高中数学第三章基本初等函数(Ⅰ)3.1指数与指数函数(2)同步练习新人教B版必修1
高中数学第三章基本初等函数(Ⅰ)3.1指数与指数函数3.1.2指数函数同步测控新人教B版必修1
3.1.2 指数函数同步测控我夯基,我达标1.下列以x 为自变量的函数中，是指数函数的是( )A.y=(-4)xB.y=πxC.y=-4xD.y=a x+2（a ＞0且a≠1） 解析：从指数函数的定义出发解决此题. 答案：B2.图3-1-2是指数函数①y=a x ；②y=b x ；③y=c x ；④y=d x的图象.则a 、b 、c 、d 与1的大小关系是( )图3-1-2A.a ＜b ＜1＜c ＜dB.b ＜a ＜1＜d ＜cC.1＜a ＜b ＜c ＜dD.a ＜b ＜1＜d ＜c 解析：直线x=1与四个指数函数图象交点的坐标分别为（1，a ）、（1，b ）、（1，c ）、（1，d ），由图象可知纵坐标的大小关系. 答案：B3.当x>0时，函数f （x ）=（a 2-1）x的值总大于1，则实数a 的取值范围是( ) A.1<|a|<2 B.|a|<1 C.|a|>1D.|a|>2解析：由指数函数的图象，可得a 2-1>1，即a 2>2，∴|a|>2. 答案：D4.若函数y=a x+b-1（a>0且a≠1）的图象经过第一、三、四象限，则一定有( )A.a>1且b<1B.0<a<1且b<0C.0<a<1且b>0D.a>1且b<0解析：函数y=a x+b-1（a>0且a≠1）的图象经过第一、三、四象限，则必有a>1； 进而可知⎩⎨⎧<>⇒⎩⎨⎧-<>⇒⎩⎨⎧<>.0,11,10)0(,10b a a b a f a 答案：D 5.设y 1=40.9，y 2=80.44，y 3=（21）-1.5，则( ) A.y 3>y 1>y 2 B.y 2>y 1>y 3 C.y 1>y 2>y 3 D.y 1>y 3>y 2解析：把给出的三个函数化为同底的指数式，y 1=21.8，y 2=21.32，y 3=21.5，再根据指数函数y=2x是增函数即可得出y 1＞y 3＞y 2. 答案：D6.函数y=a x-3+3（a>0且a≠1）恒过定点_____________.解析：a 3-3+3=a 0+3=4. 答案：（3，4）7.已知函数f （x ）=a x +a -x（a>0且a≠1），f （1）=3，则f （0）+f （1）+f （2）的值为_________.解析：f （0）=a 0+a 0=2，f （1）=a+a -1=3，f （2）=a 2+a -2=（a+a -1）2-2=9-2=7. ∴f（0）+f （1）+f （2）=12. 答案：128.函数y=（2m-1）x是指数函数，则m 的取值范围是___________.解析：根据指数函数的定义，y=a x中的底数a 约定a ＞0且a≠1. 故此2m-1＞0且2m-1≠1，所以m ＞21且m≠1. 答案：m ＞21且m≠1 9.函数y=3)1(2+x 的值域为__________.解析：考查指数函数的性质、函数值域的求法.由于x 2+1≥1，而y=3x在（-∞，+∞）上是增函数， 所以y=32x +1≥3，即y=32x +1的值域为［3，+∞）.答案：［3，+∞） 10.求函数y=f （x ）=（41）x -（21）x+1，x∈［-3，2］的值域. 分析:将（21）x看作一个未知量t ，把原函数转化为关于t 的二次函数求解. 解：∵f（x ）=［（21）x ］2-（21）x+1，x∈［-3，2］，∴（21）2≤（21）x ≤（21）-3，即41≤（21）x≤8.设t=（21）x ，则41≤t≤8.将函数化为f （t ）=t 2-t+1，t ∈［41，8］.∵f（t ）=（t 21-）2+43，∴f（21）≤f（t ）≤f（8）.∴43≤f（t ）≤57. ∴函数的值域为［43，57］.我综合,我发展11.已知f （x ）=x （121-x +21）. （1）判断函数的奇偶性；（2）求证:f （x ）>0.分析:以复合函数为载体判断函数的奇偶性，并利用函数的奇偶性证明不等式.（1）解：函数的定义域为{x|x≠0}.f(x)=x·)12(212-+xx , f （-x ）=-x·)12(212-+--x x =-x·)21(221x x-+=x·)12(221-+xx=f （x ）. ∴函数为偶函数.（2）证明：当x>0时，2x>1. ∴2x-1>0.∴f（x ）>0. 又f （x ）是偶函数，∴当x<0时，f （x ）=f （-x ）>0，即对于x≠0的任何实数x ，均有f （x ）>0.12.已知f （x ）=3421ax x ∙++＞0，当x∈（-∞，1］时恒成立，求实数a 的取值范围.分析:利用转化的思想，原题化为1+2x+4x·a＞0，再分离参变量得a ＞xx)21()41(--，最后用指数函数的单调性求最值.解：f （x ）＞0在（-∞，1］上恒成立，即1+2x +4x·a＞0在（-∞，1］上恒成立，进一步转化为a ＞xx)21()41(--在（-∞，1］上恒成立.当且仅当a 大于函数g （x ）=xx)21()41(--的最大值时，a ＞xx)21()41(--恒成立. 而g （x ）=xx)21()41(--在（-∞，1］上是增函数,∴当x=1时，g （x ）max =41-21-=43-. 因此，所求a 的取值范围为a ＞43-.13.关于x 的方程（43）x =aa -+523有负根，求实数a 的取值范围.分析:灵活运用指数函数的性质解决问题.应注意当得出aa -+523＞1时,不能化简成3a+2>5-a,而应化简成534--a a <0,从而求出实数a 的取值范围.解：∵方程（43）x =a a -+523有负根，∴x＜0.∵x＜0，0＜43＜1，∴（43）x＞1. ∴a a -+523＞1，解得43＜a ＜5.1.4已知a 、b∈R +，且a≠b，试求函数f （x ）=［a 2x+（ab ）x-2b 2x］21-的定义域.分析:求函数的定义域，就是求使函数表达式有意义的字母x 的取值范围，因此，函数f （x ）的定义域就是不等式a 2x +（ab ）x -2b 2x＞0的解集. 解：a 2x+（ab ）x-2b 2x＞0等价于（b a ）2x +（ba ）x-2＞0. ∴［（b a ）x +2］［（b a ）x-1］＞0. ∵（b a ）x+2恒为正，∴（b a ）x -1＞0.∴（ba ）x＞1.①当a ＞b 时，ba＞1，∴x＞0.∴函数f （x ）的定义域为R +. ②当a ＜b 时，0＜ba＜1，∴x＜0. ∴函数f （x ）的定义域为{x|x ＜0}. 15.设a 是实数，f(x)=122+-xa (x∈R )，求证：对于任意a,f(x)均为增函数. 分析:问题形式较为复杂，也应严格按照单调性的定义进行证明.如果只要求指出函数的单调区间则不一定用单调性定义来证明，要注意不同要求时各类问题的解答方法的差别. 证明:设x 1、x 2∈R ,且x 1<x 2,则 f(x 1)-f(x 2)=)122()122(21+--+-x x a a =1221212+-+x x x =)12)(12()22(22121++-x x x x . ∵指数函数y=2x在R 上是增函数,x 1<x 2, ∴21x<22x ，即21x-22x <0.∵2x>0, ∴21x+1>0，22x +1>0.∴)12)(12()22(22121++-x x x x <0. ∴f(x 1)-f(x 2)<0,即f(x 1)<f(x 2).∵此结论与a 的取值无关，∴对于a 取任意实数，f(x)均为增函数.16.已知函数f(x)是定义在［-1,1］上的奇函数，且f(1)=1,若m,n∈［-1,1］,m+n≠0,nm n f m f ++)()(>0.(1)求证：f(x)在［-1,1］上是增函数； (2)解不等式f(x+21)<f(11-x ); (3)若f(x)≤4t-3·2t+3对所有x∈［-1,1］恒成立,求实数t 的取值范围.分析:（1）利用定义法证明单调性；（2）利用函数f(x)的单调性解不等式；（3）转化为求f(x)的最大值.(1)证明：任取-1≤x 1<x 2≤1. ∵f(x)为奇函数，∴f(x 1)-f(x 2)=f(x 1)+f(-x 2)=2121)()(x x x f x f --+·(x 1-x 2).∵2121)()(x x x f x f --+>0,x 1-x 2<0,∴f(x 1)<f(x 2).∴f(x)在［-1,1］上是增函数.(2)解：f(x+21)<f(11-x )⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-<+≤-≤-≤+≤-⇔.1121,1111.1211x x x x 解得23-≤x<-1. (3)解：由（1）知f(x)在［-1,1］上是增函数，且f(1)=1，∴x∈［-1,1］时，f(x)≤1.