《确定二次函数的表达式》(优秀教案)
2.3 确定二次函数的表达式 第2课时(教案)-北师大版数九年级下册
第2课时由三点确定二次函数的表达式1.经历确定二次函数表达式y=ax2+bx+c的过程,体会求二次函数表达式的思想方法.2.利用二次函数图象上的三个点的坐标,运用待定系数法确定二次函数表达式.1.经历确定二次函数表达式的过程,体会求二次函数表达式的方法,培养数学应用意识.2.在学习过程中体会学以致用,提高运用所学知识解决实际问题的能力.1.逐步培养学生观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力.2.引导学生探索、发现,以培养学生独立思考、勇于创新的精神和良好的学习习惯.【重点】利用二次函数图象上的三个点的坐标确定二次函数表达式.【难点】运用待定系数法,采用多种方法确定二次函数表达式.【教师准备】多媒体课件.【学生准备】复习待定系数法和三元一次方程组的解法.导入一:思考下面的问题:已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过(0,0),(1,2),(-1,-4)三点,那么你能利用上节课所学的知识求这个二次函数的表达式吗?【学生活动】分析题目中的已知条件,回忆利用待定系数法列二元一次方程组来求二次函数表达式的方法后,互相交流,得出无法解决的结论.[设计意图]通过问题的出示,让学生认识到运用原有的知识无法解决该问题,引起了学生的好奇心,激发了学生探究新知的欲望.导入二:某公园要建造一个圆形的喷水池,在水池中央垂直于水面竖一根柱子,上面的B处安装一个喷头向外喷水,该喷泉喷出的最远距离,即地面点A距离点B所在的柱子的距离(OA的长度)是3m,李冰同学建立了如图所示的直角坐标系,得到该抛物线还经过(2,1),两点,你能根据李冰同学给出的数据求出此抛物线的表达式吗?师要求学生仔细观察,思考下面的问题:1.题目中给出了几个点的坐标?2.你能运用上节课的知识求该抛物线的表达式吗?3.应该把二次函数表达式设成什么形式?顶点式还是一般式?[设计意图]通过对喷泉这一情境的探究,使学生不但明确了本节课所要探究的知识,同时更加明确了与上节课知识的联系与区别,可谓一举两得.【引例】已知一个二次函数的图象经过(1,-1),(2,-4)和(0,4)三点,求这个二次函数的表达式.【学生活动】回忆上节课的做法,由学生独立解答,代表展示解题过程.解:∵抛物线经过(0,4),∴c=4.故可设二次函数的表达式为y=ax2+bx+4,把(1,-1),(2,-4)分别代入二次函数y=ax2+bx+4中,得解方程组,得∴这个二次函数的表达式为y=x2-6x+4.【想一想】知道了函数图象上的三个点的坐标,能不能直接用待定系数法设成y=ax2+bx+c进行解答.【师生活动】学生思考后,与同伴交流想法,再参与到小组的讨论中去.组长展示解答过程,师生共同订正.解:设所求的二次函数的表达式为y=ax2+bx+c,将三点(1,-1),(2,-4)和(0,4)分别代入表达式,得解这个方程组,得∴这个二次函数的表达式为y=x2-6x+4.【教师点评】通过上面的探究,可知如果已知二次函数y=ax2+bx+c的图象所经过的三个点,那么就可以确定这个二次函数的表达式.[设计意图]利用上节课所学的知识进行引入,既复习了旧知,又引出了新知,继而再接触本节课所学知识的解题方法,同时也为下面的例题做好了铺垫.(教材例2)已知二次函数的图象经过(-1,10),(1,4),(2,7)三点,求这个二次函数的表达式,并写出它的对称轴和顶点坐标.〔解析〕由于(-1,10),(1,4),(2,7)三个点都不是特殊点,所以设所求的二次函数的表达式为y=ax2+bx+c,然后把三个点代入,得到三元一次方程组,进而解出a,b,c的值即可.【学生活动】学生先独立解答,然后同伴相互订正.课件出示解题过程(规范学生的解答步骤).解:设所求的二次函数的表达式为y=ax2+bx+c,将三点(-1,10),(1,4),(2,7)的坐标分别代入表达式,得解这个方程组,得所以所求二次函数的表达式为y=2x2-3x+5.因为y=2x2-3x+5=2+,所以二次函数图象的对称轴为直线x=,顶点坐标为.[设计意图]通过进一步探究,掌握了已知三点坐标确定二次函数表达式的方法,提高了解决问题的能力.[知识拓展]已知三点确定二次函数表达式的方法和步骤:利用待定系数法y=ax2+bx+c三元一次方程组a,b,c的值二次函数的表达式.课件出示:【议一议】一个二次函数的图象经过点A(0,1),B(1,2),C(2,1),你能确定这个二次函数的表达式吗?你有几种方法?与同伴进行交流.【师生活动】师要求学生仔细观察给出的三个点的特征,根据点的特征合理地选择解答方法.学生解答,师巡视发现学生不同的解法,并找解法不同的学生板演:解法1:∵二次函数图象与y轴的交点的纵坐标为1,∴c=1.