2020届高考总复习数学_文科_第九章 立体几何初步第一节 空间几何体的结构、三视图和直观图
(新课标)2020版高考数学专题三立体几何第1讲空间几何体的三视图、表面积及体积课件文新人教A版
空间几何体的三视图(基础型) [知识整合]
一个物体的三视图的排列规则 俯视图放在正(主)视图的下面，长度与正(主)视图的长度一样，侧(左)视图放在正(主) 视图的右面，高度与正(主)视图的高度一样，宽度与俯视图的宽度一样．即“长对 正、高平齐、宽相等”．
[考法全练] 1．一个简单几何体的正视图、侧视图如图所示，则其俯视图可能是( )
面 ABCD 是正方形且和球心 O 在同一平面内，当此四棱锥的体积取得最大值时，
其表面积等于 8＋8 3，则球 O 的体积等于( )
A.323π
B.32
2π 3
C．16π
16 2π D. 3
【解析】 (1)如图，由题意知圆柱的中心 O 为这个球的球心，于是， 球的半径 r＝OB＝ OA2＋AB2＝ 12＋（ 3）2＝2.故这个球的表面 积 S＝4π r2＝16π .故选 D.
(2)求空间几何体体积的常用方法 ①公式法：直接根据相关的体积公式计算． ②等积法：根据体积计算公式，通过转换空间几何体的底面和高使得体积计算更容 易，或是求出一些体积比等． ③割补法：把不能直接计算体积的空间几何体进行适当分割或补形，转化为易计算 体积的几何体．
[对点训练] 1．(2019·唐山市摸底考试)已知某几何体的三视图如图所示(俯视图中曲线为四分之 一圆弧)，则该几何体的表面积为( )
第二部分 高考热点 分层突破
专题三 立体几何 第1讲 空间几何体的三视图、表面积及体积数学 Nhomakorabea01
做高考真题 明命题趋向
02
研考点考向 破重点难点
03
练典型习题 提数学素养
[做真题] 1．(2018·高考全国卷Ⅲ)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分 叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构 件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是 ()
2020年高考数学 考点18 空间几何体的结构及其三视图和直观图、空间几何体的表面积与体积
考点18 空间几何体的结构及其三视图和直观图、空间几何体的表面积与体积1.（2020·陕西高考理科·Ｔ7）若某空间几何体的三视图如图所示， 则该几何体的体积是（ ） (A)13 (B) 23(C) 1 (D) 2 【命题立意】本题考查三视图的概念及空间想象能力，属中等题。
【思路点拨】三视图⇒几何体是直三棱柱⇒该几何体的体积【规范解答】选C 由该几何体的三视图可知，该几何体是直三棱柱，且棱柱的底面是两直角边长分别为2和1的直角三角形，棱柱的高为2，所以该几何体的体积1(21)2 1.2V =⨯⨯⨯=2.（2020·辽宁高考文科·Ｔ11）已知SABC 是球O 表面上的点，SA ⊥平面ABC ,AB ⊥BC ，SA =AB =1 BC =2,则球O 的表面积等于（ ） （A ）4π(B ）3π(C)2π(D) π【命题立意】本题考查了空间是两点间距离公式和球的表面积公式。
【思路点拨】【规范解答】选A 。
SA ⊥Q 平面ABC ，AB ，AC ⊂平面ABC ，SA AB ∴⊥，SA AC ⊥， 故可以A 为原点，AC 所在的直线为y 轴，AS 所在的直线为z 轴建立如图所示的空间直 角坐标系A-xyz ，则(0,0,0)A ,63(,,0)33B ,(0,3,0)C ,(0,0,1)S ,设球心O 坐标为000(,,)x y z ，则点O 到各顶点SABC 的距离相等，都等于球的半径R 。
22220002222000222200222200063()()(0)33(0)(3)(0)(0)(0)(1)x y z R x y z R x y z R x y z R ⎧++=⎪⎪-+-+-=⎪∴⎨⎪-+-+-=⎪⎪-+-+-=⎩， 解得2000310,,,122x y z R ====， 建立空间坐标球心坐标球的半径球的表面积∴球的表面积为24414R πππ=⨯=。
高考数学(文)《立体几何》专题复习
(2)两个平面垂直的判定和性质
✓ 考法5 线面垂直的判定与性质
1.证明直线 与平面垂直 的方法
2.线面垂直 的性质与线 线垂直
（1）判定定理（常用方法）： 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线
与此平面垂直.判定定理中的两条相交直线必须保证“在平面 内相交”这一条件. （2）性质： ①应用面面垂直的性质（常用方法）：若两平面垂直,则在一 个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面，是证明线 面垂直的主要方法； ②（客观题常用）若两条平行直线中的一条垂直于一个平面, 则另一条也垂直于这个平面.
