(完整word版)2019年上海市静安区高考数学二模试卷.docx
2019年上海市各区高三二模数学分类汇编—函数及答案
2019年上海市各区高三二模数学分类汇编—函数及答案2019上海各区高三二模汇编-函数一、填空题11.（崇明3）设函数f(x)=x^2(x>0)，的反函数为y=f^-1(x)，则y=_______。
答案：√x2.（崇明11）已知函数f(x)=x+1(x∈[-∞,8])，则f^-1(4)=_____________。
答案：33.（奉贤3）设函数y=f(x)=log2(x+c)的图像经过点（2,5），则y=f(x)的反函数f^-1(x)=_________。
答案：2x-4，x∈R4.（奉贤9）已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数，且在[0,+∞)单调递减，当x+y=2019时，恒有f(x)+f(2019)>f(y)成立，则x的取值范围是_________。
答案：(-∞,2019)5.（虹口7）若函数f(x)=x|x-a|-4（a∈R）有3个零点，则实数a的取值范围是_________。
答案：(4,+∞)6.（虹口8）若函数f(x)=log3(9x+1)+kx（k∈R）为偶函数，则k的值为_________。
答案：-17.（虹口11）若函数f(x)={2-x(x≤1),f(x-1)-f(x-2)(x>1)}，则f(2019)的值为_________。
答案：-18.（金山1）函数f(x)=x-4的定义域是_________。
答案：[4,+∞)9.（闵行3）已知函数f(x)=log2(x)的反函数为f^-1(x)=_______。
答案：2^x解析：1.第一题没有明显错误，不需要改写。
2.第二题已经给出了函数的定义域，没有明显错误，不需要改写。
3.第三题已经给出了函数的反函数，没有明显错误，不需要改写。
4.第四题的解析中，最后一句话应该是“可解得x-y=-(2019-x)，可解得x<2019.因此，x的取值范围为(-∞,2019)。
”5.第五题的解析中，第二个等式应该是“x|x-a|-4=0”，改写为“x|x-a|-4=0，解得|x-a|=4/x，即|x-a|=4x或|x-a|=-4x，因为取绝对值，所以|x-a|=4x，即a=x±4，而函数f(x)有3个零点，说明a有两个解，即x+4>4或x-40或x4，即实数a的取值范围为(4,+∞)。
2019年最新上海市第二次高考模拟高三数学试卷及答案解析
第二学期期中高三年级数学学科教学质量监测试卷（满分150分，时间120分钟）一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1. 若集合{}0A x x =>，{}1B x x =<，则AB = ．2. 已知复数z 满1z i ⋅=+（i 为虚数单位），则z = ．3. 函数()sinx cosxf x cosx sinx=的最小正周期是 ．4. 已知双曲线222181x y a -=（0a >）的一条渐近线方程为3y x =，则a = ．5. 若圆柱的侧面展开图是边长为4的正方形，则圆柱的体积为 ．6. 已知x y ，满足0220x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最大值是 ． 7. 直线12x t y t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数）与曲线32x cos y sin θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）的交点个数是 ．8. 已知函数()()220()01xx f x log x x ⎧≤⎪=⎨<≤⎪⎩ 的反函数是1()f x -，则11()2f -= ．9. 设多项式231(1)(1)(1)nx x x x ++++++++（*0x n N ≠∈，）的展开式中x 项的系数为n T ，则2nn T limn →∞= ．10. 生产零件需要经过两道工序，在第一、第二道工序中产生废品的概率分别为0.01和p ，每道工序产生废品相互独立．若经过两道工序后得到的零件不是废品的概率是0.9603，则p = ．11. 设向量m ()x y =，，n ()x y =-，，P 为曲线1m n ⋅=（0x >）上的一个动点，若点P 到直线10x y -+=的距离大于λ恒成立，则实数λ的最大值为 ．12. 设1210x x x ，，，为1210，，，的一个排列，则满足对任意正整数m n ，，且110m n ≤<≤，都有m n x m x n +≤+成立的不同排列的个数为 ．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分） 每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13. 设a b R ∈，，则“4a b +>”是“1a >且3b >”的………………………（ ）（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分又不必要条件14. 如图，P 为正方体1111ABCD A BC D -中1AC 与1BD 的交点，则PAC ∆在该正方体各个面上的射影可能是 …………………………………………………………………（ ）（A ）①②③④ （B ）①③ （C ）①④ （D ）②④ 15. 如图，在同一平面内，点P 位于两平行直线12l l ，同侧，且P 到12l l ，的距离分别为13，．点M N ，分别在12l l ，上，8PM PN +=，则PM PN ⋅的最大值为…………………（ ）（A ）15 （B ）12 （C ）10 （D ）9 16. 若存在t R ∈与正数m ，使()()F t m F t m -=+成立，则称“函数()F x 在x t =处存在距离为2m 的对称点”．设2()x f x xλ+=（0x >），若对于任意t ∈，总存在正数m ，使得“函数()f x 在x t =处存在距离为2m 的对称点”，则实数λ的取值范围是…………………………………………………………………………………………（ ）（A ）(]02， （B ）(]12，（C ）[]12， （D ）[]14， 三、解答题（本大题共有5题，满分76分） 解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出 必要的步骤．17. （本题满分14分，第1小题满分8分，第2小题满分6分）如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，E F 、分别是线段1BC CD 、的中点．（1）求异面直线EF 与1AA 所成角的大小； （2）求直线EF 与平面11AA B B 所成角的大小．18. （本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）已知抛物线22y px =（0p >），其准线方程为10x +=，直线l 过点(0)T t ，（0t >）且与抛物线交于A B 、两点，O 为坐标原点．（1）求抛物线方程，并证明：OB OA ⋅的值与直线l 倾斜角的大小无关； （2）若P 为抛物线上的动点，记||PT 的最小值为函数()d t ，求()d t 的解析式．19. （本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）对于定义域为D 的函数()y f x =，如果存在区间[]m n D ⊆，（m n <），同时满足： ①()f x 在[]m n ，内是单调函数；②当定义域是[]m n ，时，()f x 的值域也是[]m n ，．则称函数()f x 是区间[]m n ，上的“保值函数”． （1）求证：函数2()2g x x x =-不是定义域[01]，上的“保值函数”； （2）已知211()2f x a a x=+-（0a R a ∈≠，）是区间[]m n ，上的“保值函数”，求a 的取值范围．20. （本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）数列{}n a 中，已知12121()n n n a a a a k a a ++===+，，对任意*n N ∈都成立，数列{}n a 的前n 项和为n S ．（这里a k ，均为实数） （1）若{}n a 是等差数列，求k 的值；（2）若112a k ==-，，求n S ； （3）是否存在实数k ，使数列{}n a 是公比不为1的等比数列，且任意相邻三项12m m m a a a ++，，按某顺序排列后成等差数列？若存在，求出所有k 的值；若不存在，请说明理由．21. （本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）设T R ⊂≠，若存在常数0M >，使得对任意t T ∈，均有t M ≤，则称T 为有界集合，同时称M 为集合T 的上界．（1）设12121x x A y y x R ⎧⎫-⎪⎪==∈⎨⎬+⎪⎪⎩⎭，、212A x sinx ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭，试判断1A 、2A 是否为有界集合，并说明理由； （2）已知2()f x x u =+，记11()()()(())n n f x f x f x f f x -==，（23n =，，）．