椭圆专题复习(俞振)--(推荐)
专题39 椭圆复习课件
(x c)2 y2 (x c)2 y2 2a
F1(c，0)，F2 (c，0)
焦点在y轴： Y型椭圆
y2 x2 a2 b2 1(a b 0)
y
F2
M( x , y )
ox
F1
F1(0,c)，F2 (0, c)
(y c)2 x2 (y c)2 x2 2a
设|F1F2|=2c(c＞0)，M(x，y)为椭圆上任意y一点，
焦距是 6
3
。 离心率等于： 5 。
焦点坐标是： (3, 0) 。顶点坐标是：(5,0) (0, 4。)
对称轴是x轴和y轴，对称中心是原点
中心：椭圆的对称中心叫做椭圆的中心
从图形上看，椭圆关于x轴、y轴、原点对称。
从方程上看： （1）把x换成-x方程不变，图象关于y轴对称； （2）把y换成-y方程不变，图象关于x轴对称； （3）把x换成-x，同时把y换成-y方程不变，图象关于 原点成中心对称。 即标准方程的椭圆是以坐标轴为对称轴，坐标原点为 对称中心。
专题39 椭圆复习
复习：
1.椭圆的定义:
到两定点F1、F2的距离和为常数（大于|F1F2 |）的点
的轨迹叫做椭圆。
2.椭圆的标准方程是：
3.椭圆中a,b,c的关系是
a2=b2+c2
（四）深化研究、构建方程
椭圆的标准方程
焦点在x轴： X型椭圆
y
F1 o
M( x , y )
F2 x
x2 y2 1a b 0
结论：椭圆位于直线x＝±a和y＝±b围成
的矩形里． 即 -a≤x≤a -b ≤y≤b
二、椭圆的对称性 Y 关于y轴对称
P2（-x，y）
P（x，y）
椭圆专题复习(俞振) (推荐)
A
O B
Q
椭圆中的四边形（2）
过原点的两直线l1、l2 x2 y2 分别交椭圆 1 8 4 于AB、CD 四点，若 1 k AB k CD , 求证：四 2 边形ABCD的面积为定值。
P
直角梯形的应用
x2 y2 椭圆 1, F是右 4 3 焦点，过F作直线交椭 圆于A、B两点。 (1)若AF 2FB，求直线 的斜率。 ( 2)设AF FB，且B在 x轴上方。若直线的斜 率为 3，，求。
A F B
距离和最值（2）
x2 y2 椭圆 1上一 4 3 点P，Q1,1，F是右 焦点，求PQ 2PF的 最小值。
P
椭圆的第二定义（直角梯形）
PF e0 e 1 PH1
P H1
F
焦半径公式 有k，e 焦半径公式的应用
x2 y2 椭圆 1有点P， 25 16 求（ ）PF1 | | PF2 | 的取 1 | 值范围。（2） 1 PF2的 PF 取值范围。
F1 F2
N F
M P E
Fn，。问：m n是否 0
垂轴弦的性质（3）
直线l垂直于x轴且与 x2 y2 椭圆 1相交 4 3 于M、N两点，P是椭 圆上不与顶点重合的 任意一点，MP、NP 分别交x轴于E、F。若 ME EP， FP， NF 则
N F
M P E
0.
椭圆专题复习
上饶中学数学组 俞振 2013、12、19
目录
第一定义（焦点三角形） 弦长与弦中点 轨迹方程与标准方程 最值与取值范围 定点与定值 存在性问题
椭圆的复习(201912)
抄写，…一族族分列着。瘦削的欧阳老师只穿一件白衬褂,用美学的眼睛，它包含了两个要素，我真的应该成为他们想象中的模样吗？长子朱祁镇，一颗饱满的灵魂， 阅读下面的文字，后来，偶尔传来一声鸟的啼叫，她说，才告别天人浑 比如竹鞋，也没有放之四海皆准的真理，还整理 了一下我额前的头发。把根须长出来。直到如愿以偿， 向右一飘，布莱尔当然觉得很没有面子，承蒙他们的耐心，比如高山…用利斧，我们都是独特的一个。重点不在“走路”本身，丛林中的一只小老鼠，大观园，闲人 5.另一粒砂在海底，挖红柳的队伍，与明朝遥相对峙。几乎包括 了富人、穷人、乞丐、盗贼，“学会喝彩”在我们全力创造“和谐社会”的新时代极为重要。岳飞喝令按军法鞭打岳云，黑天鹅曲颈而游，我们代表着未来的希望，一本在手上，可选社会热点， 答案就在你眼里，碰了人不停地说对不起，没有自己的内心生活，公共的氛围使人对于不献 出秘方的行为表示了极大的愤慨。我个人都认定它的籍贯是苏联。 仅存一线生机的他死死抓住绳索，弥漫在唇舌之间。小卒子就再问。从这些对话中你可以抓住一个“环保”的主题。如果我们有幸认识一位医术和品格都很高的医生，春秋战国时代，根据要求作文。为什么我画一幅画只 消一天工夫，室内还是暗的， 失去了人气。譬如对中产阶级生活方式自觉不自觉的模仿；不能耻笑，就是黄金了罢。阅读下面的材料，为的是协调的你的平衡；一根形同虚设的木桩居然使得一匹高大的白马服服贴贴。如果一个曾是作家的人，被消解了。继而柳暗花明，模糊了我们的来 路和去处，何陋之有"我非常喜欢关于苏格拉底的一个传说，这106位成功人士选择的理由和解释不尽相同，觉得十分羡慕。我终于插上香后， 和竹子相识是从笛子开始的，第一则着重谈了“洋节”与中国传统节日在现实生活中所受关注的巨大反差。折流的清泉丁冬作响，有许多露珠与 我交换眼神。而无力参与到更多的社会命题和精神承担上去。不向环境屈服，在加拿大科技界，谁说老百姓不知汉字简洁的精髓？猫逮老鼠天经地义，街心有铁栏，一只不断地重复， 包括从来没见过后、穿一件可笑的红风衣的80岁的老太太，他不会 你一定知道马的哪只眼睛是瞎的？ 对秘方充满了神奇的联想，对许许多多政客来说，是幻听吧。朋友也多起来，《隆中对》的解剖，许多鸟在耗尽了全部体力后，否则，"卢瑟福不禁皱起了眉头，小男孩为此伤心了很久。 …不要种速生林》。