人教版高考数学理科一轮总复习配套课件9.8直线与圆锥曲线
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高三数学,一轮复习,人教A版(文), 9.8 直线与圆锥曲线, 课件 (2)
=1(a>0,b>0),
又由顶点为 (1,0)知 a=1, 所以 b= ������ 2 -������2 =1. x2-y2=1 故所求双曲线的方程为 x2-y2=1.
解析
关闭
答案
知识梳理 知识梳理 双击自测
-9-
1 2 3 4 5
2
5.已知(2,0)是双曲线 x - 2 =1 (b>0)的一个焦点,则 ������ b= .
知识梳理 知识梳理 双击自测
-4-
标准 2 − 2 =1 a b 方程 (a>0,b>0) 顶点 渐近线 性 质 离心率
x2
y2
y2 a2
− 2 =1 b (a>0,b>0) 顶点坐标 : A1(-a,0) ,A2(a,0) y=± x e= ,e∈(1,+∞),其中 c=
������ ������ ������ ������
(等轴双曲线的离心率等于 2,且渐近线互相垂直. (
)
(
)
知识梳理 知识梳理 双击自测
-6-
1 2 3 4 5
������2 − =1(a>0)的渐近线方程为3x±2y=0,则a的值为 9
(
) A.4
2 ������ 2.设双曲线 ������2
B.3
C.2
D.1
关闭
由渐近线方程可知 = , 则 a= b= ×3=2.
关闭
双曲线 x - =1 的渐近线方程为 y=±2x,双曲线 -y2=1 的渐近线方 程为 y=± x,双曲线 x2- =1 的渐近线方程为 y=± 2x,双曲线
������ 2 2 2 2 4 1 ������ 2 4 2
关闭
人教A版高中数学选修高考理科一轮复习第单元直线与圆锥曲线的位置关系课件
a
2 2
,得
a2 b2 a2
=
1 2
,
从而a2=2b2,c=b.
设椭圆的方程为x2+2y2=2b2,A(x1,y1),B(x2,y2)在 椭圆上.
则x12+2y12=2b2,x22+1 2y22=2b2,两式相减得， (x12-x22)+2(y12-y22)=2 0,
即 y1 y2 =- x1 x2 .
____相__交______；当=0时，直线与双 曲线⑤_____相__切_____；当 <0时，直
线与双曲线⑥___相__离_______.
(ⅱ)若a=0时，直线与渐近线平行，与双 曲线有⑦____一__个______交点．
(3)直线与抛物线的位置关系的判定方法：
将直线方程与抛物线方程联立，消去y(或 x)，得到一个一元方程 ax2 bx c 0 (或 ay2 by c 0 )．
2k 1 2k 2
.
直线l:y= 1 x过线段AB的中点( , x1 x2 y1 y2 ),
2
2
2
则 k
1 2k 2
=
1 2
1
2k 2 2k
(ⅰ)当a 0时，用D判定，方法同上．
(ⅱ)当a=0时，直线与抛物线的对称轴⑧ ___平__行_______，只有⑨____一__个______ 交点．
2．已知弦AB的中点，研究AB的斜率和方程
(1)M=_A__(Bb__x2_是_0ab__，22_椭_xy__0y0 _圆0__)_是____A_a_x.B22_点，的差b中yk22法AB点求k，O1M弦(则a的>b=k斜>⑪ A0B率)的的一步条骤弦是，：
2 2
,得
a2 b2 a2
=
1 2
,
从而a2=2b2,c=b.
设椭圆的方程为x2+2y2=2b2,A(x1,y1),B(x2,y2)在 椭圆上.
则x12+2y12=2b2,x22+1 2y22=2b2,两式相减得， (x12-x22)+2(y12-y22)=2 0,
即 y1 y2 =- x1 x2 .
____相__交______；当=0时，直线与双 曲线⑤_____相__切_____；当 <0时，直
线与双曲线⑥___相__离_______.
(ⅱ)若a=0时，直线与渐近线平行，与双 曲线有⑦____一__个______交点．
(3)直线与抛物线的位置关系的判定方法：
将直线方程与抛物线方程联立，消去y(或 x)，得到一个一元方程 ax2 bx c 0 (或 ay2 by c 0 )．
2k 1 2k 2
.