设二次函数的表达式为y=ax2+bx+1,将点(1,2)和(2,1)分别代入y=ax2+bx+1,得解得∴二次函数的表达式为y=-x2+2x+1.解法2:由A(0,1),B(1,2),C(2,1)三个点的特征以及二次函数图象的对称性,可得点B(1,2)是函数图象的顶点坐标.∴二次函数的表达式为y=a(x-1)2+2,将点(0,1)代入y=a(x-1)2+2,得a=-1.∴二次函数的表达式为y=-(x-1)2+2,即y=-x2+2x+1.解法3:设二次函数的表达式为y=ax2+bx+c,将点(0,1),(1,2)和(2,1)分别代入y=ax2+bx+c,得解得∴二次函数的表达式为y=-x2+2x+1.【师生活动】通过两节课的探究,总结确定二次函数表达式的方法.【教师点评】二次函数表达式的确定方法:确定二次函数表达式待定系数法[设计意图]通过对“议一议”的探究,使学生进一步掌握了已知三个点的坐标确定二次函数表达式的步骤和方法,提高了学生一题多解的能力.1.已知三点确定二次函数表达式的方法和步骤.2.二次函数表达式的确定方法.1.一个二次函数,当x=0时,y=-5;当x=-1时,y=-4;当x=-2时,y=5.则这个二次函数的关系式是()A.y=4x2+3x-5B.y=2x2+x+5C.y=2x2-x+5D.y=2x2+x-5解析:设二次函数的关系式是y=ax2+bx+c(a≠0),∵当x=0时,y=-5,当x=-1时,y=-4,当x=-2时,y=5,∴解方程组,得∴二次函数的关系式为y=4x2+3x-5.故选A.2.过A(-1,0),B(3,0),C(1,2)三点的抛物线的顶点坐标是()A.(1,2)B.C.(-1,5)D.解析:设这个二次函数的解析式是y=ax2+bx+c,把(-1,0),(3,0),(1,2)分别代入,得解方程组,得所以该函数的解析式为y=-x2+x+,顶点坐标是(1,2).故选A.3.已知抛物线y=ax2+bx+c经过点(-1,10)和(2,7),且3a+2b=0,则该抛物线的解析式为.解析:根据题意,得解方程组,得所以该抛物线的解析式为y=2x2-3x+5.故填y=2x2-3x+5.4.已知一抛物线与x轴的交点是A(-2,0),B(1,0),且经过点C(2,8).(1)求该抛物线的解析式;(2)求该抛物线的顶点坐标.解:(1)设这个抛物线的解析式为y=ax2+bx+c.由题意知抛物线经过A(-2,0),B(1,0),C(2,8)三点,可得解这个方程组,得∴所求抛物线的解析式为y=2x2+2x-4.(2)y=2x2+2x-4=2(x2+x-2)=2-,∴该抛物线的顶点坐标为.第2课时1.已知三点确定二次函数表达式的方法和步骤:利用待定系数法y=ax2+bx+c三元一次方程组a,b,c的值二次函数的表达式.2.二次函数表达式的确定方法:确定二次表达式待定系数法一、教材作业【必做题】1.教材第45页随堂练习.2.教材第45页习题2.7第1,2题.【选做题】教材第45页习题2.7第3题.二、课后作业【基础巩固】1.已知二次函数的图象经过(1,0),(2,0)和(0,2)三点,则该函数的解析式是()A.y=2x2+x+2B.y=x2+3x+2C.y=x2-2x+3D.y=x2-3x+22.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点(1,-1),(2,-4),(0,4)三点,那么它的对称轴是直线()A.x=-3B.x=-1C.x=1D.x=33.已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=2,且经过点(1,4)和点(5,0),则该抛物线的解析式为.4.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点(1,2)和(-1,-6)两点,则a+c=.【能力提升】5.已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标的和为-4,积是-5,且抛物线经过点(0,-5),则此抛物线的解析式为()A.y=x2-4x-5B.y=-x2+4x-5C.y=x2+4x-5D.y=-x2-4x-56.已知二次函数的图象与x轴的两个交点A,B关于直线x=-1对称,且AB=6,顶点在函数y=2x的图象上,则这个二次函数的表达式为.7.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过(0,-6),(1,0)和(-2,-6)三点.(1)求二次函数的解析式;(2)求二次函数图象的顶点坐标;(3)若点A(m-2n,-8mn-10)在此二次函数图象上,求m,n的值.8.