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九年级二次函数综合测试题2

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九年级上册数学《二次函数》单元综合测试题(附答案)

九年级上册数学《二次函数》单元综合测试题(附答案)

人教版数学九年级上学期《二次函数》单元测试(满分120分,考试用时120分钟)一、单选题1．定义[A ,B ,C ]为函数y=A x 2+B x+C 的特征数,下面给出特征数为[m ﹣1,1+m,﹣2m]的函数的一些结论：①当m=3时,函数图象的顶点坐标是(﹣1,﹣8)；②当m ＞1时,函数图象截x 轴所得的线段长度大于3；③当m ＜0时,函数在x ＞12时,y 随x 的增大而减小；④不论m 取何值,函数图象经过两个定点．其中正确的结论有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 2．已知二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象如图所示,且关于x 的一元二次方程20ax bx c m ++-=没有实数根,有下列结论：①240b ac ->②0abc <③20a b +<④2m >其中,正确的是结论的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．43．如图,抛物线y=-x 2+mx 的对称轴为直线x=2,若关于x 的-元二次方程-x 2+mx-t=0 (t 为实数)在l<x<3的范围内有解,则t 的取值范围是( )A ．-5<t≤4B ．3<t≤4C ．-5<t<3D ．t>-5 4．如图,在△A B C 中,∠B =90°,A B =6C m,B C =12C m,动点P 从点A 开始沿边A B 向B 以1C m/s 的速度移动(不与点B 重合),动点Q 从点B 开始沿边B C 向C 以2C m/s 的速度移动(不与点C 重合)．如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发,那么经过( )秒,四边形A PQC 的面积最小．A ．1B ．2C ．3D ．45．已知抛物线y=A x 2+B x+C 的顶点为(－3,－6),有以下结论：①当A ＞0时,B 2＞4A C ；②当A ＞0时,A x 2+B x+C ≥-6；③若点(－2,m) ,(-5,n) 在抛物线上,则m ＜n ；④若关于 x 的一元二次方程A x 2+B x+C =-4的一根为－5,则另一根为－1．其中正确的是( )A ．①②B ．①③C ．②③④D ．①②④6．一次函数(0)y ax b a =+≠与二次函数2(0)y ax bx c a =++≠在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )．A ．B ．C ．D ．7．在同一平面直角坐标系中,反比例函数y b x=(B ≠0)与二次函数y ＝A x 2+B x (A ≠0)的图象大致是( ) A ． B ．C ．D ．8．加工爆米花时,爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下,可食用率p与加工时间t(单位：分钟)满足的函数关系p＝A t2+B t+C (A ,B ,C 是常数),如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据,可得到最佳加工时间为()A ．4.25分钟B ．4.00分钟C ．3.75分钟D ．3.50分钟9．已知二次函数y＝A x2+B x+C (A ＞0)的图象经过(0,1),(4,0),当该二次函数的自变量分别取x1,x2(0＜x1＜x2＜4)时,对应的函数值是y1,y2,且y1＝y2,设该函数图象的对称轴是x＝m,则m的取值范围是()A ．0＜m＜1B ．1＜m≤2C ．2＜m＜4D ．0＜m＜410．二次函数y＝A x2+B x+C 的图象如图所示,根据图象可得A ,B ,C 与0的大小关系是()A ．A ＞0,B ＜0,C ＜0 B ．A ＞0,B ＞0,C ＞0C ．A ＜0,B ＜0,C ＜0D ．A ＜0,B ＞0,C ＜011．如图1,菱形纸片A B C D 的边长为2,∠A B C =60°,将菱形A B C D 沿EF,GH折叠,使得点B ,D 两点重合于对角线B D 上一点P(如图2),则六边形A EFC HG面积的最大值是( )A B C ．2﹣ D ．1+ 12．如图,二次函数y=A x 2+B x+C (A ≠0)的图象与x 轴交于点A 、B 两点,与y 轴交于点C ,对称轴为直线x=-1,点B 的坐标为(1,0),则下列结论：①A B =4；②B 2-4A C ＞0；③A B ＜0；④A 2-A B +A C ＜0,其中正确的结论有( )个．A ．3B ．4C ．2D ．1二、填空题 13．当21x -≤≤时,二次函数22()1y x m m =--++有最大值4,则实数m 的值为________．14．若A (－134,y 1)、B (,y 2)、C (3,y 3)为二次函数y=－x 2－4x+5的图象上的三点,则y 1、y 2、y 3的大小关系是_________(用“＜”连接)．15．若抛物线C 1：y ＝x 2+mx+2与抛物线C 2：y ＝x 2﹣3x+n 关于y 轴对称,则m+n ＝_____．16．抛物线y ＝n(n+1)x 2﹣(3n+1)x+3与直线y ＝﹣nx+2的两个交点的横坐标分别是x 1、x 2,记D n ＝|x 1﹣x 2|,则代数式D 1+D 2+D 3+…+D 2018的值为__．三、解答题17．已知二次函数()2220y ax ax a =--≠． (1)该二次函数图象的对称轴是；(2)若该二次函数的图象开口向上,当15x -≤≤时,函数图象的最高点为M ,最低点为N ,点M 的纵坐标为112,求点M 和点N 的坐标； (3)对于该二次函数图象上的两点()11,A x y ,()22,B x y ,设11t x t ≤≤+,当23x ≥时,均有12y y ≥,请结合图象,直接写出t 的取值范围．18．随着地铁和共享单车的发展,“地铁＋单车”已成为很多市民出行的选择．李华从文化宫站出发,先乘坐地铁,准备在离家较近的A ,B ,C ,D ,E 中的某一站出地铁,再骑共享单车回家．设他出地铁的站点与文化宫站的距离为x (单位：km),乘坐地铁的时间1y (单位：min)是关于x 的一次函数,其关系如下表：(1)求1y 关于x 的函数解析式；(2)李华骑单车的时间2y (单位：min)也受x 的影响,其关系可以用2y =12x 2-11x ＋78来描述．求李华应选择在哪一站出地铁,才能使他从文化宫站回到家所需的时间最短,并求出最短时间．19．如图,在矩形A B C D 中,4AB CD cm ==,6AD BC cm ==,3AE DE cm ==,点P 从点E 出发,沿EB方向匀速运动,速度为1C m/s；同时,点Q从点C 出发,沿C D 方向匀速运动,速度为2C m/s,连接PQ,设运动t<<),解答下列问题：时间为t(s)(02PQ BC？(1)当t为何值时,//(2)设四边形PB C Q的面积为y(C m2),求y与t的函数关系式；(3)是否存在某一时刻t,使四边形PB C Q的面积是四边形PQD E的面积的4倍？若存在,求出t的值；若不存在,说明理由.(4)连接B D ,点O是B D 的中点,是否存在某一时刻t,使P,O,Q在同一直线上？若存在,求出t的值；若不存在,说明理由.20．某山西特产专卖店销售某种核桃,原来平均每天可销售200千克,每千克可盈利6元,为减少库存,经市场调查,如果这种核桃每千克降价1元,则每天可多售出20千克．(1)设每千克核桃降价x元,平均每天盈利y元,试写出y关于x的函数解析式；(2)若要销售这种核桃平均每天盈利960元,则每千克应降价多少元？21．某超市销售一种水果,迸价为每箱40元,规定售价不低于进价．现在的售价为每箱72元,每月可销售60箱．经市场调查发现：若这种牛奶的售价每降低2元,则每月的销量将增加10箱,设每箱水果降价x元(x为偶数),每月的销量为y箱．(1)写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围．(2)若该超市在销售过程中每月需支出其他费用500元,则如何定价才能使每月销售水果的利润最大？最大利润是多少元？22．现有一面12米长的墙,某农户计划用28米长的篱笆靠墙围成一个矩形养鸡场A B C D (篱笆只围A B 、B C 、C D 三边),其示意图如图所示．(1)若矩形养鸡场的面积为92平方米,求所用的墙长A D ．(结果精确到0.1米)(＝2.24)(2)求此矩形养鸡场的最大面积．23．某工厂现有20台机器,每台机器平均每天生产160件产品,现准备增加一批同类机器以提高生产总量,在试生产中发现,由于某种原因,每增加一台机器,每台机器平均每天将少生产4件产品．(1)如果增加x台机器,每天的生产总量为y件,请你写出y与x之间的关系式及自变量的取值范围；(2)增加多少台机器,可以使每天的生产总量最大,最大生产总量是多少？(3)要使生产总量增加300件,则机器增加的台数应该是多少台？24．在平面直角坐标系中,直线y＝﹣12x+2与x轴交于点B ,与y轴交于点C ,二次函数y＝﹣12x2+B x+C 的图象经过B ,C 两点,且与x轴的负半轴交于点A ．(1)求二次函数的表达式；(2)如图1,点D 是抛物线第四象限上的一动点,连接D C ,D B ,当S△D C B ＝S△A B C 时,求点D 坐标；(3)如图2,在(2)的条件下,点Q在C A 的延长线上,连接D Q,A D ,过点Q作QP∥y轴,交抛物线于P,若∠A QD ＝∠A C O+∠A D C ,请求出PQ的长．参考答案一、单选题1．定义[A ,B ,C ]为函数y=A x 2+B x+C 的特征数,下面给出特征数为[m ﹣1,1+m,﹣2m]的函数的一些结论：①当m=3时,函数图象的顶点坐标是(﹣1,﹣8)；②当m ＞1时,函数图象截x 轴所得的线段长度大于3；③当m ＜0时,函数在x ＞时,y 随x 的增大而减小；④不论m 取何值,函数图象经过两个定点．其中正确的结论有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 [答案]D [解析]试题分析：①抛物线的顶点坐标为( , ),当m=3时,特征数为[2,4-6],可求得顶点坐标为(-1,-8),所以①正确．②函数图像与x 轴交点坐标为( ),特征数为 [m -1,1+ m ,-2m]的函数与x 轴交点坐标分别为(1,0)、(,0),所以截得x 轴所得的线段长为1-=1+,当m > 1 时, 1+>3,所以②正确．③函数对称轴为x== ,当m<0时,对称轴x=< ,A =m-1<0,所以函数抛物线图像开口向下,当x>时y 随x 的增大而减小,又因为x= <,所以当m < 0时,函数在x >时,y 随x 的增大而减小,③正确．④ 不论m 取何值,函数图象经过两个定点(1,0)和(-2,-6),所以④正确．故选D点睛：本题主要考查二次函数y=A x 2+B x+C 的性质：①二次项系数A 决定抛物线的开口方向和大小．当A ＞0时,抛物线向上开口；当A ＜0时,抛物线向下开口．②抛物线是轴对称图形,对称轴为直线x = -B /2A ,当A ＞0时x< ,y 随x 的增大而减小,x>时,y 随x 的增大而增大．当A <0时,x<,y 随x 的增大而增大,x>时,y 随x 的增大而减小．③函数图像与x 轴交点坐标为 ),所以函数图像截x 轴所得的线段长为 等．二次函数的性质极为重要,是易考点,及难点． 122b a -244ac b a-24,02b b ac a-±-422m m --422m m --422m m -422m m -2b a -11211222(1)21m m m m m +-+==+---1121m +-121121m +-1121m +-122b a -2b a -2b a-2b a -a2．已知二次函数的图象如图所示,且关于的一元二次方程没有实数根,有下列结论：①②③④其中,正确的是结论的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4[答案]C[解析][分析] 由抛物线与x 轴的交点可判断①；由对称轴x=可知A B ＜0,再由图像可知C ＞0,据此可判断②；由抛物线对称即可判断③；关于的一元二次方程没有实数根,即为二次函数与y=m 无交点,据此判断④.[详解]解：由图可知抛物线与x 轴有两个交点,则△=,故①正确；由对称轴x=可知A B ＜0,再由图像可知C ＞0,则,故②正确；抛物线对称轴x=,则2A +B =0,故③错误；由题意可知二次函数与y=m 无交点,由图可知,当m ＞2时,两者无交点,故m ＞2,故④正确.正确的是①②④,故选择C .[点评]本题考查了二次函数的性质及与一元二次方程的关系.3．如图,抛物线y=-x 2+mx 的对称轴为直线x=2,若关于x 的-元二次方程-x 2+mx-t=0 (t 为实数)在l<x<3的范围内有解,则t 的取值范围是( )()20y ax bx c a =++≠x 20ax bx c m ++-=240b ac ->0abc <20a b +<2m>12b a-=x 20ax bx c m ++-=2y ax bx c =++240b ac ->12b a -=0abc <12b a-=2y ax bx c =++A ．-5<t≤4B ．3<t≤4C ．-5<t<3D ．t>-5 [答案]B[解析][分析] 先利用抛物线的对称轴方程求出m 得到抛物线解析式为y=-x 2+4x,配方得到抛物线的顶点坐标为(2,4),再计算出当x=1或3时,y=3,结合函数图象,利用抛物线y=-x 2+4x 与直线y=t 在1＜x ＜3的范围内有公共点可确定t 的范围．[详解]∵ 抛物线y=-x 2+mx 的对称轴为直线x=2,∴, 解之：m=4,∴y=-x 2+4x,当x=2时,y=-4+8=4,∴顶点坐标为(2,4),∵ 关于x 的-元二次方程-x 2+mx-t=0 (t 为实数)在l<x<3的范围内有解,当x=1时,y=-1+4=3,当x=2时,y=-4+8=4,222(1)b m a -=-=⨯-故选：B[点评]本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=A x2+B x+C (A ,B ,C 是常数,A ≠0)与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．4．如图,在△A B C 中,∠B =90°,A B =6C m,B C =12C m,动点P从点A 开始沿边A B 向B 以1C m/s的速度移动(不与点B 重合),动点Q从点B 开始沿边B C 向C 以2C m/s的速度移动(不与点C 重合)．如果P、Q 分别从A 、B 同时出发,那么经过()秒,四边形A PQC 的面积最小．A ．1B ．2C ．3D ．4[答案]C[解析][分析]根据等量关系“四边形A PQC 的面积=三角形A B C 的面积-三角形PB Q的面积”列出函数关系求最小值．[详解]解：设P、Q同时出发后经过的时间为ts,四边形A PQC 的面积为SC m2,则有：S=S△A B C -S△PB Q=1 2×12×6-12(6-t)×2t=t2-6t+36=(t-3)2+27．∴当t=3s时,S取得最小值．[点评]本题考查了函数关系式的求法以及最值的求法,解题的关键是根据题意列出函数关系式,并根据二次函数的性质求出最值．5．已知抛物线y=A x2+B x+C 的顶点为(－3,－6),有以下结论：①当A ＞0时,B 2＞4A C ；②当A ＞0时,A x2+B x+C ≥-6；③若点(－2,m) ,(-5,n) 在抛物线上,则m＜n；④若关于x 的一元二次方程A x2+B x+C =-4的一根为－5,则另一根为－1．其中正确的是( )A ．①②B ．①③C ．②③④D ．①②④[答案]D[解析][分析]①利用抛物线与x轴的交点个数可对①进行判断；②利用抛物线的顶点坐标可对②进行判断；③由顶点坐标得到抛物线的对称轴为直线x＝﹣3,则根据二次函数的增减性可对③进行判断；④根据抛物线的对称性：得到抛物线y＝A x2+B x+C 上的对称点(﹣1,﹣4),则可对④进行判断．[详解]①如图1,当A ＞0,顶点为(﹣3,﹣6)时,与x轴有两个交点,所以△＞0,即B 2＞4A C ；故①正确；②如图1,当A ＞0时,则y≥﹣6,∴A x2+B x+C ≥﹣6；故②正确；③∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣3,∴点(﹣2,m)与(﹣4,m)是对称点,当A ＞0时,x＜﹣3时,y随x的增大而减小,当A ＜0时,x＜﹣3时,y随x的增大而增大,而点(﹣2,m),(﹣5,n)在抛物线上,所以m与n的大小不能确定；故③错误；④如图2,若关于x的一元二次方程A x2+B x+C ＝﹣4的一根为﹣5,由对称性可得：另一根为﹣1．所以④正确．其中正确的是：①②④．[点评]本题考查了二次函数图象与系数的关系,二次函数图象上点的坐标特征,抛物线与x 轴的交点,二次函数与不等式的关系．6．一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )．A ．B ．C ．D ．[答案]C[解析][分析]逐一分析四个选项,根据二次函数图象的开口方向以及对称轴与y 轴的位置关系,即可得出A 、B 的正负性,由此即可得出一次函数图象经过的象限,即可得出结论．[详解]A . ∵二次函数图象开口向下,对称轴在y 轴左侧,∴A <0,B <0,(0)y ax b a =+≠2(0)y ax bx c a =++≠∴一次函数图象应该过第二、三、四象限,故本选项错误；B . ∵二次函数图象开口向上,对称轴在y 轴右侧,∴A >0,B <0,∴一次函数图象应该过第一、三、四象限,故本选项错误；C . ∵二次函数图象开口向下,对称轴在y 轴左侧,∴A <0,B <0,∴一次函数图象应该过第二、三、四象限,故本选项正确；D . ∵二次函数图象开口向下,对称轴在y 轴左侧,∴A <0,B <0,∴一次函数图象应该过第二、三、四象限,故本选项错误．故选C ．[点评]本题主要考查二次函数图象与一次函数图象的综合,掌握二次函数与一次函数系数与图象的关系,是解题的关键．7．在同一平面直角坐标系中,反比例函数y (B ≠0)与二次函数y ＝A x 2+B x (A ≠0)的图象大致是( ) A ． B ．C ．D ．b x[答案]D[解析][分析]直接利用二次函数图象经过的象限得出A ,B 的值取值范围,进而利用反比例函数的性质得出答案．[详解]A 、抛物线y ＝A x 2+B x 开口方向向上,则A >0,对称轴位于轴的右侧,则A ,B 异号,即B <0．所以反比例函数y 的图象位于第二、四象限,故本选项错误； B 、抛物线y ＝A x 2+B x 开口方向向上,则A >0,对称轴位于轴的左侧,则A ,B 同号,即B >0．所以反比例函数y 的图象位于第一、三象限,故本选项错误；C 、抛物线y ＝A x 2+B x 开口方向向下,则A <0,对称轴位于轴的右侧,则A ,B 异号,即B >0．所以反比例函数y 的图象位于第一、三象限,故本选项错误；D 、抛物线y ＝A x 2+B x 开口方向向下,则A <0,对称轴位于轴的右侧,则A ,B 异号,即B >0．所以反比例函数y 的图象位于第一、三象限,故本选项正确； 故选D ．[点评]本题考查了反比例函数的图象以及二次函数的图象,要熟练掌握二次函数,反比例函数中系数与图象位置之间关系．8．加工爆米花时,爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下,可食用率p 与加工时间t (单位：分钟)满足的函数关系p ＝A t 2+B t +C (A ,B ,C 是常数),如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据,可得到最佳加工时间为( )y b x=y b x=y b x=y b x=A ．4.25分钟B ．4.00分钟C ．3.75分钟D ．3.50分钟[答案]C[解析][分析] 根据题目数据求出函数解析式,根据二次函数的性质可得．[详解]根据题意,将(3,0.7)、(4,0.8)、(5,0.5)代入p=A t 2+B t+C ,得：解得：A =−0.2,B =1.5,C =−2,即p=−0.2t 2+1.5t−2,当t=−=3.75时,p 取得最大值, 故选C .[点评]本题考查了二次函数的应用,熟练掌握性质是解题的关键.9．已知二次函数y ＝A x 2+B x +C (A ＞0)的图象经过(0,1),(4,0),当该二次函数的自变量分别取x 1,x 2(0＜x 1＜x 2＜4)时,对应的函数值是y 1,y 2,且y 1＝y 2,设该函数图象的对称轴是x ＝m ,则m 的取值范围是( ) A ．0＜m ＜1B ．1＜m ≤2C ．2＜m ＜4D ．0＜m ＜4[答案]C[解析][分析]根据二次函数图象上点的坐标特征即可求得．[详解] 930.71640.82550.5a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩1.5-0.22⨯解：当A ＞0时,抛物线开口向上,则点(0,1)的对称点为(x0,1),∴x0＞4,∴对称轴为x=m中2＜m＜4,故选C ．[点评]本题考查了二次函数的性质,二次函数图象上点的坐标特征,画出草图更直观．10．二次函数y＝A x2+B x+C 的图象如图所示,根据图象可得A ,B ,C 与0的大小关系是()A ．A ＞0,B ＜0,C ＜0 B ．A ＞0,B ＞0,C ＞0C ．A ＜0,B ＜0,C ＜0D ．A ＜0,B ＞0,C ＜0[答案]D[解析][分析]由抛物线的开口方向判断A 的符号,由抛物线与y轴的交点判断C 的符号,然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理,进而对所得结论进行判断．[详解]解：由抛物线的开口向下知A ＜0,与y 轴的交点为在y 轴的负半轴上,∴C ＜0,∵对称轴为x ＝＞0, ∴A 、B 异号,即B ＞0．故选：D ．[点评]本题考查了二次函数一般形式y=A x 2+B x+C 中各系数的意义,掌握A ,B ,C 意义是解题关键. 11．如图1,菱形纸片A B C D 的边长为2,∠A B C =60°,将菱形A B C D 沿EF,GH 折叠,使得点B ,D 两点重合于对角线B D 上一点P(如图2),则六边形A EFC HG 面积的最大值是( )ABC ．2﹣D ．1+[答案]A[解析][分析]由六边形A EFC HG 面积＝菱形A B C D 的面积﹣△EB F 的面积﹣△GD H 的面积．得出函数关系式,进而求出最大值．[详解]六边形A EFC HG 面积＝菱形A B C D 的面积﹣△EB F 的面积﹣△GD H 的面积． 2b a∵菱形纸片A B C D 的边长为2,∠A B C ＝60°,∴A C ＝2,∴B D ＝∴S菱形A B C DA C •B D2×设A E＝x,则六边形A EFC HG面积＝(2﹣x)﹣x)x•x2(x﹣1)2∴六边形A EFC HG故选A ．[点评]本题考查了翻折变换(折叠问题),二次函数最值问题,本题关键是设出未知数表示六边形面积,把图形问题转化为函数问题,有一定的难度．12．如图,二次函数y=A x2+B x+C (A ≠0)的图象与x轴交于点A 、B 两点,与y轴交于点C ,对称轴为直线x=-1,点B 的坐标为(1,0),则下列结论：①A B =4；②B 2-4A C ＞0；③A B ＜0；④A 2-A B +A C ＜0,其中正确的结论有()个．A ．3B ．4C ．2D ．1[答案]A[解析][分析]利用抛物线的对称性可确定A 点坐标为(-3,0),则可对①进行判断；利用判别式的意义和抛物线与x轴有2个交点可对②进行判断；由抛物线开口向下得到A ＞0,再利用对称轴方程得到B =2A ＞0,则可对③进行判12=12=⨯=12⨯12-2=-+=+断；利用x=-1时,y ＜0,即A -B +C ＜0和A ＞0可对④进行判断．[详解]∵抛物线的对称轴为直线x=-1,点B 的坐标为(1,0),∴A (-3,0),∴A B =1-(-3)=4,所以①正确；∵抛物线与x 轴有2个交点,∴△=B 2-4A C ＞0,所以②正确；∵抛物线开口向下,∴A ＞0,∵抛物线的对称轴为直线x=-=-1, ∴B =2A ＞0,∴A B ＞0,所以③错误；∵x=-1时,y ＜0,∴A -B +C ＜0,而A ＞0,∴A (A -B +C )＜0,所以④正确．故选A ．[点评]本题考查了抛物线与x 轴的交点：对于二次函数y=A x 2+B x+C (A ,B ,C 是常数,A ≠0),△=B 2-4A C 决定抛物线与x 轴的交点个数：△=B 2-4A C ＞0时,抛物线与x 轴有2个交点；△=B 2-4A C =0时,抛物线与x 轴有1个交点；△=B 2-4A C ＜0时,抛物线与x 轴没有交点．也考查了二次函数的性质．二、填空题2b a13．当时,二次函数有最大值4,则实数的值为________．[答案]2或[解析][分析]求出二次函数对称轴为直线x=m,再分m ＜-2,-2≤m≤1,m ＞1三种情况,根据二次函数的增减性列方程求解即可．[详解] 解：二次函数的对称轴为直线x=m,且开口向下,①m ＜-2时,x=-2取得最大值,-(-2-m)2+m 2+1=4,解得, , ∴不符合题意,②-2≤m≤1时,x=m 取得最大值,m 2+1=4,解得所以③m＞1时,x=1取得最大值,-(1-m)2+m 2+1=4,解得m=2,综上所述,m=2或,二次函数有最大值．故答案为：2或[点评]本题考查了二次函数的最值,熟悉二次函数的性质及图象能分类讨论是解题的关键．21x -≤≤22()1y x m m =--++m 22()1y x m m =--++7m 4=-724->-m =m =14．若A (－,y 1)、B (,y 2)、C (3,y 3)为二次函数y=－x 2－4x+5的图象上的三点,则y 1、y 2、y 3的大小关系是_________(用“＜”连接)．[答案]<[解析][分析]先求出二次函数对称轴,再根据二次函数的增减性从点到对称轴的距离的大小考虑求解．[详解]对称轴为直线 ∵A=−1<0,∴当x <−2时,y 随x 的增大而增大,当x >−2时,y 随x 的增大而减小,∵∴<故答案为：<[点评]考查抛物线上点的坐标特征以及二次函数的性质,求出二次函数的对称轴,根据二次函数的增减性进行求解即可.15．若抛物线C 1：y ＝x 2+mx+2与抛物线C 2：y ＝x 2﹣3x+n 关于y 轴对称,则m+n ＝_____．13431y y <2y ()42221b x a -=-=-=-⨯-，1313522444⎛⎫---=-+= ⎪⎝⎭，()22-=，()32325--=+=，31y y <2y 31y y <2y[答案]5．[解析][分析]根据关于y轴对称的点的坐标规律,将解析式中的x换成-x,y不变,化简即可得出答案.[详解]抛物线C 1：y＝x2+mx+2与抛物线C 2：y＝x2﹣3x+n关于y轴对称x2+mx+2=(-x)2-3(-x)+n= x2+3x+nm=3,n=2m+n=3+2=5故答案为5[点评]本题考查了二次函数图像与几何变换,掌握关于y轴对称的点的坐标规律是解题的关键.16．抛物线y＝n(n+1)x2﹣(3n+1)x+3与直线y＝﹣nx+2的两个交点的横坐标分别是x1、x2,记D n＝|x1﹣x2|,则代数式D 1+D 2+D 3+…+D 2018的值为__．[答案]20182019[解析][分析]联立抛物线和直线的解析式,求得两个交点的横坐标,然后观察D n表达式的规律,根据规律进行求解即可．[详解]依题意,联立抛物线和直线的解析式有:n(n+1)x2−(3n+1)x+3=−nx+2,整理得：n(n+1)x2−(2n+1)x+1=0,解得x1=1n ,x2=1n+1；∴∴∴所以当n 为正整数时,D n =1n -1n+1,故代数式D 1+D 2+D 3+…+D 2018=1−12+12-13+.......+12018-12019=1-12019=20182019故答案为：20182019[点评]本题考查了二次函数的综合题,解题的关键是观察规律.三、解答题17．已知二次函数． (1)该二次函数图象的对称轴是；(2)若该二次函数的图象开口向上,当时,函数图象的最高点为,最低点为,点的纵坐标为,求点和点的坐标； (3)对于该二次函数图象上的两点,,设,当时,均有,请结合图象,直接写出的取值范围．[答案](1)x=1;(2),;(3) [解析][分析](1)二次函数的对称轴为直线x=-,带入即可求出对称轴, (2)在区间内发现能够取到函数的最低点,即为顶点坐标,当开口向上是,距离对称轴越远,函数值越大,所以当x=5时,函数有最大值.(3)分类讨论,当二次函数开口向上时不满足条件,所以函数图像开口只能向下,且应该介于-1和3之间,才会使,解不等式组即可.[详解]()2220y ax ax a =--≠15x -≤≤M N M 112M N ()11,A x y ()22,B x y 11t x t ≤≤+23x ≥12y y ≥t 11 5,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭5 1,2N ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 12t -≤≤2b a1x 12y y ≥(1)该二次函数图象的对称轴是直线； (2)∵该二次函数的图象开口向上,对称轴为直线,,∴当时,的值最大,即． 把代入,解得． ∴该二次函数的表达式为． 当时,, ∴． (3)易知A 0,∵当时,均有,∴,解得∴的取值范围．[点评]本题考查了二次函数的对称轴,定区间内求函数值域,以及二次函数图像的性质,难度较大,综合性强,熟悉二次函数的单调性是解题关键.18．随着地铁和共享单车的发展,“地铁＋单车”已成为很多市民出行的选择．李华从文化宫站出发,先乘坐地铁,准备在离家较近的A ,B ,C ,D ,E 中的某一站出地铁,再骑共享单车回家．设他出地铁的站点与文化宫站的距离为(单位：km),乘坐地铁的时间(单位：min)是关于的一次函数,其关系如下表：212a x a==1x =15x -≤≤5x =y 115,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭115,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭222y ax ax =--12a =2122y x x =--1x =52y =-51,2N ⎛⎫- ⎪⎝⎭<23x ≥12y y ≥113t t ≥-⎧⎨+≤⎩12t -≤≤t 12t -≤≤x 1y x(1)求关于的函数解析式；(2)李华骑单车的时间(单位：min)也受的影响,其关系可以用=2-11＋78来描述．求李华应选择在哪一站出地铁,才能使他从文化宫站回到家所需的时间最短,并求出最短时间．[答案](1) y 1=2x ＋2 ；(2) 李华应选择在B 站出地铁,才能使他从文化宫站回到家所需的时间最短,最短时间为39.5 min[解析][分析](1)将(7,16),(9,20)代入一次函数解析式,便可求解．(2)回到家所需的时间为y,则y =y 1＋y 2,y = =x 2-9x ＋80配方便可解决． [详解]解：(1)设y 1关于x 的函数解析式为y 1=kx ＋B .将(7,16),(9,20)代入, 得解得∴y 1关于x 的函数解析式为y 1=2x ＋2. (2)设李华从文化宫站回到家所需的时间为y min,y =y 1＋y 2则y =y 1＋y 2=2x ＋2＋x 2-11x ＋78=x 2-9x ＋80= (x -9)2＋39.5. ∴当x =9时,y 取得最小值,最小值为39.5. 所以李华应选择在B 站出地铁,才能使他从文化宫站回到家所需的时间最短,最短时间为39.5 min.[点评]本题考查利用待定系数求函数表达式,代入点便可求出,配方法的解决最值问题常用的方法,掌握即可． 19．如图,在矩形A B C D 中,,,,点P 从点E 出发,沿EB1y x 2y x 2y 12x x 12716920k b k b +=⎧⎨+=⎩22k b =⎧⎨=⎩1212124AB CD cm ==6AD BC cm ==3AE DE cm ==方向匀速运动,速度为1C m/s ；同时,点Q 从点C 出发,沿C D 方向匀速运动,速度为2C m/s,连接PQ,设运动时间为t(s)(),解答下列问题：(1)当t 为何值时,？(2)设四边形PB C Q 的面积为y(C m 2),求y 与t 的函数关系式；(3)是否存在某一时刻t,使四边形PB C Q 的面积是四边形PQD E 的面积的4倍？若存在,求出t 的值；若不存在,说明理由.(4)连接B D ,点O 是B D 的中点,是否存在某一时刻t,使P,O,Q 在同一直线上？若存在,求出t 的值；若不存在,说明理由.[答案](1)；(2)；(3)存在. (4)不存在,详见解析. [解析][分析]根据题意可知(1)根据勾股定理可得出B E 的值,再由平行线分线段成比例可得出答案.(2)根据三角形相似对应边成比例可得到B F 与PF 的值,再利用面积的和得出结论.(3)先求出梯形B C D E 的面积,进而得到四边形B C QP 的面积,建立方程联系进行求解(4)分别讨论当点P 在点O 上方和下方两种情况,利用平行线分线段成比例,建立联系,进行证明.[详解]解：(1)由题意,得,,.在Rt △A B E 中,,,∴.02t <<//PQ BC 107t =2331255y t t =++t =PE DQ BE CD=90A ∠=︒EP tcm =2QC tcm =4AB cm =3AE cm=5cm BE ==则.若.则,即,∴. (2)如图,过点P 作,则,∴.又∵,∴. ∴,即, ∴,. ∴. ∴. . ∴y 与t 的函数关系式为. (3)存在.由题意,得 . ∵,∴, 5PB t cm =-（）//PQ BC EP DQ PB QC =4252t t t t -=-107t =PF BC ⊥//PFAB BPF EBA ∠=∠90BFP EAB ∠=∠=︒BPF EBA BF BP PF EA EB BA ==5354BF PF ι-==3(5)cm 5t BF -=4(5)cm 5t PF -=3(5)3(5)6cm 55t t CF BC BF -+=-=-=11()22PBF OQPF y S S BF PF CQ PF =+=⋅++梯形213(5)4(5)14(5)3(5)33[2]1225525555t t t t CF t t t ---+=⨯⨯++⋅=++2331255y t t =++14634182ABE ABCD BCDE S S S =-=⨯-⨯⨯=矩形四边形4PBCQ PQDE S S =四边形四边形23341218555t t ++=⨯解得(舍去),∴当时,四边形PB C Q 的面积是四动形PQD E 的面积的4倍. (4)不存在.理由：①当点P 在点O 上方,点Q 在点O 下方时,如图1,延长QO 至点Q'易得,过点P 作于点M,∴,∴,即.. ∵,但实际,∴此时不存在. ②当点P 在点O 下方,点Q 在点O 上方时,如图2,延长QO 交A B 于点Q',作于点G,于点H.则,. ∵,∴,. 易证,1t =2t =t ='2AQ CQ tcm ==PM AE ⊥//PM AB PM EF AB EB =45PM t =4cm 5PM t =425t t <'PM AQ >OG AB ⊥PH AB ⊥12cm 2BG AB ==132OG AD cm ==5PB t cm =-（）33(5)3cm 55PH t t ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭44(5)4cm 55BH t t ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭(42)cm BQ DQ t '==-∴, ,易证,∴, ∴,即,∴,∴方程无解,∴不存在.综上所述,不存在某一时刻t,使P,O,Q 在同一直线上.[点评]本题综合性较强,做该类试题时,应该充分利用题干信息,灵活运用所学几何性质定理,且辅助线务必正确简明,分情况讨论,不漏解.20．某山西特产专卖店销售某种核桃,原来平均每天可销售200千克,每千克可盈利6元,为减少库存,经市场调查,如果这种核桃每千克降价1元,则每天可多售出20千克．(1)设每千克核桃降价x 元,平均每天盈利y 元,试写出y 关于x 的函数解析式；(2)若要销售这种核桃平均每天盈利960元,则每千克应降价多少元？[答案](1)y ＝－20x 2－80x ＋1 200. (2)2.[解析][分析](1)由题意,每千克核桃降价x 元则可出售(200＋20x)千克,获利(6－x),则可列y ＝(200＋20x)(6－x),化简即可；(2)令y ＝960,再解出x 即可.[详解]解：(1)根据题意,可得y ＝(200＋20x)(6－x)．464(42)cm 55t HQ BH BQ t t ''=-=---=2(42)(22)cm GQ BG BQ t t ''=-=--=-''Q HP Q GO PH HQ OG GQ''=36355322t t t -=-2350t t -+=110=-<化简,得y＝－20x2－80x＋1200.(2)当y＝960时,－20x2－80x＋1200＝960.即(x＋2)2＝16.解得x1＝2,x2＝－6(舍去)．答：要使平均每天盈利960元,则每千克应降价2元．[点评]此题主要考察二次函数的应用,根据题意列出式子是解题的关键.21．某超市销售一种水果,迸价为每箱40元,规定售价不低于进价．现在的售价为每箱72元,每月可销售60箱．经市场调查发现：若这种牛奶的售价每降低2元,则每月的销量将增加10箱,设每箱水果降价x元(x为偶数),每月的销量为y箱．(1)写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围．(2)若该超市在销售过程中每月需支出其他费用500元,则如何定价才能使每月销售水果的利润最大？最大利润是多少元？[答案](1)y＝60+5x,(0≤x≤32,且x为偶数)；(2)售价为62元时,每月销售水果的利润最大,最大利润是1920元．[解析][分析]x5x(1)根据价格每降低2元,平均每月多销售10箱,由每箱降价元,多卖,据此可以列出函数关系式；(2)由利润=(售价−成本)×销售量−每月其他支出列出函数关系式,求出最大值.[详解]解：(1)根据题意知y＝60+5x,(0≤x≤32,且x为偶数)；(2)设每月销售水果的利润为w,则w＝(72﹣x﹣40)(5x+60)﹣500＝﹣5x2+100x+1420＝﹣5(x﹣10)2+1920,。

