2016版高考数学(新课标全国卷Ⅱ·理科)二轮复习配套课件专题二 三角函数与平面向量第3讲
2016高考数学新课标版二轮复习课件：专题3 第2讲 解三角形
(1)求 sin∠BAD; 解:(1)在△ADC 中,因为 cos∠ADC= 1 ,
7 所以 sin∠ADC= 4 3 .
7 所以 sin∠BAD=sin(∠ADC-∠B)=sin∠ADCcos∠B-cos∠ADCsin∠B =4 3 ×1 -1 × 3 =3 3.
=49. 所以 AC=7.
第十八页，编辑于星期六：点 三十六分。
二轮·数学
热点二 三角恒等变换与解三角形的综合
【例2】 已知△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,a2+b2=6abcos C,且 sin2C=2sin Asin B. (1)求角C的值; 解:(1)因为 a2+b2=6abcos C, 由余弦定理知 a2+b2=c2+2abcos C,所以 cos C= c2 ,
二轮·数学
2.(2011 新课标全国卷,理 16)在△ABC 中,B=60°,AC= 3 ,则 AB+2BC 的最
大值为
.
解析:设 AB=c,BC=a,AC=b,则由正弦定理得 c = b ,c=2sin C.
sin C sin B
同理 a=2sin A,
所以 AB+2BC=2sin C+4sin A=2sin( 2π -A)+4sin A 3
2AC AD 故由题设知,cos ∠CAD= 7 1 4 = 2 7 .
27 7
第十三页，编辑于星期六：点 三十六分。
二轮·数学
(2)若 cos ∠BAD=- 7 ,sin ∠CBA= 21 ,求 BC 的长.
14
6
解：(2)设∠BAC=α,则α=∠BAD-∠CAD.
2016届高考数学第二轮复习课件2
解析
→ ＝MC → ＋CN → (1)MN
1→ 1→ ＝3AC＋2CB 1→ 1 → → ＝3AC＋2(AB－AC) 1→ 1→ ＝2AB－6AC， 1 1 ∴x＝2，y＝－6.
1 → → → → (2)由题意可得AB· AD＝|AB|· |AD|cos 120° ＝2×2×－2＝－2， 件 设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， (1)若 a∥b⇔a＝λb(λ≠0)；a∥b⇔x1y2－x2y1＝0. (2)若 a⊥b⇔a· b＝0；a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0. 3．平面向量的性质 (1)若 a＝(x，y)，则|a|＝ a· a＝ x2＋y2. (2)若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
解析
2
(1)如图所示，由题意，得 BC＝a，CD＝a，∠BCD＝120° .
2 2 2 2
BD ＝BC ＋CD －2BC· CD· cos 120° ＝a ＋a ∴BD＝ 3a. → → → ∴BD· CD＝|BD|· 3 3 2 → 2 |CD|cos 30° ＝ 3a × ＝ a . 2 2
1 －2a· a×－2＝3a2，
1 (2)设 D，E 分别是△ABC 的边 AB，BC 上的点，AD＝2AB， 2 → → → BE＝3BC.若DE＝λ1AB＋λ2AC(λ1， λ2 为实数)， 则 λ1＋λ2 的值为 ________．
→ ＝3CD → ，∴AC → －AB → ＝3(AD → －AC → )， 解析 (1)∵BC → －AB → ＝3AD →， 即 4AC 1→ 4→ → ∴AD＝－3AB＋3AC. → → → 1→ (2)如图，DE＝DB＋BE＝2AB＋ 2→ 1→ 2 → → 1→ 2→ 1 2 则 λ1＝－6， λ2＝3， λ1＋λ2 3BC＝2AB＋3(AC－AB)＝－6AB＋3AC， 1 ＝ . 2 1 答案 (1)A (2) 2
2016届高考理科数学二轮复习与增分策略课件(全国通用)：专题三 三角函数 解三角形与平面向量 第2讲
跟踪演练 1
(1)(2015· 重庆)若 tan α＝2tan
3π cosα－10 π 则 等 5， π α － sin 5
于(
)
A.1 C.3
B.2 D.4
解析
π 3π 3π π cosα－10 sin2＋α－10 sinα＋5 ＝ ＝ π π π sinα－5 sinα－5 sinα－5
tan 45°等；
(2)项的分拆与角的配凑：如sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α) ＋cos2α，α＝(α－β)＋β等； (3) 降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式 降次； (4)弦、切互化：一般是切化弦.
例1
π 4 3 π (1)已知 sin(α＋3)＋sin α＝－ 5 ，－2<α<0，则 cos(α ) 3 B.－5 4 C.5 3 D.5
解析 如图所示，在△ABC中，
2 3 4 由正弦定理得sin 60° ＝sin B，解得 sin B＝1，
1 1 所以 B＝90° ，所以 S△ABC＝2×AB×2 3＝2× 42－2 32 ×2 3＝2 3.
1 2 3 4
3.(2015· 重庆)在△ABC 中，B＝120° ，AB＝ 2，A 的角平分 线 AD＝ 3，则 AC＝________.
答案 6
1 2 3 4
4.(2014· 江苏)若△ABC 的内角满足 sin A＋ 2sin B＝2sin C， 则 cos C 的最小值是________.
解析 由 sin A＋ 2sin B＝2sin C，
结合正弦定理得 a＋ 2b＝2c.
2016届高考数学(浙江专用理科)二轮专题精练专题二三角函数平面向量2-2Word版含解析
第2讲三角恒等变换与解三角形(建议用时：60分钟)一、选择题1．(2015·新课标全国Ⅰ卷)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝()．A．－32 B.32C．－12 D.12解析sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin 30°＝1 2.答案 D2．(2015·烟台二模)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝1，B＝45°，S△ABC＝2，则b等于()．A．5 B．25 C.41 D．5 2解析∵S＝12ac sin B＝2，∴12×1×c×sin 45°＝2.∴c＝4 2.∴b2＝a2＋c2－2ac cos B＝1＋32－2×1×42×cos 45°. ∴b2＝25，b＝5.答案 A3．(2013·浙江卷)已知α∈R，sin α＋2cos α＝102，则tan 2α等于()．A.43 B.34C．－34D．－43解析∵sin α＋2cos α＝10 2，∴sin2α＋4sin α·cos α＋4cos2α＝5 2.化简，得4sin 2α＝－3cos 2α，∴tan 2α＝sin 2αcos 2α＝－34.答案 C4．(2015·北京东城区期末)在△ABC中，A，B，C为内角且sin A cos A＝sin B cos B，则△ABC是()．A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形解析由sin A cos A＝sin B cos B得sin 2A＝sin 2B＝sin(π－2B)，所以2A＝2B或2A＝π－2B，即A＝B或A＋B＝π2，所以△ABC为等腰或直角三角形．答案 D5．在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b.若2a sin B＝3b，则角A 等于()．A.π2 B.π6 C.π4 D.π3解析在△ABC中，利用正弦定理得2sin A sin B＝3sin B，∴sin A＝3 2.又A为锐角，∴A＝π3.答案 D6．已知tan β＝43，sin(α＋β)＝513，其中α，β∈(0，π)，则sin α的值为()．A.6365 B.3365C.1365 D.6365或3365解析 依题意得sin β＝45，cos β＝35；注意到sin(α＋β)＝513<sin β，因此有α＋β>π2(否则，若α＋β≤π2，则有0<β<α＋β≤π2，0<sin β<sin(α＋β)，这与“sin(α＋β)<sin β”矛盾)，则cos(α＋β)＝－1213，sin α＝sin[(α＋β)－β]＝sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β＝6365. 答案 A7．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知8b ＝5c ，C ＝2B ，则cos C 等于( )．A.725 B ．－725 C ．±725 D.2425解析 先用正弦定理求出角B 的余弦值，再求解． 由b sin B ＝csin C ，且8b ＝5c ，C ＝2B ， 所以5c sin 2B ＝8c sin B ，所以cos B ＝45. 所以cos C ＝cos 2B ＝2cos 2 B －1＝725. 答案 A 二、填空题8．(2015·天津卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知 △ABC 的面积为315，b －c ＝2，cos A ＝－14，则a 的值为________． 解析 ∵cos A ＝－14，0＜A ＜π， ∴sin A ＝154，S △ABC ＝12bc sin A ＝12bc ×154＝315， ∴bc ＝24，又b －c ＝2，∴b 2－2bc ＋c 2＝4，b 2＋c 2＝52，由余弦定理得，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝52－2×24×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝64，∴a ＝8.答案 89．在△ABC 中，∠ABC ＝π4，AB ＝2，BC ＝3，则sin ∠BAC ＝________. 解析 在△ABC 中，由余弦定理得AC 2＝BA 2＋BC 2－2BA ·BC cos ∠ABC ＝(2)2＋32－2×2×3cos π4＝5.∴AC ＝5，由正弦定理得sin ∠BAC ＝BC ·sin ∠ABCAC＝3×sin π45＝3×225＝31010. 答案3101010．(2015·北京卷)在△ABC 中，a ＝4，b ＝5，c ＝6，则sin 2Asin C ＝________. 解析 由余弦定理：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝25＋36－162×5×6＝34，∴sin A ＝74，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝16＋25－362×4×5＝18，∴sin C ＝378， ∴sin 2A sin C ＝2×34×74378＝1.答案 111．若α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝32，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝－12，则cos (α＋β)＝________.解析 ∵α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴－π4<α－β2<π2，－π2<α2－β<π4，由cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－β2＝32和sin⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝－12得α－β2＝±π6，α2－β＝－π6，当α－β2＝－π6，α2－β＝－π6时，α＋β＝0，与α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2矛盾；当α－β2＝π6，α2－β＝－π6时，α＝β＝π3，此时cos (α＋β)＝－12. 答案 －1212．(2014·四川卷改编)如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60 m ，则河流的宽度BC ＝________m.