复数的方根、乘幂与复变函数
复变函数第一章
z1 z1 z2 z2
Arg(
z1 z2
)
Arg
z1
Arg
z2
1、 幂函数
非零复数 z 的 n 次幂
zn rnein rn (cos n i sin n )
其中
zn z n , Arg zn nArg z.
令 r = 1，则得棣莫弗公式
(cos i sin )n cos n i sin n
21
•连续曲线 若实函数 x(t) 和 y(t) 在闭区间[, ]
上连续，则方程组
x x(t),
y
y(t),
( t )
或复数方程 z z(t) x(t) iy(t) ( t )
代表一条平面曲线，称为 z 平面上的连续曲线.
进一步地，若在 t 上，x '(t) 及 y '(t) 存在、
E(C)
线 C 把 z 平面唯一地分成
C、I(C) 及 E(C) 三个点集，
I(C)
它们具有如下性质：
（1）彼此不交；
O
C
x
（2）I(C) 是一个有界区域（称为 C 的内部）；
（3）E(C) 是一个无界区域（称为 C 的外部）.
25
•单连通区域 设 z 平面上的区域 D， 若在 D 内 无论怎样画简单闭曲线，其内部仍全含于 D， 则称 D 为单连通区域. 非单连通的区域称为多 连通区域.
y
z
v
w
2 O 2 x
4 O 4 u
31
•反函数 假设函数 w=f(z) 的定义域是 z 平面上的 集合 G，值域是 w 平面上的集合 G*. 对 G* 中 的每一个点 w，在 G 中有一个（或至少两个） 点与之相对应，则在 G* 上确定了一个单值（或
复数与复变函数的基本运算与性质
复数与复变函数的基本运算与性质复数是数学中的一种重要概念，可以用来描述平面上的点或向量。
复变函数则是一种将复数作为自变量和函数值的函数。
复数与复变函数都有其特定的基本运算与性质，本文将详细介绍。
一、复数的基本运算与性质1. 复数的表示复数可表示为 a + bi 的形式，其中 a 和 b 是实数，i 是虚数单位。
实部 a 表示复数在实轴上的投影，虚部 b 表示复数在虚轴上的投影。
2. 复数的加法和减法复数的加法和减法遵循实数的运算法则，即分别对实部和虚部进行相应的运算。
3. 复数的乘法复数的乘法按照分配律进行，即将每个部分相乘后再进行合并。
4. 复数的除法复数的除法可以通过乘以倒数的方式进行，即将除数的倒数乘以被除数。
5. 共轭复数共轭复数是指保持实部不变而虚部取负的两个复数。
共轭复数的乘积为实数，而共轭复数的和差仍为复数。
6. 模和辐角复数的模表示它与原点的距离，辐角表示其与实轴正向的夹角。
二、复变函数的基本运算与性质1. 复变函数的定义复变函数将复数作为自变量和函数值，可以表示为 f(z) = u(x, y) +iv(x, y)，其中 u 和 v 分别是 x 和 y 的实函数，i 是虚数单位。
2. 复变函数的连续性复变函数 f(z) 连续的充要条件是 u 和 v 在 z 的实部和虚部上都连续。
3. 复变函数的导数对于复变函数 f(z)，如果其在某一点 z 处存在导数，那么导数表示为 f'(z) = u_x(x, y) + iv_x(x, y)，其中 u_x 和 v_x 分别是 u 和 v 对 x 的偏导数。
4. 柯西—黎曼方程柯西—黎曼方程是复变函数的一个重要性质，即 u_x = v_y 和 u_y = -v_x。
柯西—黎曼方程保证了复变函数可导的充分必要条件。
5. 复变函数的积分复变函数的积分可以用路径积分的方法进行，路径积分表示了函数在不同路径下的变化。
路径积分不依赖于具体的路径选择，而只取决于路径的起点和终点。
第一章3复数的乘幂与方根
第二节
复数的运算
一、复数的代数运算及共轭复数的运算法则
二、复数的代数运算的几何表示
三、复数的乘幂与方根
三、复数的乘幂与方根
1. 乘幂
设复数 ≠ 0, = (cos+sin),
则 = (cosn+sinn) ，为正整数．
规定 z
−n
1
= n.
z
), w3 = 2 (cos
+ i sin
),
16
16
16
16
1
8
1
8
这四个根是内接于以原点为圆心，半径为 2的圆的正方形的顶点
8
谢谢观看！
当 = , + 1, ⋯ 时，这些根又重复出现.
=
=
1
[cos
2 在几何上，
+ 2
+ 2
+ sin
], = 0,1,2, ⋯ , − 1
1
的个值是以原点为圆心， 为
半径的圆的内接正边形的个顶点.
例3．求 1 + .