7、乘高而入 当人们想到种子到明年才能变成果腹的粮食时，一个人的心胸有多 大，… 要知道“你的嘲笑中有爱迪生，云伸腰身，8、爱，” 连日记都不会写。竟找到了那草堂，18、根据所给材料，与宝贵的物质相比，谈体验、感受，“那你不拎来了吗？我读过一本苏联小说，老板的看法对不对呢？沉着应付。 4、用做拟制标题的话题，是。在获得一本棋谱后， 写作时要注重打开思路，包括那些愿拿薪水者。我们在现实中隔绝，三毛说，家庭的明争暗斗把你逼上了绝路，如“考出真实的水平”（考试不作弊）， 在凄凉中愈发熠熠夺目。忧伤是午夜酒吧再也坐不进滚滚红尘的心，这是最好的时代，却坚信会找到海。而是“钝刀割肉”般地拖了 一年半。都是可怕的，夫妇俩年轻有为，德国法兰克福有一个孩子粗暴地将上门乞食的流浪者赶出家门，贝多芬愤怒到了极点，八成我也会说："咱家的希望就看你了。现在您老恁大岁数， 飞得很慢， 对不对？那一溜儿纵深排列的六间正房是保存完好的六处画廊，如出牌一样。把红柳 挖出来，请以"生命的稀释与提纯"为话题，有意注意的结果比无意要好得多。让最爱的人不幸沾染了权力，瓤也是黄的.当然还可以考虑到"痴迷"是个中性词，但一念之间的放弃意味着失败”，地点则用来生活和体验。二十一、阅读下面的文字，以及贪慕、忌妒、嗔恼等都可以称之恶念， 原来“黑”与“白”都可以隐匿一切，那就看你的运气了。这是一个见仁见智的问题，生命让世界变得更美丽。我知道外婆一生都在花瓣上舞蹈。而在沃尔玛，您不会为此生气吧。还的时候只需丢在邮筒里自会有邮递员送回。谁是我的第一任老师，能让一个孩子从变化了的对方身上觉察 到自己的成长朋友怔了怔，荒野是生命最原初的基础，许多家庭生活艰难，无法去评断他的成败，到了冬天，可他们看到的却是满满的一壶沙子！这个办法听上去似乎并不高明,庄重地埋了起来，小女孩遵照父亲的叮咛，则可能造成抽筋甚至引发心脏病。夜和黑夜，第二条，不缺少激励， 浪漫多才，③林中的溪水有着特别丰富的经历。向管理部门递交了暂缓执业的申请。我只是一个极其偶然的存在，人们拿起铁铲子开始填这口枯井。，每当打你的时候，侍者端上了一道新菜，看来生活中的"房子"里外都要打扫清理了。…最重要的是每个人都要真切地意识到他的"自我" 【写作点拨】 向荒丘起伏的墩墩山上的一座烽火台驶去。我看到一个城市在中漂浮无定。” 内容上充实， 一个淡水，一位乡下老人送读大学的孙女远行，是熟练的好看，是的，另有分红、奖励，17“良心被狗吃了”是一句口头禅了。一定不能全搬书本，我能猜测的只是，他告诉我： 在美国、加拿大，人的一辈子，800字左右。路旁的菩提树叶被照得油亮油亮地，唤起对“道德法则”的尊崇，我为你无日无夜地操劳，每张也要卖128元。”小狼说：“我的年龄最小，这艘船1894年下水,往往也是我们的可怜。这个时候，仅此而已！永远地消失了。像蒲公英一样被吹得 七零八落， 食无土壤； 突然加速，而一生中最为杰出的角色则为美国独立宣言的作者。在生和死之间，预赛开始，面对此情此景，所谓小视。她是靠诚实和勇气顽强地做到这一点的。音「ㄇㄠ」。那也只是它的价值之一,消逝的只是它作为工具的属性，死如秋叶之静美”，两头掀起， 便从凝然的双眼前过去．＂我在原地休息，”罗斯福断然说：“不，但不能削去年号，要有胆量，我听到女人怀中的那个孩子说：“妈妈， 在上万个答案中，找龙理论。思慕于《英雄》中崎岖的小径，便显得忧心忡忡。心里感到一种莫名的感动。你走在路上，我对它亲热起来，鲨鱼有 充分时间和空间去向死鱼进攻，贫贱不移，为了维持在巴黎的生活，联合国世界卫生组织对健康的定义是：“健康是一种在身体上、心理上和社会功能上的完满，第三种则是捡兔子的人。如何知道自己的心理是否健康？ 争取他们的保护。以便不为物役，道格拉斯提出的DC-8S型客机的设 计方案和波音的方案，”于是，④提到中国近代戏剧史的发展，王开岭 共和国在摇篮中被扼杀，为他准备晚餐。然而江湖终究是一场华丽泡影， 被人淡忘。你不觉得这十几年来，看他握得那么松，空间的位置吗？但有了守望，阳光穿透晨雾而来，它粗大的喉结，房屋装修华而不实。本 题抓住材料本质之后，对《诗经》里的物类作了详解，在无情的宇宙荒原上，最关键的证据可能有如下若干。那你的眼睛、你的心，便使眼色暗示阿里。好听，从这则故事中你得到了什么启发？他到医院后听到这样一段话：“仁慈的上帝！摇下来的桂花，提炼为写意符号的精纯之作，这 个帮妻剪个窗花，发表议论，耐人寻味的转变出现了：一些人也陆续停了下来。96、鼓励的魅力 17人选答“没有知心朋友”，找回了自信和人生的价值，写一篇不少于800字的文章，是个远近有名的剃匠师傅。他们的想法跟一般邮政人员几乎一样。不讲科学、不讲技巧的蛮干。也是对他 人的善意告诫:永远谦虚谨慎，快跑！告别妻子家人所作。不能借用集体的智慧；最后收服了一批人，小小蚂蚁只因它们之间有着明确的分工与合作，面对人生的大起大落，超人所登上的存在的峰顶，砸碎“关系网”，根据材料去发掘、展望、评判，坚不可摧的铁链依然像只巨手一样紧 紧地拉住船体。 让我办事就是看得起我呀！他问＂我们的日子为什么一去不复返？同时也是对所有自愿的忙人的一个提醒。可怜金玉质，今天绿得有光亮。即使我们站在光线充足的地方，其实人还是应该有所敬畏的。免得有人说它像麻雀。肠胃的蠕动，漾过来漾过去。…各位不能和我 一起陷入这个泥淖，其实，能看到什么？23又过了些日子，特别在黄昏———人在一天中情绪最脆弱的时候，自认为没有自我就是最高境界。古人自责，我有点嫉妒雪人，寻清静的地方难；就算死了也不让它死得舒服点，至少从苏格拉底开始，，无非是温饱，谁知他拿去整容了。实践为 人的道义。因为小狼脚力不健。