罗老师椭圆的简单几何性质教案

椭圆的简单几何性质
编写：罗万能审核：高二数学组
一、教学目标
1.知识与技能：掌握椭圆的简单几何性质，学会由椭圆的标准方程探索椭圆的简单几何性质的方法与步骤。

2.过程与方法：
（1）通过探究，掌握椭圆的简单几何性质，培养猜想能力，合情推理能力，养成发现问题，提出问题的意识；
（2）通过探究活动培养学生观察、发现、归纳的能力；培养分析、抽象、概括的能力，加强数形结合等数学思想的培养。

3.情感态度与价值观：
（1）在民主开放的课堂气氛中，培养学生敢想、敢说、敢于探索、发现、创新的精神；
（2）通过探究，体验挫折的艰辛与成功的快乐，激发学习热情；通过数与形的辨证统一，对学生进行辩证唯物主义教育，通过对椭圆对称美的感受，激发学生对美好事物的追求。

二、教学重点与难点：
【重点】椭圆的简单几何性质.
【难点】椭圆的简单几何性质.
电脑，课件，几何画板，三角板，圆规。

三、教学方法：
讲授法、启发法、讨论法、情境教学法。

四、教学过程设计：
（一）复习引入
1.椭圆的定义
2.椭圆的标准方程
3.椭圆中a,b,c 的关系
（二）探究问题，观察发现
1. 椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的范围
引导学生观察椭圆的图形得出椭圆的范围，进而用代数的方法，由椭圆的标
准方程22
221(0)x y a b a b
+=>>得出椭圆的范围。

教师推导出横坐标x 的范围，由学生类比得出纵坐标y 的范围 结论：椭圆在直线x=±a 和直线y=±b 所围成的矩形里(如图)． 形依于数，数寓于形，数形相互依存，数形结合的思想是研究数学问题常用到的思想，也是一个重要的方法
【师生活动】
教师：引导学生通过观察椭圆的图形得出椭圆的范围并通过代数的方法，由
椭圆的标准方程22
221x y a b
+=得出椭圆的范围。

学生：在老师的引导下，观察、推导出椭圆的范围，并独立完成练习1以加深对椭圆范围的理解。

【学情预设】
在《椭圆的定义及其标准方程》中，学生已由椭圆的定义探究过|1OA |=a ，|1OB |=|2OB |=b ，因而本节课在引导学生从观察椭圆的图形得出椭圆的范围应
1
A 2
A 1
B 2
B
不存在问题，横坐标x 的范围的推导也比较容易，且提示学生由类比方法得到椭圆纵坐标y 的范围也是可行的。

2.对称性
设(,)P x y 为椭圆22
221x y a b
+= (0)a b >>上任意一点，
（1）点(,)P x y 关于x 轴对称的点1P 的坐标是 ,1P ______该椭圆上, 这说明椭圆关于 对称。

（2）点(,)P x y 关于y 轴对称的点2P 的坐标是 ,2P ______该椭圆上, 这说明椭圆关于 对称。

（3）点(,)P x y 关于原点的对称点3P 的坐标是 ,3P _______该椭圆上,这说明椭圆关于 对称。

得出结论：椭圆22
221x y a b
+=是关于x 轴、y 轴对称的轴对称图形，也是关于
原点对称的中心对称图形。

一般地，曲线方程中，以y -代y ，若方程不变，则曲线关于x 轴对称，以
x -代x ，若方程不变，则曲线关于y 轴对称，曲线方程中，以x -代x ，同时以y
-代y ，若方程不变，则曲线关于原点中心对称。

该结论以表格形式呈现给学生。

曲线0),(=y x f 对称性的判断：
3.顶点
教师：显然，椭圆与它的对称轴有四个交点，试写出这四个点的坐标。

提示：x 轴、y 轴是椭圆22
221x y
a b
+=的对称轴，求椭圆与对称轴的交
点坐标，就是椭圆与x 轴、y 轴的交点坐标，x 轴、y 轴上的点的坐标有什么特征。