2020-2021学年度人教版九年级上册数学第二十二章《二次函数》综合过关测试卷(含答案)

2020-2021学年度人教版九年级上册数学第二十二章《二次函数》综合过关测试卷(含答案)

流落地点 B 离墙距离 OB 是 ( )
第 6 题图
第 8 题图
第 10 题图
A.2m
B.3m
C.4m
D.5m
7．在同一平面直角坐标系中，函数 y＝ax2＋bx 与 y＝bx＋a 的图象可能是( )
8．如图,在平面直角坐标系中,抛物线所表示的函数表达式为 y=-2(x-h)2+k,则
下列结论正确的是 ( )
A.h>0,k>0 B.h<0,k>0
C.h<0,k<0
D.h>0,k<0
9．向空中发射一枚炮弹，经 x 秒后的高度为 y 米，且时间与高度的关系式为
y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．若此炮弹在第 6 秒与第 14 秒时的高度相等，则在下列时
间中炮弹所在高度最高的是( )
A．第 8 秒 B．第 10 秒 C．第 12 秒 D．第 14 秒
,当 k=
时,y 随 x 的增大而减小.
时,它的图象是开口向下的抛物线;此时当 x
13．若抛物线 y=(x+a)2+a-1 的顶点在第二象限,则 a 的取值范围是
.
14．如图,已知二次函数 y=x2+bx+c 的图象经过点(-1,0),(1,-2),当 y 随 x 的增
大而增大时,x 的取值范围是________.
25．某跳水运动员进行 10m 跳台跳水训练时,身体(看成一点)在空中运动路线是 如图所示坐标系下经过原点 O 的一条抛物线(图中标出的数据为已知条件).在跳 某个规定动作时,正常情况下该运动员在空中的最高处 A 点距水面 10 m,入水处 B 点距池边的距离为 4m,同时运动员在距水面高度为 5m 以前,必须完成规定的翻 腾动作,并调整好入水的姿势,否则就会出现失误. 世纪金榜导学号 26534313

人教版数学教材九年级上册《二次函数的图象和性质》综合测试题

人教版数学教材九年级上册《二次函数的图象和性质》综合测试题

《二次函数的图象和性质》综合检测题附参照答案一．选择题（每题 4 分，共 40 分）1、抛物线 y=x2-2x+1 的对称轴是（）A．直线 x=1B．直线 x=-1C．直线 x=2D．直线 x=-22、（2008 年武汉市）以下命题：①若 a b c0 ，则b24ac 0 ；②若 b a c ，则一元二次方程ax2bx c0 有两个不相等的实数根；③若 b2a3c ，则一元二次方程ax2bx c 0 有两个不相等的实数根；④若 b24ac0 ，则二次函数的图像与坐标轴的公共点的个数是2或3.此中正确的选项是（）．A．只有①②③ B．只有①③④ C．只有①④ D．只有②③④．3、对于y2(x 3)2 2 的图象以下表达正确的选项是（）A．极点坐标为 (－3， 2)B．对称轴为 y=3C．当 x 3 时y随x增大而增大D．当 x 3 时y随x增大而减小4、（2008 年湖北省仙桃市潜江市江汉油田）如图，抛物线y ax 2bx c(a 0)的对称轴是直线 x 1，且经过点P（ 3，0），则 a b c 的值为（）A．0B．－ 1C．1D．2y3P–1O 13 x5、函数 y=ax2(a≠ 0)的图象经过点 (a，8)，则 a 的值为（）A．±2B．－2C．2D．36、自由落体公式 h= 1gt2(g 为常量 )， h 与 t 之间的关系是（）2A．正比率函数B．一次函数C．二次函数D．以上答案都不对7、以下结论正确的选项是（）A． y=ax2是二次函数B．二次函数自变量的取值范围是全部实数C．二次方程是二次函数的特例D．二次函数的取值范围是非零实数8、以下函数关系中，能够看作二次函数2（ a0 ）模型的是（）y ax bx cA．在必定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系B．我国人口年自然增加率为1%，这样我国人口总数随年份的变化关系C．竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计空气阻力）D．圆的周长与圆的半径之间的关系9、对于随意实数 m，以下函数必定是二次函数的是（）A．y (m 1)2x2B．y (m 1)2x2C．y (m21)x 2D．y (m21) x 210、二次函数y=x2图象向右平移 3 个单位，获取新图象的函数表达式是（）A． y=x2+3B．y=x 2-3C． y=（x+3）2D．y=（x-3）2第Ⅱ卷（非选择题，共80 分）二、填空题（每题 4 分，共 40 分）11、某工厂第一年的利润是20 万元，第三年的利润是y 万元，与均匀年增加率x之间的函数关系式是。

九年级数学上册第二十二章《二次函数》测试卷-人教版(含答案)

九年级数学上册第二十二章《二次函数》测试卷-人教版(含答案)