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✓ 考法4 面面平行的判定与性质
1.证明平面 与平面平行 的常用方法 2.空间平行关系 之间的转化
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✓ 考法3 面面平行的判定与性质
1.证明平面 与平面平行 的常用方法
这是立体几何中证明平行关系常用的思路,三 种平行关系的转化可结合下图记忆
2.空间平行关系 之间的转化
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600分基础 考点&考法
定义 判定方法
2.等角定理
判定定理 反证法 两条异面直线所成的角
✓ 考法2 异面直线所成的角
常考形式
直接求 求其三角函数值
常用方法
作角
正弦值 余弦值 正切值
证明 求值 取舍
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600分基础 考点&考法
➢ 考点46 线面、面面平行的判定与性质 ✓ 考法3 线面平行的判定与性质 ✓ 考法4 面面平行的判定与性质
1.计算有关 线段的长
2.外接球、内切 球的计算问题
观察几何体的特征 利用一些常用定理与公式 (如正弦定理、余弦定理、勾股定理、 三角函数公式等) 结合题目的已知条件求解
2020届高三数学一轮复习强化训练精品――空间几何体的结构及其三视图和直观图
2020届高三数学一轮复习强化训练精品――空间几何体的结构及其三视图和直观图1.以下不正确的命题的序号是.①有两个面平行，其余各面差不多上四边形的几何体叫棱柱②有两个面平行，其余各面差不多上平行四边形的几何体叫棱柱③有一个面是多边形，其余各面差不多上三角形的几何体叫棱锥④有一个面是多边形，其余各面差不多上有一个公共顶点的三角形的几何体叫棱锥答案①②③2.假如圆锥的侧面展开图是半圆，那么那个圆锥的顶角〔圆锥轴截面中两条母线的夹角〕是 .答案60°3.假如一个几何体的三视图如下图〔单位长度：cm 〕，那么此几何体的表面积是cm2.答案(20+42)4.〔2018·宁夏文，14〕一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的高为3，底面周长为3，那么那个球的体积为.答案345.正三角形ABC 的边长为a ,那么△ABC 的直观图△A ′B ′C ′的面积为 .答案166a2例1以下结论不正确的选项是〔填序号〕.①各个面差不多上三角形的几何体是三棱锥②以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥基础自测③棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，那么此棱锥可能是六棱锥④圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线差不多上母线答案①②③解析①错误.如下图，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各面差不多上三角形，但它不一定是棱锥.②错误.如以下图，假设△ABC 不是直角三角形或是直角三角形,但旋转轴不是直角边，所得的几何体都不是圆锥.③错误.假设六棱锥的所有棱长都相等，那么底面多边形是正六边形.由几何图形知，假设以正六边形为底面，侧棱长必定要大于底面边长. ④正确. 例2〔14分〕△ABC 的直观图A ′B ′C ′是边长为a 的正三角形，求原三角形ABC 的面积.解建立如下图的xOy 坐标系，△ABC 的顶点C 在y 轴上，AB 边在x 轴上，OC 为△ABC 的高.3分把y 轴绕原点顺时针旋转45°得y ′轴，那么点C 变为点C ′，且OC =2OC ′，A 、B 点即为A ′、B ′点，AB =A ′B ′. 6分A ′B ′=A ′C ′=a ，在△OA ′C ′中，由正弦定理得''sin C OA OC =45sin ''C A ，9分因此OC ′=a 45sin 120sin =a 26,因此原三角形ABC 的高OC =6a ，12分因此S △ABC =21×a ×6a =a 262.14分例3一个正三棱柱的三视图如下图，求那个三棱柱的表面积和体积.解由三视图易知，该正三棱柱的形状如下图：且AA ′=BB ′=CC ′=4cm,正三角形ABC 和正三角形A ′B ′C ′的高为23cm.∴正三角形ABC 的边长为|AB |=60sin 32=4.∴该三棱柱的表面积为S=3×4×4+2×21×42sin60°=48+83(cm 2).体积为V=S 底·|AA ′|=21×42sin60°×4=163(cm 3).故那个三棱柱的表面积为〔48+83〕cm 2,体积为163cm 3.例4棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，假设过该球球心的一个截面如下图，求图中三角形〔正四面体的截面〕的面积.解如下图，△ABE 为题中的三角形，由得AB =2，BE =2×23=3,BF=32BE =332,AF =22BFAB=344=38, ∴△ABE 的面积为S=21×BE ×AF=21×3×38=2.∴所求的三角形的面积为2.1.假如四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为〝等腰四棱锥〞，四条侧棱称为它的腰，以下四个命题中为真命题的是〔填序号〕.①等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等②等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补③等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆④等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上答案①③④2.一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为a 的正方形,那么原平面四边形的面积等于.