解析 如图，在△ACD 中，∠CAD ＝90°－30°＝60°，AD ＝60 m ，所以CD ＝AD ·tan 60°＝603(m)．在△ABD 中，∠BAD ＝90°－75°＝15°，所以BD ＝AD · tan 15°＝60(2－3)(m)．所以BC ＝CD －BD ＝603－60(2－3)＝120(3－1)(m)．答案 120(3－1) 三、解答题13．已知函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(其中ω＞0，x ∈R )的最小正周期为10π.(1)求ω的值；(2)设α，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5α＋53π＝－65，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5β－56π＝1617，求cos(α＋β)的值． 解 (1)由题意知f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6的最小正周期T ＝10π＝2πω，则ω＝15.(2)由(1)知f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫15x ＋π6，又α，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5α＋5π3＝－65，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5β－5π6＝1617，即cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝－35，cos β＝817，∴sin α＝35，cos α＝45，sin β＝1517， ∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝45×817－35×1517＝－1385.14．(2015·江苏卷)在△ABC中，已知AB＝2，AC＝3，A＝60°.(1)求BC的长；(2)求sin 2C的值．解(1)由余弦定理知，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos A＝4＋9－2×2×3×1 2＝7，所以BC＝7.(2)由正弦定理知，ABsin C＝BCsin A，所以sin C＝ABBC·sin A＝2sin 60°7＝217.因为AB＜BC，所以C为锐角，则cos C＝1－sin2C＝1－37＝277.因此sin 2C＝2sin C·cos C＝2×217×277＝437.15．(2015·陕西卷)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.向量m＝(a，3b)与n＝(cos A，sin B)平行．(1)求A；(2)若a＝7，b＝2，求△ABC的面积．解(1)因为m∥n，所以a sin B－3b cos A＝0，由正弦定理，得sin A sin B－3sin B cos A＝0，又sin B≠0，从而tan A＝3，由于0＜A＜π，所以A＝π3.(2)法一由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bc cos A，而a＝7，b＝2，A＝π3，得7＝4＋c2－2c，即c2－2c－3＝0，因为c＞0，所以c＝3，故△ABC 的面积为S ＝12bc sin A ＝332. 法二 由正弦定理，得7sin π3＝2sin B ， 从而sin B ＝217， 又由a ＞b ，知A ＞B ， 所以cos B ＝277，故sin C ＝sin(A ＋B )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π3＝sin B cos π3＋cos B sin π3＝32114. 所以△ABC 的面积为S ＝12ab sin C ＝332.。
【配套K12】2016高考数学二轮复习 专题2 三角函数、三角变换、解三角形、平面向量 专题综合检测
专题综合检测（二）（时间：120分钟，满分：150分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝33，则cos 2α＝（A ） A.－53 B.－59 C.59 D.53解析：sin α＋cos α＝33， 两边平方可得1＋sin 2α＝13⇒sin 2α＝－23，∵α是第二象限角，因此sin α＞0，cos α＜0， 所以cos α－sin α＝－（cos α－sin α）2＝－1＋23＝－153. ∴cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝（cos α＋sin α）（cos α－sin α）＝－53.2.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知8b ＝5c ，C ＝2B ，则cos C ＝（A ）A.725 B.－725 C.±725 D.2425解析：∵8b ＝5c ，由正弦定理得8sin B ＝5sin C . 又∵C ＝2B ，∴8sin B ＝5sin 2B .所以8sin B ＝10sin B cos B .易知sin B ≠0， ∴cos B ＝45，cos C ＝cos 2B ＝2cos 2B －1＝725.3.函数y ＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4－1是（A ）A.最小正周期为π的奇函数B.最小正周期为π的偶函数C.最小正周期为π2的奇函数D.最小正周期为π2的偶函数解析：因为y ＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4－1＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＝sin 2x 为奇函数，T ＝2π2＝π.故选A.4.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝ 3，b ＝ 2，B ＝45°，则A ＝（D ）A.30°B.30°或105°C.60°D.60°或120°5. （2014·安徽卷）若将函数f （x ）＝sin 2x ＋cos 2x 的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y 轴对称，则φ的最小正值是（C ）A.π8 B.π4 C.3π8 D.3π4解析：由题意f （x ）＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，将其图象向右平移φ个单位，得2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2（x －φ）＋π4＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x －2φ＋π4，要使图象关于y 轴对称，则π4－2φ＝π2＋k π，解得φ＝－π8－k π2，当k ＝－1时，φ取最小正值3π8.故选C.6.（2015·新课标Ⅰ卷）已知点A （0，1），B （3，2），向量AC →＝（－4，－3），则向量BC →＝（A ）A.（－7，－4）B.（7，4）C.（－1，4）D.（1，4）解析：解法一 设C （x ，y ），则AC →＝（x ，y －1）＝（－4，－3）， 所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝－2，从而BC →＝（－4，－2）－（3，2）＝（－7，－4）.故选A.解法二 AB →＝（3，2）－（0，1）＝（3，1），BC →＝AC →－AB →＝（－4，－3）－（3，1）＝（－7，－4）.故选A.7.在△ABC 中，a ，b ，c 分别为三个内角A ，B ，C 所对的边，设向量m ＝（b －c ，c －a ），n ＝（b ，c ＋a ），若向量m ⊥n ，则角A 的大小为（B ）A.π6 B.π3 C.π2 D.2π3解析：∵m ＝（b －c ，c －a ），n ＝（b ，c ＋a ）且m ⊥n ，∴m·n ＝（b －c ，c －a ）·（b ，c ＋a ）＝b （b －c ）＋c 2－a 2＝0，即b 2＋c 2－a 2＝bc ，又∵cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12，0＜A ＜π，∴A ＝π3.8.设0≤x ＜2π，且 1－sin 2x ＝sin x －cos x ，则x 的取值范围是（B ）A.0≤x ≤πB.π4≤x ≤5π4C.π4≤x ≤7π4D.π2≤x ≤3π29.（2015·新课标Ⅰ卷）设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →，则（A ） A.AD →＝－13AB →＋43AC → B.AD →＝13AB →－43AC →C.AD →＝43AB →＋13AC →D.AD →＝43AB →－13AC →解析：AD →＝AC →＋CD →＝AC →＋13BC →＝AC →＋13（AC →－AB →）＝43AC →－13AB →＝－13AB →＋43AC →.故选A.10.（2015·新课标Ⅰ卷）已知M （x 0，y 0）是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点.若MF 1→·MF 2→＜0，则y 0的取值范围是（A ）A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－36，36 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－223，223 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，233解析：由题意知a ＝2，b ＝1，c ＝3，∴ F 1（－3，0），F 2（3，0），∴ MF 1→＝（－3－x 0，－y 0），MF 2→＝（3－x 0，－y 0）.∵ MF 1→·MF 2→＜0， ∴ （－3－x 0）（3－x 0）＋y 20＜0，即x 20－3＋y 20＜0. ∵ 点M （x 0，y 0）在双曲线上， ∴ x 202－y 20＝1，即x 20＝2＋2y 20，∴ 2＋2y 20－3＋y 20＜0，∴ －33＜y 0＜33.故选A.11.已知tan α＝－35，则cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝（A ）A.1617B.1517C.917D.81712.若向量a 、b 满足|a |＝|b |＝1，且（a ＋b ）·b ＝12，向量a 、b 的夹角为（B ）A.π3 B.2π3 C.π6 D.5π6二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填在题中横线上） 13.设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若（a ＋b －c ）（a ＋b ＋c ）＝ab ，则角C ＝ Ｗ.解析：由（a ＋b －c ）（a ＋b ＋c ）＝ab ⇒a 2＋b 2－c 2＝－ab ，根据余弦定理可得 cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12⇒C ＝2π3. 答案：2π314.（2015·新课标Ⅱ卷）设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝ Ｗ.解析：∵ λa ＋b 与a ＋2b 平行，∴ λa ＋b ＝t （a ＋2b ），即λa ＋b ＝ta ＋2tb ，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝t ，1＝2t ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝12，t ＝12.答案：1215.当函数y ＝sin x －3cos x （0≤x ＜2π）取得最大值时，x ＝ Ｗ.解析：y ＝sin x －3cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3，0≤x ＜2π⇒－π3≤x －π3＜5π3，可知－2≤2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3≤2.