．24．【解答】解：（1）根据题意得y＝（70﹣x﹣50）（300+20x）＝﹣20x2+100x+6000，∵70﹣x﹣50＞0，且x≥0，∴0≤x＜20；（2）∵y＝﹣20x2+100x+6000＝﹣20（x﹣）2+6125，∴当x＝时，y取得最大值，最大值为6125，答：当降价2.5元时，每星期的利润最大，最大利润是6125元．七．解答题（共1小题）25．【解答】解：（1）∵矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8∴∠BCD＝90°，BC＝AD＝8，CD＝AB＝6∴BD＝＝10∵CE⊥BD∴∠CED＝∠BCD＝90°∵∠CDE＝∠BDC∴△CDE∽△BDC∴∴DE＝（2）①如图1，过点M作MF⊥BD于点F，过点N作NG⊥BD于点G∵，BD＝10∴BD＝BE+DE＝3DE+DE＝4DE＝10∴DE＝，BE＝设MF＝a，NG＝b∵∠BFM＝∠C＝90°，∠FBM＝∠CBD∴△FBM∽△CBD∴∴BF＝＝a∴EF＝BE﹣BF＝a同理可证：△GDN∽△CDB∴∴DG＝＝b∴EG＝DE﹣DG＝b∵EM⊥EN∴∠MEN＝∠MFE＝∠NGE＝90°∴∠MEF+∠NEG＝∠MEF+∠EMF＝90°∴∠EMF＝∠NEG∴△EMF∽△NEG∴∴EF•EG＝NG•MF∴（a）（b）＝ba整理得：16a＝90﹣27b∴在Rt△MEN中，tan∠ENM＝＝②如图2，过点M作MF⊥BD于点F，MP⊥OC于点P，过点N作NG⊥BD于点G，NQ⊥OC于点Q，设OC 与MN交点为H∵点O为矩形中心，BD＝10∴OB＝OD＝OC＝BD＝5由①可得，设MF＝a，NG＝b，则BF＝＝a，DG＝＝b，OF•OG＝NG•MF∴OF＝OB﹣BF＝5﹣a，OG＝OD﹣DG＝5﹣b∴（5﹣a）（5﹣b）＝ab整理得：16a＝60﹣9b∴＝设CN＝5x∵∠NCQ＝∠BDC，∠NQC＝∠BCD＝90°∴△NCQ∽△BDC∴＝∴CQ＝CN＝3x，NQ＝CN＝4x∴OQ＝OC﹣CQ＝5﹣3x∵∠MPO＝∠MON＝∠OQN＝90°∴∠MOP+∠NOQ＝∠NOQ+∠ONQ＝90°∴∠MOP＝∠ONQ∴△MOP∽△ONQ∴i）若S△OMH＝2S△ONH，且两三角形都以OH为底∴MP＝2NQ＝8x∴解得：x＝∴CN＝ii）若2S△OMH＝S△ONH，则MP＝NQ＝2x∴解得：x＝∴CN＝综上所述，CN的长为或．八．解答题（共1小题）26．【解答】解：（1）∵OB＝OC＝3，∴B（3，0），C（0，3）∴，解得1分∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴M（1，4）设直线MB的解析式为y＝kx+n，则有解得：，∴直线MB的解析式为y＝﹣2x+6∵PD⊥x轴，OD＝m，∴点P的坐标为（m，﹣2m+6）S三角形PCD＝×（﹣2m+6）•m＝﹣m2+3m（1≤m＜3）；（3）∵若∠PDC是直角，则点C在x轴上，由函数图象可知点C在y轴的正半轴上，∴∠PDC≠90°，在△PCD中，当∠DPC＝90°时，当CP∥AB时，∵PD⊥AB，∴CP⊥PD，∴PD＝OC＝3，∴P点纵坐标为：3，代入y＝﹣2x+6，∴x＝，此时P（，3）．∴线段BM上存在点P（，3）使△PCD为直角三角形．当∠P′CD′＝90°时，△COD′∽△D′CP′，此时CD′2＝CO•P′D′，即9+m2＝3（﹣2m+6），∴m2+6m﹣9＝0，解得：m＝﹣3±3，∵1≤m＜3，∴m＝3（﹣1），∴P′（3﹣3，12﹣6）综上所述：P点坐标为：（，3），（3﹣3，12﹣6）．。
2019年江苏省常州市中考数学试卷含答案解析
故选：B．
【点评】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．相似
三角形（多边形）的周长的比等于相似比；相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分
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线、对应边上的高）的比也等于相似比．相似三角形的面积的比等于相似比的平方．
6．（2 分）下列各数中与 2+ 的积是有理数的是（ ）
A．圆柱
B．正方体
C．圆锥
第7页（共29页）
D．球
【考点】U3：由三视图判断几何体． 菁优网版权所有
【分析】通过俯视图为圆得到几何体为圆柱或球，然后通过主视图和左视图可判断几何体为 圆锥． 【解答】解：该几何体是圆柱． 故选：A． 【点评】本题考查了由三视图判断几何体：由三视图想象几何体的形状，首先，应分别根据 主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体 形状．熟记一些简单的几何体的三视图对复杂几何体的想象会有帮助． 4．（2 分）如图，在线段 PA、PB、PC、PD 中，长度最小的是（ ）
第1页（共29页）
日益密切．某市一天中 PM2.5 的值 y1（ug/m3）随时间 t（h）的变化如图所示，设 y2 表示 0 时到 t 时 PM2.5 的值的极差（即 0 时到 t 时 PM2.5 的最大值与最小值的差），则 y2 与 t 的函 数关系大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分。不需写出解答过程，请把答案直接
A．﹣2
B．﹣
C．0
D．
【考点】O1：命题与定理． 菁优网版权所有
【分析】反例中的 n 满足 n＜1，使 n2﹣1≥0，从而对各选项进行判断． 【解答】解：当 n＝﹣2 时，满足 n＜1，但 n2﹣1＝3＞0， 所以判断命题“如果 n＜1，那么 n2﹣1＜0”是假命题，举出 n＝﹣2． 故选：A． 【点评】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题 非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只 需举出一个反例即可． 8．（2 分）随着时代的进步，人们对 PM2.5（空气中直径小于等于 2.5 微米的颗粒）的关注 日益密切．某市一天中 PM2.5 的值 y1（ug/m3）随时间 t（h）的变化如图所示，设 y2 表示 0 时到 t 时 PM2.5 的值的极差（即 0 时到 t 时 PM2.5 的最大值与最小值的差），则 y2 与 t 的函 数关系大致是（ ）
(中考精品卷)江苏省常州市中考数学真题(解析版)
常州市2022年初中学业水平考试数学试题一、选择题1. 2022的相反数是（ ）A. 2022B. 2022-C. 12022D. 12022- 【答案】B【解析】【分析】根据相反数的定义直接求解．【详解】解：实数2022的相反数是2022-，故选：B ．【点睛】本题主要考查相反数的定义，解题的关键是熟练掌握相反数的定义．2. x 的取值范围是（ ）A. 1≥xB. 1x >C. 0x ≥D. 0x >【答案】A【解析】0)…进行计算即可．【详解】解：由题意得： 10x -…，1x ∴…，故选：A ．0)…是解题的关键． 3. 下列图形中，为圆柱的侧面展开图的是（ ）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意，注意其按圆柱的侧面沿它的一条母线剪开，分析得到图形的性质，易得答案．【详解】解：根据题意，把圆柱的侧面沿它的一条母线剪开展在一个平面上，得到其侧面展开图是对边平行且相等的四边形；又有母线垂直于上下底面，故可得是矩形．故选：D ．【点睛】本题考查的是圆柱的展开图，解题的关键是需要对圆柱有充分的理解；难度不大．4. 如图，在△ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 边的中点，若DE ＝2，则BC 的长度是（ ）A. 6B. 5C. 4D. 3 【答案】C【解析】【分析】直接利用三角形中位线定理得出答案．【详解】∵在△ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 边的中点，∴DE 是△ABC 的中位线，∵DE ＝2，∴BC 的长度是：4．故选：C ．【点睛】此题主要考查了三角形的中位线，正确把握三角形中位线定理是解题关键． 5. 某城市市区人口x 万人，市区绿地面积50万平方米，平均每人拥有绿地y 平方米，则y 与x 之间的函数表达式为（ ）A. 50y x =+B. 50y x =C. 50y x =D.50=x y 【答案】C【解析】【分析】根据：平均每人拥有绿地y =总面积总人数，列式求解． 【详解】解：依题意，得：平均每人拥有绿地50y x=． 故选：C 【点睛】本题考查了反比例函数，解题的关键是掌握题目中数量之间的相互关系． 6. 如图，斑马线作用是为了引导行人安全地通过马路．小丽觉得行人沿垂直马路的方向走过斑马线更为合理，这一想法体现的数学依据是（ ）A. 垂线段最短B. 两点确定一条直线C. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直D. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行【答案】A【解析】【分析】根据垂线段最短解答即可．【详解】解：行人沿垂直马路的方向走过斑马线，体现的数学依据是垂线段最短， 故选：A ．【点睛】本题考查垂线段最短，熟知垂线段最短是解答的关键．7. 在平面直角坐标系xOy 中，点A 与点1A 关于x 轴对称，点A 与点2A 关于y 轴对称．已知点1(1,2)A ，则点2A 的坐标是（ ）A. (2,1)-B. (2,1)--C. (1,2)-D.(1,2)-- 【答案】D【解析】的A点坐标，即可得出答案．【分析】直接利用关于x，y轴对称点的性质分别得出A，2【详解】解：∵点1A的坐标为（1，2），点A与点1A关于x轴对称，∴点A的坐标为（1，-2），A关于y轴对称，∵点A与点2A的坐标是（-1，﹣2）．∴点2故选：D．【点睛】此题主要考查了关于x，y轴对称点的坐标，正确掌握关于坐标轴对称点的性质是解题关键．km的加速时间和满电续航里程8. 某汽车评测机构对市面上多款新能源汽车的0~100/h进行了性能评测，评测结果绘制如下，每个点都对应一款新能源汽车的评测数据．已知km的加速时间的中位数是s m，满电续航里程的中位数是nkm，相应的直线将0~100/h平面分成了①、②、③、④四个区域（直线不属于任何区域）．欲将最新上市的两款新能源汽车的评测数据对应的点绘制到平面内，若以上两组数据的中位数均保持不变，则这两个点可能分别落在（）A. 区域①、②B. 区域①、③C. 区域①、④D. 区域③、④【答案】B【解析】【分析】根据中位数的性质即可作答．【详解】在添加了两款新能源汽车的测评数据之后，0~100km/h的加速时间的中位数m s，满电续航里程的中位数n km，这两组中位数的值不变，即可知这两款新能源汽车的0~100km/h的加速时间的数值分别处于直线m的上方和下方，满电续航里程的数值分别位于直线n的左侧和右侧，据此逐项判断即可：A项，两款车的0~100km/h的加速时间均在直线m下方，不符合要求，故A项错误；B项，可知这两款新能源汽车的0~100km/h的加速时间的数值分别处于直线m的上方和下方，满电续航里程的数值分别位于直线n的左侧和右侧，符合要求；C 项，两款车的满电续航里程的数值均在直线n 的左侧，不符合要求，故C 项错误；D 项，两款车的0~100km/h 的加速时间均在直线m 上方，不符合要求，故D 项错误； 故选：B ．【点睛】本题考查了中位数的概念，根据中位数的值不变可知新添加的一组数据分别处在中位数的左右两侧或刚好都等于该中位数，理解这一点是解答本题的关键．二、填空题9. ___．【答案】2【解析】【分析】根据立方根的定义进行计算．【详解】解：∵23=8，，故答案为：2．10. 计算：42÷=m m _______．【答案】2m【解析】【分析】根据同底数幂的除法运算法则即可求出．【详解】解：422m m m ÷=．故答案为：2m ．【点睛】本题主要考查同底数幂的除法，掌握同底数幂的除法法则是解题的关键． 11. 分解因式：22x y xy +=______．【答案】xy (x +y )【解析】【分析】利用提公因式法即可求解．【详解】22()x y y y xy x x =++，故答案为：()xy x y +．【点睛】本题考查了用提公因式法分解因式的知识，掌握提公因式法是解答本题的关键．12. 2022年5月22日，中国科学院生物多样性委员会发布《中国生物物种名录》2022版，共收录物种及种下单元约138000个．数据138000用科学记数法表示为______．【答案】1.38×105【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a |＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值≥10时，n 是正整数数．【详解】解：由题意可知：138000=1.38×105，故答案为：1.38×105【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a |＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．13. 如图，数轴上的点A 、B 分别表示实数a 、b ，则1a ______1b ．（填“>”、“=”或“<”）【答案】>【解析】【分析】由图可得：1a b <<，再根据不等式的性质即可判断．【详解】解：由图可得：1a b <<， 由不等式的性质得：11a b>， 故答案为：>．【点睛】本题考查了数轴，不等式的性质，解题的关键是掌握不等式的性质．14. 如图，在ABC 中，E 是中线AD 的中点．若AEC △的面积是1，则ABD △的面积是______．【答案】2【解析】【分析】根据ACE ∆的面积DCE =∆的面积，ABD ∆的面积ACD =∆的面积计算出各部分三角形的面积．【详解】解：AD 是BC 边上的中线，E 为AD 的中点，根据等底同高可知，ACE ∆的面积DCE =∆的面积1=，ABD ∆的面积ACD =∆的面积2AEC =∆的面积2=，故答案为：2． 【点睛】本题考查了三角形的面积，解题的关键是利用三角形的中线平分三角形面积进行计算．15. 如图，将一个边长为20cm 的正方形活动框架（边框粗细忽略不计）扭动成四边形ABCD ，对角线是两根橡皮筋，其拉伸长度达到36cm 时才会断裂．若60BAD ∠=︒，则橡皮筋AC _____断裂（填“会”或“不会” 1.732≈）．【答案】不会【解析】【分析】设扭动后对角线的交点为O ，根据正方形的性质，得出扭动后的四边形为菱形，利用菱形的性质及条件，得出ABD △为等边三角形，利用勾股定理算出AO =而得到AC ，再比较即可判断．【详解】解：设扭动后对角线的交点为O ，如下图：60BAD ∠=︒ ，根据正方形的性质得，得出扭动后的四边形四边相等为菱形，20AD AB ==，ABD ∴ 为等边三角形，20BD ∴=，1102BO BD ∴==，AO ∴==根据菱形的对角线的性质：234.64AC AO ==≈，34.6436< ，AC ∴不会断裂，故答案为：不会．【点睛】本题考查了正方形的性质、菱形的判定及性质、等边三角形、勾股定理，解题的关键是要掌握菱形的判定及性质．16. 如图，ABC 是O 的内接三角形．若45ABC ∠=︒，AC =O 的半径是______．