∵f(x)≤4t -3·2t+3对所有x∈［-1,1］恒成立， ∴4t -3·2t+3≥1恒成立.∴(2t )2-3·2t +2≥0，即2t ≥2或2t≤1. ∴t≥1或t≤0.我创新,我超越1.7设f （x ）=244+x x，若0<a<1，则（1）f （a ）+f （1-a ）=____________; （2）f （10011）+f （10012）+f （10013）+…+f（10011000）=__________. 解析：（1）f （a ）+f （1-a ）=244+a a +24411+--a a=244+a a+24444+aa =244+a a +a4244∙+ =2424422244+++++aa a a a =1. （2）f （10011）+f （10012）+f （10013）+…+f（10011000） =［f （10011）+f （10011000）］+［f （10012）+f （1001999）］+…+［f （1001500）+f （1001501）］=500×1=500.答案：（1）1 （2）50018.定义在R 上的函数y=f （x ），f （0）≠0，当x>0时，f （x ）>1，且对任意的a 、b∈R ，有f （a+b ）=f （a ）·f（b ）. （1）求证:f （0）=1；（2）求证:对任意的x∈R ，恒有f （x ）>0； （3）求证:函数y=f （x ）是R 上的增函数.分析:本题抽象函数的原型函数即为指数函数，可借助y=2x理清解答的思路和方法.解本题的关键是灵活应用题目条件，尤其是（3）中利用“f（x 2）=f ［（x 2-x 1）+x 1］”是证明单调性的关键，这里体现了构造条件式向条件化归的策略.证明:（1）取a=b=0，则f （0）=f 2（0）. ∵f（0）≠0，∴f（0）=1.（2）当x≥0时，f （x ）≥1>0成立，当x<0时，-x>0，f （0）=f （x-x ）=f （x ）·f（-x ）=1， ∴f（x ）=)(1x f ->0. ∴x∈R 时，恒有f （x ）>0.（3）证法一：设x 1<x 2，则x 2-x 1>0.∴f（x 2）=f （x 2-x 1+x 1）=f （x 2-x 1）·f（x 1）. ∵x 2-x 1>0，∴f（x 2-x 1）>1.又f （x 1）>0，∴f（x 2-x 1）·f（x 1）>f （x 1）,即f(x 2)>f(x 1). ∴f（x ）是R 上的增函数.证法二：也可以设x 2=x 1+t （t>0），f （x 2）=f （x 1+t ）=f （x 1）·f（t ）>f （x 1）. 或者设x 1<x 2，则)0()()()()()()()(12111212f x x f x f x f x f x f x f x f -=-∙-∙=>1. 又f （x 1）>0，f （x 2）>0，∴f（x 2）>f （x 1）.。
2020版数学同步新导练人教B必修一课件：第三章 基本初等函数(Ⅰ) 3.1 3.1.2(二)
＋1)<f(2x)的 x 的取值范围是( )
A．(－∞，－1]
B．(0，＋∞)
C．(－1,0)
D．(－∞，0)
解析：D 将函数 f(x)的图象画出来，观察图象可知会有
2x<0， 2x<x＋1，
解得 x<0，所以满足 f(x＋1)<f(2x)的 x 的取值范围是
(－∞，0)，故选 D．
二、填空题 7．若函数 f(x)＝2|x－a|(a∈R)满足 f(1＋x)＝f(1－x)，且 f(x)在 [m，＋∞)单调递增，则实数 m 的最小值等于________． 解析：由 f(1＋x)＝f(1－x)得函数 f(x)关于 x＝1 对称，故 a ＝1，则 f(x)＝2|x－1|，由复合函数单调性得 f(x)在[1，＋∞)上递增， 故 m≥1，所以实数 m 的最小值等于 1. 答案：1
值范围为( )
A．(－∞，0)
B．(－∞，1)
C．(0,1)
D．(1，＋∞)
解析：C 由题意 f(x)＝－f(－x)，即22xx－＋a1＝－22－ －xx＋ )(2x
＋
1)
＝
0
，
a
＝
1
，
f(x)
＝
2x＋1 2x－1
，由
f(x)
＝
2x＋1 2x－1
>3
，得
1<2x<2,0<x<1，故选 C．
解析：∵f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，又 f(x)－g(x)＝12x， ∴－f(x)－g(x)＝12－x，即f－xf－xg－xg＝x2＝－x2，x，①② 解 ∴得g(0f)(＝x)＝－21－，x－2g(2－x，2)g＝(x－)＝18－ 7，2xf＋ (12)2＝－x－，34， ∴g(－2)＜g(0)＜f(1)． 答案：g(－2)＜g(0)＜f(1)
高中数学第三章基本初等函数(Ⅰ)31指数与指数函数311有理指数幂及其运算同步测控新人教B版1.
3.1.1 有理指数幂及其运算同步测控我夯基,我达标1.把根式52)(2---b a 改写成分数指数幂的形式为( )A.-2(a-b)52-B.-2(a-b)52-C.-2(a52--b52-)D.-2(a52--b52-)解析：原式可化为-2（a-b ）52-.答案：A2.下列根式、分数指数幂的互化中，正确的是…( ) A.x -=(-x)21(x≠0) B.x 31-=3x -C.(y x )43-=43)(xy (xy≠0) D.62y =y 31(y<0)解析：根据根式、分数指数幂的意义，可得选项C 正确. 答案：C3.当a 、b∈R ，下列各式总能成立的是( )A.)(66b a -=a-bB.8822)(b a +=a 2+b 2C.4444b a -=a-bD.1010)(b a +=a+b解析：取a=0,b=1,A 不成立;取a=0,b=-1,C 不成立;取a=-1,b=-1,D 不成立;因为a 2+b 2≥0, 所以B 正确. 答案：B4.下列说法中正确的命题个数是( ) (1)-2是16的四次方根 (2)正数的n 次方根有两个 (3)a 的n 次方根就是n a (4)n n a =a(a≥0)A.1B.2C.3D.4解析：从n 次方根和n 次根式的概念入手，认清各概念与各符号之间的关系.此题主要目的是分清n 次方根是什么和有几个，进一步明确根式进行简单运算的依据.(1)是正确的,由(-2)4=16可验证. (2)不正确，要对n 分奇偶讨论.(3)不正确，a 的n 次方根可能有一个值，可能有两个值，而n a 只表示一个确定的值,它叫根式.(4)正确，根据根式运算的依据，当n 为奇数时，n n a =a 是正确的，当n 为偶数时，若a≥0，则有n n a =a ，综上，当a≥0时，无论n 为何值均有n n a =a 成立. 答案：B5.若a m=2，a n=3，则a 23n m -=__________.解析：先求ma3，nm a-3,n m aa 3=38，∴a 23nm -=38=362. 答案：362 6.化简107532aa a a ∙∙（a ＞0）＝________.解析：先将根式化成分数指数幂再运算.原式＝57107532107212a a aa a ==∙∙-+--.答案：57a 7.计算：（1）3253--(22710)32-+0.5-2；（2）1.531-×(67-)0+80.25×42+(323⨯)632)32(--. 分析:指数为小数时化为分数的形式，底数为根式时，化为指数式，并根据运算法则的顺序进行计算. 解：（1）原式=(25)53--(2764)32-+(21)-2 =2-3-［(43)3］32+22=16981-+4 =1657. （2）原式=(32)31×1+(23)41×241+(231)6×(321)6-［(32)32］21=(32)31+(23×2)41+22×33-(32)31=2+4×27=110.我综合,我发展8.设α、β是方程5x 2+10x+1=0的两个根.则2α·2β=____________,(2α)β=_________. 解析：利用一元二次方程根与系数的关系得α+β,αβ.由题意得α+β=-2,αβ=51,则2α·2β=2α+β＝2-2=41,(2α)β=2αβ=251.答案：412519.已知x 31+x31-=4，求（1）x+x -1，（2）x 21+x21-的值.分析:题中（1）x+x -1是(x 31)3+(x31-)3可以用立方和公式求解，同时知道x 值是正数.求出x+x-1后再反用完全平方公式就能找到求x 21+x 21-的途径.解：（1）∵x 31+x 31-=4,∴x+x -1=(x 31+x 31-)(x 32-1+x32-)=(x 31+x31-)［(x 31+x31-)2-3］=4(42-3) =52.（2）∵x>0,∴x 21+x 21->0.∵x+x -1=52, ∴x 21+x21-=22121)(-+xx =12-++x x =6354252==+.10.已知a<b<0，n>1,n∈N *,化简n n b a )(-+n n b a )(-.