当且仅当x －π3＝π2时，即x ＝5π6时取得最大值.答案：5π616.（2014·江苏卷）若△ABC 的内角满足sin A ＋2sin B ＝2sin C ，则cos C 的最小值是 Ｗ.解析：由已知sin A ＋2sin B ＝2sin C 及正弦定理可得a ＋2b ＝2c ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝a 2＋b 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋2b 222ab＝3a 2＋2b 2－22ab 8ab≥26ab －22ab8ab＝6－24，当且仅当3a 2＝2b 2即a b ＝23时等号成立. 答案：6－24三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.（10分）（2015·茂名一模）设锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝2b sin A .（1）求角B 的大小；（2）若a ＝33，c ＝5，求△ABC 的面积及b . 解析：（1）∵a ＝2b sin A ，由正弦定理得sin A ＝2sin B sin A ，由于sin A ≠0，故有sin B ＝12，又∵B 是锐角，∴B ＝30°. （2）依题意得：S △ABC ＝12ac sin 30°＝12×33×5×12＝1534，∴由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B 可得b 2＝（33）2＋52－2×33×5×cos 30°＝27＋25－45＝7，∴b ＝7.18.（12分）（2015·安徽卷）已知函数f （x ）＝（sin x ＋cos x ）2＋cos 2x . （1）求f （x ）最小正周期；（2）求f （x ）在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值.分析：（1）化简可得f （x ）＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1，即可求出f （x ）的最小正周期T ＝2π|2|＝π；（2）∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，1，即可求出最值.解析：（1）∵f （x ）＝（sin x ＋cos x ）2＋cos 2x ＝1＋sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1，∴f （x ）最小正周期T ＝2π|2|＝π.（2）∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π4，∴sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，1， ∴f （x ）max ＝1＋2，f （x ）min ＝0.19.（14分）函数f （x ）＝6cos2ωx2＋3cos ωx －3（ω＞0）在一个周期内的图象如图所示，A 为图象的最高点，B ，C 为图象与x 轴的交点，且△ABC 为正三角形.（1）求ω的值及函数f （x ）的值域；（2）若f （x 0）＝835，且x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－103，23，求f （x 0＋1）的值.解析：（1）由已知可得：f （x ）＝6cos 2ωx2＋3cos ωx －3＝3cos ωx ＋ 3sin ωx ＝23sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3（ω＞0）.又由于正三角形ABC 的高为23，则BC ＝4，所以，函数f （x ）的周期T ＝4×2＝8， 即2πω＝8，得ω＝π4. 所以，函数f （x ）的值域为[－23，2 3 ]. （2）因为f （x 0）＝835，由（1）有f （x 0）＝23sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 04＋π3＝835，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 04＋π3＝45.由x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－103，23，得⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 04＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，所以，即cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 04＋π3＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝35. 故f （x 0＋1）＝23sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 04＋π4＋π3＝23sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 04＋π3＋π4 ＝23⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 04＋π3cos π4＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 04＋π3sin π4＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫45×22＋35×22＝765.20.（12分）在△ABC 中，已知AB →·AC →＝3BA →·BC →. （1）求证：tan B ＝3tan A ； （2）若cos C ＝55，求A 的值. 解析：（1）∵AB →·AC →＝3BA →·BC →，∴AB ·AC ·cos A ＝3BA ·BC ·cos B ，即AC ·cos A ＝3BC ·cos B .由正弦定理，得AC sin B ＝BCsin A， ∴sin B ·cos A ＝3sin A ·cos B .又∵0＜A ＋B ＜π，∴cos A ＞0，cos B ＞0. ∴sin B cos B ＝3·sin Acos A，即tan B ＝3tan A . （2）∵cos C ＝55，0＜C ＜π， ∴sin C ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫552＝255.∴tan C ＝2.∴tan[π－（A ＋B ）]＝2， 即tan （A ＋B ）＝－2. ∴tan A ＋tan B1－tan A ·tan B＝－2.由 （1），得4tan A1－3tan 2A ＝－2， 解得tan A ＝1或tan A ＝－13.∵cos A ＞0，∴tan A ＝1.∴A ＝π4.21.（12分）（2015·福建卷）已知函数f （x ）＝103sin x 2·cos x2＋10cos 2x2.（1）求函数f （x ）的最小正周期；（2）将函数f （x ）的图象向右平移π6个单位长度，再向下平移a （a ＞0）个单位长度后得到函数g （x ）的图象，且函数g （x ）的最大值为2.①求函数g （x ）的解析式；②证明：存在无穷多个互不相同的正整数x 0，使得g （x 0）＞0.分析：（1）首先利用证明二倍角公式和余弦降幂公式将f （x ）化为f （x ）＝10sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋5，然后利用T ＝2π|ω|求周期；（2）由函数f （x ）的解析式中给x 减π6，再将所得解析式整体减去a 得g （x ）的解析式为g （x ）＝10sin x ＋5－a ，当sin x 取1时，g （x ）取最大值10＋5－a ，列方程求得a ＝13，从而g （x ）的解析式可求；欲证明存在无穷多个互不相同的正整数x 0，使得g （x 0）＞0，可解不等式g （x 0）＞0，只需解集的长度大于1，此时解集中一定含有整数，由周期性可得，必存在无穷多个互不相同的正整数x 0.解析：（1）因为f （x ）＝103sin x 2cos x2＋10cos 2x2＝53sin ＋5cos x ＋5＝10sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋5.所以f （x ）函数的最小正周期T ＝2π.（2）①将f （x ）的图象向右平移π6个单位长度后得到y ＝100sin x ＋5的图象，再向下平移a （a ＞0）个单位长度后得到g （x ）＝10sin x ＋5－a 的图象.又已知函数g （x ）的最大值为2，所以10＋5－a ＝2，解得a ＝13. 所以g （x ）＝10sin x －8.②要证明存在无穷多个互不相同的正整数x 0，使得g （x 0）＞0，就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数x 0，使得10sin x 0－8＞0，即sin x 0＞45.由45＜32知，存在0＜α0＜π3，使得sin α0＝45.由正弦函数的性质可知，当x ∈（α0，π－α0）时，均有sin x ＞45.因为y ＝sin x 的周期为2π，所以当x ∈（2k π＋α0，2k π＋π－α0）（k ∈Z）时，均有sin x ＞45.因为对任意的整数k ，（2k π＋π－α0）－（2k π＋α0）＝π－2α0＞π3＞1，所以对任意的正整数k ，都存在正整数x k ∈（2k π＋α0，2k π＋π－α0），使得sin x k ＞45.亦即存在无穷多个互不相同的正整数x 0，使得g （x 0）＞0.22.（12分）已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos x 2，1，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x2，1（x ∈R ），设函数f （x ）＝m·n－1.（1）求函数f （x ）的值域；（2）已知锐角三角形ABC 的三个内角分别为A ，B ，C ，若f （A ）＝513，f （B ）＝35，求f （C ）的值.解析：（1）f （x ）＝m·n －1＝⎝⎛⎭⎪⎫2cos x 2，1·⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x 2，1－1＝2cos x 2sin x2＋1－1＝sinx .∵x ∈R ，∴函数f （x ）的值域为[－1，1]. （2）∵f （A ）＝513，f （B ）＝35，∴sin A ＝513，sin B ＝35.∵A ，B 都为锐角，∴cos A ＝1－sin 2A ＝1213，cos B ＝1－sin 2B ＝45.∴f （C ）＝sin C ＝sin []π－（A ＋B ） ＝sin （A ＋B ）＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝513×45＋1213×35 ＝5665. ∴f （C ）的值为5665.。
2016届高考数学(理)(新课标)二轮专题复习课件：第二部分 专题4 不等式向量解三角形
＝4 时取等号，所以 4≤|PC|＝ m－32＋4，解得 m≥3＋2 3或 m≤3－2 3，与①取交集可得实数 m 的取值范围是[3＋2 3，3＋ 2 7)∪(3－2 7，3－2 3]．
【答案】 [3＋2 3，3＋2 7)∪(3－2 7，3－2 3]
【对点练 2】 (1)(2015· 南昌二模)已知 x>0，y>0，x＋3y＋xy ＝9，则 x＋3y 的最小值为( A．2 C．6 B．4 D．8 )
第二部分 讲重点•小题专练
第4讲 不等式、向量、解三角形
热点调研
调研一 不等式
【典例 1】 (不等式的性质与解法) (1)(2015· 安徽合肥质检)已知△ABC 的三边长分别为 a，b，c c 且满足 b＋c≤3a，则 的取值范围为( a A．(1，＋∞) C．(1,3) )
B．(0,2) D．(0,3)
5．要记住几个常见的有关不等式恒成立的等价命题． (1)a>f(x)恒成立⇔a>f(x)max； (2)a<f(x)恒成立⇔a<f(x)min； (3)a>f(x)有解⇔a>f(x)min； (4)a<f(x)有解⇔a<f(x)max.
