北师大版八年级数学下册5 分式方程导学案(含简单答案)
新北师大版八年级数学下册第5章《分式与分式方程》教案
新北师大版八年级数学下册第5章《分式与分式方程》教案教学目标学习分式及分式的概念、性质和运算法则，并掌握简单分式的变形和分式方程的解法。
教学重难点重点•分式的概念、性质和运算法则•分式的变形•分式方程的解法难点•分式方程的解法教学过程导入（10分钟）1.调查课前练习，询问学生对分式的了解和学习情况。
2.引入分式的概念，让学生举例说明分式的实际应用。
提高课堂参与度（10分钟）1.通过多项式的例子，引入分式。
2.分小组讨论分式与多项式的联系和区别，并展示讨论成果。
理论课（30分钟）1.分式的定义和性质。
2.分式的约分、通分和加减法。
3.分式与整式的加减法。
实践课（50分钟）1.分式的变形：分解、合并及简化。
2.分式方程的概念及解法。
3.通过实例让学生掌握分式方程的解法。
课堂总结（10分钟）1.小结本节课的重点内容。
2.引导学生对本节课的学习成果进行分享。
作业布置1.抄写本节课的重点内容以及实例。
2.完成课后练习。
教学方法1.演示法2.分组讨论3.实践操作4.个别指导教学资源1.教材：新北师大版八年级数学下册2.PPT：分式与分式方程参考文献1.《初中数学》2.《分式与分式方程教育同行》教学反思本节课通过实例和讨论等方式，激发了学生的学习兴趣，真正意义上实现了知识与实践相结合。
在教学过程中，我进一步提高了自己的教学能力，尤其是关注学生的理解进程，帮助学生掌握分式方程的解法，提高其数学素养。
八年级数学下册5.4 分式方程导学案(新版)北师大版
八年级数学下册5.4 分式方程导学案（新版）北师大版5、4 分式方程学习重难点重点：能根据实际问题的数量关系列出分式方程，归纳出分式方程的定义、难点：能根据实际问题中的等量关系列出分式方程、一、复习旧知识用分式表示各个量：1、一项工程,甲单独做a小时完成,乙单独做b小时完成,甲,乙两人工作效率之差为。
2、植树节期间，甲、乙两班学生参加植树造林，学校要求两个班都种80棵树已知甲班每天比乙班多植5棵树，若甲班每天植树a棵，则甲班需要天完成任务；乙班需要天完成任务，甲班比乙班提前天完成任务。
二、问题引入面对日益严重的土地沙化问题，某县决定在一定期限内固沙造林2400公顷，实际每月固沙造林的面积比原计划多30公顷，结果提前4个月完成计划任务。
原计划每月固沙造林多少公顷？1、这一问题中有哪些已知量和未知量？2、这一问题中有哪些等量关系？3、设原计划每月固沙造林x公顷，那么原计划完成一期工程需要个月，实际完成一期工程用了个月，根据题意，可得方程。
三、想一想，议一议甲、乙两地相距1400 km，乘高铁列车从甲地到乙地比乘特快列车少用9 h，已知高铁列车的平均行驶速度是特快列车的2、8 倍、（1）你能找出这一问题中的所有等量关系吗？（2）如果设特快列车的平均行驶速度为 x km/h，那么 x 满足怎样的方程？（3）如果设小明乘高铁列车从甲地到乙地需 y h，那么 y 满足怎样的方程？四、做一做、为了帮助遭受自然灾害地区重建家园，某学校号召同学自愿捐款、已知七年级同学捐款总额为4800 元，八年级同学捐款总额为5000元，八年级捐款人数比七年级多20人，而且两个年级人均捐款额恰好相等、如果设七年级捐款人数为 x 人，那么 x 满足怎样的方程？五、议一议上面所得到的方程有什么共同特点？这样的方程怎么称呼?六、随堂练习1、找找看，下列方程哪些是分式方程：2、“退耕还林还草”是在我国西部地区实施的一项重要生态工程、某地规划退耕面积共69000 hm2 ，退耕还林与退耕还草的面积比为5∶3，设退耕还林的面积为 x hm2 ，那么 x 满足怎样的分式方程？3、王军同学准备在课外活动时间组织部分同学参加电脑网络培训，按原定的人数估计共需费用300元。
八年级数学下册5.4分式方程(1)导学案北师大版
5.4 分式方程（1）本课时学习要点:分式方程的概念及分式方程的解法本课时学习目标：1、理解分式方程的概念，会解分式方程并掌握解分式方程的验根方法2、经历探索分式方程的解法，体会数学中化归的思想本课时学习安排：课前预习：预习教材125-127页，完成课后随堂练习。
课中学习：活动一：分式方程的概念问题情境：（1）甲、乙两地相距1400 km，乘高铁列车从甲地到乙地比乘特快列车少用9 h，已知高铁列车的平均行驶速度是特快列车的2.8 倍．①你能找出这一问题中的所有等量关系吗？②如果设特快列车的平均行驶速度为x km/h，那么x 满足怎样的方程？③如果设小明乘高铁列车从甲地到乙地需y h，那么y 满足怎样的方程？（2）为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园，某学校号召同学们自愿捐款。