九年级数学上册第二十二章《二次函数》测试卷-人教版（含答案）考试范围:全章综合测试 参考时间:120分钟 满分:120分一、选择题(每小题3分，共30分)1.对于函数y ＝5x 2，下列结论正确的是（ ）A . y 随x 的增大而增大B . 图象开口向下C .图象关于y 轴对称D .无论x 取何值，y 的值总是正的 【答案】C .详解：a ＝5＞0，开口向上，对称轴为y 轴，在y 轴左侧，y 随x 的增大而减小，在y 轴的右侧， y 随x 的增大而增大，当x ＝0时，y ＝0. 故A 错，B 错，C 对，D 错，∴答案选C . 2.二次函数y ＝x 2－4x 的图象的对称轴是（ ）A . x ＝4B . x ＝－4C . x ＝－2D . x ＝2 【答案】D .详解：a ＝1，b ＝－4，由对称轴公式，对称轴为x ＝－2ba＝2，故选D . 3.二次函数y ＝2(x ＋1)2－3的图象的顶点坐标是（ ）A . (1，3)B . (－1，3)C . (1，－3)D .(－1，－3) 【答案】D .详解：知识点：抛物线的顶点式为y ＝a (x －h )2＋k ，顶点坐标为(h ，k ).4.进入夏季后，某电器商场为减少库存，对电热取暖器连续进行两次降价. 若设平均每次降价的 百分率是x ，降价后的价格为y 元，原价为a 元，则y 与x 之间的函数关系式为（ ） A . y ＝2a (x －1) B . y ＝2a (1－x ) C . y ＝a (1－x 2) D . y ＝a (1－x )2 【答案】D .详解：第一次降价后的价格为a (1－x )元，第二次降价后的价格为a (1－x )2，故选D . 5.用配方法将函数y ＝x 2－2x ＋2写成y ＝a (x －h )2＋k 的形式是（ ）A . y ＝(x －1)2＋1B . y ＝(x －1)2－1C . y ＝(x －1)2－3D . y ＝(.x ＋1)2－1 【答案】A .详解：y ＝x 2－2x ＋2＝(x 2－2x ＋1)＋1＝(x －1)2＋1，故选A .6.把抛物线y ＝2x 2绕原点旋转180°，再向右平移1个单位长度，向下平移2个单位长度，所得 的抛物线的函数表达式为（ ）A . y ＝2(x －1)2－2B . y ＝2(x ＋1)2－2C . y ＝－2(x －1)2－2D . y ＝－2(.x ＋1)2－2 【答案】C .详解：原抛物线的顶点为(0，0)，旋转180°后，开口向下，顶点为(0，0)，两次平移后的 顶点为(1，－2)，故答案为y ＝－2(x －1)2－2.7. 在比赛中，某次羽毛球的运动路线可以看作是抛物线y＝－14x2＋bx＋c的一部分(如图)，其中出球点B离地面O点的距离是1m，球落地点A到O点的距离是4m，那么这条抛物线的解析式是（）A. y＝－14x2＋34x＋1 B. y＝－14x2＋34x－1C. y＝－14x2－34x＋1 D. y＝－14x2－34x－1【答案】A.详解：依题意，点B的坐标为(0，1)，点A的坐标为(4，0)，把A( 4，0)，B(0，1)代入y＝－14x2＋bx＋c，解得b＝34，c＝1，故选A.另法：由B(0，1)，可排除B、D，根据“左同右异”的规律，可排除C.8.抛物线y＝ax2－2ax＋c经过点A(2，4)，若其顶点在第四象限，则a的取值范围为（）A. a＞4B. 0＜a＜4C. a＞2D. 0＜a＜2【答案】A.详解：把A(2，4)代入，得c＝4，∴y＝ax2－2ax＋4＝a(x－1)2＋4－a，顶点为(1，4－a)，∵顶点在第四象限，∴4－a＜0，∴a＞4.9.飞机着陆后滑行的距离y(m)关于滑行时间t(s)的函数解析式是y＝60t－32t2，飞机着陆至停下来共滑行（）A. 20米B. 40米C. 400米D. 600米【答案】D.详解：配方得y＝－32(t－20)2＋600，∴当t＝20时，y取得最大值600，即飞机着陆后滑行600米才能停下来.10. 如图，抛物线y＝－2x2＋mx＋n与x轴交于A、B两点. 若线段AB的长度为4，则顶点C到x轴的距离为（）A. 6B. 7C. 8D. 9【答案】C.详解：令y＝0，得－2x2＋mx＋n＝0，解得x＝284m m n ±+.∴AB＝|x1－x2|＝282m n+=4，∴m2＋8n＝64.∴244ac ba-＝24(2)4(2)n m---＝288m n+＝8，故答案选C.二、填空题(每小题3分，共18分)11.抛物线y ＝2x 2－4的顶点坐标是___________. 【答案】(0，－4).详解：a ＝2，b ＝0，c ＝－4，开口向上，对称轴为y 轴，顶点为(0，－4).12. 若方程ax 2＋bx ＋c ＝0的解为x 1＝－2，x 2＝4，则二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴为______. 【答案】直线x ＝1. 详解：x ＝242-+＝1. 13.如图，抛物线y ＝a (x －2)2＋k (a 、k 为常数且a ≠0)与x 轴交于点A 、B 两点， 与y 轴交于点C ，过点C 作CD ∥x 轴与抛物线交于点D . 若点A 坐标为 (－2，0)，则OBCD的值为_________. 【答案】32.详解：抛物线的对称轴为x ＝2，C 在y 轴上，∴CD ＝4.又∵A (－2，0)，∴B (6，0)，∴OB ＝6. ∴6342OB CD ==. 14.如图，Rt △OAB 的顶点A (－2，4)在抛物线y ＝ax 2上，将Rt △OAB 向右 平移得到△O 1AB 1，平移后的O 1A 1与抛物线交于点P ，若P 为线段A 1O 1 的中点，则点P 的坐标为________. 【答案】P (2，2).详解：把A (－2，4)代入y ＝ax 2得a ＝1，∴y ＝x 2. ∵A (－2，4)，∴点A 1的纵坐标为4， ∵P 为O 1A 1的中点，∴点P 的纵坐标为2， 把y ＝2代入y ＝x 2，得x ＝±2. 取x ＝2，∴P (2，2).15.下列关于二次函数y ＝x 2－2mx ＋1(m 为常数)的结论： ①该函数的图象与函数y ＝－x 2＋2mx 的图象的对称轴相同； ②该函数的图象与x 轴有交点时，m ＞1；③该函数的图象的顶点在函数y ＝－x 2＋1的图象上；④点A (x 1，y 1)与点B (x 2，y 2)在该函数的图象上，若x 1＜x 2，x 1＋x 2＜2m ，则y 1＜y 2· 其中正确的结论是________________(填写序号). 【答案】①③.详解：对于①，根据对称轴公式，两抛物线对称轴均为x ＝m ，故①正确； 对于②，Δ＝b 2－4ac ＝4m 2－4≥0，∴m ≥1或m ≤－1，故②错； 对于③，y ＝x 2－2mx ＋1的顶点为(m ，－m 2＋1)，显然③正确； 对于④，抛物线的开口向上，对称轴为x ＝m ，∵x 1＋x 2＜2m ，∴122x x +＜m ，P O 1A 1B 1又∵x1＜x2，∴点A离对称轴的距离大于点B离对称轴的距离，∴y1＞y2，故④错；综上，正确的有①③.16.如图，抛物线y＝x2＋2x与直线y＝2x＋1交于A、B两点，与直线x＝2交于点D，将抛物线沿着射线AB方向平移25个单位. 在整个平移过程中，点D经过的路程为___________.【答案】738.详解：平移前，D(2，8)，∴直线AB的解析式为y＝2x ＋1，∴抛物线沿射线AB方程平移25个单位时，相当于抛物线向右平移了4个单位，向上平移了2个单位. ∵原抛物线顶点为M(－1，－1)，平移后的顶点为M′(3，1)，平移后的抛物线为y＝(x－3)2＋1，此时D′(2，2)，直线MM′的解析式为y＝12x－12，平移过程中，抛物线的顶点始终在y＝12x－12上，设顶点为(a，12a－12)，－1≤a≤3，抛物线的解析式为y＝(x－a)2＋12a－12，当x＝2时，y＝(2－a)2＋12a－12＝a2－72a＋72，即在平移过程中，抛物线与直线x＝2的交点的纵坐标为y＝a2－72a＋72，∵y＝a2－72a＋72＝(a－74)2＋716，∴当a＝74时，点D到达最低点，此时D(2，716)当a＝3时，y＝(x－3)2＋1，此时D(2，2)；观察图形，可知点D的运动路径为D(2，8)→D(2，716)→D(2，2)，路径长为(8－716)＋(2－716)＝738.三、解答题(共8题，共72分)17.(8分)通过配方，写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.(1) y＝x2－4x＋6；(2) y＝－4x2＋4x.【答案】(1) y＝x2－4x＋6＝x2－4x＋4＋2＝(x－2)2＋2，开口向上，对称轴为x＝2，顶点坐标为(2，2).(2) y＝－4x2＋4x＝－4(x2－x)＝－4(x2－x＋14－14)＝－4(x－12)2＋1，yxM‘MBAD2O开口向下，对称轴为x ＝12，顶点坐标为(12，1).18.(8分)二次函数的最大值为4，其图象的对称轴为x ＝2，且过点(1，2)，求此函数的解析式. 【答案】∵函数的最大值为4，图象的对称轴为x ＝2， ∴可设函数的解析式为y ＝a (x －2)2＋4，把(1，2)代入，得：a (1－2)2＋4＝2，解得a ＝－2， ∴函数的解析式为y ＝－2(x －2)2＋4.19.(8分)二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 图象上部分点的横坐标x 、纵坐标y 的对应值如下表： (1)求二次函数的表达式；(2)画出二次函数的示意图，结合函数图象， 直接写出y ＜0时自变量x 的取值范围. 【答案】(1) 把(0，3)，(1，0)代入y ＝x 2＋bx ＋c ， 得：310c b c =⎧⎨++=⎩，解得43b c =-⎧⎨=⎩，∴二次函数的表达式为y ＝x 2－4x ＋3；(2) 函数的图象如图所示，由图象，可知当1＜x ＜3时，y ＜0.20.(8分)二次函数的图象与直线y ＝x ＋m 交于x 轴上一点A (－1，0)， 图象的顶点为C (1，－4). (1)求这个二次函数的解析式；(2)若二次函数的图象与x 轴交于另一点B ，与直线 y ＝x ＋m 交于另一点D ，求△ABD 的面积. 【答案】(1)∵图象的顶点为C (1，－4)，可设抛物线的解析式为y ＝a (x －1)2－4， 把(－1，0)代入，得：4a －4＝0，∴a ＝1. ∴抛物线的解析式为y ＝(x －1)2－4， 即y ＝x 2－2x －3.(2)令y ＝0，得x 2－2x －3＝0，∴x 1＝－1，x 2＝3. ∴B (3，0). 把A (－1，0)代入y ＝x ＋m ，得m ＝1，∴y ＝x ＋1. 联立2123y x y x x =+⎧⎨=--⎩，解得1110x y =-⎧⎨=⎩，2245x y =⎧⎨=⎩，∴D (4，5). ∵A (－1，0)，B (3，0)，∴AB ＝4，x… 0 1 2 3 … y … 3 0 －1 0 …yx123O∴△ABD 的面积S ＝12×4×5＝10.21.(8分)如图，抛物线y ＝－12x 2＋52x －2与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C . (1)求△ABC 各顶点的坐标及△ABC 的面积；(2)过点C 作CD ∥x 轴交抛物线于点D . 若点P 在线段AB 上以 每秒1个单位长度的速度由点A 向点B 运动，同时点Q 在线 段CD 上以每秒1.5个单位长度的速度由点D 向点C 运动，问： 经过几秒时，PQ ＝AC ?【答案】(1)令y ＝0，得－12x 2＋52x －2＝0，得x 1＝1，x 2＝4. ∴A (1，0)，B (4，0).令x ＝0，得y ＝－2，∴C (0，－2).△ABC 的面积为S ＝12AB ·OC ＝12×3×2＝3.(2) 设经过t 秒后，PQ ＝AC . 则AP ＝t ，P (1＋t ，0) 抛物线的对称轴为x ＝2.5，∵C (0，－2)，∴D (5，－2). DQ ＝1.5t ，∴CQ ＝5－1.5t ，∴Q (5－1.5t ，－2).过P 作PH ⊥CQ 于H ，则PH ＝OC ，∵PQ ＝AC ，∴HQ ＝OA ＝1. 即|(1＋t )－(5－1.5t )|＝1，化简得|2.5t －4|＝1，解得t ＝2或65.所以，经过2秒或65秒时，PQ ＝AC .22. (10分)如图，有一面长为a m 的墙，利用墙长和30m 的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的长方形 花圃，设花圃的宽AB 为x m ，面积为S m 2. (1)当a ＝10时；①求S 与x 的关系式，并写出自变量x 的取值范围； ②如果要围成面积为48m 2的花圃，AB 的长是多少m ? (2)求长方形花圃的最大面积.【答案】(1) ①AB ＝CD ＝x ，BC ＝30－3x ， ∴S ＝x (30－3x )＝－3x 2＋30x ， 由0＜BC ≤a ，得0＜30－3x ≤10，∴203≤x ＜10. ② 令S ＝48，得－3x 2＋30x ＝48，即x 2－10x ＋16＝0，H30－3xxxx解得：x ＝8或2(舍)，∴AB 的长为8m . (2) S ＝－3x 2＋30x ＝－3(x －5)2＋75， ∵0＜30－3x ≤a ，∴10－3a≤x ＜10.∵抛物线开口向下，对称轴为x ＝5，1°当10－3a≤5时，即a ≥15，此时当x ＝5时，S 取得最大值75；2°当10－3a＞5，即0＜a ＜15，此时S 随x 的增大而减小，则当x ＝10－3a 时，S 的最大值为10a －13a 2.答：当a ≥15时，长方形花圃的最大面积为75m 2；当0＜a ＜15，长方形花圃的最大面积为(10a －13a 2)m 2.23.(10分)某小区内超市在“新冠肺炎”疫情期间，两周内标价为10元/斤的某种水果，经过两次 降价后的价格为8.1元/斤，并且两次降价的百分率相同. (1)求该种水果每次降价的百分率；(2)①从第一次降价的第1天算起，第x 天(x 为整数)的售价、销量及储存和损耗费用的 相关信息如表所示：已知该种水果的进价为4.1元/斤，设销售该水果第x (天)的利润为y (元)， 求y 与x (1≤x ＜15)之间的函数解析式，并求出第几天时销售利润最大.②在①的条件下，问这14天中有多少天的销售利润不低于330元，请直接写出结果. 【答案】(1) 设该种水果每次降价的百分率为x ，依题意，得： 10(1－x )2＝8.1，解得x ＝0.1或1.9(舍去). 答：该种水果每次降价的百分率为10%.(2) ① 当1≤x ＜9时，第一次降价后的价格为10(1－10%)＝9(元)， ∴y ＝(9－4.1)(80－3x )－(40＋3x )＝－17.7x ＋352，y 随x 的增大而减小，∴当x ＝1时，y 取得最大值为334.3(元)； 当9≤x ＜15时，第二次降价后的价格为8.1(元)，∴y ＝(8.1－4.1)(120－x )－(3x 2－64x ＋400)＝－3x 2＋60x ＋80＝－3(x －10)2＋380， 图象的开口向下，当x ＝10时，y 取得最大值为380(元)＞334.3(元).时间x (天) 1≤x ＜9 9≤x ＜15 售价(元/斤) 第1次降价后的价格第2次降价后的价格销量(斤) 80－3x 120－x 储存和损耗费用(元)40＋3x3x 2－64x ＋400综上，第10天时销售利润最大. ②7天.提示：当1≤x ＜9时，y ＝－17.7x ＋352≥330，解得x ≤220177， ∵x 为正整数，∴x ＝1；当9≤x ＜15时，y ＝－3(x －10)2＋380≥330，解得10－563≤x ≤10＋563， ∵x 为正整数，9≤x ＜15，∴x ＝9，10，11，12，13，14，共6天； 1＋6＝7，故一共有7天.24.(12分)直线y ＝kx ＋k ＋2与抛物线y ＝12x 2交于A 、B 两点(A 在B 的左侧). (1)直线AB 经过一个定点M ，直接写出M 点的坐标；(2)如图1，点C (－1，m )在抛物线上，若△ABC 的面积为3，求k 的值；(3)如图2，分别过A 、B 且与抛物线只有唯一公共点的两条直线交于点P ，求OP 的最小值. 【答案】(1) M (－1，2)；提示：y ＝k (x ＋1)＋2， 直线AB 过定点，令x ＋1＝0， 得y ＝2，∴定点为M (－1，2). (2) 过C 作CD ∥y 轴交AB 于D ，把C (－1，m )代入y ＝12x 2，得C (－1，12).把x ＝－1代入y ＝kx ＋k ＋2，得D (－1，2)， ∴CD ＝2－12＝32.联立2212y kx k y x =++⎧⎪⎨=⎪⎩，得x 2－2kx －(2k ＋4)＝0， 设点A 、B 的横坐标分别为a 、b ，则a 、b 为上述方程的根， ∴a ＋b ＝2k ，ab ＝－(2k ＋4).∵△ABC 的面积为3，由铅垂法，得12CD (b －a )＝3，即12×32(b －a )＝3，∴b －a ＝4. 两边平方，得(a ＋b )2－4ab ＝16，∴(2k )2＋4(2k ＋4)＝16， 整理，得：k 2＋2k ＝0，解得k ＝0或－2. (3) 设点A 、B 的横坐标分别为a 、b ，则a ≠b . 由(2)，a ＋b ＝2k ，ab ＝－(2k ＋4)，∴设直线P A 的解析式为y ＝px ＋q ，联立212y px qy x =+⎧⎪⎨=⎪⎩，得 x 2－2px －2q ＝0，D∵P A 与抛物线只有唯一公共点，∴上述方程有两个相等的实数根(x 1＝x 2＝a )， 由根与系数的关系，得a ＋a ＝2p ，a ·a ＝－2q ，∴p ＝a ，q ＝－12a 2.∴直线P A 的解析式为y ＝ax －12a 2.同理，直线PB 的解析式为y ＝bx －12b 2.联立221212y ax a y bx b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得x ＝2a b +＝k ，y ＝2ab ＝－(k ＋2). ∴P (k ，－k －2).∴OP 2＝k 2＋(－k －2)2＝2k 2＋4k ＋4＝2(k ＋1)2＋2， 当k ＝－1时，OP 2.。

人教版九年级数学上册第22章二次函数 单元综合测试题(含解析)

人教版九年级数学上册第22章二次函数 单元综合测试题(含解析)

2022-2023学年人教版九年级数学上册《第22章二次函数》单元综合测试题（附答案）一、选择题（本大题共12小题，共36分）1．下列函数中不属于二次函数的是（）A．y＝（x+1）（x﹣2）B．y＝（x+1）2C．y＝2（x+2）2﹣2x2D．y＝1﹣x22．将二次函数y＝x2﹣2x+3化为y＝（x﹣h）2+k的形式，结果为（）A．y＝（x+1）2+4B．y＝（x﹣1）2+4C．y＝（x+1）2+2D．y＝（x﹣1）2+2 3．已知抛物线y＝x2﹣x+1，与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2﹣m+2022的值为（）A．2020B．2021C．2022D．20234．将抛物线y＝2（x﹣4）2﹣1先向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，平移后所得抛物线解析式为（）A．y＝2x2+1B．y＝2x2﹣3C．y＝2（x﹣8）2+1D．y＝2（x﹣8）2﹣35．抛物线y＝a（x+1）（x﹣3）（a≠0）的对称轴是直线（）A．x＝1B．x＝﹣1C．x＝﹣3D．x＝36．二次函数y＝ax2+bx+c图象上部分点的坐标满足表格：x…﹣3﹣2﹣101…y…﹣3﹣2﹣3﹣6﹣11…则该函数图象的顶点坐标为（）A．（﹣3，﹣3）B．（﹣2，﹣2）C．（﹣1，﹣3）D．（0，﹣6）7．已知抛物线y＝a（x﹣2）2+k（a＞0，a，k为常数），A（﹣3，y1）B（3，y2）C（4，y3）是抛物线上三点，则y1，y2，y3由小到大依序排列为（）A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y2＜y3＜y1D．y3＜y2＜y1 8．一次函数y＝ax+b与二次函数y＝ax2+bx+c在同一坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．9．抛物线y＝﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，若y＜0，则x的取值范围是（）A．x＜﹣4或x＞1B．x＜﹣3或x＞1C．﹣4＜x＜1D．﹣3＜x＜1 10．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列说法正确的是（）A．ac＜0B．b＜0C．b2﹣4ac＜0D．a+b+c＜0 11．若二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）图象如图，当﹣5≤x≤0时，下列说法正确的是（）A．有最小值﹣5、最大值0B．有最小值﹣3、最大值6C．有最小值0、最大值6D．有最小值2、最大值612．二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数且a≠0）中的x与y的部分对应值如下表：x﹣3﹣2﹣1012345y1250﹣3﹣4﹣30512给出了结论：（1）二次函数y＝ax2+bx+c有最小值，最小值为﹣3；（2）当时，y＜0；（3）二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点，且它们分别在y轴两侧．则其中正确结论的个数是（）A．3B．2C．1D．0二、填空题（本大题共6小题，共24分）13．顶点为（﹣2，﹣5）且过点（1，﹣14）的抛物线的解析式为．14．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点，若点A的坐标为（﹣2，0），抛物线的对称轴为直线x＝2，则线段AB的长为．15．把二次函数y＝ax2+bx+c的图象向右平移2个单位后，再向上平移3个单位后得到y＝2（x﹣1）2，则y＝ax2+bx+c图象顶点坐标是．16．如图，一为运动员推铅球，铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系是y＝﹣x2+x+，此运动员将铅球推出m．17．是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽4m．如图建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是．18．如图，线段AB＝8，点C是AB上一点，点D、E是线段AC的三等分点，分别以AD、DE、EC、CB为边作正方形，则AC＝时，四个正方形的面积之和最小．三、解答题（本大题共7小题，共60分）19．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过A、B、C三点．（1）观察图象写出A、B、C三点的坐标，并求出此二次函数的解析式；（2）求出此抛物线的顶点坐标和对称轴．20．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，根据图象解答下列问题：（1）写出方程ax2+bx+c＝0的两个根；（2）写出方程ax2+bx+c＜0时x的取值范围；（3）写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围；（4）若方程ax2+bx+c＝k有两个不相等的实数根，求k的取值范围．21．如图是二次函数y＝（x+m）2+k的图象，其顶点坐标为M（1，﹣4）（1）求出图象与x轴的交点A、B的坐标；（2）在二次函数的图象上是否存在点P，使S△P AB＝S△MAB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．22．某广告公司设计一幅周长为16米的矩形广告牌，广告设计费为每平方米2000元．设矩形一边长为x，面积为S平方米．（1）求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）设计费能达到24000元吗？为什么？（3）当x是多少米时，设计费最多？最多是多少元？23．某商店经营儿童益智玩具，已知成批购进时的单价是20元．调查发现：销售单价是30元时，月销售量是230件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，但每件玩具售价不能高于40元．设每件玩具的销售单价上涨了x元时（x为正整数），月销售利润为y元．（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围．（2）每件玩具的售价定为多少元时，月销售利润恰为2520元？（3）每件玩具的售价定为多少元时可使月销售利润最大？最大的月利润是多少？24．如图，抛物线的顶点为A（2，1），且经过原点O，与x轴的另一个交点为B．（1）求抛物线的解析式；（2）求△AOB的面积；（3）若点P（m，﹣m）（m≠0）为抛物线上一点，求与P关于抛物线对称轴对称的点Q 的坐标．（注：抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣）25．如图，已知抛物线y＝ax2+x+4的对称轴是直线x＝3，且与x轴相交于A，B两点（B 点在A点右侧）与y轴交于C点．（1）求抛物线的解析式和A、B两点的坐标；（2）若点P是抛物线上B、C两点之间的一个动点（不与B、C重合），则是否存在一点P，使△PBC的面积最大．若存在，请求出△PBC的最大面积；若不存在，试说明理由；（3）若M是抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交直线BC于点N，当MN＝3时，求M点的坐标．参考答案一、选择题（本大题共12小题，共36分）1．解：A、y＝（x+1）（x﹣2）是二次函数，故此选项不合题意；B、y＝（x+1）2是二次函数，故此选项不合题意；C、y＝2（x+2）2﹣2x2＝8x+8不是二次函数，故此选项符合题意；D、y＝1﹣x2是二次函数，故此选项不合题意；故选：C．2．解：y＝x2﹣2x+3＝x2﹣2x+1﹣1+3＝（x﹣1）2+2．故选：D．3．解：∵抛物线y＝x2﹣x+1与x轴的一个交点为（m，0），∴m2﹣m+1＝0，∴m2﹣m+2022＝m2﹣m+1+2021＝2021．故选：B．4．解：抛物线y＝2（x﹣4）2﹣1的顶点坐标为（4，﹣1），∵向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，∴平移后的函数图象的顶点坐标为（8，﹣3），∴平移后所得抛物线解析式为y＝2（x﹣8）2﹣3，故选：D．5．解：∵﹣1，3是方程a（x+1）（x﹣3）＝0的两根，∴抛物线y＝a（x+1）（x﹣3）与x轴交点横坐标是﹣1，3，∵这两个点关于对称轴对称，∴对称轴是直线x＝＝1．故选：A．6．解：∵x＝﹣3和﹣1时的函数值都是﹣3，相等，∴二次函数的对称轴为直线x＝﹣2，∴顶点坐标为（﹣2，﹣2）．故选：B．7．解：抛物线y＝a（x﹣2）2+k（a＞0，a，k为常数）的对称轴为直线x＝2，所以A（﹣3，y1）到直线x＝2的距离为5，B（3，y2）到直线x＝2的距离为1，C（4，y3）到直线的距离为2，所以y2＜y3＜y1．故选：C．8．解：A、由抛物线可知，a＜0，x＝﹣＜0，得b＞0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项错误；B、由抛物线可知，a＜0，x＝﹣＜0，得b＜0，由直线可知，a＜0，b＜0，故本选项正确；C、由抛物线可知，a＞0，x＝﹣＞0，得b＜0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项错误；D、由抛物线可知，a＜0，x＝﹣＜0，得b＜0，由直线可知，a＜0，b＞0，故本选项错误．故选：B．9．解：函数的对称轴为：x＝﹣1，与x轴的一个交点坐标为（1，0），则另外一个交点坐标为：（﹣3，0），故：y＜0时，x＜﹣3或x＞1，故选：B．10．解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线交于y轴的正半轴，∴c＞0，∴ac＞0，A错误；∵﹣＞0，a＞0，∴b＜0，∴B正确；∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，C错误；当x＝1时，y＞0，∴a+b+c＞0，D错误；故选：B．11．解：由二次函数的图象可知，∵﹣5≤x≤0，∴当x＝﹣2时函数有最大值，y最大＝6；当x＝﹣5时函数值最小，y最小＝﹣3．故选：B．12．解；由表格数据可知，二次函数的对称轴为直线x＝1，所以，当x＝1时，二次函数y＝ax2+bx+c有最小值，最小值为﹣4；故（1）小题错误；根据表格数据，当﹣1＜x＜3时，y＜0，所以，﹣＜x＜2时，y＜0正确，故（2）小题正确；二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点，分别为（﹣1，0）（3，0），它们分别在y轴两侧，故（3）小题正确；综上所述，结论正确的是（2）（3）共2个．故选：B．二、填空题（本大题共6小题，共24分）13．解：设顶点式y＝a（x+2）2﹣5，将点（1，﹣14）代入，得a（1+2）2﹣5＝﹣14，解得a＝﹣1，∴y＝﹣（x+2）2﹣5，即y＝﹣x2﹣4x﹣9．14．解：∵对称轴为直线x＝2的抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A、B两点，∴A、B两点关于直线x＝2对称，∵点A的坐标为（﹣2，0），∴点B的坐标为（6，0），AB＝6﹣（﹣2）＝8．故答案为：8．15．解：y＝2（x﹣1）2的顶点坐标为（1，0），∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象向右平移2个单位后，再向上平移3个单位后得到y＝2（x﹣1）2，∴二次函数y＝ax2+bx+c的解析式为：y＝2（x+1）2﹣3，∴二次函数y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（﹣1，﹣3），故答案为：（﹣1，﹣3）．16．解：当y＝0时，﹣x2+x+＝0，解之得x1＝10，x2＝﹣2（不合题意，舍去），所以推铅球的距离是10米．故答案为：10．17．解：设出抛物线方程y＝ax2（a≠0），由图象可知该图象经过（﹣2，﹣2）点，故﹣2＝4a，a＝﹣，故y＝﹣．18．解：设AC为x，四个正方形的面积和为y．则BC＝8﹣x，AD＝DE＝EC＝，∴y＝3×（）2+（8﹣x）2＝x2﹣16x+64＝，∴x＝﹣＝6时，四个正方形的面积之和最小．故答案为6．三、解答题（本大题共7小题，共60分）19．解：（1）根据二次函数的图象可知：A（﹣1，0），B（0，﹣3），C（4，5），把A（﹣1，0），B（0，﹣3），C（4，5）代入y＝ax2+bx+c可得，解得．即二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）∵y＝x2﹣2x﹣3＝y＝（x﹣1）2﹣4，∴此抛物线的顶点坐标（1，﹣4），和对称轴x＝1．20．解：（1）由图象可知，图象与x轴交于（1，0）和（3，0）点，则方程ax2+bx+c＝0的两个根为1和3；（2）由图象可知当x＜1或x＞3时，不等式ax2+bx+c＜0；（3）由图象可知，y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的对称轴为x＝2，开口向下，即当x＞2时，y随x的增大而减小；（4）由图象可知，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的最大值为2，若方程ax2+bx+c＝k有两个不相等的实数根，则k必须小于y＝ax2+bx+c（a≠0）的最大值，则k＜2．21．解：（1）∵抛物线解析式为y＝（x+m）2+k的顶点为M（1，﹣4）∴y＝（x﹣1）2﹣4令y＝0得（x﹣1）2﹣4＝0令y＝0得（x﹣1）2﹣4＝0解得x1＝3，x2＝﹣1∴A（﹣1，0），B（3，0）（2）∵△P AB与△MAB同底，且S△P AB＝S△MAB，∴|y P|＝×4＝5，即y P＝±5又∵点P在y＝（x﹣1）2﹣4的图象上∴y P≥﹣4∴y P＝5，则（x﹣1）2﹣4＝5，解得x1＝4，x2＝﹣2∴存在合适的点P，坐标为（4，5）或（﹣2，5）．22．解：（1）∵矩形的一边为x米，周长为16米，∴另一边长为（8﹣x）米，∴S＝x（8﹣x）＝﹣x2+8x，其中0＜x＜8；（2）能，∵设计费能达到24000元，∴当设计费为24000元时，面积为24000÷2000＝12（平方米），即﹣x2+8x＝12，解得：x＝2或x＝6，∴设计费能达到24000元．（3）∵S＝﹣x2+8x＝﹣（x﹣4）2+16，∴当x＝4时，S最大值＝16，∴当x＝4米时，矩形的最大面积为16平方米，设计费最多，最多是32000元．23．解：（1）根据题意得：y＝（30+x﹣20）（230﹣10x）＝﹣10x2+130x+2300，自变量x的取值范围是：0＜x≤10且x为正整数；（2）当y＝2520时，得﹣10x2+130x+2300＝2520，解得x1＝2，x2＝11（不合题意，舍去）当x＝2时，30+x＝32（元）答：每件玩具的售价定为32元时，月销售利润恰为2520元．（3）根据题意得：y＝﹣10x2+130x+2300＝﹣10（x﹣6.5）2+2722.5，∵a＝﹣10＜0，∴当x＝6.5时，y有最大值为2722.5，∵0＜x≤10且x为正整数，∴当x＝6时，30+x＝36，y＝2720（元），当x＝7时，30+x＝37，y＝2720（元），答：每件玩具的售价定为36元或37元时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是2720元．24．解：（1）设二次函数的解析式为y＝a（x﹣2）2+1，将点O（0，0）的坐标代入得：4a+1＝0，解得a＝﹣．所以二次函数的解析式为y＝﹣（x﹣2）2+1；（2）∵抛物线y＝﹣（x﹣2）2+1的对称轴为直线x＝2，且经过原点O（0，0），∴与x轴的另一个交点B的坐标为（4，0），∴△AOB的面积＝×4×1＝2；（3）∵点P（m，﹣m）（m≠0）为抛物线y＝﹣（x﹣2）2+1上一点，∴﹣m＝﹣（m﹣2）2+1，解得m1＝0（舍去），m2＝8，∴P点坐标为（8，﹣8），∵抛物线对称轴为直线x＝2，∴P关于抛物线对称轴对称的点Q的坐标为（﹣4，﹣8）．25．解：（1）∵抛物线y＝ax2+x+4的对称轴是直线x＝3，∴﹣＝3，解得：a＝﹣，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+4．当y＝0时，﹣x2+x+4＝0，解得：x1＝﹣2，x2＝8，∴点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（8，0）．（2）当x＝0时，y＝﹣x2+x+4＝4，∴点C的坐标为（0，4）．设直线BC的解析式为y＝kx+b（k≠0）．将B（8，0）、C（0，4）代入y＝kx+b，，解得：，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+4．假设存在，设点P的坐标为（x，﹣x2+x+4）（0＜x＜8），过点P作PD∥y轴，交直线BC于点D，则点D的坐标为（x，﹣x+4），如图所示．∴PD＝﹣x2+x+4﹣（﹣x+4）＝﹣x2+2x，∴S△PBC＝PD•OB＝×8•（﹣x2+2x）＝﹣x2+8x＝﹣（x﹣4）2+16．∵﹣1＜0，∴当x＝4时，△PBC的面积最大，最大面积是16．∵0＜x＜8，∴存在点P，使△PBC的面积最大，最大面积是16．（3）设点M的坐标为（m，﹣m2+m+4），则点N的坐标为（m，﹣m+4），∴MN＝|﹣m2+m+4﹣（﹣m+4）|＝|﹣m2+2m|．又∵MN＝3，∴|﹣m2+2m|＝3．当0＜m＜8时，有﹣m2+2m﹣3＝0，解得：m1＝2，m2＝6，∴点M的坐标为（2，6）或（6，4）；当m＜0或m＞8时，有﹣m2+2m+3＝0，解得：m3＝4﹣2，m4＝4+2，∴点M的坐标为（4﹣2，﹣1）或（4+2，﹣﹣1）．综上所述：M点的坐标为（4﹣2，﹣1）、（2，6）、（6，4）或（4+2，﹣﹣1）．。