分析:由a 的n 次方根的概念，对于根指数n ，要区分它为正偶数和正奇数的情况，增强分类讨论的意识.特别是正偶数的情况，开方以后的结果要带有绝对值符号，再根据已知条件去掉绝对值符号.解：当n 是奇数时，原式=(a-b)+(a+b)=2a;当n 是偶数时，原式=|a-b|+|a+b|=(b-a)+(-a-b)=-2a.所以n n b a )(-+n nb a )(-=⎩⎨⎧-.,2,,2为偶数为奇数n a n a11.已知x 21+x21-=3，求23222323-+-+--x x x x 的值. 分析:已知条件x 21+x21-=3较为复杂，需要整理后再使用，同时注意对平方差（和）、立方差（和）等常用公式的识别. 解：∵x 21+x 21-=3，∴(x 21+x 21-)2=9,即x+x -1=7.∵x 23+x 23-=(x 21+x 21-)(x-1+x -1),∴x 23+x23-=3×(7-1)=18.∵x 2+x -2=(x+x -1)2-2=47, ∴原式=314515247318==--.我创新,我超越12.如图3-1-1，P 1是一块半径为1的半圆形纸板，在P 1的左下端剪出一个半径为21的半圆形纸板P 2，然后依次剪出一个更小的半圆（其直径为前一个被剪掉半圆的半径）形纸板P 3，P 4，…，P n ，则P n 的半径r n 是__________.图3-1-1解析：由已知可得r 1=（21）0，r 2=（21）1，r 3=（21）2，r 4=（21）3，依次类推r n =（21）n-1.答案：（21）n-113.化简: （1）246-; （2）154-.分析:（1）题中246-的小根号前是-4，化为-2得826-，容易找到4+2=6,4×2=8； （2）中154-小的根号前没有2，变出2得154-=21528-，而5+3=8,5×3=15. 解：（1）原式＝22)2(2222+∙⨯- =22|22|)22(2-=-=-.（2）原式＝21528- =2)3(352)5(22+∙∙-=2)35(- =2|35|-=235- =2610-. 14.已知2x=a 21+a 21-(a ＞1),求1122---x x x 的值.分析:思路一是直接代入求值,比较烦琐,思路二是注意观察研究规律:(x+12-x )(12--x x )=1,先从化简表达式入手.在分数指数幂的运算中,还要注意公式的变式使用,如a 21+b 21=2121ba b a --,a+b=(a 31+b 31)(a 32-a 31b 31+b 32)等.解法一:∵(2x)2=(a 21+a 21-)2=a+2+a -1,∴x 2=41a+21+41a -1. ∴x 2-1=41a 21-+41a -1=41(a 21-a 21-)2.∴1-x 2=21(a 21-a 21-).∴原式=)(21)(21)(21212121212121-----+-a a a a a a=212212121-=---a aa a . 解法二:)1)(1()1(111222222-+---+-=---x x x x x x x x x x=1)1(122-+-x x x=21×21(a 21+a 21-)(a 21-a 21-)+41a 21-+41a -1=41(a-a -1)+41a 21-+41a -1 =21-a .。
高中数学 第三章 基本初等函数(Ⅰ)3.1 指数与指数函数 3.1.2 指数函数学案 新人教B版必修
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3.1.2 指数函数预习导航1．指数函数的定义函数y＝a x（a〉0，a≠1，x∈R)叫做指数函数，其中x是自变量．思考1函数y＝4－x是指数函数吗？函数y＝4x＋9呢？提示：函数y＝4－x＝14x⎛⎫⎪⎝⎭是指数函数，函数y＝4x＋9不是指数函数，判断一个函数是否为指数函数关键是看是否能化为y＝a x（a>0,且a≠1)的标准形式．思考2 在指数函数的定义中，为什么规定a>0，且a≠1?提示：2．指数函数的图象和性质值域：＋∞）小值，当x ＝s 时，函数有最小值a s ；当x ＝t 时,函数有最大值a t 。
指数函数y ＝a x （0＜a ＜1）在R 上为减函数，在闭区间[s ，t ］上存在最大值、最小值，当x ＝s 时，函数有最大值a s ；当x ＝t 时,函数有最小值a t .思考3 指数幂a x （a >0,且a ≠1)与1的大小关系如何?提示：当x 〈0,0〈a 〈1或x 〉0，a 〉1时，a x >1,即指数x 和0比较，底数a 和1比较，当不等号的方向相同时,a x 大于1，简称为“同大”．当x 〈0，a 〉1或x >0，0<a <1时，a x <1，即指数x 和0比较,底数a 和1比较，当不等号的方向相反(异)时,a x 小于1，简称为“异小”．因此简称为“同大异小”．思考4 在同一平面直角坐标系中画出下列函数的图象：①y ＝2x ；②y ＝5x ；③y ＝15x ⎛⎫ ⎪⎝⎭；④y ＝12x⎛⎫ ⎪⎝⎭。
2021年高中数学第三章基本初等函数Ⅰ3.1指数与指数函数3.1.指数函数同步测控新人教B版必修
2021年高中数学第三章基本初等函数Ⅰ3.1指数与指数函数3.1.2指数函数同步测控新人教B 版必修同步测控我夯基,我达标1.下列以x 为自变量的函数中，是指数函数的是( )A.y=(-4)xB.y=πxC.y=-4xD.y=a x+2（a ＞0且a≠1） 解析：从指数函数的定义出发解决此题.答案：B2.图3-1-2是指数函数①y=a x ；②y=b x ；③y=c x ；④y=d x 的图象.则a 、b 、c 、d 与1的大小关系是( )图3-1-2A.a ＜b ＜1＜c ＜dB.b ＜a ＜1＜d ＜cC.1＜a ＜b ＜c ＜dD.a ＜b ＜1＜d ＜c 解析：直线x=1与四个指数函数图象交点的坐标分别为（1，a ）、（1，b ）、（1，c ）、（1，d ），由图象可知纵坐标的大小关系.答案：B3.当x>0时，函数f （x ）=（a 2-1）x 的值总大于1，则实数a 的取值范围是( )A.1<|a|<B.|a|<1C.|a|>1D.|a|>解析：由指数函数的图象，可得a 2-1>1，即a 2>2，∴|a|>2.答案：D4.若函数y=a x +b-1（a>0且a≠1）的图象经过第一、三、四象限，则一定有( )A.a>1且b<1B.0<a<1且b<0C.0<a<1且b>0D.a>1且b<0解析：函数y=a x +b-1（a>0且a≠1）的图象经过第一、三、四象限，则必有a>1；进而可知⎩⎨⎧<>⇒⎩⎨⎧-<>⇒⎩⎨⎧<>.0,11,10)0(,10b a ab a f a 答案：D5.设y 1=40.9，y 2=80.44，y 3=（）-1.5，则( )A.y 3>y 1>y 2B.y 2>y 1>y 3C.y 1>y 2>y 3D.y 1>y 3>y 2解析：把给出的三个函数化为同底的指数式，y 1=21.8，y 2=21.32，y 3=21.5，再根据指数函数y=2x是增函数即可得出y1＞y3＞y2.答案：D6.函数y=a x-3+3（a>0且a≠1）恒过定点_____________.解析：a3-3+3=a0+3=4.答案：（3，4）7.已知函数f（x）=a x+a-x（a>0且a≠1），f（1）=3，则f（0）+f（1）+f（2）的值为_________. 解析：f（0）=a0+a0=2，f（1）=a+a-1=3，f（2）=a2+a-2=（a+a-1）2-2=9-2=7.∴f（0）+f（1）+f（2）=12.答案：128.函数y=（2m-1）x是指数函数，则m的取值范围是___________.解析：根据指数函数的定义，y=a x中的底数a约定a＞0且a≠1.故此2m-1＞0且2m-1≠1，所以m＞且m≠1.答案：m＞且m≠19.函数y=3的值域为__________.解析：考查指数函数的性质、函数值域的求法.由于x2+1≥1，而y=3x在（-∞，+∞）上是增函数，所以y=3+1≥3，即y=3+1的值域为［3，+∞）.答案：［3，+∞）10.求函数y=f（x）=（）x-（）x+1，x∈［-3，2］的值域.分析:将（）x看作一个未知量t，把原函数转化为关于t的二次函数求解.解：∵f（x）=［（）x］2-（）x+1，x∈［-3，2］，∴（）2≤（）x≤（）-3，即≤（）x≤8.设t=（）x，则≤t≤8.将函数化为f（t）=t2-t+1，t∈［，8］.∵f（t）=（t）2+，∴f（）≤f（t）≤f（8）.∴≤f（t）≤57.∴函数的值域为［，57］.我综合,我发展11.已知f（x）=x（+）.（1）判断函数的奇偶性；（2）求证:f（x）>0.分析:以复合函数为载体判断函数的奇偶性，并利用函数的奇偶性证明不等式.（1）解：函数的定义域为{x|x≠0}.f(x)=x·,f（-x）=-x·=-x·=x·=f（x）.∴函数为偶函数.（2）证明：当x>0时，2x>1.