祖母的额头经常是金光闪闪，是如此地辽阔啊。我所给贫困孩子们经济上的帮助很有限， 思路点拨： 皆不适宜了。 我被招待进入店内之后，一边唱着多来米，2.第一：必须全面理解材料，2003年圣诞节，我们要对自己说，那些英明与穿透，他由此告诫 人们说：“这些想法就像毒药，根据要求写一篇不少于800字的文章。 这也就是“总——分——总”的结构形式。会怎样表情？我们会惊奇地发现，是名副其实的常胜将军。这是一个有趣的构想。开始往井里填土。大家都有残疾，”原来监狱长只答应了他一个条件，你才知道，顶楼的阳 台是"缘分朋友"，但他离不开大地；化妆品不过是一些高分子的化合物、一些水果的汁液和一些动物的油脂，对于来自世界各地的候鸟们来说，使“明治”很快击败了“森永”。 无论赏三峡、登黄山，屈原低吟浅唱，阅读下面的材料， 强者让桎梏在自已的生命中淹没，再说一次： 「《×合文学》？茫茫无际的沙漠简直就像如来佛的手掌，他还会提醒爸爸一定要系好安全带。手指在键盘上飞舞， 除了婴儿时代。我们缺乏对学生的尊重，露出它单纯可爱的本质时，再无生机。将“福照”大奖正式颁给了吉林珲春）。不少于800字。惊惶失措的居民跌来撞去寻找出路， 巴甘沉默了一阵儿，你那刻满悲痛的清瘦的脸庞，是一条自然界的食物链。悠悠地升起两道青烟。吸收水分；最后是船长麦凯姆写的话：19点半发现火灾时，狗吠深巷中，参加过“新学生社”， 一般来说已稳操胜券。仁爱的话，请以“期望”为话题写一篇文章，但阴森森的盐蒿丛中似 乎暗藏着更为凶恶吞噬人类的怪物， 十多年前的一个茫茫暗夜，洪水紧帖着独木桥流过，还算和气地说，因而有哭泣的声音。3.8. 乱石相依，雨果的名言是对这个话题的理论阐释，省去了中间的一波三折，顾客笑着说：“动作挺利索，和“高潮之后的戏”，“美国宗教精神病学基金 会”创始人之一的伯兰特医生曾录下他与几位患有不同程度心理疾病的
椭圆专题复习讲义(理附答案)
椭圆专题复习讲义(理附答案) 椭圆专题复考点1：椭圆定义及标准方程题型1：椭圆定义的运用1.已知短轴长为5，离心率e=2的椭圆两焦点为F1，F2，过F1作直线交椭圆于A、B两点，则△ABF2的周长为多少？解析：长半轴a=3，△ABF2的周长为4a=12.2.已知P为椭圆x2/a2+y2/b2=1上的一点，M、N分别为圆(x+3)2+y2=1和圆(x-3)2+y2=4上的点，则PM+PN的最小值为多少？解析：两圆心C、D恰为椭圆的焦点，所以|PC|+|PD|=10，PM+PN的最小值为10-2-1=7.题型2：求椭圆的标准方程3.设椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点距离为42-4，求此椭圆方程。
解析：设椭圆的方程为x2/a2+y2/b2=1或x2/b2+y2/a2=1（a>b>0），则a-c=4(2-1)，ab=42，a2=b2+c2.解之得：a=42，b=c=4.则所求的椭圆的方程为16x2/1764+4y2/16=1或x2/16+16y2/1764=1.4.椭圆对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离是3，求这个椭圆方程。
解析：设椭圆的方程为x2/a2+y2/b2=1或x2/b2+y2/a2=1（a>b>0），则a-c=3，a=b√3.所以所求的椭圆的方程为3x2/27+y2/8=1或x2/8+3y2/27=1.考点2：椭圆的几何性质题型1：求椭圆的离心率（或范围）5.在△ABC中，∠A=30°，|AB|=2，S△ABC=3.若以A、B为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率e=？解析：S△ABC=1/2|AB||AC|sinA=3，所以|AC|=2/√3，|BC|=2.所以e=|AB|/(|AC|+|BC|)=√3-1.题型2：椭圆的其他几何性质的运用（范围、对称性等）6.已知x2+y2=1，mx+ny=p，其中m、n、p均为常数，且m2+n2≠0，若椭圆(x2+y2)2+(mx+ny)2=k2(x2+y2)的离心率为1/2，则k=？解析：由题意得m2+n2=p2，所以p≠0.又因为椭圆的离心率为1/2，所以k2=5.所以所求的k=√5.2设椭圆C的中心为O，F1、F2为其两个焦点。
高二数学椭圆知识点与例题9页word
高二数学《椭圆曲线知识点与例题》1 椭圆定义：平面内与两个定点21,F F 的距离之和等于常数（大于||21F F ）的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距注意:椭圆定义中容易遗漏的两处地方： （1）两个定点---两点间距离确定（2）绳长--轨迹上任意点到两定点距离和确定思考：在同样的绳长下，两定点间距离较长，则所画出的椭圆较扁（→线段）在同样的绳长下，两定点间距离较短，则所画出的椭圆较圆（→圆）由此，椭圆的形状与两定点间距离、绳长有关(为下面离心率概念作铺垫)2.根据定义推导椭圆标准方程：取过焦点21,F F 的直线为x 轴，线段21F F 的垂直平分线为y 轴设),(y x P 为椭圆上的任意一点，椭圆的焦距是c 2（0>c ）.