已知第一次捐款总额为4800元，第二次捐款总额为5000元，第二次捐款人数比第一次多20人，而且两次人均捐款额恰好相等。
如果设第一次捐款人数为x人，那么x满足怎样的方程？思考：你得到的这些方程有什么共同特征？（和同桌相互讨论一下）总结：分式方程的概念：例1、下列式子中哪些是分式方程？变式1：找找看，下列方程哪些是分式方程：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）活动二：解分式方程例2、解分式方程（1）312x x=-（2）11222xx x-=---思考：1、方程（1）和方程（2）的步骤求解有差异吗？2(1)23x x-=437x y+=(1)(4)1x xx-=-3(3)2x xπ-=2131xxx++=215=-xx）（105126=-+xx）（1352x x=-（）2、你认为在解分式方程的过程中，那一步变形可能引起增根？x=2不是原方程（2）的根，因为它使得原分式方程的分母为零，我们称它为原方程的增根。
产生增根的原因是：我们在方程的两边同乘了一个可能使分母为0的整式。
因为解分式方程可能产生增根，所以解分式方程必须检验。
八年级数学下册 5.4 分式方程导学案(新版)北师大版
八年级数学下册 5.4 分式方程导学案（新版）北师大版5、4、1分式方程班级姓名【学习目标】1、探索分式方程的概念。
2、把实际问题转换成分式方程模型。
学习重点：分式方程的概念。
学习难点：把实际问题转换成分式方程模型。
【复习引入】1、方程是含有________的等式。
2、分式是指中（其中A和B是整式），如果分母中含有_________，那么它就是一个分式。
【自主学习】1、分式方程是指分母中含有_________的________。
2、找出下面式子中的分式方程______________________①，②，③,④,⑤【探究学习】1、甲乙两地相距1400km，乘高铁列车从甲地到乙地比乘特快列车少用9h，已知高铁列车的平均行驶速度是特快列车的2、8倍。
（1）请你找出这一问题中的所有等量关系。
如：利用“乘高铁列车从甲地到乙地比乘特快列车少用9h”可得到等量关系：______________________________。
（2）若设特快列车的平均行驶速度为x km/h，那么高铁列车的行驶速度为______km/h、填表：路程速度时间特快列车x高铁列车根据上表可列出方程：（3）若设高铁列车从甲地到乙地需要的时间为y h，那么特快列车需要_______h。
填表：路程时间速度特快列车y 高铁列车根据上表可列出方程：2、小结：(1)分式方程概念； (2)找等量关系是把______中的文字信息转换成_________； (3)列分式方程的步骤。
【巩固练习】必做题1、下列各式中，不是分式方程的是（）A、B、C、D、（2、甲、乙两班学生参加植树造林，已知甲班每天比乙班多植5棵树，甲班植80棵树所用的天数与乙班植70棵树所用的天数相等，若设甲班每天植树棵，则根据题意列出的方程是（）Ａ、＝B、C、D、3、根据题意列出分式方程（不用求解）（1）为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园，某学校号召同学们自愿捐款。
已知七年级同学捐款总额为4800元，八年级同学捐款总额为5000元，八年级捐款人数比七年级多20人，而且两个年级人均捐款额恰好相等。
八年级数学下册 5.4 分式方程导学案3(新版)北师大版
八年级数学下册 5.4 分式方程导学案3（新版）北师大版1、经历探索分式方程应用的过程，会检验根的合理性；2、经历“实际问题情境建立分式方程模型求解解释解的合理性”的过程，进一步提高分析问题和解决问题的能力，增强学数学、用数学的意识、重点探索分式方程应用的过程难点、会检验根的合理性导学过程组间交流，展示成果：导学过程导学后反思知识回顾：1、解分式方程的一般步骤：2、解方程3、列一元一次方程解应用题的一般步骤分哪几步？自主探究，发现问题：1、列分式方程解应用题有哪些必要的步骤？2、列分式方程解应用题要注意哪些问题？