若m R ∈，1[)4u ∈+∞，，且{}()n B f m n N *=∈为有界集合，求u 的值及m 的取值范围；（3）设a b c 、、均为正数，将222()()()a b b c c a ---、、中的最小数记为d ．是否存在正数(01)λ∈，，使得λ为有界集合222{|dC y y a b c==++，a b c 、、均为正数}的上界，若存在，试求λ的最小值；若不存在，请说明理由．参考答案及评分标准一、填空题（本大题共有12题，满分54分） 1、()0,1 2、1 3、π 4、3 5、16π6、37、28、1-9、1210、0.03 1112、512 二、选择题（本大题共有4题，满分20分） 13、B 14、C 15、A 16、A三、解答题（本大题共有5题，满分76分）17. 解：（1）方法一：设正方体棱长为2，以D 为原点，直线DA ，DC ，1DD 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，则(000)D ，，，(220)B ，，，(020)C ，，，1(002)D ，，，故(12E ，，，(011)F ，，，()111EF =--，，，()1002AA =，，， …………………4/设异面直线EF 与1AA 所成角的大小为α，向量EF 与1AA 所成角为β，则11EF AA cos cos EF AA αβ⋅==⋅…… 6/3==，……7/注意到02πα⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，，故3arccosα=，即异面直线EF 与1AA 所成角的大小为3arccos．…………………8/ （2）由（1）可知，平面11AA B B 的一个法向量是(100)n =，，，…………………10/设直线EF 与平面11AA B B 所成角的大小是θ，向量EF 与n 所成角为γ，则EF n sin cos EF nθγ⋅==⋅………12/3=13/1又02πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，θ∴=线EF 与平面11AA B B 所成角的大小为．………………14/方法二：设正方体棱长为2．（1）在面11CC D D 内，作FH CD ⊥于H ，联结HE ．因为正方体1111ABCD A BC D -，所以1AA ∥1DD ；在面11CC D D 内，有FH ∥1DD ，故异面直线EF 与1AA 所成的角就是EFH ∠（或其补角）．………………………4/由已知及作图可知，H 为CD 的中点，于是，在Rt EFH ∆中，易得1FH =，HE=，故HE tanEFH FH∠=， ………………………………………… 6/== 7/ 又(0)2EFH π∠∈，，所以EFH∠=从而异面直线EF 与1AA 所成角的大小为8/（2）因为正方体1111ABCD A BC D -，所以平面11AA B B ∥平面11CC D D ，故直线EF 与平面11AA B B 所成角的大小就是直线EF 与平面11CC D D 所成角．注意到BC ⊥平面11CC D D ，即EC ⊥平面11CC D D ，所以直线EF 与平面11AA B B所成角的大小即为EFC∠． ………………………………10/在Rt EFC∆中，易得1EC FC ==，，故ECtan EFCFC∠=……………………12/2==，………………13/又(0)2EFCπ∠∈，，故2E F C a r c ta n∠=，即直线EF与平面11AA B B所成角的大小为……14/18.解：（1）方法一：由题意，2=p，所以抛物线的方程为xy42=．……………2/当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为tx=，则(A t，(B t-，，ttOBOA42-=⋅．…………3/当直线l的斜率k存在时，则0≠k，设l的方程为)(txky-=，11()A x y，，22()B x y，，由24()y xy k x t⎧=⎨=-⎩消去x，得0442=--ktyky，故121244y yky y t⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，所以，ttyyyyyyxx41622122212121-=+=+=⋅．…………………………………………5/综上，OBOA⋅的值与直线l倾斜角的大小无关．…………………………………………6/方法二：由题意，2=p，所以抛物线的方程为xy42=．………………………………2/依题意，可设直线l 的方程为x my t =+（m R ∈），11()A x y ，，22()B x y ，，由24y x x my t ⎧=⎨=+⎩得2440y my t --=， 故121244y y my y t+=⎧⎨=-⎩， 所以，12121212()()OA OB x x y y my t my t y y ⋅=+=+++221212(1)()m y y mt y y t =++++ …………………………5/22(1)(4)4m t mt m t =+-+⋅+24t t =-综上，OB OA ⋅的值与直线l倾斜角的大小无关． …………………………6/（2）设00()P x y ，，则0204x y =，||PT =， ……………………… (8)/注意到00≥x ，所以，若20t -≥，即2t ≥，则当02x t =-时，||PT 取得最小值，即()2)d t t =≥；………10/若20t -<，即有02t <<，则当00x =时，||PT 取得最小值，即()(02)d t t t =<<；………12/综上所述，()()2()02t d t tt ⎧≥⎪=⎨<<⎪⎩…………………………………………………14/19.解：（1）函数2()2g x x x =-在[01]x ∈，时的值域为[10]-，，…………………………4/不满足“保值函数”的定义，因此函数2()2g x x x =-不是定义域[01]，上的“保值函数”．………………………6/（2）因xa a x f 2112)(-+=在[]m n ，内是单调增函数，故()()f m mf n n ==，，……8/这说明m n ，是方程x xa a =-+2112的两个不相等的实根， ………………………………10/其等价于方程1)2(222=++-x a a x a 有两个不相等的实根，……………………………11/由222(2)40a a a ∆=+->解得23-<a 或21>a ． ………………………………………13/ 故a的取值范围为3122⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，． ………………………………………………14/20.解：（1）若{}n a 是等差数列，则对任意*n N ∈，有122n n n a a a ++=+，………………2/即121()2n n n a a a ++=+，………………………………………………………………………3/故12k =．………………………………………………………………………………………4/（2）当12k =-时，121()2n n n a a a ++=-+，即122n n n a a a ++=--， 211()n n n n a a a a ++++=-+，故32211()n n n n n n a a a a a a ++++++=-+=+． …………………………………………5/所以，当n 是偶数时，1234112()(11)22n n n n nS a a a a a a a a n -=++++++=+=+=；……………………7/当n 是奇数时，2312()2a a a a +=-+=-，12341n n n S a a a a a a -=++++++123451()()()n n a a a a a a a -=+++++++11(2)22n n -=+⨯-=-． ……………9/综上，()()222n n n S nn-=⎧⎪=⎨=⎪⎩（*k N ∈）． …………………………………………10/（3）若}{n a 是等比数列 ，则公比a a a q ==12，由题意1≠a ，故1-=m m a a ，m m a a =+1，12++=m m a a ．……11/① 若1m a +为等差中项，则122m m m a a a ++=+，即112m m m a a a -+=+⇔221a a =+，解得1=a （舍去）；……12/② 若ma 为等差中项，则122m m m a a a ++=+，即112m m m a a a -+=+⇔22a a =+，因1≠a ，故解得，2a =-，11122215m m m m m m a a a k a a a a a +-++====-+++； ……………………………14/③ 若2m a +为等差中项，则212m m m a a a ++=+，即112221m mma a aa a+-=+⇔=+， 因为1≠a ，解得212215a a k a =-==-+，． …………………………………………15/综上，存在实数k满足题意，25k =-．…………………………………………………16/21.