第17讲勾股定理之最短路径实际应用预习班讲义
人教版数学八年级下册第十七章勾股定理勾股定理的应用立体图形中的最短路程问题说课稿
为了激发学生的学习兴趣和动机，我将采取以下策略或活动：1.通过引入生活中的实际问题，让学生感受到勾股定理在现实生活中的应用，提高他们的学习兴趣；2.设计丰富的课堂活动，如小组讨论、动手操作等，让学生在实践中掌握知识，提高他们的学习积极性；3.设置合理的挑战性任务，激发学生的求知欲和竞争意识，推动他们主动学习；4.注重对学生的表扬和鼓励，让他们在学习中感受到成就和自信，增强他们的学习动力。
（三）互动方式
在教学过程中，我将设计以下师生互动和生生互动环节：1.提问与解答：教师提出问题，学生思考并回答，激发学生的思维和表达能力；2.小组讨论：学生分组讨论问题，共同探究解决方案，培养学生的团队合作和沟通能力；3.成果分享：各小组展示讨论成果，其他学生和教师进行评价和反馈，提高学生的交流和评价能力；4.实践操作：学生动手操作教具或数学软件，验证理论知识，培养学生的实践能力。通过这些互动方式，激发学生的学习兴趣，提高他们的参与度和合作意识。
（二）学习障碍
在学习本节课之前，学生需要具备勾股定理的基础知识，以及立体图形的认识和理解。他们可能存在的障碍主要有：1.对勾股定理的理解不够深入，无法灵活运用到立体图形中最短路程问题的解决上；2.对于立体图形的空间想象能力不足，难以理解和计算复杂立体图形的最短路程；3.在解决实际问题时，缺乏有效的策略和方法，无法将理论知识与实际问题有效结合。
（三）巩固练习
为了帮助学生巩固所学知识并提升应用能力，我计划设计以下巩固练习和实践活动：1.针对本节课的主要知识点，我会设计一些填空题、选择题和答题，让学生在练习中巩固所学知识；2.我会组织学生进行小组讨论，让他们共同解决一些实际问题，如在立体图形中寻找最短路程等；3.我还会让学生利用数学软件或在线工具，如GeoGebra、Desmos等，自己动手操作，验证理论知识，培养他们的实践能力。
人教版八年级数学下册17.1勾股定理的应用-最短路径问题(教案)
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与最短路径相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。比如通过直尺和三角板在纸上绘制直角三角形，并实际测量勾股定理的应用。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-核心内容：勾股定理的应用，特别是解决最短路径问题。
-重点讲解：
-勾股定理的推导过程及其证明。
-勾股定理在直角三角形中的具体应用，特别是求解最短路径问题。
-通过实际案例，让学生理解勾股定理在实际生活中的重要性。
-举例解释：以直角三角形ABC为例，假设a、b为直角边，c为斜边，讲解如何利用勾股定理（a²+b²=c²）求解斜边长。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了勾股定理的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对最短路径问题的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
同学们，今天我们将要学习的是《勾股定理的应用-最短路径问题》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要找两点之间最短距离的情况？”比如从家到学校的最近路线。这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索最短路径问题的奥秘。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
2024八年级数学下册第十七章勾股定理17.1勾股定理第2课时应用勾股定理解实际问题课件新版新人教版
【解】(1)如图，过点A作AE⊥CD于点E，
则∠AEC＝∠AED＝90°.
∵∠ACD＝60°，∴∠CAE＝90°－60°＝30°.
∴CE＝ AC＝
DE＝
km.∴AE＝
km，
km.
∴AE＝DE.∴△ADE是等腰直角三角形.∴AD＝
＋ ＝ ＝ AE＝ ×
度为x尺，则可列方程为( D )
A.x2－3＝(10－x)2
B.x2－32＝(10－x)2
C.x2＋3＝(10－x)2
D.x2＋32＝(10－x)2
【点拨】
如图，已知折断处离地面的高度为x尺，即AC＝x尺，
则AB＝(10－x)尺，BC＝3尺.在Rt△ABC中，AC2＋BC2＝
AB2，即x2＋32＝(10－x)2.故选D.