小组合作，解决问题：按“审---设---列---解---验---答”的步骤解决问题、李明计划在一定日期内读完200页的一本书，读了5天后改变了计划，每天多读5页，结果提前一天读完，求他原计划平均每天读几页书、解答方案：设李明原计划平均每天读书x页，用含x的代数式表示：(1)李明原计划读完这本书需用天；(2)改变计划时，已读了页,还剩页；(3)读了5天后，每天多读5页，读完剩余部分还需天；(4)根据问题中的相等关系，列出相应方程；解这个方程得，经检验，是所列方程的解 (5)李明原计划平均每天读书页、(用数字作答)完成教材P129~130的对应习题运用检测，组内互评：1、已知的解为负数，试求m的取值范围、2、A、B两地的距离是80公里，一辆公共汽车从A地驶出3小时后，一辆小汽车也从A地出发，它的速度是公共汽车的3倍，已知小汽车比公共汽车迟20分钟到达B地，求两车的速度、3、某市今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨25%，小明家去年12月份的水费是18元，而今年5月份的水费是36元，已知小明家今年5月份的用水量比去年12月份多6立方米，求该市今年居民用水的价格、4、4、用如图的长方形和正方形纸板分别作侧面和底面，做成如图的竖式和横式的两种无盖纸盒、现在需要生产竖式纸盒与横式纸盒的个数比是5：3、为使长方形和正方形纸板恰好都能用完，进料时长方形和正方形纸板的张数比应是多少? 教学反思：。
北师大版八年级数学下册第五章分式与分式方程5.1认识分式第2课时分式的基本性质及约分(教案)
难点举例：对于分式$\frac{4x^2 + 4x}{2x^2 + 2x}$，学生应先分解为$\frac{4x(x + 1)}{2x(x + 1)}$，然后约去公因式$(x + 1)$和$2$，得到最简分式$\frac{2}{1}$。
2.教学难点
（1）分式基本性质的深度理解：学生需要理解为什么分式的分子、分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。这个性质背后的数学原理需要通过实例和图形进行直观演示，帮助学生深入理解。
难点举例：解释当分式$\frac{2x}{3y}$的分子分母同时乘以不同的整式（如2x和3y）时，分式的值仍然保持不变的原因。
（2）识别并约去复杂的公因式：在分式的约分过程中，学生可能会遇到难以识别的复杂公因式，尤其是当分子分母包含多项式时。教师需要指导学生如何分解多项式，找出公因式。
难点举例：面对分式$\frac{3x^3 - 6x^2}{9x^2 - 6x}$，学生需要学会先将分子和分母分解为$3x^2(x - 2)$和$3x(3x - 2)$，再约去公因式$3x$。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了分式的基本性质、约分的技巧及其在实际中的应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对分式的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
（二）新课讲授（用时10分钟）
北师大版八年级数学下册教案 5-4 第1课时 分式方程及其解法
5.4分式方程第1课时分式方程及其解法教学目标【知识与技能】1.理解并能够说出分式方程的意义;2.理解并掌握分式方程的解法步骤,掌握验根的方法.【过程与方法】经历探索分式方程的解法的过程,经历解分式方程产生增根和将分式方程转化为整式方程的过程,体会数学中的化归思想.【情感、态度与价值观】在建立分式方程的数学模型的过程中培养克服困难的勇气,并从中获得成就感,提高解决问题的能力.教学重难点【教学重点】理解并掌握分式方程的解法.【教学难点】解分式方程产生增根的原因.教学过程一、情境导入在这一章的第一节《分式》中,我们曾研究过一个“固沙造林,绿化家园”的问题.当时,我们设原计划每月固沙造林x公顷,那么原计划完成一期工程需要2400x 个月,实际完成一期工程用了2400x+30个月.根据题意,可得方程2400 x −2400x+30=4.像2400x,2400x+30这种分母中含有字母的代数式是分式.而像2400x−2400x+30=4这样的方程我们是第一次遇到,它和我们学过的一元一次方程一样能刻画现实世界中的数量关系,是一种反映现实世界的数学模型.二、合作探究探究点1分式方程的意义典例1下列方程是分式方程的是()A.12−x3=0 B.4x=-2C.x2-1=3D.2x+1=3x[解析]观察知B项符合题意.[答案]B【技巧点拨】分母中含有未知数的方程叫做分式方程,可见,判断一个方程是否为分式方程,关键看分母里是否有未知数.下列方程:①x−35=1;②3x+1=2;③1+x5+x =12;④x 2+2x 2+1=5;⑤x π+x 2π=4.其中是分式方程的有 ( )A.①②B.②③C.③④D.②③④[答案] D探究点2 分式方程的解法典例2 解下列分式方程:(1)xx−1−2x−1x 2−1=1; (2)2+x 2−x +16x 2−4=-1.