解：（1）对于1A ，由2121x xy -=+得1201x y y +=>-，解得11y -<<，………………2/1A ∴为有界集合； …………………………………………3/显然252266A x k x k k Z ππππ⎧⎫=+<<+∈⎨⎬⎭⎩，不是有界集合． ………………………4/（2）记()n n a f m =，则21n n a a u +=+．若14u =，则21()4f m m =+，22111()42n n n n n a a a a a +=+=-+≥，即1n n a a +≥，且211111()()2422n n n n a a a a +-=-=-+，从而1111222n n n a a a +-=-⋅+． （ⅰ）当12m =时，1()2n n f m a ==，所以1{}2B =，从而B 为有界集合．…………5/（ⅱ）当12m <时，由2114n n a a +=+，2111()()4a f m f m m ===+，显然，此时0n a >，利用数学归纳法可得12n a <，故B 为有界集合．…………………………………………6/（ⅲ）当12m >时，211111()()42n n a a a f m f m m m +≥≥≥===+≥>，2114n n n n a a a a +-=-+21()2n a =- 211()2a ≥-，即2111()2n n a a a +-≥-，由累加法得2111(1)()2n a a n a ≥+--→+∞，故B 不是有界集合．因此，当14u =，且12m ≤时，B 为有界集合；当14u =，且12m >时，B 不是有界集合； 若14u >，则211()()a f m f m m u u ===+≥，即114a u ≥>， 又2114n n a a u u +=+>>（n N *∈）， 即14n a >（n N *∈）． 于是，对任意n N *∈，均有221111()244n n n n n a a a a u a u u +-=-+=-+-≥-，即114n n a a u +-≥-（n N *∈），再由累加法得11(1)()4n a a n u ≥+--→+∞，故B 不是有界集合．………8/综上，当14u =，且12m ≤时，B 为有界集合；当14u =，且12m >时，B 不是有界集合；当14u >(m R ∈)时，B 不是有界集合． 故，满足题设的实数u 的值为14，且实数m 的取值范围是11[]22-，．………………10/ （3）存在．………………………………………………………………………11/不妨设a b c ≥≥．若2a cb +≤，则2a b c ≥-，且2()d b c =-． 故22222225()5()()d a b c b c a b c -++=--++22225()[(2)]b c b c b c ≤---++3(2)0c c b =-<，即22222215()05d d a b c a b c -++<⇔<++；…………13/若2a cb +>，则2a ac b <+<，即220a b a b <⇔-<， 又2a cb bc a b +>⇔->-，故2()d a b =-，又 22222225()5()()d a b c a b a b c -++=--++22(2)(2)0a b a b c =---<，即 2225()0d a b c -++<22215d a b c ⇔<++，因此，15是有界集合C 的一个上界．…………………………15/下证：上界15λ<不可能出现． 假设正数15λ<出现，取2a c b +=，1()05c a λ=->，则22a c d -⎛⎫= ⎪⎝⎭，此时，d22222213()()()55a b c a b c acλλ=+++-++-22221()()5a b c a acλλ>+++--222()a b c λ=++（*）…17/由式（*）可得222222()dd a b c a b c λλ>++⇔>++，与λ是C 的一个上界矛盾！．综上所述，满足题设的最小正数λ的值为15． …………………………………………18/。
2019届上海市上海高三下学期数学测试（二）数学试题
2019届上海市上海中学高三下学期数学测试（二）数学试题一、单选题1．已知向量a 与b 不共线，且0a b =≠，则下列结论中正确的是（ ） A.向量a b +与a b -垂直 B.向量a b -与a 垂直 C.向量a b +与a 垂直 D.向量a b +与a b -共线【答案】A【解析】通过计算向量数量积确定是否具有垂直关系. 【详解】因为a b =，()()22220a b a b a b a b +⋅-=-=-=,所以向量a b +与a b -垂直. 当(1,0)a =，(0,1)b =时0a b =≠，但向量a b -与a 不垂直、向量a b +与a 不垂直、向量a b +与a b -不共线 故选：A. 【点睛】本题考查利用向量的数量积运算判定向量的垂直关系，属于基础题. 2．命题P :2x x ≥-,命题Q :x x =,则命题P 是命题Q 的（ ） A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 【答案】A【解析】分别判断充分性：由2x x ≥-能否推出x x =和必要性：由x x =能否推出2x x ≥-，得解【详解】 充分性：(1)00x x x +≥⇒≥或1x ≤-，而 ||0x x =≥，所以充分性不成立 ；必要性：2||010,0x x x x x =≥⇒+>+>成立 ，所以命题P 是命题Q 的是必要不充分条件。
故选：A.【点睛】本题考查命题间的充分必要条件的判定，需要从充分性和必要性两个方面判定，属于基础题.3．下列函数中周期为1的奇函数是( ) A.22cos 1y x π=- B.sin 2cos 2y x x ππ=+ C.tan2xy π=D.sin cos y x x ππ=⋅【答案】D 【解析】【详解】22cos 1cos 2y x x ππ=-=为周期为1的偶函数sin 2cos 2)4y x x x ππππ=+=+为周期为1的非偶非奇函数tan 2x y π=为周期为2的奇函数1sin cos sin 22y x x x πππ=⋅=周期为1的奇函数所以选D.4．某班试用电子投票系统选举班干部候选人，全班k 名同学都有选举权和被选举权. 他们的编号分别为1,2,3,, k ，规定：同意按“1”，不同意（含弃权）按“0”. 令：1,0,ij i j a i j ⎧=⎨⎩第号同学同意第号同学当选第号同学不同意第号同学当选（其中1,2,,i k =且1,2,,j k =）则同时同意第1,2号同学当选的人数为（ ） A.11121312122232k k a a a a a a a a +++++++++ B.11213111222322k k a a a a a a a a +++++++++C.11122122313212k k a a a a a a a a ⋅+⋅+⋅++⋅D.11211222132312k k a a a a a a a a ⋅+⋅+⋅++⋅【答案】C【解析】由已知得出同意第1号同学当选依次由1121311,,,,k a a a a ⋯决定，同意第2号同学当选依次由1222322,,,,k a a a a ⋯决定，故得结论.【详解】第1，2，…，k 名学生是否同意第1号同学当选依次由1121311,,,,k a a a a ⋯来确定（11i a =表示同意，10i a =表示不同意或弃权），是否同意第2号同学当选依次由1222322,,,,k a a a a ⋯确定，而是否同时同意1，2号同学当选依次由 11122122313212,,,,k k a a a a a a a a 确定， 故同时同意1，2号同学当选的人数为 11122122313212k k a a a a a a a a ++++故选:C ． 【点睛】本题考查对新定义的理解，关键在于理解定义中所表示符号的含义，属于中档题.二、填空题 5．函数2(1)(1)y x x =->的反函数为______．【答案】()1()10fx x -=>【解析】由2(1)(1)y x x =->解得1x -=,x y 互换得1y =，并且由求得原函数的值域得到反函数的定义域，得解. 【详解】由2(1)(1)y x x =->得1x -=1x =，将,x y 互换得1y =，由2(1)(1)y x x =->得0y >，所以反函数1y =中的0x >，所以，所求的反函数是()1()10f x x -=>，故填：()1()10fx x -=>.【点睛】本题考查求已知函数的反函数，属于基础题，一般求函数的反函数有三个步骤：1、由原函数解得x ；2、将解出的表达式中的,x y 互换；3、求出原函数的值域得到反函数的定义域.6．计算：1lim(1)nn n→∞-=_________．【答案】1e【解析】将已知表达式构造成重要极限1lim(1)x xxe →∞+=的形式，可得解. 【详解】因为1111111lim(1)lim (1)lim (1)n n n n n n e n n n e-----→∞→∞-→∞⎡⎤⎡⎤-+=+==⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦=， 所以11lim(1)n n n e→∞-=， 故填：1e. 【点睛】本题考查重要极限1lim(1)x xxe →∞+=，关键在于运用极限的运算构造成重要极限所需的形式，属于基础题.7．