两角和与差的正弦余弦和正切公式
两角和与差的正弦余弦正切公式3
1 两角和与差的三角函数式
【考点及要求】
1． 掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式．
2．能正确运用三角公式进行简单的三角函数式的化简、求值．
【基础知识】：
sin() ；
cos() ；
tan() ．
【基本训练】
1．(1)43cos73sin47cos17sin=
（2）15tan115tan1=___________
2．若tan3，4tan3，则tan()等于
3．已知,均为锐角,且),sin()cos(则______tan
4．________6sin36cos
5.化简： cos21sin23=___________
6.152sin118cos28cos62sin=_______
2
【典型例题讲练】
例1设),,2(若,54sin试求：（1）)4cos(2；（2）)3tan(.
例2 设71cos,1411)cos(,)2,0(,),2(,求.
两角和与差的正弦余弦正切公式练习题
两角和差的正弦、余弦、正切公式练习题
1．给出如下四个命题
①对于任意的实数α和β，等式sinsincoscos)cos(恒成立
②存在实数α，β，使等式sinsincoscos)cos(能成立
③公式)tan(tantan1tanan成立的条件是)(2Zkk且)(2Zkk
④不存在无穷多个α和β，使sincoscossin)sin(其中假命题是
2．已知)cos(,32tantan,7)tan(则的值 （ ）
A．21 B．22 C．22 D．22
3．已知2sin,53)sin(,1312)cos(,432则 （ ）
A．6556 B．－6556 C．5665 D．－5665
4．函数)4cot()(,tan1tan1)(),4tan()(xxhxxxgxxf其中为相同函数的是
A．)()(xgxf与 B．)()(xhxg与 C．)()(xfxh与 D．)()()(xhxgxf及与
5．α、β、都是锐角，则,81tan,51tan,21tan等于 （ ）
A．3 B．4 C．65 D．45
6．已知)tan(),sin(4sin,cos则a的值是 （ ）
A．412aa B．－412aa C．214aa D．412aa
7．在△ABC中，90C，则BAtantan与1的关系为 （ ）
A．1tantanBA B．1tantanBA
C．1tantanBA D．不能确定
8．50sin10sin70cos20sin的值是 （ ）
A．41 B．23 C．21 D．43
第3讲 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
第3讲 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式
sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β；
cos(α∓β)＝cos αcos β±sin αsin β；
tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan βα±β，α，β均不为kπ＋π2，k∈Z.
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式
sin 2α＝2sin αcos
α；
cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；
tan 2α＝2tan α1－tan2αα，2α均不为kπ＋π2，k∈Z.
3．三角公式的关系
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)存在实数α，β使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．( )
(2)在锐角△ABC中，sin Asin B和cos Acos B的大小关系不确定．( )
(3)公式tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．( )
(4)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.( )
(5)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．( )
答案：(1)√ (2)× (3)× (4)√ (5)√
(教材习题改编)化简cos 18°cos 42°－cos 72°sin 42°的值为( )
A．32
B．12
C．－12 D．－32 解析：选B．法一：原式＝cos 18°cos 42°－sin 18°sin 42°＝cos(18°＋42°)＝cos 60°＝12.
法二：原式＝sin 72°cos 42°－cos 72°sin 42°＝sin(72°－42°)＝sin 30°＝12.
(教材习题改编)已知sin(α－kπ)＝35(k∈Z)，则cos 2α的值为( )
两角和与差的正弦余弦和正切公式记忆口诀
两角和与差的正弦余弦和正切公式记忆口诀
两角和与差的正弦余弦和正切公式是高中数学中的重要内容，它们在解决三角函数问题时起到了重要的作用。下面我将为大家介绍这些公式，并给出一个易于记忆的口诀。
我们来看两角和的正弦公式：
正弦和公式：sin(A±B) = sinA⋅cosB ± cosA⋅sinB
这个公式告诉我们，两个角的正弦之和等于这两个角的正弦乘积的和，再加上它们的余弦乘积的差。这个公式在求解三角函数的和差问题时非常有用。
接下来，我们来看两角和的余弦公式：
余弦和公式：cos(A±B) = cosA⋅cosB ∓ sinA⋅sinB
这个公式告诉我们，两个角的余弦之和等于这两个角的余弦乘积的差，再减去它们的正弦乘积的和。这个公式在求解三角函数的和差问题时也非常有用。
我们来看两角和的正切公式：
正切和公式：tan(A±B) = (tanA ± tanB) / (1 ∓ tanA⋅tanB)
这个公式告诉我们，两个角的正切之和等于这两个角的正切之和与它们的正切乘积之商。同样，这个公式在求解三角函数的和差问题时非常有用。
为了帮助大家记忆这些公式，我编写了一个简单的口诀：
正弦和余弦顺勾股，正切和相除求和差。
这个口诀简洁明了，通过押韵和押字的方式，使得记忆起来更加轻松。
通过学习和记忆这些公式和口诀，我们可以更加方便地解决两角和与差的问题，为高中数学的学习打下坚实的基础。希望大家能够认真学习并灵活运用这些公式，提高自己的数学能力。让我们一起努力，共同进步！
高中数学-必修二6.2.1两角和,差的三角比公式-知识点
1 高中数学-必修二6.2.1两角和/差的三角比公式-知识点
1、熟记两角和与差的余弦、正弦、正切公式.