【答案】1【解析】【分析】连接OA 、OC ，根据圆周角定理得到90AOC ∠=︒，根据勾股定理计算即可．详解】解：连接OA 、OC ，45ABC ∠=︒ ，290AOC ABC ∴∠=∠=︒，222OA OC AC ∴+=，即222OA =，解得：1OA =，故答案为：1．【点睛】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、勾股定理是解题的关键．17. 如图，在四边形ABCD 中，90A ABC ∠=∠=︒，DB 平分ADC ∠．若1AD =，3CD =，则sin ABD ∠=______．【【解析】△为等腰三角【分析】过点D作BC的垂线交于E，证明出四边形ABED为矩形，BCD形，由勾股定理算出DE=BD=，即可求解．【详解】解：过点D作BC的垂线交于E，∴∠=︒DEB90，∠=∠=︒A ABC90∴四边形ABED为矩形，//,1∴==，DE AB AD BE∴∠=∠，ABD BDE∠，Q平分ADCBD∴∠=∠，ADB CDB，AD BE//∴∠=∠，ADB CBD∴∠CDB=∠CBDCD CB∴==，3，==AD BE1∴，CE=2∴===DEBD ∴===sin BE BDE BD ∴∠===sin ABD ∴∠=【点睛】本题考查了锐角三角函数、矩形、等腰三角形形、勾股定理、平行线的性质，解题的关键是构造直角三角形求解．18. 如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，9AC =，12BC =．在Rt DEF 中，90F ∠=︒，3DF =，4EF =．用一条始终绷直的弹性染色线连接CF ，Rt DEF 从起始位置（点D 与点B 重合）平移至终止位置（点E 与点A 重合），且斜边DE 始终在线段AB 上，则Rt ABC △的外部被染色的区域面积是______．【答案】28【解析】【分析】过点F 作AB 的垂线交于G ，同时在图上标出,,M N F '如图，需要知道的是Rt ABC 的被染色的区域面积是MNF F S '梯形，所以需要利用勾股定理，相似三角形、平行四边形的判定及性质，求出相应边长，即可求解．【详解】解：过点F 作AB 的垂线交于G ，同时在图上标出,,M N F '如下图：90C ∠=︒ ，9AC =，12BC =，15AB ∴==，在Rt DEF 中，90F ∠=︒，3DF =，4EF =．5DE ∴==，15510AE AB DE =-=-= ，//,EF AF EF AF ''= ，∴四边形AEFF '为平行四边形，10AE FF '∴==，11622DEF S DF EF DE GF =⋅=⋅= ， 解得：125GF =， //DF AC ，,DFM ACM FDM CAM ∴∠=∠∠=∠，DFM ACM ∴ ∽，13DM DF AM AC ∴==， 1115344DM AM AB ∴===， //BC AF ' ，同理可证：ANF DNC ' ∽，13AF AN BC DN '∴==， 345344DN AN AB ∴===， 451530444MN DN DM ∴=-=-=， Rt ABC 的外部被染色的区域面积为130121028245MNF F S '⎛⎫=⨯+⨯= ⎪⎝⎭梯形， 故答案为：28．【点睛】本题考查了直角三角形，相似三角形的判定及性质、勾股定理、平行四边形的判定及性质，解题的关键是把问题转化为求梯形的面积．三、解答题19. 计算：（1）201(3)3---+π；（2）2(1)(1)(1)+--+x x x ．【答案】（1）43（2）2x +2【解析】【分析】（1）利用负指数公式化简，零指数公式化简，平方根定义化简，合并后即可求出值；（2）利用完全平方，以及平方差计算，再合并即可求出值．【小问1详解】201(3)3---+π＝2﹣1+13＝43； 【小问2详解】2(1)(1)(1)+--+x x x＝22211x x x ++-+＝2x +2．【点睛】此题考查了乘法公式，以及实数的运算，实数的运算涉及的知识有：零指数公式，负指数公式，绝对值的代数意义，以及平方根的定义．20. 解不等式组510032x x x -≤⎧⎨+>-⎩，并把解集在数轴上表示出来．【答案】12x -<≤；解集表示见解析【解析】【分析】先求出每个不等式的解集，然后求出不等式组的解集，并在数轴上表示出来即可．【详解】解：原不等式组为510032x x x -≤⎧⎨+>-⎩①②， 解不等式①，得2x ≤；解不等式②，得1x >-．∴原不等式组的解集为12x -<≤ ，将不等式组的解集表示在数轴上如下：【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组，掌握解一元一次不等式组的方法是解题的关键．21. 为减少传统塑料袋对生态环境的破坏，国家提倡使用可以在自然环境下（特定微生物、温度、湿度）较快完成降解的环保塑料袋．调查小组就某小区每户家庭1周内环保塑料袋的使用情况进行了抽样调查，使用情况为A（不使用）、B（1~3个）、C（4~6个）、D（7个及以上），以下是根据调查结果绘制的统计图的一部分．（1）本次调查的样本容量是_____，请补全条形统计图；（2）已知该小区有1500户家庭，调查小组估计：该小区1周内使用7个及以上环保塑料袋的家庭约有225户．调查小组的估计是否合理？请说明理由．【答案】（1）100，图见解析（2）合理，理由见解析【解析】【分析】（1）利用频数除以频率即可得出，结合条形统计图及扇形统计图，求出,B C涉及的户数再画图即可；（2）利用样本估计总体的思想来解释即可．【小问1详解】解：本次调查的样本容量为：201000.2=（户），C∴使用情况的户数为：10025%25⨯=，D占的比例为：1515% 100=，B∴的比例为：125%20%15%40%---=，B∴使用情况的户数为：10040%40⨯=，补全条形统计图如下：故答案为：100．【小问2详解】解：合理，理由如下：利用样本估计总体：D占的比例为：1515% 100=，150015%225∴⨯=（户），∴调查小组的估计是合理的．【点睛】本题考查了形统计图及扇形统计图，样本估计总体，解题的关键是通过数形结合对数据进行分析．22. 在5张相同的小纸条上，分别写有语句：①函数表达式为y x=；②函数表达式为2y x=；③函数的图像关于原点对称；④函数的图像关于y轴对称；⑤函数值y随自变量x增大而增大．将这5张小纸条做成5支签，①、②放在不透明的盒子A中搅匀，③、④、⑤放在不透明的盒子B中搅匀．（1）从盒子A中任意抽出1支签，抽到①概率是______；（2）先从盒子A中任意抽出1支签，再从盒子B中任意抽出1支签．求抽到的2张小纸条上的语句对函数的描述相符合的概率．【答案】（1）12（2）12【解析】【分析】（1）直接由概率公式求解即可；（2）画出树状图，再由概率计算公式求解即可．【小问1详解】解：从盒子A中任意抽出1支签，抽到①的概率是12；故答案为：12；的【小问2详解】解：画出树状图：共有6种结果，抽到的2张小纸条上的语句对函数的描述相符合的有①、③和①、⑤和②、④共3种，∴抽到的2张小纸条上的语句对函数的描述相符合的概率为3162=． 【点睛】本题主要考查了列表法或树状图求概率，一次函数与二次函数的性质，解题的关键是会列出表或树状图以及一次函数与二次函数的性质．23. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数2y x b =+的图象分别与x 轴、y 轴交于点A 、B ，与反比例函数(0)k y x x=>的图象交于点C ，连接OC ．已知点(0,4)B ，BOC 的面积是2．（1）求b 、k 的值；（2）求AOC △的面积．【答案】（1）4；6（2）6【解析】【分析】（1）由点B （0，4）在一次函数y =2x +b 的图象上，代入求得b =4，由△BOC 的面积是2得出C 的横坐标为1，代入直线关系式即可求出C 的坐标，从而求出k 的值； （2）根据一次函数的解析式求得A 的坐标，然后根据三角形的面积公式代入计算即可．【小问1详解】解：∵一次函数2y x b =+的图象y 轴交于点(0,4)B ，∴4b =，OB =4，∴一次函数解析式为24y x =+，设点C （m ，n ），∵BOC 的面积是2． ∴1422m ⨯=，解得：m =1， ∵点C 在一次函数图象上，∴246n =+=，∴点C （1，6），把点C （1，6）代入(0)k y x x =>得：k =6； 【小问2详解】当y =0时，024x =+，解得：x =-2，∴点A （-2，0），∴OA =2， ∴12662AOC S ∆=⨯⨯=． 【点睛】本题是一次函数与反比例函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，求出C 的坐标是解题的关键． 24. 如图，点A 在射线OX 上，OA a =．如果OA 绕点O 按逆时针方向旋转(0360)<≤︒n n 到OA '，那么点A '的位置可以用(),︒a n 表示．（1）按上述表示方法，若3a =，37n =，则点A '的位置可以表示为______；（2）在（1）的条件下，已知点B 的位置用()3,74︒表示，连接A A '、A B '．求证：A A A B ''=．【答案】（1）(3,37°)（2）见解析【解析】【分析】（1）根据点的位置定义，即可得出答案；（2）画出图形，证明△AOA ′≌△BOA ′（SAS ），即可由全等三角形的性质，得出结论．【小问1详解】解：由题意，得A ′(a ,n °)，∵a=3,n=37，∴A′(3,37°)，故答案为：(3,37°)；【小问2详解】证明：如图，∵()3,37A '︒，B (3,74°)，∴∠AOA ′=37°，∠AOB =74°，OA = OB =3，∴∠A ′OB =∠AOB -∠AOA ′=74°-37°=37°，∵OA ′=OA ′，∴△AOA ′≌△BOA ′（SAS ），∴A ′A =A ′B ．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，新定义，旋转的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．25. 第十四届国际数学教育大会（ICME -14）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0~7共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是3210387848582021⨯+⨯+⨯+⨯=，表示ICME -14的举办年份．（1）八进制数3746换算成十进制数是_______；（2）小华设计了一个n 进制数143，换算成十进制数是120，求n 的值．【答案】（1）2022（2）9【解析】【分析】（1）根据八进制换算成十进制的方法即可作答；（2）根据n 进制换算成十进制的方法可列出关于n 的一元二次方程，解方程即可求解．【小问1详解】3210387848682022⨯+⨯+⨯+⨯=，故答案为：2022；【小问2详解】根据题意有：313233143120n n n ---⨯+⨯+⨯=，整理得：244121n n ++=，解得n =9，（负值舍去），故n 的值为9．【点睛】本题考查了有理数的运算以及一元二次方程的应用等知识，根据题意列出关于n 的一元二次方程是解答本题的关键．26. 在四边形ABCD 中，O 是边BC 上的一点．若OAB OCD V V ≌，则点O 叫做该四边形的“等形点”．（1）正方形_______“等形点”（填“存在”或“不存在”）；（2）如图，在四边形ABCD 中，边BC 上的点O 是四边形ABCD 的“等形点”．已知CD =，5OA =，12BC =，连接AC ，求AC 的长；（3）在四边形EFGH 中，EH //FG ．若边FG 上点O 是四边形EFGH 的“等形点”，求OF OG的值． 【答案】（1）不存在，理由见详解（2（3）1【解析】【分析】（1）根据“等形点”的概念，采用反证法即可判断；（2）过A 点作AM ⊥BC 于点M ，根据“等形点”的性质可得AB =CD=OA =OC =5，OB =7=OD ，设MO =a ，则BM =BO -MO =7-a ，在Rt △ABM 和Rt △AOM中，利的用勾股定理即可求出AM，则在Rt△AMC中利用勾股定理即可求出AC；（3）根据“等形点”的性质可得OF=OH，OE=OG，∠EOF=∠GOH，再根据∥，可得∠EOF=∠OEH，∠GOH=∠EHO，即有∠OEH=∠OHE，进而有EH FGOE=OH，可得OF=OG，则问题得解．【小问1详解】不存在，理由如下：假设正方形ABCD存在“等形点”点O，即存在△OAB≌△OCD，∵在正方形ABCD中，点O在边BC上，∴∠ABO=90°，∵△OAB≌△OCD，∴∠ABO=∠CDO=90°，∴CD⊥DO，∵CD⊥BC，∥，∴DO BC∵O点在BC上，∴DO与BC交于点O，∴假设不成立，故正方形不存在“等形点”；【小问2详解】如图，过A点作AM⊥BC于点M，如图，∵O点是四边形ABCD的“等形点”，∴△OAB≌△OCD，∴AB=CD，OA=OC，OB=OD，∠AOB=∠COD，∵CD ，OA=5，BC=12，∴AB=CD=OA=OC=5，∴OB=BC-OC=12-5=7=OD，∵AM⊥BC，∴∠AMO=90°=∠AMB，∴设MO =a ，则BM =BO -MO =7-a ，∴在Rt △ABM 和Rt △AOM 中，22222AM AB BM AO MO =-=-，∴2222AB BM AO MO -=-，即2222(7)5a a --=-， 解得：207a =，即207MO =，∴MC =MO +OC =2055577+=，AM ===∴在Rt △AMC 中，AC ===即AC ； 【小问3详解】如图，∵O 点是四边形EFGH 的“等形点”，∴△OEF ≌△OGH ，∴OF =OH ，OE =OG ，∠EOF =∠GOH ，∵EH FG ∥，∴∠EOF =∠OEH ，∠GOH =∠EHO ，∴根据∠EOF =∠GOH 有∠OEH =∠OHE ，∴OE =OH ，∵OF =OH ，OE =OG ，∴OF =OG ， ∴1OF OG=． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质、勾股定理、正方形的性质、平行的性质等知识，充分利用全等三角形的性质是解答本题的关键．27. 已知二次函数23y ax bx =++的自变量x 的部分取值和对应函数值y 如下表： x … 1- 0 1 2 3 …y… 4 3 0 5- 12- …（1）求二次函数23y ax bx =++的表达式；（2）将二次函数23y ax bx =++的图像向右平移(0)k k >个单位，得到二次函数2=++y mx nx q 的图像，使得当13x -<<时，y 随x 增大而增大；当45x <<时，y 随x 增大而减小，请写出一个符合条件的二次函数2=++y mx nx q 的表达式y =______，实数k 的取值范围是_______；（3）A 、B 、C 是二次函数23y ax bx =++的图像上互不重合的三点．已知点A 、B 的横坐标分别是m 、1m +，点C 与点A 关于该函数图像的对称轴对称，求ACB ∠的度数．