2.2.2椭圆的几何性质(教案)
全国高中数学 青年教师展评课 椭圆的简单几何性质教学设计
诚西郊市崇武区沿街学校2.2.2椭圆的简单几何性质设计一．教学内容解析：椭圆是生活中常见的曲线，研究它的几何性质，对于后续学习圆锥曲线有重要的指导作用，也为研究双曲线和抛物线奠定了根底。
研究曲线的性质，可以从整体上把握曲线的形状，大小和位置。
利用方程研究椭圆的简单几何性质之前，先引导学生想一想我们应该关注椭圆哪些方面性质。
研究椭圆的详细性质之前，先让学生观察图形直观得到性质，而后利用方程去研究。
根据曲线的条件求出曲线的方程，假设说是解析几何的手段，那么根据曲线的方程研究它的几何性质那么可以说是解析几何的一个手段。
方程研究曲线性质，即代数方法解决几何问题，将复杂的几何关系的研究转化为对曲线方程特点的分析，代数方法可以程序化地进展运算，代数法研究曲线的性质有较强的规律性，这是当年Descartes 创立解析几何的直接目的。
二．教学目的设置： (一)知识与技能：1.给定椭圆标准方程，能说出椭圆的范围，对称性，顶点坐标和离心率；2.在图形中，能指出椭圆中e c b a ,,,的几何意义及其互相关系；3.知道离心率大小对椭圆扁平程度的影响； (二)过程与方法：1.通过画图并观察得到椭圆的一些性质，培养学生观察分析意识；2.方程研究椭圆性质，让学生感受到解析几何的目的——代数法研究几何问题；3.让学生注意“顶点〞“椭圆中心〞的概念，体会到特殊与一般的区别；4.通过设置填表和例2〔2〕，让学生体会类比法和分类讨论的重要性。
(三)情感态度与价值观：讨论打破难点，培养学生意识；通过对椭圆对称性及离心率对椭圆形状影响的研究，让学生感受到数学美；方程研究曲线的性质，可以程序化运算，感悟数学家创立解析几何的目的；结合之前的学习，学生发现曲线与方程的互相结合，体会出事物的辩证统一，互相转化的唯物主义。
三．学生学情分析：本班学生数学根底参差不齐，学习程度开展不平衡；学生已熟悉和掌握椭圆定义及其标准方程，学生有动手体验和探究的兴趣，有一定的观察分析和逻辑推理的才能；学生接触过由函数解析式研究函数图像的性质，由方程求过直线和圆的一些特殊点；离心率概念比较抽象，直接引入比较突兀，给学生明确的问题，结适宜当的点拨与演示，是非常必要的。
高中数学 椭圆的简单几何性质教案(2) 新人教A版选修2-1
§2.2.2 椭圆的简单几何性质(2)●教学目标１．熟悉椭圆的几何性质；２．利用椭圆几何性质求椭圆标准方程； ３．了解椭圆在科学研究中的应用． ●教学重点：椭圆的几何性质应用 ●教学过程：Ⅰ、复习回顾：利用椭圆的标准方程研究了椭圆的几何性质． Ⅱ、讲授新课：例6．点 ),(y x M 与定点 )0,4(F 的距离和它到定直线 425:=x l 的距离的比是常数54，求点的轨迹．解：设 是点 直线 的距离，根据题意，如图所求轨迹就是集合⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧==54d MF M P 由此得54425)4(22=-+-x y x ．将上式两边平方，并化简得 22525922=+y x即192522=+y x所以，点M 的轨迹是长轴、短轴分别是10、6的椭圆说明：椭圆的一个重要性质：椭圆上任意一点与焦点的距离和它到定直线的距离的比是常数（e 为椭圆的离心率）。
其中定直线叫做椭圆的准线。
对于椭圆 ，相应于焦点 的准线方程是 ．根据椭圆的对称性，相应于焦点 的准线方程是，所以椭圆有两条准线．可见椭圆的离心率就是椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线距离的比，这就是离心率的几何意义．【典例剖析】 ［例1］已知椭圆2222by a x +＝1(a ＞b ＞0)的焦点坐标是F 1(－c ，0)和F 2(c ，0)，P (x 0，y 0)是椭圆上的任一点，求证：｜PF 1｜＝a ＋ex 0，｜PF 2｜＝a －ex 0，其中e 是椭圆的离心率．［例2］已知点A (1，2)在椭圆121622y x +＝1内，F 的坐标为(2，0)，在椭圆上求一点P 使|PA |＋2|PF |最小．［例3］在椭圆92522y x +＝1上求一点P ，使它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍． Ⅲ、课堂练习： 课本Ｐ52，练习 ５ 再练习：已知椭圆上一点 到其左、右焦点距离的比为1：3，求 点到两条准线的距离．（答案： 到左准线的距离为 ，到右准线的距离为．）思考： 已知椭圆 内有一点 ，是椭圆的右焦点，在椭圆上有一点 ，使的值最小，求的坐标．（如图）分析：若设，求出 ，再计算最小值是很繁的．由于 是椭圆上一点到焦点的距离，由此联想到椭圆的第二定义，它与到相应准线的距离有关．故有如下解法． 解：设在右准线 上的射影为．由椭圆方程可知，，．根据椭圆的第二定义，有 即．∴．显然，当 、、 三点共线时，有最小值．过 作准线的垂线．由方程组 解得 ．即 的坐标为．【随堂训练】1．椭圆2222ay b x +＝1(a ＞b ＞0)的准线方程是( )A ．y ＝±222b a a + Ｂ．y ＝±222b a a -Ｃ．y ＝±222ba b - Ｄ．