4第四讲 函数性质---奇偶性

第四讲函数性质（二）
-----奇偶性
【知识要点】
1.函数的奇偶性
（1）偶函数。

一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数。

（2）奇函数。

一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数。

（3）奇偶性：如果函数f(x)是奇函数或偶函数，那么就说函数f(x)具有奇偶性。

2.奇函数，偶函数的图像的性质
（1）如果一个函数是奇函数，则这个函数的图像是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图像是以坐标原点为对称中心的对称图形，则这个函数就是奇函数
（2）如果一个函数是偶函数，则它的图像是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图像是以y轴为对称轴的轴对称图形，则这个函数就是偶函数。

3.函数奇偶性的判断
（1）定义法（2）图像法（3）性质法
判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断。

4.函数奇偶性的运用
（1）求函数值（2）求解析式（3）解抽象函数的不等式
【典型例题】
例1. 判断下列函数的奇偶性
（1）f(x)={
),1
(
,0
,)1
(
〈
+
-
≥
-
x
x
x
x
x
x
(2) f(x)=
2
2
12
-
+
-
x
x
例2.（1）函数f(x)，x∈R，若对于任意实数a,b都有f(a+b)=f(a)+f(b).求证：f(x)为奇函数。

（2）函数f(x)，x∈R，若对于任意实数,b都有f(x1+x2)+f(x1- x2)=2f(x1).f(x2).求证：f(x)为偶函数。

（3）设函数f(x)定义在（-l,l）上，证明f(x)+f(-x)是偶函数，f(x)-f(-x)是奇函数。

例3、（1）已知f(x)是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f(x)=x 2-2x-3,则f(x)的解析式为 ；
(2) 设函数f(x)= x
a x x ))(1(++为奇函数，则a= (3)设函数y= f(x)是奇函数，若f(-2)+f(-1)-3=f(1)+f(2)+3,则f(1)+f(2)= .
例4、已知函数f(x)是偶函数，其定义域为（-1,1），且在[0,1）上为增函数，若f(a-2)-f(4-a 2
)＜0，试求a 的取值范围。

典型例题
1.判断下列函数的奇偶性
（1）1()(1)1x f x x x +=-- （2）2lg(1)()|2|2
x f x x -=-- （3）22(0)()(0)x x x f x x x x ⎧+<⎪=⎨-+>⎪⎩ （4）22()11f x x x =--
2.求下列函数中的参数
（1）若(1)()()x x a f x x
++=是奇函数，则a =___ （2）设函数()
(),x x f x x e ae x R -=+∈,是偶函数,则实数____a = （3）若()sin()sin()44f x a x b x ππ
=++- (0)ab ≠是偶函数，则(,)a b 可以是（写出一组） 3.如果函数()f x 的定义域为R ，且有()()()f xy f x f y =+，求证：()()()x
f f x f y y
=-且()f x 为偶
函数。

4.已知()f x 是R 上的奇函数，且当(0,)x ∈+∞时，3()(1)f x x x =+，则()f x 的解析式为____
5.已知()f x 是偶函数，x R ∈，当0x >时，()f x 为增函数，若120,0x x <>，且12||||x x <，则 （ ） A .12()()f x f x ->- B .12()()f x f x -<-
C .12()()f x f x ->-
D . 12()()f x f x -<-
6.设函数()y f x =对一切实数x 都有()(2f x f a x =-）（a 为常数），且方程()0f x =有k 个实根，求所有实根之和。

7.用{}min ,a b 表示,a b 两数中的最小值。

若函数{}()min ,f x x x t =+的图像关于直线12x =-
对称，则t 的值为( )
A ．-2
B ．2
C ．-1
D ．1
8.直线1y =与曲线2y x x a =-+有四个交点，则a 的取值范围是_ ___.
9.（2009四川卷文）已知函数)(x f 是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实
数x 都有 )()1()1(x f x x xf +=+，则)25(f 的值是 ( )
A. 0
B. 21
C. 1
D. 25
10.设a 为实数，函数2()||1f x x x a =+-+，x R ∈．
（1）讨论()f x 的奇偶性； （2）求 ()f x 的最小值．
11.已知()f x 是定义在实数集R 上的函数，满足(2)()f x f x +=-，且[0,2]x ∈时，2()2f x x x =-，
（1）求[2,0]x ∈-时，()f x 的表达式；
（2）证明()f x 是R 上的奇函数．
12.已知()f x 是奇函数,满足()()2f x f x += ,当[]0,1x ∈时,()21x
f x =- ,则 =)2(f _____,21lo
g 24f ⎛⎫ ⎪⎝
⎭的值是_________ . 13.已知函数3||sin 2()()||2
x x x f x x R x +-+=∈+的最大值为M ,最小值为m ,则M m +=__________
14.（2011年高考福建理）对于函数()()sin ,,f x a x bx c a b R c Z =++∈∈,选取,,a b c 的一组值计算(1)f 和(1)f -,所得出的正确结果一定不可能．．．．．
是（ ） A.4和6 B.3和1 C.2和4 D.1和2
15.()f x 和()g x 的定义域都是非零实数，()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，且21()()1f x g x x x +=-+，求
()()
f x
g x 的取值范围。

16.已知21()(,,)ax f x a b c Z bx c
+=∈+是奇函数，又(1)2,(2)3f f =<，求,,a b c 的值。

17.已知函数()f x 的定义域是{|x x ∈R ,,2k x k ≠∈Z},且()(2)0f x f x +-=,1(1)()f x f x +=-,当102
x <<时,()3x f x =. (1)求证:()f x 是奇函数;
(2)求()f x 在区间1(2,21)(2
k k k +
+∈Z)上的解析式; (3)是否存在正整数k ,使得当x ∈1(2,21)2k k ++时,不等式23log ()2f x x kx k >--有解?证明你的结论.。