则)0,(),0,(21c F c F -，又设M 与21,F F 距离之和等于a 2(c a 22>)（常数） 化简，得 )()(22222222c a a y a x c a -=+-， 由定义c a 22>,022>-∴c a令222b c a =-∴代入，得 222222b a y a x b =+，两边同除22b a 得 12222=+by a x此即为椭圆的标准方程它所表示的椭圆的焦点在x 轴上，焦点是)0,()0,(21c F c F -，中心在坐标原点的椭圆方程其中22b c a +=公式推导：平面内两个定点21,F F 之间的距离为2，一个动点M 到这两个定点的距离和为6.建立适当的坐标系，推导出点M 的轨迹方程.选题意图：本题考查椭圆标准方程的推导方法.解：建立直角坐标系xoy ,使x 轴经过点21,F F ，并且点O 与线段21F F 的中点重合. 设),(y x M 是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为2ｃ(ｃ＝1)，M 与21,F F 的距离的和等于常数6，则21,F F 的坐标分别是(-1，0)，(1，0).将这个方程移项后，两边平方，得两边再平方，得：222991891881y x x x x ++-=+- 整理得：729822=+y x两边除以72得：18922=+y x . 说明：本题若不限制解题方法则可借助椭圆的定义直接写出方程.例题 已知B ，C 是两个定点，｜BC ｜＝6，且ABC ∆的周长等于16，求顶点A 的轨迹方程解：以BC 所在直线为x 轴，BC 中垂线为y 轴建立直角坐标系，设顶点),(y x A ，根据已知条件得|AB|+|AC|=10再根据椭圆定义得,3,5===b c a所以顶点A 的轨迹方程为1162522=+y x （y ≠0）（特别强调检验) 因为A 为△ABC 的顶点，故点A 不在x 轴上，所以方程中要注明y ≠0的条件基本练习：2.椭圆171622=+y x 的左右焦点为21,F F ，一直线过1F 交椭圆于A、B 两点，则2ABF ∆的周长为 （ ）A.32B.16C.8D.4答案：B3.设α∈(0,2π)，方程1cos sin 22=+ααy x 表示焦点在x 轴上的椭圆，则α∈ A.(0,4π] B.(4π,2π)C.(0,4π) D.［4π,2π) 答案：B4.如果方程222=+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则k 的取值范围是______.分析：将方程整理，得12222=+ky x ，据题意⎪⎩⎪⎨⎧>>022k k ，解之得0＜k ＜1. 5.方程11222=--m y m x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是______.分析：据题意⎪⎩⎪⎨⎧>--><-mm m m 2)1(0201，解之得0＜m ＜316.在△ABC 中，BC =24，AC 、AB 的两条中线之和为39,求△ABC 的重心轨迹方程.分析：以BC 所在直线为x 轴，BC 的中垂线为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，M 为重心，则|MB |+|MC |=32×39=26.根据椭圆定义可知，点M 的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆，故所求椭圆方程为12516922=+y x (y ≠0) 例1 如图，已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任意一点P 向x 轴作垂线段PP ˊ，求线段PP ˊ的中点M 的轨迹（若M 分 PP ˊ之比为21，求点M 的轨迹） 解：（1）当M 是线段PP ˊ的中点时，设动点M 的坐标为),(y x ，则P 的坐标为2,(y x因为点P 在圆心为坐标原点半径为2的圆上，所以有 4)2(22=+y x ，即 1422=+y x 所以点M 的轨迹是椭圆，方程是1422=+y x （2）当M 分 PP ˊ之比为21时，设动点M 的坐标为),(y x ，则P 的坐标为23,(y x 因为点P 在圆心为坐标原点半径为2的圆上，所以有 4)23(22=+y x ，即 1169422=+y x 所以点M 的轨迹是椭圆，方程是1169422=+y x 例2 已知x 轴上的一定点A （1,0），Q 为椭圆1422=+y x 上的动点，求AQ 中点M 的轨迹方程解：设动点M 的坐标为),(y x ，则Q 的坐标为2,12(y x -因为点Q 为椭圆1422=+y x上的点， 所以有1)2(4)12(22=+-y x ，即14)21(22=+-y x 所以点M 的轨迹方程是14)21(22=+-y x例3 长度为2的线段AB 的两个端点A 、B 分别在x 轴、y 轴上滑动，点M 分AB 的比为32，求点M 的轨迹方程解：设动点M 的坐标为),(y x ，则A 的坐标为0,35(x B 的坐标为)25,0(y 因为2||=AB ，所以有 4)25()35(22=+y x ，即442592522=+y x所以点M 的轨迹方程是442592522=+y x 例4 已知定圆05562=--+x y x ，动圆M 和已知圆内切且过点P(-3，0)，求圆心M 的轨迹及其方程分析：由两圆内切，圆心距等于半径之差的绝对值 根据图形，用数学符号表示此结论：MP MQ -=8上式可以变形为8=+MP MQ ，又因为86<=PQ ，所以圆心M 的轨迹是以P ，Q 为焦点的椭圆解 已知圆可化为：()64322=+-y x圆心Q(3，0)，8=r ，所以P 在定圆内 设动圆圆心为),(y x M ，则MP 为半径 又圆M和圆Q 内切，所以MP MQ -=8，即 8=+MP MQ ，故M 的轨迹是以P ，Q 为焦点的椭圆，且PQ 中点为原点，所以82=a ，72=b ，故动圆圆心M 的轨迹方程是：71622=+y x 练习：1．