如图所示,已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A(-1,-1),B(0,2),C(1,3).(1)求二次函数的解析式;(2)画出二次函数的图象.9.(1)任选以下三个条件中的一个,求二次函数y=ax2+bx+c的解析式.①y随x变化的部分数值规律如下表:x-10123y03430②有序数对(-1,0),(1,4),(3,0)满足y=ax2+bx+c;③已知函数y=ax2+bx+c的图象的一部分(如图所示).(2)直接写出(1)中二次函数y=ax2+bx+c的三个性质.【拓展探究】10.如图①所示,已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A(0,3),B(3,0),C(4,3).(1)求抛物线的解析式;(2)求抛物线的顶点坐标和对称轴;(3)把抛物线向上平移,使得顶点落在x 轴上,直接写出两条抛物线、对称轴和y 轴围成的图形的面积(图②中阴影部分).【答案与解析】1.D (解析:这个二次函数的解析式是y =ax 2+bx +c ,把(1,0),(2,0)和(0,2)分别代入,得解方程组,得所以该函数的解析式是y =x 2-3x +2.故选D .)2.D (解析:二次函数的解析式为y =ax 2+bx +c ,把(1,-1),(2,-4),(0,4)分别代入表达式,得解方程组,得则二次函数的解析式为y =x 2-6x +4,所以它的对称轴是直线x =-=-=3.故选D .)3.y =-x 2+2x +(解析:根据题意,得解方程组,得所以该抛物线的解析式为y =-x 2+2x +.)4.-2(解析:把点(1,2)和(-1,-6)分别代入y =ax 2+bx +c (a ≠0),得①+②得2a +2c =-4,则a +c =-2.)5.C (解析:根据题意,x 1+x 2=-4,x 1x 2=-5,解得x 1=-5,x 2=1或x 1=1,x 2=-5,所以抛物线y =ax 2+bx +c 经过(-5,0),(1,0),(0,-5)三点,所以解得所以所求二次函数的表达式为y =x 2+4x -5.)6.y =x 2+x -(解析:∵对称轴为直线x =-1,且图象与x 轴交于A ,B 两点,AB =6,∴抛物线与x 轴交于(-4,0),(2,0),顶点的横坐标为-1.∵顶点在函数y =2x 的图象上,∴y =2×(-1)=-2,∴顶点坐标为(-1,-2),设二次函数的解析式为y =a (x +1)2-2,把(2,0)代入得0=9a -2,解得a =,∴y =(x +1)2-2=x 2+x -,∴这个二次函数的表达式为y =x 2+x -.故填y =x 2+x -.)7.解:(1)由已知得解得∴二次函数的解析式为y =2x 2+4x -6.(2)∵y =2x 2+4x -6=2(x +1)2-8,∴顶点坐标为(-1,-8).(3)由已知,得-8mn -10=2(m -2n )2+4(m -2n )-6,m 2+4n 2+2m -4n +2=0,(m +1)2+(2n -1)2=0,∴m =-1,n =.8.解:(1)根据题意,得解得∴所求的解析式为y=-x2+2x+2.(2)二次函数的图象如图所示.9.解:(1)若选择①:根据表格,可知抛物线的顶点坐标为(1,4),设抛物线的解析式为y=a(x-1)2+4,将点(0,3)代入,得a(0-1)2+4=3,解得a=-1,所以抛物线的解析式为y=-(x-1)2+4,即y=-x2+2x+3;若选择②,设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c,将(-1,0),(1,4),(3,0)分别代入得解得所以抛物线的解析式为y=-x2+2x+3;若选择③,由图象得到抛物线的顶点坐标为(1,4),且过(0,3),设抛物线的解析式为y=a(x-1)2+4,将(0,3)代入得a=-1,则抛物线的解析式为y=-(x-1)2+4=-x2+2x+3.(2)抛物线y=-x2+2x+3的性质:①对称轴为直线x=1,②当x=1时,函数有最大值,为4;③当x<1时,y随x的增大而增大.(答案不唯一) 10.解:(1)∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A(0,3),B(3,0),C(4,3),∴解得∴抛物线的解析式为y=x2-4x+3. (2)∵y=x2-4x+3=(x-2)2-1,∴抛物线的顶点坐标为(2,-1),对称轴为直线x=2.(3)如图所示,∵抛物线的顶点坐标为(2,-1),∴PP'=1,由题意知阴影部分的面积等于平行四边形A'APP'的面积,平行四边形A'APP'的面积为1×2=2,∴阴影部分的面积为2.本节课的重点是利用待定系数法列三元一次方程组求二次函数的表达式,所以解决问题的前提是会解三元一次方程组,所以提前要求学生对这一部分知识进行复习,就大大降低了本节课的难度,收到了非常好的效果.