最新人教版初中数学九年级数学上册第二单元《二次函数》测试(含答案解析)(2)

最新人教版初中数学九年级数学上册第二单元《二次函数》测试(含答案解析)(2)

一、选择题1．抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象大致如图所示，下列说法： ①2a +b ＝0；②当﹣1＜x ＜3时，y ＜0；③若（x 1，y 1）（x 2，y 2）在函数图象上，当x 1＜x 2时，y 1＜y 2； ④9a +3b +c ＝0， 其中正确的是（ ）A ．①②④B ．①④C ．①②③D ．③④2．将抛物线2yx 先向上平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度，则得到新抛物线的解析式为（ ） A ．()212y x =-+ B ．()212y x =-- C ．()212y x =++D ．()=+-2y x 123．某同学在利用描点法画二次函数y ＝ax2+bx+c （a≠0）的图象时，先取自变量x 的一些值，计算出相应的函数值y ，如下表所示： x … 0 1 2 3 4 … y…﹣3﹣13…）A ．03x y =⎧⎨=-⎩B ．21x y =⎧⎨=-⎩C ．30x y =⎧⎨=⎩D ．43x y =⎧⎨=⎩4．如图等边ABC 的边长为4cm ，点P ，点Q 同时从点A 出发点，Q 沿AC 以1cm/s的速度向点C 运动，点P 沿A B C --以2cm/s 的速度也向点C 运动，直到到达点C 时停止运动，若APQ 的面积为()2cm S ，点Q 的运动时间为()s t ，则下列最能反映S 与t 之间大致图象是（ ）．A ．B ．C ．D ．5．若飞机着陆后滑行的距离()s m 与滑行的时间()t s 之间的关系式为s=60t-1.5t 2，则函数图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．6．二次函数2y x bx =+的图象如图，对称轴为直线1x =．若关于x 的一元二次方程20x bx t +-=（t 为实数）在23x -<<的范围内有解，则t 的取值范围是（ ）A ．1t ≥-B ．13t -≤<C ．18t -≤<D ．38t <<7．如图，一抛物线型拱桥，当拱顶到水面的距离为2米时，水面宽度为4米；那么当水位下降1米后，水面的宽度为（ ）A ．26B ．23C ．6D ．428．如图1，是某次排球比赛中运动员垫球时的动作，垫球后排球的运动路线可近似地看作抛物线，在图2所示的平面直角坐标系中，运动员垫球时（图2中点A ）离球网的水平距离为5米，排球与地面的垂直距离为0.5米，排球在球网上端0.26米处（图2中点B ）越过球网（女子排球赛中球网上端距地面的高度为2.24米），落地时（图2中点C ）距球网的水平距离为2.5米，则排球运动路线的函数表达式为（ ）．A ．2148575152y x x =--+ B ．2148575152y x x =-++ C ．2148575152y x x =-+ D ．2148575152y x x =++ 9．下列各图象中有可能是函数()20y ax a a =+≠的图象（ ）A ．B ．C ．D ．10．如图所示，一段抛物线：()233044y x x x =-+≤≤记为1C ，它与x 轴交于两点O ，1A ；将1C 绕1A 旋转180°得到2C ，交x 轴于2A ；将2C 绕2A 旋转180°得到3C ，交x 轴于3A ；⋅⋅⋅如此进行下去，直至得到506C ，则抛物线506C 的顶点坐标是（ ）A ．()2020,3B ．()2020,3-C ．()2022,3D ．()2022,3-11．据省统计局公布的数据，安徽省2019年第二季度GDP 总值约为7.9千亿元人民币，若我省第四季度GDP 总 值为y 千亿元人民币，平均每个季度GDP 增长的百分率为x ，则y 关于x 的函数表达式是（ ）A ．7.9(12)y x =+B ．27.9(1)y x =-C ．27.9(1)y x =+D ．27.97.9(1)7.9(1)y x x =++++12．在平面直角坐标系中，将函数22y x =-的图象先向右平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到图象的函数解析式是（ ） A ．22(1)5y x =-++ B ．22(1)5y x =--+ C ．22(1)5y x =-+-D ．22(1)5y x =---第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明参考答案二、填空题13．如图，直线y ＝x ＋4与x 、y 轴分别交于A 、B 两点，点O 为坐标原点，点C 是点A 关于y 轴的对称点，动点D 在线段AC 上，连接BD ，作以BD 为直角边的等腰Rt △BDE ，则线段OE 的最小值为_________．14．已知二次函数y=x 2+x+m ，当x 取任意实数时，都有y ＞0，则m 的取值范围是________．15．抛物线2(3)y a x m =-+与x 轴的一个交点为(1,0)，则关于x 的一元二次方程2(3)0a x m -+=的根为__________．16．如图，在喷水池的中心A 处竖直安装一个水管AB ，水管的顶端B 处有一个喷水孔，喷出的抛物线形水柱在与池中心A 的水平距离为1m 处达到最高点C ，高度为3m ，水柱落地点D 离池中心A 处3m ，则水管AB 的长为_____m ．17．已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠，其函数y 与自变量x 之间的部分对应值如下表所示，则42a b c ++=___________． x3- 1-0 1 3y55215272 72 31218．若123(4,),(1,),(1,)A y B y C y --为二次函数245y x x =-+的图象上的三点，则123,,y y y 的大小关系为__________．19．在平面直角坐标系xOy 中，函数y=x 2的图象经过点M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）两点，若﹣4＜x 1＜﹣2，0＜x 2＜2，则y 1 ______y 2 ．（用“＜”，“=”或“＞”号连接） 20．抛物线y ＝x²－x 的顶点坐标是________三、解答题21．如图，在平面直角坐标系中，抛物线（部分）刻画了某果园年初以来累积利润y （万元）与销售时间x （月）之间的关系（即当年前x 个月的利润总和为y ，y 和x 之间的关系）．根据图象提供的信息，请解答下列问题： （1）求y 与x 的函数关系式；（2）求第8个月该果园所获利润是多少万元？ （3）求到哪个月末时，该果园累积利润可达到30万元？22．某水果店批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售将减少20千克．（1）现要保证每天盈利5520元，同时又要让顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？ （2）要使每天获利不少于6000元，求涨价x 的范围．23．已知：直线2l y x =+：与过点(0,2)-且平行于x 轴的直线交于点A ，点A 关于直线1x =- 的对称点为点B ． （1）求A B 、两点的坐标；（2）若抛物线2y x bx c =-++的顶点(,)m n 在直线l 上移动．①当抛物线2y x bx c =-++与坐标轴仅有两个公共点，求抛物线解析式；②若抛物线2y x bx c =-++与线段AB 有交点，当抛物线的顶点(,)m n 向上运动时，抛物线与y 轴的交点也向上运动，求m 的取值范围．24．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD 的顶点A 与原点重合，顶点B 在x 轴的正半轴上，点D 在y 轴的正半轴上．抛物线2y x bx c =-++经过点B 与点D ．（1）求这个二次函数的表达式；（2）将正方形ABCD 向左平移m 个单位（0m >），边AD 与BC 分别与（1）中的二次函数图像交于P 、Q ，若点Q 纵坐标是点P 纵坐标的2倍，求m 的值．25．如图，Rt ABC △中，90C ∠=︒，6cm AC =，8cm BC =，点P 由A 出发向点C 移动，点Q 由C 出发向点B 移动，两点同时出发，速度均为1cm/s ，运动时间为t 秒．（1）几秒时PCQ △的面积为4？（2）是否存在t 的值，使PCQ △的面积为5？若存在，求这个t 值，若不存在，说明理由．（3）几秒时PCQ △的面积最大，最大面积是多少？26．如图，二次函数2y x bx c =-++与x 轴交于点B 和点()1,0A -，与y 轴交于点()0,4C ，与一次函数y x a =+交于点A 和点D ．（1）求出a 、b 、c 的值；（2）若直线AD 上方的抛物线存在点E ，可使得EAD 面积最大，求点E 的坐标； （3）点F 为线段AD 上的一个动点，点F 到（2）中的点E 的距离与到y 轴的距离之和记为d ，求d 的最小值及此时点F 的坐标．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】由抛物线的开口方向判断a 与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】①由图示知，对称轴是直线x ＝3122ba-=-，则2a+b ＝0，故说法正确； ②由图示知，当﹣1＜x ＜3时，y ＜0，故说法正确；③若（x 1，y 1）（x 2，y 2）在函数图象上，当1＜x 1＜x 2时，y 1<y 2，故说法错误；④由图示知，当x ＝3时，y ＝0，即9a+3b+c ＝0，故说法正确． 综上所述，正确的说法是①②④． 故选：A ． 【点睛】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a 与b 的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．2．C解析：C 【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答即可． 【详解】 解：将抛物线2yx 先向上平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度，就得到抛物线：2(1)2y x =++． 故答案为：C ． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，图象平移规律“左加右减，上加下减”是解题关键．3．A解析：A 【分析】根据二次函数的对称性知：抛物线的对称轴为直线x ＝2，且抛物线的开口向上，由此确定答案． 【详解】∵x ＝1和x ＝3时，y ＝0； ∴抛物线的对称轴为直线x ＝2， ∴顶点坐标为（2，﹣1）， ∴抛物线的开口向上，∴x ＝0和x ＝4的函数值相等且大于0， ∴x ＝0，y ＝﹣3错误． 故选：A ． 【点睛】此题考查抛物线的对称性，抛物线的性质，读懂表格掌握二次函数的对称性解决问题是解题的关键．4．D解析：D 【分析】当点P 在AB 边运动时，S=12AQ×APsinA ，图象为开口向上的抛物线，当点P 在BC 边运动时，如下图，S=12×AQ×PCsinC ，即可求解． 【详解】解：当点P 在AB 边运动时，211sin 22222S AQ AP A t t =⨯=⨯⨯⨯=， 图象为开口向上的抛物线，当点P 在BC 边运动时，如下图，1133sin 2(6)(6)2222S AQ PC C t t t t =⨯⨯=⨯⨯-⨯=-，图象为开口向下的抛物线， 故选：D ． 【点睛】本题是运动型综合题，解题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义，理解动点的完整运动过程．5．C解析：C 【分析】根据关系式可得图象的开口方向，可求出函数的顶点坐标，根据s 从0开始到最大值时停止，可得t 的取值范围，即可得答案． 【详解】∵滑行的距离()s m 与滑行的时间()t s 之间的关系式为s=60t-1.5t 2，-1.5＜0， ∴图象的开口向下，∵s=60t-1.5t 2=-1.5（t-20）2+600， ∴顶点坐标为（20，600）， ∵s 从0开始到最大值时停止， ∴0≤t≤20， ∴C 选项符合题意， 故选：C ． 【点睛】本题考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．6．C解析：C 【分析】根据对称轴求出b 的值，从而得到23x -<<时的函数值的取值范围，再根据一元二次方程x 2+bx-t=0（t 为实数）在-1＜x ＜4的范围内有解相当于y=x 2+bx 与y=t 在x 的范围内有交点解答． 【详解】解：对称轴为直线x=-21b⨯=1，解得b=-2，所以二次函数解析式为y=x 2-2x ， y=（x-1）2-1， x=1时，y=-1，x=-2时，y=4-2×（-2）=8，∵x 2+bx-t=0的解相当于y=x 2+bx 与直线y=t 的交点的横坐标， ∴当-1≤t ＜8时，在-1＜x ＜4的范围内有解． 故选：C ． 【点睛】本题考查了二次函数与不等式，把方程的解转化为两个函数图象的交点的问题求解是解题的关键．7．A解析：A 【分析】结合已知条件先建立适当的坐标系，然后设出解析式，利用点的坐标求得解析式，再将3y =-代入解析式求得相应的x 的值，进而求得答案．【详解】解：以拱顶为坐标原点建立坐标系，如图：∴设抛物线解析式为：2y ax = ∵观察图形可知抛物线经过点()2,2B - ∴222a -=⋅ ∴12a =-∴抛物线解析式为：212y x =-∴当水位下降1米后，即当213y =--=-时，有2132x -=- ∴16x =26x =- ∴水面的宽度为：6m ． 故选：A【点睛】本题考查了二次函数的应用，根据已知条件建立坐标系从而求得二次函数解析式是解决问题的关键．8．A解析：A【分析】根据题意结合函数的图象，得出图中A 、B 、C 的坐标，再利用待定系数法求出函数关系式即可．【详解】 解：50.26 2.24 2.52+==（米） 根据题意和所建立的坐标系可知，A （-5，12），B （0，52），C （52，0）， 设排球运动路线的函数关系式为y=ax 2+bx+c ，将A 、B 、C 的坐标代入得：125252255042a b c c a b c ⎧-+=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪++=⎪⎩， 解得，1485,,75152a b c =-=-=， ∴排球运动路线的函数关系式为2148575152y x x =--+， 故选：A ．【点睛】 本题考查待定系数法求二次函数的关系式，根据题意得出图象所过点的坐标是正确解答的关键．9．B解析：B【分析】从0a >和0a <两种情况进行分析图象的开口方向和顶点坐标，选出正确的答案．【详解】解：当0a >时，开口向上，顶点在y 轴的正半轴；当0a <时，开口向下，顶点在y 轴的负半轴，故选：B ．【点睛】本题考查的是二次函数系数与图象的关系，熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标与系数的关系是解题的关键．解析：D【分析】 解方程2334x x -+＝0得A 1（4，0），再利用旋转的性质得A 2（4×2，0），A 3（4×3，0），依此规律得到A 505（4×505，0），A 506（4×506，0），且抛物线C 506的开口向上，利用交点式，设抛物线C 506的解析式为y ＝34（x−2020）（x−2024），然后确定此抛物线顶点坐标即可．【详解】当y ＝0时，2334x x -+＝0，解得x 1＝0，x 2＝4， ∴A 1（4，0）， ∵将C 1绕A 1旋转180°得到C 2，交x 轴于A 2，将C 2绕A 2旋转180得到C 3，∴A 2（4×2，0），A 3（4×3，0），∴A 505（4×505，0），A 506（4×506，0），即A 505（2020，0），A 506（2024，0）， ∵抛物线C 506的开口向上，∴抛物线C 506的解析式为y ＝34（x−2020）（x−2024）， ∵抛物线的对称轴为直线x ＝2022， 当x ＝2022时，y ＝34（2022−2020）（2022−2024）＝−3， ∴抛物线C 506的顶点坐标是（2022，−3）．故选：D ．【点睛】 本题考查了抛物线与x 轴的交点：把求二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ，b ，c 是常数，a≠0）与x 轴的交点坐标问题转化为解关于x 的一元二次方程．也考查了二次函数的几何变换和二次函数的性质．11．C解析：C【分析】根据平均每个季度GDP 增长的百分率为x ，第三季度季度GDP 总值约为7.9（1+x ）元，第四季度GDP 总值为7.9（1+x ）2元，则函数解析式即可求得．【详解】解：设平均每个季度GDP 增长的百分率为x ，则y 关于x 的函数表达式是：y=7.9（1+x ）2．故选：C ．【点睛】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，正确理解增长率问题是解题关键．解析：B【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．【详解】解：由“左加右减”的原则可知，抛物线y=2x 2的图象向右平移1个单位所得函数图象的关系式是：y=-2（x-1）2； 由“上加下减”的原则可知，抛物线y=-2（x-1）2的图象向上平移5个单位长度所得函数图象的关系式是：y=-2（x-1）2+5．故选：B ．【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．二、填空题13．【分析】作交x 轴于点F 证明△DBO ≌△EDF 得设设D （t0）则根据勾股定理得进一步可得结论【详解】解：∵△BDE 是以BD 为直角边的等腰直角三角形∴作交x 轴于点F 如图∴∠EFO=∠DOB=90°又∠∴ 解析：22【分析】作EF AC ⊥交x 轴于点F ，证明△DBO ≌△EDF 得FE OD FD BO ==，，设设D （t ，0），则(4,)E t t +，根据勾股定理得222(2)8OE t =++，进一步可得结论．【详解】解：∵△BDE 是以BD 为直角边的等腰直角三角形，∴BD DE =作EF AC ⊥交x 轴于点F ，如图，∴∠EFO=∠DOB=90°又∠90OBD BDO BDO FDE +∠=∠+∠=︒∴∠DBD FDE =∠在△DBO 和△EDF 中DBO EDF DOB EFD DB DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DBO ≌△EDF∴FE OD FD BO ==，对于y=x+4，当x=0，则y=4，当y=0，则x=-4，∴()40A -，，4(0)B ，， ∵点C 是点A 关于y 轴的对称点，∴0(4)C ，设D （t ，0），则(4,)E t t +∴22224)2((2)8OE t t t =++=++∴当t=-2时，取最小值，即OE ==，故OE的最小值为故答案为：【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，运用勾股定理得出22224)2((2)8OE t t t =++=++是解答此题的关键．14．＞【分析】二次函数开口向上当x 取任意实数时都有y ＞0则−4ac ＜0据此即可列不等式求解【详解】解：−4ac ＝1−4m ＜0解得：m ＞故答案为：＞【点睛】本题考查了抛物线与x 轴交点个数个数由−4ac 的符解析：m ＞14 【分析】二次函数开口向上，当x 取任意实数时，都有y ＞0，则2b −4ac ＜0，据此即可列不等式求解．【详解】解：2b −4ac ＝1−4m ＜0，解得：m ＞14． 故答案为：m ＞14． 【点睛】本题考查了抛物线与x 轴交点个数，个数由2b −4ac 的符号确定，当△＝2b −4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；△＝2b −4ac ＝0时，抛物线与x 轴有1个交点；△＝2b −4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点．15．【分析】先根据二次函数的对称性求出抛物线与x 轴的另一个交点坐标再根据二次函数与一元二次方程的联系即可得【详解】抛物线的对称轴为此抛物线与x 轴的一个交点为它与x 轴的另一个交点为即则关于x 的一元二次方程 解析：121,5x x ==【分析】先根据二次函数的对称性求出抛物线与x 轴的另一个交点坐标，再根据二次函数与一元二次方程的联系即可得．【详解】抛物线2(3)y a x m =-+的对称轴为3x =，此抛物线与x 轴的一个交点为(1,0)， ∴它与x 轴的另一个交点为(231,0)⨯-，即(5,0)，则关于x 的一元二次方程2(3)0a x m -+=的根为121,5x x ==，故答案为：121,5x x ==．【点睛】本题考查了二次函数与x 轴的交点问题、二次函数与一元二次方程的联系，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键．16．【分析】以喷水池中心A 为原点竖直安装的水管AB 所在直线为y 轴与水管垂直的AD 所在直线为x 轴建立直角坐标系设抛物线的解析式为y ＝a （x ﹣1）2+3（0≤x≤3）将（30）代入求得a 值则x ＝0时得的y 值 解析：94【分析】以喷水池中心A 为原点，竖直安装的水管AB 所在直线为y 轴，与水管垂直的AD 所在直线为x 轴建立直角坐标系，设抛物线的解析式为y ＝a （x ﹣1）2+3（0≤x≤3），将（3，0）代入求得a 值，则x ＝0时得的y 值即为水管的长．【详解】以喷水池中心A 为原点，竖直安装的水管AB 所在直线为y 轴，与水管垂直的AD 所在直线为x 轴建立直角坐标系，由于喷出的抛物线形水柱在与池中心A 的水平距离为1m 处达到最高点C ，高度为3m ， 所以设抛物线的解析式为：y ＝a （x ﹣1）2+3（0≤x≤3），代入（3，0），得：0=a （3-1）2+3，解得：a ＝34-． 将a 值代入得到抛物线的解析式为：y ＝34-（x ﹣1）2+3（0≤x≤3），令x ＝0，则y ＝94． 即水管AB 的长为94m ， 故答案为：94．【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的运用，重点是二次函数解析式的求法，利用顶点式求出解析式是解题关键．17．【分析】先根据和的函数值相同可得二次函数的对称轴为从而可得再根据时的函数值可得从而可得由此即可得【详解】和的函数值相同此二次函数的对称轴为即当时则故答案为：【点睛】本题考查了二次函数的性质正确求出二 解析：152【分析】先根据0x =和1x =的函数值相同可得二次函数的对称轴为12x =，从而可得=-b a ，再根据1x =-时的函数值可得152a b c ，从而可得1522a c ，由此即可得． 【详解】 0x =和1x =的函数值相同，∴此二次函数的对称轴为12x =， 122b a ∴-=，即=-b a ， 当1x =-时，152ya b c ， 1522a c ， 则4242abc a a c ，2a c ，152=， 故答案为：152． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，正确求出二次函数的对称轴是解题关键．18．【分析】先将二次函数的解析式化成顶点式再根据二次函数的增减性即可得【详解】二次函数化成顶点式为由二次函数的性质可知当时y 随x 的增大而减小点在此二次函数的图象上且故答案为：【点睛】本题考查二次函数的顶 解析：123y y y >>【分析】先将二次函数的解析式化成顶点式，再根据二次函数的增减性即可得．【详解】二次函数245y x x =-+化成顶点式为22()1y x =-+，由二次函数的性质可知，当2x ≤时，y 随x 的增大而减小，点123(4,),(1,),(1,)A y B y C y --在此二次函数的图象上，且4112-<-<<， 123y y y ∴>>，故答案为：123y y y >>．【点睛】本题考查二次函数的顶点式和增减性，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． 19．＞【分析】根据二次函数的性质即可求解【详解】解：由y=x2可知∵a=1＞0∴抛物线的开口向上∵抛物线的对称轴为y 轴∴当x ＞0时y 随x 的增大而增大∵-4＜x1＜-20＜x2＜2∴2＜-x1＜4∴y1＞解析：＞【分析】根据二次函数的性质即可求解．【详解】解：由y=x 2可知，∵a=1＞0，∴抛物线的开口向上，∵抛物线的对称轴为y 轴，∴当x ＞0时，y 随x 的增大而增大，∵-4＜x 1＜-2，0＜x 2＜2，∴2＜-x 1＜4，∴y 1＞y 2．故答案为：＞．【点睛】本题考查了二次函数图象上的点的坐标特征及二次函数的性质．当a ＞0时，开口向上，在对称轴的左侧y 随x 的增大而减小，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大；当a ＜0，开口向下，在对称轴的左侧y 随x 的增大而增大，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而减小； 20．【分析】先把函数解析式配成顶点式得到然后根据顶点式即可得到顶点坐标【详解】解：所以抛物线的顶点坐标为故答案为：【点睛】本题考查了二次函数的性质解题的关键是熟练掌握将二次函数的一般形式化为顶点式 解析：11,24⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】 先把函数解析式配成顶点式得到21124()y x =--，然后根据顶点式即可得到顶点坐标． 【详解】 解：2211()24y x x x =-=--， 所以抛物线的顶点坐标为11,24⎛⎫- ⎪⎝⎭， 故答案为：11,24⎛⎫- ⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握将二次函数的一般形式化为顶点式．三、解答题21．（1）2122y x x =-；（2）第8个月该果园所获利是5.5万元；（3）截止到第10月末该果园累积利润可达30万元．【分析】 （1）通过构建函数模型解答销售利润的问题，应根据图象以及题目中所给的信息来列出y 与x 之间的函数关系式；（2）分别把x =7，x =8，代入函数解析式2122y x x =-，再把总利润相减就可得出； （3）把y =30代入2122y x x =-的函数关系式里，求得月份． 【详解】解：（1）由图象可知其顶点坐标为（2，-2），故可设其函数关系式为：2(2)2ya x ∵所求函数关系式的图象过（0，0）， 于是得：20(02)2=--a ，解得12a =， ∴所求函数关系式为：21(2)22y x =--，即2122y x x =-． （2）把7x =代入2122y x x =-， 得1492710.52y =⨯-⨯=， 把8x =代入2122y x x =-， 得16428162y =⨯-⨯=， 第8个月该果园所获利润是：16﹣10.5=5.5万元，答：第8个月该果园所获利是5.5万元．（3）把30y =代入2122y x x =-， 化简得 24600x x --=，解得12106x x ==-，（舍去）．答：截止到第10月末该果园累积利润可达30万元．【点睛】此题主要考查了二次函数的性质在实际生活中的应用，读懂题目意思，确定变量，建立函数模型，尤其是注意本题图象中所给的信息是解决问题的关键．22．（1）每千克水果应涨价2元；（2）510x ≤≤【分析】（1）设每千克应涨价x 元，由题意列出方程，解方程即可求解；（2）根据题意表示出每天的利润，然后利用每天的获利等于6000元，解出两个x 的值，然后根据二次函数的性质即可得出答案．【详解】（1）设每千克应涨价x 元，由题意列方程得：（10+x ）（500﹣20x ）＝5520，解得：x ＝2或x ＝13，为了使顾客得到实惠，那么每千克应涨价2元；答：每千克水果应涨价2元．（2）根据题意得，每天的获利为()()21050020203005000w x x x x =+-=-++ 令6000w =，即22030050006000x x -++=，解得125,10x x ==，20a =-<，∴要使每天获利不少于6000元，涨价x 的范围为510x ≤≤，答：每千克水果涨价x 的范围是510x ≤≤．【点睛】本题主要考查一元二次方程及二次函数的应用，根据题意列出方程及二次函数是解题的关键．23．（1）()4,2A --；()2,2B -；（2）①244y x x =---；②43m -≤≤-或0＜5m ≤【分析】（1）根据已知直线和对称点的性质即可求出A 、B ．（2）①根据抛物线的顶点为直线2l y x =+：与x 轴的交点()2,0-求解即可；②根据已知条件判断出二次函数顶点的位置，计算即可；【详解】（1）直线2l y x =+：与2y =-的交点为A ，则可得到：22x -=+，∴4x =-，∴点A 的坐标是()4,2--， 设(),2Bb -，点A 与点B 关于1x =-对称，则()()141b ---=--， ∴2b =，∴()2,2B -；（2）①当抛物线2y x bx c =-++与坐标轴仅有两个公共点，此时抛物线的顶点为直线2l y x =+：与x 轴的交点()2,0-， 则222b b x a =-==-， ∴4b =-，代入顶点可得4c =-， ∴抛物线的解析式为244y x x =---；②抛物线2y x bx c =-++与线段AB 有交点，∴顶点坐标为(),2m m +，∴抛物线的解析式可化为()22y x m m =--++， 把点()4,2A --代入解析式可得，()2242m m -=---++，13m =-，24m =-，∴43m -≤≤-，把点()2.2B -代入解析式得， ()2222m m ---++=-， 30m =，45m =，∴0＜5m ≤；综上所述：43m -≤≤-或0＜5m ≤．【点睛】本题主要考查了二次函数与一次函数的综合，准确分析计算是解题的关键．24．（1）22y x x =-++；（2）52-+ 【分析】（1）由题意可知点B 、D 的坐标分别为（2，0），（0，2），利用待定系数法即可求得二次函数关系式；（2）先分别表示出点P 、Q 的横坐标，进而可表示出它们的纵坐标，再根据题意列出方程求解即可．【详解】解：（1）由题意可知点B 、D 的坐标分别为（2，0），（0，2），将（2，0），（0，2）代入2y x bx c =-++，得 4202b c c -++=⎧⎨=⎩解得12b c =⎧⎨=⎩∴二次函数的表达式为22y x x =-++；（2）∵正方形ABCD 向左平移m 个单位（0m >），边AD 与BC 分别与（1）中的二次函数图像交于P 、Q ，∴点P 的横坐标为-m ，点Q 的横坐标为2-m ，当x=-m 时，22y m m =--+，当x=2-m 时，2(2)22y m m +=---+ 23m m =-∵点Q 纵坐标是点P 纵坐标的2倍，∴2232(2)m m m m -=--+解得1m =，2m =（舍去）∴m 的值为52-+． 【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数关系式，正方形的性质等相关知识，熟练掌握待定系数法求二次函数关系式是解决本题的关键．25．（1）2s 或4s ；（2）不存在，证明见解析；（3）3秒，92【分析】（1）根据题意，利用t 表示个线段长度，根据面积为4可列出方程求解．（2）利用第一问中PCQ △的面积的表示方法，使其等于5，根据判别式判断方程是否有解．（3）利用求得的PCQ △的面积的表示的二次函数解析式，求出二次函数的最大值，符合题意即为所求最大面积．【详解】解：（1）由题意得：AP CQ t ==，6PC AC AP t ∴=-=-， 11(6)422PCQ S PC CQ t t ∴=⋅=-⋅=， 2680t t ∴-+=，(2)(4)0t t --=，12t =，24t =，∴2s 或4s 后PCQ △的面积为4．（2）1(6)52PCQ S t t =-=，26100t t -+=， 2(6)41040∆=--⨯=-<，方程无解，故PCQ △的面积不能为5．（3）1(6)2PCQ St t =-()216992t t =--+-219(3)22t =--+，， ∴当3t =时，max 92PCQ S =． 【点睛】 本题考查的是一元二次方程以及二次函数的应用，三角形的面积公式的求法和一元二次方程的解的情况．26．（1）1a =，3b =，4c =；（2）()1,6；（3）最小值为5，F 点的坐标为()1,2【分析】（1）将()1,0A -与()0,4C分别代入二次函数2y x bx c =-++和一次函数y x a =+求解即可；（2）过点E 作x 轴的垂线1，交x 轴于点G ，交AD 于点H ，过点D 作l 的垂线，垂足为T ，由（1）可设点()2,34E m m m -++，则点H 的坐标为(),1m m +，然后根据割补法进行求解面积即可；（3）过A 作y 轴的平行线AS ，过F 作FG y ⊥轴交AS 于点M ，过F 作FN x ⊥轴于N ，由题意易得45DAB ∠=︒，则可证FM FN =，进而可得当N 、F 、E 所在直线与x 轴垂直时，1d FE FN =+-最小，然后问题可求解．【详解】（1）解：将()1,0A -与()0,4C分别代入二次函数2y x bx c =-++，得()2104b c c ⎧---+=⎪⎨=⎪⎩ ， 解得34b c =⎧⎨=⎩； 将点()1,0A -代入一次函数y x a =+，得10a -+=，解得1a =，∴1a =，3b =，4c =；（2）解：由（1）所求的a ，b ，c 的值可得一次函数的解析式为：1y x =+，抛物线的解析式为：234y x x =-++，联立1y x =+与234y x x =-++得2134y x y x x =+⎧⎨=-++⎩，解得34x y =⎧⎨=⎩ ∴点D 的坐标为：()3,4，设点()2,34E m m m -++， 过点E 作x 轴的垂线1，交x 轴于点G ，交AD 于点H ，则点H 的坐标为(),1m m +，过点D 作l 的垂线，垂足为T ；∴223EH m m =-++，4=AD ， ∴()11112222AED AEH HED S S S EH AG EH DT EH AG DT =+=⨯+⨯=+=△△△ ()()223414218m m m m -++--⨯=--+，当1m =时，最大值为8，此时点E 的坐标为()1,6；（3）解：过A 作y 轴的平行线AS ，过F 作FP y ⊥轴交AS 于点M ，过F 作FN x ⊥轴于N ，∵点D 的坐标为()3,4，点A 坐标为()1,0-∴45DAB ∠=︒，∴AD 平分SAB ∠，∴FM FN =，∴11d FE FM FE FN =+-=+-显然，当N 、F 、E 所在直线与x 轴垂直时，1d FE FN =+-最小，最小值为615-=．此时点F 的横坐标为1，代入1y x =+得F 点的坐标为()1,2．【点睛】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．。