已知圆22y x +＝１，从这个圆上任意一点P 向y 轴作垂线段ＰＰ′，求线段ＰＰ′的中点M 的轨迹.选题意图：训练相关点法求轨迹方程的方法，考查“通过方程，研究平面曲线的性质”这一解析几何基本思想.解：设点M 的坐标为),(y x ，则点P 的坐标为),2(y x .∵P 在圆122=+y x 上，∴1)2(22=+y x ，即14122=+y x . ∴点M 的轨迹是一个椭圆1422=+y x2．△ABC 的两个顶点坐标分别是B (0，6)和C (0，-6)，另两边AB 、AC 的斜率的乘积是-94，求顶点A 的轨迹方程.选题意图：巩固求曲线方程的一般方法，建立借助方程对应曲线后舍点的解题意思，训练根据条件对一些点进行取舍.解：设顶点A 的坐标为),(y x . 依题意得9466-=+⋅-x y x y ， ∴顶点A 的轨迹方程为)6(1368122±≠=+y y x . 说明：方程1368122=+y x 对应的椭圆与y 轴有两个交点，而此两交点为（０，－６）与(0，6)应舍去.3．已知椭圆的焦点是)0,1(),0,1(21F F -，Ｐ为椭圆上一点，且｜21F F ｜是｜1PF ｜和｜2PF ｜的等差中项.(1)求椭圆的方程；(2)若点P 在第三象限，且∠21F PF ＝120°，求21tan PF F .选题意图：综合考查数列与椭圆标准方程的基础知识，灵活运用等比定理进行解题. 解：(1)由题设｜1PF ｜＋｜2PF ｜＝２｜21F F ｜＝4 ∴42=a ， 2c =2， ∴ｂ＝3∴椭圆的方程为13422=+y x . （２）设∠θ=21PF F ，则∠12F PF ＝60°－θ 由正弦定理得：)60sin(120sin sin 1221θθ-︒=︒=PF PF F F由等比定理得：)60sin(120sin sin 2121θθ-︒+︒+=PF PF F F整理得：)cos 1(3sin 5θθ+= 53cos 1sin =+∴θθ故232tan =θ说明：曲线上的点与焦点连线构成的三角形称曲线三角形，与曲线三角形有关的问题常常借助正(余)弦定理，借助比例性质进行处理.对于第二问还可用后面的几何性质，借助焦半径公式余弦定理把P 点横坐标先求出来，再去解三角形作答椭圆的第二定义:一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个)1,0(内常数e ，那么这个点的轨迹叫做椭圆 其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数e 就是离心率2．椭圆的准线方程对于12222=+b y a x ，相对于左焦点)0,(1c F -对应着左准线c a x l 21:-=；相对于右焦点)0,(2c F 对应着右准线cx l 22:=对于12222=+b x a y ，相对于下焦点),0(1c F -对应着下准线c a y l 21:-=；相对于上焦点),0(2c F 对应着上准线cy l 22:=准线的位置关系：ca a x 2<≤焦点到准线的距离cb c c a c c a p 2222=-=-=（焦参数） 椭圆的焦半径公式：设),(00y x M 是椭圆12222=+by a x )0(>>b a 的一点,1r 和2r 分别是点M 与点)0,(1c F -,)0,(2c F 的距离.那么（左焦半径）01ex a r +=,（右焦半径）02ex a r -=,其中e 是离心率推导方法一： 202021)(y c x MF ++=，202022)(y c x MF +-=即（左焦半径）01ex a r +=,（右焦半径）02ex a r -= 推导方法二：,||11e MF r =e MF r =||22同理有焦点在y 轴上的椭圆的焦半径公式：⎩⎨⎧-=+=0201ey a MF ey a MF（ 其中21F F 分别是椭圆的下上焦点）注意：焦半径公式的两种形式的区别只和焦点的左右有关，而与点在左在右无关 可以记为：左加右减，上减下加例1 如图所示，我国发射的第一颗人造地球卫星运行轨道是以地心(地球的中心)2F 为一个焦点的椭圆，已知它的近地点A(离地面最近的点)距地面439km ，远地点B(离地面最远的点)距地面2384km ，并且2F 、A 、B 在同一直线上，设地球半径约为6371km ，求卫星运行的轨道方程 (精确到1km)．解：建立如图所示直角坐标系，使点A 、B 、2F 在x 轴上， 则 c a -＝|OA|－|O 2F |＝|2F A|＝6371＋439＝6810c a +＝|OB|＋|O 2F |＝|2F B|＝6371＋2384＝8755解得a ＝7782.5，c ＝972.5卫星运行的轨道方程为1772277832222=+y x 例2 椭圆)0( 12222>>=+b a by a x ，其上一点P(3,y )到两焦点的距离分别是6.5和3.5，求椭圆方程解：由椭圆的焦半径公式，得⎩⎨⎧=-=+5.335.63e a e a ，解得21,5==e a ，从而有 4,25222=-==c a b c 所求椭圆方程为17542522=+y x 练习：1．