答案22a23.某几何体的俯视图是如下图的矩形，正视图〔或称主视图〕是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，左视图〔或称侧视图〕是一个底边长为6、高为4的等腰三角形.〔1〕求该几何体的体积V ；〔2〕求该几何体的侧面积S.解〔1〕由该几何体的俯视图、正视图、左视图可知，该几何体是四棱锥，且四棱锥的底面ABCD 是边长为6和8的矩形，高VO=4，O 点是AC 与BD 的交点. ∴该几何体的体积V=31×8×6×4=64.〔2〕如下图，侧面VAB 中，VE ⊥AB ，那么VE =22OEVO =2234=5∴S △VAB =21×AB ×VE =21×8×5=20侧面VBC 中，VF ⊥BC ，那么VF =22OFVO =2244=42.∴S △VBC =21×BC ×VF=21×6×42=122∴该几何体的侧面积S=2〔S △VAB +S △VBC 〕=40+242.4.〔2007·全国Ⅱ文，15〕一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为 2 cm 的球面上.假如正四棱柱的底面边长为 1 cm ，那么该棱柱的表面积为 cm 2.答案2+42一、填空题1.利用斜二测画法能够得到：①三角形的直观图是三角形，②平行四边形的直观图是平行四边形，③正方形的直观图是正方形，④菱形的直观图是菱形，以上正确结论的序号是 .答案①②2.如下图，甲、乙、丙是三个几何体图形的三视图，甲、乙、丙对应的标号是 .①长方体；②圆锥；③三棱锥；④圆柱.答案④③②3.以下几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是 .答案②④4.用假设干个大小相同，棱长为1的正方体摆成一个立体模型，其三视图如下：依照三视图回答此立体模型的体积为 .答案55.棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的8个顶点都在球O 的表面上，E 、F 分不是棱AA 1、DD 1的中点，那么直线EF 被球O截得的线段长为 . 答案26.〔2018·湖北理〕用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为，那么球的体积为 .答案3287.用小立方块搭一个几何体，使得它的正视图和俯视图如下图，如此的几何体至少要个小立方块.最多只能用个小立方块.答案9 148.如下图，E 、F 分不是正方体的面ADD 1A 1、面BCC 1B 1的中心，那么四边形BFD 1E 在该正方体的面上的正投影可能是.〔把可能的图的序号都填上〕答案②③二、解答题9.正四棱台AC 1的高是17 cm ，两底面的边长分不是4 cm 和16 cm ，求那个棱台的侧棱长和斜高.解如下图，设棱台的两底面的中心分不是O 1、O ，B 1C 1和BC 的中点分不是E 1和E ，连接O 1O 、E 1E 、O 1B 1、OB 、O 1E 1、OE ，那么四边形OBB 1O 1和OEE 1O 1差不多上直角梯形.∵A 1B 1=4 cm ，AB =16 cm ，∴O 1E 1=2 cm ，OE =8 cm ，O 1B 1=22 cm ，OB=82 cm ，∴B 1B 2=O 1O 2+〔OB -O 1B 1)2=361 cm 2，E 1E 2=O 1O 2+〔OE -O 1E 1)2=325 cm 2，∴B 1B=19 cm ，E 1E=513cm.答那个棱台的侧棱长为19 cm ，斜高为513cm.10.圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，轴截面的面积等于392 cm 2,母线与轴的夹角是45°，求那个圆台的高、母线长和两底面半径. 解圆台的轴截面如下图，设圆台上下底面半径分不为x cm,3x cm.延长AA 1交OO 1的延长线于S ，在Rt △SOA 中，∠ASO =45°,那么∠SAO =45°，∴SO =AO=3x ，∴OO 1=2x ，又S轴截面=21〔6x+2x 〕·2x=392，∴x=7.故圆台的高OO 1=14 (cm)，母线长l=2O 1O =142 (cm)，两底面半径分不为7 cm,21 cm. 11.正四棱锥的高为3，侧棱长为7，求侧面上斜高〔棱锥侧面三角形的高〕为多少？解如下图，正棱锥S-ABCD 中高OS=3，侧棱SA =SB =SC =SD =7，在Rt △SOA 中，OA=22OSSA=2，∴AC =4.∴AB =BC =CD =DA =22.作OE ⊥AB 于E ，那么E 为AB 中点.连接SE ，那么SE 即为斜高，那么SO ⊥OE .在Rt △SOE 中，∵OE =21BC =2，SO=3，∴SE =5，即侧面上的斜高为5.12. 如下图的几何体中，四边形AA 1B 1B 是边长为3的正方形，CC 1=2，CC 1∥AA 1，那个几何体是棱柱吗？假设是，指出是几棱柱.假设不是棱柱，请你试用一个平面截去一部分，使剩余部分是一个棱长为2的三棱柱，并指出截去的几何体的特点，在立体图中画出截面.解那个几何体不是棱柱；在四边形ABB 1A 1中，在AA 1上取点E ，使AE =2；在BB 1上取F 使BF=2；连接C 1E ，EF ，C 1F ，那么过C 1EF 的截面将几何体分成两部分，其中一部分是棱柱ABC —EFC 1，其棱长为2；截去的部分是一个四棱锥C 1—EA 1B 1F.。
考点27 空间几何体的结构及其三视图与直观图-2020年高考数学(文)考点一遍过