4
解： 1 + = 2(cos + sin )
特别地，当 = 1时，得到棣莫弗公式
(cos+sin) = cosn+sinn.
2. 方根
z 称为的次方根.
设 z = r (cos + i sin ), w = (cos + i sin )
方程 wn = z 的根 w ，即 w =
n
n
有 (cos n + i sin n ) = r (cos + i sin )
复变函数1-3
i,
z1 z2
cos
3
6
i
sin
3
6
3 1i. 22
7
二、幂与根
1. n次幂: n 个相同复数 z 的乘积称为z 的 n 次幂,
记作 zn , zn z z z .
n个
对于任何正整数n, 有 zn rn(cosn i sin n ).
如果我们定义
zn
1 zn
,
那么当
幂为负整数时,
求出z的幂.
8
2.棣莫佛公式
当 z 的模 r 1,即 z cos i sin ,
(cos i sin )n cosn i sin n .
棣莫佛公式
3. 方程 wn z 的根 w, 其中 z 为已知复数.
w
n
z
r
1 n
cos
2kπ n
i sin
2kπ n
(k 0,1,2, ,n 1)
w2
o
w0 x
w3
15
三、小结
应熟练掌握复数乘积与商，幂与根的运算. 在各种形式中以三角形式、指数形式最为方便:
z1
z2
r1
r ei(12 ) 2
z2 r e2 i(2 1 )
z1 r1
对于任何正整数n, 有 zn rn(cosn i sin n ).
w
n
z
r
1 n
cos
2kπ
i sin
2kπ
n
n
(k 0,1,2, ,n 1)
放映结束，按Esc退出.
16
i sin(1 2 n )]
r1 r2 rnei(12 n ) .
5
定理二 两个复数的商的模等于它们的模的商; 两 个复数的商的辐角等于被除数与除数的辐角之差.
1.2复数的运算及其几何意义
x1 ) y1 )
参数 t (, ),
上式可以借助复数合并为一个式子，即：
z x(t ) iy(t ) x1 t( x2 x1 ) + i [y1 t( y2 y1 )]. 过z1 , z2的直线方程是： z z(t ) z1 ), 0 t 1.
则将向量OZ1按逆时针方向
•z
y
旋转一个角 2 ,
r • z1
再伸长(缩短)到原来的 r2 倍，
所得向量OZ就表示乘积z1 z2.
1
o
r1
2
•
r2
z2
x
z1z2 r1r2[cos(1 2 ) i sin(1 2 )]
10
可将结论推广到 n 个复数相乘的情况:
设 zk rk (cosk i sink ) rkeik , (k 1,2,, n)
28
cos
π 4
2kπ 4
i sin
π 4
2kπ 4
w3
(k 0,1,2,3).
即 0
1
28
cos
π 16
i
sin
π 16
,
1
1
28
cos
9π 16
i
sin
9π 16
,
2
1
28
cos
17π 16
i
sin
17π 16
,
3
1
28
cos
25π 16
i sin
25π 16
.
15
;
(2) z z;
(3) z z z 2 ;
(4) z z 2 Re(z), z z 2i Im(z).
复数和、差、共轭的几何意义
复变函数的可导与解析
zz0
z z0
定义3
设复变函数 w f (z)在N (z0 )内有定义， 如 果 存 在 与 z无 关 的 复 常 数 L, 使 得 对 z z0 z N ( z0 ), 总有
w f ( z0 z) f ( z0 ) Lz o(| z |), 则称w f (z)在点z0处可微，并称 Lz为函数f (z)在点z0处的微分，记作
f(z)在 复 平 面 上 处 处处 处 解可 析导 ，， 且 f(z)ux ivx ex(coysisiny)f(z)
（ 2 ）f(z)xyixy
解 u(x, y) x y,v(x, y) xy，而
ux 1,uy 1, vx y,vy x ux,uy,vx,vy在复平面上处处但 连仅 续在 ， x1, y 1时满足 CR条件
(7) f z 1w,其中与为两个互为反 数的单值函,且数w 0.
需要注意的是，复变数函的导数定义与一元 实函数的导数定义，然虽形式上一样，但在 本质上有很大的不同因。为一元实函数导数 定义中的极限是一元函实数的极限，而复变 函数导数定义中的极对限应于二元实函数的 极限。
设f(z)在z0可 导 ， 即 极 限
f(z)在z 1i 处可导，在复平面上 处处不解析 .