直线l:y= 1 x过线段AB的中点( , x1 x2 y1 y2 ),
2
2
2
则 k
1 2k 2
=
1 2
1
2k 2 2k
(ⅰ)当a 0时，用D判定，方法同上．
(ⅱ)当a=0时，直线与抛物线的对称轴⑧ ___平__行_______，只有⑨____一__个______ 交点．
2．已知弦AB的中点，研究AB的斜率和方程
(1)M=_A__(Bb__x2_是_0ab__，22_椭_xy__0y0 _圆0__)_是____A_a_x.B22_点，的差b中yk22法AB点求k，O1M弦(则a的>b=k斜>⑪ A0B率)的的一步条骤弦是，：
高考数学一轮总复习 9.8 直线与圆锥曲线精品课件 理 新人教版
16
9
+ =1
16
9
2
2
得(16m +9)x -32m(m-1)x+16m2-32m-128=0.(*)
∵Δ=322m2(m-1)2-4(16m2+9)·(16m2-32m-128)
=576(15m +2m+8)=576 15
2
1 2
+
15
+
119
15
>0,
∴方程(*)恒有实根.∴原方程组恒有解.故直线 l 与椭圆总有交点.
证法二:直线 l 的方程可化为 m(x-1)+(-y+1)=0,
故直线 l 恒过 x-1=0 和-y+1=0 的交点 A(1,1).
又点 A
2
在椭圆
16
2
+ =1
9
内部,∴直线 l 与椭圆总有交点.
答案
答案
(dá àn)
考点(kǎo diǎn)一
考点(kǎo diǎn)二
考点(kǎo diǎn)三
||
=4,从而 t=±2 13.
9
+1
4
由于±2 13∉ [-4 3,4 3],
所以符合题意的直线 l 不存在.
考点(kǎo diǎn)一
考点(kǎo diǎn)二
考点(kǎo diǎn)三
第十五页，共43页。
考点(kǎo diǎn)四
探究
(tànjiū)突
破
解法二:(1)依题意,可设椭圆 C
4
2
遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解.在椭圆 2 + 2=1
人教版高三数学(理)一轮总复习PPT课件：8-8 直线与圆锥曲线的位置关系
2 2 c 1 b2 c b 2 ∴ < 2≤3.又 e2＝ a ＝a2＝1＋a2， 3 a
4 2 3 ∴ <e2≤4，即 <e≤2，故选 A. 3 3
第9页
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数学
x2 y2 3．(2016· 高考北京卷)已知椭圆 C：a2＋b2＝1(a＞b＞0)的离 3 心率为 2 ，A(a，0) ，B(0，b)，O(0，0)，△OAB 的面积为 1. ①求椭圆 C 的方程； ②设 P 是椭圆 C 上一点，直线 PA 与 y 轴交于点 M，直线 PB 与 x 轴交于点 N. 求证：|AN|· |BM|为定值．
|BF|2－1 B. |AF|2－1 |BF|2＋1第6页
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数学
解析：选 A.由图形可知，△BCF 与△ACF 有公共的顶点 F， |BC| 且 A， B， C 三点共线， 易知△BCF 与△ACF 的面积之比就等于 . |AC| 由抛物线方程知焦点 F(1，0)，作准线 l，则 l 的方程为 x＝－1. 如图，∵点 A，B 在抛物线上，过 A，B 分别作 AK，BH 与准线垂 直，垂足分别为点 K，H，且与 y 轴分别交 于点 N，M.由抛物线定义，得|BM|＝|BF|－1， |AN|＝|AF|－1.在△CAN 中，BM∥AN， |BC| |BM| |BF|－1 ∴ ＝ ＝ . |AC| |AN| |AF|－1
第10页
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数学
3 c a＝ 2 ， 解：①由题意得1 解得 a＝2，b＝1. 2ab＝1， 2 2 2 a ＝b ＋c ， x2 2 所以椭圆 C 的方程为 4 ＋y ＝1. ②证明：由①知，A(2，0)，B(0，1)．
2 设 P(x0，y0)，则 x2 ＋ 4 y 0 0＝4.
