24.2.2 第3课时 切线长定理2
24.2.2 第3课时 切线长定理2
第3课时切线长定理教学目标：1、了解切线长定义，掌握切线长定理，并利用它进行有关计算。
2、在运用切线长定理的解题过程中，进一步渗透方程的思想，熟悉用代数的方法解几何题。
教学重点：理解切线长定理。
教学难点：灵活应用切线长定理解决问题。
教学过程：一、复习引入：1．切线的判定定理和性质定理．2．过圆上一点可作圆的几条切线？过圆外一点呢？过圆内一点呢？二、合作探究1、切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。
2、切线长定理（1）操作：纸上一个⊙O，PA是⊙O的切线，•连结PO，•沿着直线PO将纸对折，设与点A重合的点为B。
OB是⊙O 的半径吗？PB是⊙O的切线吗？猜一猜PA与PB的关系？∠APO与∠BPO呢？从上面的操作及圆的对称性可得：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角．（2）几何证明．如图，已知PA、PB是⊙O的两条切线．求证：PA=PB，∠APO=∠BPO．切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．3、三角形的内切圆思考：如图是一张三角形的铁皮，如何在它上面截下一块圆形的铁片，并且使圆的面积尽可能大呢？三角形的内切圆定义：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆三角形的内心：三角形内切圆的圆心即三角形三条角平分线的交点叫做——（1）图中共有几对相等的线段（2）若AF=4、BD=5、CE=9，则△ABC周长为____例如图，△ABC的内切圆⊙O与BC,CA,AB分别相切于点D,E,F, 且AB=9cm=1810,求⊙O的半径。
BC=14cm,CA=13cm,求AF,BD,CE的长。
若S△ABC三、巩固练习1、如图1，PA、PB是⊙O的两条切线、A、B为切点。
PO交⊙O于E点（1）若PB=12，PO=13，则AO=____（2）若PO=10，AO=6，则PB=____（3）若PA=4，AO=3，则PO=____；PE=_____.（4）若PA=4，PE=2，则AO=____.2、如图2，PA、PB是⊙O的两条切线、 A、B为切点，CD切⊙O于E交PA、PB 于C、D两点。
24.2.2 第3课时切线长定理
∠ACB= 80 °,则∠BOC= 110 °.
3.如图，PA、PB是⊙O的两条切线，切点为A、B,∠P= 50 °，
点C是⊙O上异于A、B的点，则∠ACB= 65 °或115 °.
A
A
P
F
E
O
O
B 第3题
BD
C
第4题
4.△ABC的内切圆⊙O与三边分别切于D、E、F三点，如
图，已知AF=3,BD+CE=12,则△ABC的周长是 30 .
24.2 直线和圆的位置关系
第3课时 切线长定理
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
导入新课
问题1 上节课我们学习了过圆上一点P作已知圆的切线 （如左图所示）。如果点P是圆外一点，又怎么作该圆的 切线呢？ 问题2 过圆外一点作圆的切线，可以作几条？
A
P O
B
A
O.
P
B
讲授新课
一 切线长的定义
1.切线长的定义： 经过圆外一点作圆的切
三角形三条 角平分线的 交点
B
A
1.到三边的距离相 等；
2.OA、OB、OC分
别平分∠BAC、
O
∠ABC、∠ACB 3.内心在三角形内
C 部．
典例精析
例2 △ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、
F，且AB=13cm，BC=14cm，CA=9cm，求AF、BD、CE的长. A
F
解:设AF=xcm，则AE=xcm.
·O
解：如图所示，设与BC、AC相切的最大
圆与BC、AC的切点分别为B、D,连接OB、 C
B
OD,则四边形BODC为正方形.
∴OB＝BC＝3， ∴半径r的取值范围为0＜r≤3.