2.[2023·岳阳 新考向·传承数学文化]我国古代数学名著《九章
算术》中有这样一道题：“今有圆材，径二尺五寸，欲为
方版，令厚七寸，问广几何？”结合如图，其大意是：今
有圆形材质，直径BD为25寸，要做成方形板材，使其厚
度CD达到7寸，则BC的长是( C )
A. 寸
B.25寸
C.24寸
D.7寸
选B.
4.如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙
时，梯子底端到左墙脚的距离为0.7 m，顶端距离地面2.4
m.如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶
端距离地面2 m，那么小巷的宽度为( C )
A.0.7 m
B.1.5 m
C.2.2 m
D.2.4 m
【点拨】
如图，BC＝2.4 m，AC＝0.7 m，DE＝
17.1勾股定理的应用最短路径问题(教案)
在今天的教学中，我重点关注了勾股定理在实际问题中的应用，尤其是最短路径问题的求解。通过这节课的教学，我发现以下几点值得反思：
1.学生对勾股定理的理解程度。在授课过程中，我发现部分学生对勾股定理的理解还不够深入，导致在实际问题中不知如何运用。针对这个问题，我需要在今后的教学中加强对勾股定理原理的讲解，让学生真正理解并掌握这个定理。
4.学生参与度。在课堂教学中，我注意到部分学生的参与度不高，可能是因为他们对课程内容不感兴趣或跟不上教学进度。为了提高学生的参与度，我需要关注每一个学生，及时了解他们的需求和困惑，调整教学节奏和策略。
5.课堂氛围的营造。在今天的教学中，课堂氛围较为活跃，学生们积极讨论、互动。我认为这是一个好的现象，说明学生们对课程内容感兴趣。在今后的教学中，我需要继续保持这种氛围，让学生在轻松愉快的氛围中学习。
17.1勾股定理的应用最短路径问题（教案）
一、教学内容
本节课选自教材第十七章第一节，主要围绕勾股定理的应用——最短路径问题展开。内容包括：
1.勾股定理的复习与巩固：引导学生回顾勾股定理的内容及其证明，理解直角三角形边长之间的数量关系。
2.最短路径问题引入：通过实际生活中的例子（如城市规划、园林设计等），引出最短路径问题，激发学生兴趣。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解勾股定理的基本概念。勾股定理是指在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。它是解决最短路径问题的关键工具，广泛应用于建筑、工程等领域。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了如何利用勾股定理在实际中找到两点之间的最短路径，以及它如何帮助我们解决问题。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调勾股定理的运用和最短路径问题的求解方法这两个重点。对于难点部分，我会通过具体例题和图示来帮助大家理解。
第十七章勾股定理在最短路径中的应用
开放周校课程公开课最短路径中的勾股定理星期二 19 4月日开课时间：2016年开课地点：龙岩初级中学主考办公室开课人：郭小蔚开课班级：八年级（ 10 ）班一、教学目标 1、知识与技能体验最短路径中的勾股定理的应用过程，会运用勾股定理解决简单最短路径相关问题。
、过程与方法2通过最短路径中勾股定理的学习，能够比较熟练地用转化思想、方程思想、数形结合等多种数,使复杂问题简单化以数解形，将数量关系和空间形式巧妙结合, 学思想分析解决问题，以形助数，，能分析图象，从图象中提取有用信息，进一步提高分析能力、归纳能力与数形结抽象问题具体化合能力。
、情感、态度与价值观3在分析探索中，让学生体验掌握知识的快乐与体验成功的喜悦，感受数学之美，探究之趣，进一步提高学生的数学学习积极性。
二、教学重点解题过程中，正确地把握数学思想方法利用勾股定理解决最短路径的三、教学难点转化思想，数形结合等思想的渗透与领悟，三、教学方法探究，领悟四、复习过程：（一）旧知引入，复习回顾：上一PAC是母线是底面圆的直径，高BCBC=6cm，点，如图圆柱的底面周长为6cm，2的最短距离是P圆柱．一只蚂蚁从A点出发沿着体的表面爬行到点点，且PC=BC3）（635cm cm?（4） D．．．．A B5cm C 7cm?1，B=6cPC师生共同分析：先画出圆柱的侧面展开图，根据B3的长中，根据勾股定理求APA6=4c，R3解：侧面展开图如图所示， 6cm，∵圆柱的底面周长为′=3cm∴AC，2 BCPC∵′=′，32×6=4cmPC′=，∴3在Rt△ACP中，+CP，AP=AC2243?．=5∴AP= B．故选、3dm222′如图是一个三级台阶，练习一：它的每一级的长、宽、高分别为20dm、B处有一只蚂蚁，想到点2dm．A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A 处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为 dm．转化思想，由立体图形转化为平面图形，曲线转化为直线。
人教版八年级数学下册 勾股定理之最短路径问题 讲义