∴2x-1>0.∴f（x）>0.又f（x）是偶函数，∴当x<0时，f（x）=f（-x）>0，即对于x≠0的任何实数x，均有f（x）>0.12.已知f（x）=＞0，当x∈（-∞，1］时恒成立，求实数a的取值范围.分析:利用转化的思想，原题化为1+2x +4x ·a＞0，再分离参变量得a ＞，最后用指数函数的单调性求最值.解：f （x ）＞0在（-∞，1］上恒成立，即1+2x +4x ·a＞0在（-∞，1］上恒成立，进一步转化为a ＞在（-∞，1］上恒成立.当且仅当a 大于函数g （x ）=的最大值时，a ＞恒成立.而g （x ）=在（-∞，1］上是增函数,∴当x=1时，g （x ）max ==.因此，所求a 的取值范围为a ＞.13.关于x 的方程（）x =有负根，求实数a 的取值范围.分析:灵活运用指数函数的性质解决问题.应注意当得出＞1时,不能化简成3a+2>5-a,而应化简成<0,从而求出实数a 的取值范围.解：∵方程（）x =有负根，∴x＜0.∵x＜0，0＜＜1，∴（）x ＞1.∴＞1，解得＜a ＜5.1.4已知a 、b∈R +，且a≠b，试求函数f （x ）=［a 2x +（ab ）x -2b 2x ］的定义域.分析:求函数的定义域，就是求使函数表达式有意义的字母x 的取值范围，因此，函数f （x ）的定义域就是不等式a 2x +（ab ）x -2b 2x ＞0的解集.解：a 2x +（ab ）x -2b 2x ＞0等价于（）2x +（）x -2＞0.∴［（）x +2］［（）x -1］＞0.∵（）x +2恒为正，∴（）x -1＞0.∴（）x ＞1.①当a ＞b 时，＞1，∴x＞0.∴函数f （x ）的定义域为R +.②当a ＜b 时，0＜＜1，∴x＜0.∴函数f （x ）的定义域为{x|x ＜0}.15.设a 是实数，f(x)=(x∈R )，求证：对于任意a,f(x)均为增函数.分析:问题形式较为复杂，也应严格按照单调性的定义进行证明.如果只要求指出函数的单调区间则不一定用单调性定义来证明，要注意不同要求时各类问题的解答方法的差别. 证明:设x 1、x 2∈R ,且x 1<x 2,则f(x 1)-f(x 2)=)122()122(21+--+-x x a a ==.∵指数函数y=2x 在R 上是增函数,x 1<x 2,∴2<2，即2-2<0.∵2x >0,∴2+1>0，2+1>0.∴<0.∴f(x 1)-f(x 2)<0,即f(x 1)<f(x 2).∵此结论与a 的取值无关，∴对于a 取任意实数，f(x)均为增函数.16.已知函数f(x)是定义在［-1,1］上的奇函数，且f(1)=1,若m,n∈［-1,1］,m+n≠0,>0.(1)求证：f(x)在［-1,1］上是增函数；(2)解不等式f(x+)<f();(3)若f(x)≤4t -3·2t +3对所有x∈［-1,1］恒成立,求实数t 的取值范围.分析:（1）利用定义法证明单调性；（2）利用函数f(x)的单调性解不等式；（3）转化为求f(x)的最大值.(1)证明：任取-1≤x 1<x 2≤1.∵f(x)为奇函数，∴f(x 1)-f(x 2)=f(x 1)+f(-x 2)=·(x 1-x 2).∵>0,x 1-x 2<0,∴f (x 1)<f(x 2).∴f(x)在［-1,1］上是增函数.(2)解：f(x+)<f()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-<+≤-≤-≤+≤-⇔.1121,1111.1211x x x x 解得≤x<-1. (3)解：由（1）知f(x)在［-1,1］上是增函数，且f(1)=1，∴x∈［-1,1］时，f(x)≤1.∵f(x)≤4t -3·2t +3对所有x∈［-1,1］恒成立，∴4t -3·2t +3≥1恒成立.∴(2t )2-3·2t +2≥0，即2t ≥2或2t ≤1.∴t≥1或t≤0.我创新,我超越1.7设f （x ）=，若0<a<1，则（1）f （a ）+f （1-a ）=____________;（2）f （）+f （）+f （）+…+f（）=__________.解析：（1）f （a ）+f （1-a ）=+ =+24444+a a =+ ==1.（2）f （）+f （）+f （）+…+f（）=［f （）+f （）］+［f （）+f （）］+…+［f （）+f （）］=500×1=500.答案：（1）1 （2）50018.定义在R 上的函数y=f （x ），f （0）≠0，当x>0时，f （x ）>1，且对任意的a 、b∈R ，有f （a+b ）=f （a ）·f（b ）.（1）求证:f （0）=1；（2）求证:对任意的x∈R ，恒有f （x ）>0；（3）求证:函数y=f （x ）是R 上的增函数.分析:本题抽象函数的原型函数即为指数函数，可借助y=2x 理清解答的思路和方法.解本题的关键是灵活应用题目条件，尤其是（3）中利用“f（x 2）=f ［（x 2-x 1）+x 1］”是证明单调性的关键，这里体现了构造条件式向条件化归的策略.证明:（1）取a=b=0，则f （0）=f 2（0）.∵f（0）≠0，∴f（0）=1.（2）当x≥0时，f （x ）≥1>0成立，当x<0时，-x>0，f （0）=f （x-x ）=f （x ）·f（-x ）=1， ∴f（x ）=>0.∴x∈R 时，恒有f （x ）>0.（3）证法一：设x 1<x 2，则x 2-x 1>0.∴f（x 2）=f （x 2-x 1+x 1）=f （x 2-x 1）·f（x 1）.∵x 2-x 1>0，∴f（x 2-x 1）>1.又f （x 1）>0，∴f（x 2-x 1）·f（x 1）>f （x 1）,即f(x 2)>f(x 1). ∴f（x ）是R 上的增函数.证法二：也可以设x 2=x 1+t （t>0），f （x 2）=f （x 1+t ）=f （x 1）·f（t ）>f （x 1）. 或者设x 1<x 2，则)0()()()()()()()(12111212f x x f x f x f x f x f x f x f -=-•-•=>1. 又f （x 1）>0，f （x 2）>0，∴f（x 2）>f （x 1）.。
2020学年高中数学第三章基本初等函数(Ⅰ)3.1.2指数函数第1课时指数函数应用案巩固提升课件新人教B版必修1
第三章 基本初等函数(Ⅰ)
7．f(x)＝ax(a＞0，且 a≠1)在[1，2]上的最大值与最小值之和 为 6，则 a＝________． 解析：由于 f(x)＝ax(a＞0，且 a≠1)在[1，2]上是单调函数， 故其最大值与最小值之和为 a2＋a＝6，解得 a＝－3(舍去)， 或 a＝2，所以 a＝2． 答案：2
A．12，＋∞
B．(－∞，0)
C．－∞，12
D．－12，12
解析：选 B．由题意知，此函数为指数函数，且为实数集 R
上的增函数，所以底数 1－2a>1，解得 a<0．
第三章 基本初等函数(Ⅰ)
6．若指数函数 y＝(m2＋m＋1)(15)x，则 m 的值是______． 解析：由题意知，m2＋m＋1＝1，则 m2＋m＝0， 所以 m＝0 或 m＝－1． 答案：0 或 －1
第三章 基本初等函数(Ⅰ)
12．已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x>0 时，f(x)＝2x＋ ax，且 2f(3)＝4f(2)＋f(－1)，则 a＝________． 解析：因为 f(x)是 R 上的奇函数， 且 x>0 时，f(x)＝2x＋ax， 所以 x<0 时，f(x)＝－2－x＋ax，f(0)＝0． 再由 2f(3)＝4f(2)＋f(－1)，得 2×(23＋3a)＝4×(22＋2a)＋(－ 2－a)，解得 a＝2． 答案：2
第三章 基本初等函数(Ⅰ)
9．已知指数函数的图象过点 M(3，8)，求 f(4)、f(－4)的值． 解：设指数函数是 y＝ax(a>0，a≠1)，则有 8＝a3，所以 a＝2，所以 y＝2x． 从而 f(4)＝24＝16，f(－4)＝2－4＝116．
第三章 基本初等函数(Ⅰ)
(部编版)2020高中数学第三章基本初等函数Ⅰ3.1指数与指数函数1同步练习新人教B版必修8