突破这一难点后,就让学生类比上节课的探究方法利用已知的三个点的坐标确定二次函数表达式.在解答过程中提醒学生对于表达式的选择,要具体问题具体分析,让学生自己总结出确定二次函数表达式的步骤和方法,为后面的“议一议”的一题多解做好充分的准备.没有精心设置问题的难度,使学生步步深入地探究出求二次函数表达式的方法和步骤,对于基础差的学生而言,直接解答有点吃力.课堂上注意讲课的节奏,尽量让中下游的学生跟上老师的步伐,多给学生自己练习的时间,让学生真正成为学习的主体.随堂练习(教材第45页)解:设函数表达式为y=ax2+bx+c,将(0,2),(1,0)和(-2,3)分别代入表达式,得解得所以二次函数表达式为y=-x2-x+2.习题2.7(教材第45页)1.解:设函数表达式为y=ax2+bx+c,将(1,3),(2,0)和(3,4)分别代入表达式,得解得所以二次函数表达式为y=x2-x+13.2.解法1:设函数表达式为y=ax2+bx+c,将(1,0),(3,0)和(2,3)分别代入表达式,得解得所以二次函数表达式为y=-3x2+12x-9.解法2:设函数表达式为y=a(x-1)(x-3),将(2,3)代入表达式,解得a=-3,所以二次函数表达式为y=-3(x-1)(x-3)=-3x2+12x-9.3.解:答案不唯一.如添加:C (-2,13).设函数表达式为y =ax 2+bx +c ,将(0,a ),(1,-2)和(-2,13)分别代入表达式,得解得所以二次函数表达式为y =x 2-4x +1.1.学生通过上节课的学习,已经掌握了利用待定系数法求二次函数表达式的方法,所以本节课可以利用类比的方法进行探究.2.课前做好三元一次方程组解法的复习是求三个未知系数进而确定二次函数表达式的关键.3.要学会对所给出的点的坐标特征进行分析,合理地设出表达式,能运用不同的解法求解二次函数的表达式,提高解决问题的能力.(2014·宁波中考)如图所示,已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图象经过A (2,0),B (0,-1)和C (4,5)三点.(1)求二次函数的解析式;(2)设二次函数的图象与x 轴的另一个交点为D ,求点D 的坐标;(3)在同一坐标系中画出直线y =x +1,并写出当x 在什么范围内时,一次函数的值大于二次函数的值.〔解析〕(1)根据二次函数y =ax 2+bx +c 的图象经过A (2,0),B (0,-1)和C (4,5)三点,代入得出关于a ,b ,c 的三元一次方程组,求得a ,b ,c ,从而得出二次函数的解析式.(2)令y =0,解一元二次方程,求得x 的值,从而得出与x 轴的另一个交点坐标.(3)画出图象,再根据图象直接得出答案.解:(1)∵二次函数y =ax 2+bx +c 的图象经过A (2,0),B (0,-1)和C (4,5)三点,∴∴∴二次函数的解析式为y =x 2-x -1.(2)令y =0,得x 2-x -1=0,解得x 1=2,x 2=-1,∴点D的坐标为(-1,0).(3)图象如图所示.当一次函数的值大于二次函数的值时,x的取值范围是-1<x<4.[解题策略]本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式以及一次函数的图象、抛物线与x 轴的交点问题,是中档题,要熟练掌握.。
北师大版九年级数学下册：2.3《确定二次函数的表达式》教案
北师大版九年级数学下册：2.3《确定二次函数的表达式》教案一. 教材分析《确定二次函数的表达式》是北师大版九年级数学下册第2章《二次函数》的第3节内容。
这部分内容是在学生已经掌握了二次函数的一般形式和图象的基础上进行讲解的，旨在让学生通过实例了解如何确定二次函数的表达式，提高他们解决实际问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对二次函数的概念和图象有一定的了解。
但在实际应用中，他们可能对如何根据实际问题确定二次函数的表达式感到困惑。
因此，在教学过程中，教师需要通过具体实例引导学生理解并掌握确定二次函数表达式的方法。
三. 教学目标1.理解二次函数的表达式，并能根据实际问题确定二次函数的表达式。
2.能够运用二次函数解决实际问题，提高解决问题的能力。
3.培养学生的动手操作能力和团队协作能力。
四. 教学重难点1.重点：确定二次函数的表达式。
2.难点：如何根据实际问题确定二次函数的表达式。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生通过解决实际问题来学习二次函数的表达式。
2.使用多媒体教学，展示二次函数的图象，帮助学生更好地理解二次函数。