专题27 空间几何体的结构及其三视图与直观图空间几何体（1）认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.（2）能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测法画出它们的直观图.（3）会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式.（4）会画某些建筑物的视图与直观图（在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不作严格要求）.一、空间几何体的结构1．多面体①底面互相平行.②侧面都是平行四边形.③每相邻两个平行四边形的公共边互相平行.2．旋转体二、空间几何体的三视图与直观图1．空间几何体的三视图（1）三视图的概念①光线从几何体的前面向后面正投影，得到的投影图叫做几何体的正视图;②光线从几何体的左面向右面正投影，得到的投影图叫做几何体的侧视图;③光线从几何体的上面向下面正投影，得到的投影图叫做几何体的俯视图.几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图.如图.（2）三视图的画法规则①排列规则：一般地，侧视图在正视图的右边，俯视图在正视图的下边.如下图：②画法规则ⅰ)正视图与俯视图的长度一致，即“长对正”；ⅰ)侧视图和正视图的高度一致，即“高平齐”；ⅰ)俯视图与侧视图的宽度一致，即“宽相等”.③线条的规则ⅰ)能看见的轮廓线用实线表示；ⅰ)不能看见的轮廓线用虚线表示.（3）常见几何体的三视图2．空间几何体的直观图 （1）斜二测画法及其规则对于平面多边形，我们常用斜二测画法画它们的直观图.斜二测画法是一种特殊的画直观图的方法，其画法规则是：①在已知图形中取互相垂直的x 轴和y 轴，两轴相交于点O .画直观图时，把它们画成对应的x ′轴和y ′轴，两轴相交于点O ′，且使∠x ′O ′y ′=45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面.②已知图形中平行于x 轴或y 轴的线段，在直观图中分别画成平行于x ′轴或y ′轴的线段.③已知图形中平行于x 轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y 轴的线段，长度为原来的一半. （2）用斜二测画法画空间几何体的直观图的步骤①在已知图形所在的空间中取水平平面，作互相垂直的轴Ox ，Oy ，再作Oz 轴使∠xOz =90°，且∠yOz =90°. ②画直观图时，把它们画成对应的轴O ′x ′，O ′y ′，O ′z ′，使∠x ′O ′y ′=45°(或135°)，∠x ′O ′z ′=90°，x ′O ′y ′所确定的平面表示水平平面.③已知图形中，平行于x 轴、y 轴或z 轴的线段，在直观图中分别画成平行于x ′轴、y ′轴或z ′轴的线段，并使它们和所画坐标轴的位置关系与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同.④已知图形中平行于x 轴或z 轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y 轴的线段，长度变为原来的一半.⑤画图完成以后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图. （3）直观图的面积与原图面积之间的关系①原图形与直观图的面积比为SS='，即原图面积是直观图面积的倍，倍.考向一 空间几何体的结构特征关于空间几何体的结构特征问题的注意事项：(1)紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定．(2)通过举反例对结构特征进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只要举出一个反例即可.典例1下列命题中正确的是A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱C．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台D．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱【答案】B【解析】在A中，如图的几何体，有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体不是棱柱，故A错误；在B中，由棱柱的定义得：有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱，故B正确；在C中，用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台，故C错误；在D中，如图的几何体，有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体不是棱柱，故D错误．故选B．1．正三棱锥内有一个内切球,经过棱锥的一条侧棱和高作截面,正确的图是典例2 边长为5 cm 的正方形EFGH 是圆柱的轴截面，则从E 点沿圆柱的侧面到相对顶点G 的最短距离是A ．10 cmB ．cmC ． cmD cm 【答案】D【解析】圆柱的侧面展开图如图所示，展开后155·2π·π222E F '==，∴)cm E G '==． 故选D.【名师点睛】求几何体的侧面上两点间的最短距离问题，常常把侧面展开，转化为平面几何问题处理．2．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB =，BC =M 在棱1CC 上，当1MD MA +取得最小值时，1MD MA ⊥，则棱1CC 的长为__________.考向二 空间几何体的三视图三视图问题的常见类型及解题策略：(1)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图．(2)由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线，不能看到的部分用虚线表示．(3)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分三视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合.典例3 如图所示，在放置的四个几何体中，其正视图为矩形的是A B C D【答案】B【解析】A 选项三棱锥、C 选项圆台、D 选项的正视图都不是矩形，而B 选项圆柱的正视图为矩形. 