x ＝±222ba a -2．椭圆4922y x +＝1的焦点到准线的距离是( )A ．554和559 B ．559和5514 C ．554和5514 D ．5514 3．已知椭圆2222by a x +＝1(a >b >0)的两准线间的距离为3316，离心率为23，则椭圆方程为( ) A ．3422y x +＝1 B ．31622y x +＝1 C ．121622y x +＝1 D ．41622y x +＝14．两对称轴都与坐标轴重合，离心率e ＝0．8，焦点与相应准线的距离等于49的椭圆的方程是( )A ．92522y x +＝1或92522x y +＝1B ．92522y x +＝1或162522y x +＝1C ．162x ＋92y ＝1 D ．162522x y +＝15．已知椭圆2222by a x +＝1(a >b >0)的左焦点到右准线的距离为337，中心到准线的距离为334，则椭圆的方程为( ) A ．42x ＋y 2＝1 B ．22x ＋y 2＝1C ．42x ＋22y ＝1D ．82x ＋42y ＝16．椭圆22)2()2(-+-y x ＝25843++y x 的离心率为( )A ．251 B ．51 C ．101 D ．无法确定【强化训练】1．椭圆2222by a x +＝1和2222by a x +＝k (k ＞0)具有( )A ．相同的离心率B ．相同的焦点C ．相同的顶点D ．相同的长、短轴2．椭圆92522y x +＝1上点P 到右焦点的最值为( )A ．最大值为5，最小值为4B ．最大值为10，最小值为8C ．最大值为10，最小值为6D ．最大值为9，最小值为13．椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形，则此椭圆的离心率是( )A ．51 B ．43 C ．33 D ．214．若椭圆两准线间的距离等于焦距的4倍，则这个椭圆的离心率为( )A ．41 B ．22 C ．42 D ．215．椭圆m y m x 21322++＝1的准线平行于x 轴，则m 的取值范围是( )A ．m ＞0B ．0＜m ＜1C ．m ＞1D ．m ＞0且m ≠16．椭圆92522y x +＝1上的点P 到左准线的距离是2．5，则P 到右焦点的距离是________．7．椭圆103334)1()1(22--=-++y x y x 的长轴长是______．8．AB是过椭圆4522y x +＝1的一个焦点F 的弦，若AB 的倾斜角为3π，求弦AB 的长．9．已知椭圆的一个焦点是F (1，1)，与它相对应的准线是x ＋y －4＝0，离心率为22，求椭圆的方程．10．已知点P在椭圆2222bx a y +＝1上(a ＞b ＞0)，F 1、F 2为椭圆的两个焦点，求|PF 1|·|PF 2|的取值范围．【学后反思】椭圆的离心率是焦距与长轴的比，椭圆上任意一点到焦点的距离与这点到相应．．准线的距离的比也是离心率，这也是离心率的一个几何性质．椭圆的离心率反映了椭圆的扁平程度，它也沟通了椭圆上的点的焦半径｜PF｜与到相应准线距离d之间的关系．左焦半径公式是|PF1|＝a＋ex0，右焦半径公式是|PF2|＝a－ex0．焦半径公式除计算有关距离问题外还证明了椭圆上离焦点距离最远(近)点实a2，但必须注意这是椭圆的为长轴端点．椭圆的准线方程为x＝±c中心在原点，焦点在x轴上时的结论．。
椭圆的简单几何性质
2.2 椭圆2.2.2椭圆的简单几何性质 第一课时 椭圆的简单几何性质【学习目标】1、理解椭圆的范围、对称性、顶点、长轴长及短轴长；2、掌握椭圆的离心率及c b a ,,的几何意义。
【重难点】重点：椭圆的简单几何性质 难点：求椭圆的离心率 【学习过程】复习引入：1、椭圆的定义我们把平面内与两个定点21,F F 的距离的和等于常数（大于||21F F ）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点21,F F 叫做椭圆的焦点，两焦点21,F F 间的距离||21F F 叫做椭圆的焦距。
2、椭圆的标准方程焦点在x 轴上：12222=+b y a x )0(>>b a 焦点在y 轴上：12222=+ay b x )0(>>b a3、重要结论：222c b a +=知识点一：椭圆的简单几何性质 1、范围由图形及椭圆的标准方程12222=+b y a x 可知，122≤a x 且122≤by ，即⎩⎨⎧≤≤-≤≤-by b ax a 故椭圆12222=+by a x 位于直线a x ±=和b y ±=所形成的矩形框里。
2、对称性观察椭圆的形状，可以发现椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形。
在椭圆12222=+by a x 中，用y -代替y ，方程不变，所以椭圆关于x 轴对称；用x -代替x ，方程不变，所以椭圆关于y 轴对称；用x -代替x ，用y -代替y ，方程不变，所以椭圆关于原点对称。
结论：椭圆关于x 轴和y 轴都对称，所以x 轴、y 轴叫做椭圆的对称轴；对称轴的交点原点，叫做椭圆的对称中心。
3、顶点椭圆与对称轴的交点，叫做椭圆的顶点。