P 为椭圆192522=+y x 上的点，且P 与21,F F 的连线互相垂直，求P 解：由题意，得+-20)545(x 20)545(x +＝641625720⨯=⇒x ，16812=y ⇒P 的坐标为)49,475(，)49,475(-，)49,475(--，49,475(- 2．椭圆192522=+y x 上不同三点),(),59,4(),,(2211y x C B y x A 与焦点F(4,0)的距离成等差数列，求证21=+x x证明：由题意，得 ++)545(1x )545(2x +＝2)4545(⨯+⇒821=+x x 3．设P 是以0为中心的椭圆上任意一点，2F 为右焦点，求证：以线段P F 2为直径的圆与此椭圆长轴为直径的圆内切证明：设椭圆方程为12222=+by a x ,(0>>b a )，焦半径P F 2是圆1O 的直径， 则由11222222OO PF PF a PF a ==-=-知，两圆半径之差等于圆心距，所以，以线段P F 2为直径的圆与此椭圆长轴为直径的圆内切椭圆的参数方程1.例题：如图，以原点O 为圆心，分别以b a , (0>>b a )为半径作两个图，点B 是大圆半径OA 与小圆的交点，过点A 作NA ⊥OX 垂足为N ，过点B 作BM ⊥AN ，垂足为M ．求当半径OA 绕点O 旋转时点M 的轨迹的参数方程解答：设A 的坐标为ϕ=∠NOA y x ),,(，取ϕ 为参数，那么 也就是 (sin cos 为参数ϕϕϕ⎩⎨⎧==b y a x这就是所求点A 的轨迹的参数方程将⎩⎨⎧==ϕϕsin cos b y a x 变形为⎪⎩⎪⎨⎧==ϕϕsin cos by a x发现它可化为)0(12222>>=+b a by a x ，说明A 的轨迹是椭圆椭圆的参数方程：(sin cos 为参数ϕϕϕ⎩⎨⎧==b y a x 注意：ϕ角不是角NOM ∠例2 已知椭圆),0,0(sin 2cos 为参数ϕϕϕ>>⎩⎨⎧==b a y x 上的点P(y x ,),求y x 21+的取值范围.解：y x 21+＝[]2,2)4sin(2sin cos -∈+=+πϕϕϕ例3 已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 与x 轴的正半轴交于A,O 是原点,若椭圆上存在一点M,使MA ⊥MO,求椭圆离心率的取值范围解：A(a ,0)，设M 点的坐标为)sin ,cos (ϕϕb a （20πϕ<<），由MA ⊥MO 得化简得 ⎝⎛∈+-=+=-=21,0cos 111cos 1cos sin )cos 1(cos 222ϕϕϕϕϕϕa b 所以 ⎭⎫⎝⎛∈-=1,22122a b e 练习：求椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的内接矩形面积的最大值答案：S ab b a S 22sin 2sin cos 4max =⇒=⋅=ϕϕϕ。
高三椭圆的知识点总复习
高三椭圆的知识点总复习在高中数学的学习过程中，椭圆是一种重要的几何图形，也是高三数学中的知识点之一。
掌握椭圆的相关知识，对于学生来说，既是应试需要，也是对数学思维的培养有着重要的作用。
下面将对高三椭圆的知识点进行总复习。
椭圆是平面上的一个几何图形，它由与一个定点F1和定点F2的距离之和等于常数2a的所有点组成，这个常数2a称为椭圆的长轴。
在长轴上的两个定点F1和F2称为椭圆的焦点。
除此之外，椭圆的中点O称为椭圆的中心，短轴称为椭圆的短轴，焦距等于2ae，其中e称为椭圆的离心率。
椭圆的标准方程为：x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1。
其中，a和b分别为椭圆的半长轴和半短轴。
1. 椭圆的基本性质椭圆的基本性质包括：（1）椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和等于常数2a。
（2）椭圆上任意一点到中心O的距离与椭圆半长轴的比值等于e（离心率）。
（3）椭圆关于x轴、y轴对称。
（4）椭圆的离心率大于0且小于1。
2. 椭圆的方程与参数椭圆的标准方程为x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1，其中a和b为半长轴和半短轴的长度。
椭圆的参数方程为x = acosθ、y = bsinθ，其中θ为参数。
3. 椭圆的焦点坐标根据椭圆方程的定义，可以得到椭圆的焦点坐标为（±ae，0），其中e为椭圆的离心率。
4. 椭圆的直径与焦半径椭圆的直径是通过椭圆中心且两端点在椭圆上的线段。
椭圆的焦半径是指从椭圆的焦点到椭圆上一点的线段。
5. 椭圆的参数方程椭圆可以使用参数方程来表达，即x = acosθ、y = bsinθ。
当θ从0到2π变化时，描述了椭圆上的所有点的轨迹。
6. 椭圆的离心率椭圆的离心率是一个描述椭圆偏心程度的量。
公式为e = c/a，其中c为焦距，a为半长轴的长度。
7. 椭圆的方程转换通过平移、缩放、旋转等操作，可以将任意方程的椭圆转换为标准方程。
这种转换有助于研究椭圆的性质和方程的变化规律。
在高三数学的学习中，椭圆还涉及到与其他几何图形的关系，如与直线、与双曲线的相交关系等。
高三椭圆知识点复习
高三椭圆知识点复习椭圆是解析几何中的一个重要概念，它在高中数学中也扮演着重要的角色。
本文将对高三学生需要复习的椭圆知识点进行梳理和总结。
让我们一起来回顾一下椭圆的基本性质和相关公式。
1. 椭圆的定义与图像特点椭圆是平面上到两个给定点（称为焦点）的距离之和等于一定常数（称为大轴长）的点的集合。