2022-2023学年北师大版九年级数学下册《第2章二次函数》单元综合达标测试题(附答案)

2022-2023学年北师大版九年级数学下册《第2章二次函数》单元综合达标测试题（附答案）一．选择题（共10小题，满分30分）1．在下列关于x的函数中，一定是二次函数的是（）A．y＝﹣3x B．xy＝2C．y＝ax2+bx+c D．y＝2x2+52．下列各点中，在抛物线y＝x2﹣4上的是（）A．（1，3）B．（﹣1，﹣3）C．（1，﹣5）D．（﹣1，﹣5）3．抛物线y＝﹣（x﹣5）2+3的顶点坐标是（）A．（﹣5，3）B．（5，3）C．（3，5）D．（5，﹣3）4．将抛物线y＝x2﹣3向左平移2个单位后得到的抛物线表达式是（）A．y＝x2﹣1B．y＝x2﹣5C．y＝（x+2）2﹣3D．y＝（x﹣2）2﹣3 5．已知b＞0时，二次函数y＝ax2+bx+a2﹣1的图象如下列四个图之一所示：根据图象分析，a的值等于（）A．﹣2B．﹣1C．1D．26．如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，则水面下降1m时，水面宽度增加（）A．1m B．2m C．（2﹣4）m D．（﹣2）m 7．设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝﹣（x+1）2+a上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（）A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2C．y3＞y2＞y1D．y3＞y1＞y28．如图，抛物线y1＝a（x+1）2﹣5与抛物线y2＝﹣a（x﹣1）2+5（a≠0）交于点A（2，4），B（m，﹣4），若无论x取任何值，y总取y1，y2中的最小值，则y的最大值是（）A．4B．5C．2D．19．已知函数y＝，若使y＝k成立的x值恰好有两个，则k的值为（）A．﹣1B．1C．0D．±110．抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标（﹣2，3），抛物线与x轴的一个交点在点（﹣4，0）和点（﹣3，0）之间，其部分图象如图所示，有下列说法：①4a﹣b＝0；②a﹣b+c＝0；③若（﹣4，y1），（1，y2）是抛物线上的两点，则y1＞y2；④b2+3b＝4ac．其中正确的个数有（）A．4B．3C．2D．1二．填空题（共7小题，满分21分）11．已知抛物线y＝（a+3）x2开口向下，那么a的取值范围是．12．请写出一个开口向下，对称轴为直线x＝2，且与y轴的交点坐标为（0，3）的抛物线的解析式．13．已知二次函数y＝x2+2mx+2，当x＞2时，y的值随x值的增大而增大，则实数m的取值范围是．14．抛物线y＝（m2﹣2）x2﹣4mx+n的对称轴是直线x＝2，且它的最高点在直线y＝x+2上，则m＝，n＝．15．二次函数y＝ax2+bx+c的部分对应值如下表：x…﹣3﹣20135…y…70﹣8﹣9﹣57…则当x＝2时对应的函数值y＝．16．如图在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+mx+2的图象与x轴交于A、B两点，与y 轴交于C点，其顶点为D，若△ABC与△ABD的面积比为3：5，则m值为．17．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+3交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y＝﹣x2+2x+1与y轴交于C点，若点E在抛物线的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，则CE+EF的最小值为．三．解答题（共9小题，满分69分）18．用配方法把二次函数y＝x2﹣4x+5化为y＝a（x﹣m）2+k的形式，并写出该函数图象的顶点坐标．19．已知抛物线y＝ax2+bx+1经过点（1，﹣2），（﹣2，13）．（1）求a，b的值；（2）若（5，n），（m，n）是抛物线上不同的两点，求m的值．20．已知二次函数的图象经过点A（﹣1，0）和点B（3，0），且有最小值为﹣2．（1）求这个函数的解析式；（2）函数的开口方向、对称轴；（3）当y＞0时，x的取值范围．21．已知函数y＝（n+1）x m+mx+1﹣n（m，n为实数）（1）当m，n取何值时，此函数是我们学过的哪一类函数？它一定与x轴有交点吗？请判断并说明理由；（2）若它是一个二次函数，假设n＞﹣1，那么：①当x＜0时，y随x的增大而减小，请判断这个命题的真假并说明理由；②它一定经过哪个点？请说明理由．22．如图所示，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A和点B（5，0），与y轴交于点C（0，5）．（1）求抛物线的表达式；（2）若点M是抛物线在x轴下方的动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，求线段MN的最大值．23．如图1，地面OB上两根等长立柱AO，CB之间悬挂一根近似成抛物线y＝x2﹣x+3的绳子．（1）求绳子最低点离地面的距离；（2）因实际需要，在离AO为3米的位置处用一根立柱MN撑起绳子（如图2），使左边抛物线F1的最低点距MN为1米，离地面1.8米，求MN的长；（3）保持（2）中点N的位置不变，将立柱MN的长度提升为3米，发现抛物线F1和F2的形状和大小都一样，测得抛物线F1和F2的最低点到地面的高度相差0.5米，求抛物线F1对应函数的二次项系数．24．已知二次函数y＝x2+px+q图象的顶点M为直线y＝x与y＝﹣x+m的交点．（1）用含m的代数式表示顶点M的坐标；（2）若二次函数y＝x2+px+q的图象经过点A（0，3），求二次函数的表达式；（3）当m＝6且x满足t﹣1≤x≤t+3时，二次函数y＝x2+px+q的最小值为2，求t的取值范围．25．某商品的进价为每件20元，售价为每件30元，每月可卖出180件．如果该商品的售价每上涨1元，就会少卖出10件，但每件售价不能高于35元，设每件商品的售价上涨x 元（x为整数）时，月销售利润为y元．（1）求y与x之间的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围．（2）当每件商品的售价定为多少元时，可获得的月利润最大？最大月利润是多少？26．在平面直角坐标系中，点A（0，4），点B（2m，4）（m为常数，且m＞0），将点A绕线段AB中点顺时针旋转90°得到点C．经过A、B、C三点的抛物线记为G．（1）当m＝2时，求抛物线G所对应的函数表达式．（2）用含m的式子分别表示点C的坐标和抛物线G所对应的函数表达式．（直接写出即可）（3）当抛物线G在直线x＝﹣2和x＝2之间的部分（包括边界点）的最高点与最低点的纵坐标之差为8时，直接写出m的取值范围．（4）连结AC，点R在线段AC上，过点R作x轴的平行线与抛物线G交于P、Q两点，连结AP、AQ．当点R将线段PQ分成1：3两部分，且△APQ的面积为时，求m的值．参考答案一．选择题（共10小题，满分30分）1．解：A、y＝﹣3x是一次函数，不是二次函数，故此选项不符合题意；B、xy＝2不是二次函数，故此选项不符合题意；C、a＝0时不是二次函数，故此选项不符合题意；D、y＝2x2+5是二次函数，故此选项符合题意；故选：D．2．解：当x＝1时，y＝x2﹣4＝﹣3；当x＝﹣1时，y＝x2﹣5＝﹣3；∴点（﹣1，﹣3）在抛物线上，点（1，3）、（1，﹣5）、（﹣1，﹣5）都不在抛物线上．故选：B．3．解：抛物线y＝﹣（x﹣5）2+3的顶点坐标是（5，3）．故选：B．4．解：将抛物线y＝x2﹣3向左平移2个单位后得到的抛物线表达式是y＝（x+2）2﹣3．故选：C．5．解：因为前两个图象的对称轴是y轴，所以﹣＝0，又因为a≠0，所以b＝0，与b＞0矛盾；第三个图的对称轴﹣＞0，a＞0，则b＜0，与b＞0矛盾；故第四个图正确．由于第四个图过原点，所以将（0，0）代入解析式，得：a2﹣1＝0，解得a＝±1，由于开口向下，a＝﹣1．故选：B．6．解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，可求出OA和OB为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2），通过以上条件可设顶点式y＝ax2+2，其中a可通过代入A点坐标（﹣2，0），到抛物线解析式得出：a＝﹣0.5，所以抛物线解析式为y＝﹣0.5x2+2，当水面下降1米，通过抛物线在图上的观察可转化为：当y＝﹣1时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y＝﹣1与抛物线相交的两点之间的距离，可以通过把y＝﹣1代入抛物线解析式得出：﹣1＝﹣0.5x2+2，解得：x＝±，所以水面宽度增加到2米，比原先的宽度当然是增加了2﹣4．故选：C．7．解：∵函数的解析式是y＝﹣（x+1）2+a，如右图，∴对称轴是直线x＝﹣1，∴点A关于对称轴的点A′是（0，y1），那么点A′、B、C都在对称轴的右边，而对称轴右边y随x的增大而减小，于是y1＞y2＞y3．故选：A．8．解：由题意可知：y的函数图象如图所示：观察函数图象可知：点A为函数y的图象的最高点，∴y的最大值为4．故选：A．9．解：函数y＝的图象如图：根据图象知道当y＝﹣1或y＝1时，对应成立的x有恰好有2个，则k的值为±1．故选：D．10．解：∵抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣2，∴﹣＝﹣2，∴4a﹣b＝0，因此①正确；∵抛物线的对称轴为x＝﹣2，图象与x轴的一个交点在点（﹣4，0）和点（﹣3，0）之间，∴抛物线与x轴的另一个交点在点（﹣1，0）和点（0，0）之间，∴当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，因此②不正确；∵|﹣4﹣（﹣2）|＜|1﹣（﹣2）|，∴（﹣4，y1）到对称轴的水平距离小于（1，y2）到对称轴的水平距离，且抛物线开口向下，∴y1＞y2，故③正确；∵抛物线的顶点坐标为（﹣2，3），∴＝3，∴b2+12a＝4ac，∵4a﹣b＝0，∴b＝4a，∴b2+3b＝4ac，故④正确；∴正确的有：①③④，故选：B．二．填空题（共7小题，满分21分）11．解：∵抛物线y＝（a+3）x2开口向下，∴a+3＜0，∴a＜﹣3．故答案为：a＜﹣3．12．解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，令a＝﹣1，设抛物线的关系式为y＝﹣（x﹣h）2+k，∵对称轴为直线x＝2，∴h＝2，把（0，3）代入得，3＝﹣（0﹣2）2+k，解得，k＝7，∴抛物线的关系式为：y＝﹣（x﹣2）2+7，故答案为：y＝﹣（x﹣2）2+7（答案不唯一）．13．解：抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣m，∵a＝1＞0，∴抛物线开口向上，∵当x＞2时，y的值随x值的增大而增大，∴﹣m≤2，解得m≥﹣2．故答案为：m≥﹣2．14．解：∵抛物线y＝（m2﹣2）x2﹣4mx+n的对称轴是直线x＝2，且它的最高点在直线y ＝x+2上，∴，当x＝2时，y＝×2+2＝3，∴m＝﹣1，该抛物线的顶点坐标为（2，3），∴3＝[（﹣1）2﹣2]×22﹣4×（﹣1）×2+n，解得，n＝﹣1，故答案为：﹣1，﹣1．15．解：观察表格可知，当x＝﹣3或5时，y＝7，根据二次函数图象的对称性，（﹣3，7），（5，7）是抛物线上两对称点，对称轴为直线x＝＝1，顶点（1，﹣9），根据对称性，x＝2与x＝0时，函数值相等，都是﹣8．16．解：∵y＝x2+mx+2＝（x+）2+2﹣，∴顶点D（﹣，2﹣），C（0，2），∴OC＝2，∵S△ABC＝AB•OC＝AB×2＝AB，S△ABD＝AB•|2﹣|，△ABC与△ABD的面积比为3：5，∴AB：AB•|2﹣|＝3：5，解得：m＝﹣．故答案是：﹣．17．解：如图，设C点关于抛物线对称轴的对称点为C′，由对称的性质可得CE＝C′E，∴CE+EF＝C′E+EF，∴当F、E、C′三点一线且C′F与AB垂直时CE+EF最小，直线AB的解析式为y＝x+3，∵C（0，1），∴C′（2，1），∴直线C′F的解析式为y＝﹣x+，联立直线C′F和直线AB得：x+3＝﹣x+，解得x＝，代入解得y＝，∴F（，），∴C′F＝＝，即CE+EF的最小值为．故答案为．三．解答题（共9小题，满分69分）18．解：y＝x2﹣4x+5＝（x2﹣8x）+5＝（x2﹣8x+16）+5﹣8＝（x﹣4）2﹣3，∴顶点（4，﹣3）．19．解：（1）把点（1，﹣2），（﹣2，13）代入y＝ax2+bx+1得，，解得：；（2）由（1）得函数解析式为y＝x2﹣4x+1，∴对称轴是直线x＝﹣＝2，∵（5，n），（m，n）是抛物线上不同的两点，纵坐标相同，∴（5，n），（m，n）是对称点，∴＝2，解得m＝﹣1．20．解：（1）由题意得：函数的对称轴为x＝1，此时y＝﹣2，则函数的表达式为：y＝a（x﹣1）2﹣2，把点A坐标代入上式，解得：a＝，则函数的表达式为：y＝x2﹣x﹣（2）a＝＞0，函数开口向上，对称轴为：x＝1；（3）当y＞0时，x的取值范围为：x＞3或x＜﹣1．21．解：（1）①当m＝1，n≠﹣2时，函数y＝（n+1）x m+mx+1﹣n（m，n为实数）是一次函数，它一定与x轴有一个交点，∵当y＝0时，（n+1）x m+mx+1﹣n＝0，∴x＝，∴函数y＝（n+1）x m+mx+1﹣n（m，n为实数）与x轴有交点；②当m＝2，n≠﹣1时，函数y＝（n+1）x m+mx+1﹣n（m，n为实数）是二次函数，当y＝0时，y＝（n+1）x m+mx+1﹣n＝0，即：（n+1）x2+2x+1﹣n＝0，△＝22﹣4（1+n）（1﹣n）＝4n2≥0；∴函数y＝（n+1）x m+mx+1﹣n（m，n为实数）与x轴有交点；③当n＝﹣1，m≠0时，函数y＝（n+1）x m+mx+1﹣n是一次函数，当y＝0时，x＝，∴函数y＝（n+1）x m+mx+1﹣n（m，n为实数）与x轴有交点；（2）①假命题，若它是一个二次函数，则m＝2，函数y＝（n+1）x2+2x+1﹣n，∵n＞﹣1，∴n+1＞0，抛物线开口向上，对称轴：﹣＝＝﹣＜0，∴对称轴在y轴左侧，当x＜0时，y有可能随x的增大而增大，也可能随x的增大而减小，②当x＝1时，y＝n+1+2+1﹣n＝4．当x＝﹣1时，y＝0．∴它一定经过点（1，4）和（﹣1，0）．22．解：（1）将（5，0），（0，5）代入y＝x2+bx+c得，解得，∴y＝x2﹣6x+5．（2）设直线BC解析式为y＝kx+n，将（5，0），（0，5）代入y＝kx+n得，解得，∴y＝﹣x+5，设点M坐标为（m，m2﹣6m+5），则点N坐标为（m，﹣m+5），∴MN＝﹣m+5﹣（m2﹣6m+5）＝﹣m2+5m＝﹣（m﹣）2+，∴MN最大值为．23．解：（1）∵＞0，∴抛物线开口向上，抛物线的顶点为最低点，∵y＝x2﹣x+3＝（x﹣4）2+，∴绳子最低点离地面的距离为m；（2）由（1）可知，对称轴为x＝4，则BO＝8，令x＝0得y＝3，∴A（0，3），C（8，3），由题意可得：抛物线F1的顶点坐标为：（2，1.8），设F1的解析式为：y＝a（x﹣2）2+1.8，将（0，3）代入得：4a+1.8＝3，解得：a＝0.3，∴抛物线F1为：y＝0.3（x﹣2）2+1.8，当x＝3时，y＝0.3×1+1.8＝2.1，∴MN的长度为2.1米；（3）∵MN＝3，点M（3，3），∵抛物线F1和F2的形状和大小都一样，∴设抛物线F1的解析式为y＝a（x﹣）2+k1，F2的解析式为y＝a（x﹣）2+k2，抛物线F1和F2的最低点到地面的高度分别为k1和k2，由题意，得k1﹣k2＝0.5，把点M（3，3）分别代入y＝a（x﹣）2+k1和y＝a（x﹣）2+k2，得k1＝3﹣a，k2＝3﹣a，∴3﹣a﹣（3﹣a）＝0.5，解得：a＝．∴抛物线F1对应函数的二次项系数为．24．解：（1）由，得，即顶点M坐标为（m，m）；（2）∵此时二次函数为y＝（x﹣m）2+m过点A（0，3），∴3＝（0﹣m）2+m得m1＝﹣3，m2＝，∴y＝（x+2）2﹣1或y＝（x﹣）2+；（3）当m＝6时，顶点为M（4，2），∴抛物线为y＝（x﹣4）2+2，函数的最小值为2，∵x满足t﹣1≤x≤t+3时，二次函数的最小值为2，∴，解得1≤t≤5．25．解：（1）y＝（30﹣20+x）（180﹣10x）＝﹣10x2+80x+1800（0≤x≤5，且x为整数）；（2）由（1）知，y＝﹣10x2+80x+1800（0≤x≤5，且x为整数）．∵﹣10＜0，∴当x＝＝4时，y最大＝1960元；∴每件商品的售价为34元．答：每件商品的售价为34元时，商品的利润最大，为1960元；26．解：（1）由题意可知，点C为抛物线G的顶点，当m＝2时，C（2，6），设G所对应的函数的表达式为y＝a（x﹣2）2+6（a≠0），将点A（0，4）代入y＝a（x﹣2）2+6得4＝4a+6，解得a＝﹣．∴y＝﹣（x﹣2）2+6．（2）∵抛物线对称轴为直线x＝＝m，∴点C坐标为（m，m+4），设抛物线解析式为y＝a（x﹣m）2+m+4，把（0，4）代入y＝a（x﹣m）2+m+4得4＝am2+m+4，解得a＝﹣，∴y＝﹣（x﹣m）2+m+4．（3）①0＜m≤2时，在直线x＝﹣2和x＝2之间的部分的抛物线最高点为顶点（m，m+4），最低点为直线x＝﹣2与抛物线交点（﹣2，﹣），m+4﹣（﹣）＝8时，解得m＝2．②当m＞2时，图象最高点为直线x＝2与抛物线交点（2，﹣+8），最低点为直线x＝﹣2与抛物线交点（﹣2，﹣），﹣+8﹣（﹣）＝8，∴m＞2符合题意，∴m≥2．（4）作CD⊥PQ于点D，∵点R将线段PQ分成1：3两部分，∴PQ＝4PR＝2PD，∴PR＝RD，∴CD＝RD，∴PQ＝4CD，设CD＝t，则PQ＝4t，∴点Q的坐标为（m+2t，m+4﹣t），∴＝﹣（m+2t﹣m）2+m+4＝m+4﹣t．解得t＝m．∴点Q坐标为（m，m+4），PQ＝m，∵△APQ的面积为，∴m（m+4﹣4）＝，解得m＝或m＝﹣（舍）．∴m＝．。

