2014年中考数学专题复习_与圆有关的动点问题(精品含答案)

2014年中考数学专题复习：与圆有关的动点问题1、如图，⊙O的直径AB=4，C为圆周上一点，AC=2，过点C作⊙O的切线DC，P点为优弧CBA上一动点（不与A．C重合）．（1）求∠APC与∠ACD的度数；（2）当点P移动到CB弧的中点时，求证：四边形OBPC是菱形．（3）P点移动到什么位置时，△APC与△ABC全等，请说明理由．2、如图，在⊙O上位于直径AB的异侧有定点C和动点P，AC=1AB，点P在半圆弧AB2上运动（不与A、B两点重合），过点C作直线PB的垂线CD交PB于D点．（1）如图1，求证：△PCD∽△ABC；（2）当点P运动到什么位置时，△PCD≌△ABC？请在图2中画出△PCD并说明理由；（3）如图3，当点P运动到CP⊥AB时，求∠BCD的度数．3、如图，在半径为2的扇形AOB中，∠AOB=90°，点C是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合）OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D、E．（1）当BC=1时，求线段OD的长；（2）在△DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由；（3）设BD=x，△DOE的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域．4、如图，菱形ABCD的边长为2cm，∠DAB=60°．点P从A点出发，以cm/s的速度，沿AC向C作匀速运动；与此同时，点Q也从A点出发，以1cm/s的速度，沿射线AB作匀速运动．当P运动到C点时，P、Q都停止运动．设点P运动的时间为ts．（1）当P异于A．C时，请说明PQ∥BC；（2）以P为圆心、PQ长为半径作圆，请问：在整个运动过程中，t为怎样的值时，⊙P与边BC分别有1个公共点和2个公共点？5、如图，在菱形ABCD中，AB＝23，∠A＝60º，以点D为圆心的⊙D与边AB相切于点E．(1)求证：⊙D与边BC也相切；(2)设⊙D与BD相交于点H，与边CD相交于点F，连接HF，求图中阴影部分的面积(结果保留π)；(3)⊙D上一动点M从点F出发，按逆时针方向运动半周，当S△HDF＝3S△MDF时，求动点M经过的弧长(结果保留π)．6、半径为2cm的与⊙O边长为2cm的正方形ABCD在水平直线l的同侧，⊙O与l相切于点F，DC在l上．（1）过点B作的一条切线BE，E为切点．①填空：如图1，当点A在⊙O上时，∠EBA的度数是；②如图2，当E，A，D三点在同一直线上时，求线段OA的长；（2）以正方形ABCD的边AD与OF重合的位置为初始位置，向左移动正方形（图3），至边BC与OF重合时结束移动，M，N分别是边BC，AD与⊙O的公共点，求扇形MON 的面积的范围．7、如图，Rt△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，且∠ACB=90°，AB=5，BC=3，点P在射线AC上运动，过点P作PH⊥AB，垂足为H．（1）直接写出线段AC、AD及⊙O半径的长；（2）设PH=x，PC=y，求y关于x的函数关系式；（3）当PH与⊙O相切时，求相应的y值．8、如图1，正方形ABCD的边长为2，点M是BC的中点，P是线段MC上的一个动点（不与M、C重合），以AB为直径作⊙O，过点P作⊙O的切线，交AD于点F，切点为E．（1）求证：OF∥BE；（2）设BP=x，AF=y，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（3）延长DC、FP交于点G，连接OE并延长交直线DC与H（图2），问是否存在点P，使△EFO∽△EHG（E、F、O与E、H、G为对应点）？如果存在，试求（2）中x和y的值；如果不存在，请说明理由．9、如图，⊙O的半径为1，直线CD经过圆心O，交⊙O于C、D两点，直径AB⊥CD，点M是直线CD上异于点C、O、D的一个动点，AM所在的直线交于⊙O于点N，点P是直线CD上另一点，且PM=PN．（1）当点M在⊙O内部，如图一，试判断PN与⊙O的关系，并写出证明过程；（2）当点M在⊙O外部，如图二，其它条件不变时，（1）的结论是否还成立？请说明理由；（3）当点M在⊙O外部，如图三，∠AMO=15°，求图中阴影部分的面积．10、如图，在⊙O中，直径AB⊥CD，垂足为E，点M为OC上动点，AM的延长线交⊙O 于点G，交过C的直线于F，∠1=∠2，连结CB与DG交于点N．（1）求证：CF是⊙O的切线；（2）点M在OC上移动时（点M不与O、C点重合），探究△ACM与△DCN之间关系，并证明1，求BN的长．（3）若点M移动到CO的中点时，⊙O的半径为4，cos∠BOC=411、如图，已知AB是圆O的直径，BC是圆O的弦，弦ED⊥AB于点F,交BC于点G，过点C作圆O的切线与ED的延长线交于点P．(1）求证：PC＝PG；（2）点C在劣弧AD上运动时，其他条件不变，若点G是BC的中点，试探究CG、BF、BO三者之间的数量关系，并写出证明过程；（3）在满足（2）的条件下，已知圆为O的半径为5,若点O到BC时，求弦ED的长．12、如图1，已知⊙O的半径长为3，点A是⊙O上一定点，点P为⊙O上不同于点A的动点．（1）当1A=时，求AP的长；tan2（2）如果⊙Q过点P、O，且点Q在直线AP上（如图2），设AP＝x，QP＝y，求y 关于x的函数关系式，并写出函数的定义域；（3）在（2）的条件下，当4A=时（如图3），存在⊙M与⊙O相内切，同时与⊙tan3Q相外切，且OM⊥OQ，试求⊙M的半径的长．图1 图2 图3答案：1、解：（1）连接AC，如图所示：∵AB=4，∴OA=OB=OC=1AB=2。