①两角和与差的余弦公式
cos(α+β)＝cosαcosβ-sinαsinβ cos(α-β)＝cosαcosβ+sinαsinβ
②两角和与差的正弦公式
sin(α+β)＝sinαcosβ+cosαsinβ sin(α-β)＝sinαcosβ-cosαsinβ
③两角和与差的正切公式
tan(α+β)＝tantan1tantan tan(α+β)＝tantan1tantan
2、题型：给角求值。要点：①把非特殊角转化为特殊角的和或差，然后正用公式求值，比如sin75°=sin(45°+30°)=426；sin15°=cos(45°-30°)=
426；②利用诱导公式，构造两角和或差的三角比公式的结构形式，然后逆用公式求值,比如sin460°×sin(-160°)+cos560°×cos(-280°)。
3、题型：给值求值。例如：已知tanα=1/2，sin(α+β)=-2/10，其中，α，β∈（0，π），求cosβ的值。要点：①把所求角分解成两个已知角的和或差，常见角的变换有：2α+β=（α+β）+α；2α-β=（α-β）+α；2=（2）-（2）；2=（2）-（2）；(4)+(4)=2+（）；(4)+(4)=2+（）。②在求三角比的时候，经常要对角的范围进行压缩。比如这道题，由α，β的范围得α+β∈（0，2π），但sin(α+β)＜0，则α+β∈（π，2π），又tanα＞0，所以α∈（0，π/2），所以α+β∈（π，3π/2）。
4、题型：给值求角。例如：已知α，β均为锐角，且cosα=25/5，cosβ=
10/10，求α-β的值。要点与给值求值题型相同(分解所求角和压缩角的范围)。
两角和与差的余弦、正弦、正切公式
第 1 页 共 5 页 六个公式之间的逻辑关系coscos()sinsin()tantan课题 两角和与差的余弦、正弦、正切公式
1．注意到)(，由公式C(α+β).，可以推出：
以上公式即为两角和的余弦公式，简记为C(α+β). sinsincoscos)cos(
2．由C(α+β).和C(α+β).及诱导公式（五）和诱导公式（六），可以推出两角和与差的正弦公式，分别简记为S(α+β)、S(α-β).
sincoscossin)sin(
sincoscossin)sin(
3．推出了公式C(α-β)、C(α+β)、S(α+β)、S(α-β)后,利用同角三角函数关系式，化弦为切得到两角和、差的正切公式，简记为T(α-β)、T(α+β).
tan(α+β)=,tantan1tantan
tan(α-β)= .tantan1tantan
总结：
☆ C(α+β)、S(α+β)、T(α+β)叫和角公式；S(α-β)、C(α-β)、T(α-β)叫差角公式
☆ 等。灵活运用，如注意角的变换及公式的)2()2(2),()(2;)(
☆ 理解这6个公式的逻辑联系：
例1：化简求值：
(1)sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°；
(2)sinx＋π3＋2sinx－π3－3cos2π3－x；
(3)tan 23°＋tan 37°＋3tan 23°tan 37°.
第 2 页 共 5 页 解析：(1)原式＝sin 14°cos 16°＋cos 14°sin 16°＝sin()14°＋16°＝sin 30°＝12.
(2)原式＝sin xcosπ3＋cos xsinπ3＋2sin xcosπ3－2cos xsinπ3－3cos2π3cos x－3sin2π3sin x ＝3sin xcosπ3－cos
两角和与差的正弦、余弦和正切公式
两角和与差的正弦、余弦和正切公式
中学数学中学到了两角和差的正弦、余弦和正切公式，它们可以用于计算更复杂的几何问题，帮助我们把诸多难题转化为计算可解的问题。
两角和公式是当两个角的角度之和等于180度时的三角公式：
sin（α + β）= sinαcosβ + cosαsinβ
cos（α + β）= cosαcosβ - sinαsinβ
tan（α + β）= (tanα + tanβ)/(1 - tanα tanβ)
差公式是当两个角的角度之差等于180度时的三角公式：
sin（α - β）= sinαcosβ - cosαsinβ
cos（α - β）= cosαcosβ + sinαsinβ
tan（α - β）= (tanα - tanβ)/(1 + tanα tanβ)
借助上述公式，我们就可以计算任意两个任意角的正弦、余弦和正切之和和差，而不必将其转化为已知的几何图形进行操作。这样可以很大程度提高几何问题的解答速度，给我们的学习带来更多的便利。
由于上述的三角公式具有一定的解析性，所以我们可以利用它们来计算几何图形的取值，简化解决几何问题的步骤。掌握它们，就可以很好地提高我们数学概念的深化和解决真实世界应用问题的能力。
总之，两角和差的正弦、余弦和正切公式是在多数几何问题中必不可少的，只要我们掌握它们，就可以利用它们快速解决困难的几何问题。
专题03 两角和与差的三角函数(知识串讲+热考题型+专题训练)(解析版)
专题3两角和与差的三角函数
（一）两角和与差的余弦
C
(α
－β)：cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ；
C
(α
＋β)：cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ；
【点拨】
①简记为：“同名相乘，符号反”．
②公式本身的变用，如
cos(α－β)－cosαcosβ＝sinαsinβ．
③公式中的α，β不仅可以是任意具体的角.角的变用，也称为角的变换，如cosα＝cos[(α＋β)
－β]，cos2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]．
（二）两角和与差的正弦
S
(α
＋β)：sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ；
S
(α
－β)：sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ；
【点拨】
①简记为：“异名相乘，符号同”．
②公式中的α，β不仅可以是任意具体的角，还可以是任意形式的“整体”.