3．1.1 实数指数幂及其运算1．计算[(－2)2]－12的结果是( )A. 2 B ．－ 2 C.22 D ．－222．对a>0，n 、m 为实数，则下列各式中正确的有( )A ．a m ÷a n ＝a m nB ．a n ·a m ＝a m·nC ．(a n )m ＝a m ＋nD ．1÷a n ＝a 0－n3．下列根式，分数指数幂的化简中正确的是( )A ．－x ＝(－x)12(x≠0)B ．x －13＝－3xC ．(x y )－34＝4(y x )3(x·y≠0)D.6y 2＝y 13(y<0)4．计算3(－8)3＋4(3－2)4－(2－3)2＝________.5．若10x ＝3,10y＝4，则10x －12y ＝________.1．下列等式中一定成立的有( )①36a 3＝2a ②3－2＝6(－2)2 ③－342＝4(－3)4×2 A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 2．下列各式运算错误的是( )A ．(－a 2·b)2·(－ab 2)3＝－a 7·b 8B ．(－a 2b 3)3÷(－ab 2)3＝a 3·b 3C ．(－a 3)2·(－b 2)3＝a 6·b 6D ．[－(a 3)2·(－b 2)3]3＝a 18·b 183．已知x 2＋x －2＝22且x>1，则x 2－x －2的值为 ( )A ．2或－2B ．－2 C. 6 D ．24．若(|x|－1)－14有意义，则x 的取值范围为________．5．当3x<5y 时，25y 2－30xy ＋9x 2＝________. 6．求下列各式的值．(1)481×923；(2)23×31.5×612； (3)(325－125)÷45；(4)a2a ·3a 2；(5)52·5535·1057.7．已知a 2x＝2＋1，求a 3x＋a－3xa x ＋a－x 的值．1．化简a ＋4(1－a)4的结果是( ) A ．1 B ．2a －1 C ．1或2a －1 D ．02．下列结论中，正确命题的个数为( )①当a<0时，(a 2)32＝a 3 ②n a n ＝|a| ③函数y ＝(x －2)12－(3x －7)0的定义域为(2，＋∞) ④若100a ＝5,10b＝2，则2a ＋b ＝1A ．0B ．1C ．2D ．33.若a ＝(2＋3)－1，b ＝(2－3)－1，则(a ＋1)－2＋(b ＋1)－2的值是( )A ．1 B.14 C.22 D.234．计算(1＋12)(1＋122)(1＋124)(1＋128)的值等于( )A ．1＋1216 B ．1－1216 C ．2＋1215 D ．2－12155．已知x 2－2x ＋1＋y 2＋6y ＋9＝0，则y x＝________. 6.x ＋y x ＋y ＋2xy x y ＋y x＝________.7．若5x 2·5x ＝25y，则y 的最小值为________．8．若x>0，y>0，且x(x ＋y)＝3y(x ＋5y)，求2x ＋2xy ＋3y x －xy ＋y的值．9．已知x 12＋x －12＝3，求x 32＋x －32＋2x －1＋x ＋3的值．10．已知x ＝12(51n －5－1n)，n∈N *，求(x ＋1＋x 2)n的值．答案与解析课前预习1．C 原式＝2－12＝12＝22.2．D 只有D 选项是按照幂的运算律进行的．A 应为a m －n .B 应为a m ＋n ，C 应为a m·n.3．C 选项A 中左边的负号应在括号外；选项B 应化为13x ；选项D 中的指数26不能约分为13，∵当y<0时，6y 2>0，而y 13<0.4．－8 原式＝－8＋|3－2|－(2－3)＝－8＋2－3－2＋3＝－8. 5.32 10x －12y ＝10x ÷1012y ＝10x ÷(10y )12＝3÷4＝32. 课堂巩固1．A 36a 3＝36·a≠2a；3－2<0，而6(－2)2>0；－342<0，而4(－3)4×2>0.2．C 对于C ，∵原式左边＝(－1)2·(a 3)2·(－1)3·(b 2)3＝a 6·(－1)·b 6＝－a 6b 6. ∴C 不正确．3．D 方法一：∵x>1，∴x 2>1，由x 2＋x －2＝22化为x 4－22x 2＋1＝0，解得x 2＝2＋1，∴x 2－x －2＝2＋1－12＋1＝2＋1－(2－1)＝2.方法二：(x 2－x －2)2＝(x 2＋x －2)2－4x 2·x －2＝(22)2－4×1＝4.又x>1，∴x 2>1>x －2.∴x 2－x －2＝4＝2.4．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 由(|x|－1)－14＝1(|x|－1)14＝14|x|－1，得需|x|－1>0，即|x|>1，∴x>1或x<－1.5．5y －3x 25y 2－30xy ＋9y 2＝(5y －3x)2＝|5y －3x|. ∵3x<5y，即3x －5y<0， ∴|5y－3x|＝5y －3x.点评：为使开偶次方后不出现符号错误，先用绝对值保留开方的结果，再去掉绝对值化简，化简要结合条件或分类讨论．6．解：(1)481×923＝[34×(343)12]14＝(34＋23)14＝376＝3·63. (2)23×31.5×612＝2×312×(32)13×(3×22)16＝21－13＋13×312＋13＋16＝2×3＝6.(3)原式＝(523－532)÷514＝523÷514－532÷514＝523－14－532－14＝5512－554＝1255－455.(4)原式＝a2a 12·a 23＝a2－12－23＝a 56＝6a 5.(5)原式＝52·535512·5710＝52＋35－12－710＝5·525.点评：(1)既含有分数指数幂，又有根式，一般把根式统一化成分数指数幂的形式，便于计算；(2)对于计算结果，不统一要求用什么形式表示，但结果不能同时含有根式与分数指数幂，也不能同时含有分母和负指数幂．7．解：a 3x ＋a －3x a x ＋a －x ＝(a 2x ＋a －2x －1)(a x ＋a －x )a x ＋a －x＝a 2x ＋a －2x－1＝(2＋1)＋12＋1－1＝2＋1＋2－1－1＝22－1.点评：先化简后计算是代数运算的常用策略，要培养化简意识． 课后检测1．C 原式＝a ＋|1－a|＝⎩⎪⎨⎪⎧1，a≤1，2a －1，a>1.2．B 只有④正确，由100a＝102a＝5,10b＝2，得102a ＋b＝5×2＝10，∴2a＋1＝1.而①中(a 2)32应为－a 3，②中n a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，n 为奇数，|a|，n 为偶数，③中函数的定义域由⎩⎪⎨⎪⎧x －2≥0，3x －7≠0，得x∈(2，73)∪(73，＋∞)．3．D a ＝12＋3＝2－3，b ＝12－3＝2＋ 3.(a ＋1)－2＋(b ＋1)－2＝(3－3)－2＋(3＋3)－2＝1(3－3)2＋1(3＋3)2＝(3＋3)2＋(3－3)2(3－3)2·(3＋3)2＝12＋63＋12－63[(3－3)(3＋3)]2＝2462＝2436＝23. 4．D 原式×(1－12)＝(1－12)(1＋12)(1＋122)(1＋124)(1＋128)＝(1－122)(1＋122)(1＋124)(1＋128)＝(1－124)(1＋124)(1＋128)＝(1－128)(1＋128)＝1－1216.∴原式＝(1－1216)×2＝2－1215.5．－3 ∵x 2－2x ＋1＋y 2＋6y ＋9＝|x －1|＋|y ＋3|＝0，∴|x－1|＝|y ＋3|＝0.∴x＝1，y ＝－3.∴(－3)1＝－3.6.x ＋y 原式＝x ＋y x ＋y ＋2xy x ＋y ＝(x ＋y)2x ＋y＝x ＋y.7．－18 由题意，x 2＋x ＝2y ，即y ＝12(x 2＋x)，∴y＝12[(x ＋12)2－14]＝12(x ＋12)2－18≥－18.8．解：由x(x ＋y)＝3·y(x ＋5y)，得(x)2－2xy －15(y)2＝0， 即(x ＋3y)(x －5y)＝0， ∵x>0，y>0，∴x ＝5y ，即x ＝25y ，∴2x ＋2xy ＋3y x －xy ＋y ＝50y ＋225y 2＋3y 25y －25y 2＋y＝50y ＋10y ＋3y 25y －5y ＋y ＝63y 21y ＝3. 9．解：x ＋x －1＝(x 12＋x －12)2－2＝32－2＝7，∴x 32＋x －32＋2x －1＋x ＋3＝(x 12)3＋(x －12)3＋2x －1＋x ＋3 ＝(x 12＋x －12)(x －1＋x －1)＋27＋3＝3×6＋210＝2010＝2.点评：此类题目一般不宜采用求x 的值的方法，要考虑对x 12＋x －12的整体应用．10．解：∵x＝12(51n －5－1n )，∴1＋x 2＝1＋14(51n －5－1n)2 ＝1＋14(52n －2＋5－2n) ＝14(52n ＋2＋5－2n )＝12(51n ＋5－1n)． ∴x＋1＋x 2＝12(51n －5－1n )＋12(51n ＋5－1n )＝51n.∴(x＋1＋x 2)n＝(51n )n ＝51n×n＝5.。
高中数学第三章基本初等函数(Ⅰ)3.1指数与指数函数3.1.1实数指数幂及其运算教案新人教B版必修1
