信号与系统概念公式总结

⎰T 1 11i信号与系统概念，公式集：第一章：概论1.信号：信号是消息的表现形式。

（消息是信号的具体内容）2.系统：由若干相互作用和相互依赖的事物组合而成的具有特定功能的整体。

第二章：信号的复数表示：1.复数的两种表示方法：设 C 为复数，a 、b 为实数。

常数形式的复数 C=a+jb a 为实部，b 为虚部；或 C=|C|e j φ，其中，| C |=复数的辐角。

（复平面）a 2 +b 2 为复数的模，tan φ=b/a ，φ为2.欧拉公式：e jwt= cos wt +j sin wt （前加-，后变减）第三章：正交函数集及信号在其上的分解1.正交函数集的定义：设函数集合F = { f 1 (t ), f 2 (t ), f n ( t )}T 21如果满足： T 2f i (t ) f 2j (t )dt = 0i ≠ j ⎰Tf i (t )dt = K ii = 1,2 n 则称集合 F 为正交函数集如果K i = 1i = 1,2, n ，则称 F 为标准正交函数集。

如果 F 中的函数为复数函数T 2f (t) ⋅ f * (t )dt = 0i ≠ j⎰T i j条件变为： T2*⎰T f i (t ) ⋅ f i (t )dt = K ii = 1,2 n其中 f *(t ) 为 f i (t) 的复共轭。

2.正交函数集的物理意义： 一个正交函数集可以类比成一个坐标系统； 正交函数集中的每个函数均类比成该坐标系统中的一个轴； 在该坐标系统中，一个函数可以类比成一个点； 点向这个坐标系统的投影（体现为该函数与构成坐标系的函数间的点积）就是该函数2 1 11 1 1t 222**在这个坐标系统中的坐标。

3.正交函数集完备的概念和物理意义：如果值空间中的任一元素均可以由某正交集中的元素准确的线性表出，我们就称该正交 集是完备的，否则称该正交集是不完备的。

如 果 在 正 交 函 数 集 g 1 (t ), g 2 (t ), g 3 (t ), g n(t ) 之 外 ， 不 存 在 函 数 x （ t ）t 20 < ⎰ x 2(t )dt < ∞ ，满足等式： ⎰x (t )g (t )dt = 0 ，则此函数集称为完备正交函数集。

t 1t 1i一个信号所含有的功率恒等于此信号在完备正交函数集中各分量的功率总和，如果正交函数集不完备，那么信号在正交函数集中各分量的总和不等于信号本身的功率，也就是说， 完备性保证了信号能量不变的物理本质。

4.均方误差准则进行信号分解：设正交函数集F 为 F = { f 1 (t ), f 2 (t ), f n (t )}，信号为 f (t )所谓正交函数集上的分解就是找到一组系数a 1, a 2 , a n ，使均方误差 ∆2= n2 f (t ) -∑a f (t )最小。

i i i =1T n∆2的定义为： ∆2 = 1 ⎰ [ f (t ) - ∑a f (t )]2 dt T 2 -T 1 T 1 如果 F 中的函数为实函数 则有：i i i =1T 2⎰T a i= TT 2f (t ) f i (t )dt ⎰T=f (t ) f i (t )dtK ⎰T i if (t ) f (t )dti1如果 F 中的函数为复函数 则有：T 2 ⎰T a i= Tf (t ) f i T 2 (t )dt⎰T=f (t ) f iK(t )dtf (t ) f * (t )dti⎰T i i第四章：连续周期信号的傅里叶级数1.物理意义：付里叶级数是将信号在正交三角函数集上进行分解（投影），如果将指标系列 类比为一个正交集，则指标上值的大小可类比为性能在这一指标集上的分解，或投影；分解 的目的是为了更好地分析事物的特征，正交集中的每一元素代表一种成分，而分解后对应该 元素的系数表征包含该成分的多少1T 1 a b 2.三角函数形式： f (t ) 可以表示成：f (t ) = a 0 + a 1 cos( w 1t ) + a 2 cos( 2 w 1t ) + + + a n cos( nw 1t )+ b 1 sin( w 1t ) + b 2 s i n( 2 w 1t ) + + b n sin( nw 1t ) ∞= a 0 + ∑ [a n cos( nw 1t ) +b n sin( nw 1t )]n =1 其中， a 0 被称为直流分量a n c os( nw 1 t ) +b n s i n( nw 1 t ) 被称为 n 次谐波分量。

