九年级数学椭圆的几何性质教案
《椭圆的几何性质》说课教案
《椭圆的几何性质》说课教案一、教学背景分析（一）教材分析1、教材地位和作用解析几何的基本思想是：利用代数方法来研究几何问题。
而由曲线的方程来研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形，正是这一思想的直接体现。
本节课是在学习了椭圆定义及其标准方程之后，由方程来研究椭圆的几何性质，这种研究方式学生是第一次遇到，因此不仅要注意对研究结果的理解和运用，而且还要注意对研究方法的学习。
因为掌握这种研究方法就为后面学习双曲线，抛物线及进一步学习其它知识奠定了基础，所以本节课具有举足轻重的地位，起着承上启下的桥梁作用。
2、教学结构的调整本节课教材安排了两课时，将椭圆的范围、顶点、对称性及离心率安排一课时，这样课堂容量较大，考虑到学生实际，我将本节课分为三课时，第一课时只研究椭圆的范围、顶点及对称性，目的是使学生有充分的研究时间。
3、教学目标根据本节教材的特点、新大纲对本节课的教学要求，以及学生身心发展的合理需要，我从三个不同方面确定了如下教学目标：知识与技能：通过探究，掌握椭圆的几何性质，提高猜想能力，合情推理能力，培养发现问题，提出问题的意识。
过程与方法：通过对问题的探究活动，亲历知识的建构过程，理解坐标法中由曲线方程研究曲线几何性质的思想方法。
情感态度与价值观：通过探究，体验挫折的艰辛与成功的快乐，激发学习热情，初步培养创新意识和科学精神。
（二）学生状况分析进入高二后，一部分学生已经养成了良好的学习习惯，而有些学生学习方法不科学，基础薄弱，个别学生甚至失去了学习数学的兴趣，数学成了一门最使他们害怕的学科，所以在培养了部分“尖子生”的同时，也造就了相当数量的“学困生”，因此在教学中应激发学生学习数学的动机，培养学生学习数学的兴趣，多让学生尝试“成功”的快乐，培养其创新意识。
二、教学展开分析（一）教学重点和难点分析本节课的知识重点是椭圆的几何性质，难点是如何贯彻数形结合思想，由曲线方程来研究其几何性质。
为了分散难点可以这样做，让学生用描点法先画草图观察性质由方程用函数观点研究性质图形。
椭圆的性质教案范文
椭圆的性质教案范文教案：椭圆的性质一、教学目标1.知识目标：了解椭圆的定义和一些基本性质。
2.能力目标：掌握椭圆的几何性质，能够应用椭圆的性质解决实际问题。
3.情感目标：培养学生对几何学的兴趣，激发学生思考和动手解决问题的能力。
二、教学重点与难点1.教学重点：椭圆的定义和性质。
2.教学难点：运用椭圆的性质解决实际问题。
三、教学过程Step 1 引入新知1.导入问题：椭圆是什么图形？可以通过哪些方法定义椭圆？2.对学生进行讨论，引导学生提出自己对椭圆的认识和定义。
Step 2 椭圆的定义1.呈现椭圆的定义和示意图。
2.解读定义，解释椭圆的特点和属性。
Step 3 椭圆的性质1.引导学生观察和分析椭圆的性质。
2.探讨椭圆的焦点、长轴、短轴、顶点等概念，并通过图像进行解释。
3.分析椭圆的离心率，以及离心率和长轴、短轴长度的关系。
Step 4 椭圆的方程1.学习椭圆的标准方程和一般方程。
2.分析解释椭圆方程中各个参数的含义。
Step 5 椭圆的运动学应用1.举例说明椭圆在运动学中的应用，如行星的轨道、天体运动等。
2.引导学生思考并解决一些实际问题。
Step 6 实例练习1.教师出示一些椭圆的实际问题，让学生运用椭圆的性质解决。
2.学生个体或小组进行解答，对答案进行讨论和互评。
四、教学评价方法1.展示实例练习的解题过程和答案，评价学生运用椭圆的性质和解决问题的能力。