最短路径问题解题技巧：先把立体图形展开成平面图形，再根据两点之间线段最短来解决问题例1、如图，厨房里有一个圆柱体的糖罐，底面周长为20cm，高AB为4cm，BC是上底面的直径．一只饥饿的蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C偷糖吃，试求出爬行的最短路程1、如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm。
A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为_________dm．2、如图所示，无盖玻璃容器，高18cm，底面周长为60cm，在外侧距下底1cm的点C处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的容器的上口外侧距开口1cm的F处有一苍蝇，试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线的长度.3、如图，A、B两个小城镇在河流CD同侧，分别到河的距离为AC=10千米，BD=30千米，且CD=30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A、B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万元(1)请你在河流CD上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最节约？(2)求出总费用是多少？课后作业1、在直角三角形ABC中，斜边AB=1，则AB2+BC2+AC2的值是（）A.2B.4C.6D.82、在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，则点C到AB的距离是（）A．B．C．D．3、如图所示，一根旗杆于离地面12m处断裂，犹如装有铰链那样倒向地面，旗杆顶落于离旗杆地步16m，旗杆在断裂之前高为______m4、如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（-6,0）、（0,8）。
以点A为圆心，AB的长为半径画弧，交x正半轴于点C，则点C的坐标为___________5、如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，∠B=60°，∠C=45°。
（1）求∠BAC的度数。
（2）若AC=2，求AD的长。
6、如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=2，点D在BC上，∠ADC=2∠B，AD=5，则BC=________7、如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，EC平分∠BED。
人教版八年级数学下册第十七章勾股定理求最短路径问题优秀教学案例
4.教师针对学生的评价结果，调整教学策略，为下一节课的教学做好准备。
本章节的教学策略立足于情景创设、问题导向、小组合作和反思与评价四个方面，旨在全面提高学生的知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观。在教学过程中，教师应关注学生的个体差异，灵活运用教学策略，让每个学生在课堂中都能得到充分的发展。
3.培养学生关爱生活、关注社会的情怀，使学生认识到数学与生活的紧密联系。
4.培养学生诚实守信、团结协作的品质，提高学生的人际沟通能力。
本章节的教学目标立足于知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观三个维度，全面培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，提高学生的综合素质。在教学过程中，教师应关注学生的个体差异，因材施教，使每个学生都能在原有基础上得到提高和发展。
二、教学目标
（一）知识与技能
1.让学生掌握勾股定理的证明方法及其应用，能运用勾股定理解决简单的实际问题。
2.引导学生了解最短路径问题的背景，掌握利用勾股定理求解最短路径的方法，并能应用于实际情境。
3.培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，提高学生的逻辑思维能力和创新思维能力。
（二）过程与方法
1.通过情境创设、问题引导，让学生经历探索、发现、总结的过程，培养学生的自主学习能力和合作学习能力。
2.运用讨论、探究、实践等教学方法，引导学生动手操作、动脑思考，提高学生解决问题的能力。
3.注重培养学生团队协作能力和沟通能力，让学生在讨论和合作中发现问题、分析问题、解决问题。
（三）情感态度与价值观
1.激发学生对数学学科的兴趣，培养学生积极的学习态度，树立学生自信心。
2.培养学生勇于挑战、克服困难的意志，让学生体验到成功的喜悦。
八年级数学下册第十七章勾股定理17.1勾股定理第2课时勾股定理在实际生活中的应用7
第十七章勾股定理
在八年级上册中，我们曾经通过画图得到结论：斜边和一条直角边分别相等的两个直角
两点间的距离.