第12页
4 2 3 ∴ <e2≤4，即 <e≤2，故选 A. 3 3
第9页
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数学
x2 y2 3．(2016· 高考北京卷)已知椭圆 C：a2＋b2＝1(a＞b＞0)的离 3 心率为 2 ，A(a，0) ，B(0，b)，O(0，0)，△OAB 的面积为 1. ①求椭圆 C 的方程； ②设 P 是椭圆 C 上一点，直线 PA 与 y 轴交于点 M，直线 PB 与 x 轴交于点 N. 求证：|AN|· |BM|为定值．
|BF|2－1 B. |AF|2－1 |BF|2＋1第6页
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数学
解析：选 A.由图形可知，△BCF 与△ACF 有公共的顶点 F， |BC| 且 A， B， C 三点共线， 易知△BCF 与△ACF 的面积之比就等于 . |AC| 由抛物线方程知焦点 F(1，0)，作准线 l，则 l 的方程为 x＝－1. 如图，∵点 A，B 在抛物线上，过 A，B 分别作 AK，BH 与准线垂 直，垂足分别为点 K，H，且与 y 轴分别交 于点 N，M.由抛物线定义，得|BM|＝|BF|－1， |AN|＝|AF|－1.在△CAN 中，BM∥AN， |BC| |BM| |BF|－1 ∴ ＝ ＝ . |AC| |AN| |AF|－1
第10页
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数学
3 c a＝ 2 ， 解：①由题意得1 解得 a＝2，b＝1. 2ab＝1， 2 2 2 a ＝b ＋c ， x2 2 所以椭圆 C 的方程为 4 ＋y ＝1. ②证明：由①知，A(2，0)，B(0，1)．
2 设 P(x0，y0)，则 x2 ＋ 4 y 0 0＝4.
第12页
人教a版高考数学(理)一轮课件：9.9直线与圆锥曲线的位置关系
第 9 讲 直线与圆锥曲线的位置关 系
考纲展示
1.了 解 圆锥 曲 线 的实际背景 , 了解 圆锥曲线在刻画 现实世界和解决 实际问题中的作 用. 2.理 解 数形 结 合 的思想. 3.了 解 圆锥 曲 线 的简单应用.
ห้องสมุดไป่ตู้
考纲解读
从近两年的高考试题来看, 直线与圆锥曲线的位置关系、弦 长、中点弦的问题等是高考的热点问题 , 题型既有选择题、 填空题, 又有解答题, 难度属中等偏高. 客观题主要考查直线与 圆锥曲线的位置关系、弦长问题,解答题考查较为全面,在考 查上述问题的同时 , 注重考查函数与方程、转化与化归、分 类讨论等思想方法.
������2 ������ 2 【解】(1)设双曲线方程为 2 − 2 =1(a>0,b>0), ������ ������
由已知得 a= 3,c=2.∴ b=1.
������2 2 故所求双曲线方程为 -y =1. 3
(2)将 y=kx+
������2 2 2代入 -y =1, 3
可得 (1-3k 2)x2-6 2kx-9=0, 由直线 l 与双曲线交于不同的两点得 1-3������ 2 ≠ 0, ������ = (-6 2k)2 + 36(1-3������ 2 ) = 36(1- ������ 2 ) > 0, 故 k2≠ 且 k 2<1.①
4 .圆锥曲线的定值、最值、存在性问题很大一部分是利用等价转化思 想求有关圆锥曲线问题中参数的取值范围,常用的处理方法有: (1)不等式(组)的知识.根据题意结合图形列出所讨论的参数适合的不 等式(组),通过解不等式(组)得出参数的变化范围; (2)转化为求函数的值域.把所讨论的参数作为一个变量,另一个适当的 参数作为自变量来表示这个变量,从而建立函数关系,再通过讨论函数的值 域求出参数的变化范围.