2.布置类似的习题作为作业，检查学生对椭圆性质的掌握情况。
五、板书设计1.定义：由平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于定长2a的点P的轨迹。
2.椭圆的焦点：F1和F23.椭圆的长轴：通过F1和F2，并且垂直于长轴的直线称为短轴。
4.椭圆的顶点：位于长轴和椭圆轨迹交点上的两个点。
5.离心率：离心率e=c/a，其中c是焦点到原点的距离。
6.椭圆的标准方程：x^2/a^2+y^2/b^2=17. 椭圆的一般方程：Ax^2 + By^2 + Cxy + Dx + Ey + F = 0。
《2.2.2 椭圆的几何性质》 教学案
《2.2.2 椭圆的几何性质》 教学案 教学目标 1．掌握椭圆的基本几何性质：范围、对称性、顶点、长轴、短轴．2．感受如何运用方程研究曲线的几何性质教学重难点椭圆的几何性质——范围、对称性、顶点教学流程一、问题情境1．情境：复习回顾：椭圆的定义；椭圆的标准方程；椭圆中a ，b ，c 的关系．2．问题：在建立了椭圆的标准方程之后，就可以通过方程来研究椭圆的几何性质．那么椭圆有哪些几何性质呢？二、学生活动(1)探究椭圆的几何性质．阅读课本第34页至第35页例1上方，回答下列问题：问题1 椭圆的范围是指椭圆的标准方程22221(0)x y a b a b+=>>中x ，y 的范围，可以用哪些方法推导？问题2 借助椭圆的图形容易发现椭圆的对称性，能否借助标准方程用代数方法推导？ 问题3 椭圆的顶点是最左或最右边的点吗？三、建构数学1．范围．由方程22221x y a b +=可知，椭圆上点的坐标都适合不等式222211x y a b=-≤， 即22x a ≤，所以 x a ≤，同理可得y b ≤．这说明椭圆位于直线x a =±和y b =±所围成的矩形内．2．对称性：从图形上看：椭圆关于x 轴、y 轴、原点对称．从方程22221x y a b+=上看： (1)把x 换成x -方程不变，说明当点(,)P x y 在椭圆上时，点P 关于y 轴的对称点(,)P x y '-也在椭圆上，所以椭圆的图象关于y 轴对称；(2)把y 换成y -方程不变，所以椭圆的图象关于y 轴对称；(3)把x 换成x -，同时把y 换成y -方程不变，所以椭圆的图象关于原点成中心对称． 综上：坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心．3．顶点： 在方程22221x y a b+=中，令0x =，得y b =±，说明点1(0,)B b -，2(0,)B b 是椭圆与y 轴的两个交点．同理1(,0)A a -，2(,0)A a 是椭圆与x 轴的两个交点．(1)顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，叫做椭圆的顶点；(2)长轴、短轴：线段12A A 、线段12B B 分别叫椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a 和2b ；(3)a ，b 的几何意义：a 是长半轴的长，b 是短半轴的长．四、数学运用1．例题：例1 求椭圆221259x y +=的长轴长，短轴长，焦点和顶点坐标，并用描点法画出这个椭圆．例2 求符合下列条件的椭圆标准方程(焦点在x 轴上)：(1)(2)已知椭圆的中心在原点，长轴是短轴的三倍，且椭圆经过点P (3，0)，求椭圆的方程． 2．练习．(1)根据前面所学有关知识画出下列图形 ①13422=+y x ． ②1422=+y x ． (2)在下列方程所表示的曲线中，关于x 轴、y 轴都对称的是( )A ．y x 42=B ． 022=++y xy x C ． x y x 5422=- D ． 4922=+y x五、回顾小结1．椭圆的基本几何性质：范围、对称性、顶点、长轴、短轴；2．研究椭圆性质的方法．。