2又∵AC=2，∴AC=OA=OC。

∴△ACO为等边三角形。

∴∠AOC=∠ACO=∠OAC=60°，∴∠APC=1∠AOC=30°。

2又DC与圆O相切于点C，∴OC⊥DC。

∴∠DCO=90°。

∴∠ACD=∠DCO﹣∠ACO=90°﹣60°=30°。

（2）连接PB，OP，∵AB为直径，∠AOC=60°，∴∠COB=120°。

当点P移动到弧CB的中点时，∠COP=∠POB=60°。

∴△COP和△BOP都为等边三角形。

∴AC=CP=OA=OP。

∴四边形AOPC为菱形。

（3）当点P与B重合时，△ABC与△APC重合，显然△ABC≌△APC。

当点P继续运动到CP经过圆心时，△ABC≌△CPA，理由为：∵CP与AB都为圆O的直径，∴∠CAP=∠ACB=90°。

在Rt△ABC与Rt△CPA中，AB=CP，AC=AC∴Rt△ABC≌Rt△CPA（HL）。

综上所述，当点P与B重合时和点P运动到CP经过圆心时，△ABC≌△CPA。

2、解：（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°。

∵PD⊥CD，∴∠D=90°。

∴∠D=∠ACB。

∵∠A与∠P是BC所对的圆周角，∴∠A=∠P，∴△PCD∽△ABC。

（2）当PC是⊙O的直径时，△PCD≌△ABC。

理由如下：∵AB，PC是⊙O的半径，∴AB=PC。

∵△PCD∽△ABC，∴△PCD≌△ABC。

画图如下：（3）∵∠ACB=90°，AC=12AB，∴∠ABC=30°。

∵△PCD∽△ABC，∴∠PCD=∠ABC=30°。

∵CP⊥AB，AB是⊙O的直径，∴AC AP=。

∴∠ACP=∠ABC=30°。

∴∠BCD=∠AC﹣∠ACP﹣∠PCD=90°﹣30°﹣30°=30°。

3、解：（1）∵点O是圆心，OD⊥BC，BC=1，∴BD=12BC=12。

又∵OB=2，∴==。

（2）存在，DE是不变的。

如图，连接AB，则=∵D和E是中点，∴DE=12。

（3）∵BD=x，∴OD=。

∵∠1=∠2，∠3=∠4，∠AOB=900。

∴∠2+∠3=45°。

11y DF OE 0x 22<=⋅=过D 作DF⊥OE，垂足为点F。

由△BOD∽△EDF，得BD OD =EF DF，即x EF ，解得。

∴。

4、解：（1）∵四边形ABCD 是菱形，且菱形ABCD 的边长为2， ∴AB=BC=2，∠BAC=12∠DAB。

又∵∠DAB=60°，∴∠BAC=∠BCA=30°。

如图1，连接BD 交AC 于O 。

∵四边形ABCD 是菱形，∴AC⊥BD，OA=12AC 。

∴OB=12AB=1。

运动ts 后，t ，AO=t，∴AP AC =AQ AB=。

又∵∠PAQ=∠CAB，∴△PAQ∽△CAB.∴∠APQ=∠ACB.∴PQ∥BC.（2）如图2，⊙P 与BC 切于点M ，连接PM ，则PM⊥BC。

在Rt△CPM 中，∵∠PCM=30°，∴PM=12。

由PM=PQ=AQ=t ，t =t ，解得t=6， 此时⊙P 与边BC 有一个公共点。

如图3，⊙P 过点B ，此时PQ=PB ，∵∠PQB=∠PAQ+∠APQ=60°∴△PQB 为等边三角形。

∴QB=PQ=AQ=t。

∴t=1。

∴当6t 1<-≤时，⊙P 与边BC 有2个公共点。

如图4，⊙P 过点C ，此时PC=PQ ，即 =t∴t=3。

∴当1≤t≤3，⊙P 与边BC 有一个公共点。

当点P 运动到点C ，即t=2时，Q 、B 重合，⊙P 过点B ，此时，⊙P 与边BC 有一个公共点。

综上所述，当t=6-或1≤t≤3-或t=2时，⊙P 与菱形ABCD的边BC 有1个公共点；当6t 1<≤时，⊙P 与边BC 有2个公共点。

5、解：（1）证明：连接DE ，过点D 作DN ⊥BC ，垂足为点N 。

∵四边形ABCD 是菱形，∴BD 平分∠ABC 。

∵⊙D 与边AB 相切于点E ，∴DE ⊥AB 。

∴DN=DE 。

∴⊙D 与边BC 也相切。

（2）∵四边形ABCD 是菱形，AB ＝23，∴AD ＝AB ＝23。

又∵∠A ＝60º，∴DE ＝ADsin600＝3，即⊙D 的半径是3。

又∵∠HDF ＝12∠HADC ＝60º，DH ＝DF ，∴△HDF 是等边三角形。

过点H 作HG ⊥DF ，垂足为点G ，则HG ＝3sin600∴2HDF HDF 16033S 3S 23602ππ∆⨯⨯=⨯===扇形。

∴HDF HDF 3S S S 2π∆=-=-=扇形影阴。

（3）假设点M 运动到点M 1时，满足S △HDF ＝3S △MDF ，过点M 1作M1P ⊥DF ，垂足为点P ，113M P 2=⋅⋅，解得3M P=2'。

∴111M P=DM 2。

∴∠M 1DF ＝30º。

此时动点M 经过的弧长为：3031802ππ⨯⨯=。