调研二 向量
【典例 3】 (平行与垂直) (1)(2015· 金华十校联考)已知向量 m＝(λ－1,1)，n＝(λ－2,2)， 若 m∥n，则 λ＝________，此时|n|＝________；若(m＋n)⊥(m －n)，则 λ＝________.
【答案】 B
(4)(2015· 浙江嘉兴)已知
2 x －2，x≤0， f(x)＝ 3x－2，x>0，
若|f(x)|≥ax 在
x∈[－1,1]上恒成立，则实数 a 的取值范围是________．
[推荐学习]新(浙江专用)2016高考数学二轮专题突破 专题二 三角函数、解三角形与平面向量 第2讲
第2讲 三角变换与解三角形1．(2013·浙江)已知α∈R ，sin α＋2cos α＝102，则tan 2α等于( ) A.43 B.34 C ．－34D ．－432．(2015·重庆)若tan α＝13，tan(α＋β)＝12，则tan β等于( )A.17 B.16 C.57D 563．(2014·福建)在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝4，BC ＝23，则△ABC 的面积等于________． 4．(2014·江苏)若△ABC 的内角满足sin A ＋2sin B ＝2sin C ，则cos C 的最小值是________．正弦定理和余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，主要考查：1.边和角的计算；2.三角形形状的判断；3.面积的计算；4.有关的范围问题.由于此内容应用性较强，与实际问题结合起来进行命题将是今后高考的一个关注点，不可轻视.热点一 三角恒等变换 1．三角求值“三大类型”“给角求值”、“给值求值”、“给值求角”． 2．三角函数恒等变换“四大策略”(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin 2θ＋cos 2θ＝tan 45°等；(2)项的分拆与角的配凑：如sin 2α＋2cos 2α＝(sin 2α＋cos 2α)＋cos 2α，α＝(α－β)＋β等；(3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次；(4)弦、切互化：一般是切化弦．例1 (1)已知sin(α＋π3)＋sin α＝－435，－π2<α<0，则cos(α＋2π3)等于( )A ．－45B ．－35C.45D.35(2)(2014·课标全国Ⅰ)设α∈(0，π2)，β∈(0，π2)，且tan α＝1＋sin βcos β，则( )A ．3α－β＝π2B ．2α－β＝π2C ．3α＋β＝π2D ．2α＋β＝π2思维升华 (1)三角变换的关键在于对两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式，三角恒等变换公式的熟记和灵活应用，要善于观察各个角之间的联系，发现题目所给条件与恒等变换公式的联系，公式的使用过程要注意正确性，要特别注意公式中的符号和函数名的变换，防止出现张冠李戴的情况．(2)求角问题要注意角的范围，要根据已知条件将所求角的范围尽量缩小，避免产生增解．跟踪演练1 (1)(2015·重庆)若tan α＝2tan π5，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4(2)3cos 10°－1sin 170°等于( ) A ．4 B ．2 C ．－2D ．－4热点二 正弦定理、余弦定理(1)正弦定理：在△ABC 中，a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R (R 为△ABC 的外接圆半径)．变形：a＝2R sin A ，sin A ＝a2R ，a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C 等．(2)余弦定理：在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ；变形：b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc.例2 (2015·课标全国Ⅱ)如图，在△ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，△ABD 面积是△ADC 面积的2倍． (1)求sin B sin C ；(2)若AD ＝1，DC ＝22，求BD 和AC 的长．思维升华 关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正弦、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，这是使问题获得解决的突破口．跟踪演练2 (1)(2015·课标全国Ⅰ)在平面四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝75°，BC ＝2，则AB 的取值范围是________．(2)(2014·江西)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是( ) A ．3 B.932C.332D ．3 3热点三 解三角形与三角函数的综合问题解三角形与三角函数的综合是近几年高考的热点，主要考查三角形的基本量，三角形的面积或判断三角形的形状．例3 (2015·山东)设f (x )＝sin x cos x －cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4.(1)求f (x )的单调区间；(2)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝0，a ＝1，求△ABC 面积的最大值．思维升华 解三角形与三角函数的综合题，要优先考虑角的范围和角之间的关系；对最值或范围问题，可以转化为三角函数的值域来求．跟踪演练3 已知函数f (x )＝2cos x 2(3cos x 2－sin x2)，在△ABC 中，有f (A )＝3＋1.(1)若a 2－c 2＝b 2－mbc ，求实数m 的值； (2)若a ＝1，求△ABC 面积的最大值．1．在△ABC 中，BC ＝1，B ＝π3，△ABC 的面积S ＝3，则sin C 等于( ) A.1313B.35C.45D.239132．已知函数f (x )＝3sin ωx ·cos ωx －cos 2ωx (ω>0)的最小正周期为2π3.(1)求ω的值；(2)在△ABC 中，sin B ，sin A ，sin C 成等比数列，求此时f (A )的值域．提醒：完成作业 专题二 第2讲二轮专题强化练专题二第2讲 三角变换与解三角形A 组 专题通关1．已知α∈(π2，π)，sin(α＋π4)＝35，则cos α等于( )A ．－210B.7210C ．－210或7210D ．－72102．已知函数f (x )＝4sin(x 3＋π6)，f (3α＋π)＝165，f (3β＋5π2)＝－2013，其中α，β∈[0，π2]，则cos(α－β)的值为( ) A.1365 B.1565 C.4865 D.63653．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．不确定4．(2015·广东)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝2，c ＝23，cos A ＝32且b <c ，则b 等于( ) A ．3 B ．2 2 C ．2 D. 35．已知△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且tan B ＝2－3a 2－b 2＋c 2，BC →·BA →＝12，则tan B 等于( ) A.32B.3－1 C ．2 D ．2－ 3 6．(2015·兰州第一中学期中)已知tan α＝4，则1＋cos 2α＋4sin 2αsin 2α的值为________．7．(2015·天津)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为315，b －c ＝2，cos A ＝－14，则a 的值为________．8.如图，在一个塔底的水平面上的点A 处测得该塔顶P 的仰角为θ，由点A 向塔底D 沿直线行走了30 m 到达点B ，测得塔顶P 的仰角为2θ，再向塔底D 前进10 3 m 到达点C ，又测得塔顶的仰角为4θ，则塔PD 的高度为________m.9．(2015·浙江)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋A ＝2.(1)求sin 2Asin 2A ＋cos 2A的值； (2)若B ＝π4，a ＝3，求△ABC 的面积．10．已知f (x )＝2sin(x －π12)－3，现将f (x )的图象向左平移π4个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到函数g (x )的图象． (1)求f (π4)＋g (π6)的值；(2)若a ，b ，c 分别是△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a ＋c ＝4，且当x ＝B 时，g (x )取得最大值，求b 的取值范围．B 组 能力提高11．(2015·温州模拟)若α∈(0，π2)，则sin 2αsin 2α＋4cos 2α的最大值为________． 12．(2015·湖北)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上，行驶600 m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD ＝________m.13．在△ABC 中，向量AB →，BC →的夹角为120°，BC →＝2BD →，且AD ＝2，∠ADC ＝120°，则△ABC 的面积等于________．14．(2015·四川)如图，A ，B ，C ，D 为平面四边形ABCD 的四个内角．(1)证明：tan A 2＝1－cos Asin A；(2)若A ＋C ＝180°，AB ＝6，BC ＝3，CD ＝4，AD ＝5，求tan A 2＋tan B2＋tanC2＋tan D2的值．学生用书答案精析第2讲 三角变换与解三角形 高考真题体验1．C [∵sin α＋2cos α＝102， ∴sin 2α＋4sin α·cos α＋4cos 2α＝52.