函数2lg(23)y x x =-+的单调递增区间为___________． 【答案】()1,+∞【解析】先求出函数的定义域，再根据二次函数的单调性和lg y u =的单调性,结合复合函数的单调性的判断可得出选项. 【详解】因为2lg 2(3)y x x =+-，所以()2223120,x x x -+=-+>所以函数2lg 2(3)y x x =+-的定义域为R ，设223u x x =-+，所以u 在(),1-∞上单调递减，u 在()1,+∞上单调递增，而lg y u =在()0,∞+单调递增，由复合函数的单调性可知，函数2lg 2(3)y x x =+-的单调增区间为()1, +∞. 故填：()1, +∞． 【点睛】本题考查复合函数的单调性，注意在考虑函数的单调性的同时需考虑函数的定义域，属于基础题.8．如图，正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,与AD 1异面且与AD 1所成角为90︒的面对角线共有_______条．【答案】1【解析】在正方体的上、下面，左、右面，前、后面逐一去找出能与1AD 垂直的面对角线，得出结论. 【详解】1AD 与面对角线11A C ，11,,BD A B DB 异面，所成的角是60，由于11//AD BC ，又11BC CB ⊥，所以11AD CB ⊥，而1AD 与正方体其它异面的面对角线都不垂直， 所以与AD 1异面且与AD 1所成角为90︒的面对角线共有1条， 故填：1.【点睛】本题考查空间里的异面直线和其垂直关系，属于基础题.9．已知集合{|11}A x x =-≤≤，{|}B x x a =>，且满足A B φ⋂=，则实数a 的取值范围是 . 【答案】1a ≥【解析】试题分析：由A B φ⋂=可知两集合无公共点，结合数轴可得实数a 的取值范围是1a ≥【考点】集合子集关系 10．将参数方程1sec tan x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）化为普通方程，则这个方程是_______．【答案】()2211x y --=【解析】根据221tan sec αα+=，消去参数方程 1sec tan x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）中的参数α，化为普通方程． 【详解】由参数方程 1sec tan x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），可得 tana y =，sec 1x α=-，代入 221tan sec αα+=，消去参数α，可得221(1)y x +=-，即22(1)1x y --=，故填：22(1)1x y --=．【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程之间的转化，关键是利用已知条件和同角三角函数的基本关系消去参数，属于基础题． 11．若圆C 的方程为222440x x y y +++-=，则该圆的圆心坐标为________．【答案】()1,2--【解析】化简圆的一般方程为标准方程,即可求出圆心坐标. 【详解】 圆的方程为222440xx y y +++-=,化为:22(1)(2)9x y +++=.圆的圆心坐标为:(1,2)--. 故答案为:(1,2)--. 【点睛】本题考查圆的一般方程与标准方程之间的转换，再由标准方程确定圆的圆心和半径，属于基础题.12．某客运公司确定客票价格的方法是：如果行程不超过100公里，票价是每公里0.5元，如果超过100公里，超过部分按每公里0.4元定价，则客运票价y （元）与行程公里数x （公里）之间的函数关系式是_____． 【答案】0.5100.4xy x⎧=⎨+⎩(0100)(100)x x ≤≤>【解析】设运输里程为xkm ,运费为y 元，当0100x ≤≤时,0.5y x =;当100x >时,0.51000.4(100)y x =⨯+-,由此得出函数关系式即可; 【详解】设运输里程为xkm ,运费为y 元.则()()0.5,01000.51000.4(100),100x x y x x ⎧≤≤⎪=⎨⨯+->⎪⎩即()()0.5,0100.410,100x x y x x ⎧≤≤⎪=⎨+>⎪⎩, 故填: ()()0.5,0100.410,100x x y x x ⎧≤≤⎪=⎨+>⎪⎩, 【点睛】本题考查函数的解析式表示法中的分段函数，属于基础题.13．设()f x 是定义在R 上的以3为周期的奇函数，若()()23f 11,f 21a a ->=+， 则a 的取值范围是______ 【答案】﹣1＜a 23＜【解析】先利用函数f （x ）是定义在实数集上的以3为周期的奇函数得f （2）＝f （﹣1）＝﹣f （1），再利用f （1）＞1代入即可求a 的取值范围． 【详解】因为函数f （x ）是定义在实数集上的以3为周期的奇函数， 所以f （2）＝f （﹣1）＝﹣f （1）． 又因为f （1）＞1，故f （2）＜﹣1，即231a a --+＜1⇒3201a a -+＜ 解可得﹣1＜a 23＜．故答案为：﹣1＜a 23＜．【点睛】本题主要考查了函数的周期性，以及函数奇偶性的性质和分式不等式的解法，属于基础题．14．函数sin y x =的图像按向量3,22a π⎛⎫=-⎪⎝⎭平移后与函数()g x 的图像重合，则()g x 的函数表达式是_______．【答案】cos 2x -+【解析】函数sin y x =的图像按向量3,22a π⎛⎫=-⎪⎝⎭平移,即是把sin y x =向左平移32π个单位，向上平移2个单位，代入到函数()g x 中运用诱导公式化简可得解. 【详解】函数sin y x =的图像按向量3,22a π⎛⎫=- ⎪⎝⎭平移,即是把sin y x =向左平移32π个单位，向上平移2个单位， 所以3()sin 2cos 22g x x x π⎛⎫=++=-+ ⎪⎝⎭， 故填：cos 2x -+. 【点睛】本题考查三角函数的图像的平移和诱导公式的应用，属于基础题.15．已知命题：“若数列{}n a 为等差数列，且m a a =，n a b =（m n ≠，m 、n *∈N ），则m n bn ama n m+-=-”；现已知等比数列{}n b （0n b >，n *∈N ），m b c =，n b d =（m n ≠，m 、n *∈N ），若类比上述结论，则可得到m n b +=_________．【答案】n 【解析】通过等差数列的结论类比推理可得:若()*,2,,N m n b c b d n m m n ==-≥∈,则可以得到n m n b +=再利用等比数列的通项公式即可证明. 【详解】通过等差数列的结论类比推理可得:若()*,2,,N m n b c b d n m m n ==-≥∈,则可以得到n m n b +=证明如下:设等比数列的首项为1b ,公比为0q ≠.则1111,m n m n b c b q b d b q --====,化为()(1)111n n m n m n m n m n m n md b q b q b c --+-+-+=⋅∴==.故答案为:n 【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其性质、类比推理,属于基础题. 16．设有两组数据：12,...n x x x 与12,...n y y y ，它们之间存在关系式：i i y ax b =+（1,2,i n =，其中,a b 非零常数），若这两组数据的方差分别为2x σ和2y σ，则2x σ和2y σ之间的关系是________．【答案】222y x aσσ=【解析】注意两组数据的关系,后一组中的每一个数字是前一组数字的a 倍,这样两组数据的方差之间的关系就是后者的方差是前者的2a 倍. 【详解】两组数据:12,x x ,n x ⋯与12,y y ,n y ⋯,它们之间存在关系式:i i y ax b =+ 即第二组数据是第一组数据的a 倍还要整体加上b ,在一列数字上同时加上一个数字方差不变,而同时乘以一个数字方差要乘以这个数字的平方,2x σ∴和2y σ之间的关系是222y x a σσ=,故填:222y x a σσ=,【点睛】本题考查方差的变换特点,若在原来数据前乘以同一个数,平均数也乘以同一个数,而方差要乘以这个数的平方,在数据上同加或减同一个数,方差不变,属于基础题. 17．抛一枚均匀硬币，正、反面出现的概率都是12，反复这样的抛掷，数列{}n a 定义如下：11n a ⎧=⎨-⎩n n （第次抛掷出现正面）（第次抛掷出现反面），若12n n S a a a =+++()n *∈N ，则事件“82S =”的概率为_____；事件“20S ≠且82S =”的概率为_____． 【答案】732 13128【解析】事件82S =表示反复抛掷8次硬币,其中出现正面的次数是5次,利用n 次独立重复试验恰好出现k 次的概率公式能够求出事件82S =的概率,以及280,2S S ≠=的概率. 【详解】事件82S =表示反复抛掷8次硬币,其中出现正面的次数是5次,其概率53581172232P C ⎛⎫⎛⎫=⋅=⎪⎪⎝⎭⎝⎭.事件“280,2S S ≠=”表示前两次全正或全负,则概率为883566111322128C C ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 故填：732；13128. 【点睛】本题考查概率的性质和应用,解题时要合理地运用n 次独立重复试验恰好出现k 次的概率公式，属于基础题.18．若对任意x A ∈，(,)y B A R B R ∈⊆⊆有唯一确定的(,)f x y 与之对应，则称(,)f x y 为关于x ，y 的二元函数，现定义满足下列性质的(,)f x y 为关于实数x ，y 的广义“距离”．（1）非负性：(,)0f x y ≥，当且仅当x y =时取等号； （2）对称性：(,)(,)f x y f y x =；（3）三角形不等式：(,)(,)(,)f x y f x z f z y ≤+对任意的实数z 均成立．给出三个二元函数：①(,)f x y x y =-；②2(,)()f x y x y =-；③(,)f x y =则所有能够成为关于x ，y 的广义“距离”的序号为__________． 【答案】①【解析】对于①，由于(,)0f x y x y =-≥，故满足非负性；又(,)(,)f x y x y y x f y x =-=-=，故满足对称性；另外(,)()()(,)(,)f x y x y x z z y x z z y f x z f z y =-=-+-≤-+-=+，故满足三角形不等式。
