最短路问题实验
最短路问题案例(short-path problem)
三、Dijkstra算法演示：
5.选取顶点
U=V\S={A(22), B (13)}
l(B)=13, l(B)=l(C)+W(C,B)
6.选取顶点
U=V\S={A(22)}
l(A)=22, l(A)=l(F)+W(F,A)
三、Dijkstra算法演示：
1. 初始时， S只包含起点s ； U包含除s外的其他顶 点，且U中顶点的距离为“起点s到该顶点的距离”[例. U中顶点v的距离为d(s,v)，然而s与v不相邻，故为inf]。
2. 从U中选出“距离最短的顶点w”，并将顶点w 加入到S 中；同时，从U中移除顶点w 。
3. 更新U中各个顶点到起点s的距离。 由于上一步中 确定了w是求出最短路径的顶点，从而可以利用w来更新 其他顶点的距离。[例. (s,v)的距离大于(s,w) + (w,v)]。
l(E)=4, l(E)<l(C)+W(C,E); l(F)=9, l(F)=l(C)+W(C,F)
三、Dijkstra算法演示：
3.选取顶点 U=V\S={A(inf), B (13), F(6), G (12)}
l( )=6, l(F)=l(E)+W(E,F)
4.选取顶点 U=V\S={A(22), B (13), G(12)}
4. 重复步骤2和3，直到遍历完所有顶点。
三、Dijkstra算法演示：
1.选取顶点 U=V\S={A(inf), B (inf), C (3), E (4), F (inf), G (inf)}
2.选取顶点 U=V\S={A(inf), B (13), E (4), F (9), G (inf)}
3第三章最短路问题
现在我们就来构造一个图G，它的顶点就是这10 种情况，G中的边是按照下述原则来连的；如果情况 甲经过一次渡河可以变成情况乙，那么就在情况甲与 乙之间连一条边.
MWSV MWS MWV WSV MS
WV
W
S
V
Ø
例如，MWSV经过一次渡河可以变成WV(人带着羊 过河，左岸留下狼和白菜)，又例如MWV经过一次渡河 可以变为W(人带着白菜过河，留下狼)，或变为V.当 然反过来，W也可以变为MWV(人带着白菜从右岸返回 左岸).
§3.2 求最短有向路的标号法
这一节介绍一种求有向图上最短有向路的方法 ，叫做标号法。
所谓标号,我们是指与图的每一个顶点对应的一个 数(或几个数)．例如设G=(V,A)的顶点集合是V={v1,v2, …,vn}，如果我们能使v1对应一个数b(1)，v2对应数 b(2)，…，vn对应数b(n)，那么，这些数b(i)就称为vi的 标号，当然，在不同的问题中，标号b(i)一般代表不同 的意义.
从上面的简单比较久可以看出，为什么说计算 次数是n的多项式的方法是有效的，而计算次数是 n的指数函数的方法是无效的.另外，也可以看出， 单靠提高计算机的速度还不够，还必须从数学上寻 求有效的计算方法.
现在再回过头来看看标号法好不好.回想一下标 号法的各轮计算，可以看出，它只包含两种运算： 加法与比较大小(比较大小也需要花费时间，所以 也要考虑).加法用于计算k(i,j)，每计算一个k(i,j)进 行一次加法，而且每一条弧最多只计算一次.因此, 如果图中有m条弧，那么至多进行m次加法.对于一 个有n个顶点的简单有向图来说，最多有n(n-1)条 弧(假设从每一个顶点vi出发，都有n-1条弧指向其 他的n-1个顶点)，因此，最多进行n(n-1)次加法， 放宽一点，也可以说，至多进行n2次加法.
