锁定新高考新课标文科数学一轮总复习练习6.3二元一次不等式(组)与简单的线性规划(含答案详析)

A 组 基础达标（时间：30分钟 满分：50分） 若时间有限，建议选讲1，6，8一、 选择题（每小题5分，共20分）1.（2013·石家庄模拟）已知点（x ，y ）在△ABC 所包围的阴影区域内（包含边界），若B ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3，52是使得 z ＝ax －y 取得最大值的最优解，则实数a 的取值范围为（A ）A. ⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫－12，＋∞ B. [0，＋∞） C. ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－∞，－12 D. ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－12，0解析：∵直线AB 的斜率为－12，直线BC 的斜率不存在， ∴要使B ⎝⎛⎭⎪⎪⎫3，52是目标函数取得最大值的最优解，则需 a ≥－12，故选A.2.（2012·山东高考）设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y≥2，2x ＋y≤4，4x －y≥－1， 则目标函数z ＝3x －y 的取值范围是（A ）A. ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－32，6B. ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－32，－1C. [－1，6]D. ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－6，32解析：画出不等式所表示的区域如图，由z ＝3x －y 得y ＝3x －z ，平移直线y ＝3x ，由图像可知当直线经过点E （2，0）时，直线y ＝3x －z 的截距最小，此时z 最大为z ＝3x －y ＝6，当直线经过C 点时，直线截距最大，此时z 最小，由⎩⎪⎨⎪⎧4x －y ＝－1，2x ＋y ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝3，此时z ＝3x －y ＝32－3＝－32，∴z＝3x －y 的取值范围是⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－32，6，选A.3. （2013·淮南模拟）若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y≥－1，x ＋y≥1，3x －y≤3，则该不等式组表示的平面区域的面积是（C ） A. 3 B.52C. 2D. 22解析：不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y≥－1，x ＋y≥1，3x －y≤3表示的平面区域如图所示（阴影部分），易知△ABC为直角三角形，且A （0，1），B （2，3）， C （1，0），则面积为S ＝12×22×2＝2.4. （2013·湖南十校联考）设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5≤0，x －y －2≤0，x ≥0，则目标函数z ＝2x ＋3y ＋1的最大值为（B ） A. 11 B. 10 C. 9 D. 8.5解析：由约束条件可画出可行域，平移参照直线2x ＋3y ＋1＝0可知，在可行域的顶点（3，1）处，目标函数z ＝2x ＋3y ＋1取得最大值，z max ＝2×3＋3×1＋1＝10。

二、 填空题（每小题5分，共10分）5.（2013·昆明调研）已知变量x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≤0，x －y≤0，x ≥0，则2x －y 的最大值为12 Ｗ.解析：在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域及直线2x －y ＝0，平移该直线，当平移到经过该平面区域内的点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，12时，此时2x －y 取得最大值，最大值是2x －y ＝2×12－12＝12.6. （2013·广东高考）给定区域D ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y≥4，x ＋y≤4，x ≥0，令点集T ＝{（x 0，y 0）∈D|x 0，y 0∈Z ，（x 0，y 0）是z ＝x ＋y 在D 上取得最大值或最小值的点}，则T 中的点共确定 6 条不同的直线.解析： 解决本题的关键是要读懂数学语言，x 0，y 0∈Z ，说明x 0，y 0是整数，作出图形可知，△ABF 所围成的区域即为区域D ，其中A （0，1）是z 在D 上取得最小值的点，B ，C ，D ，E ，F ，是z 在D 上取得最大值的点，则T 中的点共确定AB ，AC ，AD ，AE ，AF ，BF 共6条不同的直线.三、 解答题（共20分）7. （10分）某工厂生产甲、乙两种产品，需要经过金Ⅰ和装配两个车间加工，有关数据如下表：列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域. 