(完整word版)2019年上海市静安区高考数学二模试卷
2019年上海市静安区高考数学二模试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．（4分）不等式6x2+17x+12＜0的解集是．2．（4分）已知复数（其中i是虚数单位），则|z|＝．3．（4分）已知点A（1，﹣2，﹣7），B（3，10，9），C为线段AB的中点，则向量的坐标为．4．（4分）若变量x，y满足约束条件则目标函数z＝﹣2x+y的最大值为．5．（4分）若圆柱的轴截面为正方形，且此正方形面积为4，则该圆柱的体积为．6．（4分）已知，则tanα＝．7．（5分）已知双曲线C与椭圆的焦点相同，且双曲线C的一条渐近线方程为，则双曲线C的方程为．8．（5分）函数y＝sin x+cos x﹣|sin x﹣cos x|的值域是．9．（5分）已知甲盒中有红、黑、白三种颜色的球各3个，乙盒中有黄、黑、白三种颜色的球各2个（两盒中每个球除颜色外都相同）．从两个盒子中各取1个球，则取出的2个球颜色不同的概率是（结果用最简分数表示）．10．（5分）若等比数列{a n}（n∈N*）满足a1+a3＝30，a2+a4＝10，则a1•a2•…•a n的最大值为．11．（5分）设△ABC的内角A，B，C的对边为a，b，c．已知a，b，c依次成等比数列，且，延长边BC到D，若BD＝4，则△ACD面积的最大值为．12．（5分）已知函数，若，则实数a ＝．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．（5分）为客观了解上海市民家庭存书量，上海市统计局社情民意调查中心通过电话调查系统开展专项调查，成功访问了2007位市民．在这项调查中，总体、样本及样本的容量分别是（）A．总体是上海市民家庭总数量，样本是2007位市民家庭的存书量，样本的容量是2007B．总体是上海市民家庭的存书量，样本是2007位市民家庭的存书量，样本的容量是2007C．总体是上海市民家庭的存书量，样本是2007位市民，样本的容量是2007D．总体是上海市民家庭总数量，样本是2007位市民，样本的容量是2007．14．（5分）若，均为单位向量，则“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件15．（5分）函数f（x）＝sin2x+b cos x+c的最小正周期（）A．与b有关，且与c有关B．与b有关，但与c无关C．与b无关，且与c无关D．与b无关，但与c有关16．（5分）设f（x）是定义在R上恒不为零的函数，对任意实数x、y，都有f（x+y）＝f （x）f（y），若，a n＝f（n）（n∈N*），数列{a n}的前n项和S n组成数列{S n}，则有（）A．数列{S n}递增，最大值为1B．数列{S n}递减，最小值为C．数列{S n}递增，最小值为D．数列{S n}递减，最大值为1三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17．（14分）如图所示，在直角梯形ABCD中，已知BC∥AD，AB⊥AD，BC＝BA＝AD ＝m，VA⊥平面ABCD．（1）求证：CD⊥平面VAC；（2）若VA＝m，求CV与平面VAD所成角的大小．18．（14分）已知函数（a为实常数）．（1）若的定义域是，求a的值；（2）若是奇函数，解关于x的不等式．19．（14分）某文化创意公司开发出一种玩具（单位：套）进行生产和销售．根据以往经验，每月生产x套玩具的成本p由两部分费用（单位：元）构成：a．固定成本（与生产玩具套数x无关），总计一百万元；b．生产所需的直接总成本．（1）问：该公司每月生产玩具多少套时，可使得平均每套所需成本费用最少？此时每套玩具的成本费用是多少？（2）假设每月生产出的玩具能全部售出，但随着x的增大，生产所需的直接总成本在急剧增加，因此售价也需随着x的增大而适当增加．设每套玩具的售价为q元，（a，b∈R）．若当产量为15000套时利润最大，此时每套售价为300元，试求a、b的值．（利润＝销售收入﹣成本费用）20．（16分）已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）上一点T（t，4）到其焦点F的距离为5．（1）求抛物线C的方程；（2）设直线l与抛物线C交于A、B两点，O为坐标原点，若，求证：直线l必过一定点，并求出该定点的坐标；（3）过点（2，0）的直线m与抛物线C交于不同的两点M、N，若，求直线m的斜率的取值范围．21．（18分）设数列{a n}的前n项和为S n，对任意正整数n，皆满足S n+a n＝2a（实常数a＞0）．在等差数{b n}（n∈N*））中，b1＝a1，b2＝2S2．（1）求数列{b n}的通项公式；（2）试判断数列{a n+1}能否成等比数列，并说明理由；（3）若，c n＝a n•b n，求数列{c n}的前n项和T n，并计算：（已知）．。
上海市静安区2019-2020学年第二学期教学质量检测6月高三数学试题(解析版)
上海市静安区2019-2020学年第二学期教学质量检测 高三数学试卷 2020.06一. 填空题（本大题共11题，每题6分，共66分）1．若36sin =x ，则()x 2cos -π的值为 ▲ ． 2．若幂函数)(x f y =的图像经过点⎪⎭⎫ ⎝⎛2,81，则⎪⎭⎫ ⎝⎛-81f 的值为 ▲ ．3．若1nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项的值为 ▲ ．4．若函数)(x f y =)R (∈x 是偶函数，在区间(]0,∞-上是增函数，2=x 是其零点，则0)(>x f 的解集为 ▲ ．5．现从5男4女共9名学生中选派3名学生参加志愿者活动，则选派3名学生中至少有一名男生的概率为 ▲ ．6．在平面直角坐标系xOy 上，由不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤yx y x 2,2,20所确定的区域为D ，若),(y x M 为区域D 上的动点，点)1,2(A ，则OA OM z ⋅=的最大值为 ▲ ．7．已知,A B 是球心为O 的球面上的两点，在空间直角坐标系中，它们的坐标分别为()()()0,0,0,2,1,1,0,2,2O AB -，则,A B 两点的球面距离为 ▲ ．8．设由复数组成的数列{}n a 满足：对任意的*N n ∈，都有i 1=+nn a a （i 是虚数单位），则数列{}n a 的前2020项和的值为 ▲ ． 9．一个水平放置的等轴双曲线型的拱桥桥洞如图所示，已知当前拱桥的最高点离水面5米时， 量得水面宽度30=AB 米，则当水面升高1米 后，水面宽度为 ▲ 米．（精确到0.1米）10．设),(n n y n A )N (*∈n 是函数xx y 12+=的图像上的点， 直线1+=n x 与直线n y y =的交点为n B ，1+∆n n n A B A 的 面积为n S ，则n n S ∞→lim 的值为 ▲ ．11．如图，直线MN 是互相垂直的异面直线MP 和NQ 的公垂线，若1=MN ，2=PQ ，则四面体PMNQ 的 体积的最大值为 ▲ ．二、选择题（本大题共3题，每题6分，共18分）12．设R x ∈，则“250x x -<”是“|1|1x -<”的 （ ）． A ．充分不必要条件； B ．必要不充分条件；C ．充要条件；D ．既不充分也不必要条件．13．方程089222=+-y xy x 的曲线C 所满足的性质为 （ ）．①不经过第二、四象限；②关于x 轴对称；③关于原点对称；④关于直线y x =对称．A ．①③；B ．②③；C ．①④；D ．①②．14．当急需住院人数超过医院所能收治的病人数量时就会发生“医疗资源挤兑”现象．在新冠肺炎爆发期间，境外某市每日下班后统计住院人数，从中发现：该市每日因新冠肺炎住院人数均比前一天下班后统计的住院人数增加约%25，但每日大约有200名新冠肺炎患者治愈出院．已知该市某天下班后有1000名新冠肺炎患者住院治疗，该市的医院共可收治4000名新冠肺炎患者．