最短路问题(整理版)
最短路问题(short-path problem)若网络中的每条边都有一个权值值(长度、成本、时间等)，则找出两节点(通常是源节点与结束点)之间总权和最小的路径就是最短路问题。
最短路问题是网络理论解决的典型问题之一，可用来解决管路铺设、线路安装、厂区布局和设备更新等实际问题。
最短路问题，我们通常归属为三类：单源最短路径问题（确定起点或确定终点的最短路径问题）、确定起点终点的最短路径问题（两节点之间的最短路径）1、Dijkstra算法：用邻接矩阵a表示带权有向图，d为从v0出发到图上其余各顶点可能达到的最短路径长度值，以v0为起点做一次dijkstra，便可以求出从结点v0到其他结点的最短路径长度代码：procedure dijkstra（v0：longint）；//v0为起点做一次dijkstrabegin//a数组是邻接矩阵，a[i,j]表示i到j的距离，无边就为maxlongintfor i:=1 to n do d[i]:=a[v0,i];//初始化d数组（用于记录从v0到结点i的最短路径）， fillchar(visit,sizeof(visit),false);//每个结点都未被连接到路径里visit[v0]:=true;//已经连接v0结点for i:=1 to n-1 do//剩下n-1个节点未加入路径里；beginmin:=maxlongint;//初始化minfor j:=1 to n do//找从v0开始到目前为止，哪个结点作为下一个连接起点（*可优化） if (not visit[j]) and (min>d[j]) then//结点k要未被连接进去且最小begin min:=d[j];k:=j;end;visit[k]:=true;//连接进去for j:=1 to n do//刷新数组d，通过k来更新到达未连接进去的节点最小值，if (not visit[j]) and (d[j]>d[k]+a[k,j]) then d[j]:=a[k,j]+d[k];end;writeln(d[n]);//结点v0到结点n的最短路。
数学网络分析最短路和最大流问题
得到网络上一个新的可行流f’。
(5) 擦除图上所有标号，重复(1)-(4)步，直到图中找不到任何 增广链，计算结束。
网络的最大流
例6.10 用标号算法求下图中s→t的最大流量，并找出最小割。
v1 8(7)
5(4)
s
9(3) 2(0)
v3 5(4)
6(1)
t●
7(5) v2
10(8)
9(9)
v4
网络的最大流
8 ⑥ 16 24
⑧ 18
2
13 3
6
2
④
8 10
2
6 12
⑦
6
18 24
所有点都已标号，点上的标号就是v1到该点的最短距离，最短
路线就是红色的链。
最短距离的矩阵算法
网络图的矩阵表示
v1 d11 d1i d1n
v2
d
21
B
vi
d
i1
d 2i
d ii
d
2
n
d in
dij表示i点到j点 两相邻点间的 距离，若i和j点 不相邻，则
从s点出发，找出与s点相邻的所有的点，记为点集V1，取vr， s.t.， L sr=mvii V n 1{sL s+ ，ds则} i 将r点标注，并将Lsr的值标注在 r点旁的小方框内。
从已标注的点出发，找出与这些点相邻的所有未标注的点 记为点集V2，取vt ，s.t.，L s= t m v i V i 2 { n sL + sd s;i L s+ rd r} i ，则 将t点标注，并将Lst的值标注在t点旁的小方框内。
f ( v i,v j) f ( v j,v i) 0 ( i s ,t )
管理运筹学 第7章 最短路实例
8
§4 最大流问题
• 最大流问题：给一个带收发点的网络，其每条弧的赋权称之为容量， 在不超过每条弧的容量的前提下，求出从发点到收点的最大流量。 一、最大流的数学模型 例6 某石油公司拥有一个管道网络，使用这个网络可以把石油从采地 运送到一些销售点，这个网络的一部分如下图所示。由于管道的直径 的变化，它的各段管道（vi,vj）的流量cij（容量）也是不一样的。cij的 单位为万加仑/小时。如果使用这个网络系统从采地 v1向销地 v7运送石 油，问每小时能运送多少加仑石油？
2 0 0
2 0 2 1
3 v6 4
3 01
2
v7
3 5
3 1 v4
第五次迭代：选择路为v1 v2 v3 v5 v7 。弧（ v2 , v3 ）的顺流容 量为2，决定了pf=2，改进的网络流量图如下图：
1 v2 0 5 2 3 0 0 2 3 v5 2 0 0 0
管 理 运 筹 学
15
20
v1 1
3
(a)
图11-12
管 理 运
(b)
筹 学
(c)
5
§3 最小生成树问题
一、求解最小生成树的破圈算法 算法的步骤：
1、在给定的赋权的连通图上任找一个圈。
2、在所找的圈中去掉一个权数最大的边（如果有两条或两条 以上的边都是权数最大的边，则任意去掉其中一条）。
3、如果所余下的图已不包含圈，则计算结束，所余下的图即 为最小生成树，否则返回第1步。
§2 最短路问题
例 设备更新问题。某公司使用一台设备，在每年年初，公司就要 决定是购买新的设备还是继续使用旧设备。如果购置新设备，就要支 付一定的购置费，当然新设备的维修费用就低。如果继续使用旧设备， 可以省去购置费，但维修费用就高了。请设计一个五年之内的更新设 备的计划，使得五年内购置费用和维修费用总的支付费用最小。 已知：设备每年年初的价格表
最短路问题实际案例
最短路问题实际案例最短路问题是指在图中找出两个顶点之间的最短路径的问题，其中图可以是有向图或无向图，并且每条边可以有权重。
这个问题是在许多实际案例中都会遇到的。
以下是几个实际案例，其中涉及到最短路问题：1. 导航系统：导航系统是最常见的利用最短路问题的实例。