3.小组讨论，培养学生的团队协作能力和口头表达能力。
六. 教学准备1.多媒体教学设备。
2.相关实例和习题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过一个实际问题引入本节课的主题，例如：一个物体从地面上升，上升速度逐渐减慢，最终停止在一定高度。
引导学生思考如何用数学模型来描述这个问题。
2.呈现（10分钟）教师展示二次函数的一般形式，解释二次函数的表达式。
通过多媒体展示二次函数的图象，让学生直观地感受二次函数的特点。
3.操练（10分钟）教师给出一个具体的实例，指导学生如何根据实际问题确定二次函数的表达式。
学生分组讨论，每组尝试解决一个实例。
4.巩固（5分钟）教师选取几个典型的实例，让学生独立完成确定二次函数表达式的任务。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
5.拓展（5分钟）教师引导学生思考：在实际生活中，还有哪些问题可以用二次函数来解决？让学生举例说明，并尝试确定这些问题的二次函数表达式。
确定二次函数的表达式(第一课时)优秀教案
确定二次函数的表达式（1）学习目标：1.能够根据二次函数的图像和性质建立合适的直角坐标系，确定函数关系式。
2.会根据条件利用待定系数法求二次函数的表达式。
3.经历确定适当的直角坐标系以及根据点的坐标确定二次函数表达式的思维过程，类比求一次函数的表达式的方法，体会求二次函数表达式的思想方法。
4.能把实际问题抽象为数学问题，也能把所学知识运用于实践，培养学生积极参与的意识，加深学生在生活中学数学，将数学知识服务于生活的学习理念。
5.养成学生善于主动学习、乐于合作交流、学会总结提升的学习习惯，激发和调动学生学习的积极性和主动性，培养数学的应用意识。
学习重点：根据问题灵活选用二次函数表达式的不同形式，用待定系数法确定二次函数表达式。
学习难点：根据问题灵活选用二次函数表达式的不同形式，用待定系数法确定二次函数表达式。
学习准备：导学案，ppt ，投影仪学习过程：一、 自主学习1.二次函数表达式的一般形式是什么?2.二次函数表达式的顶点式是什么?3.若二次函数y=ax ²+bx+c(a ≠0)与x 轴两交点为(1x ,0),( 2x ,0)则其函数表达式可以表示成什么形式?4. 我们在用待定系数法确定一次函数y=kx+b (k,b 为常数，k ≠0)的关系式时，通常需要 个独立的条件；确定反比例函数xk y (k ≠0)的关系式时，通常只需要 个条件.待定系数法求函数解析式步骤：1、 2、 3、 4、如果要确定二次函数的关系式y=ax ²+bx+c (a,b,c 为常数,a ≠0)，通常又需要几个条件 ?(学生思考讨论后，回答)二、 互动交流：探究一：例1 已知二次函数y=ax 2+c 的图象经过点（2，3）和（－1，－3），求出这个二次函数的表达式.变式一：已知二次函数的图象经过点（2，3）和（－1，－3），求出这个二次函数的表达式.变式二：二次函数的图象经过顶点（2，3）和（－1，－3），求出这个二次函数的表达式.引例如图2-7是一名学生推铅球时，铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)的图象，你能求出其表达式吗？此题还有其他方法求解吗？探究二：例2 已知二次函数的图象与y轴交点的纵坐标为1，且经过点（2，5）和（-2，13），求这个二次函数的表达式.想一想结合探究一和探究二在什么情况下，一个二次函数只知道其中两点就可以确定它的表达式？三、达标练习：1.已知二次函数的图象顶点是（-1，1），且经过点（1，-3），求这个二次函数的表达式.2. 已知二次函数y=x²+bx+c的图象经过点（1，1）与（2，3）两点.求这个二次函数的表达式.3.已知二次函数图象与x轴交点的横坐标为-2和1，且经过点（0，1），求这个二次函数的表达式.四、我的收获：(总结反思)总结：五、课后引导：课本习题 2.6 第1，2，3题。
九年级数学(教案)确定二次函数的表达式
（二）课题引入:
今天，我们类比一次函数和正比例函数表达式的求法，同样采用待定系数 法求二次函数表达式。（书写课题）
1、通过例题讲解让学生熟悉二次函数表达式的求法。
例1、已知一个二次函数的图象过点（ － ， ） 、 1 10 1 4 函数的表达式？
2 7 三点，求这个
例2、 已知抛物线的顶点为（－，） 1 3 ，与轴交点为（，－）0 5 求抛物线的表 达式？
例3、已知抛物线与 x 轴交于 A（-，） 1 0 B 1 0 并经过点 M（，）0 1 ，求抛物 线的表达式？
二次手工备课