用降幂公式化简得：4sin 2α＝－3cos 2α， ∴tan 2α＝sin 2αcos 2α＝－34.故选C.]2．A [tan β＝tan[(α＋β)－α]＝α＋β－tan α1＋α＋βtan α＝12－131＋12×13＝17.]3．2 3解析 如图所示，在△ABC 中，由正弦定理得23sin 60°＝4sin B ，解得sin B ＝1， 所以B ＝90°，所以S △ABC ＝12×AB ×23＝12×42－32×23＝2 3.4.6－24解析 由sin A ＋2sin B ＝2sin C ， 结合正弦定理得a ＋2b ＝2c .由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝a 2＋b 2－a ＋2b242ab＝34a 2＋12b 2－2ab 22ab≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫34a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12b 2－2ab 22ab＝6－24，故6－24≤cos C <1， 且3a 2＝2b 2时取“＝”． 故cos C 的最小值为6－24. 热点分类突破 例1 (1)C (2)B解析 (1)∵sin(α＋π3)＋sin α＝－435，－π2<α<0，∴32sin α＋32cos α＝－435， ∴32sin α＋12cos α＝－45， ∴cos(α＋2π3)＝cos αcos 2π3－sin αsin 2π3＝－12cos α－32sin α＝45.(2)由tan α＝1＋sin βcos β得sin αcos α＝1＋sin βcos β， 即sin αcos β＝cos α＋cos αsin β， ∴sin(α－β)＝cos α＝sin(π2－α)．∵α∈(0，π2)，β∈(0，π2)，∴α－β∈(－π2，π2)，π2－α∈(0，π2)，∴由sin(α－β)＝sin(π2－α)，得α－β＝π2－α，∴2α－β＝π2.跟踪演练1 (1)C (2)D 解析 (1)cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－3π10sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π5＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α－3π10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π5sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π5 ＝sin αcos π5＋cos αsin π5sin αcos π5－cos αsin π5＝tan αtan π5＋1tan αtan π5－1 ＝2＋12－1＝3. (2)3cos 10°－1sin 170°＝3cos 10°－1sin 10°＝3sin 10°－cos 10°sin 10°cos 10°＝－12sin 20° ＝－2sin 20°12sin 20°＝－4，故选D. 例2 解 (1)S △ABD ＝12AB ·AD sin∠BAD ， S △ADC ＝12AC ·AD sin∠CAD .因为S △ABD ＝2S △ADC ，∠BAD ＝∠CAD ，所以AB ＝2AC .由正弦定理可得 sin B sin C ＝AC AB ＝12. (2)因为S △ABD ∶S △ADC ＝BD ∶DC ，所以BD ＝ 2.在△ABD 和△ADC 中，由余弦定理知 AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD cos∠ADB ，AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC cos∠ADC .故AB 2＋2AC 2＝3AD 2＋BD 2＋2DC 2＝6，由(1)知AB ＝2AC ，所以AC ＝1. 跟踪演练2 (1)(6－2，6＋2) (2)C解析 (1)如图所示，延长BA 与CD 相交于点E ，过点C 作CF ∥AD 交AB 于点F ，则BF <AB <BE .在等腰三角形CBF 中，∠FCB ＝30°，CF ＝BC ＝2，∴BF ＝22＋22－2×2×2cos 30°＝6－ 2.在等腰三角形ECB 中，∠CEB ＝30°，∠ECB ＝75°， BE ＝CE ，BC ＝2，BE sin 75°＝2sin 30°， ∴BE ＝212×6＋24＝6＋ 2. ∴6－2<AB <6＋ 2.(2)∵c 2＝(a －b )2＋6，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6.①∵C ＝π3，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝a 2＋b 2－ab .② 由①②得ab ＝6. ∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332. 例3 解 (1)由题意知f (x )＝sin 2x 2－1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π22＝sin 2x 2－1－sin 2x 2＝sin 2x －12. 由－π2＋2k π≤2x ≤π2＋2k π，k ∈Z ， 可得－π4＋k π≤x ≤π4＋k π，k ∈Z ； 由π2＋2k π≤2x ≤3π2＋2k π，k ∈Z ， 可得π4＋k π≤x ≤3π4＋k π，k ∈Z . 所以f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4＋k π，π4＋k π(k ∈Z )； 单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4＋k π，3π4＋k π(k ∈Z )． (2)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝sin A －12＝0，得sin A ＝12， 由题意知A 为锐角，所以cos A ＝32. 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，可得1＋3bc ＝b 2＋c 2≥2bc ，即bc ≤2＋3，且当b ＝c 时等号成立．因此12bc sin A ≤2＋34. 所以△ABC 面积的最大值为2＋34. 跟踪演练3 解 (1)f (x )＝2cos x 2(3·cos x 2－sin x 2)＝23cos 2x 2－2sin x 2·cos x 2＝3＋3cos x －sin x ＝3＋2sin(π3－x )， 由f (A )＝3＋1， 可得3＋2sin(π3－A )＝3＋1， 所以sin(π3－A )＝12. 又A ∈(0，π)，所以π3－A ∈(－2π3，π3)， 所以π3－A ＝π6，即A ＝π6. 由a 2－c 2＝b 2－mbc 及余弦定理， 可得m 2＝b 2＋c 2－a 22bc ＝cos A ＝32， 所以m ＝ 3.(2)由(1)知cos A ＝32，则sin A ＝12， 又b 2＋c 2－a 22bc ＝cos A ＝32， 所以b 2＋c 2－a 2＝3bc ≥2bc －a 2，即bc ≤(2＋3)a 2＝2＋3，当且仅当b ＝c 时等号成立， 所以S △ABC ＝12bc sin A ≤2＋34， 即△ABC 面积的最大值为2＋34. 高考押题精练1．D [因为在△ABC 中，BC ＝1，B ＝π3，△ABC 的面积S ＝3，所以S △ABC ＝12BC ·BA ·sin B ＝3，即12×1×BA ×32＝3，解得BA ＝4.又由余弦定理，得AC 2＝BC 2＋BA 2－2BC ·BA ·cos B ，即得AC ＝13，由正弦定理，得BA sin C ＝AC sin B ，解得sin C ＝23913.] 2．解 (1)f (x )＝32sin 2ωx －12(cos 2ωx ＋1)＝sin(2ωx －π6)－12， 因为函数f (x )的周期为T ＝2π2ω＝2π3， 所以ω＝32. (2)由(1)知f (x )＝sin(3x －π6)－12， 易得f (A )＝sin(3A －π6)－12. 因为sin B ，sin A ，sin C 成等比数列，所以sin 2A ＝sinB sinC ，所以a 2＝bc ， 所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋c 2－bc 2bc ≥2bc －bc 2bc ＝12(当且仅当b ＝c 时取等号)， 因为0<A <π，所以0<A ≤π3， 所以－π6<3A －π6≤5π6， 所以－12<sin(3A －π6)≤1， 所以－1<sin(3A －π6)－12≤12， 所以函数f (A )的值域为(－1，12]．二轮专题强化练答案精析第2讲 三角变换与解三角形1．A [∵α∈(π2，π)，∴α＋π4∈(34π，54π)， ∵sin(α＋π4)＝35， ∴cos(α＋π4)＝－45， ∴cos α＝cos(α＋π4－π4)＝cos(α＋π4)·cos π4＋sin(α＋π4)sin π4＝－45×22＋35×22＝－210.] 2．D [由f (3α＋π)＝165， 得4sin[13(3α＋π)＋π6]＝165， 即4sin(α＋π2)＝165， 所以cos α＝45， 又α∈[0，π2]，所以sin α＝35. 由f (3β＋5π2)＝－2013， 得4sin[13(3β＋5π2)＋π6]＝－2013， 即sin(β＋π)＝－513， 所以sin β＝513. 又β∈[0，π2]， 所以cos β＝1213. 所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝45×1213＋35×513＝6365.] 3．B [由b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ，即sin(B ＋C )＝sin 2A ，所以sin A ＝1，由0<A <π，得A ＝π2，所以△ABC 为直角三角形．]4．C [由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得4＝b 2＋12－2×b ×23×32，即b 2－6b ＋8＝0，∴b ＝4或b ＝2，又b <c ，∴b ＝2.]5．