显然12222=+by a x 有四个顶点，其中在x 轴上有)0,(),0,(21a A a A -，在y 轴上有),0(),,0(21b B b B -。
线段2121,B B A A 分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别和a 2和b 2，b a ,分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
椭圆的几何性质教案
学生回答
y 轴对称.同理,把 y 换成-y,或同时把 x,y 换成-x,-y 时,方程都不变.所以, 椭圆关于 x 轴和原点都是对称的.因此,坐标轴是椭圆的对称轴,原点是椭 圆的对称中心.椭圆的对称中心叫做椭圆的中心 椭圆的中心. 椭圆的中心 3.顶点 3.顶点 ⑴首先,我们要知道,何为曲线的顶点.曲线的顶点是指曲线与其对称 轴的交点. ⑵观察曲线的图像，在已知椭圆对称性的基础上，大家觉得哪几个点 是椭圆的顶点？ ｙ B2 b A1 -a B1 -b A2 a
方程 长轴长 短轴长 焦点坐标 a,b,c 关系 顶点坐 标 离心率 对称中心 对称轴
x2 y2 + =1 a2 b2
y 2 x2 + =1 a 2 b2
1．请大家课后将表格填完整. 请大家课后将表格填完整. 2.思考 思考， 对椭圆的形状有影响吗？有什么影响？ 2.思考，a，b 对椭圆的形状有影响吗？有什么影响？ 3.书后练习 3.书后练习 5.7.9.10.
x2 y2 + =1 a2 b2
当焦点在 y 轴上时方程为：
y 2 x2 + =1 a 2 b2
其中：a ＞ b ＞ 0 ,且有 c = a + b . ｙ ｙ
2 2 2
指定学生回答,并 引导其他学生进 行更正
ｘ
ｘ
焦点在 x 轴上
焦点在 y 轴上
二、课题引入： 课题引入： 1.给同学们展示国家大剧院的外部景观,并提出疑问为什么国家大 1. 剧院会选择椭球形的设计？ 2.国家大剧院之所以会选择椭球形的设计,其根本原因是椭球形 2. 非常美观,然而椭球形的美又是源于椭圆的美.那么椭圆到底美在何 处？它又具有哪些几何性质？接下来,这节课就让我们一起来研究 椭圆的几何性质. 三、探索新知： 探索新知： 我们以焦点在 x 轴上的椭圆的标准方程
教学设计3：2.2.2椭圆的几何性质
2.2.2椭圆的几何性质教学目标1.知识与技能掌握椭圆的几何性质，理解椭圆方程与椭圆曲线间互逆推导的逻辑关系及利用数形结合解决实际问题．2．过程与方法通过椭圆的方程研究其几何性质及其应用过程，培养学生观察、分析问题的能力，利用数形结合思想解决问题的能力．3．情感、态度与价值观通过数与形的辨证统一，对学生进行辨证唯物主义教育，通过对椭圆对称美的感受，激发学生对美好事物的追求．教学重点：由标准方程分析出椭圆的几何性质．教学难点：椭圆离心率几何意义的导入和理解及求法．椭圆的简单几何性质问题导思1．观察椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的形状，你能从图中看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？椭圆上哪些点比较特殊？【答案】椭圆上的点都在如题图中的矩形框内部，椭圆关于坐标轴对称．椭圆与坐标轴的四个交点比较特殊．2．如何由椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)求出椭圆与x、y轴的交点坐标？【答案】只要令x＝0或y＝0求解即可．x 2y 2y 2x 2椭圆的离心率 问题导思1．观察不同的椭圆，我们会发现，椭圆的扁平程度不一．对于椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，若令a 不变，b 怎样变化时椭圆形状越圆(扁)？此时c 的情况如何？【答案】 当a 值不变，b 越大，即c 越小时，椭圆形状越圆；b 越小即c 越大时，椭圆形状越扁．2．若用ca来描述椭圆的扁平情况会是怎样的？【答案】 c a 越小椭圆形状越圆；c a 越大椭圆形状越扁．(注意：0＜ca ＜1)1．定义：椭圆的焦距与长轴长的比e ＝ca，叫做椭圆的离心率．2．性质：离心率e 的范围是(0,1)．当e 越接近1时，椭圆越扁；当e 越接近于0时，椭圆就越接近于圆． 例题解析例1 求椭圆4x 2＋9y 2＝36的长轴长和焦距、焦点坐标、顶点坐标和离心率，并用描点法画出它的图形．解 把椭圆的方程化为标准方程x 29＋y 24＝1.可知此椭圆的焦点在x 轴上，且长半轴长a ＝3，短半轴长b ＝2，故半焦距c ＝a 2－b 2＝9－4＝ 5.因此，椭圆的长轴长2a ＝6，短轴长2b ＝4；离心率e ＝c a ＝53，两个焦点的坐标分别是(－5，0)，(5，0)；四个顶点的坐标分别是(－3,0)，(3,0)，(0，－2)，(0,2)．为画此椭圆的图形，将椭圆方程变形为 y ＝±239－x 2(－3≤x ≤3)．由y ＝239－x 2(0≤x ≤3)，可求出椭圆的两个顶点及其在第一象限内一些点的坐标(x ，y )，列表如下：称性画出整个椭圆，如图所示．例2 我国自行研制的“中星20号”通信卫星，于2003你那11月15日升空精确地进入确定轨道.这可卫星的运行轨道，是以地球的中心为一个焦点的椭圆，近地点与地球表面距离为212km ，远地点与地球表面的距离为41981km.已知地球半径约为6371km ，求这可卫星运行轨道的近似方程（长、短半轴长精确到0.1km ）.解：以卫星运行的椭圆形轨道的中心O 为原点，如图建立平面直角坐标系，使地球中心F 在x 轴上.点F (c ,0)是椭圆的一个焦点，椭圆与x 轴的交点AB 分别是近地点和远地点. 设所求的卫星运行轨道的方程为由已知，得a -c=|F A |=6371+212=6583， a +c=|FB |==6371+41891=48352. 解得a =27467.5，22221(0)x y a b a b +=>>因此，所求的卫星运行轨道的近似方程为巩固练习1、求满足下列各条件的椭圆的标准方程．(1)长轴是短轴的3倍且经过点A (3,0)，焦点在x 轴上；(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为 3. 解 (1)椭圆的焦点在x 轴上，设方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，∵椭圆过点A (3,0)， ∴9a 2＝1，a ＝3， ∵2a ＝3·2b ，∴b ＝1， ∴方程为x 29＋y 2＝1.(2)由已知{ a ＝2c ，a －c ＝3，∴{ a ＝23，c ＝3，从而b 2＝9，∴所求椭圆的标准方程为x 212＋y 29＝1或x 29＋y 212＝1.22()()48352658317841.0b ac a c a c =-=+-=⨯≈22221.27467.517841.0x y +=。
教案教学设计中职数学拓展模块212椭圆的几何性质
教案教学设计中职数学拓展模块212椭圆的几何性质教学目标：1.了解椭圆的几何性质；2.掌握椭圆的构造方法；3.能够应用椭圆的几何性质解决实际问题。
教学重点：1.椭圆的定义和性质；2.椭圆的构造方法；3.椭圆的应用。
教学难点：椭圆的几何性质的应用。
教学方法：1.讲授法；2.示范法；3.问题导向法；4.探究法。
教学过程：Step1 导入新课1.引入新课题，提出问题：你知道什么是椭圆吗？椭圆有什么几何性质呢？2.学生回答问题。
Step2 学习椭圆的定义和性质1.引导学生回忆、复习圆的性质。
2.介绍椭圆的定义：椭圆是一个平面上的图像，它有两个焦点F1和F2，任意一点P到这两个焦点的距离之比始终等于一个常数e（0<e<1）。
3.给出椭圆的几何性质：-短轴与长轴的长度之比为:e=√(a^2-b^2)/a，其中a是长轴的长度，b是短轴的长度。
-顶点到焦点的距离之和等于长轴的长度：PF1+PF2=2a。
Step3 探究椭圆的构造方法1.利用绳子和两个固定点构造椭圆。
2.给出椭圆的定义再次强调两个关键性质：焦点和长轴。
Step4 进一步学习椭圆的性质1.在板书上给出椭圆的定义和性质，让学生记下来。
Step5 椭圆的应用1.通过例题引导学生如何利用椭圆的性质解决实际问题。
2.让学生自己尝试解决一些相关问题。
Step6 小结与拓展1.总结本节课的内容，提出问题：为什么地球的形状近似于椭圆呢？2.展示一些相关拓展内容，如测量椭圆的周长和面积等。
Step7 课堂练习与作业布置设计一些练习题供学生练习，并布置相关作业。
教学反思：本节课通过引导学生回忆圆的性质，介绍椭圆的定义和性质，并探究椭圆的构造方法，深化了学生对椭圆的认识和理解。
通过示范和问题导向的教学方法，培养了学生的思维能力和解决问题的能力。
通过应用椭圆的几何性质解决实际问题的练习，让学生更好地掌握了椭圆的应用。
同时，教师在课堂上注重学生的参与和互动，让学生在实践中感受到椭圆的漂亮与神奇，激发了学生学习的兴趣。
椭圆的几何性质教案
椭圆的几何性质教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解椭圆的定义及标准方程；（2）掌握椭圆的几何性质，如焦点、半长轴、半短轴等；（3）能够运用椭圆的性质解决实际问题。
2. 过程与方法：（1）通过观察实物，培养学生的直观思维能力；（2）利用数形结合思想，引导学生发现椭圆的性质；（3）运用合作交流的学习方式，提高学生解决问题的能力。
3. 情感态度与价值观：激发学生对椭圆几何性质的兴趣，培养学生的探究精神，提高学生对数学的热爱。
二、教学重点与难点1. 教学重点：（1）椭圆的定义及标准方程；（2）椭圆的几何性质；（3）运用椭圆性质解决实际问题。
2. 教学难点：（1）椭圆几何性质的推导；（2）运用椭圆性质解决复杂问题。
三、教学过程1. 导入新课：通过展示生活中的椭圆实例，如地球、鸡蛋等，引导学生关注椭圆形状的物体，激发学生对椭圆的兴趣。
2. 知识讲解：（1）介绍椭圆的定义及标准方程；（2）讲解椭圆的几何性质，如焦点、半长轴、半短轴等；（3）引导学生发现椭圆性质之间的关系。
3. 实例分析：通过具体例子，让学生了解如何运用椭圆的性质解决问题，如计算椭圆的长轴、短轴等。
4. 课堂练习：布置一些有关椭圆性质的练习题，让学生巩固所学知识。
四、课后作业1. 复习椭圆的定义及标准方程；2. 熟练掌握椭圆的几何性质；3. 尝试运用椭圆性质解决实际问题。