T 1 / 2⎰f ( t )dt1 T 1 / 2a 0 =- T 1 / 2K 0= ⎰- T / 2 1 f (t )dtT 1 / 2 ⎰f (t) cos(nw 1t )dt2 T 1 / 2a =-T 1 / 2= f (t ) cos(nw t)dt n⎰ 1 Ka nT 1 -T 1 / 2T / 2⎰f (t) sin( n w 1t )dt2 T 1 / 2b =-T 1 / 2= f (t ) sin( n w t )dt n ⎰ 13.一般形式：∞Kb nT 1 -T 1 / 2f (t ) = ∑ c n cos( nwt n = 0 + ϕ n )或者：∞f (t ) = ∑ d n sin( nwt n = 0c 0 =d 0 = a 0 + θ n )22 c n = d n = a n+ bnϕ = arctg (- b n ) ，θ= arctg ( a n ) n n nn4.指数形式：f (t ) = ∞∑ F n ejnw 1tn =-∞1 n T F = 1T 1 / 2f (t )e - jnw 1tdt⎰-T/ 2 1第五章：连续信号的傅里叶变换1.连续非周期信号的傅里叶变换及性质：+∞ F ( w ) = ⎰f ( t ) e - jwt dt- ∞f (t ) =1 + ∞⎰F ( w ) e jwt dw性质：2π- ∞1.对称性：若F ( w ) = f [ f (t )] ， f [ f ( t )] 表示对 f (t ) 做付里叶变换，则：f [ F (t )] = 2π f ( - w )2.线性：若 f [ f i (t )] = F i (w ) (i = 1,2, n ) ，则nn f [ ∑ a i f i (t ) ] = i =1 ∑ a i F i ( w )i =13 ．奇偶虚实性：若 f (t ) 为实函数，则 F ( w ) 的实部 R ( w ) 为偶函数，虚部X ( w ) 为奇函数；其幅度谱 F ( w ) 为偶函数, 相位谱ϕ ( w ) 为奇函数：若 f (t ) 为实偶函数, 则F ( w ) 为实偶函数若 f (t ) 为实奇函数, 则F ( w ) 为虚奇函数4．尺度变换：若 则f [ f ( t )] = F ( w ) ，f [ f( at )] = 1 F ( w)a a 其中 a 为非零的实常数。

5．时移：若 f [ f (t )] = F ( w ) ，则 f [ f ( t - t 0)] = F ( w ) e - jwt 06．频移：若 f [ f ( t )] =F ( w ) ，] 1n T 则 f [ f(t ) e jw 0 t] =F ( w - w 0 )即:f { f( t )[cos(w 0 t ) + j sin （ w 0 t ）]} =F ( w -w 0 )7．微分：若 f [ f (t )] = F ( w ) ，df( t )则 f [ dt n ] = jwF ( w ) f [ d f ( t ) = dt n( jw ) n F ( w )8．积分：若 f [ f(t )] = F ( w ) ， t F ( w ) 则 f [ ⎰- ∞ f (τ )d τ ] = + π F ( 0 )δ jw( w ) 2.连续周期信号的傅里叶变换：∞ F ( w ) = f [ f (t )] = 2π ∑ n = -∞F n δ ( w - n w 1 )F = 1T 1 / 2f (t )e - jnw 1tdt ⎰-T / 2 1 3．特殊信号的傅里叶变换：1.直流信号f (t ) = 1 ，其付里叶变换得到的频谱即为 2πδ1( w )2. U (t ) 的付里叶变换为πδ ( w ) + jw3. 单边指数： f ( t ) =e- at, t ≥ 0 F ( w ) = 1幅度谱：F ( w )= 1 /a 2 + w 2a + jw相位谱：ϕ ( w ) = - arctg ( w / a )4.双边指数：f ( t ) =e - a | t |F ( w ) =2 a a 2 + w 2幅度谱： F ( w )= 2 a /( a 2 + w 2 )相位谱：ϕ ( w ) = 0⎰ - τ2⎨ = 2E sin(w τ / 2) 5.矩形脉冲信号：F （w ）w6.钟形信号：f ( t ) = Ee- ( t / τ ) 2+∞ 2F (w ) = Ee (t / ) cos wtdt = -∞π E τ ⋅ e -( w τ / 2 )7.符号函数： ⎧ 1 f ( t ) = ⎪ 0 ⎪t > 0 t = 0F ( w ) =2jw⎩ - 1t < 0幅度谱 F ( w ) =2 w⎧ π⎪ - 2 w > 0相位谱ϕ ( w ) = ⎨ π⎪ ⎩ 2w < 0第七章：连续时间系统及卷积1.连续线性系统：设某系统，如果该系统对输入f1(t ), f 2 (t ) 有输出 s 1 (t ), s 2 (t ) ，则该系统对输入C 1 ⋅ f 1 (t ) + C 2 ⋅ f 2 (t ) ，有输出 C 1 ⋅ s 1(t ) + C 2 ⋅ s 2 (t ) 。

该系统为线性系统。

2.连续时不变系统：设某系统，如该系统对输入f (t ) 有输出 s (t ) ，则该系统对输入f (t -T ) 有输出s (t -T ) 。

该系统为时不变系统。

3.连续因果系统：如果某系统在t 0 时刻的输出s (t 0 ) 仅于 t 0 时刻前的输入 f (t )t ≤ t 0 有关，而与 t 0 时刻以后的输入 f (t )4.连续稳定系统：t > t 0 无关，则该系统为因果系统。

对有界输入信号的响应还是有界信号的系统是稳定系统。

5.卷积公式：1 N +∞s (t ) = ⎰-∞f (τ )h (t -τ )d τ即为卷积公式，表示为：s (t ) =f (t ) ⊗ h (t )物理意义：将信号分解为冲激信号之和，借助系统的冲激响应 h （t ），求解系统对任意 激励信号的状态响应。