学生活动： 讨论交流，归纳总结求二次函数的表达式易犯的错误 2、通过做题组二使学生能够灵活的选择二次函数的表达式来求表达式。 根据下列已知条件，选择合适的方法求二次函数的表达式： 1、已知抛物线的顶点经过原点，且过点（2,8） 2、已知抛物线的顶点是（-1，-2）并且过点（1,10） 3、已知抛物线过三点（0，-2）（1,0）（2,3） 学生活动：（交流合作得出正确答案并归纳总结方法） 3、在掌握了各类求二次函数表达式的方法和技巧的基础上，通过本题组 的练习进一步提升学生利用二次函数的图像及性质解决生活中的实际问题 的能力。
教学重难 重点：会用待定系数法求二次函数的表达式
点
难点：会选用适当函数表达式求二次函数的表达式
媒体运用 班班通
教学过程：
（一）知识回顾：
在我们学习二次函数之前，我们学习过哪些函数？（学生回答）这些 函数的表达式是？（学生回答）我们在前面刚刚学习了二次函数，二次函 数的表达式有哪些？（一般式、顶点式、交点式）还记得我们是怎样求一 次函数和正比例函数的表达式吗？（用待定系数法求解）如：一直线经过 （2,3）和（-4,5）两点，求这个函数的表达式？（学生做，教师检查）
《确定二次函数的表达式》教案
探索规律：
已知顶点坐标，如何设二次函数的表达式？
1）顶点（ 1， - 2） 设 y= a(x
)2
2）顶点（ - 1， 2）
设 y= a(x
)2
3）顶点（ - 1， - 2）
设 y= a(x
)2
4）顶点 （ h， k）
设 y= a(x
)2
例题讲解 例 2 如图 2- 7 是一名学生推铅球时， 铅球行进高度 y(m) 与水平距离 x(m) 的图象， 你能 求出其表达式吗？
《确定二次函数的表达式》教案
教学目标
1．知识技能目标：熟练掌握二次函数的图象和性质，二次函数的三种关系式． 2．过程性目标：使学生学会探索根据已知条件设出适当的二次函数的关系式，数形结 合思想的应用． 3．情感态度价值观目标：培养学生合作学习、大胆创新的意识，让他们充分的展现才 能，同心协力．
教学重点
3．确定二次函数 y=ax2+bx+c (a≠ 0)表达式时，需几个独立的条件？ 三 、例题解析 例 1 已知二次函数 y=ax2+c 的图象经过点（ 2，3）和（ - 1，- 3），求出这个二次函数的 表达式． 解：将点（ 2， 3）和（ - 1， - 3）分别代入二次函数 y=ax2+c 中，得
求二次函数关系式．
教学难点
数形结合思想的应用
教学方法
这节课主要采用启发式教学法和讲练结合法．
板书设计
教学过程预设
一、情境导入 如图 2- 7 是一名学生推铅球时，铅球行进高度 其表达式吗？
y(m) 与水平距离 x(m)的图象，你能求出
二、复习回顾： 1．二次函数表达式的一般形式是什么？ 2．二次函数表达式的顶点式是什么？ 启发：
北师大版九年级数学下册：2.3《确定二次函数的表达式》教学设计
北师大版九年级数学下册：2.3《确定二次函数的表达式》教学设计一. 教材分析北师大版九年级数学下册2.3《确定二次函数的表达式》一节，是在学生已经掌握了二次函数的图像和性质的基础上进行的一节内容。
本节课的主要任务是让学生学会如何根据给定的条件，确定二次函数的表达式。
教材通过实例引导学生总结出确定二次函数表达式的步骤，并通过练习让学生加深对知识的理解。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对二次函数的图像和性质有一定的了解。
但是，如何将理论运用到实际问题中，如何根据实际问题确定二次函数的表达式，对学生来说还是一个新的课题。
因此，在教学过程中，我需要引导学生将已有的知识运用到新的问题中，帮助他们建立新的知识体系。
三. 教学目标1.知识与技能：让学生掌握确定二次函数表达式的步骤和方法。
2.过程与方法：通过实例分析，让学生学会如何将实际问题转化为数学问题，如何运用已有的知识解决新的问题。
3.情感态度与价值观：培养学生独立思考、合作交流的能力，提高他们分析问题和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.重点：确定二次函数表达式的步骤和方法。
2.难点：如何根据实际问题确定二次函数的表达式。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生通过实例分析，总结出确定二次函数表达式的步骤。
2.利用小组合作学习，让学生在讨论中加深对知识的理解。
3.通过练习，巩固所学知识，提高学生的应用能力。
六. 教学准备1.准备相关的教学材料，如PPT、实例等。
2.准备练习题，以便学生在课堂上进行操练。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提问方式引导学生回顾二次函数的图像和性质，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）展示实例，引导学生分析实例中给出的条件，让学生尝试根据条件确定二次函数的表达式。