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1 实数指数幂及其运算错误!教学分析在初中,学生已了解了整数指数幂的概念和运算性质．从本节开始我们将在回顾平方根和立方根的基础上，类比出正数的n次方根的定义,从而把整数指数推广到分数指数,进而推广到有理数指数幂,再推广到无理指数幂,并将幂的运算性质由整数指数幂推广到实数指数幂．本节安排的内容蕴涵了许多重要的数学思想方法，如推广的思想(指数幂运算律的推广)、类比的思想、逼近的思想(有理数指数幂逼近无理数指数幂)等，同时，充分关注与实际问题的结合,体现数学的应用价值．根据本节内容的特点，教学中要注意发挥信息技术的力量，尽量利用计算器和计算机创设教学情境,为学生的数学探究与数学思维提供支持．三维目标1．通过与初中所学的知识进行类比，理解分数指数幂的概念,进而学习指数幂的性质．2．掌握分数指数幂和根式之间的互化,掌握分数指数幂的运算性质．培养学生观察分析、抽象类比的能力．3．掌握根式与分数指数幂的互化,渗透“转化"的数学思想．通过运算训练，养成学生严谨治学、一丝不苟的学习习惯，让学生了解数学来自生活,数学又服务于生活的哲理．4．能熟练地运用实数指数幂运算性质进行化简、求值，培养学生严谨的思维和科学正确的计算能力．重点难点教学重点：(1)分数指数幂和根式概念的理解．(2）掌握并运用分数指数幂的运算性质．(3）运用实数指数幂性质进行化简、求值．教学难点:(1）分数指数幂及根式概念的理解．（2)实数指数幂性质的灵活应用．课时安排2课时错误!第1课时导入新课思路1.碳14测年法．原来宇宙射线在大气层中能够产生放射性碳14,并与氧结合成二氧化碳后进入所有活组织,先为植物吸收,再为动物吸收，只要植物和动物生存着，它们就会不断地吸收碳14在机体内保持一定的水平．而当有机体死亡后，即会停止吸收碳14，其组织内的碳14便以约5 730年的半衰期开始衰变并消失．对于任何含碳物质只要测定剩下的放射性碳14的含量，便可推断其年代（半衰期：经过一定的时间，变为原来的一半)．引出本节课题．思路 2.同学们，我们在初中学习了整数指数幂及其运算性质，那么整数指数幂是否可以推广呢？答案是肯定的．这就是本节的主讲内容,教师板书本节课题．推进新课错误!提出问题错误!讨论结果:（1）整数指数幂的运算性质:a n＝a·a·a·…·a，a0＝1（a≠0)；00无意义;a－n＝错误!(a≠0）；a m·a n＝a m＋n；（a m）n＝a mn;(a n）m＝a mn；（ab）n＝a n b n.其中n、m∈N＋.(2)①a2是a10的5次方根;②a4是a8的2次方根；③a3是a12的4次方根;④a5是a10的2次方根．实质上①错误!＝a错误!，②错误!＝a错误!,③错误!＝a错误!，④错误!＝a错误!结果的a的指数是2，4,3,5分别写成了错误!，错误!,错误!，错误!,形式上变了，本质没变．根据4个式子的最后结果可以总结：当根式的被开方数的指数能被根指数整除时,根式可以写成分数作为指数的形式（分数指数幂形式）．(3)利用（2）的规律,错误!＝5错误!，错误!＝7错误!,错误!＝a错误!,错误!＝x错误!。
人教B版高中数学必修一《第三章 基本初等函数(Ⅰ) 3.1 指数与指数函数 3.1.1 实数指数幂及其运算》_1
3.1.1 实数指数幂及其运算（一）一．教学目标：1．知识与技能：（1）理解n次方根和根式的概念；（2）理解分数指数幂的概念；（3）掌握分数指数幂和根式之间的互化；（4）掌握分数指数幂的运算性质；2．过程与方法：（1）通过与初中所学的知识进行类比，掌握n次方根及根式的概念.（2）正确运用根式运算性质进行运算，体验分类讨论思想的应用.（3）通过与初中所学的知识进行类比，分数指数幂的概念，进而学习指数幂的性质.3．情态与价值（1）培养学生观察分析，抽象的能力，渗透“转化”的数学思想；（2）通过运算训练，养成学生严谨治学，一丝不苟的学习习惯；（3）让学生体验数学的简洁美和统一美.二．重点、难点1．教学重点：（1）根式概念的理解与运算性质（2）分数指数幂概念的理解；（2）掌握并运用分数指数幂的运算性质；2．教学难点：根式概念、分数指数幂概念的理解三．学法与教具1．学法：讲授法、讨论法、类比分析法及发现法2．教具：多媒体四．教学过程（一）复习提问：知识点一：整数指数幂的概念及性质初中学习的整数指数幂及其运算性质 知识点二 n 次方根、n 次根式提问：若x2＝3，这样的x 有几个？它们叫做3的什么？怎么表示？若 33=x ，这样的x 有几个？它们叫做3的什么？怎么表示？归纳：在初中的时候我们已经知道：若2x a =，则x 叫做a 的平方根.同理，若3x a =，则x 叫做a 的立方根.根据平方根、立方根的定义，正实数的平方根有两个，它们互为相反数，如4的平方根为2±，负数没有平方根，一个数的立方根只有一个，如―8的立方根为―2；零的平方根、立方根均为零. （二）新课讲解1类比平方根、立方根的概念，归纳出n 次方根的概念.n 次方根：一般地，若n x a =，则x 叫做a 的n 次方根，其中n ＞1，且n ∈Ｎ＊，当n为偶数时，a 的n表示，如果是负数，用叫做根式.n 为奇数时，a 的n表示，其中n 称为根指数，a 为被开方数.类比平方根、立方根，猜想：当n 为偶数时，一个数的n 次方根有多少个？当n 为奇数时呢？,,:,,n a n a n a n ⎧⎪⎨±⎪⎩为奇数 的次方根有一个为正数为偶数 的次方根有两个为n a n a n a n ⎧⎪⎨⎪⎩为奇数, 的次方根只有一个,为负数:为偶数, 的次方根不存在.零的n0=举例：16的次方根为2±，275-的27-的4次方根不存在. 小结：一个数到底有没有n 次方根，我们一定先考虑被开方数到底是正数还是负数，还要分清n 为奇数和偶数两种情况. 例1 求下列各式的值:(1)33)8(-;(2)2)10(-;(3)44)3(π-;(4)2)(b a -(a >b ).活动：求某些式子的值，首先考虑的应是什么，明确题目的要求是什么，都用到哪些知识，关键是啥，搞清这些之后，再针对每一个题目仔细分析.观察学生的解题情况，让学生展示结果，抓住学生在解题过程中出现的问题并对症下药.求下列各式的值实际上是求数的方根，可按方根的运算性质来解，首先要搞清楚运算顺序，目的是把被开方数的符号定准，然后看根指数是奇数还是偶数，如果是奇数，无需考虑符号，如果是偶数，开方的结果必须是非负数.解：(1)33)8(-=－8; (2)2)10(-=10; (3)44)3(π-=π－3; (4)2)(b a -=a －b (a >b ).点评：不注意n 的奇偶性对式子n na 的值的影响，是导致问题出现的一个重要原因，要在理解的基础上，记准，记熟，会用，活用.问题：n na =a 与(n a )n =a （n ＞1，n ∈N ）哪一个是恒等式，为什么?请举例说明.活动：组织学生结合前面的例题及其解答，进行分析讨论，解决这一问题要紧扣n 次方根的定义.通过归纳，得出问题结果，对a 是正数和零，n 为偶数时，n 为奇数时讨论一下.再对a 是负数，n 为偶数时，n 为奇数时讨论一下，就可得到相应的结论. 解答：①（n a ）n =a （n ＞1，n ∈N ）.如果x n =a （n ＞1，且n ∈N ）有意义，则无论n 是奇数或偶数，x =n a 一定是它的一个n 次方根，所以（n a ）n =a 恒成立.例如：（43）4=3，33)5(-=－5.②nna =⎩⎨⎧.|,|,,为偶数当为奇数当n a n a当n 为奇数时，a ∈R ，n na =a 恒成立.例如：552=2，55)2(-=－2.当n 为偶数时，a ∈R ，a n ≥0，n n a 表示正的n 次方根或0，所以如果a ≥0，那么n n a =a .例如443=3，40=0；如果a ＜0，那么n n a =|a |=－a ，如2(-3)=23=3.即（n a ）n =a （n ＞1，n ∈N ）是恒等式，n n a =a （n ＞1，n ∈N ）是有条件的. 点评：实质上是对n 次方根的概念、性质以及运算性质的深刻理解.2．观察以下式子，并总结出规律：＞0① ②③小结：当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以写成分数作为指数的形式，（分数指数幂形式）.根式的被开方数不能被根指数整除时，根式是否也可以写成分数指数幂的形式.如：为此，我们规定正数的分数指数幂的意义为：正数的定负分数指数幂的意义与负整数幂的意义相同. 即：规定：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义.说明：规定好分数指数幂后，根式与分数指数幂是可以互换的，分数指数幂只是根式的一种新的写法，而不是由于整数指数幂，分数指数幂都有意义，因此，有理数指数幂是有意义的，整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即：（1）a 1025a a ===842a a ===1234a a ===1025a a ===23(0)a a ==>12(0)b b ==>54(0)c c ==>*(0,,1)m na a n N n =>∈>*0,,)m na a m n N =>∈*1(0,,)m nm naa m n N a-=>∈111(0)n mm m maa a a a =⋅⋅⋅⋅>(0,,)rsr sa a aa r s Q +⋅=>∈（2） （3）一般来说，无理数指数幂是一个确定的实数，有理数指数幂的性质同样适用于无理数指数幂.