人教版九年级数学上册24.2.2切线长定理教案
在难点解析部分，我发现通证明过程有了更清晰的认识。但仍有学生反映在理解证明思路时感到困难。我考虑在下一节课中，引入更多的辅助手段，如动画演示或实物模型，来帮助学生们更好地理解几何证明的思路。
-证明思路：证明过程中涉及到的几何变换和逻辑推理对学生来说是难点。
-举例：在证明过程中，如何通过构造全等三角形和使用圆的性质来推导切线长定理。
-问题解决：学生在应用切线长定理解决具体问题时，往往难以找到合适的解题切入点。
-举例：在求解切线长或证明线段相等的问题时，学生可能不知道如何利用切线长定理来简化问题。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了切线长定理的基本概念、重要性和应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对切线长定理的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决几何问题时灵活运用。如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
二、核心素养目标
1.培养学生的几何直观与空间观念：通过切线长定理的学习，使学生能够观察和理解几何图形，发展空间想象力，提高解决几何问题的能力。
2.提升学生的逻辑推理与证明能力：引导学生探索切线长定理的证明过程，训练学生运用逻辑推理、几何论证的方法，培养严谨的数学思维。
3.增强学生的解决问题能力：通过切线长定理在具体题目中的应用，让学生掌握解决问题的方法和策略，提高解题效率，形成良好的数学解题习惯。
24.2.2切线长定理和三角形的内切圆(教案)
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了切线长定理和三角形内切圆的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对这些知识点的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
三角形内切圆的部分，学生们在小组讨论和实验操作中表现出了很高的热情。通过实际操作，他们能够更好地掌握内切圆半径的计算方法，这也证明了实践活动在数学教学中的重要性。今后，我会继续加大实践环节的比重，让学生在实践中学习和探索。
在小组讨论环节，我发现有些学生较为内向，不太愿意主动表达自己的观点。为了鼓励他们积极参与，我会在今后的教学中更加关注这些学生，多给予他们肯定和鼓励，提高他们的自信心。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“切线长定理和三角形内切圆在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
24.2.2切线长定理和三角形的内切圆（教案）
一、教学内容
本节课选自教材24.2.2节，主要内容包括：
1.切线长定理：探讨圆的切线与半径的关系，推导并掌握切线长定理，即从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等。
2.三角形的内切圆：介绍三角形内切圆的概念，探讨内切圆的半径与三角形面积的关系，掌握内切圆半径的计算公式。
《24.2.2 第3课时 切线长定理》教案、导学案、同步练习
《第3课时 切线长定理》教案【教学目标】1．掌握切线长定理，初步学会运用切线长定理进行计算与证明．2．了解有关三角形的内切圆和三角形的内心的概念．3．学会利用方程思想解决几何问题，体验数形结合思想．【教学过程】一、情境导入新农村建设中，张村计划在一个三角形中建一个最大面积的圆形花园，请你设计一个建筑方案．二、合作探究探究点一：切线长定理 【类型一】利用切线长定理求三角形的周长如图，PA 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ，⊙O 的切线EF 分别交PA 、PB于点E 、F ，切点C 在AB ︵上．若PA 长为2，则△PEF 的周长是________．解析：因为PA 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ，所以PA ＝PB ，因为⊙O 的切线EF 分别交PA 、PB 于点E 、F ，切点为C ，所以EA ＝EC ，CF ＝BF ，所以△PEF 的周长PE ＋EF ＋PF ＝PE ＋EC ＋CF ＋PF ＝(PE ＋EC )＋(CF ＋PF )＝PA ＋PB ＝2＋2＝4. 【类型二】利用切线长定理求角的大小如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，切点分别为A 、B ，点C 在⊙O 上，如果∠ACB ＝70°，那么∠OPA 的度数是________度．