【答案】（1）223y x x =--+（2）()234y x -=-+（答案不唯一），45k ≤≤（3）∠ACB =45°或135°【解析】【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）先求出平移后的二次函数对称轴为直线1=-x k ，然后根据二次函数的增减性求出45k ≤≤，即可得到答案；（3）先分别求出A 、B 、C 三点的坐标，然后求出23B C x x m -=+，23B C y y m -=--，然后分四种情况讨论求解即可得到答案．【小问1详解】解：由题意得：403a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，解得12a b =-⎧⎨=-⎩， ∴二次函数解析式为223y x x =--+；【小问2详解】解：∵原二次函数解析式为()222314y x x x =--+=-++由题意得平移后的二次函数解析式为()214y x k =-+-+，∴平移后的二次函数对称轴为直线1=-x k ，∵二次函数2=++y mx nx q 的图像，使得当13x -<<时，y 随x 增大而增大；当45x <<时，y 随x 增大而减小，且二次函数2=++y mx nx q 的开口向下， ∴314k ≤-≤，∴45k ≤≤，∴符合题意的二次函数解析式可以为()()2214434y x x =-+-+=--+； 故答案为：()234y x -=-+（答案不唯一），45k ≤≤；【小问3详解】解：∵二次函数解析式为()222314y x x x =--+=-++，∴二次函数223y x x =--+的对称轴为直线1x =-，∵A 、C 关于对称轴对称，点A 的横坐标为m ，∴C 的横坐标为2m --，∴点A 的坐标为（m ，223m m --+），点C 的坐标为（2m --，223m m --+）， ∵点B 的横坐标为m +1，∴点B 的坐标为（m +1，24m m --），∴23B C x x m -=+，23B C y y m -=--，如图1所示，当A 、B 同时在对称轴左侧时，过点B 作BE ⊥x 轴于E ，交AC 于D ，连接BC ，∵A 、C 关于对称轴对称，∴AC x ∥轴，∴BE AC ⊥，∵23B C x x m -=+，23B C y y m -=--，∴23CD m BD =--=，∴△BDC 是等腰直角三角形，∴∠ACB =45°，同理当AB 同时在对称轴右侧时，也可求得∠ACB =45°，如图2所示，当A 在对称轴左侧，B 在对称轴右侧时，过点B 作直线BD 垂直于直线AC 交直线AC 于D ，同理可证△BDC 为等腰直角三角形，∴∠BCD =45°，∴∠ACB =135°，同理当A 在对称轴右侧，B 在对称轴左侧也可求得∠ACB =135°，综上所述，∠ACB =45°或135°【点睛】本题主要考查了二次函数综合，二次函数的平移，二次函数的增减性，待定系数法求函数解析式等等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键．28. （现有若干张相同的半圆形纸片，点O是圆心，直径AB的长是12cm，C是半圆弧上的一点（点C与点A、B不重合），连接AC、BC．（1）沿AC 、BC 剪下ABC ，则ABC 是______三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）；（2）分别取半圆弧上的点E 、F 和直径AB 上的点G 、H ．已知剪下的由这四个点顺次连接构成的四边形是一个边长为6cm 的菱形．请用直尺和圆规在图中作出一个符合条件的菱形（保留作图痕迹，不要求写作法）；（3）经过数次探索，小明猜想，对于半圆弧上的任意一点C ，一定存在线段AC 上的点M 、线段BC 上的点N 和直径AB 上的点P 、Q ，使得由这四个点顺次连接构成的四边形是一个边长为4cm 的菱形．小明的猜想是否正确？请说明理由．【答案】（1）直角 （2）见详解（3）小明的猜想错误，理由见详解【解析】【分析】（1）AB 是圆的直径，根据圆周角定理可知∠ACB =90°，即可作答；（2）以A 为圆心，AO 为半径画弧交⊙O 于点E ，再以E 为圆心，EO 为半径画弧交于⊙O 点F 连接EF 、FO 、EA ，G 、H 点分别与A 、O 点重合，即可；（3）过C 点作CG NQ ∥，交AB 于点G ，连接CO ，根据MN PQ ∥，可得MN CN AB BC =，即有13CN BC =，则可求得23BN BC =，依据CG NQ ∥，NQ =4，可得GC =OC =6，即可判断．【小问1详解】如图，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB =90°，∴∠ACB 直角，即△ABC 是直角三角形，故答案为：直角，【小问2详解】以A 为圆心，AO 为半径画弧交⊙O 于点E ，再以E 为圆心，EO 为半径画弧交于⊙O 点F 连接EF 、FO 、EA ，G 、H 点分别与A 、O 点重合，即可，作图如下：是由作图可知AE =EF =FH =HG =OA =12AB =6，即四边形EFHG 是边长为6cm 的菱形；【小问3详解】小明的猜想错误，理由如下：如图，菱形MNQP 的边长为4，过C 点作CG NQ ∥，交AB 于点G ，连接CO ，在菱形MNQP 中MN =QN =4，MN PQ ∥，∵MN PQ ∥，∴~CMN CAB ， ∴MN CN AB BC=， ∵AB =12，MN =4， ∴41123MN CN AB BC ===， ∵BN =BC -CN ， ∴23BN BC =， ∵CG NQ ∥，NQ =4，~BQN BGC ，∴243NQ BN GC BC GC===， ∴GC =6，∵AB =12，∴OC =6，∴OC =GC ，显然若C点靠近A点时，要满足GC=OC=6，此时的G点必在BA的延长线上，∵P点在线段AB上，∥相矛盾，∴直线GC必与直线PM相交，这与CG PM故小明的猜想错误．【点睛】本题考查了圆周角定理、尺规作图、菱形的性质、平行的性质等知识，掌握菱形的性质以及平行的性质求得GC=OC是解答本题的关键。
2019年常州市中考数学试题、答案（解析版）
2019年常州市中考数学试题、答案（解析版）2019年常州市中考数学试题、答案（解析版）(满分：120分考试时间：120分钟)⼀、选择题(本⼤题共8⼩题,每⼩题2分,共16分.在每⼩题给出的四个选项中,只有⼀项是正确的) 1.3-的相反数是( )A .13B .13-C .3D .3- 2.若代数式13x x +-有意义,则实数x 的取值范围是( )A .1x =-B .3x =C .1x ≠-D .3x ≠3.下图是某⼏何体的三视图,该⼏何体是( )A .圆柱B .正⽅体C .圆锥D .球(第3题) (第4题) 4.如图,在线段PA 、PB 、PC 、PD 中,长度最⼩的是 ( ) A .线段PA B .线段PB C .线段PC D .线段PD5.若ABC A B C '''△∽△,相似⽐为1:2,则ABC A B C '''△∽△的周长的⽐为 ( ) A .2:1 B .1:2 C .4:1 D .1:46.下列各数中与2的积是有理数的是( )A .2+B .2CD .27.判断命题“如果1n ＜,那么210n -＜”是假命题,只需举出⼀个反例.反例中的n 可以为 ( )A .2-B .12-C .0D .12⽶8.随着时代的进步,⼈们对 2.5PM (空⽓中直径⼩于等于2.5微的颗粒)的关注⽇益密切.某市⼀天中 2.5PM 的值()31/y ug m 随极时间()t h 的变化如图所⽰,设2y 表⽰0时到t 时 2.5PM 的值的函差(即0时到t 时 2.5PM 的最⼤值与最⼩值的差),则2y 与t 的数关系⼤致是( )ABCD⼆、填空题(本⼤题共10⼩题,每⼩题2分,共20分) 9.计算：3a a ÷= . 10.4的算术平⽅根是 . 11.分解因式：24ax a -= .12.如果35α∠=?,那么α∠的余⾓等于 ?.13.如果20a b --=,那么代数式122a b +-的值是 . 14.平⾯直⾓坐标系中,点()3,4P -到原点的距离是 .15.若12x y =??=?是关于x 、y 的⼆元⼀次⽅程3ax y +=的解,则a = .16.如图,AB 是O 的直径,C 、D 是O 上的两点,120AOC ∠?＝,则CDB ∠＝ .(第16题)(第17题)(第18题)17.如图,的O 与边长为8的等边三⾓形ABC 的两边AB 、BC 都相切,连接OC ,则tan OCB ∠= .18.如图,在矩形ABCD 中,3AD AB ==,点P 是AD 的中点,点E 在BC 上,2CE BE =,点M 、N 在线段BD 上.若PMN △是等腰三⾓形且底⾓与DEC ∠相等,则MN = .三、解答题(本⼤题共10⼩题,共84分.解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤) 19.(本题满分8分)计算：(1)1212π-??+-；(2)(1)(1)(1)x x x x -+--.20.(本题满分6分)解不等式组1038x x x +>??--?…并把解集在数轴上表⽰出来.21.(本题满分8分)如图,把平⾏四边形纸⽚ABCD 沿BD 折叠,点C 落在点C '处,BC '与AD 相交于点E .(1)连接AC ',则AC '与BD 的位置关系是； (2)EB 与ED 相等吗？证明你的结论.22.(本题满分8分)在“慈善⼀⽇捐”活动中,为了解某校学⽣的捐款情况,抽样调查了该校部分学⽣的捐款数(单位：元),并绘制成下⾯的统计图.(1)本次调查的样本容量是 ,这组数据的众数为元； (2)求这组数据的平均数；(3)该校共有600名学⽣参与捐款,请你估计该校学⽣的捐款总数.23.(本题满分8分)将图中的A 型(正⽅形)、B 型(菱形)、C 型(等腰直⾓三⾓形)纸⽚分别放在3个盒⼦中,盒⼦的形状、⼤⼩、质地都相同,再将这3个盒⼦装⼊⼀只不透明的袋⼦中.(1)搅匀后从中摸出1个盒⼦,盒中的纸⽚既是轴对称图形⼜是中⼼对称图形的概率是；(2)搅匀后先从中摸出1个盒⼦(不放回),再从余下的2个盒⼦中摸出1个盒⼦,把摸出的2个盒中的纸⽚长度相等的边拼在⼀起,求拼成的图形是轴对称图形的概率.(不重叠⽆缝隙拼接)24.(本题满分8分)甲、⼄两⼈每⼩时共做30个零件,甲做180个零件所⽤的时间与⼄做120个零件所⽤的时间相等.甲、⼄两⼈每⼩时各做多少个零件？25.(本题满分8分)如图,在□OABC 中,OA =45AOC ∠=?,点C 在y 轴上,点D 是BC 的中点,反⽐例函数(0)ky x x=＞的图像经过点A 、D . (1)求k 的值； (2)求点D 的坐标.26.(本题满分10分)【阅读】数学中,常对同⼀个量．．．．(图形的⾯积、点的个数、三⾓形的内⾓和等)⽤两种不同的⽅法计算,从⽽建⽴相等关系,我们把这⼀思想称为“算两次”.“算两次”也称做富⽐尼原理,是⼀种重要的数学思想.图1图2【理解】(1)如图1,两个边长分别为a b c 、、的直⾓三⾓形和⼀个两条直⾓边都是c 的直⾓三⾓形拼成⼀个梯形.⽤两种不同的⽅法计算梯形的⾯积,并写出你发现的结论；(2)如图2,n ⾏n 列的棋⼦排成⼀个正⽅形,⽤两种不同的⽅法计算棋⼦的个数,可得等式：2n = ；【运⽤】(3)n 边形有n 个顶点,在它的内部再画m 个点,以()m n +个点为顶点,把n 边形剪成若⼲个三⾓形,设最多可以剪得y 个这样的三⾓形.当3n =,3m =时,如图3,最多可以剪得7个这样的三⾓形,所以7y =.①当4n =,2m =时,如图4,y = ；当5n =,m = 时,9y =；图3图4②对于⼀般的情形,在n 边形内画m 个点,通过归纳猜想,可得y = (⽤含m 、n的代数式表⽰).请对同⼀个量．．．．⽤算两次的⽅法说明你的猜想成⽴.27.(本⼩题满分10分)如图,⼆次函数23y x bx =-++的图象与x 轴交于点A 、B ,与y 轴交于点C ,点A 的坐标为()1,0-,点D 为OC 的中点,点P 在抛物线上.(1)b = ；________________ _____________(2)若点P 在第⼀象限,过点P 作PH x ⊥轴,垂⾜为H ,PH 与BC 、BD 分别交于点M 、N .是否存在这样的点P ,使得PM MN NH ==？若存在,求出点P 的坐标；若不存在,请说明理由；(3)若点P 的横坐标⼩于3,过点P 作PQ BD ⊥,垂⾜为Q ,直线PQ 与x 轴交于点R ,且2PQB QRB S S =△△,求点P 的坐标.28.(本题满分10分)已知平⾯图形S ,点P 、Q 是S 上任意两点,我们把线段PQ 的长度的最⼤值称为平⾯图形S 的“宽距”.例如,正⽅形的宽距等于它的对⾓线的长度. (1)写出下列图形的宽距：①半径为1的圆：；②如图1,上⽅是半径为1的半圆,下⽅是正⽅形的三条边的“窗户形”：；(2)如图2,在平⾯直⾓坐标系中,已知点()10A -，、()10B ，,C 是坐标平⾯内的点,连接AB 、BC 、CA 所形成的图形为S ,记S 的宽距为d .①若2d =,⽤直尺和圆规画出点C 所在的区域并求它的⾯积(所在区域⽤阴影表⽰)；②若点C 在上运动,M 的半径为1,圆⼼M 在过点()02，且与y 轴垂直的直线上.对于M 上任意点C ,都有58d ≤≤,直接写出圆⼼M 的横坐标x 的取值范围.图1图22019年常州市中考数学答案解析⼀、选择题 1.【答案】C【解析】根据相反数的定义：只有符号不同的两个数称互为相反数计算即可. 解：()330-+=. 【考点】相反数的意义 2.【答案】D【解析】分式有意义的条件是分母不为0. 解：代数式13x x +-有意义， 30x ∴-≠， 3x ∴≠.故选：D .【考点】分式有意义的条件 3.【答案】A【解析】通过俯视图为圆得到⼏何体为圆柱或球，然后通过主视图和左视图可判断⼏何体为圆锥.解：该⼏何体是圆柱. 故选：A .【考点】由三视图判断⼏何体 4.【答案】B【解析】由垂线段最短可解.解：由直线外⼀点到直线上所有点的连线中，垂线段最短，可知答案为B . 故选：B .【考点】直线外⼀点到直线上所有点的连线中，垂线段最短. 5.【答案】B【解析】直接利⽤相似三⾓形的性质求解解：ABC A B C '''△∽△，相似⽐为1:2，ABC A B C '''△∽△的周长的⽐为1:2.故选B .【考点】相似三⾓形的性质 6.【答案】D【解析】利⽤平⽅差公式可知与2+的积是有理数的为2；解：()(232431+=-=；故选：D .【考点】⼆次根式的有理化以及平⽅差公式 7.【答案】A【解析】反例中的n 满⾜1n ＜，使210n -≥，从⽽对各选项进⾏判断. 解：当2n =-时，满⾜1n ＜，但2130n -=＞，所以判断命题“如果1n ＜，那么210n -≥”是假命题，举出2n =-. 故选：A .【考点】命题与定理 8.【答案】B【解析】根据极差的定义，分别从0t =、010t ＜≤、1020t ＜≤及2024t ＜≤时，极差2y 随t 的变化⽽变化的情况，从⽽得出答案. 解：当0t =时，极差285850y =-=，当010t ＜≤时，极差2y 随t 的增⼤⽽增⼤，最⼤值为43；当1020t ＜≤时，极差2y 随t 的增⼤保持43不变；当2024t ＜≤时，极差2y 随t 的增⼤⽽增⼤，最⼤值为98；故选：B . 【考点】函数图象⼆、填空题 9.【答案】2a【解析】直接利⽤同底数幂的除法运算法则计算得出答案. 解：32a a a ÷=. 故答案为：2a .【考点】同底数幂的除法 10.【答案】2【解析】根据算术平⽅根的含义和求法，求出4的算术平⽅根是多少即可. 解：4的算术平⽅根是2. 故答案为：2.【考点】算术平⽅根的概念 11.【答案】()()22a x x +-【解析】先提取公因式a ，再对余下的多项式利⽤平⽅差公式继续分解. 