椭圆几何性质教案
一、复习回顾上节知识点：1、椭圆的定义；2、椭圆的标准方程；3、求椭圆方程的几种方法：待定系数法、定义法、相关点法。
二、讲授新课：1、观察思考：观察椭圆（），想一想我们应该从哪能些方面关注椭圆的哪些方面的几何性质，研究哪些问题。
我们从整体上把握几何图形，这就是范围、对称性；其次是研究它的顶点、扁平程度等等。
2、教师引导，学生合作研究师：解析几何要解决的两类问题是：（1）由已知条件，求出表示曲线的方程；（2）通过曲线的方程，研究曲线的性质。
第一个问题我们已经解决，下面我们用椭圆的标准方程来研究椭圆的简单几何性质。
从数的角度（也就是方程）来验证我们刚才从直观（也就是形）得来的结论。
（一）范围：引导学生得出在解析几何中讨论曲线的范围，就是确定方程中两个变量x,y 的取值范围。
用多种方法探究，汇报研究成果并用实物投影展示或到黑板板书。
学生1：由利用两个实数的平方和为1，结合不等式知识得且，则有。
那么它的范围就是直线所围成的区域。
老师：很好，谁还有不同意见？学生2：利用三角换元，令。
由正弦函数有界可得范围。
老师：这个想法也不错，谁还有不同见解？学生3：从中解出，利用可得y的取值范围，同样可得x的取值范围。
师：这种想法也很好，谁还有不同方法？此时学生陷入深思中，教师及时点拨，前面我们学习过函数的定义域、值域，这对你研究椭圆的范围有何启示呢？学生纷纷议论，有的开始动笔推导，有的几个人一起在商量。
老师：谁研究出来了，或哪个小组研究出来了？请到前面给大家讲一讲。
学生4：（在黑板上展示）由则，可通过求这个函数的定义域、值域得范围。
老师：是函数吗？学生4：（思考后说）不是。
老师：怎样处理呢？学生4：把和分别看作是一个函数。
老师：正确。
往下怎样研究呢？学生4：先求函数的定义域、值域。
利用前面学习过的代数函数求定义域、值域的方法，可得，同样得中，于是得到范围。
老师：好。
前面我们研究了椭圆的对称性，谁能简化学生4的推导过程呢？学生5：老师，我想只需求的定义域、值域即可，然后利用对称性可得范围。
椭圆的简单几何性质(教案)
椭圆的简单几何性质教学目标：1. 理解椭圆的定义及其基本性质。
2. 掌握椭圆的长轴、短轴、焦距等几何参数的计算方法。
3. 能够运用椭圆的性质解决相关几何问题。
教学重点：1. 椭圆的定义及其基本性质。
2. 椭圆几何参数的计算方法。
教学难点：1. 椭圆性质的应用。
教学准备：1. 教学课件或黑板。
2. 尺子、圆规等绘图工具。
教学过程：一、导入1. 引导学生回顾圆的性质，提出问题：“如果将圆的半径缩小，圆的形状会发生什么变化？”2. 学生讨论并得出结论：圆的形状会变成椭圆。
二、新课讲解1. 引入椭圆的定义：椭圆是平面上到两个固定点（焦点）距离之和为常数的点的轨迹。
2. 讲解椭圆的基本性质：a) 椭圆的两个焦点对称，且位于椭圆的长轴上。
b) 椭圆的长轴是连接两个焦点的线段，短轴是垂直于长轴的线段。
c) 椭圆的半长轴a和半短轴b是椭圆的几何参数，焦距2c与a、b之间的关系为c^2=a^2-b^2。
3. 演示如何用尺子和圆规绘制椭圆，并引导学生动手实践。
三、案例分析1. 给出一个椭圆，让学生计算其长轴、短轴和焦距。
2. 学生分组讨论并解答，教师巡回指导。
四、课堂练习1. 布置课堂练习题，让学生运用椭圆的性质解决问题。
2. 学生独立完成练习题，教师批改并给予反馈。
五、总结与拓展1. 总结本节课所学的椭圆的基本性质和几何参数的计算方法。
2. 提出拓展问题：“椭圆在实际应用中有什么意义？”，引导学生思考和探索。
教学反思：本节课通过导入、新课讲解、案例分析、课堂练习和总结与拓展等环节，使学生掌握了椭圆的基本性质和几何参数的计算方法。
在教学过程中，注意引导学生主动参与、动手实践，提高学生的学习兴趣和积极性。
通过课堂练习和拓展问题，培养学生的思维能力和解决问题的能力。
但在教学过程中，也要注意对学生的个别辅导，确保每个学生都能跟上教学进度。
六、椭圆的离心率1. 引入离心率的定义：椭圆的离心率e是焦距c与半长轴a之比，即e=c/a。
椭圆的简单几何性质(教案)
椭圆的简单几何性质教学目标：1. 理解椭圆的定义及其基本几何性质。
2. 学会运用椭圆的性质解决相关问题。
3. 培养学生的观察能力、推理能力和解决问题的能力。
教学内容：1. 椭圆的定义2. 椭圆的焦点3. 椭圆的长轴和短轴4. 椭圆的离心率5. 椭圆的面积教学准备：1. 教学课件或黑板2. 椭圆模型或图片3. 直尺、圆规等绘图工具教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入椭圆的概念，展示椭圆模型或图片，让学生观察并描述椭圆的特点。
2. 引导学生思考：椭圆与其他几何图形（如圆、矩形等）有什么不同？二、椭圆的定义（10分钟）1. 给出椭圆的定义：椭圆是平面上到两个定点（焦点）距离之和等于常数的点的集合。
2. 解释椭圆的焦点概念，说明焦点的作用。
3. 引导学生通过实际操作，绘制一个椭圆，并标记出焦点。
三、椭圆的焦点（10分钟）1. 介绍椭圆的焦点与椭圆的离心率的关系。
2. 引导学生通过实际操作，观察焦点的位置与椭圆的形状之间的关系。
3. 解释椭圆的离心率的定义及其几何意义。
四、椭圆的长轴和短轴（10分钟）1. 介绍椭圆的长轴和短轴的概念。
2. 引导学生通过实际操作，测量和记录椭圆的长轴和短轴的长度。
3. 解释长轴和短轴与椭圆的形状之间的关系。
五、椭圆的面积（10分钟）1. 介绍椭圆的面积的计算公式。
2. 引导学生通过实际操作，计算一个给定椭圆的面积。
3. 解释椭圆面积与长轴和短轴之间的关系。
教学评价：1. 通过课堂讲解和实际操作，学生能够理解椭圆的定义及其基本几何性质。
2. 通过解决问题和完成作业，学生能够运用椭圆的性质解决相关问题。
3. 通过课堂讨论和提问，学生能够展示对椭圆的理解和应用能力。
六、椭圆的离心率（10分钟）1. 回顾椭圆的离心率的定义和计算方法。
2. 引导学生通过实际操作，观察离心率与椭圆的形状之间的关系。
3. 解释离心率在几何中的应用，如椭圆的焦点和直线的交点等。
七、椭圆的参数方程（10分钟）1. 介绍椭圆的参数方程及其意义。
椭圆的简单几何性质教学教案
椭圆的简单几何性质教学教案一、教学目标1. 知识与技能：使学生掌握椭圆的定义，理解椭圆的基本几何性质，如焦点、半长轴、半短轴等概念；2. 过程与方法：通过观察、分析、归纳等方法，让学生发现并证明椭圆的几何性质；3. 情感态度与价值观：培养学生对数学的兴趣，提高学生分析问题、解决问题的能力。
二、教学内容1. 椭圆的定义：椭圆是平面上到两个定点（焦点）距离之和为定值的点的轨迹。
2. 椭圆的基本几何性质：a. 焦点：椭圆的焦点距离为2c，其中c为半焦距，c^2=a^2-b^2；b. 半长轴：椭圆的半长轴为a，表示椭圆的长轴的一半；c. 半短轴：椭圆的半短轴为b，表示椭圆的短轴的一半；d. 椭圆的面积：S=πab。