五、教学反思本节课结束后，教师应认真反思教学效果，针对学生的掌握情况，调整教学策略，以提高学生对椭圆几何性质的理解和运用能力。
关注学生在学习过程中的困惑，及时解答疑问，提高教学质量。
六、教学活动设计1. 小组讨论：让学生分组讨论，探究椭圆性质之间的内在联系，培养学生合作交流的能力。
2. 课堂展示：每组选代表进行成果展示，分享探讨过程中的发现和感悟，提高学生的表达能力和逻辑思维。
3. 教师点评：对学生的讨论成果进行点评，总结椭圆性质的关键点，引导学生深入理解。
七、教学评价1. 课堂问答：通过提问方式检查学生对椭圆性质的理解程度，及时发现并解决问题。
《2.2.2 椭圆的几何性质》 教学案
《2.2.2 椭圆的几何性质》 教学案 教学目标 1．掌握椭圆的基本几何性质：范围、对称性、顶点、长轴、短轴．2．感受如何运用方程研究曲线的几何性质教学重难点椭圆的几何性质——范围、对称性、顶点教学流程一、问题情境1．情境：复习回顾：椭圆的定义；椭圆的标准方程；椭圆中a ，b ，c 的关系．2．问题：在建立了椭圆的标准方程之后，就可以通过方程来研究椭圆的几何性质．那么椭圆有哪些几何性质呢？二、学生活动(1)探究椭圆的几何性质．阅读课本第34页至第35页例1上方，回答下列问题：问题1 椭圆的范围是指椭圆的标准方程22221(0)x y a b a b+=>>中x ，y 的范围，可以用哪些方法推导？问题2 借助椭圆的图形容易发现椭圆的对称性，能否借助标准方程用代数方法推导？ 问题3 椭圆的顶点是最左或最右边的点吗？三、建构数学1．范围．由方程22221x y a b +=可知，椭圆上点的坐标都适合不等式222211x y a b=-≤， 即22x a ≤，所以 x a ≤，同理可得y b ≤．这说明椭圆位于直线x a =±和y b =±所围成的矩形内．2．对称性：从图形上看：椭圆关于x 轴、y 轴、原点对称．从方程22221x y a b+=上看： (1)把x 换成x -方程不变，说明当点(,)P x y 在椭圆上时，点P 关于y 轴的对称点(,)P x y '-也在椭圆上，所以椭圆的图象关于y 轴对称；(2)把y 换成y -方程不变，所以椭圆的图象关于y 轴对称；(3)把x 换成x -，同时把y 换成y -方程不变，所以椭圆的图象关于原点成中心对称． 综上：坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心．3．顶点： 在方程22221x y a b+=中，令0x =，得y b =±，说明点1(0,)B b -，2(0,)B b 是椭圆与y 轴的两个交点．同理1(,0)A a -，2(,0)A a 是椭圆与x 轴的两个交点．(1)顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，叫做椭圆的顶点；(2)长轴、短轴：线段12A A 、线段12B B 分别叫椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a 和2b ；(3)a ，b 的几何意义：a 是长半轴的长，b 是短半轴的长．四、数学运用1．例题：例1 求椭圆221259x y +=的长轴长，短轴长，焦点和顶点坐标，并用描点法画出这个椭圆．例2 求符合下列条件的椭圆标准方程(焦点在x 轴上)：(1)(2)已知椭圆的中心在原点，长轴是短轴的三倍，且椭圆经过点P (3，0)，求椭圆的方程． 2．练习．(1)根据前面所学有关知识画出下列图形 ①13422=+y x ． ②1422=+y x ． (2)在下列方程所表示的曲线中，关于x 轴、y 轴都对称的是( )A ．y x 42=B ． 022=++y xy x C ． x y x 5422=- D ． 4922=+y x五、回顾小结1．椭圆的基本几何性质：范围、对称性、顶点、长轴、短轴；2．研究椭圆性质的方法．。
《椭圆的简单几何性质》教学设计
椭圆的简单几何性质（1）教学设计杨华燕大附中2.2.2椭圆的简单几何性质（1）教学设计一、教学任务及对象1、教学内容分析《椭圆的简单几何性质》是选修2-1第二章第二节的内容，本节内容是在学生已经学过曲线与方程和椭圆的概念及其标准方程基础上引入的，是利用椭圆的标准方程研究椭圆的几何性质，它是由方程研究曲线的性质的一个应用，也是为后面学习利用双曲线、抛物线的标准方程研究其几何性质做铺垫，因此本节课起到承前启后的作用。
2、教学对象分析本节课授课的对象是高二年级的学生，他们已掌握了椭圆的标准方程，虽然具备一定的分析和解决问题的能力，逻辑思维也初步形成，但缺乏冷静、深刻，思维具有片面性、不严谨的特点，对问题解决的一般性思维过程认识比较模糊。
二、教学目标依据课程标准，结合学生的认知发展水平和心理特征，确定本节课的教学目标如下：1、知识与技能：使学生掌握椭圆的几何性质，初步学会运用椭圆的几何性质解决问题，进一步体会数形结合的思想。
2、过程与方法：通过数和形两条线研究椭圆的几何性质，启动观察、分析、抽象概括等思维活动，培养学生的思维能力，体会数形结合的思想方法；对椭圆的几何性质的归纳、总结时培养学生抽象概括能力；进一步强化数形结合思想。
3、情感、态度与价值观：通过本节课的学习，养成积极主动思考，勇于探索，不断创新的学习习惯和品质。