故选B ．3．一个动点从正方体1111ABCD A B C D 的顶点A 处出发，经正方体的表面，按最短路线到达顶点1C 位置，则下列图形中可以表示正方体及动点最短路线的正视图是A ．①②B ．①③C．②④D．③④典例4 如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是A．三棱锥B．三棱柱C．四棱锥D．四棱柱【答案】B【解析】由三视图中的正视图可知，有一个面为直角三角形，由侧视图和俯视图可知其他的面为长方形.综合可判断为三棱柱.4．如图，网格纸上小正方形的边长为2，粗实线及粗虚线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的最长棱长为A．2√3B．4C．6D．4√2考向三 空间几何体的直观图斜二测画法中的“三变”与“三不变”：“三变”y ⎧⎪⎨⎪⎩坐标轴的夹角改变与轴平行的线段的长度变为原来的一半图形改变；“三不变”x z ⎧⎪⎨⎪⎩平行性不改变与,轴平行的线段的长度不改变相对位置不改变.典例5 如图是水平放置的平面图形的直观图,则原平面图形的面积为A ．3 BC ．6 D．【答案】C【解析】原平面图形如图,即Rt △OAB ,其中OA =O ′A ′=3,OB =2O ′B ′=4,故原平面图形的面积为134=62⨯⨯，故选C ．【方法点晴】本题主要考查了平面图形的直观图及其原图形与直观图面积之间的关系，属于基础题，解答的关键是牢记原图形与直观图的面积比为22SS ='，即原图面积是直观图面积的22倍，直观图面积是原图面积的2=422倍.5．已知边长为1的菱形ABCD 中，π3A ∠=，则用斜二测画法画出这个菱形的直观图的面积为 A ．3B ．3 C ．6 D ．61．有下列三个说法：①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台； ②有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台； ③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台． 其中正确的有 A ．0个 B ．1个 C ．2个D ．3个2．某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是 A ．圆柱 B ．圆锥 C ．四面体D ．三棱柱3．如图为水平放置的正方形ABCO ，在直角坐标系中点B 的坐标为（2，2），则用斜二测画法画出的正方形的直观图中，点B '到x '轴的距离为A ．12BC ．1D4．如图，正方体1111ABCD A B C D 中，E 为棱1BB 的中点，用过点A 、E 、1C 的平面截去该正方体的下半部分，则剩余几何体的正视图（也称主视图）是A ．B ．C ．D ．5．正方体被一个平面截去一部分后，所得几何体的三视图如图所示，则截面图形的形状为A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．平行四边形D ．梯形6．用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图是如图所示的一个正方形，则原来的图形是A ．B ．C ．D ．7．已知三棱柱111ABC A B C -的高为2，底面三角形的边长分别为3，4，5.若球O 内切于三棱柱111ABC A B C -，其正视图和俯视图如图所示，则其左视图是A ．B ．C ．D ．8．用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得的圆台上、下底面半径之比为1:4，若截去的圆锥的母线长为3cm ，则圆台的母线长为 A ．1cm B ．3cm C ．12cmD ．9cm9．一个四面体的顶点在空间直角坐标系O −xyz 中的坐标分别是(0,1,0),(0,2,0),(2,0,2),(0,2,2)，绘制该四面体的三视图时，按照如下图所示的方向画正视图，则得到的正视图为A ．B ．C ．D ．10．一个正方体的内切球1O 、外接球2O 、与各棱都相切的球3O 的半径之比为A ．1:3:2B ．1:1:1C ．D ．1:2:311．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线和虚线画出的是某几何体的三视图，该几何体的各个面中有若干个是梯形，则这些梯形的面积之和为A ．28B ．30C ．32D ．3612．长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，1BB =A 关于直线1BD 的对称点为P ，则P与1C 两点之间的距离是A ．1 BC D 13．已知正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的三视图如图所示，一只蚂蚁从顶点A 出发沿该正三棱柱的表面绕行两周到达顶点A 1，则该蚂蚁走过的最短路径为A B ．25C ．D ．3114．已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面三角形中为直角三角形的个数为A．1B．2C．3D．415．如图所示,E,F分别为正方体ABCD-A'B'C'D'的面ADD'A'、面BCC'B'的中心,现给出图①~④的4个平面图形,则四边形BFD'E在该正方体的面上的射影可能是图.(填上所有正确图形对应的序号)16．如图所示是一个几何体的表面展开平面图,该几何体中与“数”字面相对的是“”.17．已知某一几何体的正视图与侧视图如图所示，则下列图形中，可以是该几何体的俯视图的图形有_____________.（填序号）18．已知一个圆锥的母线长为2，底面圆的周长为，则过圆锥顶点的截面面积的最大值为_____.19．一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45︒，腰和上底均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积为____________. 20．