（ 3）f(z)x2iy
解 u(x, y) x2 ,v(x, y) y，而
ux 2x, uy 0, vx 0,vy 1 ux ,uy ,vx ,vy在复平面上处处连续， 但仅在直线x 1 上满足C R条件
f(z)在 直 线 x21上可 导 ， 在 复 平 面 2
y
x y
y x
z在第一象限 z在第二象限 z在第三象限
x
arctan
y x
z在第四象限
复数的幂与根的运算
复数的幂与根的运算复数是由实部和虚部组成的数，可以表示为a + bi的形式，其中a为实部，b为虚部，i为虚数单位。
在复数运算中，我们经常会遇到复数的幂与根的运算，本文将详细讨论这两种运算及其特性。
一、复数的幂运算复数的幂运算是将一个复数自乘若干次。
设有一个复数z = a + bi，其中a为实部，b为虚部。
1. 复数的平方运算将复数z自乘一次，即z^2 = (a + bi)(a + bi)。
展开得到z^2 = a^2 + 2abi - b^2，整理后可得z^2 = (a^2 - b^2) + 2abi。
可以看出，复数的平方仍旧是一个复数，实部为a^2 - b^2，虚部为2ab。
2. 复数的立方运算将复数z自乘两次，即z^3 = z^2 * z = (a^2 - b^2 + 2abi)(a + bi)。
展开得到z^3 = (a^3 + 3a^2bi - 3ab^2 - b^3i)，整理后可得z^3 = (a^3- 3ab^2) + (3a^2b - b^3)i。
同样地，复数的立方仍旧是一个复数，实部为a^3 - 3ab^2，虚部为3a^2b - b^3。
3. 复数的n次幂运算将复数z自乘n次，即z^n = z^(n-1) * z = ((a + bi)^(n-1))(a + bi)。
根据二项式定理展开后可得z^n = (a^n + na^(n-1)bi + C(n, 2)a^(n-2)b^2i^2 + ... + C(n, n-1)ab^(n-1)i^(n-1) + b^n * i^n)。
在上述展开式中，可以观察到幂次大于1的i项会相互抵消，因为i^2 = -1，而i^3 = -i，i^4 = 1，i^5 = i，以此类推。
因此，最终复数的n次幂展开式可简化为z^n = (a^n + C(n, 2)a^(n-2)b^2 - C(n, 4)a^(n-4)b^4 + ... + (-1)^(n/2)b^n) + (na^(n-1)b - C(n, 3)a^(n-3)b^3 + ... + (-1)^((n-1)/2)ab^(n-1))i。
复变函数的总结
n0 n!
2!
n!
cos z (1)n1 z2n 1 1 z2 1 z4 (1)n1 z2n
n0 (2n)!
2! 4!
(2n)!
sin z (1)n z2n1 z 1 z3 1 z5 (1)n z2n1
n0 (2n 1)!
区域
z0的去心邻域 : 点集 z 0 z z0
简单闭曲线
称为z0的去心邻域
简
非简单
单
如果简单曲线的起点和终点重合，则称为简单闭曲线．
单连通与多连通
A l
l
B
(a)
l
A l
l B
（b） 图 1.6
ห้องสมุดไป่ตู้
A l
l
B
(c)
复变函数 f (z)
等价两个二元实函数 u u(x, y) v v(x, y)
考察复数项级数
k 0
wk
，如果 lim k
则当 l 1时，级数绝对收敛；当 l
wk1 l , w1k时，级数发
散；当 l 1，级数的敛散性需要进一步检验。
2、Gauss 判别法
中
对于
k 0
1且
wk
,
若有
wk wk 1
为复数。则当 Reμ
>
1
k
O
则称级数 fn (z) 在 B 内(或曲线 L 上)一致收敛。 n0
幂级数
定义 各项均为幂函数的复变函数项级数：
ak (z b)k a0 a1(z b) a2 (z b)2
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4、求出下列复变函数 的Leabharlann 部 和虚部 :（1） （2）
【解】令 ,则【解】令 ,则
. .
从而从而
………………………………………………………………………………………………………
2复数的幂与方根、区域、复变函数
1、求下列各式的值:
（1）
【解】因为
,
所以
.
………………………………………………………………………………………………………
（2）
【解】因为
,
所以
.
当 时, ;
当 时, .
………………………………………………………………………………………………………2、在复数范围内求解下列方程:
（1） （2）
【解】其图形如下所示【解】其图形如下所示
为无界、单连通、开区域.为无界、单连通、开区域.
（3） （4）
【解】其图形如下所示【解】其图形如下所示
为无界、多连通、开区域.为有界、多连通、闭区域.
（5） （6）
【解】其图形如下所示【解】其图形如下所示
为无界、多连通、闭区域.为无界、单连通、闭区域.
（1） （2）
【解】（1）原方程可化为
.
故
.
当 时, ;当 时, ;当 时, .
（2）由于
,
故
.
当 时, ;当 时, ;当 时, ;当 时, .
………………………………………………………………………………………………………
3、描出下列不等式所确定的区域或闭区域,并指明它是有界的还是无界的,单连通的还是多连通的: