向心力及向心加速度的求解公式
向心加速度的证明
向心加速度的证明一、引言向心加速度是物理学中一个重要的概念，它描述了物体在做圆周运动时所受到的加速度。
在许多物理学问题中，向心加速度都是必须考虑的因素。
本文将探讨向心加速度的概念、计算方法以及证明过程。
二、向心加速度的概念1. 定义向心加速度是一个物体在做圆周运动时所受到的指向圆心的加速度。
2. 公式根据牛顿第二定律可以得到向心加速度的公式：a = v²/r其中，a表示向心加速度，v表示物体在圆周运动中的线速度，r表示圆周半径。
三、计算方法1. 已知线速度和半径求向心加速度根据上述公式可以得到：a = v²/r2. 已知角速度和半径求向心加速度由于线速度v可以表示为v = ωr，因此可以将公式改写为：四、向心加速度的证明过程1. 圆周运动分析考虑一个质点在做匀速圆周运动时所受到的力情况。
根据牛顿第一定律，物体在没有外力作用时会保持匀速直线运动或静止状态。
因此，如果一个物体在做圆周运动，那么它必须受到一个向心力的作用，才能保持在圆周上运动。
2. 向心力的分析根据牛顿第二定律可以得到：F = ma其中，F表示物体所受到的合力，m表示物体的质量，a表示物体所受到的加速度。
由于圆周运动是一种加速运动，因此物体所受到的合力必须包含一个向心力Fc。
因此可以得到：Fc = ma3. 向心加速度的计算根据牛顿第二定律和圆周运动分析可以得到：Fc = ma = mv²/r其中v表示质点在做圆周运动时的线速度，r表示圆周半径。
将上式中Fc代入公式中可得：a = v²/r向心加速度是一个物体在做圆周运动时所受到的指向圆心的加速度。
它可以用公式a=v²/r或a=ω²r来计算。
通过对圆周运动和向心力进行分析和计算可以证明向心加速度存在，并且具有上述公式。
第4章：第2节 向心力与向心加速度
第2节向心力与向心加速度一、向心力及其方向阅读教材第71～73页“向心力”部分，知道向心力的概念及方向。
1.定义：做圆周运动的物体，受到的始终指向的效果力。
2.方向：始终指向，总是与运动方向。
3.作用效果：向心力只改变速度，不改变速度，因此向心力不做功。
4.来源：可能是、、或是它们的或分力。
做匀速圆周运动的物体，向心力就是物体受到的，做非匀速圆周运动的物体，向心力不是物体所受到的合外力。
二、向心力的大小阅读教材第72～73页“向心力的大小”部分，知道向心力的表达式，并会简单应用。
1.实验探究2.公式：F＝或F＝。
思考判断(1)探究向心力大小与哪些因素有关应采用控制变量法。
()(2)做匀速圆周运动的物体线速度越大，所需向心力越大。
()(3)做匀速圆周运动的物体运动半径越大，所需向心力越大。
()三、向心加速度阅读教材第70页“向心加速度”部分，知道向心加速度的概念，知道向心加速度方向的变化特点。
了解向心加速度与线速度、角速度及半径的几个关系表达式。
1.定义：做圆周运动的物体受到向心力的作用，存在一个由产生的加速度。
2.大小：a＝或a＝。
3.方向：与的方向一致，始终指向。
4.匀速圆周运动的性质：匀速圆周运动是加速度大小、方向的变加速运动。
思维拓展(1)有人说：根据a＝v2r可知，向心加速度与半径成反比，根据a＝ω2r可知，向心加速度与半径成正比，这是矛盾的。
你认为呢？(2)试分析做变速圆周运动的物体，其加速度的方向是否指向圆心。
答案(1)不矛盾。
说向心加速度与半径成反比是在线速度一定的情况下；说向心加速度与半径成正比是在角速度一定的情况下，所以二者并不矛盾。
(2)做变速圆周运动的物体，加速度的方向并不指向圆心。
对匀速圆周运动向心力的理解与应用[要点归纳]1.向心力的特点(1)方向：方向时刻在变化，始终指向圆心，与线速度的方向垂直。
(2)大小：F＝m v2r＝mrω2＝mωv＝m4π2T2r。
在匀速圆周运动中，向心力大小不变；在非匀速圆周运动中，其大小随速率v的变化而变化。
向心加速度和向心力
向
心
向心力的大小与哪些物理量有关呢？
力 的
F合＝ma
an
=
v2 r
大 小
Fn
v2 r
= mrω=2 mvω
=m
思 变 考 速 圆
匀指力当物速 不 沿 体向圆 指 圆 做圆周 向 周 变心运 圆 运 速；动心动圆如所，的周果受还物运一的能体动个合做所。沿力匀受圆充速的周当圆合运向周力动心运不的力 动 指物， 吗 向体方 ？ 圆所向 心受始 时的终 ，合
A．物体的合外力为零 B．物体的合力大小不变，方向始终指向
圆心O C．物体的合外力就是向心力 D．物体的合力方向始终与其运动方向不
垂直(最低点除外)
D
6．如图1所示，质量为m的物体与转台之间的动摩 擦因数为μ，物体与转轴间的距离为R，物体随转台由
思 考
加速度的定义式是什么？
速度的变化量Δv
a=
Δv Δt
如何确 定Δv的 方向?