【解答】解：24ax a -()24a x =- ()()22a x x =+-.【考点】提公因式法与公式法的综合运⽤ 12.【答案】55【解析】若两⾓互余，则两⾓和为90?，从⽽可知α∠的余⾓为90?减去α∠，从⽽可解. 【解答】解：35α∠=?，α∴∠的余⾓等于903555?-?=?，故答案为：55. 【考点】余⾓ 13.【答案】5【解析】将所求式⼦化简后再将已知条件中a ﹣b=2整体代⼊即可求值；【解答】解：20a b --=，2a b ∴-=，()12212145a b a b ∴+-=+-=+=；故答案为5.【考点】求代数式的值 14.【答案】5【解析】作PA x ⊥轴于A ，则4PA =，3OA =，再根据勾股定理求解. 【解答】解：作PA x ⊥轴于A ，则4PA =，3OA =. 则根据勾股定理，得5OP =. 故答案为5.【考点】点到原点的距离求法15.【答案】1【解析】把12x y =??=?代⼊⼆元⼀次⽅程3ax y +=中即可求a 的值.【解答】解：把12x y =??=?代⼊⼆元⼀次⽅程3ax y +=中，23a +=，解得1a =.故答案是：1.【考点】⼆元⼀次⽅程的解 16.【答案】30【解析】先利⽤邻补⾓计算出BOC ∠，然后根据圆周⾓定理得到CDB ∠的度数. 【解答】解：180********BOC AOC ∠=?-∠=? -?=?，30CDB BOC ∴∠=∠=?.故答案为30. 【考点】圆周⾓定理 17.【解析】根据切线长定理得出1302OBC OBA ABC ∠=∠=∠=?，解直⾓三⾓形求得BD ，即可求得CD ，然后解直⾓三⾓形OCD 即可求得tan OCB ∠的值. 【解答】解：连接OB ，作OD BC ⊥于D ，O 与等边三⾓形ABC 的两边AB 、BC 都相切，1302OBC OBA ABC ∴∠=∠=∠=?，tan ODOCB∴∠=， 3tan30OD BD ∴===?，835CD BC BD ∴=-=-=，tan 5OD OCB CD ∴∠==. .【考点】切线的性质，等边三⾓形的性质，解直⾓三⾓形 18.【答案】6或158【解析】3AD AB ==，AB ∴=四边形ABCD 是矩形，AD BC ∴==ABCD ∴==90A C ∠=∠=?，10BD∴==，2CE BE=，CE ∴=，BE =DE ∴=，1tan 2CD DEC CE ∠===，点P 是AD 的中点，12PD AD ∴==①如图1，当MN 为底边时，则PM PN =，PMN PNM DEC ∠=∠=∠，过点P 作PQ MN ⊥，则MQ NQ =，2MN MQ ∴=，90A PQD ∠=∠=?，ADB PDQ ∠=∠，BAD PQD ∴△∽△， 2PD PQ AB BD∴==，210= 解得32PQ =；在Rt PMQ △中，1tan tan 2PQ PMN DEC MQ ∠==∠=， 12PQ MQ ∴=，即3122MQ =， 3MQ ∴=， 26MN MQ ∴==.②如图2，当MN 为腰时，则PM MN =，MPN MNP DEC ∠=∠=∠，过点M 作MQ PN ⊥于点Q ，则PQ NQ =，MNP DEC ∠=∠，PND DEB ∴∠=∠，⼜AD BC ∥，PDN DBE ∴∠=∠，PND DEB ∴△∽△， PD PNBD DE ∴=，210∴=解得PNNQ ∴在Rt MNQ △中，1tan tan 2MQ MNP DEC NQ ∠==∠=， 12MQ NQ ∴=，即132MQ =，MQ ∴158MN ∴==.综上所述，MN 的值为6或158.【考点】矩形的性质，等腰三⾓形的性质，相似三⾓形的判定与性质，勾股定理三、解答题19.【答案】（1）12112302π-??+-=+-=；（2）22(1)(1)(1)11x x x x x x x x -+--=--+=-.【解析】根据零指数幂，负指数幂，多项式乘以多项式（单项式）的运算法则准确计算即可；【考点】实数的运算20.【答案】解：解不等式10x +＞，得：1x -＞，解不等式38x x --≤，得：2x ≤，∴不等式组的解集为12x -＜≤，将解集表⽰在数轴上如下：【解析】分别求出每⼀个不等式的解集，根据⼝诀：同⼤取⼤、同⼩取⼩、⼤⼩⼩⼤中间找、⼤⼤⼩⼩⽆解了确定不等式组的解集.【考点】不等式组的解法及在数轴上表⽰不等式的解集 21.【答案】（1）AC BD '∥（2）EB 与ED 相等.证明：由折叠可得，'CBD C BD ∠=∠，AD BC ∥， ADB CBD ∴∠=∠，EDB EBD ∴∠=∠， BE DE ∴=.【解析】（1）根据'AD C B =，ED EB =，即可得到'AE C E =，再根据三⾓形内⾓和定理，即可得到''EAC EC A EBD EDB ∠=∠=∠=∠，进⽽得出'AC BD ∥；（2）依据平⾏线的性质以及折叠的性质，即可得到EDB EBD ∠=∠，进⽽得出BE DE =. 【考点】折叠变换的性质，平⾏四边形的性质，平⾏线的判定与性质，等腰三⾓形的判定与性质22.【答案】（1）30,10 （2）这组数据的平均数为6511108155201230+++=（元）；（3）估计该校学⽣的捐款总数为600127200?=（元）.【解析】（1）由题意得出本次调查的样本容量是6118530+++=，由众数的定义即可得出结果；（2）由加权平均数公式即可得出结果；（3）由总⼈数乘以平均数即可得出答案.【考点】条形统计图的综合运⽤，平均数，众数的求法以及利⽤样本估计总体的思想 23.【答案】（1）23；（2）画树状图为：共有6种等可能的情况，其中拼成的图形是轴对称图形的情况有2种：A 和C ，C 和A ，∴拼成的图形是轴对称图形的概率为21=63. 【解析】（1）依据搅匀后从中摸出1个盒⼦，可能为A 型（正⽅形）、B 型（菱形）或C 型（等腰直⾓三⾓形）这3种情况，其中既是轴对称图形⼜是中⼼对称图形的有2种，即可得到盒中的纸⽚既是轴对称图形⼜是中⼼对称图形的概率；（2）依据共有6种等可能的情况，其中拼成的图形是轴对称图形的情况有2种：A 和C ，C和A ，即可得到拼成的图形是轴对称图形的概率.解：（1）搅匀后从中摸出1个盒⼦，可能为A 型（正⽅形）、B 型（菱形）或C 型（等腰直⾓三⾓形）这3种情况，其中既是轴对称图形⼜是中⼼对称图形的有2种，∴盒中的纸⽚既是轴对称图形⼜是中⼼对称图形的概率是23；故答案为：23；（2）画树状图为：共有6种等可能的情况，其中拼成的图形是轴对称图形的情况有2种：A 和C ，C 和A ，∴拼成的图形是轴对称图形的概率为21 =63. 【考点】⽤列表法或画树状图求事件的概率以及轴对称图形和中⼼对称图形的识别 24.【答案】解：设甲每⼩时做x 个零件，则⼄每⼩时做()30x -个零件，由题意得：18012030x x=-，解得：18x =，经检验：18x =是原分式⽅程的解，则301812-=（个）.答：甲每⼩时做18个零件，则⼄每⼩时做12个零件.【解析】设甲每⼩时做x 个零件，则⼄每⼩时做()30x -个零件，根据关键语句“甲做180个零件所⽤的时间与⼄做120个零件所⽤的时间相等”列出⽅程，再求解即可. 【考点】分式⽅程的应⽤25.【答案】解：（1）2OA =45AOC ∠=?，()22A ∴，4k ∴=，4y x∴=；（2）四边形OABC 是平⾏四边形OABC ，AB x ∴⊥轴，B ∴的横纵标为2，点D 是BC 的中点，∴D 点的横坐标为1，()14D ∴，.【解析】（1）根据已知条件求出A 点坐标即可；（2）四边形OABC 是平⾏四边形OABC ，则有AB x ⊥轴，可知B 的横纵标为2，D 点的横坐标为1，结合解析式即可求解.【考点】平⾏四边形的性质，等腰直⾓三⾓形的性质，反⽐例函数图像上点的坐标特点及⽤待定系数法求反⽐例函数的解析式26.【答案】解：（1）有三个Rt △其⾯积分别为ab ，12ab ，212c . 直⾓梯形的⾯积为1()()2a b a b ++. 由图形可知：21111()()2222a b a b ab ab c ++=++ 整理得22222()2,22a b ab c a b ab ab c +=+++=+，222a b c ∴+=.故结论为：直⾓长分别为a 、b 斜边为c 的直⾓三⾓形中222a b c ∴+=. （2）135721n +++++-（3）①6 3 ②2(1)y n m =+-⽅法1.对于⼀般的情形，在n 边形内画m 个点，第⼀个点将多边形分成了n 个三⾓形，以后三⾓形内部每增加⼀个点，分割部分增加2部分，故可得2(1)y n m =+-.⽅法2.以ABC △的⼆个顶点和它内部的m 个点，共(3)m +个点为顶点，可把ABC △分割成32(1)m +-个互不重叠的⼩三⾓形.以四边形的4个顶点和它内部的m 个点，共(4)m +个点为顶点，可把四边形分割成42(1)m +-个互不重叠的⼩三⾓形.故以n 边形的n 个顶点和它内部的m 个点，共()m n +个点作为顶点，可把原n 边形分割成21n m +-（）个互不重叠的⼩三⾓形.故可得2(1)y n m =+-.【解析】（1）此等腰梯形的⾯积有三部分组成，利⽤等腰梯形的⾯积等于三个直⾓三⾓形的⾯积之和列出⽅程并整理.（2）由图可知n ⾏n 列的棋⼦排成⼀个正⽅形棋⼦个数为2n ，每层棋⼦分别为135721n -，，，，，.故可得⽤两种不同的⽅法计算棋⼦的个数，即可解答.（3）根据探画出图形究不难发现，三⾓形内部每增加⼀个点，分割部分增加2部分，即可得出结论.解：（1）有三个Rt △其⾯积分别为ab ，12ab ，212c . 直⾓梯形的⾯积为1()()2a b a b ++. 由图形可知：21111()()2222a b a b ab ab c ++=++ 整理得22222()2,22a b ab c a b ab ab c +=+++=+，222a b c ∴+=.故结论为：直⾓长分别为a 、b 斜边为c 的直⾓三⾓形中222a b c ∴+=.（2）n ⾏n 列的棋⼦排成⼀个正⽅形棋⼦个数为2n ，每层棋⼦分别为135721n -，，，，，. 由图形可知：135721n +++++-.故答案为135721n +++++-.（3）①如图4，当4n =，2m =时，6y = 如图5，当5n =，3m =时，9y =.②⽅法1.对于⼀般的情形，在n 边形内画m 个点，第⼀个点将多边形分成了n 个三⾓形，以后三⾓形内部每增加⼀个点，分割部分增加2部分，故可得2(1)y n m =+-.⽅法2.以ABC △的⼆个顶点和它内部的m 个点，共(3)m +个点为顶点，可把ABC △分割成32(1)m +-个互不重叠的⼩三⾓形.以四边形的4个顶点和它内部的m 个点，共(4)m +个点为顶点，可把四边形分割成42(1)m +-个互不重叠的⼩三⾓形.故以n 边形的n 个顶点和它内部的m 个点，共()m n +个点作为顶点，可把原n 边形分割成21n m +-（）个互不重叠的⼩三⾓形.故可得2(1)y n m =+-. 故答案为：①6，3；②21n m +-（）. 【考点】列代数式，求代数式的值，规律探究以及运⽤知识解决问题 27.【答案】（1）2（2）存在满⾜条件呢的点P ，使得PM MN NH ==. ⼆次函数解析式为23y x bx =-++，当0x =时3y =，()03C ∴，，当0y =时，2230x x -++=，解得：11x =-，23x =.()10A ∴﹣，，()30B ，.∴直线BC 的解析式为3y x =-+.点D 为OC 的中点，302D ??∴，.∴直线BD 的解析式为1322y x =-+，设()()2,2303P t t t t -++<<，则(),3M t t -+，1322N t t ??-+ ??，，()0H t ，. 2223(3)3PM t t t t t ∴=-++--+=-+，131332222MN t x t ??=-+--+=-+ ，1322NH t =-+，MN NH ∴=.PM MN =，213322t t t ∴-+=-+.解得：112t =，23t =（舍去）.11524P ??∴，.P ∴的坐标为115,24??，使得PM MN NH ==.（3）过点P 作PF x ⊥轴于F ，交直线BD 于E .3OB =，32OD =，90BOD ?∠=，BD ∴==.cos OB OBD BD ∴∠===PQ BD ⊥于点Q ，PF x ⊥轴于点F ， 90PQE BQR PFR ∴∠=∠=∠=?. 90PRF OBD PRF EPQ ∴∠+∠=∠+∠=?. EPQ OBD ∴∠=∠，即cos cos EPQ OBD ∠=∠=. 在Rt PQE △中，cos 5PQ EPQ PE ∠==，PQ ∴=. 在Rt PFR △中，cos PF RPF PR ∠==PR ∴==2PQB S S QRB =△△，12PQBSBQ PQ =，12QRB S BQ QR =△ 2PQ QR ∴=设直线BD 与抛物线交于点G ，2132322x x x -+=-++，解得：13x =（即点B 横坐标），212x =- ∴点G 横坐标为12-设()2,23(3)P t t t t -++<，则13,22E t t ?-+223PF t t ∴=-++，221353232222PE t t t t t ??=-++--+=-++①若132t -＜＜，则点P 在直线BD 上⽅，如图2，223PF t t ∴=-++，25322PE t t =-++2PQ QR =23PQ PR ∴=253PE PF =，即65PE PF =()2253652322t t t t ?∴-++=-++ ??解得：12t =，23t =（舍去）(2,3)P ∴②若112x --＜＜，则点P 在x 轴上⽅、直线BD 下⽅，如图3，此时，PQ QR <，即2PQB QRB S S =△△不成⽴. ③若1t <-，则点P 在x 轴下⽅，如图4，()222323PF t t t t ∴=--++=--，()221353232222PE t t t t t =-+--++=--2PQ QR = 2PQ PR ∴=52PF =，即25PE PF = ()2253252322t t t t ?∴--=-- ??解得：143t =-，23t =（舍去）413,39P ??∴--综上所述，点P 坐标为()23，或413,39??-- .【解析】（1）把点A 坐标代⼊⼆次函数解析式即求得b 的值. ⼆次函数23y x bx =-++的图象与x 轴交于点(1,0)A -130b ∴--+=解得：2b =. 故答案为：2.（2）求点B 、C 、D 坐标，求直线BC 、BD 解析式.设点P 横坐标为t ，则能⽤t 表⽰点P 、M 、N 、H 的坐标，进⽽⽤含t 的式⼦表⽰PM 、MN 、NH 的长.以PM MN =为等量关系列得关于t 的⽅程，求得t 的值合理（满⾜P 在第⼀象限），故存在满⾜条件的点P ，且求得点P 坐标.（3）过点P 作PF x ⊥轴于F ，交直线BD 于E ，根据同⾓的余⾓相等易证EPQ OBD ∠=∠，所以cos cos EPQ OBD ∠=∠=，即在PQE Rt △中，cos PQ EPQ PE ∠==；在PQE Rt △中，cos PF RPF PR ∠==PQ ，PR PF =.设点P 横坐标为t ，可⽤t 表⽰PE 、PF ，即得到⽤t 表⽰PQ 、PR .⼜由2PQB QRB S S =△△易得2PQ QR =.要对点P 位置进⾏分类讨论得到PQ 与PR 的关系，即列得关于t 的⽅程.求得t 的值要注意是否符合各种情况下t 的取值范围.【考点】⼆次函数的图像与性质，待定系数法求函数解析式，函数图像的交点问题，⽤坐标表⽰线段的长度，⼆次函数图像上点的坐标特征以及⼀元⼆次⽅程的解法 28.【答案】解：（1）①2理由：①根据宽距的定义，可知在半径为1的半圆中，宽距为半圆的直径即宽距为2；②如图，作AB 的垂直平分线交半圆于点E ，交AB 于点F ，连接AE ，则AE 的长为该图形的宽距，由题意知1AF =，3EF =，∴宽距AE =；（2）①如图，阴影部分就是点C 所在的区域：()10A -，，()10B ，，2AB ∴=，S 的宽距2d =,∴点C 所在的区域是以AB 为直径的圆的圆⾯，点C 所在的区域的⾯积π=；②当M 在y 轴右侧时，如图，连接AM 1，过点M 1作x 轴的垂线，垂⾜为C ，设点()12M x ，，则12M C =，1AC x =+，22221(1)2(1)4AM x x ∴=++=++，58d ≤≤，147AM ∴≤≤，216(1)449x ∴++≤≤，解得11x ≤≤；当M 在y 轴的左侧时，如图，连接BM ?，过点M ?作x 轴的垂线，垂⾜为D ，设点()2,2M x ，则22M D =，1BD x =-，22222(1)2(1)4BM x x ∴=-+=-+，58d ≤≤，。