考纲展示
1.了 解 圆锥 曲 线 的实际背景 , 了解 圆锥曲线在刻画 现实世界和解决 实际问题中的作 用. 2.理 解 数形 结 合 的思想. 3.了 解 圆锥 曲 线 的简单应用.
ห้องสมุดไป่ตู้
考纲解读
从近两年的高考试题来看, 直线与圆锥曲线的位置关系、弦 长、中点弦的问题等是高考的热点问题 , 题型既有选择题、 填空题, 又有解答题, 难度属中等偏高. 客观题主要考查直线与 圆锥曲线的位置关系、弦长问题,解答题考查较为全面,在考 查上述问题的同时 , 注重考查函数与方程、转化与化归、分 类讨论等思想方法.
������2 ������ 2 【解】(1)设双曲线方程为 2 − 2 =1(a>0,b>0), ������ ������
由已知得 a= 3,c=2.∴ b=1.
������2 2 故所求双曲线方程为 -y =1. 3
(2)将 y=kx+
������2 2 2代入 -y =1, 3
可得 (1-3k 2)x2-6 2kx-9=0, 由直线 l 与双曲线交于不同的两点得 1-3������ 2 ≠ 0, ������ = (-6 2k)2 + 36(1-3������ 2 ) = 36(1- ������ 2 ) > 0, 故 k2≠ 且 k 2<1.①
4 .圆锥曲线的定值、最值、存在性问题很大一部分是利用等价转化思 想求有关圆锥曲线问题中参数的取值范围,常用的处理方法有: (1)不等式(组)的知识.根据题意结合图形列出所讨论的参数适合的不 等式(组),通过解不等式(组)得出参数的变化范围; (2)转化为求函数的值域.把所讨论的参数作为一个变量,另一个适当的 参数作为自变量来表示这个变量,从而建立函数关系,再通过讨论函数的值 域求出参数的变化范围.
2025年高考数学一轮复习 第九章 -第八节 直线与圆锥曲线【课件】
2
1
2
解 设的方程为 = + ,点 1 , 1 ,
面积的最大值.
1
= + ,
2
2 , 2 ,联立得൞ 2 2
整理得
+ = 1,
8
2
2
2 + 2 + 22 − 4 = 0. ∵ Δ = 42 − 8 + 16 > 0,解得 < 2，
∴ 1 + 2 = −2,1 2 = 22 − 4，则
B.若与有且仅有两个公共点,则 < 2 2
C.若 = 3 2,则上到的距离为5的点只有1个
D.若 = − 2,则上到的距离为1的点只有3个
+
2
2
= 1,则下列结论正确的
= + ,
[解析] 联立得ቐ
+
消去得 + + − = ,则判别式
2
5.已知椭圆:
4
2
+ =
3 24
1的左、右焦点分别为1 ,2 ,过2 且斜率为1的直线交椭圆于
,两点,则 =_____.
7
= − ,
[解析] 易知直线的方程为 = − ,设 , , , ,联立得ቐ
+
− − = ,则 + =
=
+ ⋅
+
,
−
⋅ = − ,所以
= .
= ,
得
02
研考点 题型突破
题型一 直线与圆锥曲线位置关系
1
2
解 设的方程为 = + ,点 1 , 1 ,
面积的最大值.
1
= + ,
2
2 , 2 ,联立得൞ 2 2
整理得
+ = 1,
8
2
2
2 + 2 + 22 − 4 = 0. ∵ Δ = 42 − 8 + 16 > 0,解得 < 2，
∴ 1 + 2 = −2,1 2 = 22 − 4，则
B.若与有且仅有两个公共点,则 < 2 2
C.若 = 3 2,则上到的距离为5的点只有1个
D.若 = − 2,则上到的距离为1的点只有3个
+
2
2
= 1,则下列结论正确的
= + ,
[解析] 联立得ቐ
+
消去得 + + − = ,则判别式
2
5.已知椭圆:
4
2
+ =
3 24
1的左、右焦点分别为1 ,2 ,过2 且斜率为1的直线交椭圆于
,两点,则 =_____.
7
= − ,
[解析] 易知直线的方程为 = − ,设 , , , ,联立得ቐ
+
− − = ,则 + =
=
+ ⋅
+
,
−
⋅ = − ,所以
= .