a 的方向与Δv 的方向相同
用
矢 曲线运动中的速度的变化量：
量
v1
图
v2
Δv
表
示
速
度 作法：从同一点作出物体在一段时间的始末两
变 个速度矢量v1和v2，从初速度v1的末端至末速度 化 v2的末端所作的矢量就是速度的变化量△v 。
杆以O为支点绕竖直线旋转，质量为m的小球套在
杆上可沿杆滑动．当杆角速度为ω1时，小球旋转平
面在A处；当杆角速度为ω2时，小球旋转平面在B
处，设球对杆的压力为FN，则有( )
A．FN1>FN2
B．FN1＝FN2
C．ω1<ω2
、
D．ω1>ω2
BD
第四章 第2节 向心力与向心加速度
1．未来的星际航行中，宇航员长期处于零重力 状态，为缓解这种状态带来的不适，有人 设想在未来的航天器上加装一段圆柱形 “旋转舱”，如图 424 所示。当旋转舱绕其
4．方向 总是指向 圆心。所以，不论 a 的大小是否变化，它都是一 个变化的量。
1．自主思考——判一判 (1)做匀速圆周运动的物体所受到的向心力是恒力。 (2)向心力和重力、弹力、摩擦力一样，是性质力。 (3)向心力可以由某种性质的力来充当，是效果力。 (4)匀速圆周运动是加速度不变的运动。 (5)向心加速度描述线速度大小变化的快慢。 (6)匀速圆周运动的物体所受合外力一定指向圆心。 (× ) (× ) (√ ) ( ×) ( ×) ( √)
用细线拴住的小球 在竖直面内转动至 最高点时
实
例
向心力 线的拉力提供向心 力，F＝T 转盘对物体的静摩 擦力提供向心力， F＝f
示意图
用细线拴住小球在 光滑水平面内做匀 速圆周运动 物体随转盘做匀速 圆周运动，且相对 转盘静止
小球在细线作用下， 重力和细线的拉力 在水平面内做圆周 的合力提供向心力， 运动 F＝F合
图 425
解析：(1)木马受骑在木马上的儿童和钢杆对它的作用力做匀 速圆周运动。木马受到的向心力由钢杆提供；儿童受到木马 对他的作用力和重力作用，向心力由木马提供。 (2)儿童所受向心力由木马提供且指向圆心，由 v2 F＝ m r 得 62 F＝40× 3 N＝480 N。 答案：(1)钢杆 木马 (2)480 N
[典例]
(多选)关于北京和广州随地球自转的向心加速度， ( )
下列说法中正确的是 A．它们的方向都是沿半径指向地心 B．它们的方向都在平行于赤道的平面内指向地轴 C．北京的向心加速度比广州的向心加速度大 D．北京的向心加速度比广州的向心加速度小
向心加速度和向心力
0.2
r=0.2 F F
ω=？
= 10
= 5 2 (Rad/s)
实例研究——离心现象
１、观察与思考 观察实验现象回答下列问题 (1)木块为什么会离开转盘? (2)什么叫做离心运动? 做匀速圆周运动的物体,在一定条件下,做逐渐远离圆心的 运动,这种运动叫离心运动。 原因：物所需的向心力 m
v2 r v2 r
“供”“需”是否平衡决定物体做何种 2 运动 v F合= m 匀速圆周运动 r 2 v F合< m 离心运动 r2 v F合> m 向心运动 r
注意：这里的F合为沿着半径（指向圆心）的合力
§5.6 向心力
一. 向心力 1. 定义： 做匀速圆周运动的物体所受到的指向圆心的合外 力，叫向心力。
2.特点：方向始终与V垂直，指向圆心。 是变力 3.作用效果：只改变V的方向,不改变V的大小。
1、方向：始终指向圆心,方向时刻在改变 2、作用： 只改变速度的方向，不改变速度的大小 向 3、向心力的大小： Fn=man
心 力
效果力
4π2 r T2 4、向心力的来源： 沿半径方向的合力
v2 = mvω = mrω2 = m Fn= m r
匀速圆周运动：合力充当向心力
圆周运动处理圆周运动的问题时，首先确定圆轨 道平面和圆心位置，认真分析向心力的来源，列 方程求解。
结论同时具有向心加速度和切向加速度的圆周运动 就是变速圆周运动 ，匀速圆周运动切向加速度为零。
处理一般曲线运动的方法：