[解析] (1)去分母,得x (x +1)-(2x -1)=x 2-1,解得x =2.检验:当x =2时,x 2-1≠0,故分式方程的解为x =2.(2)去分母,得-(x +2)2+16=4-x 2,解得x =2.检验:当x =2时,2-x =0,故分式方程无解.探究点3 分式方程的增根典例3若分式方程3x−a x 2−2x +1x−2=2x 有增根,则实数a 的取值是 ( )A.0或2B.4C.8D.4或8[解析] 去分母,得3x -a +x =2(x -2),由题意得,分式方程的增根为0或2.当x =0时,-a =-4,解得a =4;当x =2时,8-a =0,解得a =8,故a 的值为4或8.[答案] D在将分式方程化为整式方程的过程中,若整式方程的根使分式方程的分母为零,那么这个根叫做分式方程的增根.产生增根的原因是在方程两边同乘了一个使分母为0的整式,因为解分式方程可能产生增根,所以解分式方程必须检验.检验的方法是检验所得的根是否使分式方程中分母的值等于0.若关于x 的分式方程m x 2−4−1x+2=0无解,则m = .[答案] 0或-4三、板书设计分式方程及其解法分式方程及其解法{ 分式方程的意义分式方程的解法步骤{ 转化解整检验结论增根及其产生的原因教学反思本节课中,让学生自己通过观察、类比的方法找到分式方程的解法,向学生提供充分从事数学活动的机会,帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法,获得广泛的数学活动经验.。
八年级数学下册 5.4 分式方程(第2课时)导学案(新版)北师大版
八年级数学下册 5.4 分式方程（第2课时）导学案（新版）北师大版5、4 分式方程（第2课时）目标：掌握分式方程的解法步骤，会检验由整式方程所得的根是不是原分式方程的根重点：分式方程的解法【学前准备】1、什么是方程，什么是分式方程？2、解一元一次方程有哪些步骤？3、分式有意义的条件。
一、问题引入：1、解一元一次方程的第一步是、2、解分式方程的基本步骤是、3、使方程的叫方程的增根、检验时通常只需、、二、基础训练：1、对于分式，当x＝________时，分式的值为零，当x＝________时，分式无意义、2、如果方程有增根，那么增根的值为（）A、0B、-1C、3D、１3、解方程：4、解分式方程三、例题展示：例：解下列方程（1）四、课堂检测：1、判断下列各题，正确的在题后括号内打“√”，错误的打“”、（1）=是关于y的分式方程、（）（2）分式方程=0的解是x=3、（）（3）只要是分式方程，一定出现增根、（）（4）方程 =－3的两边都乘以（x-2），得1=（x－1）－3、（）2、若的值为－１，则x等于（）A、－B、C、D、－3、若分式的值为零，则x等于（）A、2B、-2C、D、04、若分式方程（其中k为常数）产生增根，则增根是________、5、解下列方程: （2）小结：解分式方程一般需要经过哪几个步骤？_________________________________________________________ ___________课后作业：一、填空题1、将方程=2－去分母并化简，能得到的方程是（）。
A、x －2x－3=0B、x －2x－5=0C、x －3=0D、x －5=02、分式方程 =的解为（）A、x=1B、x=2C、x=3D、x=43、若分式方程=有增根，则增根为（）A、x=0B、x=﹣1C、x=1D、 x=1二、填空题1、方程=的解是__________、2、关于x的分式方程＋=1的解为正数，则m的取值范围是__________、3、若分式方程:2＋=有增根，则k=__________三、解答题1、解方程= 。
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5.4分式方程
预习案
一、学习目标
1．理解分式方程的概念；掌握解分式方程的基本方法和步骤。
2. 通过日常生活中的情境创设，经历探索分式方程应用的过程，会检验根的合理性；经历“实际问题情境——建立分式方程模型——求解——解释解的合理性”的过程，进一步提高学生分析问题和解决问题的能力，增强学生学数学、用数学的意识．
二、预习内容
1.分母中含有未知数的方程，叫做分式方程。
分式方程与整式方程的区别：分式方程中分母含有未知数，而整式方程中的分母不含有未知数。
2.产生增根的原因是，我们在方程的两边同乘了一个使分母为零的整式。
分式方程解答过后，必须要对其根进行检验。
3.利用方程解应用题的一般步骤是：审---设---列---解---验---答。
三、预习检测
1．要把分式方程化为整式方程，方程两边需要同时乘以（ ） A ． B ． C ． D ．
2. 分式方程02