三、教学重点与难点1. 教学重点：椭圆的定义及其基本几何性质；2. 教学难点：椭圆的焦点、半长轴、半短轴等概念的理解与应用。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生通过观察、分析、归纳等方法发现椭圆的几何性质；2. 利用数形结合法，让学生直观地理解椭圆的定义及其几何性质；3. 运用实例讲解法，让学生掌握椭圆在实际问题中的应用。
五、教学过程1. 导入新课：通过介绍椭圆的起源和发展，激发学生的学习兴趣；2. 讲解椭圆的定义：结合图形，解释椭圆的定义，让学生理解椭圆的概念；3. 探索椭圆的基本几何性质：引导学生观察椭圆的图形，发现焦点、半长轴、半短轴等性质；4. 证明椭圆的几何性质：引导学生运用数学方法证明椭圆的基本几何性质；5. 应用实例：让学生运用椭圆的性质解决实际问题，巩固所学知识。
本教案为椭圆的简单几何性质教学教案的第一部分，后续章节将陆续呈现。
希望能对您的教学有所帮助！六、教学练习1. 基本概念练习：a. 定义椭圆的焦点；b. 解释椭圆的半长轴和半短轴；c. 计算椭圆的面积。
2. 应用题练习：a. 已知椭圆的半长轴为5cm，半短轴为3cm，求椭圆的焦点距离；b. 已知椭圆的面积为36πcm²，半长轴为6cm，求椭圆的半短轴；c. 一个椭圆的焦点在x轴上，半长轴为4cm，半短轴为3cm，求椭圆的标准方程。
椭圆的性质教学设计
椭圆的性质教学设计椭圆的性质教学设计椭圆的性质教学设计【1】（一）指导思想与理论依据1、本节课的设计力图体现“教师为主导,学生为主体”的教学思想。
在教学的过程中始终本着“教师是课堂教学的组织者、引导者、合作者”的原则，让学生通过实验、观察、思考、分析、推理、交流、合作、反思等过程建构新知识，并初步学会从数学的角度去观察事物和思考问题，产生学习数学的浓厚兴趣。
2、在“椭圆的标准方程”的引入与推导中，遵循学生的认识规律，运用“实验——猜想——推导——应用”的思想方法，逐步由感性到理性地认识定理，揭示知识的发生、发展过程；遵循现代教育理论中的“要把学生学习知识当作认识事物的过程来进行教学”的观点。
3、数学学习的核心是思考，离开思考就没有真正的数学。
针对这节课的内容：教师提问；学生操作、观察、思考、讨论；教师再演示、点评，最大限度地调动学生积极参与教学活动。
在教学重难点处适当放慢节奏，给学生充分的时间与空间进行思考与讨论，教师适时给予适当的思维点拨，必要的可进行大面积提问，让学生做课堂的主人，充分发表自己的观点，交流、汇集思想。
这样既有利于化解难点、突出重点，也有利于充分发挥学生的主体作用，使课堂气氛更加活跃，让学生在生生互动、师生互动中掌握知识，提高解决问题的能力。
另外通过学法指导，引导学生思维向更深更广发展，以培养学生良好的思维品质，并为以后进一步学习椭圆的几何性质及双曲线和抛物线作好辅垫。
（二）教学背景分析A、学情分析 1、能力分析①学生已初步掌握用坐标法研究直线和圆的方程; ②对含有两个根式方程的化简能力薄弱。
2、认知分析①学生已初步熟悉求曲线方程的基本步骤;②学生已经掌握直线和圆的方程及圆锥曲线的概念，对曲线的方程的概念有一定的了解;③学生已经初步掌握研究直线和圆的基本方法。
3、情感分析学生具有积极的学习态度，强烈的探究欲望，能主动参与研究。