D [由题意得，BC →·BA →＝|BC →|·|BA →|cos B＝ac cos B ＝12，即cos B ＝12ac， 由余弦定理， 得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12ac⇒ a 2＋c 2－b 2＝1，所以tan B ＝2－3a 2－b 2＋c 2＝2－3，故选D.] 6.334解析 1＋cos 2α＋4sin 2αsin 2α＝2cos 2α＋4sin 2α2sin αcos α＝1＋2tan 2αtan α＝1＋2×164＝334. 7．8解析 ∵cos A ＝－14，0＜A ＜π， ∴sin A ＝154， S △ABC ＝12bc sin A ＝12bc ×154 ＝315，∴bc ＝24，又b －c ＝2，∴b 2－2bc ＋c 2＝4，b 2＋c 2＝52，由余弦定理得，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝52－2×24×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝64， ∴a ＝8.8．15解析 依题意有PD ⊥AD ，BA ＝30 m ，BC ＝10 3 m ，∠PAD ＝θ，∠PBD ＝2θ，∠PCD ＝4θ，所以∠APB ＝∠PBD －∠PAD ＝θ＝∠PAD .所以PB ＝BA ＝30 m.同理可得PC ＝BC ＝10 3 m.在△BPC 中，由余弦定理，得cos 2θ＝32＋302－322×103×30＝32， 所以2θ＝30°，4θ＝60°.在△PCD 中，PD ＝PC ×sin 4θ＝103×32＝15(m)． 9．解 (1)由tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋A ＝2， 得tan A ＝13. 所以sin 2A sin 2A ＋cos 2A ＝2sin A cos A 2sin A cos A ＋cos 2A＝2tan A 2tan A ＋1＝25. (2)由tan A ＝13，A ∈(0，π)， 得sin A ＝1010，cos A ＝31010. 又由a ＝3，B ＝π4及正弦定理a sin A ＝b sin B，得b ＝3 5. 由sin C ＝sin(A ＋B )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π4 得sin C ＝255， 设△ABC 的面积为S ，则S ＝12ab sin C ＝9. 10．解 (1)因为g (x )＝2sin[(x ＋π4)－π12]－3＋3＝2sin(x ＋π6)， 所以f (π4)＋g (π6)＝2sin(π4－π12)－3＋2sin π3＝1. (2)因为g (x )＝2sin(x ＋π6)， 所以当x ＋π6＝π2＋2k π(k ∈Z )， 即x ∈π3＋2k π(k ∈Z )时，g (x )取得最大值． 因为x ＝B 时g (x )取得最大值，又B ∈(0，π)，所以B ＝π3.而b 2＝a 2＋c 2－2ac cosπ3＝a 2＋c 2－ac ＝(a ＋c )2－3ac ＝16－3ac ≥16－3·(a ＋c 2)2＝16－12＝4， 所以b ≥2.又b <a ＋c ＝4，所以b 的取值范围是[2,4)．11.12解析 ∵α∈(0，π2)， ∴sin 2αsin 2α＋4cos 2α＝2sin αcos αsin 2α＋4cos 2α＝2tan αtan 2α＋4且tan α>0， ∴2tan αtan 2α＋4＝2tan α＋4tan α≤224＝12， 故sin 2αsin 2α＋4cos 2α的最大值为12. 12．100 6解析 在△ABC 中，AB ＝600，∠BAC ＝30°，∠ACB ＝75°－30°＝45°，由正弦定理得BC sin ∠BAC ＝AB sin ∠ACB ，即BC sin 30°＝600sin 45°，所以BC ＝300 2.在Rt △BCD 中，∠CBD ＝30°，CD ＝BC tan ∠CBD ＝3002·tan 30°＝100 6.13．2 3解析 在△ABC 中，因为∠ADC ＝120°，所以∠ADB ＝60°，因为向量AB →，BC →的夹角为120°，所以∠B ＝60°，所以△ADB 为等边三角形．因为AD ＝2，所以AB ＝BD ＝2.因为BC →＝2BD →，所以点D 为BC 的中点，所以BC ＝4，所以△ABC 的面积S △ABC ＝12BA ·BC ·sin B ＝12×2×4×sin 60°＝2 3. 14．(1)证明 tan A 2＝sin A 2cos A 2＝2sin 2A 22sin A 2cos A 2＝1－cos Asin A .(2)解 由A ＋C ＝180°，得C ＝180°－A ，D ＝180°－B ， 由(1)，有tan A 2＋tan B 2＋tan C 2＋tan D 2＝1－cos A sin A ＋1－cos B sin B ＋1－－A－A ＋错误! ＝2sin A ＋2sin B .连接BD ，在△ABD 中，有BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos A ， 在△BCD 中，有BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos C ，所以AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos A ＝BC 2＋CD 2＋2BC ·CD cos A ， 则cos A ＝AB 2＋AD 2－BC 2－CD 2AB ·AD ＋BC ·CD＝62＋52－32－42＋＝37，于是sin A ＝1－cos 2A＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫372＝2107.连接AC ，同理可得cos B ＝AB 2＋BC 2－AD 2－CD 2AB ·BC ＋AD ·CD ＝62＋32－52－42＋＝119，于是sin B ＝1－cos 2B ＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1192＝61019.所以tan A 2＋tan B 2＋tan C 2＋tan D 2＝2sin A ＋2sin B ＝2×7210＋2×19610＝4103.。
高考数学(理)二轮复习(课件+跟踪训练)：第一部分 专题二 三角函数、解三角形、平面向量(7份)专题
专题跟踪训练(八)一、选择题1．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a ＝80，b ＝100，A ＝30°，则此三角形( )A ．一定是锐角三角形B ．一定是直角三角形C ．一定是钝角三角形D ．可能是直角三角形，也可能是锐角三角形[解析] 依题意得a sin A ＝b sin B ，sin B ＝b sin A a ＝100sin 30°80＝58<32，因此0°<B <60°或120°<B <150°.若0°<B <60°，则C ＝180°－(B ＋30°)>90°，此时△ABC 是钝角三角形；若120°<B <150°，此时△ABC 仍是钝角三角形．因此，此三角形一定是钝角三角形，故选C.[答案] C2．(2015·贵州贵阳期末)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＋sin α＝435，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π6的值是( )A ．－235 B.235 C.45D ．－45[解析] sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＋sin α＝435⇒sin π3cos α＋cos π3sin α＋sin α＝435⇒32sin α＋32cos α＝435⇒32sin α＋12cos α＝45，故sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π6＝sin αcos 7π6＋cos αsin 7π6＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin α＋12cos α＝－45，故选D.[答案] D3．如图，在△ABC 中，∠B ＝45°，D 是BC 边上一点，AD ＝5，AC ＝7，DC ＝3，则AB 的长为()A.615 B ．5 C.562D ．5 6[解析] 在△ADC 中，由余弦定理得cos ∠ADC ＝AD 2＋DC 2－AC 22·AD ·DC ＝25＋9－492×5×3＝－12，所以∠ADC ＝120°，则∠ADB ＝60°.在△ABD 中，由正弦定理可得AB ＝AD sin ∠ADB sin B ＝5×3222＝562，故选C. [答案] C4．(2015·江西南昌一模)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若c ＝1，B ＝45°，cos A ＝35，则b 等于( )A.53 B.107 C.57D.5214[解析] 因为cos A ＝35，所以sin A ＝1－cos 2A ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝45，所以sin C ＝sin[π－(A ＋B )]＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝45cos 45°＋35sin 45°＝7210.由正弦定理b sin B ＝c sin C ，得b ＝17210×sin 45°＝57，故选C.[答案] C5．(2015·贵阳七校联盟)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π4的值为( )A ．－7210 B.7210 C ．－210D.210[解析] 由三角函数的定义得tan θ＝2，cos θ＝±55，所以tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝－43，cos 2θ＝2cos 2θ－1＝－35，所以sin 2θ＝cos 2θtan 2θ＝45，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π4＝22(sin 2θ＋cos 2θ)＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫45－35＝210，故选D.