初中数学精品试题：中考数学试卷-教师用卷
2022年江苏省常州市中考数学试卷副标题题号一二三总分得分一、选择题（本大题共13小题，共31.0分）1.下列计算正确的是( )A. a2⋅a3=a6B. a7÷a3=a4C. (a3)5=a8D. (ab)2=ab2【答案】B【解析】解：A、a2⋅a3=a5,故此选项错误；B、a7÷a3=a4,正确；C、(a3)5=a15,故此选项错误；D、(ab)2=a2b2,故此选项错误；故选：B．直接利用同底数幂的乘除运算法则、积的乘方运算法则、幂的乘方运算法则分别化简得出答案．此题主要考查了同底数幂的乘除运算、积的乘方运算、幂的乘方运算,正确掌握相关运算法则是解题关键．2.一个物体如图所示,它的俯视图是( )A.B.C.D.【答案】D【解析】解：俯视图从图形上方观察即可得到,故选：D．从图形的上方观察即可求解；本题考查几何体的三视图；熟练掌握组合体图形的观察方法是解题的关键．3.如图,四边形ABCD是半圆的内接四边形,AB是直径,DC⏜=CB⏜.若,则∠ABC的度数等于( )A. B. C. D.【答案】A【解析】解：连接AC ,∵四边形ABCD 是半圆的内接四边形,,∵DC⏜=CB ⏜, ,∵AB 是直径, ,,故选：A ．连接AC ,根据圆内接四边形的性质求出∠DAB ,根据圆周角定理求出∠ACB 、∠CAB ,计算即可．本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理,掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．4. 下列各数轴上表示的x 的取值范围可以是不等式组{x +2>a (2a −1)x −6<0的解集的是( ) A. B. C. D.【答案】B【解析】解：由x +2>a 得x >a −2,A .由数轴知x >−3,则a =−1,∴−3x −6<0,解得x >−2,与数轴不符；B .由数轴知x >0,则a =2,∴3x −6<0,解得x <2,与数轴相符合；C .由数轴知x >2,则a =4,∴7x −6<0,解得x <67,与数轴不符； D .由数轴知x >−2,则a =0,∴−x −6<0,解得x >−6,与数轴不符；故选：B ．由数轴上解集左端点得出a 的值,代入第二个不等式,解之求出x 的另外一个范围,结合数轴即可判断．本题主要考查解一元一次不等式组,解题的关键是掌握不等式组的解集在数轴上的表示及解一元一次不等式的能力．5. 如图,菱形ABCD 的顶点B 、C 在x 轴上(B 在C 的左侧),顶点A 、D 在x 轴上方,对角线BD 的长是23√10,点E(−2,0)为BC 的中点,点P 在菱形ABCD 的边上运动.当点F(0,6)到EP 所在直线的距离取得最大值时,点P 恰好落在AB 的中点处,则菱形ABCD 的边长等于( )A. 103B. √10 C. 163D. 3【答案】A【解析】解：如图1中,当点P是AB的中点时,作FG⊥PE于G,连接EF．∵E(−2,0),F(0,6),∴OE=2,OF=6,∴EF=√22+62=2√10,,∴FG≤EF,∴当点G与E重合时,FG的值最大．如图2中,当点G与点E重合时,连接AC交BD于H,PE交BD于J.设BC=2a．∵PA=PB,BE=EC=a,∴PE∥AC,BJ=JH,∵四边形ABCD是菱形,∴AC ⊥BD ,BH =DH =√103,BJ =√106, ∴PE ⊥BD ,,∴∠EBJ =∠FEO ,∴△BJE∽△EOF ,∴BEEF=BJ EO , ∴a2√10=√1062, ∴a =53,∴BC =2a =103,故选：A ．如图1中,当点P 是AB 的中点时,作FG ⊥PE 于G ,连接EF.首先说明点G 与点F 重合时,FG 的值最大,如图2中,当点G 与点E 重合时,连接AC 交BD 于H ,PE 交BD 于J.设BC =2a.利用相似三角形的性质构建方程求解即可．本题考查菱形的性质,坐标与图形的性质,相似三角形的判定和性质,垂线段最短等知识,解题的关键是理解题意,学会添加常用辅助线,构造相似三角形解决问题,属于中考选择题中的压轴题．6. −3的相反数是( )A. 13B. −13C. 3D. −3【答案】C【解析】解：(−3)+3=0．故选：C ．根据相反数的定义：只有符号不同的两个数称互为相反数计算即可．本题主要考查了相反数的定义,根据相反数的定义做出判断,属于基础题,比较简单．7. 若代数式x+1x−3有意义,则实数x 的取值范围是( ) A. x =−1B. x =3C. x ≠−1D. x ≠3 【答案】D【解析】解：∵代数式x+1x−3有意义,∴x −3≠0,∴x ≠3．故选：D ．分式有意义的条件是分母不为0．本题运用了分式有意义的条件知识点,关键要知道分母不为0是分式有意义的条件．8. 如图是某几何体的三视图,该几何体是( )A. 圆柱B. 正方体C. 圆锥D. 球【答案】A【解析】解：该几何体是圆柱．故选：A．通过俯视图为圆得到几何体为圆柱或球,然后通过主视图和左视图可判断几何体为圆锥．本题考查了由三视图判断几何体：由三视图想象几何体的形状,首先,应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状,然后综合起来考虑整体形状.熟记一些简单的几何体的三视图对复杂几何体的想象会有帮助．9.如图,在线段PA、PB、PC、PD中,长度最小的是( )A. 线段PAB. 线段PBC. 线段PCD. 线段PD【答案】B【解析】解：由直线外一点到直线上所有点的连线中,垂线段最短,可知答案为B．故选：B．由垂线段最短可解．本题考查的是直线外一点到直线上所有点的连线中,垂线段最短,这属于基本的性质定理,属于简单题．10.若,相似比为1：2,则△ABC与的周长的比为( )A. 2：1B. 1：2C. 4：1D. 1：4【答案】B【解析】解：,相似比为1：2,∴△ABC与的周长的比为1：2．故选：B．直接利用相似三角形的性质求解．本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等,对应边的比相等.相似三角形(多边形)的周长的比等于相似比；相似三角形的对应线段(对应中线、对应角平分线、对应边上的高)的比也等于相似比.相似三角形的面积的比等于相似比的平方．11.下列各数中与2+√3的积是有理数的是( )A. 2+√3B. 2C. √3D. 2−√3【答案】D【解析】解：∵(2+√3)(2−√3)=4−3=1；故选：D．利用平方差公式可知与2+√3的积是有理数的为2−√3；本题考查分母有理化；熟练掌握利用平方差公式求无理数的无理化因子是解题的关键．12.判断命题“如果n<1,那么n2−1<0”是假命题,只需举出一个反例.反例中的n可以为( )A. −2B. −12C. 0 D. 12【答案】A【解析】解：当n=−2时,满足n<1,但n2−1=3>0,所以判断命题“如果n<1,那么n2−1<0”是假命题,举出n=−2．故选：A．反例中的n满足n<1,使n2−1≥0,从而对各选项进行判断．本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言.任何一个命题非真即假.要说明一个命题的正确性,一般需要推理、论证,而判断一个命题是假命题,只需举出一个反例即可．13.随着时代的进步,人们对PM2.5(空气中直径小于等于2.5微米的颗粒)的关注日益密切.某市一天中PM2.5的值y1(ug/m3)随时间t(ℎ)的变化如图所示,设y2表示0时到t 时PM2.5的值的极差(即0时到t时PM2.5的最大值与最小值的差),则y2与t的函数关系大致是( )A. B.C. D.【答案】B【解析】解：当t=0时,极差y2=85−85=0,当0<t≤10时,极差y2随t的增大而增大,最大值为43；当10<t≤20时,极差y2随t的增大保持43不变；当20<t≤24时,极差y2随t的增大而增大,最大值为98；故选：B．根据极差的定义,分别从t=0、0<t≤10、10<t≤20及20<t≤24时,极差y2随t的变化而变化的情况,从而得出答案．本题主要考查极差,解题的关键是掌握极差的定义及函数图象定义与画法．二、填空题（本大题共22小题，共44.0分）14.−2019的相反数是______．【答案】2019【解析】解：−2019的相反数是：2019．故答案为：2019．直接利用相反数的定义进而得出答案．此题主要考查了相反数,正确把握相反数的定义是解题关键．15.27的立方根为______．【答案】3【解析】解：∵33=27,∴27的立方根是3,故答案为：3．找到立方等于27的数即可．考查了求一个数的立方根,用到的知识点为：开方与乘方互为逆运算．16.一组数据4,3,x,1,5的众数是5,则x=______．【答案】5【解析】解：∵数据4,3,x,1,5的众数是5,∴x=5,故答案为：5．根据众数的概念求解可得．本题主要考查众数,求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据,若几个数据频数都是最多且相同,此时众数就是这多个数据．17.若代数式√x−4有意义,则实数x的取值范围是______．【答案】x≥4【解析】解：由题意得x−4≥0,解得x≥4．故答案为：x≥4．根据被开方数大于等于0列不等式求解即可．本题考查了二次根式有意义的条件,二次根式中的被开方数必须是非负数,否则二次根式无意义．18.氢原子的半径约为0.00000000005m,用科学记数法把0.00000000005表示为______．【答案】5×10−11【解析】解：用科学记数法把0.00000000005表示为5×10−11．故答案为：5×10−11．绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示,一般形式为a×10−n,与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂,指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．本题考查用科学记数法表示较小的数,一般形式为a×10−n,其中1≤|a|<10,n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．19.已知点A(−2,y1)、B(−1,y2)都在反比例函数y=−2的图象上,则y1______y2.(填x“>”或“<”)【答案】<【解析】解：∵反比例函数y=−2的图象在二、四象限,而A(−2,y1)、B(−1,y2)都在第x二象限,∴在第二象限内,y随x的增大而增大,∵−2<−1∴y1<y2．故答案为：<的图象在第二象限,在第二象限内,y随x的增大而增大,根据x的值大反比例函数y=−2x小,得出y值大小．此题主要考查了反比例函数的性质,当k<0时,在每个象限内,y随x的增大而增大,由x的值变化得出y的值变化情况；把x的值分别代入关系式求出y1、y2再作比较亦可．20.计算：√12−√3=______．【答案】√3【解析】解：√12−√3=2√3−√3=√3．故答案为：√3．先化简√12=2√3,再合并同类二次根式即可．本题主要考查了二次根式的加减,属于基础题型．21.如图,直线a∥b,△ABC的顶点C在直线b上,边AB与直线b相交于点D.若△BCD是等边三角形,,则∠1=______【答案】40【解析】解：∵△BCD是等边三角形,,∵a∥b,,由三角形的外角性质和对顶角相等可知,,故答案为：40．根据等边三角形的性质得到,根据平行线的性质求出∠2,根据三角形的外角性质和对顶角相等计算,得到答案．本题考查的是等边三角形的性质、平行线的性质,掌握等边三角形的三个内角都是是解题的关键．22.若关于x的方程x2−2x+m=0有两个相等的实数根,则实数m的值等于______．【答案】1【解析】解：根据题意得△=(−2)2−4m=0,解得m=1．故答案为1．利用判别式的意义得到△=(−2)2−4m=0,然后解关于m的方程即可．本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2−4ac有如下关系：当△>0时,方程有两个不相等的实数根；当△=0时,方程有两个相等的实数根；当△<0时,方程无实数根．23.将边长为1的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转到FECG的位置(如图),使得点D落在对角线CF上,EF与AD相交于点H,则HD=______.(结果保留根号)【答案】√2−1【解析】解：∵四边形ABCD为正方形,∴CD=1,,∵边长为1的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转到FECG的位置,使得点D落在对角线CF上,∴CF=√2,,∴△DFH为等腰直角三角形,∴DH=DF=CF−CD=√2−1．故答案为√2−1．先根据正方形的性质得到CD=1,,再利用旋转的性质得CF=√2,根据正方形的性质得,则可判断△DFH为等腰直角三角形,从而计算CF−CD即可．本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等.也考查了正方形的性质．24.如图,有两个转盘A、B在每个转盘各自的两个扇形区域中分别标有数字1、2,分别转动转盘A、B ,当转盘停止转动时,若事件“指针都落在标有数字1扇形区域内”的概率是19,则转盘B中标有数字1的扇形的圆心角的度数是________【答案】80【解析】解：设转盘B中指针落在标有数字1的扇形区域内的概率为x,根据题意得：12x=19,解得x=29,∴转盘B中标有数字1的扇形的圆心角的度数为：．故答案为：80．先根据题意求出转盘B中指针落在标有数字1的扇形区域内的概率,再根据圆周角等于计算即可．本题考查了概率公式,用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．25.已知抛物线y=ax2+4ax+4a+1(a≠0)过点A(m,3),B(n,3)两点,若线段AB的长不大于4,则代数式a2+a+1的最小值是______．【答案】74【解析】解：∵抛物线y=ax2+4ax+4a+1(a≠0)过点A(m,3),B(n,3)两点,∴m+n2=−4a2a=−2,∵线段AB的长不大于4, ∴当x=0时,y≥3,∴4a+1≥3,∴a≥12,∴a 2+a +1的最小值为：(12)2+12+1=74； 故答案为74． 