把一般曲线分割为许多极短的小段，每一段 都可以看作为一小段圆弧，而这些圆弧的弯曲程 度不一样，表明它们具有不同的曲率半径。在注 意到这点区别之后，分析质点经过曲线上某位置 的运动时，就可以采用圆周运动的分析方法对一 般曲线运动进行处理了。
向心加速度的物理知识点
向心加速度的物理知识点目录1.向心加速度定义2.向心加速度公式3.向心力与向心加速度1.向心加速度定义质点作曲线运动时，指向瞬时曲率中心的加速度就是向心加速度。
向心加速度是反映圆周运动速度方向变化快慢的物理量。
向心加速度只改变速度的方向，不改变速度的大小。
由牛顿第二定律，力的作用会使物体产生一个加速度。
合外力提供向心力，向心力产生的加速度就是向心加速度。
可能是实际加速度，也可能是物体实际加速度的一个分加速度。
向心加速度是反映圆周运动速度方向变化快慢的物理量。
向心加速度只改变速度的方向，不改变速度的大小。
2.向心加速度公式上式中，an表示向心加速度，Fn表示向心力，m表示物体质量，v表示物体圆周运动的线速度（切向速度），w表示物体圆周运动的角速度，T表示物体圆周运动的周期，f表示物体圆周运动的频率，R表示物体圆周运动的半径。
3.向心力与向心加速度一、概述本节课是高一鲁科版物理必修2第四章的内容，课时是二节课，本教案是关于第一课时向心力的内容。
学生在前面学习了物体做曲线运动的条件，学习了对圆周运动的描述，而且在必修1中也学习了牛顿运动定律。
这节课作为这些知识的综合应用的具体例子，通过分析理解向心力的概念，掌握向心力的来源，通过实验得出向心力大小的公式。
二、教学目标分析（一）知识与技能1、知道什么是向心力，理解匀速圆周运动的向心力大小不变，方向总是指向圆心；2、知道向心力的来源；3、知道匀速圆周运动的向心力的公式，会解答有关问题；4、养成探究物理问题的习惯，养成观察实验的能力和分析综合能力。
（二）过程与方法1、要通过对物体做圆周运动的实例进行分析入手，从而认识到：做圆周运动的物体都必须受到指向圆心的力的作用，由此理解向心力的概念；2、通过充分讨论向心力来源、向心力大小可能与哪些因素有关，并设计实验进行探究活动；3、能通过思考交流，体验探究与合作学习。
（三）情感态度与价值观1、领略到物理就在自己的身边，体验自然界的奇妙与和谐，发展好奇心与求知欲；2、在探究合作过程中，增强探究意识与合作意识，增强与人交流的意识；3、养成敢于发表自己观点，既坚持原则又尊重他人的良好习惯；4、意识到物理规律在现实生活中的重要作用，增强对物理学习的兴趣；5、在用实验得出结论的过程中，逐步树立严谨科学的实验态度和正确的认识观。
向心加速度公式
向心加速度公式
向心加速度的公式为：a(n)=W·V，其中a(n)表示向心加速度，W表示物体圆周运动的角速度，V表示物体圆周运动的线速度(切向速度)。
向心加速度也叫法向加速度，表示的是质点作曲线运动时，指向圆心(曲率中心)的加速度。
向心加速度公式
an=Fn/m
=4π²R/T²=4π²f²R
=v²/R=ω²R=vω
上式中，an表示向心加速度，Fn表示向心力，m表示物体质量，v表示物体圆周运动的线速度（切向速度），ω表示物体圆周运动的角速度，T表示物体圆周运动的周期，f表示物体圆周运动的频率，R 表示物体圆周运动的半径。
（ω=2π/T）
由牛顿第二定律，力的作用会使物体产生一个加速度。
合外力提供向心力，向心力产生的加速度就是向心加速度。
可能是实际加速度，也可能是物体实际加速度的一个分加速度。
法向加速度
法向加速度又称向心加速度，在匀速圆周运动中，法向加速度大小不变，方向可用右手螺旋定则确定。
质点作曲线运动时，所具有的沿轨道法线方向的加速度叫做法向加速度。
数值上等于速度v的平方除曲率半径r，即v²/r;或角速度的
平方与半径r的乘积，即ω²r。
其作用只改变物体速度的方向，但不改变速度的大小。
高一物理所有公式
第一章 力1． 重力：G = mg2． 摩擦力：（1） 滑动摩擦力：f = μF N 即滑动摩擦力跟压力成正比。