解析：如图所示，连接OA、OB.∵PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠OAP＝∠OBP＝90°.又∵∠AOB＝2∠ACB＝140°，∴∠APB ＝360°－∠PAO－∠AOB－∠OBP＝360°－90°－140°－90°＝40°.又易证△POA≌△POB，∴∠OPA＝12∠APB＝20°.故答案为20.方法总结：由公共点引出的两条切线，可以运用切线长定理得到等腰三角形．另外根据全等的判定，可得到PO平分∠APB.【类型三】切线长定理的实际应用为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一把刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径．若测得PA＝5cm，则铁环的半径长是多少？说一说你是如何判断的．解：过O作OQ⊥AB于Q，设铁环的圆心为O，连接OP、OA.∵AP、AQ为⊙O 的切线，∴AO为∠PAQ的平分线，即∠PAO＝∠QAO.又∠BAC＝60°，∠PAO＋∠QAO ＋∠BAC＝180°，∴∠PAO＝∠QAO＝60°.在Rt△OPA中，PA＝5，∠POA＝30°，∴OP＝55(cm)，即铁环的半径为55cm.探究点二：三角形的内切圆【类型一】求三角形的内切圆的半径如图，⊙O是边长为2的等边△ABC的内切圆，则⊙O的半径为________．解析：如图，连接OD .由等边三角形的内心即为中线，底边高，角平分线的交点．所以∠OCD ＝30°，OD ⊥BC ，所以CD ＝12BC ，OC ＝2OD .又由BC ＝2，则CD ＝1.在Rt △OCD 中，根据勾股定理得OD 2＋CD 2＝OC 2，所以OD 2＋12＝(2OD )2，所以OD ＝33.即⊙O 的半径为33. 方法总结：等边三角形的内心为等边三角形中线，底边高，角平分线的交点，它到三边的距离相等． 【类型二】求三角形的周长如图，Rt △ABC 的内切圆⊙O 与两直角边AB ，BC 分别相切于点D 、E ，过劣弧DE ︵(不包括端点D 、E )上任一点P 作⊙O 的切线MN 与AB 、BC 分别交于点M 、N .若⊙O 的半径为r ，则Rt △MBN 的周长为( )A ．r B.32r C ．2r D.52r 解析：连接OD ，OE ，∵⊙O 是Rt △ABC 的内切圆，∴OD ⊥AB ，OE ⊥BC .又∵MD ，MP 都是⊙O 的切线，且D 、P 是切点，∴MD ＝MP ，同理可得NP ＝NE ，∴C Rt △MBN ＝MB ＋BN ＋NM ＝MB ＋BN ＋NP ＋PM ＝MB ＋MD ＋BN ＋NE ＝BD ＋BE ＝2r ，故选C. 三、板书设计【教学反思】教学过程中，强调用切线长定理可解决有关求角度、周长的问题．明确三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，到三边的距离相等.《第3课时切线长定理》教案【教学目标】：1、了解切线长定义，掌握切线长定理，并利用它进行有关计算。
24.2.2 切线长定理学案
24.2.2直线与圆的位置关系（第3课时）------切线长定理（学案）姓名：班级：学号：【教学目标】知识与技能1.了解切线长的概念；2.理解切线长定理，熟练掌握并能运用.过程与方法1.经历画图、度量、猜想、证明切线长定理的过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力，能有条理地、清晰地写出推理过程；2.初步学会从数学的角度提出问题、理解问题，并能运用所学知识与技能解决问题、发展应用意识.情感态度与价值观通过观察、讨论、实践操作，小组合作交流使学生充分感知数学美，培养学生数学学习的兴趣、合作学习的意识和探索研究的精神.【教学重难点】重点：切线长定理及其运用；难点：切线长定理证明和运用切线长定理解决相关问题.【教学过程】一、探究新知问题1：经过平面上的一点作已知圆的切线，会有怎样的情形呢？问题2：已知：如图，直线PA，PB分别与⊙O相切于点A,B.连接OP，并沿着直线OP进行对折，请找出图中相等的角及线段？由此你能得到什么结论？你能证明你的结论么？【归纳】切线长定理：几何符号语言：∵∴问题3：已知：如图，直线PA，PB分别与⊙O相切于点A,B.由切线长定理还可得出什么结论么？并证明这些结论.【归纳笔记】1.切线长定理为证明等提供了理论依据.必须掌握并能灵活应用；2.在解决有关圆的切线长问题时，往往需要我们构建基本图形.常用辅助线如下：二、运用新知（典例精析）例1.