B、教材分析在教材处理上，根据椭圆定义的特点，结合学生的认识能力和思维习惯在概念的理解上，先突出“和”，在此基础上再完善“常数”取值范围.在标准方程的推导上，并不是直接给出教材中的“建系”方式，而是让学生自主地“建系”，通过所得方程的比较，得到标准方程，从中去体会探索的乐趣和数学中的对称美和简洁美.基于以上分析，我将本课的教学重点、难点确定为：①重点：感受建立曲线方程的基本过程，掌握椭圆的标准方程及其推导方法；②难点：椭圆的标准方程的推导，辨析椭圆标准方程。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
圆锥曲线教案椭圆的几何性质教案教学目标1．使学生理解并掌握从椭圆的两个定义及标准方程和图形出发研究椭圆的几何性质的思路；能根据椭圆的标准方程求出其焦点、顶点的坐标、离心率以及准线方程，并能根据其性质画出椭圆的图形．2．使学生会初步利用待定系数法和椭圆的几何性质求出椭圆的标准方程．3．培养学生观察、发现问题和解决问题的能力，为今后学习其它圆锥曲线的几何性质作好方法上的准备．教学重点与难点椭圆的几何性质、第二定义及其应用是教学的重点，难点是对离心率的理解．教学过程一、复习提问师：在上节课中我们学习了椭圆的两个定义，请同学们回答其具体内容．(教师指定学生回答，并引导其他学生进行更正．)师：我们还学习了焦点分别在x轴和y轴上的椭圆的标准方程，请分别说出各是什么形式？生：当焦点在x轴上时方程为：当焦点在y轴上时方程为：师：代数中研究函数图象时都需要研究函数的哪些性质？生：需要研究函数的定义域、值域、奇偶性、单调性等性质．师：由于方程f(x，y)=0与函数y=f(x)都是描述图形和图象上的点所满足的关系的，二者之间存在着必然的联系(当然也有区别，例如：在函数中，对每一个自变量x都有唯一的函数值y与之对应，而方程中x、y的关系则较为复杂．)，因此我们可以用类比研究函数图象的方法，根据椭圆的定义、图形和标准方程来研究椭圆的几何性质．师：好，现在我们有3个工具，即：椭圆的两个定义、图形及其标准方程，下面我们就分别从研究定义、图形和方程出发看看能获得哪些性质．二、讲授新课(一)从定义方面研究1．焦点通过椭圆第一定义我们知道两个定点叫焦点，分别是：当焦点在x轴上时方程为：左焦点：F1(-c，0)，右焦点；F1(c，0)．当焦点在y轴上时方程为：下焦点：F1(0，-c)，上焦点：F1(0，c)．2．椭圆的第二定义、准线方程及离心率(可由学生完成，指定一名学生在黑板上板演)师：求轨迹方程的方法，步骤是什么？生：当不知道轨迹时，可以采用轨迹法(包括直接法、转移代入法等)，其步骤是：建立直角坐标系，且给出动点坐标，找动点满足的几何条件，坐标化，化简得方程，检验．最后教师指出：点M的轨迹是椭圆．并纠正如下：依题意：所求轨迹就是集合：(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)，令a2-c2=b2，得请学生叙述椭圆的第二定义．生：平面上，到定点距离与到定直线距离之比等于定值e(0＜e＜1)的点的轨迹叫椭圆．师：很好！我们把这一定义称作椭圆的第二定义．要注意的是，在这一定义中的：“平面上、0＜e＜1”等条件．另外，我们把定值e=师：请计算下面椭圆的离心率，并画出椭圆图形．生：离心率分别为0.5，0.6，0.8，椭圆的图形可让学生画在笔记上．师：随着离心率的增大，椭圆的形状发生了怎样的变化？生：随着离心率的增大，椭圆的形状是越来越扁．你有什么发现？趋近于一条线段．师：可见，通过研究离心率的变化，可以进一步证实我们上一节的结论：圆是椭圆的特例，只有当2a＞|F1F2|时，轨迹才是椭圆．师生共同小结：当e越接近于1时，c越接近a，从而b越小，因此椭圆越扁；反之，e越接近于0，从而b越接近于a，椭圆越接近于圆．