上任意两点
处放上了点儿火腿肠粒，你
的西8km北7km 处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家．他要完成这件事情所走的最短路程是多
求直线同侧的两点到直线上一点所连线段的和的最短路径的方法：先找到其中一点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一点的线段就是最短路径长，以连接对称点与另一个点的线段为斜边，构造出直角三角形，再运用勾股定理求最短路径.
第1题图第2题图
如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是
的长度可能是（）
A.9cm
B.12cm
C.15cm
D.18cm
10cm和6cm，A和B是。
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勾股定理之最短路程、实际应用（讲义）一、知识点睛
蚂蚁爬最短路问题处理思路
（1）展开；
（2）找点；
（3）连线，利用勾股定理进行计算．
二、精讲精练
1.有这样一个有趣的问题：如图所示，圆柱的高等于12cm，底
面半径等于3cm．在圆柱的下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A相对的B点的食物，需要沿圆柱的侧面爬行的最短路程是多少？（π取整数3）
2.如图，一根藤蔓一晚上生长的长度是沿树干爬一圈后由点A
上升到点B，已知AB=5cm，树干的直径为4cm．你能计算出藤蔓一晚上生长的最短长度吗？（π取整数3）．
3.如图，一只蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B
点，那么它所爬行的最短路线的长是______．
4.如图，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，BC=5cm，
一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行
的最短距离是多少？
5.如图所示，有一根高为2m的木柱，它的底面周长为0.3m，为了
营造喜庆的气氛，老师要求小明将一根彩带从柱底向柱顶均匀地缠绕7圈，一直缠到起点的正上方为止．问：小明至少需要准备一根多长的彩带？
6.如图，一个三级台阶的每一级的长、宽、高分别为20dm，3dm，2dm，A和
B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点的最短路程是________．
7.如图，某隧道的截面是一个半径为3.6米的半圆形，一辆高
3.2米，宽3米的卡车能通过该隧道吗？
8.一辆卡车装满货物后，高4米，宽2.8米．这辆卡车能通过横
截面如图所示（上方是一个半圆）的隧道吗？3.6
米
9.在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，“引葭(jiā)赴岸”：
今有池方一丈，葭生其中央．出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面．请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？
10.如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆
孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（）
A．12≤a≤13 B．12≤a≤15
C．5≤a≤12 D．5≤a≤13
第10题图第11题图
11.如图，将一根24cm长的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水
杯中，设筷子露在杯子外面的长度为h cm，则h的取值范围是（）
A．h≤17 B．h≥8
C．15≤h≤16 D．7≤h≤16
12.小明家住在18层的高楼上，一天，他与妈妈去买竹竿，如果电梯的长、宽、
高分别是1.6米、1.2米、2.1米，那么能放入电梯内的竹竿的最大长度是多少米？
1.2米1.6米
2.1米
13.一架梯子长2.5米，如图斜靠在一面墙上，梯子底端离墙0.7
米．如果梯子的顶端下滑了0.4米，那么梯子的底部在水平方向也滑动了0.4米吗？为什么？
三、回顾与思考