若继续按照这样的规律发展，该市因新冠肺炎疫情发生MPQN第11题图“医疗资源挤兑”现象，只需要约 （ ）． A ．7天； B ．10天； C ．13天； D ．16天．三、解答题（本大题共有4题，共66分）15．（本题满分14分，第1小题7分，第2小题满分7分）如图所示，圆锥的底面⊙O 半径为2，A 是圆周上的定点，动点B 在圆周上逆时针旋转，设()πθθ20<<=∠AOB ，C 是母线SB 的中点．已知当2πθ=时，AC 与底面所成角为515arctan． （1）求该圆锥的侧面积；（2）若⊥AC OB ，求θ的值．16．（本题满分14分；第1小题6分，第2小题8分）若函数()()sin (0,0,0)f x A x A ωϕωϕπ=+>>≤<满足下列条件：①()f x 的图像向左平移π个单位时第一次和原图像重合；对任意的R x ∈都有()26f x f π⎛⎫≤= ⎪⎝⎭成立． （1）求()f x 的解析式；（2）若锐角ABC ∆的内角B 满足()1f B =，且B ∠的对边1b =，求ABC ∆的周长l 的取值范围．D17．（本题满分19分，第1小题5分，第2小题7分，第3小题7分）已知抛物线Γ：24y x =的焦点为F ，若ABC ∆的三个顶点都在抛物线Γ上，且0FA FB FC ++=u u u r u u u r u u u r r，则称该三角形为“核心三角形”．（1）是否存在“核心三角形”，其中两个顶点的坐标分别为(0,0)和(1,2)？请说明理由； （2）设“核心三角形”ABC 的一边AB 所在直线的斜率为4，求直线AB 的方程； （3）已知ABC ∆是“核心三角形”，证明：点A 的横坐标小于2．18．（本题满分19分，第1小题6分，第2小题6分，第3小题7分） 设数列{}n a 的每一项均为正数，对于给定的正整数k ，k n n n a a b +⋅=)N (*∈n ，若{}n b 是等比数列，则称{}n a 为)(k B 数列．（1）求证：若{}n a 是等比数列，则{}n a 是)(k B 数列； （2）请你写出一个不是等比数列的)1(B 数列的通项公式；（3）设{}n a 为)1(B 数列，且满足3122a a a ⋅=，请用数学归纳法证明：{}n a 是等比数列．上海市静安区2019-2020学年第二学期教学质量检测 高三数学试卷 2020.06一. 填空题（本大题共11题，每题6分，共66分）1．若36sin =x ，则()x 2cos -π的值为 ▲ ． 【答案】31 【解析】311sin 22cos )2cos(2=-=-=-x x x π 2．若幂函数)(x f y =的图像经过点⎪⎭⎫ ⎝⎛2,81，则⎪⎭⎫ ⎝⎛-81f 的值为 ▲ ． 【答案】2-【解析】设αx x f =)(，则2)81(=α，所以31-=α，所以2)81(8131-=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--f3．若1nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项的值为 ▲ ．【答案】20【解析】642=n ，所以6=n ，所以常数项为2036=C4．若函数)(x f y =)R (∈x 是偶函数，在区间(]0,∞-上是增函数，2=x 是其零点，则0)(>x f 的解集为 ▲ ．【答案】()2,2- 【解析】(2)(2)0f f =-=Q，由图易知，解集为()2,2-5．现从5男4女共9名学生中选派3名学生参加志愿者活动，则选派3名学生中至少有一名男生的概率为 ▲ ． 【答案】2021【解析】212013934=-=C C P6．在平面直角坐标系xOy 上，由不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤yx y x 2,2,20所确定的区域为D ，若),(y x M 为区域D 上的动点，点)1,2(A ，则OA OM z ⋅=的最大值为 ▲ ．【答案】4【解析】最优解为)2,2(，y x OA OM z +=⋅=2，最大值为47．已知,A B 是球心为O 的球面上的两点，在空间直角坐标系中，它们的坐标分别为()()()0,0,0,2,1,1,0,2,2O AB -，则,A B 两点的球面距离为 ▲ ．【答案】π【解析】2=OB ，20π=∠⇒=•AOB OB OA ，所以,A B 两点的球面距离为π8．设由复数组成的数列{}n a 满足：对任意的*N n ∈，都有i 1=+nn a a （i 是虚数单位），则数列{}n a 的前2020项和的值为 ▲ ． 【答案】0【解析】1111,,,ia a ia a --，周期为4，每4个数之和为0，所以02020=S 9．一个水平放置的等轴双曲线型的拱桥桥洞如图所示，已知当前拱桥的最高点离水面5米时， 量得水面宽度30=AB 米，则当水面升高1米 后，水面宽度为 ▲ 米．（精确到0.1米） 【答案】5.26【解析】建系，设抛物线解析式为()220x py p =<代入()15,5-，得22.5p =- 245x y ∴=-令4y=-，得25180,6x x ==± ∴ 宽度为12526.8m ≈O10．设),(n n y n A )N (*∈n 是函数xx y 12+=的图像上的点， 直线1+=n x 与直线n y y =的交点为n B ，1+∆n n n A B A 的 面积为n S ，则n n S ∞→lim 的值为 ▲ ．【答案】【解析】由题设知：1(,2)n A n n n +，111(1,2),(1,2(1))1n n B n n B n n nn +++++++显然1n n n A B A +∆为Rt ∆，则1121111(2(1))(2)21lim 1n n n n n n n S A B B B n n n n S +→∞=⎡⎤=++-+⎢⎥+⎣⎦→=g g11．如图，直线MN 是互相垂直的异面直线MP 和NQ 的公垂线，若1=MN ，2=PQ ，则四面体PMNQ 的 体积的最大值为 ▲ ． 【答案】41 【解析】MNQ PM 平面⊥，NQ MN ⊥，设x NQ =， 则12+=x MQ ，22223)1(4x x MQ PQ PM -=+-=-=，412361361312131312222=-+⋅≤-=-⋅⋅⋅⋅=⋅=x x x x x x PM S V MNQ 当且仅当232=x 时取等号 二、选择题（本大题共3题，每题6分，共18分）12．设R x ∈，则“250x x -<”是“|1|1x -<”的 （ ）．A ．充分不必要条件；B ．必要不充分条件；MPQN第11题图C ．充要条件；D ．既不充分也不必要条件．【答案】B【解析】250x x -<等价于50＜＜x ，|1|1x -<等价于20＜＜x ，故为必要不充分条件 13．方程089222=+-y xy x 的曲线C 所满足的性质为 （ ）．①不经过第二、四象限；②关于x 轴对称；③关于原点对称；④关于直线y x =对称．A ．①③；B ．②③；C ．①④；D ．①②． 【答案】A【解析】对089222=+-y xy x 变形，得xy y x =-2)2(2，故0≥xy ，所以曲线C 不经过第二、四象限，①正确以),(y x -代替),(y x ，方程改变，所以曲线C 不关于x 轴对称，②错误 以),(y x --代替),(y x ，方程不改变，所以曲线C 关于原点对称，③正确 以),(x y 代替),(y x ，方程改变，所以曲线C 不关于直线y x =对称，④错误14．当急需住院人数超过医院所能收治的病人数量时就会发生“医疗资源挤兑”现象．在新冠肺炎爆发期间，境外某市每日下班后统计住院人数，从中发现：该市每日因新冠肺炎住院人数均比前一天下班后统计的住院人数增加约%25，但每日大约有200名新冠肺炎患者治愈出院．已知该市某天下班后有1000名新冠肺炎患者住院治疗，该市的医院共可收治4000名新冠肺炎患者．若继续按照这样的规律发展，该市因新冠肺炎疫情发生“医疗资源挤兑”现象，只需要约 （ ）． A ．7天； B ．10天； C ．13天； D ．16天．【答案】C【解析】10001=a ，200)%251(1-+⋅=+n n a a ，所以)800(458001-=-+n n a a ， 所以{}800-n a 是首项为200，公比为45的等比数列，所以145200800-⎪⎭⎫⎝⎛⋅+=n n a ，令4000≥n a ，得16451≥⎪⎭⎫⎝⎛-n13116log 45≈+≥n三、解答题（本大题共有4题，共66分）15．（本题满分14分，第1小题7分，第2小题满分7分）如图所示，圆锥的底面⊙O 半径为2，A 是圆周上的定点，动点B 在圆周上逆时针旋转，设()πθθ20<<=∠AOB ，C 是母线SB 的中点．已知当2πθ=时，AC 与底面所成角为515arctan． （1）求该圆锥的侧面积；（2）若⊥AC OB ，求θ的值． 【解析】（1）OB OA AOB ==∠,2π，设D 为OB 中点，联结CD ，则SO CD //．SO ⊥Q 平面AOB ，CD ∴⊥平面AOB ，515arctan=∠∴CAD ， 在Rt AOD ∆中，2,2π=∠=AOD OA ，得5=AD ．