根据题意得4a +1≥3,解不等式求得a ≥12,把x =12代入代数式即可求得．本题考查了二次函数的性质,二次函数图象上点的坐标特征,根据题意得出4a +1≥3是解题的关键．26. 计算：a 3÷a =______．【答案】a 2【解析】解：a 3÷a =a 2．故答案为：a 2．直接利用同底数幂的除法运算法则计算得出答案．此题主要考查了同底数幂的除法运算,正确掌握运算法则是解题关键．27. 4的算术平方根是______．【答案】2【解析】解：4的算术平方根是2．故答案为：2．根据算术平方根的含义和求法,求出4的算术平方根是多少即可．此题主要考查了算术平方根的性质和应用,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确：①被开方数a 是非负数；②算术平方根a 本身是非负数.求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算,在求一个非负数的算术平方根时,可以借助乘方运算来寻找．28. 分解因式：ax 2−4a =______．【答案】a(x +2)(x −2)【解析】解：ax 2−4a ,=a(x 2−4),=a(x +2)(x −2)．先提取公因式a ,再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．本题考查用提公因式法和公式法进行因式分解的能力,一个多项式有公因式首先提取公因式,然后再用其他方法进行因式分解,同时因式分解要彻底,直到不能分解为止．29. 如果,那么∠α的余角等于______ 【答案】55【解析】解：, ∴∠α的余角等于故答案为：55．若两角互余,则两角和为,从而可知∠α的余角为减去∠α,从而可解．本题考查的两角互余的基本概念,题目属于基础概念题,比较简单．30. 如果a −b −2=0,那么代数式1+2a −2b 的值是______．【答案】5【解析】解：∵a −b −2=0,∴a −b =2,∴1+2a −2b =1+2(a −b)=1+4=5；故答案为5．将所求式子化简后再将已知条件中a −b =2整体代入即可求值；本题考查代数式求值；熟练掌握整体代入法求代数式的值是解题的关键．31. 平面直角坐标系中,点P(−3,4)到原点的距离是______．【答案】5【解析】解：作PA ⊥x 轴于A ,则PA =4,OA =3．则根据勾股定理,得OP =5．故答案为5．作PA ⊥x 轴于A ,则PA =4,OA =3,再根据勾股定理求解．此题考查了点的坐标的知识以及勾股定理的运用.点到x 轴的距离即为点的纵坐标的绝对值．32. 若{x =1,y =2是关于x 、y 的二元一次方程ax +y =3的解,则a =______． 【答案】1【解析】解：把{x =1y =2代入二元一次方程ax +y =3中, a +2=3,解得a =1．故答案是：1．把{x =1y =2代入二元一次方程ax +y =3中即可求a 的值． 本题运用了二元一次方程的解的知识点,运算准确是解决此题的关键．33. 如图,AB 是⊙O 的直径,C 、D 是⊙O 上的两点,,则∠CDB =______【答案】30【解析】解：,．故答案为30．先利用邻补角计算出∠BOC ,然后根据圆周角定理得到∠CDB 的度数．本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半．34. 如图,半径为√3的⊙O 与边长为8的等边三角形ABC 的两边AB 、BC 都相切,连接OC ,则tan ∠OCB =______．【答案】√35【解析】解：连接OB,作OD⊥BC于D,∵⊙O与等边三角形ABC的两边AB、BC都相切,,∴tan∠OBC=ODBD,∴BD=ODtan30∘=√3√33=3,∴CD=BC−BD=8−3=5,∴tan∠OCB=ODCD =√35．故答案为√35．根据切线长定理得出,解直角三角形求得BD,即可求得CD,然后解直角三角形OCD即可求得tan∠OCB的值．本题考查了切线的性质,等边三角形的性质,解直角三角形等,作出辅助线构建直角三角形是解题的关键．35.如图,在矩形ABCD中,AD=3AB=3√10,点P是AD的中点,点E在BC上,CE=2BE,点M、N在线段BD上.若△PMN是等腰三角形且底角与∠DEC相等,则MN=______．【答案】6【解析】解：作PF⊥MN于F,如图所示：则,∵四边形ABCD是矩形,∴AB=CD,BC=AD=3AB=3√10,,∴AB=CD=√10,BD=√AB2+AD2=10,∵点P是AD的中点,∴PD=12AD=3√102,∵∠PDF=∠BDA, ∴△PDF∽△BDA,∴PFAB =PDBD,即PF√10=3√10210,解得：PF=32,∵CE=2BE,∴BC=AD=3BE,∴BE=CD,∴CE=2CD,∵△PMN是等腰三角形且底角与∠DEC相等,PF⊥MN, ∴MF=NF,∠PNF=∠DEC,,∴△PNF∽△DEC , ∴NF PF =CE CD =2, ∴NF =2PF =3,∴MN =2NF =6；故答案为：6．作PF ⊥MN 于F ,则,由矩形的性质得出AB =CD ,BC =AD =3AB =3√10,,得出AB =CD =√10,BD =√AB 2+AD 2=10,证明△PDF∽△BDA ,得出PF AB =PD BD ,求出PF =32,证出CE =2CD ,由等腰三角形的性质得出MF =NF ,∠PNF =∠DEC ,证出△PNF∽△DEC ,得出NF PF =CE CD =2,求出NF =2PF =3,即可得出答案．本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质和等腰三角形的性质,证明三角形相似是解题的关键．三、解答题（本大题共21小题，共165.0分）36. (1)计算：； (2)化简：(1+1x−1)÷x x 2−1．【答案】解：=1+3−1=3；(2)(1+1x −1)÷x x 2−1 =(x −1x −1+1x −1)÷x x 2−1 =x x −1⋅(x +1)(x −1)x=x +1．【解析】(1)根据零指数幂、负整数指数幂的运算法则、特殊角的三角函数值计算；(2)根据分式的混合运算法则计算．本题考查的是分式的混合运算、实数的混合运算,掌握它们的运算法则是解题的关键．37. (1)解方程：2x x−2=3x−2+1；(2)解不等式：4(x −1)−12<x【答案】解；(1)方程两边同乘以(x −2)得2x =3+x −2∴x =1检验：将x =1代入(x −2)得1−2=−1≠0x =1是原方程的解．∴原方程的解是x =1．(2)化简4(x−1)−12<x得4x−4−12<x∴3x<9 2∴x<3 2∴原不等式的解集为x<32．【解析】(1)方程两边同乘以(x−2)化成整式方程求解,注意检验；(2)按照去括号,移项,合并同类项,系数化为1来解即可．本题分别考查了分式方程和一元一次不等式的求解问题,属于基础题型．38.如图,四边形ABCD中,AD∥BC,点E、F分别在AD、BC上,AE=CF,过点A、C分别作EF的垂线,垂足为G、H．(1)求证：△AGE≌△CHF；(2)连接AC,线段GH与AC是否互相平分？请说明理由．【答案】(1)证明：∵AG⊥EF,CH⊥EF,,AG∥CH,∵AD∥BC,∴∠DEF=∠BFE,∵∠AEG=∠DEF,∠CFH=∠BFE,∴∠AEG=∠CFH,在△AGE和△CHF中,{∠G=∠H∠AEG=∠CFHAE=CF,∴△AGE≌△CHF(AAS)；(2)解：线段GH与AC互相平分,理由如下：连接AH、CG,如图所示：由(1)得：△AGE≌△CHF,∴AG=CH,∵AG∥CH,∴四边形AHCG是平行四边形,∴线段GH与AC互相平分．【解析】(1)由垂线的性质得出,AG∥CH,由平行线的性质和对顶角相等得出∠AEG=∠CFH,由AAS即可得出△AGE≌△CHF；(2)连接AH、CG,由全等三角形的性质得出AG=CH,证出四边形AHCG是平行四边形,即可得出结论．本题考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、平行线的性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质,证明三角形全等是解题的关键．39.小丽和小明将在下周的星期一到星期三这三天中各自任选一天担任值日工作,请用画树状图或列表格的方法,求小丽和小明在同一天值日的概率．【答案】解：根据题意画树状图如下：共有9种等情况数,其中小丽和小明在同一天值日的有3种,则小丽和小明在同一天值日的概率是39=13．【解析】根据题意画出树状图得出所有等情况数和小丽和小明在同一天值日的情况数,然后根据概率公式即可得出答案．此题考查的是用列表法或树状图法求概率.列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果,适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．40.如图,在△ABC中,AB=AC,过AC延长线上的点O作OD⊥AO,交BC的延长线于点D,以O为圆心,OD长为半径的圆过点B．(1)求证：直线AB与⊙O相切；(2)若AB=5,⊙O的半径为12,则tan∠BDO=______．【答案】23【解析】(1)证明：连接AB,如图所示：∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,∵∠ACB=∠OCD,∴∠ABC=∠OCD,∵OD⊥AO,,,∵OB=OD,∴∠OBD=∠D,,即,∴AB⊥OB,∵点B在圆O上,∴直线AB与⊙O相切；(2)解：,∴OA=√AB2+OB2=√52+122=13,∵AC=AB=5,∴OC=OA−AC=8,∴tan∠BDO=OCOD =812=23；故答案为：23．(1)连接OB,由等腰三角形的性质得出∠ABC=∠ACB,∠OBD=∠D,证出,得出AB⊥OB,即可得出结论；(2)由勾股定理得出OA=√AB2+OB2=13,得出OC=OA−AC=8,再由三角函数定义即可得出结果．本题考查了切线的判定、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理以及三角函数定义；熟练掌握切线的判定方法和等腰三角形的性质是解题的关键41.如图,点A(2,n)和点D是反比例函数y=mx(m>0,x>0)图象上的两点,一次函数y=kx+3(k≠0)的图象经过点A,与y轴交于点B,与x轴交于点C,过点D作DE⊥x 轴,垂足为E,连接OA,OD.已知△OAB与△ODE的面积满足S△OAB：S△ODE=3：4．(1)S△OAB=______,m=______；(2)已知点P(6,0)在线段OE上,当∠PDE=∠CBO时,求点D的坐标．【答案】3 8【解析】解：(1)由一次函数y=kx+3知,B(0,3)．又点A的坐标是(2,n),∴S△OAB=12×3×2=3．∵S△OAB：S△ODE=3：4．∴S△ODE=4．∵点D是反比例函数y=mx(m>0,x>0)图象上的点,∴12m=S△ODE=4,则m=8．故答案是：3；8；(2)由(1)知,反比例函数解析式是y=8x．∴2n=8,即n=4．故A(2,4),将其代入y=kx+3得到：2k+3=4．解得k=12．∴直线AC的解析式是：y=12x+3．令y=0,则12x+3=0,∴x=−6,∴C(−6,0)．∴OC=6．由(1)知,OB=3．设D(a,b),则DE=b,PE=a−6．∵∠PDE=∠CBO,, ∴△CBO∽△PDE,∴OBDE =OCPE,即3b=6a−6①,又ab=8②．联立①②,得{a=−2b=−4(舍去)或{a=8b=1．故D(8,1)．(1)由一次函数解析式求得点B的坐标,易得OB的长度,结合点A的坐标和三角形面积公式求得S△OAB=3,所以S△ODE=4,由反比例函数系数k的几何意义求得m的值；(2)利用待定系数法确定直线AC函数关系式,易得点C的坐标；利用∠PDE=∠CBO,判定△CBO∽△PDE,根据该相似三角形的对应边成比例求得PE、DE的长度,易得点D的坐标．考查了反比例函数综合题,需要掌握待定系数法确定函数关系式,函数图象上点的坐标特征,反比例函数系数k的几何意义,三角形的面积公式,相似三角形的判定与性质等知识点,综合性较强,但是难度不是很大．42.在三角形纸片ABC(如图1)中,,AC=10.小霞用5张这样的三角形纸片拼成了一个内外都是正五边形的图形(如图2)．(1)∠ABC=______；(2)求正五边形GHMNC的边GC的长．参考值：,,．【答案】30【解析】解：(1)∵五边形ABDEF是正五边形,,,故答案为：30；(2)作CQ⊥AB于Q,,在Rt△AQC中,sin∠QAC=QCAC∴QC=AC⋅sin∠QAC≈10×0.98=9.8,在Rt△BQC中,,∴BC=2QC=19.6,∴GC=BC−BG=9.6．(1)根据多边形内角和定理、正五边形的性质计算；(2)作CQ⊥AB于Q,根据正弦的定义求出QC,根据直角三角形的性质求出BC,结合图形计算即可．本题考查的是正多边形、解直角三角形的应用,掌握正多边形的性质、正弦的定义是解题的关键．43.陈老师对他所教的九(1)、九(2)两个班级的学生进行了一次检测,批阅后对最后一道试题的得分情况进行了归类统计(各类别的得分如下表),并绘制了如图所示的每班各类别得分人数的条形统计图(不完整)．各类别的得分表得分类别0A：没有作答1B：解答但没有正确3C：只得到一个正确答案6D：得到两个正确答案,解答完全正确已知两个班一共有50%的学生得到两个正确答案,解答完全正确,九(1)班学生这道试题的平均得分为3.78分.请解决如下问题：(1)九(2)班学生得分的中位数是______；(2)九(1)班学生中这道试题作答情况属于B类和C类的人数各是多少？【答案】6分【解析】解：(1)由条形图可知九(2)班一共有学生：3+6+12+27=48人,将48个数据按从小到大的顺序排列,第24、25个数据都在D 类,所以中位数是6分． 故答案为6分；(2)两个班一共有学生：(22+27)÷50%=98(人),九(1)班有学生：98−48=50(人)．设九(1)班学生中这道试题作答情况属于B 类和C 类的人数各是x 人、y 人．由题意,得{5+x +y +22=500×5+x +3y +6×22=3.78×50, 解得{x =6y =17． 答：九(1)班学生中这道试题作答情况属于B 类和C 类的人数各是6人、17人．(1)由条形图可知九(2)班一共有学生48人,将48个数据按从小到大的顺序排列,第24、25个数据都在D 类,所以中位数是6分；(2)先求出两个班一共有多少学生,减去九(2)班的学生数,得出九(1)班的学生数,再根据条形图,用九(1)班的学生数分别减去该班A 、D 两类的学生数得到B 类和C 类的人数和,再结合九(1)班学生这道试题的平均得分为3.78分,即可求解．本题考查的是统计图表与条形图的综合运用.读懂统计图表,从统计图表中得到必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据.也考查了中位数与平均数．44. 【材料阅读】地球是一个球体,任意两条相对的子午线都组成一个经线圈(如图1中的⊙O).人们在北半球可观测到北极星,我国古人在观测北极星的过程中发明了如图2所示的工具尺(古人称它为“复矩”),尺的两边互相垂直,角顶系有一段棉线,棉线末端系一个铜锤,这样棉线就与地平线垂直.