三、重、难点分析重点：椭圆的简单几何性质难点：培养数形结合思想四、教学策略为了突出重点、突破难点，在教学中采取了以下策略：1．教法分析为了充分调动学生学习的积极性，采用“生本课堂”模式，培养学生的创新精神，使学生在解决问题的同时，形成了方法.另外恰当的利用多媒体课件进行辅助教学，借助信息技术创设情境激发学生的学习兴趣.2．学法分析本节课通过探究椭圆的几何性质，让学生体会数形结合思想，加深对解析几何的理解；让学生从问题中质疑、尝试、归纳、总结、运用，培养学生发现问题、分析问题和解决问题的能力．五、教学过程本节课中应把更多的时间、机会留给学生，让学生充分的交流、探究，积极引导学生动手操作、动脑思考。
2.2.2 第1课时 椭圆的几何性质学案(解析版)(1)
高二数学学案【题目】2.2.2椭圆的几何性质学案2.2.2 椭圆的几何性质 第1课时 椭圆的几何性质学习目标 1.掌握椭圆的几何性质，了解椭圆标准方程中a ，b ，c 的几何意义.2.会用椭圆的几何意义解决相关问题．知识点一 椭圆的几何性质知识点二 椭圆的离心率1．椭圆的焦距与长轴长的比e ＝ca称为椭圆的离心率．2．因为a ＞c ，故椭圆离心率e 的取值范围为(0,1)，当e 越近于1时，椭圆越扁，当e 越近于0时，椭圆越圆．【编辑】 李静升 【审核】 孟德厚【使用时间】 2019/8/221．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的长轴长是a .( × )2．椭圆的离心率e 越大，椭圆就越圆．( × )3．若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长分别为10,8，则椭圆的方程为x 225＋y 216＝1.( × )4．设F 为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点，M 为其上任一点，则|MF |的最大值为a ＋c (c 为椭圆的半焦距)．( √)题型一 椭圆的几何性质例1 求椭圆m 2x 2＋4m 2y 2＝1(m ＞0)的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率． 解 由已知得x 21m 2＋y 214m 2＝1(m ＞0)，∵0＜m 2＜4m 2， ∴1m 2＞14m 2， ∴椭圆的焦点在x 轴上，并且长半轴长a ＝1m ，短半轴长b ＝12m ，半焦距c ＝32m ，∴椭圆的长轴长2a ＝2m ，短轴长2b ＝1m ，焦点坐标为⎝⎛⎭⎫－32m ，0，⎝⎛⎭⎫32m ，0，顶点坐标为⎝⎛⎭⎫1m ，0，⎝⎛⎭⎫－1m ，0，⎝⎛⎭⎫0，－12m ，⎝⎛⎭⎫0，12m ， 离心率e ＝c a ＝32m 1m＝32.反思感悟 从椭圆的标准方程出发，分清其焦点位置，然后再写出相应的性质．跟踪训练1 已知椭圆C 1：x 2100＋y 264＝1，设椭圆C 2与椭圆C 1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C 2的焦点在y 轴上．(1)求椭圆C 1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率； (2)写出椭圆C 2的方程，并研究其性质．解 (1)由椭圆C 1：x 2100＋y 264＝1可得其长半轴长为10，短半轴长为8，焦点坐标为(6,0)，(－6,0)，离心率e ＝35.(2)椭圆C 2：y 2100＋x 264＝1.性质如下：①范围：－8≤x ≤8，－10≤y ≤10；②对称性：关于x 轴、y 轴、原点对称；③顶点：长轴端点(0,10)，(0，－10)，短轴端点(－8,0)，(8,0)；④焦点：(0,6)，(0，－6)；⑤离心率：e ＝35.题型二 椭圆几何性质的简单应用命题角度1 依据椭圆的几何性质求标准方程 例2 求满足下列各条件的椭圆的标准方程．(1)已知椭圆的中心在原点，焦点在y 轴上，若其离心率为12，焦距为8；(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为 3. 解 (1)由题意知，2c ＝8，c ＝4， ∴e ＝c a ＝4a ＝12，∴a ＝8，从而b 2＝a 2－c 2＝48，∴椭圆的标准方程是y 264＋x 248＝1.(2)由已知得⎩⎨⎧a ＝2c ，a －c ＝3，∴⎩⎨⎧a ＝23，c ＝ 3.从而b 2＝9， ∴所求椭圆的标准方程为x 212＋y 29＝1或x 29＋y 212＝1.反思感悟 在求椭圆方程时，要注意根据题目条件判断焦点所在的坐标轴，从而确定方程的形式；若不能确定焦点所在的坐标轴，则应进行讨论，然后列方程(组)确定a ，b .跟踪训练2 根据下列条件，求中心在原点，对称轴在坐标轴上的椭圆的标准方程： (1)长轴长是短轴长的2倍，且过点(2，－6)；(2)焦点在x 轴上，一个焦点与短轴的两端点连线互相垂直，且半焦距为6. 解 (1)当焦点在x 轴上时，设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．