[答案] D6．(2015·河南郑州质量预测)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知sin(B ＋A )＋sin(B －A )＝3sin 2A ，且c ＝7，C ＝π3，则△ABC 的面积是( )A.334B.736C.213D.334或736[解析] sin(B ＋A )＝sin B cos A ＋cos B sin A ，sin(B －A )＝sin B cos A －cosB sin A ，sin 2A ＝2sin A cos A ，sin(B ＋A )＋sin(B －A )＝3sin 2A ，即2sin B cos A ＝6sin A cos A ．当cos A ＝0时，A ＝π2，B ＝π6，又c ＝7，得b ＝213.由三角形面积公式知S ＝12bc ＝736；当cos A ≠0时，由2sin B cos A ＝6sin A cos A 可得sin B ＝3sin A ，根据正弦定理可知b ＝3a ，再由余弦定理可知cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋9a 2－76a 2＝cos π3＝12，可得a ＝1，b ＝3，所以此时三角形的面积为S ＝12ab sin C ＝334.综上可得三角形的面积为736或334，所以选D.[答案] D 二、填空题7．(2014·温州十校联考)已知锐角α满足cos 2α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α，则sin 2α等于________． [解析] 由cos 2α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α得，cos 2α－sin 2α＝22cos α＋22sin α，而α为锐角，∴cos α＋sin α≠0，∴cos α－sin α＝22，两边平方得，1－sin 2α＝12，∴sin 2α＝12.[答案] 128．(2015·广东卷)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝3，sin B ＝12，C ＝π6，则b ＝________.[解析] 由sin B ＝12得B ＝π6或5π6，因为C ＝π6，所以B ≠5π6，所以B ＝π6，于是A ＝2π3.由正弦定理，得3sin 2π3＝b12，所以b ＝1. [答案] 19．(2015·贵阳质检)在△ABC 中，a ，b ，c 为∠A ，∠B ，∠C 的对边，若cos 2B ＋cos B ＋cos(A －C )＝1，b ＝7，则a 2＋c 2的最小值为____________．[解析] ∵cos 2B ＋cos B ＋cos(A －C )＝1，∴－cos(A ＋C )＋cos(A －C )＝1－cos 2B,2sin A sin C ＝2sin 2B ，由正弦定理得ac ＝b 2，即7＝ac ≤12(a 2＋c 2)(当且仅当a ＝c 时等号成立)，∴a 2＋c 2的最小值为14.[答案] 14 三、解答题10．已知在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，且a ＝3，b ＝3，cos B ＝13.(1)求c 的值； (2)求cos(B －C )的值．[解] (1)因为b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，且a ＝3，b ＝3，cos B ＝13，所以9＝9＋c 2－2×3c ×13， 解得c ＝2或0(舍去)，故c ＝2. (2)在△ABC 中，sin B ＝1－cos 2B ＝223，由正弦定理，得sin C ＝c b sin B ＝23×223＝429，因为a ＝b >c ，所以C 为锐角，因此cos C ＝1－sin 2C ＝79，于是cos(B －C )＝cos B cos C ＋sin B sin C ＝13×79＋223×429＝2327. 11．(2015·山西太原一模)已知a ，b ，c 分别是△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边，且c ＝2，C ＝π3.(1)若△ABC 的面积等于3，求a ，b ； (2)若sin C ＋sin(B －A )＝2sin 2A ，求A 的值． [解] (1)∵c ＝2，C ＝π3，∴由余弦定理得4＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝a 2＋b 2－ab ， ∵△ABC 的面积等于3， ∴12ab sin C ＝3，∴ab ＝4，联立⎩⎨⎧a 2＋b 2－ab ＝4ab ＝4，解得a ＝2，b ＝2.(2)∵sin C ＋sin(B －A )＝2sin 2A ， ∴sin(B ＋A )＋sin(B －A )＝4sin A cos A ， ∴sin B cos A ＝2sin A cos A ， ①当cos A ＝0时，A ＝π2；②当cos A ≠0时，sin B ＝2sin A ，由正弦定理得b ＝2a ，联立⎩⎨⎧a 2＋b 2－ab ＝4b ＝2a，解得a ＝233，b ＝433，∴b 2＝a 2＋c 2，∴B ＝π2.∵C ＝π3，∴A ＝π6.综上所述，A ＝π2或A ＝π6.12．(2015·辽宁五校期末)已知函数f (x )＝2cos 2x －sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －7π6.(1)求函数f (x )的最大值，并写出f (x )取最大值时x 的取值集合； (2)已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若f (A )＝32，b ＋c ＝2.求实数a 的取值范围．[解] (1)f (x )＝2cos 2x －sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －7π6＝(1＋cos 2x )－⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2x cos 7π6－cos 2x sin 7π6＝1＋32sin 2x ＋12cos 2x ＝1＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. ∴函数f (x )的最大值为2.当且仅当sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝1，即2x ＋π6＝2k π＋π2，k ∈Z ，即x ＝k π＋π6，k ∈Z 时取到．∴函数取最大值时x 的取值集合为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k π＋π6，k ∈Z .(2)由题意，f (A )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＋1＝32，化简得sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＝12. ∵A ∈(0，π)，∴2A ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，13π6，∴2A ＋π6＝5π6，∴A ＝π3.在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos π3＝(b ＋c )2－3bc .由b ＋c ＝2，知bc ≤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫b ＋c 22＝1，即a 2≥1，当且仅当b ＝c ＝1时取等号． 又由b ＋c >a 得a <2，∴a 的取值范围是[1,2)．。
2016高考数学新课标版二轮复习课件：专题3 第1讲 三角函数的图象与性质、三角恒等变换
2
3
3
因为 x1,x2∈(- π , π ),所以 f(x)的一条对称轴为 x= π ,
63
12
因为 f(x1)=f(x2),所以 x1+x2=2× π = π ,所以 f(x1+x2)=sin 2π = 3 .
12 6
32
故选 C.
第二十三页，编辑于星期六：点 三十六分。
二轮·数学
(2)(2015 呼伦贝尔一模)已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ),x∈R(其中 A>0,ω>0,
故选 A.
第六页，编辑于星期六：点 三十六分。
二轮·数学
4.(2015 新课标全国卷Ⅰ,文 8)函数 f(x)=cos(ωx+φ)的部分图象如图所示,则 f(x)的单调递减区间为( D )
(A) (kπ- 1 ,kπ+ 3 ),k∈Z
4
4
(B) (2kπ- 1 ,2kπ+ 3 ),k∈Z
4
4
(C) (k- 1 ,k+ 3 ),k∈Z 44
2 52 5
10
第二十一页，编辑于星期六：点 三十六分。
二轮·数学
热点二 函数y=Asin(ωx+φ)+B的解析式
【例 2】 (1)(2015 开封二模)函数 f(x)=sin(ωx+φ)(x∈R) (ω>0,|φ|< π ) 2
的部分图象如图所示,如果 x1,x2∈(- π , π ),且 f(x1)=f(x2),则 f(x1+x2)等于 63
5
5
5
5
解析:在角θ终边上任取一点 P(a,2a)(a≠0),则 r2=|OP|2=a2+(2a)2=5a2,
2016年高考全国卷新课标Ⅱ理科数学PPT版
开始 输入x,n
k 0, s 0
输入a
A.7
C.17
B.12
D.34
s s x a
否
第一次循环：s 0 2 2 2, k 1 k k 1
第二次循环：s 2 2 2 6, k 2
第三次循环：s 6 2 5 17, k 3
5.如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合， 再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小 明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（ ）B A.24 B.18 C.12 D.9
E F 有C 6种走法, F G有C 3种走法,由乘法
2 4 2 3
原理, 共6 3 18种走法.