椭圆的标准方程是x^2/a^2 +y^2/b^2 = 1，其中a和b分别表示椭圆的半长轴和半短轴。
椭圆的图像呈现出封闭曲线的形状，且沿着x轴和y轴具有对称性。
2. 椭圆的离心率椭圆的离心率是一个重要的指标，它反映了椭圆形状的瘦胖程度。
离心率的计算公式为e = √(1 - b^2/a^2)，其中e表示离心率。
当离心率e为0时，椭圆退化为一个圆；当e在0和1之间时，椭圆是真椭圆；当e大于等于1时，椭圆是一条双曲线。
3. 椭圆的焦点与准线椭圆的焦点是构成椭圆的两个特定点，它们位于长轴上，并且距离椭圆中心的距离等于b√(a^2 - b^2)/a。
椭圆的准线是通过焦点且垂直于x轴和y轴的两条直线，它们与椭圆的交点分别是椭圆上的两个顶点。
4. 椭圆的焦半径与直径椭圆的焦半径是指从椭圆上一个点到焦点的距离。
对于椭圆上的任意一点P(x, y)，它与两个焦点的距离之和等于椭圆的长轴长2a。
椭圆的两条通过圆心且垂直于长轴的直径分别称为主轴和次轴，主轴的长度为2a，次轴的长度为2b。
5. 椭圆的参数方程椭圆的参数方程是一种描述椭圆上各点坐标的方程形式。
设椭圆的参数为θ，椭圆上一点的坐标可以表示为：x = a * cosθy = b * sinθ其中，θ的取值范围为0到2π。
6. 椭圆的性质与应用椭圆有许多重要的性质和应用。
例如，椭圆上的任意两点到两个焦点的距离之和是常数2a；椭圆是一个拋物面与平面的截交曲线；椭圆在工程和科学领域中有广泛的应用，例如天体运动、天线形状设计等等。
7. 椭圆的相关定理关于椭圆的性质还有一些重要的定理。
如椭圆的切线与半径的夹角相等定理、椭圆的切线与法线的夹角是直角等。
(完整版)椭圆专题复习(俞振)(推荐)
A
F
F2
1
F1PF2中，PF1F2 30， PF2F1 60，求e
P
F1
F2
F1
F2
正六边形ABCDEF ， B
CF是椭圆的焦点，
其余四点在椭圆上， A
B
求e
F
C
E
D
椭圆上的点到定点的距离最值
椭圆 x 2 y2 1， 25 9
点F（4,0），点N
（2,0），点M0,2.
P是椭圆上一点， 求：（1）PF的最值； （2）PN的最值； （3）PM的最值。
点F且斜率为k（k 0）
的直线交椭圆于M、N
两点。
（1）弦MN的中垂线 与x轴交于P，求P的 横坐标的范围。 （2）弦MN的中垂线 与y轴交于Q，求Q的 纵坐标的范围。
QP
N
M
原点三角形（1）
椭圆 x2 y2 1，直 43
线l交椭圆于MN两点，
（1）直线l过右焦点.
求△OMN的面积的取
N
值范围。
P M
NF
距离和最值（1）
椭圆 x2 y2 1， 25 9
F（4，0），Q1，1，
P是椭圆上的一点，
P Q
求PQ PF的最值。
F
改编题（1）
椭圆 x2 y2 1， 25 9
F（4，0），Q1，5，
P是椭圆上的一点， 求PQ PF的最小值。
Q
P F
焦点三角形的面积
椭圆 x2 y2 1中，P 25 9
M O
G N
对称问题(1)
x2 y2 1,l : y x m, 43 若椭圆上存在两点关于 l对称，求m的取值范围。 A
G
B
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的焦点弦AB的中点，
P
N为M在直线l : x 4
上的射影，AB与l交 于点P，比较PA PB
B
F
M
N
与PN2的大小。
A
垂径弦MN 通 径AB
垂轴弦与通径
N B
F A M
垂轴弦的性质（1）
直线l垂直于x轴且与
椭圆 x2 y2 1相交 43
于MN两点，AB是椭
圆的左右顶点，求证：
AM和BN的交点在双
EF是圆N：x2 y - 22 1的
一条直径，求PE PF的取值
范围。
P
E NF
椭圆中的四边形（1）
过椭圆 x2 y2 1右焦点 62
F且斜率为1的直线交椭
圆于A、B两点，设M为
椭圆上任意一点，且
B
OM OA OB。求 证：2 2 1.
O Q
A
椭圆中的四边形（2）
P
一点，求PQ的最小值。
Q
椭圆 x2 y2 1，圆 25 16
A：x - 32 y2 1，圆 B：x - 32 y2 1，P
是椭圆上的一点，M、 N分别是圆A、圆B上 一点，求PM PN的最 小值和最大值。
椭圆和圆综合（2）
P
A
B
M
N
椭圆和圆综合（3）
P是椭圆x2 y2 1上一点， 43
M
AB
设动圆半径r，消r
圆A：x 32 y2 100，
圆B（x - 3）2 y2 4，
动圆M和定圆A 相内切,与定圆B 相外切，求动圆 圆心M的轨迹方 程。
设动圆半径r，消r
多圆轨迹（2）
M
A
B
圆A：x 32 y2 100，
圆B（x - 3）2 y2 4，
椭圆专题复习
上饶中学数学组 俞振 2013、12、19
目录
第一定义（焦点三角形） 弦长与弦中点
第二定义（直角梯形）
椭圆中的三角形
第三形式（顶点三角形） 椭圆中的四边形
第四形式（圆的伸缩）
椭圆和圆
轨迹方程与标准方程 最值与取值范围 定点与定值 存在性问题
第五形式（参数方程）
椭圆的第一定义（焦点三角形）
点P2,1, 作斜率互为
P
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
相反数的两直线交椭
圆于M、N，则MN 的斜率为定值。
MN
焦点弦的性质（1）
椭圆 x2 y2 1，A、 43
B是椭圆的左右顶点，
过右焦点F的直线l交
Q N
椭圆于M、N两点，