得⨯=5CD 3)515tan(arctan=，32=SO ， 故，4=SA ．.842221ππ=⨯⨯⨯=S （2）解法一：如图建立空间直角坐标系xyz O - 则()0,0,2A ，()0,sin 2,cos 2θθB ，()32,0,0S ，()3,sin ,cos θθC ，()3,sin ,2cos θθ-=AC ，DDxyzE()0,sin 2,cos 2θθ=．由题意，21cos 0=⇔=⋅θπθ20<<Θ，.353ππθ或=∴解法二：设D 为OB 中点，联结CD ，则SO CD //．OB CD ⊥∴．又⊥AC ΘOB ，可得⊥OB 平面ADC OB AD ⊥⇒， AB OA =∴． AOB ∆∴是等边三角形．故，3πθ=或35π．解法三：设E 为SO 中点，联结CE ，AE ，CE AC ⊥∴． 设D 为OB 中点，联结CD ，AD ，AD CD ⊥∴． 在ADO ∆中，由余弦定理，有θcos 452-=AD ， 所以，在ADC Rt ∆中，θcos 482-=AC ． 在AOE ∆中，有72=AE ，所以，在ACE Rt ∆中，222CE AC AE +=，即得21cos =θ．πθ20<<Θ，.353ππθ或=∴16．（本题满分14分；第1小题6分，第2小题8分）若函数()()sin (0,0,0)f x A x A ωϕωϕπ=+>>≤<满足下列条件：①()f x 的图像向左平移π个单位时第一次和原图像重合；对任意的R x ∈都有()26f x f π⎛⎫≤= ⎪⎝⎭成立． （1）求()f x 的解析式；（2）若锐角ABC ∆的内角B 满足()1f B =，且B ∠的对边1b =，求ABC ∆的周长l 的取值范围．【解析】（1）由题意，可得最小正周期T π=，由2T ππω==，解得2ω=．()26f x f π⎛⎫≤= ⎪⎝⎭Q ，2A ∴=，2262k ππϕπ+=+g ，26k πϕπ∴=+，（Z k ∈） 又0ϕπ≤<Q ，6πϕ∴=．故()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． （2）2sin 216B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭Q ，3B π∴=， 又02B A ππ<--<Q ，02A π<<， 62A ππ∴<<．sin sin sin 3b a c B A A ππ==⎛⎫-- ⎪⎝⎭Q，22sin A a c π⎛⎫- ⎪∴==22sin 12sin 16A l A ππ⎛⎫- ⎪⎛⎫∴=++=++ ⎪⎝⎭． 2,633A πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Q ．所以，周长(1l ⎤∈⎦．17．（本题满分19分，第1小题5分，第2小题7分，第3小题7分）已知抛物线Γ：24y x =的焦点为F ，若ABC ∆的三个顶点都在抛物线Γ上，且0FA FB FC ++=u u u r u u u r u u u r r，则称该三角形为“核心三角形”．（1）是否存在“核心三角形”，其中两个顶点的坐标分别为(0,0)和(1,2)？请说明理由； （2）设“核心三角形”ABC 的一边AB 所在直线的斜率为4，求直线AB 的方程； （3）已知ABC ∆是“核心三角形”，证明：点A 的横坐标小于2．【解析】（1）第三个顶点的坐标为3(1,0)(0,0)(1,2)(2,2)--=-．但点(2,2)-不在抛物线Γ上所以这样的“核心三角形”不存在．（反证法叙述同样给分）（2）设直线AB 的方程为t x y +=4，与24y x =联立，得02=+-t y y ．设()()()112233,,,,,A x y B x y C x y.241)2(41,1212121tt y y x x y y -=-+=+=+ 由()()123123,3,0x x x y y y ++++=得41123+=t x ，31y =-．代入方程24y x =，解得5m =-，所以直线AB 的方程为450x y --=． （3）设直线BC 的方程为x ny m =+，与24y x =联立，得2440y ny m --=．因为直线BC 与抛物线Γ相交，故判别式()2160n m ∆=+>．234y y n +=，所以，22342x x n m +=+．点A 的坐标为()2423,4n m n --+-， 又因为点A 在抛物线Γ上，故221616812n n m =--+，得2342m n =-+． 2m n >-Q ，212n ∴<． 故，点A 的横坐标22224234842n m n n n --+=-+=<． 注：（3）也可以用反证法证明，同样给分．18．（本题满分19分，第1小题6分，第2小题6分，第3小题7分） 设数列{}n a 的每一项均为正数，对于给定的正整数k ，k n n n a a b +⋅=)N (*∈n ，若{}n b 是等比数列，则称{}n a 为)(k B 数列．（1）求证：若{}n a 是等比数列，则{}n a 是)(k B 数列； （2）请你写出一个不是等比数列的)1(B 数列的通项公式； （3）设{}n a 为)1(B 数列，且满足3122a a a ⋅=，请用数学归纳法证明：{}n a 是等比数列．【解析】（1）设{}n a 是公比为q 的等比数列，对于给定的正整数k ，k n n n a a b +⋅=)N (*∈n ，k n n n a a b ++++⋅=∴111．02111>=⋅⋅=+++++q a a a a b b kn n kn n n n ． 又，0111>⋅=+k a a b ． 所以{}n b 是等比数列．故{}n a 为)(k B 数列．（2）⎪⎩⎪⎨⎧=-==--kn q a k n q a a k k n 2,,12,1211（q a a 2122≠）．（答案不唯一）简洁的例子如：⎩⎨⎧=-==kn k n a n 2,2,12,1)N (*∈k ． （3）因为{}n a 为)1(B 数列，所以，{}n b 是等比数列，其中1+⋅=n n n a a b )N (*∈n ，nn n n n n n n a aa a a ab b 21211+++++=⋅⋅=∴)N (*∈n ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧∴+n n a a 2)N (*∈n 是常数列，设常数为2q ，即22q a ann =+)N (*∈n ．以下用数学归纳法证明（一）221++⋅=n n n a a a )N (*∈n ．（i ）由已知3122a a a ⋅=，可得当1=n 时命题成立． （ii ）假设1-=k n )2,N (≥∈*k n 时命题成立，即，112+-⋅=k k k a a a ．当k n =时，⎭⎬⎫⎩⎨⎧+n n a a 2Θ)N (*∈n 是常数列． 112-++=∴k k k k a a a a )2,N (≥∈*k k ， 211122+-++=⋅=⋅∴k k k k k k a a a a a a ．等式也成立．根据（i ）和（ii ）可以断定，221++⋅=n n n a a a 对任何*∈N n 都成立，即{}n a 是等比数列．令nn n a a c 1+=，以下用数学归纳法证明（二）q c n =)N (*∈n ． （i ）3122a a a ⋅=Θ，1223a a a a =∴，221213q a a a a =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∴，q a a =∴12，即，q c =1． 故，当1=n 时命题成立． 假设k n =)1,N (≥∈*k k 时命题成立，即q c k =（q a a kk =+1）． （ii ）当1+=k n 时，q a aq a a a a a a c k kk k k k k =⋅=⋅==+++++21212121．等式也成立．根据（i ）和（ii ）可以断定，q c n =对任何*∈N n 都成立，即{}n a 是等比数列．。
上海市静安区2019-2020学年高二下学期期末考试数学试题
力．
13. 如图，我们知道，圆锥是 Rt△AOP （及其内部）绕 OP 所在的直线旋转一周形成的几何
体.我们现将直角梯形 AOO1A1（及其内部）绕 OO1所在的直线旋转一周形成的几何体称为圆
台.设 O1的半径为 r ， O 的半径为 R ，
.
OO h
1
Earlybird
晨鸟教育
1 Rr
V
（1）求证：圆台的体积
（1）求证： BD PC ； （2）若二面角 P BD C 的平面角为 60 ，求 PC 与平面 BCD 所成角的大小. 【答案】（1）证明见解析；（2） 60 ．
【解析】
Earlybird
晨鸟教育
【分析】
（1）结合菱形的性质和线面垂直的判定定理可证得 BD 面 PEC ，再由线面垂直的性质定
理即可得证；
ABCD 为菱形，
BD PE BD CE
，
，
CE
PEC PE CE
PE 、
面
，且
又 PC 面 PEC ， BD PC ．
E BD
，
PEC
面
，
（2）过点 P 作 PO EC 于 O ，
由（1）可知， PO BD ， PO 面 BCD，即点 P 在面 BCD 上的投影为点 O ，
PC BCD
PCE
为直线 与面
AOB 所
以
，
3
1=
所以 A 、 B 两点的球面距离为
，
33
故答案为： 3
【点睛】此题考查球的有关知识，考查弧长公式，属于基础题.
6. 在 3 名男生和 4 名女生中选出 3 人，男女生都有的选法有______种.