二次函数测试题及答案

二次函数测试题及答案一、选择题1. 下列哪个选项不是二次函数的一般形式？A. y = ax^2 + bx + cB. y = 3x^2 - 2x + 1C. y = 5x^2 + 3D. y = 2x答案：D2. 二次函数y = ax^2 + bx + c的顶点坐标是：A. (-b, c)B. (-b/2a, c)C. (-b/2a, 4ac - b^2 / 4a)D. (-b/a, 4ac - b^2 / 4a)答案：C3. 若二次函数y = ax^2 + bx + c的图象开口向上，则a的取值范围是：A. a > 0B. a < 0C. a = 0D. a ≠ 0答案：A二、填空题4. 二次函数y = x^2 - 2x + 1的顶点坐标是_________。

答案：(1, 0)5. 当a > 0时，二次函数y = ax^2 + bx + c的图象与x轴的交点个数最多为_______。

答案：2三、解答题6. 已知二次函数y = 2x^2 - 4x + 3，求其顶点坐标。

解：首先，我们可以将二次函数写成顶点形式：y = 2(x - 1)^2 + 1。

因此，顶点坐标为(1, 1)。

7. 某二次函数的图象经过点(1, 1)和(2, 4)，且对称轴为直线x = 2。

求该二次函数的解析式。

解：设二次函数的解析式为y = a(x - 2)^2 + k。

将点(1, 1)代入得：1 = a(1 - 2)^2 + k1 = a + k将点(2, 4)代入得：4 = a(2 - 2)^2 + k4 = k由上述两个方程组可得a = -3，k = 4。

因此，该二次函数的解析式为y = -3(x - 2)^2 + 4。

四、应用题8. 某工厂生产一种产品，其成本函数为C(x) = 0.5x^2 - 10x + 100，其中x表示产品数量。

求该工厂生产多少件产品时，平均成本最低。

解：平均成本为C(x)/x = 0.5x - 10 + 100/x。

2021-2022学年度华东师大版九年级数学下册第26章二次函数综合测试试题(含详细解析)

华东师大版九年级数学下册第26章二次函数综合测试考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为（﹣2，﹣9a），下列结论：①4a+2b+c＞0；②5a﹣b+c＝0；③若关于x 的方程ax2+bx+c＝1 有两个根，则这两个根的和为﹣4；④若关于 x 的方程a（x+5）（x﹣1）=﹣1 有两个根x1和x2，且x1＜x2，则﹣5＜x1＜x2＜1．其中正确的结论有（）A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个2、对于二次函数y＝（x+1）2+2的图象，下列说法正确的是（）A．开口向下B．对称轴是直线x＝1C．顶点坐标是（﹣1，2）D ．当x ≥﹣1时，y 随x 增大而减小3、抛物线()241y x =-+的顶点坐标是（ ） A ．()4,1 B ．()4,1- C ．()41-, D ．()4,1--4、已知()11,A y -，()23,B y -，()34,C y 在二次函数26y x x c =--+的图象上，1y ，2y ，3y 则的大小关系是（ ）A ．312y y y >>B ．213y y y >>C ．123y y y >>D ．321y y y >>5、已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）A ．0a >，0c >B ．0a >，0c <C ．0a <，0c >D ．0a <，0c <6、函数269y x x =-+向左平移m 个单位后其图象恰好经过坐标原点，则m 的值为（ ）A ．3-B ．1-C ．3D ．1-或37、抛物线277y kx x =--的图象和x 轴有交点，则k 的取值范围是（ ）A ．74k >-B ．74k ≥-且0k ≠C ．74k ≥-D ．74k >-且0k ≠ 8、在抛物线244y x x =--上的一个点是（ ）A ．()4,4-B ．()3,1-C ．()2,8--D ．()2,7--9、己知二次函数223y x x n =--+-（n 为常数），()()12,,3,P a y Q y 分别是该函数图像上的两点，若12y y >，则a 的取值范围是（ ）A ．5a <-B ．53a -<<C ．5a <-或3a >D ．3a >10、已知二次项系数等于1的一个二次函数，其图象与x 轴交于(),0m ，,0n 两点，且过()0,A a ，4,B b 两点．若03m n <<<，则ab 的取值范围为（ ）A ．06ab <<B ．08ab <<C ．012ab <<D ．016ab << 第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（10小题，每小题3分，共计30分）1、二次函数 24y x x =- 图像上的最低点的纵坐标为____________．2、已知抛物线223y ax x =-+经过点()2,3A ．若点(),B m n 在该抛物线上，且23m -<<，则n 的取值范围为______．3、如图，小明在一次高尔夫球训练中，从山坡下P 点打出一球向球洞A 点飞去，球的飞行路线为抛物线，如果不考虑空气阻力，当球达到最大高度BD 为12米时，球移动的水平距离PD 为9米．已知山坡PA 的坡度为1：2（即:AC PC ），洞口A 离点P 的水平距离PC 为12米，则小明这一杆球移动到洞口A 正上方时离洞口A 的距离AE 为______米．4、函数2112y x x=+的图象如图所示，在下列结论中：①该函数自变量x 的取值范围是0x ≠；② 该函数有最小值32；③方程21132x x+=有三个根；④如果()11,x y 和()22,x y 是该函数图象上的两个点，当120x x <<时一定有12y y <．所有正确结论的序号是______．5、已知二次函数y ＝（m ﹣2）x 2﹣4x +2m ﹣8的图象经过原点，它可以由抛物线y ＝ax 2（a ≠0）平移得到，则a 的值是 _____．6、如果抛物线21y x bx =-+-的对称轴是y 轴，那么顶点坐标为_________7、已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，有下列五个结论：①0abc >；②b a c <+；③420a b c ++>；④23c b <；⑤()a b m am b +>+（m 为实数且1m ≠）．其中正确的结论有______（只填序号）．8、如图，已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与直线y ＝k ＋m 交于A （﹣3，﹣1）、B （0，3）两点，则关于x的不等式ax 2+bx +c ＞kx +m 的解集是______．9、已知，抛物线y ＝mx 2+2mx +n （m ＞0）上有两点P （t ，y 1）和Q （t +3，y 2）．（1）此抛物线的对称轴是 _____．（2）若y 1＞y 2，则t 的取值范围是 _____．10、把抛物线y ＝x 2+1向右平移1个单位，所得新抛物线的表达式是___．三、解答题（5小题，每小题8分，共计40分）1、如图， 在平面直角坐标系 xQ ，中， 直线 5y x =-+ 与 x 牰交于点 A ， 与 y 轴交于点 B ． 点C 为拋物线 223122y ax a x a a =-++ 的顶点．(1)用含 a 的代数式表示顶点 C 的坐标：(2)当顶点 C 在 AOB 内部， 且 52AOC S = 时，求抛物线的表达式： (3)如果将抛物线向右平移一个单位，再向下平移 12 个单位后，平移后的抛物线的顶 点 P 仍在 AOB 内， 求 a 的取值范围．2、已知抛物线y ＝ax 2+bx +3交y 轴于点A ，交x 轴于点B (﹣3，0)和点C (1，0)，顶点为点M ．（1）请求出抛物线的解析式和顶点M的坐标；（2）如图1，点E为x轴上一动点，若AME的周长最小，请求出点E的坐标；（3）点F为直线AB上一个动点，点P为抛物线上一个动点，若BFP为等腰直角三角形，请直接写出点P的坐标．3、如图，一高尔夫球从山坡下的点O处打出一球，球向山坡上的球洞点A处飞去，球的飞行路线为抛物线．如果不考虑空气阻力，当球达到最大高度12m时，球移动的水平距离为9m．已知山坡OA与水平方向OC的夹角为30°，O、A两点间的距离为．(1)建立适当的直角坐标系，求这个球的飞行路线所在抛物线的函数表达式．(2)这一杆能否把高尔夫球从点O处直接打入点A处球洞？4、如图，将边长为4的正方形纸片ABCD折叠，使点A落在边CD上的点M处（不与点C、D重合），连接AM，折痕EF分别交AD、BC、AM于点E、F、H，边AB折叠后交边BC于点G．(1)求证：EDM∽MCG；(2)若DM＝13CD，求CG的长；(3)若点M 是边CD 上的动点，四边形CDEF 的面积S 是否存在最值？若存在，求出这个最值；若不存在，说明理由．5、如图，在平面直角坐标系中，开口向上的抛物线与x 轴交于A 、B 两点，D 为抛物线的顶点，O 为坐标原点．若OA 、OB （OA OB <）的长分别是方程2430x x -+=的两根，且45DAB ∠=︒．(1)求抛物线对应的二次函数的解析式；(2)过点A 作AC AD ⊥交抛物线于点C ，求点C 的坐标；(3)在（2）的条件下，过点A 任作直线l 交线段CD 于点P ，设点C 、点D 到直线l 的距离分别为1d 、2d ，试求12d d +的最大值．-参考答案-一、单选题1、C【解析】【分析】222494b a ac b a a⎧-=-⎪⎪⎨-⎪=-⎪⎩求解,,a b c 的数量关系；将2x =代入①式中求解判断正误；②将45b a c a ==-，代入，合并同类项判断正负即可；③中方程的根关于对称轴对称，1222+=-x x 求解判断正误；④中求出二次函数与x 轴的交点坐标，然后观察方程的解的取值即可判断正误．【详解】 解：由顶点坐标知222494b a ac b a a⎧-=-⎪⎪⎨-⎪=-⎪⎩ 解得45b a c a ==-，∵0a >∴当2x =时，4248570a b c a a a a ++=+-=>，故①正确，符合题意；554540a b c a a a a -+=--=-<，故②错误，不符合题意；方程的根为2y ax bx c =++的图象与直线1y =的交点的横坐标，即12x x ，关于直线2x =-对称，故有1222+=-x x ，即124x x +=-，故③正确，符合题意； ()()()224551y ax bx c a x x a x x =++=+-=+-，与x 轴的交点坐标为()()5,01,0-，，方程()()511a x x +-=-的根为二次函数图象与直线1y =-的交点的横坐标，故可知1251x x -<<<，故④正确，符合题意；故选C ．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与二次方程等知识．解题的关键与难点在于从图象中提取信息，并且熟练掌握二次函数与二次方程的关系．2、C【解析】【分析】根据a 的正负判断开口方向，通过抛物线的y =a （x -h ）2+k 解析式判定对称轴、顶点坐标，根据二次函数的性质即可判断．【详解】解：对于二次函数y ＝（x +1）2+2的图象，∵a =1＞0，所以开口向上，A 选项错误；对称轴为直线x =-1，B 选项错误；顶点坐标为（-1，2），所以C 选项正确；∵a =1＞0，∴当x ≥﹣1时，y 随x 增大而增大．所以D 选项错误；故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的顶点式为2()y a x k h =-+，则抛物线的对称轴为直线x k =，顶点坐标为(k ，h ) ．3、A【解析】【分析】根据顶点式2()y a x h k =-+的顶点坐标为(),h k 求解即可【详解】解：抛物线()241y x =-+的顶点坐标是(4,1)故选A【点睛】本题考查了二次函数顶点式2()y a x h k =-+的顶点坐标为(),h k ，掌握顶点式求顶点坐标是解题的关键．4、B【解析】【分析】由抛物线开口向下且对称轴为直线x =-3知离对称轴水平距离越远，函数值越大，据此求解可得．【详解】解：∵二次函数26y x x c =--+中a =-1<0，∴抛物线开口向下，有最大值．∵x =-2b a=-3， ∴离对称轴水平距离越远，函数值越小，∵-3-（-3）＜-1-（-3）＜4-（-3），∴213y y y >>．故选：B ．【点睛】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数的图象与性质．5、C【解析】【分析】根据抛物线的开口方向以及与y 轴的交点位置进行判断即可．【详解】∵抛物线开口方向向下，∴a ＜0.∵抛物线与y 轴交点坐标为（0，c ）点，由图知，该点在x 轴上方，∴c ＞0.故选C.【点睛】本题考查了二次函数的图象与各项系数之间的关系，数形结合是解题的关键．6、C【解析】【分析】把函数解析式整理成顶点式形式，再根据向左平移横坐标减表示出平移后的抛物线解析式，再把原点的坐标代入计算即可得解．【详解】解：()22693y x x x =-+=-， ∴向左平移m 个单位后的函数解析式为()23y x m =-+， 函数图象经过坐标原点，()2030m ∴-+=， 解得3m =．故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用顶点的变化确定函数解析式的变化求解更加简便，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．7、B【解析】【分析】抛物线277y kx x =--的图象和x 轴有交点，即一元二次方程2770kx x --=有解，此时△0．【详解】 解：抛物线277y kx x =--的图象和x 轴有交点，即0y =时方程2770kx x --=有实数根，即△240b ac =-，即49280k +， 解得74k -，且0k ≠．故选：B ．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，抛物线和一元二次方程的关系，解题的关键是掌握一元二次方程根的判别式．8、A【解析】【分析】把x 的值代入，计算函数值，比较，等于给定的函数值即可．【详解】当x =4时，24444y =-⨯=-，∴A 符合题意；当x =3时，2343471y =-⨯-=-≠-，∴B 不符合题意；当x =-2时，2(2)4(2)488y =--⨯--=≠-，∴C 不符合题意；当x =-2时，2(2)4(2)487y =--⨯--=≠-，∴D 不符合题意；故选A ．【点睛】本题考查了图像与点的关系，熟练掌握图像过点，则点的坐标满足函数的解析式是解题的关键．9、B【解析】【分析】由二次函数解析式得出函数的对称轴及增减性，利用增减性进行求解．【详解】解：()()12,,3,P a y Q y 是函数223y x x n =--+-的图象上的两点，且12y y >，223y x x n =--+-关于12b x a =-=-对称，且开口向下， ∴在1x <-时，函数值随自变量的增大而增大，在1x >-时，函数值随自变量的增大而增小，根据对称可知：5a =-时，12y y =，∴要使得12y y >，得：53a -<<，故选：B ．本题考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的性质．10、D【解析】【分析】由题意可设抛物线为y =（x -m ）（x -n ），则222424abm n ，再利用二次函数的性质可得答案.【详解】解：由已知二次项系数等于1的一个二次函数，其图象与x 轴交于两点（m ，0），（n ，0），所以可设交点式y =（x -m ）（x -n ），分别代入()0,A a ，4,B b ，∴,44,a mn b m n224444ab mn m n m m n n222424m n∵0＜m ＜n ＜3，∴0＜224m ≤4 ，0＜224n ≤4 ，∵m ＜n ，∴ab 不能取16 ，∴0＜ab ＜16 ，【点睛】本题考查的是二次函数的图象与性质，根据二次函数的性质得到222424abm n 是解本题的关键.二、填空题1、4-【解析】【分析】直接利用二次函数最值求法得出函数顶点式，进而得出答案．【详解】 解：二次函数224(2)4y x x x =-=--，∴二次函数图象上的最低点的纵坐标为：4-． 故答案为：4-．【点睛】本题主要考查了二次函数的最值，解题的关键是正确得出二次函数顶点式．2、211n ≤<【解析】【分析】将点()2,3A 代入求出抛物线的解析式，再求出对称轴为直线1x =，开口向上，自变量离对称轴越远，因变量越大即可求解．【详解】解：将()2,3A 代入223y ax x =-+中得到：3443=-+a ，解得1a =，∴抛物线的对称轴为直线1x =，且开口向上，根据“自变量离对称轴越远，其对应的因变量越大”可知，当2m =-时，对应的n 最大为：=4+4+3=11n ，当1m =时，对应的n 最小为：1232=-+=n ，故n 的取值范围为：211n ≤<，故答案为：211n ≤<．【点睛】本题考查二次函数的图像及性质，点在抛物线上，将点的坐标代入即可求解．3、143##243【解析】【分析】分析题意可知，抛物线的顶点坐标为（9，12），经过原点（0，0），设顶点式可求抛物线的解析式，在Rt △PAC 中，利用PA 的坡度为1：2求出AC 的长度，把点A 的横坐标x =12代入抛物线解析式，求出CE ，最后利用AE =CE -AC 得出结果．【详解】解：以P 为原点，PC 所在直线为x 轴建立如图所示的平面直角坐标系，可知：顶点B （9，12），抛物线经过原点，设抛物线的解析式为y =a （x -9）2+12，将点P （0，0）的坐标代入可得：0=a （0-9）2+12，求得a ＝−427， 故抛物线的解析式为：y =-427(x −9)²+12， ∵PC =12，:AC PC =1：2，∴点C 的坐标为（12，0），AC ＝6，即可得点A 的坐标为(12，6)，当x =12时，y ＝−427(12−9)²+12＝323=CE ， ∵E 在A 的正上方，∴AE =CE -AC =323-6=143， 故答案为：143． 【点睛】 本题考查了二次函数的应用及解直角三角形的知识，涉及了待定系数法求函数解析式的知识，注意建立数学模型，培养自己利用数学知识解决实际问题的能力，难度一般．4、①③##③①【解析】【分析】 根据函数解析式可知1x中0x ≠，则可判断①，根据函数图像不存在最小值，进而判断②，根据2112y x x =+与3y =存在3个交点可判断③当0x <时，y 随x 的增大而减小，进而即可判断④ 【详解】 解：2112y x x=+则，0x ≠，即函数图象与y 轴无交点，∴该函数自变量x 的取值范围是0x ≠；故①正确；根据函数图象可知，该函数图像不存在最小值，故②不正确； 如图2112y x x =+与3y =存在3个交点，则方程21132x x+=有三个根；故③正确当0x <时，y 随x 的增大而减小，如果()11,x y 和()22,x y 是该函数图象上的两个点，当120x x <<时一定有12y y >．故④不正确故正确的有①③故答案为：①③【点睛】本题考查了函数的图象与性质，类比反比例函数和二次函数的图象与性质是解题的关键． 5、2【解析】【分析】先由抛物线过原点求解m 的值，再由抛物线的平移不改变抛物线的形状与开口方向，所以二次项的系数相同，从而可得答案.【详解】 解： 二次函数y ＝（m ﹣2）x 2﹣4x +2m ﹣8的图象经过原点，280,m4,m ∴=所以抛物线为：224,y x x它可以由抛物线y ＝ax 2（a ≠0）平移得到，2.a ∴=故答案为：2【点睛】本题考查的是抛物线的性质，抛物线的平移，掌握“抛物线的平移不改变抛物线的形状与开口方向”是解本题的关键.6、（0，-1）【解析】【分析】 由题意知02b x a=-=，即可解得抛物线为21y x =--，将0x =代入即可求得顶点坐标的纵坐标． 【详解】21y x bx =-+-中a =-1，b =b 故()0221b b x a =-=-=⨯- 解得0b =故抛物线为21y x =--将0x =代入21y x =--有2011y =--=-故顶点坐标为（0，-1）故答案为：（0，-1）．【点睛】本题考察了二次函数的图象及其性质，二次函数2y ax bx c =++的对称轴为2b x a =-，与y 轴的交点为（0，c ）．7、③④⑤【解析】【分析】先利用二次函数的开口方向，与y 轴交于正半轴，二次函数的对称轴为：10,2b xa 判断,,abc 的符号，可判断①，由图象可得：1,a b c 在第三象限，可判断②，由抛物线与x 轴的一个交点在1,0,0,0之间，则与x 轴的另一个交点在()()2,0,3,0之间，可得点2,42a b c 在第一象限，可判断③，由3,93a b c 在第四象限，抛物线的对称轴为：1,2b x a =-= 即,2b a 可判断④，当1x =时，y a b c 最大值，当1x m m ，2,y am bm c =++ 此时：2,am bm c a b c 可判断⑤，从而可得答案.【详解】解：由二次函数的图象开口向下可得：0,a <二次函数的图象与y 轴交于正半轴，可得0,c > 二次函数的对称轴为：10,2b x a可得0,b > 所以：0,abc < 故①不符合题意；由图象可得：1,a b c 在第三象限， 0,a b c ,b a c 故②不符合题意； 由抛物线与x 轴的一个交点在1,0,0,0之间，则与x 轴的另一个交点在()()2,0,3,0之间， ∴ 点2,42a b c 在第一象限，420,a b c 故③符合题意；3,93a b c 在第四象限，930,a b c抛物线的对称轴为：1,2b x a =-= ,2b a930,2b b c 23,c b 故④符合题意；当1x =时，y a b c最大值，当1x m m ，2,y am bm c =++此时：2,am bm c a b c,m am b a b 故⑤符合题意；综上：符合题意的有：③④⑤，故答案为：③④⑤．【点睛】本题考查的是二次函数的图象与性质，熟练的应用二次函数的图象与性质判断代数式的符号是解题的关键.8、30x -<<【解析】【分析】根据图象写出抛物线在直线上方部分的x 的取值范围即可．【详解】解：∵抛物线y =ax 2+bx +c 与直线y =kx +m 交于A （-3，-1），B （0，3）两点，∴不等式ax 2+bx +c ＞kx +m 的解集是-3＜x ＜0．故答案为：-3＜x ＜0．【点睛】本题考查了二次函数与不等式的关系，主要利用了数形结合的思想．9、 1x =-； 52t <-【解析】【分析】（1）根据抛物线的对称轴为x ＝2b a -代入求解；（2）根据二次函数的性质， m >0说明抛物线的开口方向向上，y 1＞y 2，通过数形结合观察抛物线即可得到32t t ++＜﹣1，解得即可． 【详解】解：（1）∵抛物线y ＝mx 2+2mx +n （m ＞0），∴对称轴为直线x ＝﹣22m m＝﹣1； （2）∵抛物线y ＝mx 2+2mx +n （m ＞0）中，m ＞0，∴抛物线开口向上，∵抛物线y ＝mx 2+2mx +n （m ＞0）上有两点P （t ，y 1）和Q （t +3，y 2），且y 1＞y 2，∴画如图所示的草图，可知32t t ++＜﹣1， 解得t ＜﹣52，故答案为：t ＜﹣52．【点睛】本题考查了抛物线对称轴的定义，熟练掌握二次函数对称轴的公式是求解第1小题的关键，求t 的范围时画草图观察找出点P 点Q 横坐标的和的一半与对称轴的大小关系．10、222y x x -=+【解析】【分析】根据平移规律得到新抛物线顶点坐标，即可得的新抛物线的表达式．【详解】∵抛物线21y x =+的顶点坐标为(0,1)，∴抛物线向右平移1个单位后，所得新抛物线的表达式为2(1)1y x =-+，即222y x x -=+． 故答案为：222y x x -=+．【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关键．三、解答题1、 (1)2()1,C a a (2)2289y x x =-+；(3)1＜a ＜3【解析】【分析】（1）利用配方法将抛物线解析式化为顶点式即可解答；（2）求出点A 、B 的坐标，利用三角形面积公式求解a 值即可解答；（3）根据点的坐标平移规律“右加左减，上加下减”得出P 点坐标，再根据条件得出a 的一元一次不等式组，解不等式组即可求解(1)解：拋物线 2232112()22y ax a x a a a x a a =-++=-+，∴顶点C 的坐标为1(,)2a a ； (2)解：对于5y x =-+，当x =0时，y =5，当y =0时，x =5，∴A （5，0），B （0，5），∵顶点 C 在 AOB 内部， 且 52AOC S =， ∴1155222a ⨯⋅=，∴a =2，∴拋物线的表达式为 2289y x x =-+；(3)解：由题意，平移后的抛物线的顶点P 的坐标为11(1,)22a a +-，∵平移后的抛物线的顶 点 P 仍在 AOB 内， ∴101102211(1)522a a a a ⎧⎪+>⎪⎪->⎨⎪⎪-++>-⎪⎩， 解得：1＜a ＜3，即a 的取值范围为1＜a ＜3．【点睛】本题考查求二次函数的顶点坐标和表达式、二次函数的图象平移、一次函数的图象与坐标轴的交点问题、坐标与图象、解一元一次不等式组，熟练掌握相关知识的联系与运用，第（3）小问正确得出不等式组是解答的关键．2、（1）y=-x2-2x+3；顶点M的坐标为（-1，4）；（2）点E（-37，0）；（3）点P的坐标为（2，-5）或（1，0）．【解析】【分析】（1）设抛物线的解析式为：y=a（x+3）（x-1），然后将点A的坐标代入函数解析式即可求得此抛物线的解析式；（2）作A关于x轴的对称点A′（0，-3），连接MA′交x轴于E，此时△AME的周长最小，则根据题意即可求得E的坐标；（3）如图2，先求直线AB的解析式为：y=x+3，根据解析式表示点F的坐标为（m，m+3），分三种情况进行讨论：①当∠PBF=90°时，由F1P⊥x轴，得P（m，-m-3），把点P的坐标代入抛物线的解析式可得结论；②当∠BF3P=90°时，如图3，点P与C重合，③当∠BPF4=90°时，如图3，点P 与C重合，从而得结论．【详解】解：（1）当x=0时，y=3，即A（0，3），设抛物线的解析式为：y=a（x+3）（x-1），把A（0，3）代入得：3=-3a，a=-1，∴y=-（x+3）（x-1）=-x2-2x+3，即抛物线的解析式为：y=-x2-2x+3；y=-x2-2x+3=-（x+1）2+4，∴M（-1，4）；（2）如图1，作点A（0，3）关于x轴的对称点A'（0，-3），连接A'M交x轴于点E，则点E就是使得△AME的周长最小的点，设直线A′M的解析式为：y=kx+b，把A'（0，-3）和M（-1，4）代入得：43k bb-+=⎧⎨=-⎩，解得：73kb=-⎧⎨=-⎩，∴直线A'M的解析式为：y=-7x-3，当y=0时，-7x-3=0，x=-37，∴点E（-37，0）；（3）如图2，同理求得直线AB的解析式为：y=x+3，设点F的坐标为（m，m+3），①当∠PBF=90°时，过点B作BP⊥AB，交抛物线于点P，此时以BP为直角边的等腰直角三角形有两个，即△BPF1和△BPF2，∵OA=OB=3，∴△AOB和△A'OB是等腰直角三角形，∴∠F1BC=∠BF1P=45°，∴F1P⊥x轴，∴P（m，-m-3），把点P的坐标代入抛物线的解析式y=-x2-2x+3中得：-m-3=-m2-2m+3，解得：m1=2，m2=-3（舍），∴P（2，-5）；②当∠BF3P=90°时，如图3，∵∠F3BP=45°，又∠F3BO=45°，∴点P与C重合，故P（1，0）；③当∠BPF4=90°时，如图3，∵∠F4BP=45°，又∠F4BO=45°，∴点P与C重合，故P（1，0），综上所述，点P的坐标为（2，-5）或（1，0）．【点睛】本题考查了待定系数法求函数的解析式，周长最短问题，等腰直角三角形的性质和判定等知识．解题的关键是注意数形结合和分类讨论思想的应用．3、 (1)坐标系见解析，y=−427x2+83x(2)不能【解析】【分析】（1）首先根据题意建立平面直角坐标系，分析题意可知，抛物线的顶点坐标为（9，12），经过原点（0，0），设顶点式可求抛物线的解析式；（2）求出点A的坐标，把点A的横坐标x=12代入抛物线解析式，看函数值与点A的纵坐标是否相符．(1)建立平面直角坐标系如图，∵顶点B的坐标是（9，12），∴设抛物线的解析式为y=a（x-9）2+12，∵点O的坐标是（0，0）∴把点O的坐标代入得：0=a（0-9）2+12，解得a=−427，∴抛物线的解析式为y=−427（x-9）2+12即y=−427x2+83x；(2)在Rt△AOC 中，∵∠AOC =30°，OA∴AC =OA 12OC =OA ．∴点A 的坐标为（12，，∵当x =12时，y =323≠ ∴这一杆不能把高尔夫球从O 点直接打入球洞A 点．【点睛】本题考查了二次函数解析式的确定方法，及点的坐标与函数解析式的关系．4、 (1)见解析(2)2(3)存在，10【解析】【分析】（1）由正方形的性质得90D BAD C ∠=∠=∠=︒，故90DEM DME ∠+∠=︒，由折叠的性质得90EMB BAE '∠=∠=︒，故90CMG DME ∠+∠=︒，推出DEM CMG ∠=∠，故可证EDM MCG ；（2）由4CD =，13DM CD =得43DM =，83CM =，设AE x =，则EM x =，4DE x =-，由勾股定理即可求出x 的值，即可求出DE ，由相似三角形的性质即可得出CG 的长；（3）过点F 作FN AD ⊥于N ，根据AAS 证明ADM FNE ≅，由全等三角形的性质得DM EN =，设DM EN a ==，DE b =，由勾股定理求出a 、b 关系，由ENF CDNF CDEF S S S =-矩形四边形化为二次函数即可求出最值．(1)∵四边形ABCD 是正方形，∴90D BAD C ∠=∠=∠=︒，∴90DEM DME ∠+∠=︒，∵正方形ABCD 沿EF Z 折叠，∴90EMB BAE '∠=∠=︒，∴90CMG DME ∠+∠=︒，∴DEM CMG ∠=∠，∴EDM MCG ；(2)∵正方形ABCD 的边长为4，13DM CD =， ∴43DM =，83CM =， 设AE x =，则EM x =，4DE x =-，由勾股定理得：222DM DE EM +=， ∴2224()(4)3x x +-=， 解得：209x =， ∴2016499DE =-=， ∵EDM MCG ，∴DE DM CM CG=，即1649383CG =， 解得：2CG =；(3)如图，过点F 作FN AD ⊥于N ，∴90FNA DAB ABC ∠=∠=∠=︒，∴四边形ABFN 是矩形，∴4FN AB CD AD ====，由折叠的性质可得：EF AM ⊥，∴90EAM AMD EAM AEF ∠+∠=︒=∠+∠，∴AEF AMD ∠=∠，∵90D ENF ∠=∠=︒，∴()ADM FNE AAS ≅，∴DM EN =，设DM EN a ==，DE b =，∵222EM DE DM =+，即222(4)b a b -=+， ∴2482a b =-，ENF CDNF CDEF S S S =-矩形四边形，14()42a b a =⨯+-⨯⨯， 24a b =+，21282a a =-++， 21(2)102a =--+， ∴当2a =时，S 有最大值为10．【点睛】本题考查几何综合题，主要涉及到折叠的性质，正方形的性质，相似三角形性的判定与性质，全等三角形的判定与性质以及二次函数最值问题，属于中考压轴题，掌握相关知识点间的应用是解题的关键．5、 (1)21322y x x =-- (2)点C 的坐标为()5,6(3)【解析】【分析】（1）先求出2430x x -+=的两根，可得点A 的坐标为()1,0-，点B 的坐标为()3,0．从而得到1D 的坐标为()1,0．再由45DAB ∠=︒．可得D 的坐标为()1,2-．然后设抛物线对应的二次函数的解析式为()212y a x =--．把点()1,0A -代入，即可求解； （2）根据题意可设点C 的坐标为(),m n ，则有1m n +=．再由点C 在抛物线上，可得()21122n m =--．从而得到5m =，即可求解；（3）由（2）知：AC =AD =DC =A 作AM CD ⊥．根据三角形的面积，可得AM ==ADC APC APD S S S =+△△△，可得12242424d d AP AM +=≤== (1)解：如图，过点D 作1DD x ⊥轴于1D ，则1D 为AB 的中点．解方程2430x x -+=得：1x =或3x =．而OA OB <，则点A 的坐标为()1,0-，点B 的坐标为()3,0．∴1D 的坐标为()1,0．又因为45DAB ∠=︒，∴112AD DD ==．∴D 的坐标为()1,2-．设抛物线对应的二次函数的解析式为()212y a x =--．∵抛物线过点()1,0A -，则042a =-，解得：12a =． 故抛物线对应的二次函数的解析式为()21122y x =--．(2)∵CA AD ⊥，∴90DAC ∠=︒．又∵45DAB ∠=︒，145CAD ∠=︒设点C 的坐标为(),m n ，则有1m n +=．∵点C 在抛物线上， ∴()21122n m =--． 化简得：2450m m --=．解得：5m =，1m =-（舍去）．故点C 的坐标为()5,6．(3)由（2）知：AC =AD =∴DC过点A 作AM CD ⊥．∵1122AC AD DC AM ⨯=⨯，∴AM = ∵ADC APC APD S S S =+△△△， ∴12111222AC AD AP d AP d ⨯⨯=⨯+⨯．12242424d d AP AM +=≤==即此时12d d +的最大值为【点睛】本题主要考查了二次函数与三角形的综合题，等腰三角形的性质，熟练掌握二次函数的图象和性质等腰三角形的性质是解题的关键．。