依题意有⎩⎪⎨⎪⎧2b ＝a ，4a 2＋36b2＝1，解得⎩⎨⎧a ＝237，b ＝37，∴椭圆的标准方程为x 2148＋y 237＝1.同样地可求出当焦点在y 轴上时， 椭圆的标准方程为x 213＋y 252＝1.故所求椭圆的标准方程为x 2148＋y 237＝1或x 213＋y 252＝1.(2)依题意有⎩⎪⎨⎪⎧b ＝c ，c ＝6，∴b ＝c ＝6，∴a 2＝b 2＋c 2＝72，∴所求椭圆的标准方程为x 272＋y 236＝1.命题角度2 最值问题例3 椭圆的中心是坐标原点，长轴在x 轴上，离心率e ＝32，已知点P ⎝⎛⎭⎫0，32到椭圆上的点的最远距离是7，求这个椭圆的方程．解 设所求椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．∵b a＝a 2－c 2a 2＝1－e 2＝12，∴a ＝2b . ∴椭圆方程为x 24b 2＋y 2b2＝1.设椭圆上点M (x ，y )到点P ⎝⎛⎭⎫0，32的距离为d ， 则d 2＝x 2＋⎝⎛⎭⎫y －322＝4b 2⎝⎛⎭⎫1－y 2b 2＋y 2－3y ＋94＝－3⎝⎛⎭⎫y ＋122＋4b 2＋3， 令f (y )＝－3⎝⎛⎭⎫y ＋122＋4b 2＋3. (1)当－b ≤－12，即b ≥12时，d 2max ＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝4b 2＋3＝7， 解得b ＝1，∴椭圆方程为x 24＋y 2＝1.(2)当－12<－b ，即0<b <12时，d 2max ＝f (－b )＝7， 解得b ＝7－32>12，与b <12矛盾．综上所述，所求椭圆方程为x 24＋y 2＝1.反思感悟 求解椭圆的最值问题的基本方法有两种(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法．解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义及对称知识求解； (2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数，则可首先建立起目标函数，再根据函数式的特征选用适当的方法求解目标函数的最值．常用方法有配方法、判别式法、重要不等式法及函数的单调性法等． 跟踪训练3 已知点F 1，F 2是椭圆x 2＋2y 2＝2的左、右焦点，点P 是该椭圆上的一个动点，那么|PF 1→＋PF 2→|的最小值是( )A ．0B ．1C ．2D ．2 2 答案 C解析 设P (x 0，y 0)，则PF 1→＝(－1－x 0，－y 0)， PF 2→＝(1－x 0，－y 0)，∴PF 1→＋PF 2→＝(－2x 0，－2y 0)， ∴|PF 1→＋PF 2→|＝4x 20＋4y 20＝22－2y 20＋y 20＝2－y 20＋2.∵点P 在椭圆上，∴0≤y 20≤1，∴当y 20＝1时，|PF 1→＋PF 2→|取最小值2.故选C. 题型三 求椭圆的离心率例4 设椭圆的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，求椭圆的离心率．解 设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．∵F 1(－c,0)，∴P (－c ，y p )，代入椭圆方程得c 2a 2＋y 2p b 2＝1，∴y 2p ＝b 4a2， ∴|PF 1|＝b 2a ＝|F 1F 2|，即b 2a＝2c ，又∵b 2＝a 2－c 2，∴a 2－c 2a＝2c ，∴e 2＋2e －1＝0，又0＜e ＜1，∴e ＝2－1.反思感悟 求解椭圆的离心率，其实质就是构建a ，b ，c 之间的关系式，再结合b 2＝a 2－c 2，从而得到a ，c 之间的关系式，进而确定其离心率．跟踪训练4 设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为( ) A.36 B.13 C.12 D.33答案 D解析 由题意可设|PF 2|＝m ，结合条件可知|PF 1|＝2m ，|F 1F 2|＝3m ，故离心率e ＝c a ＝2c 2a ＝|F 1F 2||PF 1|＋|PF 2|＝3m 2m ＋m ＝33.椭圆几何性质的应用典例 神舟五号飞船成功完成了第一次载人航天飞行，实现了中国人民的航天梦想．某段时间飞船在太空中运行的轨道是一个椭圆，地心为椭圆的一个焦点，如图所示．假设航天员到地球的最近距离为d 1，最远距离为d 2，地球的半径为R ，我们想象存在一个镜像地球，其中心在神舟飞船运行轨道的另外一个焦点上，上面住着一个神仙发射某种神秘信号，需要飞行中的航天员中转后地球人才能接收到，则传送神秘信号的最短距离为( )A ．d 1＋d 2＋RB ．d 2－d 1＋2RC ．d 2＋d 1－2RD ．d 1＋d 2考点 椭圆的简单几何性质题点 椭圆的顶点、焦点、长短轴、对称性 答案 D解析 设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，半焦距为c ，两焦点分别为F 1，F 2，飞行中的航天员为点P ，由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧d 1＋R ＝a －c ，d 2＋R ＝a ＋c ，则2a ＝d 1＋d 2＋2R ，故传送神秘信号的最短距离为|PF 1|＋|PF 2|－2R ＝2a －2R ＝d 1＋d 2.