如图,已知在⊙O中，AP＝6cm，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B.（1）BP＝______；（2）若直线CD切⊙O于点Q，交PA、PB于点C、D，则△PCD的周长是______；（3）若∠P=40°,连接OC，OD，求∠DOC的度数．变式：1.如图,已知在⊙O中，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B.△PCD的周长是16cm；若直线CD与⊙O相切于点Q，交PA、PB于点C、D，则AP＝______.2.如图，已知⊙O分别与四边形ABCD各边相切，且BC＝10，AD＝7，则四边形ABCD的周长为______.三、拓展提高（回归课本）例2如图,AB,BC,CD分别与⊙O相切于E,F,G三点,且AB∥CD,BO＝6cm,CO＝8cm.（1）求BC的长；（2）求BE＋CG的长；（3）求⊙O的半径.(选编自人教版九上P102第11题)链接中考1.如图1，在四边形ABCD中，AD//BC，∠DAB=90°，AB是⊙O的直径，CO平分∠BCD．（1）求证：直线CD与⊙O相切；（选编自2020年广东省中考真题第22题）（2）如图2，记（1）中的切点为E,AD=1,BC=2.求⊙O的半径．2(思考题).如图，在四边形ABCD中，AB//CD，AB≠CD，∠ABC=90°，点E、F分别在线段BC、AD上，且EF//CD，AB=AF，CD=DF．（选自2021年广东省中考真题第24题）（1）求证：CF⊥FB；（2）求证：以AD为直径的圆与BC相切；（3）若EF=2，∠DFE=120°，求△ADE的面积．四、巩固练习1.已知：如图，P为⊙O外一点，PA，PB为⊙O的切线，点A和B是切点，AC是直径．求证：BC∥OP．五、课堂小结（我的收获）：六、作业：高分突破A本第10课时。
24.2.2切线长定理和三角形的内切圆(教案)2022秋九年级上册初三数学人教版(安徽)
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与切线长定理和内切圆相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。通过测量和计算，演示切线长定理和内切圆的基本原理。
24.2.2切线长定理和三角形的内切圆（教案）2022秋九年级上册初三数学人教版（安徽）
一、教学内容
本节课选自2022秋九年级上册初三数学人教版（安徽）第24章“圆”中的24.2.2节，内容包括：
1.切线长定理：通过直观演示和逻辑推理，使学生理解并掌握切线长定理，即从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解切线长定理和三角形内切圆的基本概念。切线长定理指的是从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等。三角形内切圆是指可以与三角形的三边都相切的圆，其圆心是三角形三内角平分线的交点。这两个概念在几何学中有着重要的地位和广泛的应用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过分析一个三角形内切圆的实例，展示内切圆在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决最短路径等问题。
例：在讲解切长定理时，可通过图示或动画演示，让学生直观感受定理的含义，再结合具体例题进行分析。
-实际问题的解决：将切线长定理和三角形内切圆应用于解决实际问题，培养学生的实际应用能力。
例：设计一些与生活相关的实际问题，如道路设计、园林规划等，让学生运用所学知识解决问题。
2.教学难点
-逻辑推理过程：对于切线长定理和三角形内切圆性质的证明，学生可能难以理解其中的逻辑推理过程。
人教版九年级数学上册24.2.2切线长定理及三角形的内切圆(教案)
(1)对于切线长定理的证明，教师可以采用构造辅助线、利用相似三角形等方法，逐步引导学生理解证明过程，降低难度。
(2)在讲解内切圆半径计算时，可以针对不同类型的三角形，给出具体的计算步骤和方法，让学生通过练习逐步掌握。
(3)针对解决实际问题时思路的拓展，教师可以设置一些具有挑战性的题目，引导学生运用所学知识，培养学生的问题分析和解决能力。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“切线长定理及内切圆在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
-解决实际问题的能力培养：通过典型例题，重点训练学生运用切线长定理和内切圆性质解决实际问题的能力。
举例解释：
(1)在讲解切线长定理时，可以通过图形演示和实际测量，让学生直观地理解切线长的概念，并掌握切线长的计算方法。