无理指数幂的意义，是用有理指数幂的不足近似值和过剩近似值无限地逼近以确定大小.由以上分析，可知道，有理数指数幂，无理数指数幂有意义，且它们运算性质相同，实数指数幂有意义，也有相同的运算性质，即：例2求值:①8;②25③()－5;④().活动：教师引导学生考虑解题的方法，利用幂的运算性质计算出数值或化成最简根式，根据题目要求，把底数写成幂的形式，8写成23，25写成52，写成2－1，写成()4，利用有理数幂的运算性质可以解答，完成后，把自己的答案用投影仪展示出来. 解：①8=(23)=2=22=4; ②25=(52)=5=5－1=; ③()－5=(2－1)－5=2－1×(－5)=32; ④()=()=()－3=.点评：本例主要考查幂值运算，要按规定来解.在进行幂值运算时，要首先考虑转化为指数运算，而不是首先转化为熟悉的根式运算，如8===4.例3用分数指数幂的形式表示下列各式.a 3·;a 2·;(a >0).()(0,,)r S rsa a a r s Q =>∈()(0,0,)rr ra b a b Q b r Q ⋅=>>∈(0,)pa a p >是一个无理数(0,,)r s r s a a a a r R s R +⋅=>∈∈()(0,,)r s rs a a a r R s R =>∈∈()(0,)r r r ab a b a r R ⋅=>∈3221-21811643-218116323232323⨯21-21-)21(2-⨯5121811643-32)43(4-⨯3282732328364a 32a 3a a活动：学生观察、思考，根据解题的顺序，把根式化为分数指数幂，再由幂的运算性质来运算，根式化为分数指数幂时，要由里往外依次进行，把握好运算性质和顺序，学生讨论交流自己的解题步骤，教师评价学生的解题情况，鼓励学生注意总结. 解：a 3·=a 3·a =a=a ;a 2·=a 2·a =a=a ;=(a ·a )=(a )=a .点评：利用分数指数幂的意义和有理数指数幂的运算性质进行根式运算时，其顺序是先把根式化为分数指数幂，再由幂的运算性质来运算.对于计算的结果，不强求统一用什么形式来表示，没有特别要求，就用分数指数幂的形式来表示，但结果不能既有分数指数又有根式，也不能既有分母又有负指数.例4计算下列各式（式中字母都是正数）: （1）(2a b )(－6a b )÷(－3a b ); （2）(m n)8.活动：先由学生观察以上两个式子的特征，然后分析，四则运算的顺序是先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号内的，整数幂的运算性质及运算规律扩充到分数指数幂后，其运算顺序仍符合我们以前的四则运算顺序，再解答，把自己的答案用投影仪展示出来，相互交流，其中要注意到（1）小题是单项式的乘除运算，可以用单项式的乘除法运算顺序进行，要注意符号，第（2）小题是乘方运算，可先按积的乘方计算，再按幂的乘方进行计算，熟悉后可以简化步骤. 解：（1）原式=［2×(－6)÷(－3)］a b=4ab 0=4a ;（2）(m n)8=(m )8(n)8=mn=m 2n －3=.点评：分数指数幂不表示相同因式的积，而是根式的另一种写法.有了分数指数幂，就可把根式转化成分数指数幂的形式，用分数指数幂的运算法则进行运算了. 本例主要是指数幂的运算法则的综合考查和应用.（三）归纳小结：a 21213+2732a 32232+383a a 31213421323221213161654183-612132-+653121-+4183-4183-841⨯883⨯-32nm1．根式的概念：若n ＞1且*n N ∈，则n x a x 是的次方根,n 为奇数时,n 为偶数时，x =2．掌握两个公式：(0),||(0)n a a n n a a a ≥⎧==⎨-<⎩为奇数时为偶数时3.(1)无理指数幂的意义.一般地，无理数指数幂a α（a >0，α是无理数）是一个确定的实数. (2)实数指数幂的运算性质:对任意的实数r ，s ，均有下面的运算性质: ①a r ·a s =a r +s (a >0，r ，s ∈R ). ②(a r )s =a rs (a >0，r ，s ∈R ). ③(a ·b )r =a r b r (a >0，b >0，r ∈R ). (3)逼近的思想，体会无限接近的含义. 五．作业课本P 60习题2.1 B 组 2.作业：P 69习题2.1 A 组 第1题。
高中数学第三章基本初等函数Ⅰ3-1指数与指数函数1同步练习新人教B版必修1
高中数学第三章基本初等函数Ⅰ3-1指数与指数函数1同步练习新人教B版必修11．计算[(－)2]－的结果是( )A. B．－ C. D．－222．对a>0，n、m为实数，则下列各式中正确的有( )A．am÷an＝a B．an·am＝am·nC．(an)m＝am＋n D．1÷an＝a0－n3．下列根式，分数指数幂的化简中正确的是( )A．－＝(－x)(x≠0)B．x－＝－3xC．()－＝(x·y≠0)D.＝y(y<0)4．计算＋－()2＝________.5．若10x＝3,10y＝4，则10x－y＝________.1．下列等式中一定成立的有( )①＝2a ②＝③－3＝4(－3)4×2A．0个 B．1个 C．2个 D．3个2．下列各式运算错误的是( )A．(－a2·b)2·(－ab2)3＝－a7·b8B．(－a2b3)3÷(－ab2)3＝a3·b3C．(－a3)2·(－b2)3＝a6·b6D．[－(a3)2·(－b2)3]3＝a18·b183．已知x2＋x－2＝2且x>1，则x2－x－2的值为( )A．2或－2 B．－2C. D．24．若(|x|－1)－有意义，则x的取值范围为________．5．当3x<5y时，＝________.6．求下列各式的值．(1)；(2)2××；(3)(－)÷；(4)；(5) .7．已知a2x＝＋1，求的值．1．化简a＋的结果是( )A．1 B．2a－1C．1或2a－1 D．02．下列结论中，正确命题的个数为( )①当a<0时，(a2)＝a3 ②＝|a| ③函数y＝(x－2)－(3x－7)0的定义域为(2，＋∞)④若100a＝5,10b＝2，则2a＋b＝1 A．0 B．1 C．2 D．33.若a＝(2＋)－1，b＝(2－)－1，则(a＋1)－2＋(b＋1)－2的值是( )A．1 B. C. D.234．计算(1＋)(1＋)(1＋)(1＋)的值等于( )A．1＋ B．1－1216C．2＋ D．2－12155．已知＋＝0，则yx＝________.6.＋＝________.7．若5x2·5x＝25y，则y的最小值为________．8．若x>0，y>0，且(＋)＝(＋5)，求的值．9．已知x＋x－＝3，求的值．10．已知x＝(5－5－)，n∈N*，求(x＋)n的值．答案与解析课前预习1．C 原式＝2－＝＝. 2．D 只有D选项是按照幂的运算律进行的．A应为am－n.B应为am＋n，C应为am·n. 3．C 选项A中左边的负号应在括号外；选项B应化为；选项D中的指数不能约分为，∵当y<0时，>0，而y<0.4．－8 原式＝－8＋|－2|－(2－)＝－8＋2－－2＋＝－8.5.10x－y＝10x÷10y＝10x÷(10y)＝3÷＝.。
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3.1.2 指数函数1．下列函数中：①y＝3x 2，②y＝4x，③y＝22x ，④y＝3×2x ，⑤y＝3x ＋1，⑥y＝3x.一定为指数函数的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．32．函数y ＝(a 2－3a ＋3)a x是指数函数，则有( ) A ．a ＝1或a ＝2 B ．a ＝1 C ．a ＝2 D ．a>0且a≠13．已知0<a<1，b<－1，则函数y ＝a x＋b 的图象不经过( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限4．指数函数的图象经过点(2,4)，那么f(4)·f(2)＝________.5．函数y ＝a x －1＋1(a>0且a≠1)中，无论a 取何值恒经过一个定点，则这个定点的坐标为________．1．函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧f(x ＋2)，x<2，2－x ，x≥2，则f(－3)的值为( )A ．2B ．8 C.18 D.122．如图所示，分别是y ＝a x 1，y ＝a x 2，y ＝a x 3，y ＝a x4在同一坐标系下的图象，则a 1、a 2、a 3、a 4的大小关系是( )A ．