________________________________________________________ ________________________________________________________ ________________________________________________________
【参考答案】
1．15cm 2．13cm 3．10 4．25cm
5．2.9m 6．25dm 7．卡车能通过隧道
8．卡车能通过隧道9．深度：12尺；长度：13尺
10．A 11．D 12．2.9米
13．不是；理由略．
勾股定理之最短路程、实际应用（随堂测试）
1.有一圆柱体高为10cm，底面圆的半径为4cm．在AA1上有一个蜘蛛Q，
QA=3cm；在BB1上有一只苍蝇P，
P取整数3）
1
A
第1题图第2题图
2.如图，将一根长为24cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱
形水杯中．设筷子露在杯子外面的长为h
cm，则h的取值范围是_________．3.已知一辆装满货物的卡车高为3.0米，宽为1.6米，该卡车能否通过如图所
示的工厂厂门（上方为半圆），请说明理由．
【参考答案】
1．13cm 2．11≤h≤12 3．不能通过，理由略
勾股定理之最短路程、实际应用（作业）
14.在一次课外实践中，王强想知道学校旗杆的高，但不能爬上旗杆也不能把绳
子解下来，可是他发现旗杆上的绳子垂到地面上还多1m，当他把绳子的下端拉开5m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为（）
A．13m B．12m C．4m D．10m
15.如图，一根长为2.5米的梯子AB斜靠在垂直于地面的墙上，这时梯子的底
端B离开墙根为0.7米，如果梯子的底端向外（远离墙根方向）移动0.8米至D处，则梯子的顶端将沿墙向下移动（）
A．0.8米B．0.7米C．0.4米D．0.3米
D
C
B
A
第2题图第3题图
16.如图，一个三级台阶的每一级的长、宽、高分别为50cm，30cm，10cm，A
和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只壁虎，它想到B点去吃可口的食物，请你想一想，这只壁虎从A点出发，沿着台阶面爬到B点，爬行的最短路线长为（）
A．13cm B．40cm C．130cm D．169cm
17.小明家新装修房子，其中有一段楼梯需要铺上地毯，楼梯高6米，斜面长为
10米，到底该买多长的地毯才能恰好把楼梯铺满呢（原则：铺满楼梯但不能浪费），小明爸妈也摸不着头脑．则小明给爸妈的正确答案
是．
18.如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花
圃内走出了一条“路”．他们仅仅少走了_______步路（假设2步路为1米），却踩伤了花草．
第5题图第6题图
19.如图，长方体的长、宽、高分别为4cm，2cm，5cm．若一只蚂蚁从P点开
始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为
_________cm．
20.如图，为了庆祝“五一”，学校准备在教学大厅的圆柱体柱子上贴彩带，已
知柱子的底面周长为1m，高为3m．如果要求彩带从柱子底端的A处均匀地绕柱子4圈后到达柱子顶端的B处（线段AB与地面垂直），那么应购买彩带的长度至少为___________．
第7题图第8题图
21.如图所示的一只玻璃杯，高为8cm，将一根筷子插入其中，杯外最长4cm，
最短2cm，那么这只玻璃杯的内径是____cm．
22.11世纪的一位阿拉伯数学家曾提出一个“鸟儿捉鱼”的问题：“小溪边长着
两棵棕榈树，恰好隔岸相望．一棵树高30肘尺（肘尺是古代的长度单位），另外一棵树高20肘尺；两棵棕榈树的树干间的距离是50肘尺．每棵树的树顶上都停着一只鸟．忽然，两只鸟同时看见棕榈树间的水面上游出一条鱼，它们立刻飞去抓鱼，并且同时到达目标．则这条鱼出现的地方离比较高的棕榈树的距离为__________．
23.如图，圆柱的底面周长为16cm，AC是底面圆的直径，高
BC=9cm，点P是母线BC上一点，且PC
2
3
BC．一只蚂蚁
从A点出发沿着圆柱体的侧面爬行到点P的最短距离是
多少？
24.如图，在△ABC中，AB=41cm，BC=18cm，BC边上的中线
AD=40cm．△ABC是等腰三角形吗？为什么？
【参考答案】
1．B 2．C 3．C 4．14米
5．8 6．13 7．5m 8．6
9．20肘尺10．10cm 11．是；理由略
A
B C。