(2)对于三角形内切圆的性质，通过构造具体的三角形模型，让学生观察内切圆与三角形各边的关系，理解并掌握内切圆半径的计算方法。
2.教学难点
-切线长定理的证明：对于定理的证明过程，学生可能难以理解，需要教师通过直观演示和逐步引导，帮助学生突破这一难点。
-内切圆半径的计算：学生在计算内切圆半径时，可能会对涉及到的几何关系和代数运算感到困惑，需要教师详细讲解并举例说明。
-解决实际问题时思路的拓展：学生在面对复杂的几何问题时，可能会缺乏解题思路，教师需要指导学生如何将问题转化为切线长定理和内切圆性质的应用。
四、教学流程
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第 3 课时 切线长定理
教学目标：1、了解切线长定义，掌握切线长定理，并利用它进行有关计算。 2、在运用切线长定理的解题过程中，进一步渗透方程的思想，熟 悉用代数的方法解几何题。
教学重点：理解切线长定理。 教学难点：灵活应用切线长定理解决问题。 教学过程： 一、复习引入： 1．切线的判定定理和性质定理． 2．过圆上一点可作圆的几条切线？过圆外一点呢？过圆内一点呢？ 二、合作探究 1、切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长叫做
切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一 点和圆心的连线平分两条切线的夹角． 3、三角形的内切圆 思考：如图是一张三角形的铁皮，如何在它上面截下一块圆形的铁片，并且使 圆的面积尽可能大呢？ 三角形的内切圆定义：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆 三角形的内心：三角形内切圆的圆心即三角形三条角平分线的交点叫做——
四、小结归纳 1．圆的切线长概念和定理
2．三角形的内切圆及内心的概念 五、作业设计
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三、巩固练习 1、如图 1，PA、PB 是⊙O 的两条切线、A、B 为切点。PO 交⊙O 于 E 点 （1）若 PB=12，PO=13，则 AO=____ （2）若 PO=10，AO=6， 则 PB=____ （3）若 PA=4，AO=3，则 PO=____；PE=_____. （4）若 PA=4，PE=2，则 AO=____.
3、如图 Rt△ABC 的内切圆分别与 AB、AC、BC、相切于点 E 、D、F，且 ∠ACB=90°，AC=3、BC=4，求⊙O 的半径。
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4、如图 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=6、BC=8，O 为 BC 上一点，以 O 为 圆心，OC 为半径作圆与 AB 切于 D 点，求⊙O 的半径。
这点到圆的切线长。
2、切线长定理 （1）操作：纸上一个⊙O，PA 是⊙O 的切线，连结 PO，沿着直线 PO 将纸对 折，设与点 A 重合的点为 B。 OB 是⊙O 的半径吗？PB 是⊙O 的切线吗？猜一猜 PA 与 PB 的关系？∠APO 与∠BPO 呢？
从上面的操作及圆的对称性可得： 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线 平分两条切线的夹角． （2）几何证明． 如图，已知 PA、PB 是⊙O 的两条切线．求证：PA=PB，∠APO=∠BPO．
2、如图 2，PA、PB 是⊙O 的两条切线、 A、B 为切点，CD 切⊙O 于 E 交 PA、PB 于 C、D 两点。 （1）若 PA=12，则△PCD 周长为____。 （2）若△PCD 周长=10，则 PA=____。 （3）若∠APB=30°,则∠AOB=_____，M 是⊙O 上一动点，则∠AMB=____
5、如图，⊙O 与△ADE 各边所在直线都相切，切点分别为 M、P、N，且 DE⊥AE，AE=8，AD=10，求⊙O 的半径
6、如图，AB 是⊙O 的直径，AE、BF 切⊙O 于 A、B，EF 切⊙O 于 C. 求证：OE⊥OF
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7、如图，⊙O 的直径 AB=12cm，AM、BN 是切线，DC 切⊙O 于 E，交 AM 于 D， 交 BN 于 C，设 AD=x，BC=y． （1）求 y 与 x 的函数关系式，并说明是什么函数？ （2）若 x、y 是方程 2t2-30t+m=0 的两根，求 x，y 的值． （3）求△COD 的面积．