当用户输入起点和终点时，导航系统会计算出最短路径，并显示给用户。
这个过程中，导航系统需要考虑路程的时间或距离，同时还需要考虑道路的限速和交通情况等因素。
2. 物流配送：物流配送涉及到从一个地点到另一个地点的最短路径。
物流公司需要计算出从货物的起始点到目标点的最短路径，以最快速度将货物送达目的地。
在这个问题中，可能还会有其他限制条件，如运输工具的载重量、路段的通行能力等。
3. 电信网络：电信网络是一个复杂的网络，其中存在着许多节点和边，每个节点代表一个通信设备，边代表设备之间的通信连接。
在设计电信网络时，需要考虑到从一个节点到另一个节点的最短路径，以最小化通信的时延。
这个问题中，还会有其他因素，如网络拓扑的复杂性、网络流量的负载均衡等。
4. 交通规划：交通规划涉及到城市道路网络的设计和优化。
在设计城市交通规划时，需要考虑到不同节点之间的最短路径，以便在城市中建设高效的道路系统。
这个问题中，需要考虑到人口分布、交通流量、环境因素等复杂变量。
5. 谷歌地图：谷歌地图是一种广泛使用最短路径算法的应用。
当用户在谷歌地图上搜索起点和终点时，谷歌地图会计算出最短路径，并给出导航指引。
这个过程中，谷歌地图需要考虑到道路的限速、交通情况和实时路况等因素。
综上所述，最短路问题在许多实际案例中都有应用。
无论是导航系统、物流配送、电信网络、交通规划还是谷歌地图等，都需要计算出最短路径以满足需求。
因此，研究和解决最短路问题在实际应用中具有重要意义。
最短路问题(第一次作业)史晓康 29
作业：1、某公司在六个城市621,,,c c c 中有分公司，从i c 到j c 的直接航程票价记在下述矩阵的),(j i 位置上。
（∞表示无直接航路），请帮助该公司设计一张城市1c 到其它城市间的票价最便宜的路线图。
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∞∞∞∞∞∞055252510550102025251001020402010015252015050102540500 解：clear,clcw=[ 0 50 inf 40 25 10 50 0 15 20 inf 25 inf 15 0 10 20 inf 40 20 10 0 10 25 25 inf 20 10 0 55 10 25 inf 25 55 0 ]; v0=1;dijkstra(w,v0)起点为第1个顶点，终点为第1个顶点的最短路径为1; 路径长度为0起点为第1个顶点，终点为第2个顶点的最短路径为1 6 2; 路径长度为35起点为第1个顶点，终点为第3个顶点的最短路径为1 5 3; 路径长度为45起点为第1个顶点，终点为第4个顶点的最短路径为1 6 4; 路径长度为35起点为第1个顶点，终点为第5个顶点的最短路径为1 5; 路径长度为25起点为第1个顶点，终点为第6个顶点的最短路径为1 6; 路径长度为10>>2、求下图中第一节点到其它节点的最短距离，并用矩阵表示。
------------------------------------------------------------------------ 参考例题：求v1到其余各点的最短路径。
vvv v24783 10946解：赋权矩阵为：调用附件中dijkstra算法程序，可以得到如下结果：计算过程为：建立一个main1.m文件，输入一下matlab语句：clear,clcw=[0 3 inf inf inf inf inf3 0 2 inf 18 2.5 infinf 2 0 6 2 inf infinf inf 6 0 3 inf infinf 18 2 3 0 4 infinf 2.5 inf inf 4 0 1.5inf inf inf inf inf 1.5 0 ]v0=1;dijkstra(w,v0)然后保存并运行。
短路的原理和应用实验
短路的原理和应用实验1. 短路的原理短路是指电路中两个节点之间的电阻变为零，导致电流在这两个节点之间完全短接的现象。
在理想情况下，短路将导致电流无限增大，电压下降到零。
短路可以是意外发生的，也可以是故意制造的，我们将通过实验来探讨短路的原理和应用。
短路的原理可以简单地解释为以下几点：•在一个电路中，电流会流经电阻最小的路径，当存在短路时，电流会选择通过短路路径，而不会通过其他电阻较大的路径。
•短路会导致电路中电阻的电压降为零，因为短路的存在使得电流不经过该电阻。
•短路会导致电流增大，因为电流只能通过电阻较小的路径，电路总电阻变小，根据欧姆定律，电流增大。
2. 短路的应用实验2.1 实验材料和器材准备为了进行短路的应用实验，我们需要准备以下材料和器材：•直流电源•电阻（多个不同阻值的电阻）•导线•电流表•电压表•万用表2.2 实验步骤以下是短路的应用实验的步骤：1.将直流电源连接好，并打开电源开关。
2.将电阻按照一定的顺序连接在电路中，可以选择不同阻值的电阻。
3.使用导线连接电路的节点。
4.使用电流表和电压表测量电路中的电流和电压。
5.记录测量结果，并观察短路对电路的影响。
2.3 实验结果和观察通过实验可以得到以下结果和观察：•当电路中存在短路时，电流表的读数急剧增大，电压表的读数降为零。
•电路中其他电阻的电流减小，因为电流更多地通过短路路径流过。
•短路使得电路中的电阻总阻值变小，根据欧姆定律，电流增大。
2.4 实验讨论通过对实验结果的观察和分析，我们可以得出以下结论：•短路会导致电路中电流的变化，其影响与电路的拓扑结构和电阻的阻值有关。
•短路可以用来测试电路的稳定性和安全性，当电路设计存在缺陷或短路时，可能会导致电路过负荷、短路、发热等问题。
•短路可以用来观察电路中电流和电压的变化，以进一步理解电路的工作原理和特性。
3. 总结短路是指电路中两个节点之间的电阻变为零，导致电流在这两个节点之间完全短接的现象。