学生求出结果：12(,0),(,0),A a A a -12(0,),(0,)B b B b -
教师：给出定义，我们把椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>交点12(,0),(,0),A a A a -12(0,),(0,)B b B b -就叫做椭圆的顶点。

指出，线段A 1A 2、B 1B 2分别叫做椭圆的长轴和短轴|A 1A 2|＝2a ，短轴长|B 1B 2|＝2b ，a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长，此时长轴在x 轴上。

【设计意图】 本过程可以由老师引导启发学生先求出椭圆与坐标轴的交点坐标，然后给出椭圆顶点的定义，求交点的过程交给学生，让学生参与。

【学情预设】
估计在学生理解椭圆顶点的定义时，把椭圆与对称轴的交点错误的理解成椭圆与x 轴、y 轴的交点，所以，在讲述过程中予以强调。

4.离心率
在同一坐标系下，利用前面所学过的椭圆的性质画出下列曲线的简图：
（1）2
2125x y +=； （2）221x y +=； （3）22
1x y +=； （4）22
12525
x y +=
启发式提问：
教师：
1、请同学们观察这些方程什么量相同？什么量不同？它们所对应的图形的形状有何不同？
2、在椭圆的半长轴长a不变的条件下，椭圆的扁平程度与什么量有关系？
学生回答后教师归纳：
与b有关本质也就是与c有关，因为222
b a c
=-，即椭圆的扁平程度与,a c有关，并给出离心率的定义。

离心率
1）定义：椭圆焦距与长轴长之比。

2）定义式：c
=
e
a
3）范围：01
<<
e
4）考察椭圆形状与e的关系
（1）e越接近于1，c越接近于a，b=的值越，椭圆越；
（2）e越接近于0，c越接近于0，b=的值越，椭圆就越接近于；
（3）当且仅当a b
=时，c=，这时两个焦点重合，图形就变为，
方程为 。

结论：离心率越大，椭圆越 ； 离心率越小，椭圆越 。

练习2 比较下列每组椭圆的形状，哪一个更圆，哪一个更扁？为什么？
（1）椭圆2
2
1:936C x y +=和椭圆22
2:11612
x y C +
= （2）椭圆2
2
4:936C x y +=和椭圆22
5:1610
x y C +
= 【设计意图】 为了让学生能真正理解离心率的意义，教学中利用数形结合的思想，从几个具体的椭圆标准方程入手，通过对图形的观察、方程的验证，从数的方面，发现了椭圆形状与
a
c
的本质联系，使学生体验了学习数学的乐趣，感悟和体会了特殊到一般、由具体到抽象的认识问题的一般方法和数形结合、归纳、类比等数学思想方法的运用。

师生活动 借助动画演示，结合教师启发引导，帮助学生理解离心率的定义及离心率对椭圆形状的影响。

及时的梳理概括有利于加深学生对离心率定义的理解，并使学生更深刻地掌握椭圆的几何性质。

【学情预设】离心率是本节课的重点，也是本节课的难点，同时也是最能渗透数学思想和方法的知识点，估计对普通班的学生有一定的难度，教学中较合适的方法是启发、讲授、讨论相结合，尤其是
a b 、b
c
对椭圆形状的刻画，是本节课最难的点，因而采用的启发方式比较直接。

（三）例题讲解
1
A 2
A 1
B 2
B
为了加深对椭圆的几何性质的认识，掌握用描点法画图的基本方法，给出如下例题：
例1 求椭圆16x 2＋25y 2＝400的长轴和短轴的长，离心率、焦点和顶点的坐标
练习1.
已知椭圆方程为6x 2+y 2=6它的长轴长是： 。

短轴长
是： 。

焦距是： .离心率等于： 。

焦点坐标是： 。

顶点坐标是： 。

外切矩形的面积等于：
例2求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）经过点P(-3,0)，Q(0,-2)； （2）长轴长等于20， 离心率等于5
3
；
五、课堂小结
要求课堂填写12222=+b y a x （0a b >>）的性质，课后完成1
22
22=+b
x a y （0a b >>）的性质。

六、布置作业
七、课后反思
(1)教学重点的反思：
(2)突破难点的反思
(3)学生学习过程的反思：
十、板书设计。