站在不同的观测点,当工具尺的长边指向北极星时,短边与棉线的夹角α的大小是变化的．【实际应用】观测点A 在图1所示的⊙O 上,现在利用这个工具尺在点A 处测得α为,在点A 所在子午线往北的另一个观测点B ,用同样的工具尺测得α为是⊙O 的直径,PQ ⊥ON ．(1)求∠POB的度数；(2)已知OP=6400km,求这两个观测点之间的距离即⊙O上AB⏜的长.(π取3.1)【答案】解：(1)设点B的切线CB交ON延长线于点E,HD⊥BC于D,CH⊥BH交BC于点C,如图所示：则,,,∵ON∥BH,,,∵PQ⊥ON,,；(2)同(1)可证,,=3968(km)．∴AB⏜的弧长=36×π×6400180【解析】(1)设点B的切线CB交ON延长线于点E,HD⊥BC于D,CH⊥BH交BC于点C,则,证出,由平行线的性质得出,由直角三角形的性质得出,得出；(2)同(1)可证,求出,由弧长公式即可得出结果．本题考查了切线的性质、直角三角形的性质、弧长公式等知识；熟练掌握切线的性质和弧长公式是解题的关键．45.如图,二次函数y=−x2+4x+5图象的顶点为D,对称轴是直线l,一次函数y=2x+1的图象与x轴交于点A,且与直线DA关于l的对称直线交于点B．5(1)点D的坐标是______；(2)直线l 与直线AB 交于点C ,N 是线段DC 上一点(不与点D 、C 重合),点N 的纵坐标为n.过点N 作直线与线段DA 、DB 分别交于点P 、Q ,使得△DPQ 与△DAB 相似． ①当n =275时,求DP 的长；②若对于每一个确定的n 的值,有且只有一个△DPQ 与△DAB 相似,请直接写出n 的取值范围______．【答案】(2,9)95<n <215【解析】解：(1)顶点为D(2,9)； 故答案为(2,9)； (2)对称轴x =2, ∴C(2,95),由已知可求A(−52,0),点A 关于x =2对称点为(132,0),则AD 关于x =2对称的直线为y =−2x +13, ∴B(5,3), ①当n =275时,N(2,275), ∴DA =9√52,DN =185,CD =365当PQ ∥AB 时,△DPQ∽△DAB ,∵△DAC∽△DPN , ∴DPDA =DN DC, ∴DP =9√54；当PQ 与AB 不平行时,△DPQ∽△DBA , ∴△DNQ∽△DCA , ∴DPDB =DN DC, ∴DP =2√53；综上所述,DN =9√54或2√53；。
(中考精品卷)江苏省连云港市中考数学真题(解析版)
数学试题一、选择题（本大题共有8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1. －3的倒数是（）A. 3B. －3C. 13D.13-【答案】D【解析】【分析】根据倒数的定义，即可计算出结果．【详解】解：－3的倒数是1 3 -；故选：D【点睛】本题考查了倒数的定义：乘积是1的两数互为倒数．2. 下列图案中，是轴对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据轴对称图形的概念逐项分析判断即可，轴对称图形的概念：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．【详解】A.是轴对称图形，故该选项正确，符合题意；B.不是轴对称图形，故该选项不正确，不符合题意；C.不是轴对称图形，故该选项不正确，不符合题意；D.不是轴对称图形，故该选项不正确，不符合题意；故选A【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．3. 2021年12月9日，“天宫课堂”正式开课，我国航天员在中国空间站首次进行太空授课，本次授课结束时，网络在线观看人数累计超过14600000人次．把“14600000”用科学记数法表示为（ ）A. 80.14610⨯B. 71.4610⨯C. 614.610⨯D. 514610⨯【答案】B【解析】【分析】科学记数法的表现形式为10n a ⨯的形式，其中110a ≤<，n 为整数，确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n 是正数，当原数绝对值小于1时n 是负数；由此进行求解即可得到答案．【详解】解：714600000=1.4610⨯．故选：B ．【点睛】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的具体要求．4. 在体育测试中，7名女生仰卧起坐的成绩如下（次/分钟）：38，42，42，45，43，45，45，则这组数据的众数是（ ）A. 38B. 42C. 43D. 45 【答案】D【解析】【分析】根据众数的定义即可求解．【详解】解：∵45出现了3次，出现次数最多，∴众数为45．故选D ．【点睛】本题考查了求众数，掌握众数的定义是解题的关键．众数：在一组数据中出现次数最多的数．5. 函数y =x 的取值范围是（ ） A. 1≥xB. 0x ≥C. 0x ≤D. 1x ≤【答案】A【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，即可求解．【详解】解：∵10x -≥，∴1≥x ．故选A ．【点睛】本题考查了求函数自变量取值范围，二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．6. ABC 的三边长分别为2，3，4，另有一个与它相似的三角形DEF ，其最长边为12，则DEF 的周长是（ ）A. 54B. 36C. 27D. 21【答案】C【解析】【分析】根据相似三角形的性质求解即可．【详解】解：∵△ABC 与△DEF 相似，△ABC 的最长边为4，△DEF 的最长边为12， ∴两个相似三角形的相似比为1:3，∴△DEF 的周长与△ABC 的周长比为3:1，∴△DEF 的周长为3×（2+3+4）=27，故选：C ．【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，熟知相似三角形的周长之比等于相似之比是解题的关键．7. 如图，有一个半径为2的圆形时钟，其中每个刻度间的弧长均相等，过9点和11点的位置作一条线段，则钟面中阴影部分的面积为（ ）A. 23π-B. 23πC. 43π-D. 43π- 【答案】B【解析】【分析】阴影部分的面积等于扇形面积减去三角形面积，分别求出扇形面积和等边三角形的面积即可．【详解】解：如图，过点OC 作OD ⊥AB 于点D ，∵∠AOB =2×36012︒=60°， ∴△OAB 是等边三角形， ∴∠AOD =∠BOD =30°，OA =OB =AB =2，AD =BD =12AB =1，∴OD =∴阴影部分的面积为260212236023ππ⋅⨯-⨯=， 故选：B ．【点睛】本题考查了扇形面积、等边三角形的面积计算方法，掌握扇形面积、等边三角形的面积的计算方法是正确解答的关键．8. 如图，将矩形ABCD 沿着GE EC 、GF 翻折，使得点A 、B 、D 恰好都落在点O 处，且点G 、O 、C 在同一条直线上，同时点E 、O 、F 在另一条直线上．小炜同学得出以下结论：①GF ∥EC ；②AB AD ；③GE DF ；④OC OF ；⑤△COF ∽△CEG ．其中正确的是（ ）A. ①②③B. ①③④C. ①④⑤D. ②③④【答案】B【解析】 【分析】由折叠的性质知∠FGE =90°，∠GEC =90°，点G 为AD 的中点，点E 为AB 的中点，设AD=BC=2a，AB=CD=2b，在Rt△CDG中，由勾股定理求得b，然后利用勾股定理再求得DF=FO，据此求解即可．【详解】解：根据折叠的性质知∠DGF=∠OGF，∠AGE=∠OGE，∴∠FGE=∠OGF+∠OGE=12(∠DGO+∠AGO) =90°，同理∠GEC=90°，∴GF∥EC；故①正确；根据折叠的性质知DG=GO，GA=GO，∴DG=GO=GA，即点G为AD的中点，同理可得点E为AB的中点，设AD=BC=2a，AB=CD=2b，则DG=GO=GA=a，OC=BC=2a，AE=BE=OE=b，∴GC=3a，在Rt△CDG中，CG2=DG2+CD2，即(3a)2=a2+(2b)2，∴b，∴ABAD，故②不正确；设DF=FO=x，则FC=2b-x，在Rt△COF中，CF2=OF2+OC2，即(2b-x)2=x2+(2a)2，∴x=22b ab-，即DF=FO，GE=，∴GEDF==∴GEDF；故③正确；∴2OC aaOF==，∴OCOF；故④正确；∵∠FCO与∠GCE不一定相等，∴△COF∽△CEG不成立，故⑤不正确；综上，正确的有①③④，故选：B ．【点睛】本题主要考查了折叠问题，解题时，我们常常设要求的线段长为x ，然后根据折叠和轴对称的性质用含x 的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．二、填空题（本大题共8小题，不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）9. 计算：23a a +=______．【答案】5a【解析】【分析】直接运用合并同类项法则进行计算即可得到答案．【详解】解： 23a a +(23)a =+5a =．故答案为：5a ．【点睛】本题主要考查了合并同类项，熟练掌握合并同类项法则是解答本题的关键． 10. 已知∠A 的补角是60°，则A ∠=_________︒．【答案】120【解析】【分析】如果两个角的和等于180°，就说这两个角互为补角．由此定义即可求解．【详解】解：∵∠A 的补角是60°，∴∠A =180°-60°=120°，故答案为：120．【点睛】本题考查补角的定义，熟练掌握两个角互为补角的定义是解题的关键． 11. 写出一个在1到3之间的无理数：_________．(答案不唯一)【解析】【分析】由于12=1，32=9，所以只需写出被开方数在1和9之间的，且不是完全平方数的数即可求解．【详解】解：1和3．(答案不唯一)．【点睛】本题主要考查常见无理数的定义和性质，解题关键是估算无理数的整数部分和小数部分．12. 若关于x 的一元二次方程()2100mx nx m +-=≠的一个解是1x =，则m n +的值是___．【答案】1【解析】【分析】根据一元二次方程解的定义把1x =代入到()2100mxnx m +-=≠进行求解即可．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程()2100mxnx m +-=≠的一个解是1x =，∴10m n +-=，∴1m n +=，故答案为：1．【点睛】本题主要考查了一元二次方程解的定义，代数式求值，熟知一元二次方程解的定义是解题的关键．13. 如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，A 为切点，连接BC ，与⊙O 交于点D ，连接OD ．若82AOD ∠=︒，则C ∠=_________︒．【答案】49【解析】【分析】利用同弧所对的圆周角等于圆心角的一半求得∠B =12∠AOD =41°，根据AC 是⊙O 的切线得到∠BAC =90°，即可求出答案．【详解】解：∵∠AOD =82°，∴∠B =12∠AOD =41°，∵AC 为圆的切线，A 为切点，∴∠BAC =90°，∴∠C =90°-41°=49°故答案为49．【点睛】此题考查圆周角定理，圆的切线的性质定理，直角三角形两锐角互余，正确理解圆周角定理及切线的性质定理是解题的关键．14. 如图，在66⨯正方形网格中，ABC 的顶点A 、B 、C 都在网格线上，且都是小正方形边的中点，则sin A =_________．【答案】45 【解析】【分析】如图所示，过点C 作CE ⊥AB 于E ，先求出CE ，AE 的长，从而利用勾股定理求出AC 的长，由此求解即可．【详解】解：如图所示，过点C 作CE ⊥AB 于E ，由题意得43CE AE ==，，∴5AC ==， ∴4sin =5CE A AC =， 故答案为：45．【点睛】本题主要考查了求正弦值，勾股定理与网格问题正确作出辅助线，构造直角三角形是解题的关键．15. 如图，一位篮球运动员投篮，球沿抛物线20.2 2.25y x x =-++运行，然后准确落入篮筐内，已知篮筐的中心离地面的高度为3.05m ，则他距篮筐中心的水平距离OH 是_________m ．【答案】4【解析】【分析】将 3.05y =代入20.2 2.25y x x =-++中可求出x ，结合图形可知4x =，即可求出OH ．【详解】解：当 3.05y =时，20.2 2.25 3.05-++x x =，解得：1x =或4x =， 结合图形可知：4OH m =，故答案为：4【点睛】本题考查二次函数的实际应用：投球问题，解题的关键是结合函数图形确定x 的值．16. 如图，在ABCD 中，150ABC ∠=︒．利用尺规在BC 、BA 上分别截取BE 、BF ，使BE BF =；分别以E 、F 为圆心，大于12EF 的长为半径作弧，两弧在CBA ∠内交于点G ；作射线BG 交DC 于点H ．若1AD =，则BH 的长为_________．【解析】【分析】如图所示，过点H 作HM ⊥BC 于M ，由作图方法可知，BH 平分∠ABC ，即可证明∠CBH =∠CHB ，得到1CH BC ==+，从而求出HM ，CM 的长，进而求出BM 的长，即可利用勾股定理求出BH 的长．【详解】解：如图所示，过点H 作HM ⊥BC 于M ，由作图方法可知，BH 平分∠ABC ，∴∠ABH =∠CBH ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴1BC AD AB CD ==+∥，，∴∠CHB =∠ABH ，∠C =180°-∠ABC =30°，∴∠CBH =∠CHB ，∴1CH BC ==+，∴12HM CH ==，∴CM ==，∴BM BC CM =-=∴BH ==．【点睛】本题主要考查了角平分线的尺规作图，平行四边形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质与判定等等，正确求出CH 的长是解题的关键．三、解答题（本大题共11小题，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.计算：01(10)20222⎛⎫-⨯- ⎪⎝⎭． 【答案】2【解析】【分析】根据有理数的乘法，二次根式的性质，零指数的计算法则求解即可．详解】解：原式541=-+=2．【点睛】本题主要考查了有理数的乘法，二次根式的性质，零指数，熟知相关计算法则是解题的关键．18. 解不等式2x ﹣1＞312x -，并把它的解集在数轴上表示出来．【【答案】不等式的解集为x ＞1，在数轴上表示见解析.【解析】【详解】试题分析：根据不等式的基本性质去分母、去括号、移项可得不等式的解集，再根据“大于向右，小于向左，包括端点用实心，不包括端点用空心”的原则在数轴上将解集表示出来．试题解析：去分母，得：4x ﹣2＞3x ﹣1，移项，得：4x ﹣3x ＞2﹣1，合并同类项，得：x ＞1，将不等式解集表示在数轴上如图：19. 化简：221311x x x x -+--． 【答案】11x x -+ 【解析】【分析】根据异分母分式的加法计算法则求解即可．【详解】解：原式211x x +=+- 22131x x x x ++-=- 22211x x x -+=- 22(1)1x x -=- 2(1)=(1)(1)x x x -+- 11x x -=+． 