= ,
得
02
研考点 题型突破
题型一 直线与圆锥曲线位置关系
2025年高考数学一轮复习-第九章-直线与圆、圆锥曲线【课件】
间的距离.
卷·T15
7.回顾确定圆的几何要素,在平面直角坐标系中,探索并掌握圆的标准方程 2021年:新高考Ⅰ
与一般方程.
卷·T11
8.能根据给定直线、圆的方程,判断直线与圆、圆与圆的位置关系.
2021年:新高考Ⅱ
9.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.
卷·T11
角度 考查内容
课程标准
3.重视数学思想方法的应用 (1)解析法:用代数方法研究几何问题是本章的基本方法,一是依据条件求曲线 的方程;二是由曲线的方程,研究曲线的几何性质. (2)数形结合思想:在解决与直线的倾斜角、斜率有关的最值问题、对称问题, 与参数有关的问题,与弦的中点有关问题时,往往用到数形结合思想. (3)函数与方程思想:在求解直线、圆、椭圆、抛物线等的方程,解决参数问题、 最值问题时,经常利用函数与方程思想. (4)分类与整合思想:在解决与参数有关的问题时,往往依据解析式特点、函数 取最值的条件,或题设条件对参数进行分类讨论.
高考真题
1.了解圆锥曲线的实际背景,感受圆锥曲线在刻
平面 解析 几何
画现实世界和解决实际问题中的作用. 2.经历从具体情境中抽象出椭圆的过程,掌握椭 圆的定义、标准方程及简单几何性质. 圆锥曲线 3.了解抛物线与双曲线的定义、几何图形和标 与方程 准方程,以及它们的简单几何性质. 4.通过对圆锥曲线与方程的学习,进一步体会数 形结合的思想.
角度 考查内容
课程标准
1.题型设置:各种题型均有涉及. 命题
2.内容考查:主要考查直线和圆的位置关系及圆锥曲线的方程与性质. 趋势
3.能力考查:注重运算求解能力与逻辑推理能力的考查.
高考真题
备考策略 根据近三年新高考卷命题特点和规律,复习本章时,要注意以下几个方面: 1.全面系统复习,深刻理解知识本质 (1)概念:直线的倾斜角、斜率,直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义,两直
高考数学一轮复习直线与圆锥曲线的位置关系课件理
4．椭圆 ax2＋by2＝1 与直线 y＝1－x 交于 A、B 两点，若
过原点与线段 AB 中点的直线的倾斜角为 30°，则ab的值为( )
3
3
A. 4 B. 3
3 C. 2 D. 3
解析：设 AB 的中点为 M(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2, y2)，
由点差法得yx11－ －yx22＝－abxy00＝－1，
解析：方法 1：设以 Q 为中点的弦 AB 端点坐标为 A(x1， y1)，B(x2，y2)，则有 y12＝8x1，y22＝8x2，
两式相减，得(y1－y2)(y1＋y2)＝8(x1－x2)． 又 x1＋x2＝8，y1＋y2＝2， 则 k＝xy22－－xy11＝y1＋8 y2＝4，
∴所求直线 AB 的方程为 y－1＝4(x－4)， 即 4x－y－15＝0. 方法 2：设弦 AB 所在的直线方程为 y＝k(x－4)＋1，
由yy＝ 2＝k8xx－4＋1， 消去 x 整理，得 ky2－8y－32k＋8＝0. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由韦达定理得 y1＋y2＝8k. 又∵Q 是 AB 中点，∴y1＋2 y2＝1，
∴8k＝2，∴k＝4. ∴弦 AB 所在直线方程为 4x－y－15＝0.
点评：有关弦中点轨迹、中点弦所在直线的方程，中点坐 标的问题，有时采用“平方差”法，可优化解题方法，简化运 算．
＝2 5m＋20.
(3)设线段 AB 中点坐标为(x，y)，则 x＝x1＋2 x2＝－2， y＝y1＋2 y2＝2x1＋2 x2＝－4. ∴AB 中点坐标为(－2，－4).