学生在独立思考的基础上，进行小组讨论，总结出确定二次函数表达式的步骤。
3.操练（10分钟）让学生根据所学方法，解决一些简单的实际问题。
确定二次函数的表达式_教案
确定二次函数的表达式用三种方式表示二次函数【教学目标】一、教学知识点1．能够分析和表示变量之间的二次函数关系，并解决用二次函数所表示的问题。
2．能够根据二次函数的不同表示方式，从不同侧面对函数性质进行研究。
3．经历用三种方式表示变量之间二次函数关系的过程，体会三种方式之间的联系与各自不同的特点。
二、能力训练要求1．通过解决用二次函数所表示的问题，培养学生的运用能力。
2．通过对二次函数的三种表示方式的特点进行研究，训练大家的求同求异思维。
三、情感与价值观要求1．通过用二次函数解决实际问题，让学生认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用，同时激发他们学习数学的兴趣。
2．初步学会从数学的角度提出问题、理解问题，并能综合运用所学的知识和技能解决问题，发展应用意识。
【教学重点】1．能够分析和表示变量之间的二次函数关系，并解决用二次函数所表示的问题。
2．能够根据二次函数的不同表示方式，从不同的侧面对函数性质进行研究。
【教学难点】能够分析和表示变量之间的二次函数关系，并解决用二次函数所表示的问题。
【教学方法】讨论式学习法。
【教学准备】投影片四张第一张：（记作A）第二张：（记作B）函数的三种表示方式，即表格、表达式、图像法，我们都不陌生，比如在商店的广大家可能注意到了函数的图像在第一象限。
可是我们知道开口向下的抛物线可以到达第四象限和第三象限，这是什么原因呢？至9，而这些点正好都在第一象限，所以图像只能画在第一象限。
不同意。
不是因为列表中自变量的取值的原因，而是由于实际情况。
函数值取何值时，长方形的面积最大？它的最大面积是多少？你是怎样得到的？请你的变化而变化的情况。
的取值范围即是使函数有意义的自变量的取值范围。
请大家互相交流。
应取正数，即取何值时，长方形的面积最大，就是求自变量取何值时，函数有最大值，所化成顶点式。
当的增大而减小，另一边是，设其中较大的一个数为你能分别用函数表示式、表格和图像表示这种变化吗？x的取值范围是什么？）图像的对称轴和顶点坐标分别是什么？的变化而变化的情况？（四）根据以上三种表示方式得到下列问题的解答：（1）因为数可以是正数、负数和零，所以x的取值范围为任何实数。
《确定二次函数的表达式》教案
《确定二次函数的表达式》教案教学目标知识与技能通过对用待定系数法求二次函数表达式的探究，掌握求表达式的方法．数学思考与问题解决能灵活地根据条件恰当地选取表达式，体会二次函数表达式之间的转化．情感与态度在学习过程中，亲自体会到学习数学知识的价值，从而提高学习数学知识的兴趣并获得成就感．难点重点重点：用待定系数法求二次函数表达式．难点：灵活地根据条件恰当地选取表达式．教学设计情境引人我们已经知道，已知一次函数图像上两个点的坐标，可以用待定系数法求出它的表达式，要求出二次函数的表达式得知道图像上几个点的坐标？又应该怎样求出它的表达式？教师投影出示问题，要求学生简单思考后，接着引出本节课题．自主探究1．探究：(1)二次函数y=ax2+bx+c的表达式中有几个待定系数？需要图像上的几个点才能求出来？教师充分放手，让学生思考、讨论、尝试解决、同学交流．教师点拨：(1)一次函数的表达式：y=kx+b，要写出表达式，需求出k，b的值，需要图像上两个点的坐标，列出二元一次方程组求出k，b．(2)如果知道抛物线y=ax2+bx+c经过(1，3)，(2，-2)，(-1，1)三点，能求出这个二次函数的表达式吗？如果能，求出这个二次函数的表达式．(2)二次函数的表达式是y=ax2+bx+c，需求出a，b，c的值，需要图像上三个点的坐标，列出三元一次方程组．（3）抛物线：y=a(x-h)2+k表达式中有几个待定系数？需要知道图像上的几个点才能求出来？如果知道图像上的顶点坐标为A(1，-1)和点B(2，1)，两个点能求出它的表达式吗？教师要求学生大胆思考、积极发言、耐心交流．教师点拨：抛物线y=a(x-h)2+k表达式中有a、h、k三个待定系数，应该知道三个点的坐标，但是h 、k 就是顶点的横纵坐标，于是再有一个点的坐标即可．2．归纳求二次函数y =ax 2+bx +c 的表达式，关键是求出待定系数a ，b ，c 的值．由已知条件列出关于a ，b ，c 的方程组，求出待定系数a ，b ，c 的值，就可以写出二次函数的表达式；求抛物线y =a (x -h )2+k 的表达式，只要知道顶点坐标和图像上的异于顶点的另一点坐标即可．教师要求学生根据刚才间题归纳总结得出求二次函数表达式的般过程．教师补充完善．3．例题解析．例1二次函数图象的顶点坐标是（-1，-6），并且图象经过点（2,3）.求这个函数的表达式.