用半径为2cm ，圆心角为2π3的扇形纸片卷成一个圆锥，则这个圆锥的高为________cm . 21．正三棱锥P−ABC 中，90APB BPC CPA ∠=∠=∠=︒，PA =PB =PC =a ，AB 的中点为M ，一小蜜蜂沿锥体侧面由M 爬到C 点，最短路程是____________.1．（2018新课标全国Ⅰ文科）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为A ．172B ．52C ．3D ．22．（2018新课标全国Ⅲ文科）中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是3．（2016天津文科）将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧（左）视图为A B C D1．【答案】C【解析】正三棱锥的内切球与各个面的切点为正三棱锥各面的中心,所以过一条侧棱和高的截面必过该棱所对的面的高线,故C 正确. 2．【答案】2【解析】把长方形11DCC D 展开到长方形11ACC A 所在平面，如图，当A ，M ，1D 在同一条直线上时，1MD MA +取得最小值，此时11121MA AC MD C D ==， 令2MA x =，1MD x =，1CC h =，则222222(2)3(3)3x x h x h ⎧+=+⎨=+⎩，得2h =.故棱1CC 的长为2.3．【答案】C【解析】由点A 经正方体的表面，按最短路线爬行到定点1C 位置，共有6种展开方式，若把平面11ABA B 和平面11BB C C 展开到同一个平面内，在矩形中连接1AC ，会经过1BB 的中点，故此时的正视图为②；若把平面ABCD 和平面11CDD C 展开到同一个平面内，在矩形中连接1AC ，会经过CD 的中点，此时的正视图为④. 故选C ． 4．【答案】C【解析】由三视图可知该几何体是如图所示的四棱锥O −ABCD ，其所在正方体的棱长为4，A ，D 为棱的中点，根据几何体可以判断，该四棱锥的最长棱为AO ，AO =√42+42+22=6． 故选C ． 5．【答案】D【解析】如图，菱形ABCD 中，1AB =，π3A ∠=，则菱形的面积为1π32211sin232△菱形ABDABCDS S==⨯⨯⨯⨯=，所以用斜二测画法画出这个菱形的直观图的面积为3622222ABCDSS===.故选D．1．【答案】A【解析】本题主要考查棱台的结构特征．①中的平面不一定平行于底面，故①错；②③可用反例去检验，如图所示，故②③错．2．【答案】A【解析】因为圆柱的三视图有两个矩形，一个圆，正视图不可能是三角形，而圆锥、四面体（三棱锥）、三棱柱的正视图都有可能是三角形，所以选A．3．【答案】B【解析】因为BC垂直于x轴，所以在直观图中B C''的长度是1，且与x'轴的夹角是45︒，所以B'到x'轴2.4．【答案】A【解析】正方体1111ABCD A B C D-中，过点1,,A E C的平面截去该正方体的下半部分后，剩余部分几何专题冲关体的正视图为图中粗线部分．故选A．5．【答案】A【解析】如图所示，由三视图可得，该几何体是正方体被一个平面截去一个三棱锥所得的几何体，很明显截面是等腰三角形.故选A．6．【答案】A【解析】根据斜二测画法知，平行于x轴的线段长度不变,平行于y的线段变为原来的12，由此得原来的图形是A．故选A．7．【答案】D【解析】设球O的半径为r，由正视图、俯视图可得1r ，又球O与三棱柱的三个侧面相切，可得其左视图如选项D所示故选D.8．【答案】D【解析】如图，设圆台的母线长为y，小圆锥底面与被截的圆锥底面半径分别是x,4x，根据相似三角形的性质可得33+y =x4x ， 解得y =9，所以圆台的母线长为9cm . 故选D ． 9．【答案】D【解析】根据空间直角坐标系中点的位置，画出直观图如图，则正视图为D 中图形.故选D ．10．【答案】C【解析】设正方体的棱长为1，那么其内切球的半径为21，外接球的半径为23（正方体体对角线的一半），与各棱都相切的球的半径为22（正方体面对角线的一半），所以比值是1，故选C ． 【方法点睛】球与几何体的组合体的问题，尤其是相切，一般不画组合体的直观图，而是画切面图，圆心到切点的距离是半径并且垂直，如果是内切球，那么对面切点的距离就是直径，而对面切点的距离是棱长，如果与棱相切，那么对棱切点的距离就是直径，而切点在棱的中点，所以对棱中点的距离等于面对角线长，而如果外接球，那么相对顶点的距离就是直径，即正方体的体对角线是直径． 11．【答案】C【解析】由三视图可知该几何体如图所示，各个面中有两个梯形，一个矩形，两个直角三角形，则这两个梯形的面积和为S =12×(2+6)×3+12×(2+6)×5=32. 故选C ．12．【答案】A【解析】如下图所示：在11PC D △中，易知111C D =，1D P ，1130PD C ∠=o，由余弦定理得：22211111112cos30132112C P CD D P C D D P =+-⋅⋅=+-⨯=o， 所以11C P =. 故选A ． 13．【答案】B【解析】将正三棱柱111ABC A B C -沿侧棱展开，如图所示：在展开图中，最短距离是6个矩形对角线的连线的长度，也即为三棱柱的侧面上所求距离的最小值．=，4⨯=，宽等于7，所以矩形的长等于4624由勾股定理求得25d==．故选B．14．【答案】D【解析】由三视图可知：该几何体为一个三棱锥P﹣ABC，其中PC⊥底面ABC，底面ABC是一个三边，2的三角形，PC＝2．+=，可得∠A＝90°，则AB⊥AC．由2222又PC⊥底面ABC，∴PC⊥BC，PC⊥AC．则AB⊥P A．因此该几何体的表面三角形中为直角三角形的个数为4．故选D．15．【答案】②③【解析】四边形BFD'E在正方体ABCD-A'B'C'D'的面BCC'B'上的射影是③;在面ABCD上的射影是②;易知①④的情况不可能出现.16．【答案】学【解析】由图形可知,该几何体为三棱台，两个三角形为三棱台的上下底面，∴与“数”字面相对的是“学”. 17．