解析： 设共生产甲、乙两种产品各x 件和y 件，于是x ，y 满足约束条件：⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y≤480，2x ＋5y≤500，x ≥0，y ≥0，x ，y ∈N *.（6分）在直角坐标系中作出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分所示.（10分）8. （10分）某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨、B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A 原料1吨、B 原料3吨.销售每吨甲产品可获得利润5万元、销售每吨乙产品可获得利润3万元.该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13吨、B 原料不超过18吨，求该企业可获得的最大利润. 解析： 设该企业在一个生产周期内分别生产甲、乙两种产品x 吨、y 吨，所获得的利润是z 万元，则依题意有⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y≤13，2x ＋3y≤18，x ≥0，y ≥0，且z ＝5x ＋3y.（4分）在坐标平面内作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y≤13，2x ＋3y≤18，x ≥0，y ≥0表示的平面区域及直线5x ＋3y ＝0，如图，平移直线5x ＋3y ＝0，注意到当直线平移到经过该平面区域内的点（3，4）时，相应直线在x 轴上的截距最大，此时z ＝5x ＋3y 取得最大值，最大值是27.（9分）∴该企业可获得的最大利润为27万元.（10分）B 组 提优演练（时间：30分钟 满分：50分） 若时间有限，建议选讲2，4，8一、 选择题（每小题5分，共20分）1,。

（2012·全国高考）已知正三角形ABC 的顶点A （1，1），B （1，3），顶点C 在第一象限，若点（x ，y ）在△ABC 内部，则 z ＝－x ＋y 的取值范围是（A ） A. （1－3，2） B. （0，2）C. （3－1，2） D. （0，1＋3）解析：作出三角形区域如图，由图像可知当直线y ＝x ＋z 经过点B 时，截距最大，此时z ＝－1＋3＝2，当直线经过点C 时，直线截距最小.∵AB⊥x 轴，∴y C ＝1＋32＝2，三角形的边长为2，设C （x ，2），则AC ＝（x －1）2＋（2－1）2＝2，解得（x －1）2＝3，x ＝1±3，∵顶点C 在第一象限，∴x ＝1＋3，即（1＋3，2）代入直线z ＝－x ＋y 得z ＝－（1＋3）＋2＝1－3，∴z 的取值范围是（1－3，2），故选A.2. 在坐标平面内，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y≥2|x|－1，y ≤x ＋1所表示的平面区域的面积为（B ）A. 2B. 83C.223D. 2解析： 不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分，又y ＝x ＋1，y ＝2x －1的交点B 的横坐标为2，由y ＝－2x －1， y ＝x ＋1解得点C 的横坐标为－23，∴S △ABC ＝12·AD·（|x C |＋|x B |）＝12×2×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23＋2＝83.3． （2013·山东高考）在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组：⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2≥0，x ＋2y －1≥0，3x ＋y －8≤0所表示的区域上一动点，则直线OM 斜率的最小值为（C ） A. 2 B. 1 C. －13 D. －12解析： 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2≥0，x ＋2y －1≥0，3x ＋y －8≤0，所表示的区域如图所示，当点M 在直线x ＋2y－1＝0与直线3x ＋y －8＝0的交点（3，－1）处时，斜率有最小值－13.故选C.4. （2013·郑州质检）设f （x ）是定义在R 上的增函数，且对于任意的x 都有f （2－x ）＋f （x ）＝0恒成立，如果实数m ，n 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧f （m 2－6m ＋23）＋f （n 2－8n ）<0，m>3，则m 2＋n 2的取值范围是（C ） A. （3，7） B. （9，25） C. （13，49） D. （9，49） 解析： 依题意得－f （n 2－8n ）＝f （2－n 2＋8n ），于是题中的不等式组等价于⎩⎪⎨⎪⎧f （m 2－6m ＋23）<f （2－n 2＋8n ），m>3.又函数f （x ）是R 上的增函数，∴不等式组⎩⎪⎨⎪⎧f （m 2－6m ＋23）<f （2－n 2＋8n ），m>3，等价于⎩⎪⎨⎪⎧m 2－6m ＋23<2－n 2＋8n ，m>3，即⎩⎪⎨⎪⎧（m －3）2＋（n －4）2<4，m>3.注意到m 2＋n 2＝（m 2＋n 2）2可视为动点（m ，n ）与原点的距离的平方，因此问题可转化为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧（m －3）2＋（n －4）2<4，m>3表示的平面区域内的所有的点（m ，n ）与原点的距离的平方的取值范围，该不等式组表示的平面区域是如图所示的半圆及直线m ＝3所围成的区域（不含边界）.