（三）两角和与差的正切
T
(α
＋β)：tan(α＋β)＝tanα＋tanβ
1－tanαtanβ；
T
(α
－β)：tan(α－β)＝tanα－tanβ
1＋tanαtanβ.
【点拨】
1公式T
α±β只有在α≠
2
＋kπ，β≠
2
＋kπ，α±β≠
2
＋kπ(k∈Z)时才成立，否则就不成立.
②当tanα或tanβ或tan(α±β)的值不存在时，不能使用T
α±β处理有关问题，但可改用诱导公式
或其他方法．
③变形公式：
tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)，
tanα－tanβ＝tan(α－β)(1＋tanαtanβ)，
如tanα＋tanβ＋tanαtanβtan(α＋β)＝tan(α＋β)，
tan(α＋β)－tanα－tanβ＝tanαtanβtan(α＋β)，
1－tanαtanβ＝tantan
tan()
．
1＋tanαtanβ＝tantan
tan()
．
（四）辅助角公式
函数f(α)＝acosα＋bsinα(a，b为常数)，可以化为f(α)
＝22ab
sin(α＋φ)或f(α)＝
两角和与差的正弦、余弦和正切公式 2
第5节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
知 识 梳 理
1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式
sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β.
cos(α∓β)＝cos αcos β±sin αsin β.
tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.
2.二倍角的正弦、余弦、正切公式
sin 2α＝2sin αcos α.
cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.
tan 2α＝2tan α1－tan2α.
3.函数f(α)＝asin α＋bcos α(a，b为常数)，可以化为f(α)＝a2＋b2sin(α＋φ)其中tan φ＝ba或f(α)＝a2＋b2·cos(α－φ)其中tan φ＝ab.
[常用结论]
1.tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β).
2.cos2α＝1＋cos 2α2，sin2α＝1－cos 2α2.
3.1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，
sin α±cos α＝2sinα±π4.
考点一 三角函数式的化简
【例1】 (1)化简：sin(α＋β)cos(γ－β)－cos(β＋α)sin(β－γ)＝________.
(2)cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β＝( )
A.sin(α＋2β) B.sin α
C.cos(α＋2β) D.cos α
考点二 三角函数式的求值 【例2】 (1) 1. sin 347°cos 148°＋sin 77°·cos 58°＝________.
(2)tan 20°＋tan 40°＋3tan 20°·tan 40°＝________.
(3)(2018·洛阳一模)若sinπ3－α＝14，则cosπ3＋2α＝________.
两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式考点与提醒归纳
两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式考点与提醒归纳
一、基础知识
1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
S(α±β)：sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β.
C(α±β)：cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β.
T(α±β)：tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan βα，β，α±β≠π2＋kπ，k∈Z.
两角和与差的正弦、余弦、正切公式的结构特征和符号特点及关系：C(α±β)同名相乘，符号反；S(α±β)异名相乘，符号同；T(α±β)分子同，分母反.
2．二倍角公式
S2α：sin 2α＝2sin αcos α.
C2α：cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.
T2α：tan 2α＝2tan α1－tan2αα≠kπ＋π2且α≠kπ2＋π4，k∈Z.
二倍角是相对的，例如，α2是α4的二倍角，3α是3α2的二倍角．
二、常用结论
(1)降幂公式：cos2α＝1＋cos 2α2，sin2α＝1－cos 2α2. (2)升幂公式：1＋cos 2α＝2cos2α，1－cos 2α＝2sin2α.
(3)公式变形：tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)．
(4)辅助角公式：asin x＋bcos x＝a2＋b2sin(x＋φ)其中sin φ＝ba2＋b2，cos φ＝aa2＋b2.
考点一 三角函数公式的直接应用
[典例] (1)已知sin α＝35，α∈π2，π，tan β＝－12，则tan(α－β)的值为( )
A．－211 B.211
C.112 D．－112
(2)(2019·呼和浩特调研)若sin()π－α＝13，且π2≤α≤π，则sin 2α的值为(
)
A．－229 B．－429