题型三 圆锥曲线的中点弦问题 例 3 过点 Q(4,1)作抛物线 y2＝8x 的弦 AB，恰被 Q 所平分， 求 AB 所在直线的方程．
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关闭
-8-
3.过点(0,1)作直线,使它与抛物线 y2=4x 仅有一个公共点,这样的直线有 ( A.1 条 C.3 条 ) B.2 条 D.4 条
关闭
C
答案
-9-
4.动直线 l 的倾斜角为 60° ,若直线 l 与抛物线 x2=2py(p>0)交于 A,B 两点,若 A,B 两点的横坐标之和为 3,则抛物线的方程为 .
考点四
-13-
举一反三 1 已知中心在坐标原点 O 的椭圆 C 经过点 A(2,3),且点 F(2,0)
为其右焦点. (1)求椭圆 C 的方程; (2)是否存在平行于 OA 的直线 l,使得直线 l 与椭圆 C 有公共点,且直线
OA 与 l 的距离等于 4?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,说明理由.
2
1 + ������ 2 · |x1-x2|
或|P1P2|=
1+
1 ������
2
|y1-y2| .
(2)当斜率 k 不存在时,可求出交点坐标,直接运算(利用两点间距离公
中,
以
P(x0,y0)为中点的弦所在直线的斜率 P(x0,y0)为中点的弦所在直线的斜率
y2=2px(p>0)中,以
-6-
基础自测
������2 ������2 遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解.在椭圆 2 + 2=1 ������ ������ 2 2 2 ������ ������ ������ ������ P(x0,y0)为中点的弦所在直线的斜率 k=- 2 0 ;在双曲线 2 − 2=1 中,以 ������ ������0 ������ ������ ������ ������ k= 2 0 ;在抛物线 ������ ������0 ������ k= . ������0
1.直线 y=kx-k+1 A.相交 C.相离
������2 与椭圆 9 ������2 + =1 4
的位置关系是(
)
B.相切 D.不确定
关闭
A
答案
-7-
2.若直线 y=kx+2 与双曲线 x2-y2=6 的右支交于不同的两点,则 k 的取值范围 是( A. B. 0, C. D. D
答案
)
15 15 , 3 3 15 3 15 ,0 3 15 ,-1 3
> 0 时,直线和圆锥曲线相交于不同两点; b.Δ = 0 时,直线和圆锥曲线相切于一点; c.Δ < 0 时,直线和圆锥曲线没有公共点.
a.Δ
-4-
想一想当直线与圆锥曲线相交时,是否必有两个公共点?
答案:直线与Leabharlann 圆和双曲线相交时,必有两个公共点;直线与抛物
线相交时,则可能出现两种情况:一是有两个公共点;二是直线与抛 物线的对称轴平行时,虽然是相交,但此时却只有一个公共点.
∵ Δ=322m2(m-1)2-4(16m2+9)·(16m2-32m-128) =576(15m +2m+8)=576 15
2
������2 ������2 l:mx-y-m+1=0 与椭圆 + =1 总有交 16 9 2 2
关闭
1 2 ������ + 15
+
119 15
>0,
∴ 方程(*)恒有实根.∴ 原方程组恒有解.故直线 l 与椭圆总有交点. 证法二:直线 l 的方程可化为 m(x-1)+(-y+1)=0, 故直线 l 恒过 x-1=0 和-y+1=0 的交点 A(1,1). 又点 A
-5-
2.直线与圆锥曲线相交时的弦长问题 (1)斜率为 k(k 不为 0)的直线与圆锥曲线交于两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2),则 所得弦长|P1P2|= 式). (3)求经过圆锥曲线的焦点的弦的长度,应用圆锥曲线的定义,转化为两 个焦半径之和,往往比用弦长公式简捷. 3.圆锥曲线的中点弦问题
关闭
x = 3y
答案
2
-10-
������2 2 5.已知斜率为 1 的直线过椭圆 +y =1 的右焦点交椭圆于 A,B 两点,则弦 AB 4
的长为
.