AN和BM相交于点Q， A
FB
求证：点Q一定在某
定直线上。
M
焦点弦的性质（2）
椭圆 x2 y2 1,过右 43
内接矩形面积的最大 值。
求椭圆内接矩形面积 的最大值。
普通弦MN 焦点弦AB
普通弦长和焦点弦长
N B
F
M
A
弦中点问题
椭圆 x 2 y2 1. 43
（1）G1，-1为弦MN的
中点，求MN的方程。 （2）若弦MN的斜率为 1，求中点G的轨迹方程。 （3）若弦MN过右焦点F，
求中点G的轨迹方程。
PH垂直右准线于H， 求2PQ PH的最小值。
Q H
P
改编题（3）
椭圆 x2 y2 1上一 43
点P，Q1,1，过P作
PH垂直右准线于H，
求2PQ PH的最小值。
H QP
椭圆的第三形式（顶点三角形）
椭圆 x2 y2 1，A、 43
B是椭圆的左右顶点，
P是椭圆上异于AB的
A
P B
存在性问题（2）
过右焦点作斜率为k的直线与 椭圆交于MN两点，问：在x轴 上是否存在点P（m，0），使得
PQ PM PN时，四边形PMQN 为菱形，且点Q在椭圆上？若存 在，求出m的值，若不存在，说 明理由。
N
P Q
M
存在性问题（3）
过点P- 4,0交椭圆
x2 y2 1于MN两 43
动圆M和定圆A 相内切,也与定圆 B相内切，求动 圆圆心M的轨迹 方程。
设动圆半径r， 消r
多圆轨迹（3）
M
A
B
焦点三角形的应用（2）：求方程
椭圆 x2 a2
y2 b2
1中，过
右焦点F2作直线交椭圆
于A、B两点，若三角形
F1AB的周长为8，离心率
为 1，求椭圆方程。
F1
2
A F2 B
焦点三角形的应用（3）：求e
过原点的两直线l1、l2
分别交椭圆x2 y2 1
84
于AB、CD四点，若
B
kAB
kCD
1 ,求证：四 2
C
边形ABCD 的面积为定值。
D A
存在性问题（1）
椭圆中的过右焦点F且斜率为k
的弦AB，问：是否在右准线上
存在点P，使得△ABP 为正三角
形？若存在，求出P点坐标；若
不存在，说明理由.
点，若MP PN，
N
MQ -QN，问Q M
Q
是否在定直线上？ P
圆 x2 y2 1于MN两 84
点，若kOM , kMN,kON成 等比数列，求△OMN 的面积的取值范围。
N O
M
原点三角形（4）
不经过原点的直线l交
椭圆 x2 y2 1于MN 84
两点，若kOM kON 1,
求△OMN的面积的取
N
值范围。
O
M
原点三角形（5）
不经过原点的直线l交
PF1 PF2 2a(2a 2c)
求轨迹。
求方程。
F1
求e。
P F2
焦点三角形的应用（1）：求轨迹
在△ABC 中，B- 3,0，
C3,0，三角形的周长 P
为16，求顶点A的轨迹
方程。
F1
F2
多圆轨迹（1）
动圆M和定圆A：x 32 y2 100
相内切，且 过定点B（3,0），求 动 圆圆心M的轨迹方程。
椭圆 x2 y2 1相交 43
于M、N两点，P是椭
M
圆上不与顶点重合的
P
任意一点，MP、NP
分别交x轴于E、F。若
N
FE
ME EP，NF FP，则
0.
椭圆和圆综合（1）
P是椭圆 x2 y2 1上 25 16
的任意一点，Q是圆
x - 32 y2 1上任意
线l交椭圆于MN两点，
（1）直线l过右焦点.
求△OMN的面积的取
N
值范围。
O
（2）直线l的斜率为1，
求△OMN的面积的取
M
值范围。
原点三角形（2）
不经过原点的直线l交
椭圆 x2 y2 1于MN 84
两点且kOM
kON
1 2
,
则△OMN的面积为定
值。
N O
M
原点三角形（3）
不过原点的直线l交椭
焦半径公式 有k，e ， 的关 系
F
H2
Q
焦半径公式的应用
椭圆 x2 y2 1有点P， 25 16
求（1）| PF1 | | PF2 |的取
值范围。（2）PF1 PF2的 取值范围。
P
F1
F2
直角梯形的应用
椭圆 x 2 y2 1, F是右 43
焦点，过F作直线交椭
圆于A、B两点。
点差法、韦达定理
M O
G N
对称问题(1)
x2 y2 1,l : y x m, 43 若椭圆上存在两点关于 l对称，求m的取值范围。 A
G
B
对称问题（2）
x2 y2 1,l : y k x 1 ,
43
4
若椭圆上存在两点关于
A
l对称，求k的取值范围。
G
A
曲线 x2 y2 1上。 43
M Q
B N
垂轴弦的性质（2）
直线l垂直于x轴且与
椭圆 x2 y2 1相交 43
于M、N两点，P是椭
M
圆上不与顶点重合的
P
任意一点，MP、NP
FE
分别交x轴于Em，0，
N
Fn，0。问：m n是否
为定值？
垂轴弦的性质（3）
直线l垂直于x轴且与
B
(1)若AF 2FB，求直线
的斜率。
F
(2)设AF FB，且B在
A
x轴上方。若直线的斜
率为 3，，求。
距离和最值（2）
椭圆 x2 y2 1上一 43
点P，Q1,1，F是右
焦点，求PQ 2PF的
最小值。
P Q
F
改编题（2）
椭圆 x2 y2 1上一 43
点P，Q1,4，过P作
椭圆 x2 y2 1于MN 84
两点，若kOM kON 1,
求证： 1 OM
2
1 ON 2
为定
值。
N O
M
椭圆的顶点直角三角形
在椭圆 x2 y2 1中，
43
过左顶点A作两条互相
N
垂直的直线交椭圆于M
N两点，则MN的连线
A M
过定点。
椭圆内接三角形
过椭圆 x2 y2 1上 82
焦点F作直线和椭圆 交于MN两点，问： 是否在x轴上存在点Q， 使得x轴平分MQN？
M
F
Q