师：可见离心率e是刻画椭圆圆扁程度的量．几条准线？你能根据上例写出它们的方程吗？你能画出来吗？生：一个椭圆有两条准线．师：很正确．为了方便，我们将相对于左焦点的准线叫左准线，另一条就叫右准线，如图2-31．(二)从标准方程方面研究3．椭圆的顶点师：请问怎样才能求出直线Ax+By+C=0(AB≠0)与坐标轴的交点呢？生：只要分别令x=0及y=0，解出相应的y及x即可．学生自然会想到分别令x=0及y=0，解出相应的y=0及x=0代入椭圆方程得到4个顶点，坐标分别是：A1(-a，0)， A2(a，0)， B1(0，-b)， B(0，b)师：如果我们定义曲线与坐标轴的交点叫做曲线的顶点，那么以上4个点都叫椭圆的顶点．同时我们将线段A1A2，B1B2分别叫椭圆的长轴和短轴．师：请你根据方程说出椭圆的长轴长和短轴长．生：其中长轴长为2a，短轴长为2b．师：另外我们将a叫半长轴长，b叫半短轴长．(三)从椭圆的图形和方程方面研究4．椭圆的范围师：首先我们通过椭圆的图形来研究椭圆的范围．(就相当于研究函数的定义域和值域．)师：观察椭圆的图形，你能发现椭圆位于怎样的范围内吗？生：椭圆位于一个矩形内，如图2-32．师：你能用数学式子表示此矩形吗？(教师可以通过顶点坐标启发学生进行思考．)生：可以用|x|≤a，且|y|≤b表示．师：下面我们来观察椭圆的标准方程，请你说说它的形式有什么特点？生：椭圆的方程左边是两个平方项的和，右边是定值1．师：据此，你能得到什么结论？生：由于两个非负数的和是定值，因此方程中的x，y必然取得有限的值，也就是椭圆必然在一个一定的范围内．师：能证明吗？(教师可以启发学生根据不等式的放缩法来证明)然后由师生共同归纳出证明过程如下：因此椭圆在矩形|x|≤a，且|y|≤b内．5．椭圆的对称性(相当于研究函数奇偶性)：紧密结合图形，通过举例，然后归纳．师：观察椭圆图形，你能发现它具有怎样的对称性吗？生：从椭圆的图形看，椭圆既关于坐标轴对称，又关于原点对称．师：由此可见，椭圆既是轴对称图形又是中心对称图形，它有两条对称轴(即坐标轴)，一个对称中心(即原点)，我们称它为椭圆的中心．(说明：中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆的方程都叫标准方程．)师：如何通过方程来说明这种对称性呢？下面我们看几个例题：引例请画出下列方程所表示的图形．(1)y2＝x(2) y=x2(3)y=x3师：根据图形说出曲线的对称性．生：图(1)关于x轴对称，图(2)关于y轴对称，图(3)关于原点对称．(如图2-33)师：若要说明一个函数关于y轴对称，应该如何说明呢？生：说明一个函数关于y轴对称，只需要在此函数图象上任找一点P(x，y)，若它关于y的轴对称点P′(-x，y)也满足函数关系，就说明此函数图象关于y 轴对称．请同学们用类比法说明椭圆的对称性．生：若将x换成-x，方程不变，说明图形关于y轴对称；若将y换成-y，方程也不变，说明图形关于x轴对称；若将x，y同时换成-x，-y，方程仍然不变，说明图形关于原点对称．师：结合椭圆方程的形式特点，请你总结一下椭圆的对称性．生：由于椭圆方程左边是关于x，y对称的二次型，右边为定值1，所以椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形．师：很好，由此可见，椭圆的定义和方程的形式决定了椭圆的对称性质．三、例题例1 求椭圆16x2+25y2=400的长轴、短轴的长，焦点、顶点坐标，准线方程和离心率，并用描点法画出图形．