二次函数(单元重点综合测试)(解析版)-2023-2024学年九年级数学上册单元速记巧练(人教版)

二次函数（单元重点综合测试）一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2023秋·河南驻马店·九年级统考期末）关于二次函数()215y x =++，下列说法正确的是（）A ．函数图象的开口向下B ．函数图象的顶点坐标为()1,5C ．该函数有最大值，最大值为5D ．当1x >时，y 随x 的增大而增大【答案】D 【分析】通过分析二次函数顶点式判断函数图象开口方向、顶点坐标、最值以及增减性即可求解．【详解】解：()215y x =++中，2x 的系数为1，10>，函数图象开口向上，A 错误；函数图象的顶点坐标是()1,5-，B 错误；函数图象开口向上，有最小值为5，C 错误；函数图象的对称轴为=1x -，1x <-时y 随x 的增大而减小；1x >-时，y 随x 的增大而增大，所以，当1x >时，y 随x 的增大而增大，故D 正确．故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数图象的基本知识和性质，熟练掌握二次函数图象是解题的关键．2．（2022秋·河北唐山·九年级校考阶段练习）若()221m y m x -=-是二次函数，最大值为0，则m 的值为（）A ．2m =±B ．m =C ．2m =D ．m =【答案】C【分析】根据二次函数的定义（形如2y ax bx c =++，,,a b c 为常数，且0a ≠的函数叫做二次函数）可得222m -=，由最大值为0，可得10m -<，由此即可求解．【详解】解：由题意得：22210m m ⎧-=⎨-<⎩，解得2m =，故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数的定义和性质，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．3．（2023·福建宁德·模拟预测）若二次函数2(0)y ax bx c a =++>图象，过不同的六点()1,A n -、()5,1B n -、()6,1C n +、()14,D y 、)2Ey 、()32,F y ，则1y 、2y 、3y 的大小关系是（）A ．123y y y <<B ．132y y y <<C ．213y y y <<D ．321y y y <<【答案】D 【分析】由解析式可知抛物线开口向上，点()1,A n -，()5,1B n -，()6,1C n +求得抛物线对称轴的范围，然后根据二次函数性质判定可得．【详解】解：由二次函数2(0)y ax bx c a =++>可知，抛物线开口向上，()1,A n - 、()5,1B n -、()6,1C n +，即有11n n n -<<+，A ∴点关于对称轴的对称点在5与6之间，∴对称轴的取值范围为2 2.5x <<，13y y ∴>，点E 到对称轴的距离小于2.5D 到对称轴的距离大于4 2.5 1.5-=，321y y y ∴<<，故选：D ．【点睛】本题主要考查二次函数的图象上点的坐标特征，二次函数的性质，根据题意得到抛物线的对称轴和开口方向是解题的关键．4．（2023秋·河北张家口·九年级统考期末）某商店购进一批单价为20元的日用商品，如果以单价30元销售，那么半月内可以售出400件，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件，若设每件商品涨x 元，销售利润为y 元，可列函数为：()()302040020y x x =+--．对所列函数中出现的代数式，下列说法错误的是（）A ．()3020x +-表示涨价后商品的单价B ．20x 表示涨价后少售出商品的数量C ．()40020x -表示涨价后商品的数量D ．()30x +表示涨价后商品的单价【答案】A 【分析】根据题意，分析得出涨价后的单价为()30x +元，涨价后销量为()40020x -件，再根据利润等于售价减去进价得出涨价后每件利润为()3020x +-元即可．【详解】解：A 、()3020x +-表示涨价后单件商品的利润，不是商品的单价，故本选项不符合题意；B 、由销售单价每提高1元，销售量相应减少20件，得每件商品涨x 元后，20x 表示涨价后少售出商品的数量，故本选项符合题意；C 、由题可知，原销量为400件，涨价后少售出20x 件，则涨价后的商品数量为()40020x -件，故本选项符合题意；D 、由题可知，每件商品原价为30元，涨x 元后单价为()30x +元，故本选项符合题意．故选：A ．【点睛】本题考查了应用题中的利润问题，根据题意准确得出涨价前后的售价和销量以及熟练掌握利润的计算公式是本题的重点．5．（2023·陕西渭南·统考二模）将抛物线22y ax bx =+-（a 、b 是常数，0a ≠）向下平移2个单位长度后，得到的新抛物线恰好和抛物线2142y x x =+-关于y 轴对称，则a 、b 的值为（）A ．1a =-，2b =-B ．12a =-，1b =-C ．12a =，1b =-D ．1a =，2b =【答案】C 【分析】先求出抛物线2142y x x =+-关于y 轴对称的抛物线为()219122y x =--，再根据抛物线平移的性质得出抛物线22y ax bx =+-向下平移2个单位长度后为24y ax bx =+-，即可得出a 和b 的值．【详解】解：∵()2211941222y x x x =+-=+-，∴抛物线2142y x x =+-关于y 轴对称的抛物线为()219122y x =--，∵抛物线22y ax bx =+-向下平移2个单位长度后为24y ax bx =+-，∵24y ax bx =+-与2142y x x =+-关于y 轴对称，∴()22419122y ax bx x =-+-=-，整理得：224412y x x a bx x +-=--=，∴12a =，1b =-，故选：C ．【点睛】本题主要考查了二次函数的平移规律，解题的关键是掌握将二次函数化为顶点式的方法和步骤，以及二次函数的平移规律：上加下减，左加右减．6．（2020秋·河南安阳·九年级校考期中）如图，一段抛物线：y ＝﹣x （x ﹣4）（0≤x ≤4）记为C 1，它与x 轴交于两点O ，A 1；将C 1绕A 1旋转180°得到C 2，交x 轴于A 2；将C 2绕A 2旋转180°得到C 3，交x 轴于A 3…如此变换进行下去，若点P （21，m ）在这种连续变换的图象上，则m 的值为（）A ．2B ．﹣2C ．﹣3D ．3【答案】C 【分析】根据题意和题目中的函数解析式，可以得到点A 1的坐标，从而可以求得OA 1的长度，然后根据题意，即可得到点P （21，m ）中m 的值和x ＝1时对应的函数值互为相反数，从而可以解答本题．【详解】解：∵y ＝﹣x （x ﹣4）（0≤x ≤4）记为C 1，它与x 轴交于两点O ，A 1，∴点A 1（4，0），∴OA 1＝4，∵OA 1＝A 1A 2＝A 2A 3＝A 3A 4，∴OA 1＝A 1A 2＝A 2A 3＝A 3A 4＝4，∵点P （21，m ）在这种连续变换的图象上，∴x ＝21和x ＝1∴﹣m ＝﹣1×（1﹣4）＝3，∴m ＝﹣3，故选：Ｃ．【点睛】本题考查抛物线与x 轴的交点、二次函数的性质、二次函数与几何变换，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．7．（2023·浙江杭州·统考中考真题）设二次函数()()(0,,y a x m x m k a m k =--->是实数)，则（）A ．当2k =时，函数y 的最小值为a-B ．当2k =时，函数y 的最小值为2a -C ．当4k =时，函数y 的最小值为a-D ．当4k =时，函数y 的最小值为2a -【答案】A【分析】令0y =，则()()0a x m x m k =---，解得：1x m =，2x m k =+，从而求得抛物线对称轴为直线222m m k m k x +++==，再分别求出当2k =或4k =时函数y 的最小值即可求解．【详解】解：令0y =，则()()0a x m x m k =---，解得：1x m =，2x m k =+，∴抛物线对称轴为直线222m m k m k x +++==当2k =时，抛物线对称轴为直线1x m =+，把1x m =+代入()()2y a x m x m =---，得y a =-，∵0a >∴当1x m =+，2k =时，y 有最小值，最小值为a -．故A 正确，B 错误；当4k =时，抛物线对称轴为直线2x m =+，把2x m =+代入()()4y a x m x m =---，得4y a =-，∵0a >∴当2x m =+，4k =时，y 有最小值，最小值为4a -，故C 、D 错误，故选：A ．【点睛】本题考查抛物线的最值，抛物线对称轴．利用抛物线的对称性求出抛物线对称轴是解题的关键．8．（2023·广东深圳·模拟预测）如图，排球运动员站在点O 处练习发球，将球从点O 正上方2m 的A 处发出，把球看成点，其运行的高度()m y 与运行的水平距离()m x 满足关系式2(6) 2.6y a x =-+．已知球网与点O 的水平距离为9m ，高度为2.43m ，球场的边界距点O 的水平距离为18m ．下列判断正确的是（）A ．球运行的最大高度是2.43mB ．150a =-C ．球会过球网但不会出界D ．球会过球网并会出界【答案】D 【分析】根据顶点式2(6) 2.6y a x =-+的特征即可判断A 选项；将点()0,2代入函数解析式中即可求得a 的值，即可判断B 选项；分别求出9x =和18x =的函数值，再分别和2.43、0比较大小即可判断C 、D 选项．【详解】解： 球的运行的高度()m y 与运行的水平距离()m x 满足关系式2(6) 2.6y a x =-+，∴当6x =时，y 取得最大值2.6，∴运行的最大高度时2.6m ，故A 错误；球从点O 正上方2m 的A 处发出，2(6) 2.6y a x ∴=-+的图象经过点()0,2，22(06) 2.6a ∴=-+，解得：160a =-，故B 错误；当9x =时，21(96) 2.6 2.4560y =--+=，2.45 2.43> ，∴球会过球网，当18x =时，21(186) 2.60.260y =--+=，0.20> ，∴球会出界，故C 选项错误，D 选项正确．故选：D ．【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，掌握用待定系数求二次函数解析式以及将实际问题转化为二次函数问题是解题关键．9．（2023·河南周口·周口恒大中学校考三模）如右图，直线l 的解析式为4y x =-+，它与x 轴和y 轴分别相交于A 、B 两点，点C 为线段OA 上一动点，过点C 作直线l 的平行线m ，交y 轴于点D ．点C 从原点O 出发，沿OA 以每秒1个单位长度的速度向终点A 运动，运动时间为t 秒，以CD 为斜边作等腰直角三角形CDE （E ，O 两点分别在CD 两侧）．若CDE 和OAB 的重合部分的面积为S ，则S 与t 之间的函数关系图象大致是（）A ．B．C．D．【答案】C【分析】分类讨论02,24t t ≤<≤≤时，S 与t 之间的函数关系式式即可求解．【详解】解：①当02t ≤＜时，如图所示：可知：212DCE S S == ②当24t ≤≤时，如图所示：此时，DCE EFGS S S =- (),0C t ，(),4G t t -+，(),E t t ()424EG EF t t t ∴==--+=-()2221132488222DCE EFG S S S t t t t ∴=-=--=-+- 综上：()()22102238822t t S t t t ⎧≤⎪⎪=⎨⎪-+-≥⎪⎩＜显然只有C 选项符合题意故选：C【点睛】本题考查二次函数的实际应用．根据题意找到S 与t 之间的函数关系式是解题关键．10．（2023秋·河北张家口·九年级统考期末）题目：“如图，抛物线2y x mx =+与直线y x b =-+相交于点()2,0A 和点B ．点M 是直线AB 上的一个动点，将点M 向左平移3个单位长度得到点N ，若线段MN 与抛物线只有一个公共点，直接写出点M 的横坐标M x 的取值范围．”对于其答案，甲答：3M x =，乙答：12M x -≤<，丙答：12M x -<≤，丁答：12M x -≤≤，则正确的是（）A ．只有甲答的对B ．甲、乙答案合在一起才完整C ．甲、丙答案合在一起才完整D ．甲、丁答案合在一起才完整【答案】B 【分析】当点M 在线段AB 上时，当点M 在点B 的左侧时，当点M 在点A 的右侧时，分类求解确定MN 的位置，进而求解．【详解】解：将点A 的坐标代入抛物线表达式得：420m +=，解得2m =-，将点A 的坐标代入直线表达式得：20b -+=，解得2b =，∴抛物线的解析式为22y x x =-，直线的解析式为2y x =-+，当点M 在线段AB 上时，线段MN 与抛物线只有一个公共点，M ，N 的距离为3，而A ，B 的水平距离是3，故此时只有一个交点，即12M x -≤<，当点M 在点A 的右侧时，当3M x =时，抛物线和MN 交于抛物线的顶点(1,1)-，即3M x =时，线段MN 与抛物线只有一个公共点，综上所述，12M x -≤<或3M x =，即甲、乙答案合在一起才完整，故选：B ．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、不等式的性质等，分类求解确定MN 位置是解题的关键．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上11．（2022秋·九年级单元测试）已知二次函数()224y x =--+，当2x >时，若y 随着x 的增大而（填“增大”“不变”或“减小”）．【答案】减小【分析】根据二次函数顶点式的图象与性质进行解答即可．【详解】∵1a =-,对称轴2x =，∴当2x >时，若y 随着x 的增大而减小，故答案为：减小．【点睛】本题考查二次函数顶点式()2y a x h k =-+的图象与性质，分清a 、h 的符号和二次函数顶点式的增减性是解题的关键．12．（2020秋·广东广州·九年级广州市第二中学校考阶段练习）已知点()()A a m B b m ，、，、(),P a b n +为抛物线224y x x =-+上的点，则n ＝．【答案】4【分析】由抛物线的解析式可知抛物线的对称轴是直线1x =，根据点A 和B 的坐标知，则点A 和B 关于直线1x =对称．据此易求a b +的值，进而把P 点的坐标代入解析式即可求得n 的值．【详解】∵抛物线解析式为224y x x =-+，∴该抛物线的对称轴是直线212x -=-=，∵点()()A a m B b m ，、，为抛物线24y x x =-+上的点，∴点()()A a m B b m ，、，关于直线1x =对称，∴12a b +=，∴2a b +=，∴()2,P n 把2x =代入抛物线的解析式得，222244n =-⨯+=．故答案是：4．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质．二次函数图象上所有点的坐标均满足该函数解析式．13．（2022秋·天津西青·九年级校考期中）行驶中的汽车刹车后，由于惯性的作用，还会继续向前滑行一段距离，这段距离我们将它称为“刹车距离”．某车的刹车距离s （m ）与车速x （km/h ）之间的函数关系是20.010.002s x x =+，现在该车在限速120km/h 的高速公路上出了交通事故，事后测得刹车距离为46．5m ，请推测该车刹车时是否超速（填“是”或“否”），车速为km/h ．【答案】是150【分析】将46.5s =代入函数解析式，求出车速x ，与120km/h 比较即可得出答案．【详解】根据题意，当46.5s =时，得：20.010.00246.5x x +=，解得：1155x =-（舍），2150120x =>，∴刹车前，汽车超速．故答案为：是，150．【点睛】本题考查了二次函数的应用，解答本题的关键是将s 的值代入，解一元二次方程，注意将实际问题转化为数学模型．14．（2022秋·山东济宁·九年级济宁学院附属中学校考期末）若二次函数()20y ax bx c a =++≠中，函数值y与自变量x 的部分对应值如表：x…2-1-012…y …02-2-04…则当32x -≤≤时，y 的最大值为．【答案】4【分析】根据表中点的坐标得出函数的对称轴，设二次函数的表达式是21(2y a x k =++，把点的坐标代入求出该二次函数的表达式是22y x x =+-；再画出图象，即可利用图象法求解．【详解】解：根据表中可知：点(1,2)--和点(0,2)-关于对称轴对称，即对称轴是直线12x =-，设二次函数的表达式是21(2y a x k =++，把点(2,0)-和点(0,2)-代入得：221(2)021(0)22a k a k ⎧-++=⎪⎪⎨⎪++=-⎪⎩，解得：1a =，94k =-，2219(224y x x x =+-=+-，所以该二次函数的表达式是2219224y x x x ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭；函数图象如图所示，由图象可得∶当32x -≤≤时，﹣944y ≤≤，最大值为4.故答案为∶4．【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，用待定系数法求二次函数的解析式等知识点，能求出二次函数的解析式是解此题的关键．15．（2023·吉林长春·统考中考真题）2023年5月8日，C919商业首航完成——中国民商业运营国产大飞机正式起步．12时31分航班抵达北京首都机场，穿过隆重的“水门礼”（寓意“接风洗尘”、是国际民航中高级别的礼仪）．如图①，在一次“水门礼”的预演中，两辆消防车面向飞机喷射水柱，喷射的两条水柱近似看作形状相同的地物线的一部分．如图②，当两辆消防车喷水口A 、B 的水平距离为80米时，两条水柱在物线的顶点H 处相遇，此时相遇点20米，喷水口A 、B 距地面均为4米．若两辆消防车同时后退10米，两条水柱的形状及喷水口A '、B '到地面的距离均保持不变，则此时两条水柱相遇点H '距地面米．【答案】19【分析】根据题意求出原来抛物线的解析式，从而求得平移后的抛物线解析式，再令0x =求平移后的抛物线与y 轴的交点即可．【详解】解：由题意可知：()40,4A -、()40,4B 、()0,20H ，设抛物线解析式为：220y ax =+，将()40,4A -代入解析式220y ax =+，解得：1100a =-，220100x y ∴=-+，消防车同时后退10米，即抛物线220100x y =-+向左（右）平移10米，平移后的抛物线解析式为：()21020100x y +=-+，令0x =，解得：19y =，故答案为：19．【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线解析式、函数图像的平移及坐标轴的交点；解题的关键是求得移动前后抛物线的解析式．16．（2023秋·河南驻马店·九年级统考期末）已知二次函数224y x x =--+，当1a x a ≤≤+时，函数值y 的最小值为1，则a 的值为．【答案】0或-31y =时自变量x 的值，结合1a x a ≤≤+时，函数值y 的最小值为1，可得到关于a 的一元一次方程，解即可．【详解】解：令1y =，则2241x x --+=，解得：12x =-，21x =．1a x a ≤≤+时，函数值y 的最小值为1∴12a +=-或11a +=，∴3a =-或0a =．故答案为：3-或0．【点睛】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征以及函数的最值．利用二次函数图像上点的特征找出1y =时自变量x 的值是解题的关键．三、解答题（本大题共7小题，共62分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（2023秋·河北张家口·九年级统考期末）如图，坐标平面上有一透明片，透明片上有一抛物线L ：()227y x =+-．(1)写出L 的对称轴和y 的最小值；(2)点P 为透明片上一点，P 的坐标为()9,6．平移透明片，平移后，P 的对应点为P '，抛物线L 的对应抛物线为L '，其表达式恰为267y x x =-+，求PP '移动的最短路程．【答案】(1)对称轴为直线：7x =，y 的最小值为2(2)PP '=【分析】（1）直接根据解析式进行作答即可；（2）求出平移后的抛物线的顶点坐标，PP '移动的最短路程为两个顶点间的距离，进行求解即可．【详解】（1）解：∵()()222277y x x ==--++，顶点坐标为()7,2，∴对称轴为直线7x =，y 2；（2）∵()226732y x x x =-+=--，顶点坐标为()3,2-，∵抛物线L 的顶点坐标为()7,2，∴PP '=【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，二次函数图象的平移．熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键．18．（2023秋·河南开封·九年级开封市第十三中学校考期末）某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于60元，市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售2箱．