22=--x x x 的增根是（ ） A.0x = B.=2x C.-2x = D.0x =或2x =
3. 甲志愿者计划用若干个工作日完成社区的某项工作，从第三个工作日起，乙志愿者加盟此项工作，且甲、乙两人工效相同，结果提前3天完成任务，则甲志愿者计划完成此项工作的天数是________。
4.设A=1-x x ，B=11
32+-x ，当x 为何值时，A 与B 的值相等？ 探究案
一、合作探究（20分钟）
本节重点：分式方程的应用
本节难点：增根以及分式方程解应用题
1.分式方程概念
x
x 1423=-)2(2-x x x 2-x 42-x
例1.甲、乙两地相距 1400 km ，乘高铁列车从甲地到乙地比乘特快列车少用 9 h ，已 知高铁列车的平均行驶速度是特快列车的 2.8 倍．
（1）你能找出这一问题中的所有等量关系吗？
（2）如果设特快列车的平均行驶速度为 x km/h ，那么 x 满足怎样的方程？
（3）如果设小明乘高铁列车从甲地到乙地需 y h ，那么 y 满足怎样的方程？
例2.为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园，某学校号召同学们自愿捐款．已知七年级同学捐款总额为4800 元，八年级同学捐款总额为5000元，八年级捐款人数比七年级多 20人，而且两个年级人均捐款额恰好相等．如果设七年级捐款人数为 x 人，那么 x 满足怎样的方程？
以上方程和我们以前所碰到的方程一样吗？有什么不一样的地方？
上面所得到的方程有什么共同特点？
总结：
2.增根
例3.解分式方程
22121--=--x
x x 解法一： 将原方程变形为11222x x x --=--- 方程两边都乘以2x - ,得：112x -=--
解这个方程，得：4x =
解法二： 将原方程变形为11222
x x x --=--- 方程两边都乘以2x - ,得：112(2)x x -=---
解这个方程，得：2x =
你认为2x =是原方程的根？与同伴交流。
3．分式方程解应用题
例4.某单位将沿街的一部分房屋出租.每间房屋的租金第二年比第一年多500元，所有房屋出租的租金第一年为9.6万元，第二年为10.2万元.
（1）你能找出这一情境的等量关系吗？
（2）根据这一情境，你能提出哪些问题？
（3）你能利用方程求出这两年每间房屋的租金各是多少吗？
例5. 某市从今年1月1日起调整居民用水价格， 每立方米水费上涨13
．小丽家去年12月份的水费是 15 元，而今7月份的水费则是30 元．已知小丽家今年7月份的用水量比去年12月份的用水量多53m ，求该市今年居民用水的价格．
二、小组展示（10分钟）
每小组口头或利用投影仪展示一道题, 一个小组展示时，其他组要积极思考，勇于挑错，谁挑出错误或提出有价值的疑问，给谁的小组加分（或奖星）
三、归纳总结
今天这节课大家有什么收获？你学到了哪些知识？
四、课堂达标检测
1．若关于的方程无解，则的值是（ ） x 1011
m x x x --=--m
A ．3
B ．2
C ．1
D ．-1
2．有两块面积相同的小麦试验田，分别收获小麦和．已知第一块试验田每公顷的产量比第二块少，若设第一块试验田每公顷的产量为，根据题意，可得方程（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 3. 方程3x 20x 1x(x 1)
+-=--的解是_________。
4.进入防汛期后，某地对河堤进行了加固．该地驻军在河堤加固的工程中出色完成了任务．这是记者与驻军工程指挥官的一段对话:
答：该地驻军原来每天加固300米．
五、学习反馈
本节课的学习过程中，你有什么感想？
9000kg 15000kg 3000kg kg x 9000150003000x x
=+9000150003000x x =-9000150003000x x =+9000150003000x x =
-
通过这段对话,请你求出该地驻军原来每天加固的米数.
参考答案
三、预习检测
1.A
2. B
3.7
4.解：由题意，得
1-x x =1132+-x ， 解得2=x ，
检验：当2=x 时（03)1)(1≠=-+x x
∴2=x 是分式方程的根.因此当2=x 时A=B.
四、课堂达标检测
1．B
2. C
3. 无解
4. 解：设原来每天加固x 米，根据题意，得 926004800600=-+x
x ． 去分母，得 1200+4200=18x （或18x =5400） 解得 300x =．
检验：当300x =时，20x ≠（或分母不等于0）． ∴300x =是原方程的解．
答：该地驻军原来每天加固300米．。