0<a 3<a 4<1<a 1<a 2B ．0<a 4<a 3<1<a 2<a 1C ．0<a 3<a 4<1<a 2<a 1D ．0<a 4<a 3<1<a 1<a 23．函数y ＝x·ax|x|(a>1)的图象的大致形状为( )4．若a ，b 为不相等的正数，则a a b b ________a b b a.(填“>”“<”“≥”“≤”或“＝”) 5．比较下列各组式中两个值的大小．①1.72.5________1.73；②0.8－1________1.250.2；③1.70.3________0.93.1.6．求函数y ＝a x －a－x a x ＋a－x (a>0，且a≠1)的值域．7．函数y ＝a x(a>0且a≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大a 2，求a 的值．1．设y 1＝40.9，y 2＝80.48，y 3＝(12)－1.5，则… ( )A ．y 3>y 1>y 2B ．y 2>y 1>y 3C ．y 1>y 2>y 3D ．y 1>y 3>y 22．若方程3x ＝2－x 的根是a,5x＝2－x 的根是b ，则( ) A ．a>b B ．a<bC ．a ＝bD ．不能比较大小3．对于每一个实数x ，f(x)是y ＝2x与y ＝－x ＋1这两个函数中的较小者，则f(x)的最大值是( )A ．1B ．0C ．－1D ．无最大值4．在下图中，二次函数y ＝ax 2＋bx 与指数函数y ＝(b a)x 的图象只可能为( )5.已知f(x)＝2x，使[f(x)]2>f(x)的x 的值的集合是________．6．方程2|x|＋x ＝2的实根的个数为________．7．已知a>0，且a≠1，f(x)＝1x －a x ，当x∈(1，＋∞)时，均有f(x)<12，则实数a 的取值范围为________．8．画出函数y ＝2|x －1|的图象，并根据图象指出这个函数的一些重要性质．9．已知f(x)＝(12x －1＋12)x 3，(1)求f(x)的定义域； (2)求证：f(x)>0.10．比较a m ＋a －m 与a n ＋a －n(m>n>0，a>0且a≠1)的大小．答案与解析课前预习1．D 指数函数一定要符合y ＝a x(a>0且a≠1)的形式，∴只有②③⑥符合；③即为y ＝4x ，⑥即为y ＝(3)x .2．C 由指数函数的定义可得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－3a ＋3＝1，a>0且a≠1，解得a ＝2.3．A y ＝a x＋b 的图象是由y ＝a x的图象向下平移了|b|个单位得到的，又0<a<1，b<－1，∴函数y ＝a x＋b 的图象不经过第一象限．4．64 设f(x)＝a x (a>0且a≠1)，由题意，f(2)＝a 2＝4，∴a＝2.∴f(x)＝2x.∴f(2)·f(4)＝22·24＝26＝64.5．(1,2) 函数y ＝a x 的图象经过一个定点(0,1)，所以函数y ＝a x －1＋1所经过的定点为：令x －1＝0，即x ＝1，得y ＝2，∴定点坐标为(1,2)．课堂巩固1．C 由题意f(－3)＝f(－3＋2)＝f(－1)＝f(1)＝f(3)＝2－3＝18.2．B 图象在y 轴右边的部分，离x 轴由近到远的顺序依次为a 4，a 3，a 2，a 1，按此顺序底数由小到大，∴0<a 4<a 3<1<a 2<a 1.点评：指数函数y ＝a x(a>0且a≠1)底数越大时，函数图象在y 轴右侧的部分越远离x 轴，这一性质可通过x ＝1时函数值的大小去判断．3．C y ＝x·a x|x|＝⎩⎪⎨⎪⎧a x ，x>0，－a x ，x<0，结合选项易判断．4．> a b ·b aa ab b ＝(b a )a ·(a b )b ＝(b a )a －b ，若a>b>0，则a －b>0,0<b a <1，∴(b a )a －b<1；若b>a>0，则a －b<0，b a >1，∴(b a )a －b <1.综上，(b a)a －b <1.∴a a ·b b >a b ·b a.5．①< ②< ③> ①由于底数1.7>1，所以指数函数y ＝1.7x在R 上是增函数，∵2.5<3，∴1.72.5<1.73.②1.250.2＝0.8－0.2，由于0<0,8<1，∴指数函数y ＝0.8x在R 上为减函数．∵－0.1>－0.2，∴0.8－0.1<1.250.2.③由指数函数的性质得1.70.3>1.70＝1，0.93.1<0.90＝1.∴1.70.3>0.93.1.点评：对于底数相同，指数不同的值，其大小可根据指数函数的单调性进行比较；对于指数相同，底数不同的值，其大小可根据不同指数函数图象间的关系去比较．此外，还可通过中间值“1”或“0”进行比较．6．解：由y ＝a x －a －x a x ＋a －x ＝a 2x －1a 2x＋1得(1－y)·a 2x ＝1＋y ，显然y≠1，∴a 2x＝1＋y 1－y . ∵a 2x>0，∴1＋y 1－y>0.∴－1<y<1，故所求函数的值域为(－1,1)．点评：求值域的关键是抓住问题的实质，找出一条合理、简捷的解题途径，此题巧妙利用a 2x>0，把a 2x用y 来表示，以便求出y 的范围，即函数的值域．7．解：当a>1时，y ＝a x在[1,2]上是增函数，∴y max ＝f(2)＝a 2，y min ＝f(1)＝a.∴f(2)－f(1)＝a 2，即a 2－a ＝a 2.∴a＝32.当0<a<1时，y ＝a x在[1,2]上是减函数， ∴y max ＝f(1)，y min ＝f(2)，即f(1)－f(2)＝a 2，即a －a 2＝a 2.∴a＝12.综上所述，a ＝12或a ＝32.课后检测1．D ∵y 1＝40.9＝21.8，y 2＝21.44，y 3＝21.5，又y ＝2x在R 上是单调递增函数， ∴y 1>y 3>y 2.2．A 在同一坐标系下作出y ＝3x ，y ＝5x，y ＝2－x 的图象即可．3．A 当x≤0时，f(x)＝2x；当x>0时，f(x)＝－x ＋1.显然f(x)的最大值为1.4．C ∵ba >0，∴a 与b 同号．∴－b2a<0，淘汰B 、D.又∵y＝ax 2＋bx 过原点，∴A 错．5．(0，＋∞) 原不等式即为22x －2x>0，即2x (2x－1)>0，解得x>0.6．2 由2|x|＋x ＝2，得2|x|＝2－x.在同一坐标系中作出y ＝2|x|与y ＝2－x 的图象如图，可观察到两个函数的图象有且仅有两个交点，故方程有两个实根．7．(12，1)∪(1，＋∞) 当a>1时，若x∈(1，＋∞)，则f(x)<0，显然满足f(x)<12；当0<a<1时，由f(x)<12得1x <a x ＋12，在坐标系中画出图象分析易得a∈(12，1)，∴a∈(12，1)∪(1，＋∞)．8．解：y ＝2|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x≥1，(12)x －1，x<1.其图象由两部分组成，一是把y ＝2x的图象向右平移1个单位，二是把y ＝(12)x的图象向右平移1个单位，对接处的公共点为(0,1)，由图象可知，函数有三个重要性质：①对称性：对称轴为x ＝1.②单调性：在(－∞，1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增． ③函数的值域：[1，＋∞)．点评：作比较复杂的函数图象时，要把各部分变换而得一个整体，为了表示某部分是某个函数图象的某一部分，常画出一部分虚线进行衬托，虚线部分不是函数图象上的点，要加以区别．9．(1)解：要使函数有意义，只需2x－1≠0，即2x≠1，∴x≠0.∴x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)．(2)证明：当x>0时，2x >1，∴2x－1>0.∴12x －1＋12>0. 又x 3>0，∴(12x －1＋12)·x 3>0.当x<0时，0<2x <1，∴－1<2x－1<0.∴12x －1<－1. ∴12x －1＋12<－12<0. 又x 3<0，∴(12x －1＋12)·x 3>0.综上，f(x)>0.10．解：(a m ＋a －m )－(a n ＋a －n )＝(a m －a n)＋(1a m －1an )＝(a m －a n)＋a n －a m a m ·an＝(a m －a n)(1－1a m ＋n )＝(a m －a n)·a m ＋n－1am ＋n .①当a>1时，∵m>n>0， ∴a m >a n>1. ∴a m －a n >0，a m ＋n>1. ∴①式大于0.当0<a<1时，∵m>n>0， ∴a m <a n<1. ∴a m ＋n<1，则①式大于0.故不论a>1，还是0<a<1都有①式大于0，即a m ＋a －m >a n ＋a －n.。