分析首先应将方程化为标准方程，计算出a，b，c，再根据其几何性质解出即可．(教师可指定一名学生板书．)c=3，因此长轴、短轴的长分别为：2a=10，2b=8，焦点为：F1(-3，0)，F2(3，0)．顶点A1(-5，0)，A2(5，0)，B1(0，-4)，B2(0，4)．准师：注意：画图时应先画矩形，在第一象限内描出一些点并连成光滑的线，再根据椭圆的对称性画出整个椭圆，如图2-34．例2 我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道是以地球中心为一个焦点的椭圆，近地点A距地面439千米，远地点B距地面2384千米，地球半径6371千米，求卫星的轨道方程(如图2-35)．分析结合图2-35可知近地点、远地点实际上是椭圆长轴上的两个顶点．解选取坐标系如图2-35，则a-c=OA-OF2=F2A=6371+439=6810，a+c=OB-OF2=F2B=6371+2384=8755，所以a=7782.5，c=972.5，b=7721.5．练习：求下列各椭圆的长轴、短轴的长，焦点坐标，顶点坐标，准线方程和离心率．(1)9x2+y2=1 (2)x2+4y2=16解因为a2=100，b2=36，所以c2=64，所以a＝10，b＝6，c＝8，设P到左准线的距离为t1，例4 已知椭圆的长轴长为5，一条准线方程为x=-10，求椭圆的标准方程．分析本题应根据已知条件确定标准方程的形式，再据已知确定系数(待定系数法)．练习：1．设椭圆中心在原点，它在x轴上的一个焦点与短轴两端点所连焦四、小结1．知识方面：轴的轴对称图形，又是以原点为对称中心的中心对称图形．因此，画它的图形时，只要画出第一象限的部分，其余可由对称性得出．(2)在讨论椭圆性质时，应首先根据方程判断此长轴的位置(即焦点在x轴上，还是在y轴上)，然后再讨论其他性质；(判断方法是“大小分长短”，即哪个字母下面的数大，焦点就在那个轴上．)(3)常数e(离心率)是焦距与长轴长的比值，与坐标轴的选择无关．2．方法方面：(1)给出方程会求椭圆的几何性质；(2)会用待定系数法根据条件求椭圆方程．布置作业：1．求下列椭圆的焦点、顶点坐标，离心率，准线方程，长、短轴长．(2)中心在原点，对称轴在坐标轴，长轴长是短轴长2倍，且过点(2，-6)．设计说明《椭圆的几何性质》一节内容多，要求学习掌握的知识点也多，而且这一节学习得好坏直接影响学生对双曲线、抛物线的学习．所以，通过这一节的教学不仅要使学生初步理解并能简单应用所学的知识，更重要的是：使学生掌握研究圆锥曲线几何性质的一般思路和方法，以便今后的学习，从而达到培养学生学习能力的目的．这也是制订此教案教学目的的初衷．根据以上教学目的，整个教学过程分成从三个方面(即从椭圆的定义、图形和标准方程)去研究椭圆的几何性质，通过提出问题，让学生类比以前的学习方法自己去解决问题，引出新的知识点，最后把对研究其它圆锥曲线的几何性质有指导作用的方法进行小结．这样做不仅可以达到学习新知识的目的，还可以更好地理解旧知识，在新旧结合的过程中使学生的学习能力得到提高，从而为下一阶段的学习打下基础．在整个教学过程中，力求使形、数不分离，总是在通过让学生看图、画图、分析这一亲自实践过程去体会、感受，使本来枯燥的知识点变得“有血有肉”，充分使“数形结合的思想方法”深入学生心中．由于本节内容知识点多，所以采用了讲练结合的办法，在练习中巩固所学，从而达到能进行简单应用的教学目的．这节课还有一个特点就是加强了学生的活动，一节课中，不仅要求学生动脑、动口，更要动手，使在课堂教学中既教猜想又教证明的目的得以实现．。