【答案】①②③④【解析】俯视图为①时，该几何体从上往下依次为圆柱、圆柱、长方体组成的组合体；俯视图为②时，该几何体从上往下依次为长方体、长方体、圆柱组成的组合体；俯视图为③时，该几何体从上往下依次为圆柱、长方体、长方体组成的组合体；俯视图为④时，该几何体从上往下依次为三棱柱、圆柱、长方体组成的组合体； 俯视图不可能为⑤. 18．【答案】2【解析】底面圆的周长为，两母线夹角最大为2π3，圆锥的母线长为2，过圆锥顶点的截面面积122sin 2S α=⨯⨯⨯， 所以，当截面中的两圆锥母线夹角为π2时，截面面积最大为2.19．【答案】2【解析】由题意得，水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45︒，腰和上底均为1的等腰梯形，其面积为1(112S '=⨯++=，又原图形与直观图的面积比为SS ='，所以原图形的面积为2S '==20．【答案】3【解析】如图所示，半径为2cm ，圆心角为2π3的扇形，所以扇形的弧长为2π4π233⨯=，设卷成圆锥的底面圆的半径为r ，则4π2π3r =，解得23r =，所以这个圆锥筒的高为3h ===.21． 【解析】由题意，将侧面PBC 展开，那么点M 到C 的距离，就是在MBC △中MC 的长度，由题中数据易得,2MB a BC ==，90MBC PBA PBC ∠=∠+∠=︒，∴MC =√102a ， 如果将侧面PAC展开，同理可得2MC a =.1．【答案】B【解析】根据圆柱的三视图以及其本身的特征，知点M 在上底面上，点N 在下底面上，且可以确定点M 和点N 分别在以圆柱的高为长方形的宽，圆柱底面圆周长的四分之一为长的长方形的对角线的端点处，所以所求的最短路径的长度为√42+22=2√5. 故选B ．【名师点睛】该题考查的是有关几何体的表面上两点之间的最短距离的求解问题，在解题的过程中，需要明确两个点在几何体上所处的位置，再利用平面上两点间直线段最短，所以处理方法就是将面切开平铺，利用平面图形的相关特征求得结果. 2．【答案】A【解析】本题主要考查空间几何体的三视图.由题意知，俯视图中应有一不可见的长方形，且俯视图应为对称图形. 故选A ． 3．【答案】B【解析】由题意得截去的是长方体前右上方顶点处的一个棱锥， 故选B.【名师点睛】（1）解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图．（2）三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何体中的点、线、面之间的位置关系及相关数据．。
2020版广西高考人教A版数学(文)一轮复习课件：8.1 空间几何体的结构及其三视图和直观图
-5知识梳理 双基自测
1
2
3
4
(1)圆柱可以由 矩形 到.
绕其任一边所在直线旋转得到. (2)圆锥可以由直角三角形绕其 直角边 所在直线旋转得 旋 (3)圆台可以由直角梯形绕 直角腰 所在直线或等腰梯形 转 绕上、下底边中点连线所在直线旋转得到,也可由平行于圆锥 体 底面的平面截 圆锥 得到. (4)球可以由 到
, =
sin120 ° sin45 °
所以原△ABC 的高 OC= 6a. 所以 S△ABC=2×a× 6a=
6 2 a. 2
a= 2 a,
6
-26考点1 考点2 考点3
(方法二)易得直观图正三角形 A'B'C'的面积为 由 S 原图形=2 2S 直观图, 可得原△ABC 的面积 S△ABC=2 2 ×
2 4
-10知识梳理 双基自测
1
2
3
4
5
1.下列结论正确的打“ ”,错误的打“×”. (1)有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱. ( ) (2)棱台是由平行于棱锥底面的平面截棱锥所得的平面与底面之 间的部分.( ) (3)夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是圆柱.( ) (4)画几何体的三视图时,看不到的轮廓线应画虚线.( ) (5)在用斜二测画法画水平放置的∠A时,若∠A的两边分别平行 于x轴和y轴,且∠A=90°,则在直观图中∠A=45°.( )
3 2 6 2 a = a. 4 2
3 2 a. 4
-27考点1 考点2 考点3
解题心得1.在原图形中与x轴或y轴平行的线段在直观图中与x'轴 或y'轴平行,原图中不与坐标轴平行的直线段可以先画出线段的端 点再连线,原图中的曲线段可以通过取一些关键点,作出在直观图 中的相应点后,用平滑的曲线连接而画出. 2.把水平放置的直观图还原成原来的图形,基本过程就是逆用斜 二测画法,使平行于x'轴的线段长度不变,平行于y'轴的线段长度变 成原来的2倍. 3.按照斜二测画法得到的平面图形的直观图,其面积与原图形的 面积有以下关系:
2020高考数学大一轮复习 第七章 立体几何 第1节 空间几何体的结构特征、三视图和直观图课件 文
VS
题组二 教材改编⇔最新模拟
2．(P18B组T1改编)如图，长方体ABCD -A′B′C′D′被截去一部分，其中EH ∥A′D′，则剩下的几何体是_五__棱__柱____，截去的几何体是_三__棱__柱____.
3. (P8 T1改编)在如图所示的几何体中，是棱柱的为③_⑤_________.(填写所有正 确的序号)
2．下列结论正确的是D( ) A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥 B．侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥 C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥 D．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线
解析 A错误，如图，由两个结构相同的三棱锥叠放在一 起构成的几何体，各面都是三角形，但它不是三棱锥．
空间几何体概念辨析题的常用方法
定义法 反例法
紧扣定义，由已知构建几何模型，在条件不变的情况下， 变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，根据定 义进行判定．
通过反例对结构特征进行辨析，即要说明一个结论是错误 的，只要举出一个反例即可.