（2） 静摩擦力：①对一般静摩擦力的计算应该利用牛顿第二定律，切记不要乱用f =μF N ；②对最大静摩擦力的计算有公式：f = μF N （注意：这里的μ与滑动摩擦定律中的μ的区别,但一般情况下,我们认为是一样的）3． 力的合成与分解：（1） 力的合成与分解都应遵循平行四边形定则。
（2） 具体计算就是解三角形，并以直角三角形为主。
第二章 直线运动1． 速度公式： v t = v 0 + at ①2． 位移公式： x= v 0t +21at 2 ② 3． 速度位移关系式： v t 2- v 20= 2as ③ 4． 平均速度公式： v = tx ④ v =21(v 0 + v t ) ⑤ v = v t2 ⑥5． 位移差公式 ： △x= aT 2 ⑦公式说明：（1） 以上公式除④式之外，其它公式只适用于匀变速直线运动。
（2）公式⑥指的是在匀变速直线运动中，某一段时间的平均速度之值恰好等于这段时间中间时刻的速度，这样就在平均速度与速度之间建立了一个联系。
6. 对于初速度为零的匀加速直线运动有下列规律成立：(1). 1T 秒末、2T 秒末、3T 秒末……nT 秒末的速度之比为: 1 ：2：3：……：n.(2). 1T 秒内、2T 秒内、3T 秒内……nT 秒内的位移之比为: 12 ：22：32：……：n 2.(3). 第1T 秒内、第2T 秒内、第3T 秒内……第nT 秒内的位移之比为: 1：3：5：……：(2 n-1).(4). 第1T 秒内、第2T 秒内、第3T 秒内……第nT 秒内的平均速度之比为: 1：3：5：……：(2 n-1).第三章 牛顿运动定律1. 牛顿第二定律: F 合= ma注意: (1)同一性: 公式中的三个量必须是同一个物体的.(2)同时性: F 合与a 必须是同一时刻的.(3)瞬时性: 上一公式反映的是F 合与a 的瞬时关系.(4)局限性: 只成立于惯性系中, 受制于宏观低速.2. 整体法与隔离法:整体法不须考虑整体(系统)内的内力作用, 用此法解题较为简单, 用于加速度和外力的计算. 隔离法要考虑内力作用, 一般比较繁琐, 但在求内力时必须用此法, 在选哪一个物体进行隔离时有讲究, 应选取受力较少的进行隔离研究.3. 超重与失重:当物体在竖直方向存在加速度时, 便会产生超重与失重现象. 超重与失重的本质是重力的实际大小与表现出的大小不相符所致, 并不是实际重力发生了什么变化,只是表现出的重力发生了变化.第四章 物体平衡1. 物体平衡条件: F 合 = 02. 处理物体平衡问题常用方法有:(1). 在物体只受三个力时, 用合成及分解的方法是比较好的. 合成的方法就是将物体所受三个力通过合成转化成两个平衡力来处理; 分解的方法就是将物体所受三个力通过分解转化成两对平衡力来处理.(2). 在物体受四个力(含四个力)以上时, 就应该用正交分解的方法了. 正交分解的方法就是先分解而后再合成以转化成两对平衡力来处理的思想.第五章 匀速圆周运动1．对匀速圆周运动的描述：①．线速度的定义式： v =ts (s 指弧长或路程，不是位移 ②．角速度的定义式： ω= tφ ③．线速度与周期的关系：v = Tr π2 ④．角速度与周期的关系：Tπω2= ⑤．线速度与角速度的关系：v = r ω ⑥．向心加速度：a = rv 2或 a =2ωr 2. （1）向心力公式：F = ma = m rv 2= m 2ωr (2) 向心力就是物体做匀速圆周运动的合外力，在计算向心力时一定要取指向圆心的方向做为正方向。
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F
思考与讨论 1、根据上面的分析可以看出，汽车行驶的速度越大，汽车 对桥的压力越小。试分析一下，当汽车的速度不断增大时， 飞离桥面 完全失重 会有什么现象发生呢？ F 2、请你根据上面分析汽车通过凸形 桥的思路，分析一下汽车通过凹形 桥最低点时对桥的压力（如图）。 这时的压力比汽车的重量大还是小？ G
思考题？
自行车转弯时，稍一倾斜就过去了，摩托车转弯倾斜度要 大一些。摩托赛车时转弯，倾斜度更大，几乎倒在地上。