右焦点( 3,0),直线 AB 的方程为 y=x- 3, ������ = ������- 3, 2 由 ������2 得 5 x -8 3x+8=0.设 A(x1,y1),B(x2,y2), 2 + ������ = 1
������2 在椭圆 16 ������2 + =1 9
内部,∴ 直线 l 与椭圆总有交点.
答案
考点一
考点二
考点三
考点四
-12-
方法提炼 求直线与圆锥曲线的交点时,注意用一元二次方程的判别式、 根与系数 的关系来解决.在解题时,应注意讨论二次项系数为 0 和不为 0 的两种情况.
考点一
考点二
考点三
9.8 直线与圆锥曲线
-2-
1.了解圆锥曲线的简单应用. 2.能用解析的方法来研究直线与圆锥曲线的综合问题. 3.理解数形结合思想、化归思想在解题中的应用.
-3-
1.直线与圆锥曲线的位置关系 (1)从几何角度看,可分为三类:无公共点,仅有一个公共点及有两个相 异的公共点. (2)从代数角度看,可通过将表示直线的方程代入二次曲线的方程消元 后所得一元二次方程解的情况来判断.设直线 l 的方程为 Ax+By+C=0,圆锥 曲线方程 f(x,y)=0. ������������ + ������������ + ������ = 0, 由 消元, ������(������,������) = 0 如消去 y 后得 ax2+bx+c=0. ①若 a=0,当圆锥曲线是双曲线时,直线 l 与双曲线的渐近线平行;当圆 锥曲线是抛物线时,直线 l 与抛物线的对称轴平行(或重合). ②若 a≠0,设 Δ=b2-4ac.
4
8 5
关闭
则
8 3 8 x1+x2= ,x1x2= ,|AB|= 5 5
(1
+ ������ 2 )
8 3 5
2
-4 ×
8 5
=
8 . 5
关闭
解析
答案
-11-
考点一
直线与圆锥曲线的位置关系
【例 1】 求证:不论 m 取何值,直线 ������������-������-������ + 1 = 0, ������ (������������-������+1) 2 2 证法一 : 由 消去 y 得 + =1.整理, 点. ������ ������ 16 9 + =1 16 9 2 2 得(16m +9)x -32m(m-1)x+16m2-32m-128=0.(*)
-8-
3.过点(0,1)作直线,使它与抛物线 y2=4x 仅有一个公共点,这样的直线有 ( A.1 条 C.3 条 ) B.2 条 D.4 条
关闭
C
答案
-9-
4.动直线 l 的倾斜角为 60° ,若直线 l 与抛物线 x2=2py(p>0)交于 A,B 两点,若 A,B 两点的横坐标之和为 3,则抛物线的方程为 .
考点四
-13-
举一反三 1 已知中心在坐标原点 O 的椭圆 C 经过点 A(2,3),且点 F(2,0)
为其右焦点. (1)求椭圆 C 的方程; (2)是否存在平行于 OA 的直线 l,使得直线 l 与椭圆 C 有公共点,且直线
OA 与 l 的距离等于 4?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,说明理由.
2
1 + ������ 2 · |x1-x2|
或|P1P2|=
1+
1 ������
2
|y1-y2| .
(2)当斜率 k 不存在时,可求出交点坐标,直接运算(利用两点间距离公
中,
以
P(x0,y0)为中点的弦所在直线的斜率 P(x0,y0)为中点的弦所在直线的斜率
y2=2px(p>0)中,以
-6-
基础自测
������2 ������2 遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解.在椭圆 2 + 2=1 ������ ������ 2 2 2 ������ ������ ������ ������ P(x0,y0)为中点的弦所在直线的斜率 k=- 2 0 ;在双曲线 2 − 2=1 中,以 ������ ������0 ������ ������ ������ ������ k= 2 0 ;在抛物线 ������ ������0 ������ k= . ������0
1.直线 y=kx-k+1 A.相交 C.相离
������2 与椭圆 9 ������2 + =1 4
的位置关系是(
)
B.相切 D.不确定
关闭
A
答案
-7-
2.若直线 y=kx+2 与双曲线 x2-y2=6 的右支交于不同的两点,则 k 的取值范围 是( A. B. 0, C. D. D
答案
)
15 15 , 3 3 15 3 15 ,0 3 15 ,-1 3
> 0 时,直线和圆锥曲线相交于不同两点; b.Δ = 0 时,直线和圆锥曲线相切于一点; c.Δ < 0 时,直线和圆锥曲线没有公共点.
a.Δ
-4-
想一想当直线与圆锥曲线相交时,是否必有两个公共点?