例2求经过A (1，32)，B (32，2)，C (2，32)三点的抛物线的表达式． 解：设经过A (1，32)，B (32，2)，C (2，32)三点的抛物线的表达式为y =ax 2+bx +c ．由题意得32932423422a b c a b c a b c ⎧++=⎪⎪⎪++=⎨⎪⎪++=⎪⎩，，，解得265.2a b c ⎧⎪=-⎪=⎨⎪⎪=-⎩，， ∴所求抛物线的表达式为25262y x x =-+-． 教师让学生尝试应用，小组交流后集体点评．1．师生小结．(1)通过本节课的学习，你有哪些收获？(2)你对本节课有什么疑惑？说给老师或同学听听．师生共同回顾总结，归纳本节所学的知识．教师聆听学生的收获的同时，认真解决学生的疑惑．。
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4.逐步培养学生观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力引导学生探索、发现，以培养学生独立思考的能力、勇于创新的精神，以及良好的学习习惯。
重点
难点
1.学会用特定系数法确定二次函数的表达式。
2.灵活选用三种表达形式来确定二次函数的表达式，解决实际问题。
关键
问题
1.掌握二次函数解析式的三种不同表达形式。
2.学生能够在小组内畅所欲言，进行有序有效的交流，并在同伴交流时认真倾听，做好记录；
3.学科长组织组员围绕任务目标热烈讨论，及时进行修改，统一认识，做好展示准备
展示交流
规范评价
15---20
min
创设展示交流情境
1.每个小组上台，按问题顺序进行展示交流，解决问题；
2.要求学生规范上台讲解展示的语言，强调生生互动，激发学生质疑的热情；
《确定二次函数的表达式》课堂学习过程设计
上课
年级
九年级
学科：数学
主题
确定二次函数的表达式
指导教师
学生主持
第几
课时
1
课型
问题综合解决评价课
学习日期
学习
目标
知识技能：
1.掌握二次函数解析式的三种不同表达形式。
2.学会用特定系数法确定二次函数的表达式。
过程方法：
3.经历确定二次函数表达式的过程，体会求二次函数表达式的思想方法，培养数学应用意识。
1.学生主持呈现学习目标，学生展读学习目标；
2.学生主持呈现学生生成问题；
3.希望学生能积极进入状态，准备讨论问题。
自主学习
合作讨论
8---12
min
创设讨论
学习情境
1.教师巡回检查指导；
2.教师重点关注组和XXX学生；
3.教师对问题3深入组内进行指导。
1.学生主持组织大家进入第二环节，学生在8min内进行小组讨论合作；
问题导学型学本课堂学习方案设计案例之《确定二次函数的表达式》
学习方案设计
课程名称：
数学
内容主题：
《确定二次函数的表达式》
教材版本：
北师大版
教师姓名：
教龄:
11
简介：北师大版九年级下册第二章第三节《确定二次函数的表达式》问题综合解决—评价课。学生在掌握本堂课学习目标的基础上，通过学生提出问题，探究、分析问题，师生共同讨论总结二次函数的三种表达形式。经过对待定系数法确定函数表达式的探究，培养学生发现问题、分析问题以及解决问题的能力。
3.组织其他学生在同学讲解时认真倾听，并且做好记录；
4.每位同学做好编题的准备。
问题2使用耳语策略
问题3使用小纸条策略
使用煽风点火策略
1.学生以小组为单位，轮流上台展示，并引发讨论，语言表述清楚完整，动作得体大方；
2.小组汇报完毕之后，其他同学可以进行补充、质疑，要科学评价别人的发言。
3.学术助理组织同学自己编题，达到举一反三的目的。
学习
准备
1.教师准备“问题综合解决—评价单”“问题训练—评价单”
2.学生进行结构化预习，完成教材上课后问题及“问题综合解决—评价单”
3.学生主持
过程设计
程序（要素）
时间
创设情景
教学行为
期望的学生行为
创设情景
问题呈现
1---3
min
创设目标和问题呈现情境。
1.教师在课前指导学术助理的基础上认真关注学生领会学习目标的情况。
2.学会用特定系数法确定二次函数的表达式。
学习
方法
1．请同学们自主采用结构化预习策略认真阅读教材，完成课后问题和预习评价。；
2．请同学们将结构化预习中发现的问题生成后交给学科长，并通过小组合作讨论，各抒己见，生成重点关键问题交给学术助理；
3．请同学们通过二次预习，自主完成教师预设问题，准备课堂中参与讨论和展示。
问题训练
评价指导
5---7
min
创设问题
训练情境
1.教师进行指导评价；
2.教师对问题训练单
问题3进行重点
指导
1.学生助理组织学生自主完成学生训练问题时间3—5分钟
2.小组讨论1分钟
3.快速展评1分钟
归纳总结
提升意义
1—3
min
创设总结
情境
1.教师倾听；
2.教师在分享中进行表扬与鼓励。
1.学生主持组织一分钟分享型讨论；
2.希望三组分享学习获，归纳知识、方法收获与情感收获。