考点二 空间几何体的直观图
师生 共研
如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中
4．(2019·河北邯郸月考)用一个平行于水平面的平面去截球，得到 如图所示的几何体，则它的俯视图是B( )
解析 D选项为正视图或者侧视图；俯视图中显然应有一个被遮挡的圆，所以 内圆是虚线．
5．(2019·辽宁沈阳月考)若一个三棱柱的三视图如图 所示，其俯视图为正三角形，则这个三棱柱的高和底面边长 分别为D( )
O′A′＝6 cm，O′C′＝2 cm，则原图形是( C )
A．正方形 C．菱形
B．矩形 D．一般的平行四边形
“三不变”平 与行 x，性z轴不平改行变的线段的长度不改变 相对位置不改变
空间几何体的结构及其三视图
三年 考题
考情 播报
13年(2考):新课标全国卷ⅡT9 四川T2 12年(3考):湖南T4 陕西T8 福建T4 11年(4考):广东T9 浙江T7
新课标全国卷T8 江西T9
1.三视图是近几年高考命题的热点 2.常考查柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征 及性质 3.以选择题、填空题的形式考查,有时也会在解答题 中出现,属中低档题
【知识梳理】 1.空间几何体的结构特征
相等 全等
公共点 平行于底面
相似
2.空间几何体的三视图 (1)三视图的形成与名称: ①形成:空间几何体的三视图是用平行影得到的,在这种投影 之下,与投影面平行的平面图形留下的影子,与平面图形的_形__状__ 和_大__小__是完全相同的; ②名称:三视图包括_正__视__图__、_侧__视__图__、_俯__视__图__.
立体几何初步 第一节 空间几何体的结构及其三视图
和直观图
考纲 要求
1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征， 并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构 2.能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、 棱柱等的简易组合)的三视图，能识别上述三视图所 表示的立体模型，会用斜二测法画出它们的直观图 3.会用平行投影方法画出简单空间图形的三视图与 直观图，了解空间图形的不同表示形式 4.会画某些建筑物的视图与直观图(在不影响图形特 征的基础上，尺寸、线条等不作严格要求)
其中正确命题的序号是( )
A.①②
B.②③
C.①③
D.③
【解题视点】(1)根据棱柱、棱锥、棱台的定义及特征进行判 断. (2)根据圆柱、圆台母线的定义及其相关性质进行判断.
考点1 空间几何体的结构特征 【典例1】(1)给出下列命题: ①棱柱的侧棱都相等,侧面都是全等的平行四边形; ②用一个平面去截棱锥,棱锥底面与截面之间的部分是棱台; ③若三棱锥的三条侧棱两两垂直,则其三个侧面也两两垂直; ④若四棱柱有两个过相对侧棱的截面都垂直于底面,则该四棱 柱为直四棱柱;
数学(文)一轮总复习3.立体几何初步(1)空间几何体的结构与三视图、直观图
课堂互动讲练
【名师点评】 熟悉空间几何体 的结构特征，依据条件构建几何模 型，在条件不变的情况下，变动模型 中的线面位置关系或增加线、面等基 本元素，然后再依据题意判定，是解 决这类题目的基本思考方法．
课堂互动讲练
考点二 几何体的三视图
1．画几何体的三视图时，可 以把垂直投射面的视线想象成平行 光线，体会可见的轮廓线(包括被 遮挡住，但可以经过想象透视到的 光线)的投影就是要画出的视图， 可见的轮廓线要画成实线，不可见 的轮廓线要画成虚线．
课堂互动讲练
例1
给出以下命题：①底面是矩形的 四棱柱是长方体；②直角三角形绕着 它的一边旋转一周形成的几何体叫做 圆锥；③四棱锥的四个侧面可以都是 直角三角形．其中说法正确的是 __________．
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【思路点拨】 根据几何体的结 构特征，借助熟悉的几何体模型进行 判定．
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2011高考导航
命题探究
1.纵观近几年高考试题可知，高考命题 形式比较稳定，主要考查形式有： (1)以几何体为依托考查几何体的结构 特征，几何体的三视图、直观图、表面积与 体积．
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命题探究
(2)直线与平面的平行与垂直的判定、 线面间距离的计算作为考查的重点，尤其以 多面体为载体的线面位置关系的论证，更是 年年考，并在难度上也始终以中等题为主． (3)判断并证明两个平面的垂直关系， 通常是在几何体中出现． (4)高考中多以一小一大形式出现，分 值为17分左右，试题难度较小．
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考纲解读
1.空间几何体 (1)认识柱、锥、台、球及其简单组 合体的结构特征，并能运用这些特征描述 现实生活中简单物体的结构． (2)能画出简单空间图形的三视图， 能识别三视图所表示的立体模型，会用斜 二测画法画出它们的直观图．