(1)求平均每天销售量y 箱与销售价x 元/箱之间的函数关系式．(2)求批发商平均每天的销售利润w （元）与销售价x （元/箱）之间函数关系式．(3)当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？【答案】(1)()21905060y x x =-+≤≤(2)()2227076005060w x x x =-+-≤≤(3)当每箱苹果的销售价为60元时，可以获得1400元的最大利润．【分析】（1）在销售90箱的基础上，价格每提高1元，平均每天少销售2箱，再列函数关系式即可；（2）由销售量乘以每箱苹果的利润可得总利润，可得函数关系式；（3）再依据二次函数的增减性求得最大利润．【详解】（1）解：根据题意，平均每天的销售量y （箱）与销售单价x （元/箱）之间得()90250y x =--，即()21905060y x x =-+≤≤．（2）由（1）可得：()()()2402190227076005060w x x x x x =--+=-+-≤≤；（3）∵222707600w x x =-+-，∵20a =-<，∴抛物线开口向下．当()27067.522x =-=⨯-时，w 有最大值．又67.5x <，w 随x 的增大而增大．∴当60x =元时，w 的最大值为1400元．∴当每箱苹果的销售价为60元时，可以获得1400元的最大利润．【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值），也就是说二次函数的最值不一定在2b x a=-时取得．19．（2020秋·广东广州·九年级广州市第十三中学校考期中）如图，矩形花圃ABCD ，它的一边AD 利用已有的围墙，可利用的围墙长度不超过30m ，另外三边所围的栅栏的总长度是60m ，设AB 长为x 米．(1)若矩形的面积为2400m ，求AB 的长度．(2)若矩形的面积是S ，求当x 为何值时，S 有最大值？【答案】(1)20米(2)15x =【分析】（1）设AB 长为x 米，则BC 长为(602)x -米，根据矩形的面积公式列出方程，解之取合适的值即可；（2）列出S 关于x 的函数关系式，再根据二次函数的最值求解即可．【详解】（1）解：设AB 长为x 米，则BC 长为(602)x -米，依题意，得()602400x x -=，解得：110x =，220x =，当10x =时，6021040BC =-⨯=，超过了围墙的长度，∴不合题意，舍去，∴20x =，即AB 的长为20米；（2）设矩形的面积是S ，则()()22602260215450S x x x x x =-=-+=--+，∵20-<，∴()2215450S x =--+开口向下，∴当15x =时，S 有最大值．【点睛】此题主要考查了二次函数的应用以及一元二次方程的应用，根据题意正确表示出BC 的长是解题关键．20．（2022秋·河北张家口·九年级张家口市实验中学校考期中）在平面直角坐标系中，已知点()1,3A ，()3,5B ，()3,7C -，直线:l y x m =+经过点A ，抛物线2:b 2L y ax x =++恰好经过A ，B ，C 三点中的两点．(1)判断点B 是否在直线l 上，并说明理由；(2)求,a b 的值；(3)平移抛物线L ，①使其顶点为B ，求此时抛物线与y 轴交点的坐标；②使其顶点仍在直线l 上，求平移后所得抛物线与y 轴交点纵坐标的最大值．【答案】(1)点B 在直线l 上，理由见解析，(2)2a =-，3b =(3)①()013-，；②178【分析】（1）先将A 代入y x m =+，求出直线解析式，然后将3x =代入解析式即可求解；（2）先根据抛物线22y ax bx =++与直线AB 都经过()02，点，且B ，C 两点的横坐标相同，判断出抛物线只能经过A ，C 两点，然后将A ，C 两点坐标代入22y ax bx =++得出关于a ，b 的二元一次方程组；（3）①根据题意，可得抛物线解析式为()2235y x =--+，令0x =，即可求解；②设平移后所得抛物线的对应表达式为22()=--+y x h k ，根据顶点在直线2y x =+上，得出1k h =+，令0x =，得到平移后抛物线与y 轴交点的纵坐标为221h h -++，再将式子配方即可求出最大值．【详解】（1）解：∵直线:l y x m =+经过点()1,3A ，∴31m =+，解得：2m =，∴直线l ：2y x =+，当3x =时，325y =+=，∴()3,5B 在直线l 上，（2） 抛物线22y ax bx =++与直线AB 都经过()0,2点，且B ，C 两点的横坐标相同，∴抛物线只能经过A ，C 两点，将A ，C 两点坐标代入22y ax bx =++得239327a b a b ++=⎧⎨++=-⎩，解得：2a =-，3b =；（3）解：①依题意，点()3,5B ，则抛物线解析式为()2235y x =--+，令0x =，解得：13y =-，∴抛物线与y 轴交点的坐标为()013-，；②设平移后所得抛物线的对应表达式为22()=--+y x h k ，∵顶点在直线2y x =+上，∴2k h =+，令0x =，得到平移后抛物线与y 轴交点的纵坐标为222h h -++，∵2211722248h h h ⎛⎫-++=--+ ⎪⎝⎭，∴当14h =时，此抛物线与y 轴交点的纵坐标取得最大值178．【点睛】本题考查了求一次函数解析式，用待定系数法求二次函数解析式，二次函数的平移和求最值，求出两个函数的表达式是解题关键．21．（2023春·山东德州·九年级德州市第十中学校考阶段练习）某班“数学兴趣小组”对函数22y x x =-的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．(1)自变量x 的取值范围是全体实数，x 与y 的几组对应值列表如下：x...3-52--21-012523...y (35)4m 1-01-0543…其中，m =___________．(2)根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分．(3)观察函数图象，写出两条函数的性质．(4)进一步探究函数图象发现：①函数图象与x 轴有___________个交点，所以对应的方程220x x -=有___________个实数根；②方程222x x -=有___________个实数根；③关于x 的方程22x x a -=有4个实数根时，a 的取值范围是___________．【答案】(1)0(2)见解析(3)见解析(4)①3，3；②2；③10a -<<【分析】（1）根据函数的对称性，即可求解；（2）描点即可画出函数图象；（3）任意指出函数的两条性质即可，如函数的最小值为1-；1x >时，y 随x 的增大而增大，答案不唯一；（4）①从图象上看函数与x 轴有3个交点，即可求解；②设22||y x x =-，从图象看2y =与22||y x x =-有两个交点，即可求解；③当y a =与22||y x x =-有2个交点时，a 在x 轴的下方，即可求解．【详解】（1）解：根据函数的对称性，0m =，故答案为：0；（2）描点画出如下函数图象：（3）函数的最小值为1-；1x >时，y 随x 的增大而增大（答案不唯一）；（4）①从图象上看函数与x 轴有3个交点，故对应方程2|2||0x x -=有3个根，故答案为：3，3；②设22||y x x =-，从图象看2y =22||y x x =-有两个交点；故答案为：2；③当y a =与22||y x x =-有2个交点时，a 在x 轴的下方，故10a -<<，故答案为：10a -<<．【点睛】本题考查了抛物线的性质，描点法画函数图象，抛物线与x 轴的交点，数形结合是解答本题的关键．22．（2023·内蒙古赤峰·统考中考真题）乒乓球被誉为中国国球．2023年的世界乒乓球标赛中，中国队包揽了五个项目的冠军，成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的．如图，是乒乓球台的截面示意图，一位运动员从球台边缘正上方以击球高度OA 为28.75cm 的高度，将乒乓球向正前方击打到对面球台，乒乓球的运行路线近似是抛物线的一部分．乒乓球到球台的竖直高度记为y （单位：cm ），乒乓球运行的水平距离记为x （单位：cm ）．测得如下数据：水平距离x /cm0105090130170230竖直高度y /cm 28.7533454945330(1)在平面直角坐标系xOy 中，描出表格中各组数值所对应的点(),x y ，并画出表示乒乓球运行轨迹形状的大致图象；(2)①当乒乓球到达最高点时，与球台之间的距离是__________cm ，当乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是__________cm ；②求满足条件的抛物线解析式；(3)技术分析：如果只上下调整击球高度OA ，乒乓球的运行轨迹形状不变，那么为了确保乒乓球既能过网，又能落在对面球台上，需要计算出OA 的取值范围，以利于有针对性的训练．如图②．乒乓球台长OB 为274cm ，球网高CD 为15.25cm ．现在已经计算出乒乓球恰好过网的击球离度OA 的值约为1.27cm ．请你计算出乒乓球恰好落在对面球台边缘点B 处时，击球高度OA 的值（乒乓球大小忽略不计）．【答案】(1)见解析(2)①49；230；②()20.00259049y x =--+(3)乒乓球恰好落在对面球台边缘点B 处时，击球高度OA 的值为64.39cm【分析】（1）根据描点法画出函数图象即可求解；（2）①根据二次函数图象的对称性求得对称轴以及顶点，根据表格数据，可得当0y =时，230=x ；②待定系数法求解析式即可求解；（3）根据题意，设平移后的抛物线的解析式为()20.0025904928.75y x h =--++-，根据题意当274x =时，0y =，代入进行计算即可求解．【详解】（1）解：如图所示，（2）①观察表格数据，可知当50x =和130x =时，函数值相等，则对称轴为直线90x =，顶点坐标为()90,49，又抛物线开口向下，可得最高点时，与球台之间的距离是49cm ，当0y =时，230=x ，∴乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是230cm ；故答案为：49；230．②设抛物线解析式为()29049y a x =-+，将()230,0代入得，()202309049a =-+，解得：0.0025a =-，∴抛物线解析式为()20.00259049y x =--+；（3）∵当28.75OA =时，抛物线的解析式为()20.00259049y x =--+，设乒乓球恰好落在对面球台边缘点B 处时，击球高度OA 的值为h ，则平移距离为28.75h -()cm ，∴平移后的抛物线的解析式为()20.0025904928.75y x h =--++-，依题意，当274x =时，0y =，即()20.0025274904928.750h --++-=，解得：64.39h =．答：乒乓球恰好落在对面球台边缘点B 处时，击球高度OA 的值为64.39cm ．【点睛】本题考查了二次函数的应用，画二次函数图象，二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键．23．（2023年湖南省娄底市中考数学真题）如图，抛物线2y x bx c =++过点()1,0A -、点()5,0B ，交y 轴于点C ．(1)求b ，c 的值．(2)点()()000,05P x y x <<是抛物线上的动点①当0x 取何值时，PBC 的面积最大？并求出PBC 面积的最大值；②过点P 作PE x ⊥轴，交BC 于点E ，再过点P 作PF x ∥轴，交抛物线于点F ，连接EF ，问：是否存在点P ，使PEF !为等腰直角三角形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)4b =-，5c =-(2)①当052x =时，PBC 的面积由最大值，最大值为1258；②当点P 的坐标为72⎛ ⎝⎭或()4,5-时，PEF !为等腰直角三角形【分析】（1）将将()1,0A -、()5,0B 代入抛物线2y x bx c =++即可求解；（2）①由（1）可知：245y x x =--，得()0,5C -，可求得BC 的解析式为5y x =-，过点P 作PE x ⊥轴，交BC 于点E ，交x 轴于点Q ，易得20005E PE y y x x =-=-+，根据PBC 的面积PEC PEB S S =+△△，可得PBC的面积()()001122C B PE x x PE x x =⋅-+⋅-2055125228x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，即可求解；②由题意可知抛物线的对称轴为4221x -=-=⨯对，则04F x x =-，分两种情况：当点P 在对称轴左侧时，即002x <<时，当点P 在对称轴右侧时，即025x <<时，分别进行讨论求解即可．【详解】（1）解：将()1,0A -、()5,0B 代入抛物线2y x bx c =++中，可得：102550b c b c -+=⎧⎨++=⎩，解得：45b c =-⎧⎨=-⎩，即：4b =-，5c =-；（2）①由（1）可知：245y x x =--，当0x =时，5y =-，即()0,5C -，设BC 的解析式为：y kx b =+，将()5,0B ，()0,5C -代入y kx b =+中，可得505k b b +=⎧⎨=-⎩，解得：15k b =⎧⎨=-⎩，∴BC 的解析式为：5y x =-，过点P 作PE x ⊥轴，交BC 于点E ，交x 轴于点Q ，∵()()000,05P x y x <<，则200045y x x =--，∴点E 的横坐标也为0x ，则纵坐标为05E y x =-，∴()()220000005455E PE y y x x x x x =-=----=-+，PBC 的面积PEC PEBS S =+△△()()001122C B PE x x PE x x =⋅-+⋅-()12B C PE x x =⋅-()200552x x =-+2055125228x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，。

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12．（8分）已知二次函数． （1）当a＝1，b＝ -2，c＝1时，请在如图的直角坐标系中画出此 时二次函数的图象； （2）用配方法求该二次函数的图象的顶点坐标．
13．（8分）已知二次函数的图象经过点（1，10），且当x＝-1时，y 有最小值y＝-2，求这个函数的 关系式。
15．（9分）如图，二次函数的图象经过A 、B、C三点.
10. 把抛物线 的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的
函数关系式是( ) A. B. C. D. 二、填空题(每题4分，共32分) 11. 二次函数y=x2-2x+1的对称轴方程是______________. 12. 若将二次函数y=x2-2x+3配方为y=(x-h)2+k的形式，则 y=________. 13. 若抛物线y=x2-2x-3与x轴分别交于A、B两点，则AB的长 为_________. 14. 抛物线y=x2+bx+c，经过A(-1，0)，B(3，0)两点，则这条 抛物线的解析式为_____________. 15. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A、B两点，交y 轴于C点，且△ABC是直角三角形，请写出一个符合要求的二次 函数解析式________________. 16. 在距离地面2m高的某处把一物体以初速度v0(m/s)竖直向 上抛物出，在不计空气阻力的情况下，其上升高度s(m)与抛出时 间t(s)满足： (其中g是常数，通常取10m/s2).若v0=10m/s，则该物体在运动过程 中最高点距地面_________m. 17. 试写出一个开口方向向上，对称轴为直线x=2，且与y轴的 交点坐标为(0，3)的抛物线的解析式为______________.
九年级二次函数综合测试题 一．选择题（每题3分，共15分）： 1．抛物线的对称轴是（ ）。 A．直线x＝－3 B．直线x＝3 C．直线x＝－2 D．直 线x＝－2 2．抛物线的顶点坐标是（ ）.A． B． C． D． 3.将抛物线的图象向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛 物线是（ ）。 A． B． C． D． 4．下列描述抛物线的开口方向及其最值情况正确的是（ ）。 A．开口向上，y有最大值 B．开口向上，y有最小值 C．开口向下，y有最大值 D．开口向下，y有最小值 A B D C 5．如图，一边靠墙（墙有足够长），其他三边用12米长的篱笆围成 一个矩形（ABCD）花园，这个花园的最大面积是（ ）平方米。 A．16 B．12 C．18 D．以上都不对 二．填空题（每题3分，共15分）： 6．写出一个开口向上，顶点坐标是（2，-3）的函数解析式 。 7. 将二次函数配成的形式是_____________________. 8．抛物线与x轴交点的坐标是__ . 9. 已知函数，当x＝1时，y＝－5,则x＝－1时，y的值是_______。 10．王翔同学在一次跳高训练中采用了背跃式，跳跃路线正好和抛物 线相吻合，那么 他能跳过的最大高度为 _________m． 三．解答题： 11. （8分）已知二次函数的图象经过A（0，1），B（2，－1）两点. （1）求b和c的值； （2）试判断点（－1， 2）是否在此函数图象上？
-1 4
A B 5 O
x y C （1）观察图象，写出A 、B、C三点的坐标，并求出抛物线解析式; （2）求此抛物线的顶点坐标和对称轴; （3）观察图象，当x取何值时，y＜0？y＝0？y＞0?
16. （9分）如图，抛物线经过点A(1,0)，与 y轴交于点B。 （1）求抛物线的解析式； （2）P是y轴上一点，且△PAB是以AB为腰的等腰三角形，请 写出P点坐标。
A. ab>0，c>0 B. ab>0，c<0 C. ab<0，c>0 6. 二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则点
D. ab<0，c<0
在第___象限( ) A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 7. 如图所示，已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点P的横 坐标是4， 图象交x轴于点A(m，0)和点B，且m>4，那么AB的长是( ) A. 4+m B. m C. 2m-8 D. 8-2m 8. 若一次函数y=ax+b的图象经过第二、三、四象限，则二次函数 2 y=ax +bx的图象只可能是( )
18. 已知抛物线y=x2+x+b2经过点 ，则y1的值是_________. 三、解答下列各题(19、20每题9分，21、22每题10分，共38分) 19. 若二次函数的图象的对称轴方程是 ，并且图象过A(0，-4)和B(4，0) (1)求此二次函数图象上点A关于对称 轴 对称的点A′的坐标 (2)求此二次函数的解析式； 20.在直角坐标平面内，点 O为坐标原点，二次函数 y=x2+(k-5)x-(k+4) 的图象交 x轴于点A(x1，0)、B(x2，0)，且(x1+1)(x2+1)=-8. (1)求二次函数解析式； (2)将上述二次函数图象沿x轴向右平移2个单位，设平移后的图象 与y轴的交点为C，顶点为P，求△POC的面积.
21.已知：如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，其 中A点坐标为(-1，0)，点C(0，5)，另抛物线经过点(1，8)，M为它的顶 点.
(1)求抛物线的解析式； (2)求△MCB的面积S△MCB.
18.（10分）如图，隧道的截面由抛物线AED和矩形ABCD构成，矩形的 长BC为8 m，宽AB为2 m， 以BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐 标系，y轴是抛物线的对称 轴，顶点E到坐标原点O的距离为6 m． （1）求抛物线的关系式；
（2）如果该隧道内设双行道，现有一辆货运卡车高4.2 m，这辆货运卡车能否通过该隧 道？通过计算说明你的结论．
m，宽2.4
1、
2. 函数y=x2-2x+3的图象的顶点坐标是( ) A. (1，-4) B.(-1，2) C. (1，2) D.(0，3) 3. 抛物线y=2(x-3)2的顶点在( )
ห้องสมุดไป่ตู้
A. 第一象限 B. 第二象限 C. x轴上 D. y轴上 2、 4. 抛物线 的对称轴是( ) A. x=-2 B.x=2 C. x=-4 D. x=4 5. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中，正确 的是(
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