【点睛】本题主要考查了异分母分式的加法，熟知相关计算法则是解题的关键． 20. 为落实国家“双减”政策，某校为学生开展了课后服务，其中在体育类活动中开设了四种运动项目：A 乒乓球，B 排球，C 篮球，D 跳绳．为了解学生最喜欢哪一种运动项目，随机抽取部分学生进行调查（每位学生仅选一种），并将调查结果制成如下尚不完整的统计图表．问卷情况统计表：运动项目人数A乒乓球mB排球10C篮球80D跳绳70（1）本次调查的样本容量是_______，统计表中m=_________；（2）在扇形统计图中，“B排球”对应的圆心角的度数是_________ ；（3）若该校共有2000名学生，请你估计该校最喜欢“A乒乓球”的学生人数．【答案】（1）200，40（2）18 （3）约为400人【解析】【分析】（1）从两个统计图中可知，“C篮球”的人数80人，占调查人数的40%，可求出本次调查的样本容量，进而求出m的值；（2）“B排球”的人数10人，据此可求得相应的圆心角；（3）用总人数乘以“A乒乓球”的学生所占的百分比即可．【小问1详解】解：本次调查的样本容量是：80÷40%=200（人），m=200-10-80-70=40；故答案为：200，40；【小问2详解】解：扇形统计图中B部分扇形所对应的圆心角是360°×10200=18°，故答案为：18；【小问3详解】解：402000400200⨯=（人），估计该校最喜欢“A乒乓球”的学生人数约为400人．【点睛】此题考查统计表、扇形统计图的结合，从两个统计图中获取数量和数量之间的关系是解决问题的前提．21. “石头、剪子、布”是一个广为流传的游戏，规则是：甲、乙两人都做出“石头”“剪子”“布”3种手势中的1种，其中“石头”赢“剪子”，“剪子”赢“布”，“布”赢“石头”，手势相同不分输赢．假设甲、乙两人每次都随意并且同时做出3种手势中的1种．（1）甲每次做出“石头”手势的概率为_________；（2）用画树状图或列表的方法，求乙不输的概率．【答案】（1）1 3（2）见解析，2 3【解析】【分析】（1）根据概率计算公式求解即可；（2）先画树状图得出所有等可能性的结果数，然后找到乙不输的结果数，最后利用概率计算公式求解即可．【小问1详解】解：∵甲每次做出的手势只有“石头”、“剪子”、“布”其中的一种，∴甲每次做出“石头”手势的概率为13；【小问2详解】解：树状图如图所示：甲、乙两人同时做出手势共有9种等可能结果，其中乙不输的共有6种，∴P（乙不输）62 93 ==．的答：乙不输的概率是23． 【点睛】本题主要考查了简单的概率计算，利用列表法或树状图法求解概率，熟知概率计算公式是解题的关键．22. 我国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”其大意是：今有几个人共同出钱购买一件物品．每人出8钱，剩余3钱；每人出7钱，还缺4钱．问人数、物品价格各是多少？请你求出以上问题中的人数和物品价格．【答案】有7人，物品价格是53钱【解析】【分析】设人数为x 人，根据“物品价格=8×人数-多余钱数=7×人数+缺少的钱数”可得方程，求解方程即可．【详解】解：设人数为x 人，由题意得8374x x -=+，解得7x =．所以物品价格是87353⨯-=．答：有7人，物品价格是53钱．【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出一元一次方程，由实际问题列方程组是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系．23. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数()0y ax b a =+≠的图像与反比例函数()0k y k x=≠的图像交于P 、Q 两点．点()43P ,-，点Q 的纵坐标为－2．（1）求反比例函数与一次函数的表达式；（2）求POQ △面积．【答案】（1）12y x =-，112y x =-+ （2）5的【解析】【分析】（1）通过点P 坐标求出反比例函数解析式，再通过解析式求出点Q 坐标，从而解出PQ 一次函数解析式；（2）令PQ 与y 轴的交点为M ，则三角形POQ 的面积为OM 乘以点P 横坐标除以2加上OM 乘以点Q 横坐标除以2即可．【小问1详解】将()43P ,-代入k y x=，解得12k =-， ∴反比例函数表达式为12y x =-． 当2y =-时，代入12y x=-，解得6x =，即()6,2Q -． 将()43P ,-、()6,2Q -代入()0y ax b a =+≠，得4362a b a b -+=⎧⎨+=-⎩，解得121a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩． ∴一次函数表达式为112y x =-+． 【小问2详解】设一次函数的图像与y 轴交点为M ，将0x =代入112y x =-+，得1y =，即()0,1M ． ∵()43P ,-，()6,2Q -，()0,1M ， ∴111416522POQ POM QOM S S S =+=⨯⨯+⨯⨯=△△△． 【点睛】本题考查待定系数法求反比例函数解析式、一次函数解析式、求一次函数和反比例函数围成的三角形面积，掌握拆分法是解本题关键．24. 我市的花果山景区大圣湖畔屹立着一座古塔——阿育王塔，是苏北地区现存最高和最古老的宝塔．小明与小亮要测量阿育王塔的高度，如图所示，小明在点A 处测得阿育王塔最高点C 的仰角45CAE ∠=︒，再沿正对阿育王塔方向前进至B 处测得最高点C 的仰角53CBE ∠=︒，10m AB =；小亮在点G 处竖立标杆FG ，小亮的所在位置点D 、标杆顶F 、最高点C 在一条直线上， 1.5m FG =，2m GD =．（注：结果精确到0.01m ，参考数据：sin 530.799︒≈，cos530.602︒≈，tan 53 1.327︒≈）（1）求阿育王塔的高度CE ；（2）求小亮与阿育王塔之间的距离ED ．【答案】（1）40.58m（2）54.11m【解析】【分析】（1）在Rt CEB 中，由tan 5310CE CE BE CE ︒==-，解方程即可求解． （2）证明Rt FGD Rt CED △∽△，根据相似三角形的性质即可求解．【小问1详解】在Rt CAE 中，∵45CAE ∠=︒，∴CE AE =．∵10AB =，∴1010BE AE CE =-=-．在Rt CEB 中，由tan 5310CE CE BE CE ︒==-， 得()tan5310CE CE ︒-=，解得40.58CE ≈．经检验40.58CE ≈是方程的解答：阿育王塔的高度约为40.58m ．【小问2详解】由题意知Rt FGD Rt CED △∽△， ∴FG GD CE ED=，即 1.5240.58ED=， ∴54.11ED ≈．经检验54.11ED ≈是方程的解答：小亮与阿育王塔之间的距离约为54.11m ．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，相似三角形的应用，掌握以上知识是解题的关键．25. 如图，四边形ABCD 为平行四边形，延长AD 到点E ，使DE AD =，且BE DC ⊥．（1）求证：四边形DBCE 菱形；（2）若DBC △是边长为2的等边三角形，点P 、M 、N 分别在线段BE 、BC 、CE 上运动，求PM PN +的最小值．【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）先根据四边形ABCD 为平行四边形的性质和DE AD =证明四边形DBCE 为平行四边形，再根据BE DC ⊥，即可得证；（2）先根据菱形对称性得，得到'PM PN PM PN +=+，进一步说明PM PN +的最小值即为菱形的高，再利用三角函数即可求解．【小问1详解】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD BC ∥，AD BC =，∵DE AD =，∴DE BC =，又∵点E 在AD 的延长线上，∴∥DE BC ，∴四边形DBCE 为平行四边形，为又∵BE DC ⊥，∴四边形DBCE 为菱形．【小问2详解】解：如图，由菱形对称性得，点N 关于BE 的对称点'N 在DE 上，∴'PM PN PM PN +=+，当P 、M 、'N 共线时，''PM PN PM PN MN +=+=，过点D 作DH BC ⊥，垂足为H ，∵∥DE BC ，∴'MN 的最小值即为平行线间的距离DH 的长，∵DBC △是边长为2的等边三角形，∴在Rt DBH 中，60DBC ∠=︒，2DB =，sin DH DBC DB∠=，∴sin 2DH DB DBC =∠==∴PM PN +【点睛】本题考查了最值问题，考查了菱形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角函数等知识，运用了转化的思想方法．将最值问题转化为求菱形的高是解答本题的关键．26. 已知二次函数2(2)4y x m x m =+-+-，其中2m >．（1）当该函数的图像经过原点()0,0O ，求此时函数图像的顶点A 的坐标；（2）求证：二次函数2(2)4y x m x m =+-+-的顶点在第三象限；（3）如图，在（1）的条件下，若平移该二次函数的图像，使其顶点在直线2y x =--上运动，平移后所得函数的图像与y 轴的负半轴的交点为B ，求AOB 面积的最大值．【答案】（1）()1,1A --（2）见解析（3）最大值为98【解析】【分析】（1）先利用待定系数法求出二次函数解析式，再将二次函数解析式化为顶点式即可得到答案； （2）先根据顶点坐标公式求出顶点坐标为22820,24m m m ⎛⎫--+- ⎪⎝⎭，然后分别证明顶点坐标的横纵坐标都小于0即可；（3）设平移后图像对应的二次函数表达式为2y x bx c =++，则其顶点坐标为24,24b c b ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，然后求出点B 的坐标，根据平移后的二次函数顶点在直线2y x =--上推出2284b bc +-=，过点A 作AH OB ⊥，垂足为H ，可以推出219=(1)88AOB S b -++△,由此即可求解． 【小问1详解】解：将()0,0O 代入2(2)4y xm x m =+-+-，解得4m =．由2m >，则4m =符合题意，∴222(1)1y x x x =+=+-，∴()1,1A --．【小问2详解】 解：由抛物线顶点坐标公式得顶点坐标为22820,24m m m ⎛⎫--+- ⎪⎝⎭． ∵2m >，∴20m ->，∴20m -<， ∴202m -<． ∵228201(4)11044m m m -+-=---≤-<， ∴二次函数2(2)4y xm x m =+-+-的顶点在第三象限．【小问3详解】解：设平移后图像对应的二次函数表达式为2y x bx c =++，则其顶点坐标为24,24b c b ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 当0x =时，y c =，∴()0,B c ． 将24,24b c b ⎛⎫-- ⎪⎝⎭代入2y x =--， 解得2284b bc +-=． ∵()0,B c 在y 轴的负半轴上，∴0c <． ∴2284b b OBc +-=-=-． 过点A 作AH OB ⊥，垂足为H ，∵()1,1A --，∴1AH =．在AOB 中，211281224AOB b b S OB AH ⎛⎫+-=⋅=⨯-⨯ ⎪⎝⎭△ 211184b b =--+ 219(1)88b =-++, ∴当1b =-时，此时0c <，AOB 面积有最大值，最大值为98．【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数的平移，二次函数的最值问题，正确理解题意，熟练掌握二次函数的相关知识是解题的关键． 27. 【问题情境】在一次数学兴趣小组活动中，小昕同学将一大一小两个三角板按照如图1所示的方式摆放．其中90ACB DEB ∠=∠=︒，30B ∠=︒，3BE AC ==．【问题探究】小昕同学将三角板DEB 绕点B 按顺时针方向旋转．（1）如图2，当点E 落在边AB 上时，延长DE 交BC 于点F ，求BF 的长．（2）若点C 、E 、D 在同一条直线上，求点D 到直线BC 的距离．（3）连接DC ，取DC 的中点G ，三角板DEB 由初始位置（图1），旋转到点C 、B 、D 首次在同一条直线上（如图3），求点G 所经过的路径长．（4）如图4，G 为DC 的中点，则在旋转过程中，点G 到直线AB 的距离的最大值是_____．【答案】（1）（21±（3（4 【解析】【分析】（1）在Rt △BEF 中，根据余弦的定义求解即可；（2）分点E 在BC 上方和下方两种情况讨论求解即可；（3）取BC 的中点O ，连接GO ，从而求出OG G 在以O 径的圆上，然后根据弧长公式即可求解；（4）由（3）知，点G 在以O O 作OH ⊥AB 于H ，当G 在OH 的反向延长线上时，GH 最大，即点G 到直线AB 的距离的最大，在Rt △BOH 中求出OH ，进而可求GH .【小问1详解】解：由题意得，90BEF BED ∠=∠=︒，∵在Rt BEF △中，30ABC ∠=︒，3BE =，cos BE ABC BF ∠=．∴3cos cos 30BE BF ABC =︒==∠． 【小问2详解】①当点E 在BC 上方时，如图一，过点D 作DH BC ⊥，垂足为H ，∵在ABC 中，90ACB ∠=︒，30ABC ∠=︒，3AC =， ∴tan AC ABC BC ∠=，∴3tan tan 30AC BC ABC =︒==∠ ∵BDE 中，90DEB ∠=︒，30DBE ABC ∠=∠=︒，在3BE =，tan DE DBE BE ∠=，∴tan30DE BE =︒⋅．∵点C 、E 、D 在同一直线上，且90DEB ∠=︒，∴18090CEB DEB ∠=-∠=︒︒．又∵在CBE △中，90CEB ∠=︒，BC =3BE =，∴CE ==，∴C D C E D E =+=∵在BCD △中，1122BCD S CD BE BC DH =⋅=⋅△，∴1CD BE DH BC ⋅==+．②当点E 在BC 下方时，如图二，在BCE 中，∵90CEB ∠=︒，3BE =，BC =∴CE ==．∴C D C E D E =-=．过点D 作DM BC ⊥，垂足为M ． 在BDC 中，1122BDC S BC DM CD BE =⋅=⋅△，∴1D M -．综上，点D 到直线BC 1±．【小问3详解】解：如图三，取BC 的中点O ，连接GO ，则12GO BD ==∴点G 在以O当三角板DEB 绕点B 顺时针由初始位置旋转到点C 、B 、D 首次在同一条直线上时，点G所经过的轨迹为150︒所对的圆弧，圆弧长为1502360π⨯=．∴点G ． 【小问4详解】解：由（3）知，点G 在以O如图四，过O 作OH ⊥AB 于H ，当G 在OH 的反向延长线上时，GH 最大，即点G 到直线AB 的距离的最大，在Rt △BOH 中，∠BHO =90°，∠OBH =30°，12BO BC ==，∴sin sin 30OH BO OBH =⋅∠=︒=，∴GH OG OH =+=即点G到直线AB【点睛】本题考查了勾股定理，旋转的性质，弧长公式，解直角三角形等知识，分点E在BC上方和下方是解第（2）的关键，确定点G的运动轨迹是解第（3）（4）的关键。