[素养评析] 将太空中的轨迹与学过的椭圆建立起对应关系．利用椭圆的几何性质来解决航空航天问题，考查了学生运用所学知识解决实际问题的能力.1．与椭圆9x 2＋4y 2＝36有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程是( ) A.x 22＋y 24＝1 B ．x 2＋y 26＝1C.x 26＋y 2＝1 D.x 28＋y 25＝1 答案 B解析 由已知得c ＝5，b ＝1，所以a 2＝b 2＋c 2＝6， 故椭圆的标准方程为y 26＋x 2＝1.2．已知椭圆的方程为2x 2＋3y 2＝m (m >0)，则此椭圆的离心率为( ) A.13 B.33 C.22 D.12 答案 B解析 由2x 2＋3y 2＝m (m >0)，得x 2m 2＋y 2m 3＝1，∴c 2＝m 2－m 3＝m 6，∴e 2＝13，∴e ＝33.3．若一个椭圆的长轴长、短轴长和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( ) A.45 B.35 C.25 D.15 答案 B解析 由题意有2a ＋2c ＝2(2b )，即a ＋c ＝2b ，又c 2＝a 2－b 2，消去b 整理得5c 2＝3a 2－2ac ，即5e 2＋2e －3＝0，∴e ＝35或e ＝－1(舍去)．4．已知点(m ，n )在椭圆8x 2＋3y 2＝24上，则2m ＋4的取值范围是________________． 答案 [4－23，4＋23]解析 因为点(m ，n )在椭圆8x 2＋3y 2＝24上，即在椭圆x 23＋y 28＝1上，所以点(m ，n )满足椭圆的范围|x |≤3，|y |≤22，因此|m |≤3，即－3≤m ≤3， 所以2m ＋4∈[4－23，4＋23]．5．已知椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(－10,0)，则焦点坐标为________．答案(0，±69)解析由题意知椭圆焦点在y轴上，且a＝13，b＝10，则c＝a2－b2＝69，故焦点坐标为(0，±69)．1．可以应用椭圆的定义和方程，把几何问题转化为代数问题，再结合代数知识解题．而椭圆的定义与三角形的两边之和联系紧密，因此，涉及线段的问题常利用三角形两边之和大于第三边这一结论处理．2．椭圆的定义式：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)，在解题中经常将|PF1|·|PF2|看成一个整体灵活应用．3．利用正弦、余弦定理处理△PF1F2的有关问题．4．椭圆上的点到一焦点的最大距离为a＋c，最小距离为a－c.。
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２.２.２椭圆的几何性质（教案）
教学目标：
1、理解椭圆的几何性质，掌握a、b、c、e的几何意义及相互关系；
2、掌握由曲线方程研究曲线性质的一般方法；
3、培养学生探究问题的能力。
教学重点：椭圆的几何性质。
复习:
1.椭圆的定义
2.椭圆的标准方程
讲授新课:
1、范围：
2、对称性：x轴、y轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心即椭圆中心。
3、顶点：、、、
线段、线段分别叫椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a和2b；
a、b的几何意义：a、b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
思考：已知椭圆的长轴和短轴，怎样确定椭圆焦点的位置？
4、离心率：
离心率的取值范围：因为 a > c > 0，所以0<e <1
探究：（1）；
(2)
应用:
例1求椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标，并用描点法画出它的图形．
本例前一部板演，后一部分由教师讲解，步骤是：
(2)描点作图．先描点画出椭圆在第一象限内的图形，再利用椭圆的对称性就可以画出整个椭圆(图2-19)．要强调：利用对称性可以使计算量大大减少。
练习：
一、下列各组椭圆中，哪个更接近于圆？
二、求下列椭圆的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标：
三、(理)根据下列条件，求椭圆的标准方程：
（1）中心在原点，焦点在x轴上，长轴、短轴的长分别是8和6；
（2）中心在原点，一个焦点坐标为（0，5）短轴长是4；
（3）对称轴都在坐标轴上，长轴的长为10，离心率是0.6；
（4）中心在原点焦点在x轴上，右焦点到短轴的距离为2，到右顶点的距离为1。
四、(理)设F是椭圆的一个焦点，是短轴，求这个椭圆的离心率。
小结：
布置作业：
书32页第1、2、3、5、6题。