问：什么力提供向心力？向心力与倾斜度有关吗？有何关系？ 解答： 由地面 对车的静摩 擦力提供 有关系， 倾斜度越大， 向心力越大
作业：
P98 4、5
4、补充：汽车以多大的速 度驶过桥顶时，汽车对桥 面的压力为零？
b：对汽车进行受力分析：受到重力和 桥对车的支持力 c：上述两个力的合力提供向心力、且 向心力方向向下 mv 2 F d：建立关系式： 向=G-F1= r
V2 F1 G m r
e:又因支持力与压力是一对作用力与反作用力，
所以
说明：
V2 F压 G m r
且ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
F压 G
失重
上述过程中汽车做的不是匀速圆周运动，我们 仍使用了匀速圆周运动的公式，原因是向心力和向心加速度 的公式对于变速圆周运动同样适用。
默写:
向心力及向心加速度的求解公式
在具体问题中要根据已知条件灵活选择公式
关于向心力
1：分析和解决圆周运动的问题，关键的是要 把向心力的来源搞清楚：沿半径方向的合力。 2：说明： a：向心力是按效果命名的力； b：任何一个力或几个力的合力只要它的作用 效果是使物体产生向心加速度，它就是物体所 受的向心力； c：不能认为做匀速圆周运动的物体除了受到 另外物体的作用外，还要另外受到向心力。
在日常生活中有很多圆周运动的实 例：骑自行车、摩托车转弯，汽车、 火车转弯，车通过凸形桥、凹形桥， 飞机作俯冲拉起运动等都是圆周运 动，这些运动的向心力的来源是什 么？下面我们就通过几个具体问题 来分析向心力的来源。
第六节
匀速圆周运动的实例分析
教学目标：
1、进一步理解向心力是物体沿 半径方向的合外力。 2、进一步理解向心力、向心加 速度的公式也适用于变速圆周运动 (各物理量必须为同一时刻的瞬时 值)。 3、会在具体问题中分析向心力 的来源。
（3）建立以向心方向为正方向的坐标，据向心力 公式列方程。
（4）解方程，对结果进行必要的讨论。
实例3： “水流星”模型
杂技演员表演“水流星”节目，我们发 现不管演员怎样抡，水都不会从杯里洒 出，甚至杯子在竖直面内运动到最高点 时，已经杯口朝下，水也不会从杯子里 洒出。这是为什么？
取杯中的水为研究对象: 杯中的水是在竖直平面内作圆周运动 在最高点时受到两个力的作用：重力Ｇ和杯 底对水的弹力Ｎ 有: N+mg=mv2/r
实例分析：
实例1、火车转弯：
1、内外轨道一样高时
FN
F
G
a：此时火车受力：重力、支持力、机车的牵引力、空气及 铁轨的阻力、外轨对轮缘的弹力。 b：外轨对轮缘的弹力F提供向心力。F=mv2/r c：由于该弹力是由轮缘和外轨的挤压产生的，且由于火车质量 很大，故轮缘和外轨间的相互作用力很大，易损坏铁轨。
2、外轨略高于内轨时
向心力
转弯处--外轨略高于内轨。
说明：转弯处要选择 内外轨适当的高度差，使转 弯时所需的向心力F完全由 重力G和支持力N的合力来提 供，这样外轨就不受轮缘的 挤压了。
实例2：汽车过拱桥的问题
汽车在拱桥上以速度v前进，桥面的圆弧半径为R，求汽 车过桥的最高点时对桥面的压力？ 解析： a：选汽车为研究对象
解析： 汽车竖直方向受两个力:G、F
mv 2 F–G= r mv 2 F=G+ r
F’=F > G
超重
F越大,轮胎的形变越大,易爆胎
运用向心力公式解题的步骤：
（1）明确研究对象，确定它在哪个平面内做圆周 运动，找到圆心和半径。 （2）确定研究对象在某个位置所处的状态，进行 具体的受力分析，分析是哪些力提供了向心力。
课堂练习：
1、用绳系一个小球，使它在光滑水平桌面上 做匀速圆周运动，小球受几个力的作用？有人 说，受4个力的作用：重力、桌面的支持力、 绳的拉力、向心力。这种分析对吗？为什么？
不对，受三个力作用
向心力（绳的拉力）是它们的合力
O
2、把一个小球放在玻璃漏斗里， 晃动几下漏斗，可以使小球沿光滑 的漏斗壁在某一水平面内做匀速圆 周运动（如图）。小球的向心力是 由什么力提供的？