答案:直线与Leabharlann 圆和双曲线相交时,必有两个公共点;直线与抛物
线相交时,则可能出现两种情况:一是有两个公共点;二是直线与抛 物线的对称轴平行时,虽然是相交,但此时却只有一个公共点.
∵ Δ=322m2(m-1)2-4(16m2+9)·(16m2-32m-128) =576(15m +2m+8)=576 15
2
������2 ������2 l:mx-y-m+1=0 与椭圆 + =1 总有交 16 9 2 2
关闭
1 2 ������ + 15
+
119 15
>0,
∴ 方程(*)恒有实根.∴ 原方程组恒有解.故直线 l 与椭圆总有交点. 证法二:直线 l 的方程可化为 m(x-1)+(-y+1)=0, 故直线 l 恒过 x-1=0 和-y+1=0 的交点 A(1,1). 又点 A
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2.直线与圆锥曲线相交时的弦长问题 (1)斜率为 k(k 不为 0)的直线与圆锥曲线交于两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2),则 所得弦长|P1P2|= 式). (3)求经过圆锥曲线的焦点的弦的长度,应用圆锥曲线的定义,转化为两 个焦半径之和,往往比用弦长公式简捷. 3.圆锥曲线的中点弦问题
关闭
x = 3y
答案
2
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������2 2 5.已知斜率为 1 的直线过椭圆 +y =1 的右焦点交椭圆于 A,B 两点,则弦 AB 4
的长为
.
右焦点( 3,0),直线 AB 的方程为 y=x- 3, ������ = ������- 3, 2 由 ������2 得 5 x -8 3x+8=0.设 A(x1,y1),B(x2,y2), 2 + ������ = 1
������2 在椭圆 16 ������2 + =1 9
内部,∴ 直线 l 与椭圆总有交点.
答案
考点一
考点二
考点三
考点四
-12-
方法提炼 求直线与圆锥曲线的交点时,注意用一元二次方程的判别式、 根与系数 的关系来解决.在解题时,应注意讨论二次项系数为 0 和不为 0 的两种情况.
考点一
考点二
考点三
9.8 直线与圆锥曲线
-2-
1.了解圆锥曲线的简单应用. 2.能用解析的方法来研究直线与圆锥曲线的综合问题. 3.理解数形结合思想、化归思想在解题中的应用.
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1.直线与圆锥曲线的位置关系 (1)从几何角度看,可分为三类:无公共点,仅有一个公共点及有两个相 异的公共点. (2)从代数角度看,可通过将表示直线的方程代入二次曲线的方程消元 后所得一元二次方程解的情况来判断.设直线 l 的方程为 Ax+By+C=0,圆锥 曲线方程 f(x,y)=0. ������������ + ������������ + ������ = 0, 由 消元, ������(������,������) = 0 如消去 y 后得 ax2+bx+c=0. ①若 a=0,当圆锥曲线是双曲线时,直线 l 与双曲线的渐近线平行;当圆 锥曲线是抛物线时,直线 l 与抛物线的对称轴平行(或重合). ②若 a≠0,设 Δ=b2-4ac.
4
8 5
关闭
则
8 3 8 x1+x2= ,x1x2= ,|AB|= 5 5
(1
+ ������ 2 )
8 3 5
2
-4 ×
8 5
=
8 . 5
关闭
解析
答案
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考点一
直线与圆锥曲线的位置关系
【例 1】 求证:不论 m 取何值,直线 ������������-������-������ + 1 = 0, ������ (������������-������+1) 2 2 证法一 : 由 消去 y 得 + =1.整理, 点. ������ ������ 16 9 + =1 16 9 2 2 得(16m +9)x -32m(m-1)x+16m2-32m-128=0.(*)