10.从区间[0,1]随机抽取 2n个数x1 , x2 , , xn , y1 , y2 , , yn , 构成n个数对( x1 , y1 ),( x2 , y2 ), ,( xn , yn ), 其中两数的平方 和小于1的数对共有m个, 则用随机模拟的方法得到的圆周 率 的近似值为( C ) 4n 2n 4m 2m A. B. C. D. m m n n 几何概型问题 : 样本空间 {( x , y ) | x [0,1], y [01]},
2 由(a + b) b得 : (a b) b 0, 所以a b b 0, 又 a (1, m )， b=(3, 2), 所以3 2m +(32 ( 2)2 ) 0, 所以m 8
4.圆x 2 y 2 2 x 8 y 13 0的圆心到直线ax y 1 0的 距离为1, 则a ( A ) 4 3 A. B. 3 4
C. 3
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(2)平面向量的两个重要定理 ①向量共线定理：向量a(a≠0)与b共线当且仅当存在唯一一个 实数λ，使b＝λa； ②平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线
向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数
λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中e1，e2是一组基底．
2．活用性质与结论 (1)平面向量的三个性质 ①若 a＝(x， y)，则 |a|＝ a· a ＝ x2＋ y2； ②若 A(x1， y1)， B(x2， y2)， → 则 |AB|＝ （ x2－x1） 2＋（ y2－ y1）2； ③若 a＝(x1， y1)，b＝(x2， y2)， θ 为 a 与 b 的夹角， x1x2＋ y1y2 a· b 则 cos θ＝ ＝ 2 2 2 . 2 |a||b| x1＋ y1 x2＋ y2
3．辨明易错易混点 (1)若 a＝0，则 a· b＝ 0，但由 a· b＝0，不能得到 a＝ 0 或 b＝0，因 为 a⊥ b，a· b＝ 0. (2)两向量夹角的范围为[0，π]，向量的夹角为锐角与向量的数量 积大于 0 不等价．
考点一
平面向量的概念及线性运算
[命题角度] 1．平面向量的概念与表示．
λ＝ t， → → 线得，AB＝ tAC，所以 λa＋b＝t(a＋ μb)＝ ta＋ tμb，即 所 1＝ tμ，
以 λμ＝ 1，故 λ≠0.
2．若向量 α，β 是一组基底，向量 γ＝ xα＋ yβ(x，y∈ R)，则称(x， y)为向量 γ 在基底 α，β 下的坐标，现已知向量 a 在基底 p＝ (1， － 1)，q＝(2，1)下的坐标为(－2，2)，则向量 a 在另一组基底 m ＝ (－ 1， 1)， n＝ (1，2)下的坐标为( D ) A． (2，0) C． (－ 2， 0) B．(0，－2) D． (0，2)
1．必记概念与定理 (1)平面向量中的四个基本概念 ①零向量模的大小为 0，方向是任意的，它与任意非零向量都共 线，记为 0； ②长度等于 1 个单位长度的向量叫单位向量， 与 a 同向的单位向 a 量为 ； |a| ③方向相同或相反的向量叫共线向量(平行向量 )； ④向量的投影：|b|cos〈 a， b〉叫做向量 b 在向量 a 方向上的投 影．
专题二
三角函数与平面向量
第 3讲
平面向量
专题二
三角函数与平面向量
2016考向导航——适用于全国卷Ⅱ
高考对平面向量的考查主要有三个方面： (1)平面向量的基本定理及基本运算，即向量的有关概念，
加、减法的几何意义，线性表示以及坐标运算等；
(2)平面向量的数量积的基本运算及其应用，这也是历年高考 命题的热点； (3)向量的工具性作用，在三角函数、不等式、解析几何解答 题中用来描述题目的条件和结论．
→ → 1． 已知 a、 b 是不共线的向量， AB＝ λa＋ b， AC＝a＋ μb(λ、 μ∈ R)， 当 A、 B、 C 三点共线时， λ 的取值不可能为( B ) A． 1 C．－1 B．0 D． 2
→ → 解析：由AB＝ λa＋ b，AC＝ a＋ μb(λ、μ∈ R)及 A、B、C 三点共
1→ 1→ 4→ － AB＝－ AB＋ AC. 3 3 3 (2)因为(a＋ kc)∥(2b－a)， 又 a＋ kc＝ (3＋4k， 2＋ k)，2b－ a＝ (－ 5，2)， 16 所以 2×(3＋ 4k)－ (－ 5)× (2＋k性运算应注意三点 (1)三角形法则和平行四边形法则的运用条件． (2)证明三点共线问题， 可用向量共线来解决， 但应注意向量共线 与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得 出三点共线． → → → (3)OA＝ λOB＋ μOC(λ，μ 为实数)，若 A、 B、 C 三点共线，则 λ ＋ μ＝1.
2)．
→ 3．(2015· 兰州市统考 )已知 P 是△ ABC 所在平面内一点，若AP＝ 3→ 2→ BC－ BA，则△ PBC 与△ ABC 的面积的比为 ( A ) 4 3 1 1 A. B. 3 2 2 3 C. D. 3 4 解析：如图，以 B 为原点， BC 所在直线为 x 轴，建立平面直角 → 3→ 2→ 坐标系，设 A(xA， yA)，P(xP， yP)， C(xC，0)，AP＝ BC－ BA， 4 3 3 2 3 2 即 (xP－xA，yP－ yA)＝ (xC，0)－ (xA，yA)，故 xP－xA＝ xC－ xA， 4 3 4 3 S△ PBC 1 2 1 yP－ yA＝ 0－ yA， yP＝ yA，故 ＝ . 3 3 S△ ABC 3
16 － 13 (a＋kc)∥ (2b－ a)，则 k＝ ________ ．
[思路点拨]
→ → (1)以向量AB，AC为基底，利用向量的加减运算和
平面向量基本定理求解． (2)利用向量的坐标运算和向量共线定理求解．
[解析 ] 4→ → → → → 1→ → 1 → → (1)AD ＝ AC ＋ CD ＝ AC ＋ BC＝ AC ＋ (AC－AB )＝ AC 3 3 3
(2)平面向量的两个充要条件 若两个非零向量 a＝ (x1， y1)， b＝ (x2， y2)，则 ① a∥ b⇔ a＝ λb⇔x1y2－x2y1＝ 0； ② a⊥ b⇔ a· b＝0⇔x1x2＋ y1y2＝ 0. (3)三点共线的判定 → → → → → 三个点 A，B，C 共线 ⇔AB，AC共线；向量PA，PB，PC中三终 → → → 点 A，B，C 共线⇔存在实数 α，β 使得PA＝ αPB＋ βPC，且 α＋ β ＝ 1.
解析：因为 a 在基底 p，q 下的坐标为 (－ 2，2)，即 a＝－2p＋2q ＝(2，4)，令 a＝xm＋yn，则 a＝ (－x＋y，x＋2y)＝(2， 4)，
－ x＋ y＝ 2， x＝0， 所以 解得 所以 a 在基底 m， n 下的坐标为 (0， x＋2y＝4， y＝ 2.
2．向量的线性运算及其几何意义．
3．平面向量的基本定理． 4．共线向量的坐标表示及其运算．
→ → (1)设 D 为△ ABC 所在平面内一点，BC＝ 3CD ，则 ( A ) 1→ 4→ → A.AD ＝－ AB＋ AC 3 3 → 1→ 4→ B.AD ＝ AB－ AC 3 3 → 4→ 1→ C.AD ＝ AB＋ AC 3 3 → 4→ 1→ D.AD ＝ AB－ AC 3 3 (2)平面内给定三个向量 a＝(3，2)，b＝ (－ 1，2)，c＝(4，1)．若