结合图像不难得知，平面区域内的所有的点与原点的距离的平方应大于原点与点（3，2）的距离的平方，应小于原点与点（3，4）的距离再加上2的和的平方，即当m>3时，m 2＋n 2的取值范围是（13，49），故选C.二、 填空题（每小题5分，共10分）5. （2013·江南十校联考）设动点P （x ，y ）在区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧x≥0，y ≥x ，x ＋y≤4 上（含边界），过点P 任意作直线l ，设直线l 与区域Ω的公共部分为线段AB ，则以AB 为直径的圆的面积的最大值为 4π .解析： 如图，区域Ω为△MON 及其内部，由于线段AB 为直线l 与区域Ω的公共部分，则|AB|的最大值为|OM|＝4. ∴以AB 为直径的圆的面积的最大值为π·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫422＝4π.6.（2013·江西七校联考）已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋2y －8≤0，x ≤3，若⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3，52是使ax －y 取得最小值的唯一的可行解，则实数a 的取值范围为 ⎝⎛⎭⎪⎪－∞，－12 Ｗ. 解析： 记z ＝ax －y ，注意到当x ＝0时，y ＝－z ，即直线 z ＝ax －y 在y 轴上的截距是－z.在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，如图所示，结合图形可知，满足题意的实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎪⎫－∞，－12.三、 解答题（共20分）7. （10分）（2013·广东联考）2012年9月19日《汕头日报》报道：汕头市西部生态新城启动建设，由金平区招商引资共30亿元建设若干个项目.现有某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%.该投资人计划投资金额不超过10亿元，为确保可能的资金亏损不超过1.8亿元，问：该投资人对甲、乙两个项目各投资多少亿元，才能使可能的盈利最大？解析： 设该投资人对甲、乙两个项目分别投资x 亿元、y 亿元，可能的盈利为z 亿元，则z ＝x ＋12y . 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≤10，310x ＋110y≤1.8，x ≥0，y ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≤10，3x ＋y≤18，x ≥0，y ≥0，（3分） 作出可行域如图阴影部分所示，作出直线l 0：x ＋12y ＝0. 作l 0的一组平行线l ：y ＝－2x ＋2z ，当直线过直线x ＋y －10＝0与直线3x ＋y －18＝0的交点A 时直线在 y 轴上的截距2z 最大，此时z 最大，（6分）解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －10＝0，3x ＋y －18＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝6，∴A （4，6）， ∴z max ＝4＋12×6＝7.（9分） 故投资人对甲项目投资4亿元、对乙项目投资6亿元，才能使可能的盈利最大.（10分）8. （10分）甲、乙两公司生产同一种商品，但由于设备陈旧，需要更新.经测算，对于函数f （x ），g （x ）及任意的x≥0，当甲公司投入x 万元改造设备时，若乙公司投入改造设备费用小于f （x ）万元，则乙有倒闭的风险，否则无倒闭的风险；同样，当乙公司投入x 万元改造设备时，若甲公司投入改造设备费用小于g （x ）万元，则甲有倒闭的风险，否则无倒闭的风险.（1）请解释f （0），g （0）的实际意义；（2）设f （x ）＝x ＋5，g （x ）＝12x ＋10，甲、乙两公司为了避免恶性竞争，经过协商同意在双方均无倒闭风险的情况下尽可能减少改造设备资金.问此时甲、乙两公司各投入多少万元？解析： （1）f （0）表示当甲不投入资金改造设备，乙要避免倒闭，至少要投入f （0）万元的资金；（2分）g （0）表示当乙不投入资金改造设备，甲要避免倒闭，至少要投入 g （0）万元的资金.（4分）（2）设甲公司投入的资金为x 万元，乙公司投入的资金为 y 万元，两公司的总投入为z 万元.由题意，甲、乙两公司均无倒闭风险，需⎩⎪⎨⎪⎧y≥x＋5，x ≥12y ＋10，x ≥0，y ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧y≥x＋5，y ≤2x －20，x ≥0，y ≥0， （7分）目标函数为z ＝x ＋y.不等式组所表示的平面区域如图所示.由图可知当经过点A 时，两公司投入资金最少.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋5，y ＝2x －20，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝25，y ＝30，故A （25，30）.（9分） 故在双方均无倒闭风险的情况下，甲公司至少投入25万元，乙公司至少投入30万元.（10分）。