Earlybird
2019-2020学年上海市静安区高考数学模拟试卷
到 ①A=R，运算“⊕”为普通减法；
②A={Am×n|Am×n 表示 m×n 阶矩阵，m∈N*，n∈N*}，运算“⊕”为矩阵加法；
马 ③A={X|X⊆M}（其中 M 是任意非空集合），运算“⊕”为求两个集合的交集．
其中对运算“⊕”有单位元素的集合序号为（ ）
考 A．①② B．①③ C．①②③ D．②③
数列{bn}前 m 项和 Tm．
！
功
成
到
马
考
高
您
祝
上海市静安区高考数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（50 分）本大题共有 10 题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填
写结果，每个空格填对得 5 分，否则一律得零分．
1．（5 分）若复数 （i 是虚数单位）是纯虚数，则实数 a= 4 ．
！
【解答】解：∵ =
=2﹣ ；
当 x= 时，f（x）=2；
当 ＜x≤π﹣arctan2 时，同理可得 f（x）=2﹣ ．
当 π﹣arctan2＜x≤π 时，f（x）=4﹣
=4+
．于是可得：
①
=
= ，正确；
②对任意 x∈[0， ]，都有 f（ ﹣x）+f（ +x）=4
！
用换元法，以 x 代替 ﹣x，可得： f（x）+f（π﹣x）=4，
14．（5 分）已知椭圆 C1，抛物线 C2 焦点均在 x 轴上，C1 的中心和 C2 顶点均为原
点 O，从每条曲线上各取两个点，将其坐标记录于表中，则 C1 的左焦点到 C2 的 准线之间的距离为（ ） x 3 ﹣2 4
y
0 ﹣4
！ A．
B．
C．1 D．2
15．（5 分）对于集合 A，定义了一种运算“⊕”，使得集合 A 中的元素间满足条件：
上海市沪教版数学高考二模试卷含详细答案2套选择填空有解析
目录第一套：2019年上海市静安区高考数学二模试卷第二套：2019年上海市虹口高考数学二模试卷2019年上海市静安区高考数学二模试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．设f ﹣1（x ）为的反函数，则f ﹣1（1）= ．2．函数y=2sin 2（2x ）﹣1的最小正周期是 ． 3．设i 为虚数单位，复数，则|z|= ．4．= ．5．若圆锥的侧面积是底面积的2倍，则其母线与轴所成角的大小是 ．6．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若=，则= ．7．直线（t 为参数）与曲线（θ为参数）的公共点的个数是 ．8．已知双曲线C 1与双曲线C 2的焦点重合，C 1的方程为，若C 2的一条渐近线的倾斜角是C 1的一条渐近线的倾斜角的2倍，则C 2的方程为 ． 9．若，则满足f （x ）＞0的x 的取值范围是 ．10．某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为和．现安排甲组研发新产品A ，乙组研发新产品B ，设甲、乙两组的研发相互独立，则至少有一种新产品研发成功的概率为 ．11．设等差数列{a n }的各项都是正数，前n 项和为S n ，公差为d ．若数列也是公差为d 的等差数列，则{a n }的通项公式为a n = ．12．设x ∈R ，用[x]表示不超过x 的最大整数（如[2.32]=2，[﹣ 4.76]=﹣5），对于给定的n ∈N *，定义C =，其中x ∈[1，+∞），则当时，函数f （x ）=C的值域是 ．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．命题“若x=1，则x 2﹣3x+2=0”的逆否命题是（ ） A ．若x ≠1，则x 2﹣3x+2≠0 B ．若x 2﹣3x+2=0，则x=1 C ．若x 2﹣3x+2=0，则x ≠1 D ．若x 2﹣3x+2≠0，则x ≠1 14．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 、E 是AB 的三等分点，G 、N 是CD 的三等分点，F 、H 分别是BC 、MN 的中点，则四棱锥A 1﹣EFGH 的左视图是（ ）A ．B ．C ．D ．15．已知△ABC 是边长为4的等边三角形，D 、P 是△ABC 内部两点，且满足，，则△ADP 的面积为（ ） A ．B ．C ．D ．16．已知f （x ）是偶函数，且f （x ）在[0，+∞）上是增函数，若f （ax+1）≤f （x ﹣2）在上恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[﹣2，1]B ．[﹣2，0]C ．[﹣1，1]D ．[﹣1，0]三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ﹣b=2，c=4，sinA=2sinB ． （Ⅰ）求△ABC 的面积； （Ⅱ）求sin （2A ﹣B ）．18．如图，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB=8，BC=5，AA 1=4，平面α截长方体得到一个矩形EFGH ，且A 1E=D 1F=2，AH=DG=5．（1）求截面EFGH 把该长方体分成的两部分体积之比； （2）求直线AF 与平面α所成角的正弦值．19．如图，已知椭圆C ：（a ＞b ＞0）过点，两个焦点为F 1（﹣1，0）和F 2（1，0）．圆O 的方程为x 2+y 2=a 2． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）过F 1且斜率为k （k ＞0）的动直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，与圆O 交于P 、Q 两点（点A 、P 在x 轴上方），当|AF 2|，|BF 2|，|AB|成等差数列时，求弦PQ 的长．20．如果函数y=f （x ）的定义域为R ，且存在实常数a ，使得对于定义域内任意x ，都有f （x+a ）=f （﹣x ）成立，则称此函数f （x ）具有“P（a ）性质”．（1）判断函数y=cosx 是否具有“P （a ）性质”，若具有“P （a ）性质”，求出所有a 的值的集合；若不具有“P（a ）性质”，请说明理由；（2）已知函数y=f （x ）具有“P（0）性质”，且当x ≤0时，f （x ）=（x+m ）2，求函数y=f （x ）在区间[0，1]上的值域； （3）已知函数y=g （x ）既具有“P （0）性质”，又具有“P （2）性质”，且当﹣1≤x ≤1时，g （x ）=|x|，若函数y=g （x ）的图象与直线y=px 有2019个公共点，求实数p 的值．21．给定数列{a n }，若满足a 1=a （a ＞0且a ≠1），对于任意的n ，m ∈N *，都有a n+m =a n •a m ，则称数列{a n }为指数数列． （1）已知数列{a n }，{b n }的通项公式分别为，，试判断{a n }，{b n }是不是指数数列（需说明理由）；（2）若数列{a n }满足：a 1=2，a 2=4，a n+2=3a n+1﹣2a n ，证明：{a n }是指数数列；（3）若数列{a n }是指数数列，（t ∈N *），证明：数列{a n }中任意三项都不能构成等差数列．2019年上海市静安区高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．设f﹣1（x）为的反函数，则f﹣1（1）= 1 ．【考点】4R：反函数．【分析】根据反函数的性质，原函数的值域是反函数的定义域即可求解【解答】解：的反函数，其反函数f﹣1（x），反函数的性质，反函数的定义域是原函数的值域，即．可得：x=1，∴f﹣1（x）=1．故答案为1．2．函数y=2sin2（2x）﹣1的最小正周期是．【考点】H1：三角函数的周期性及其求法．【分析】利用二倍角公式基本公式将函数化为y=Acos（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函数的最小正周期，【解答】解：函数y=2sin2（2x）﹣1，化简可得：y=1﹣cos4x﹣1=﹣cos4x；∴最小正周期T=．故答案为3．设i为虚数单位，复数，则|z|= 1 ．【考点】A8：复数求模．【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【解答】解：复数===﹣i，则|z|=1．故答案为：1．4． = 3 ．【考点】8J：数列的极限．【分析】通过分子分母同除3n+1，利用数列极限的运算法则求解即可．【解答】解： ===3．故答案为：3．5．若圆锥的侧面积是底面积的2倍，则其母线与轴所成角的大小是30°．【考点】MI：直线与平面所成的角．【分析】根据圆锥的底面积公式和侧面积公式，结合已知可得l=2R ，进而解母线与底面所成角，然后求解母线与轴所成角即可． 【解答】解：设圆锥的底面半径为R ，母线长为l ，则： 其底面积：S 底面积=πR 2，其侧面积：S 侧面积=2πRl=πRl， ∵圆锥的侧面积是其底面积的2倍， ∴l=2R ，故该圆锥的母线与底面所成的角θ有， cosθ==， ∴θ=60°，母线与轴所成角的大小是：30°． 故答案为：30°．6．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若=，则=．【考点】85：等差数列的前n 项和． 【分析】=，可得3（a 1+4d ）=5（a 1+2d ），化为：a 1=d ．再利用等差数列的求和公式即可得出． 【解答】解：∵=，∴3（a 1+4d ）=5（a 1+2d ），化为：a 1=d ．则==．故答案为：．7．直线（t为参数）与曲线（θ为参数）的公共点的个数是 1 ．【考点】QK：圆的参数方程；QJ：直线的参数方程．【分析】根据题意，将直线的参数方程变形为普通方程，再将曲线的参数方程变形为普通方程，分析可得该曲线为圆，且圆心坐标为（3，5），半径r=，求出圆心到直线的俄距离，分析可得直线与圆相切，即可得直线与圆有1个公共点，即可得答案．【解答】解：根据题意，直线的参数方程为，则其普通方程为x+y﹣6=0，曲线的参数方程为，则其普通方程为（x﹣3）2+（y ﹣5）2=2，该曲线为圆，且圆心坐标为（3，5），半径r=，圆心到直线x+y﹣6=0的距离d===r，则圆（x﹣3）2+（y﹣5）2=2与直线x+y﹣6=0相切，有1个公共点；故答案为：1．8．已知双曲线C1与双曲线C2的焦点重合，C1的方程为，若C2的一条渐近线的倾斜角是C1的一条渐近线的倾斜角的2倍，则C2的方程为．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的焦点坐标，利用渐近线的倾斜角的关系，列出方程，然后求解即可．【解答】解：双曲线C1与双曲线C2的焦点重合，C1的方程为，焦点坐标（±2，0）．双曲线C1的一条渐近线为：y=，倾斜角为30°，C 2的一条渐近线的倾斜角是C1的一条渐近线的倾斜角的2倍，可得C2的渐近线y=．可得，c=2，解得a=1，b=，所求双曲线方程为：．故答案为：．9．若，则满足f（x）＞0的x的取值范围是（1，+∞）．【考点】7E：其他不等式的解法．【分析】由已知得到关于x的不等式，化为根式不等式，然后化为整式不等式解之．【解答】解：由f（x）＞0得到即，所以，解得x＞1；故x的取值范围为（1，+∞）；故答案为：（1，+∞）；10．某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为和．现安排甲组研发新产品A ，乙组研发新产品B ，设甲、乙两组的研发相互独立，则至少有一种新产品研发成功的概率为．【考点】C9：相互独立事件的概率乘法公式． 【分析】利用对立事件的概率公式，计算即可，【解答】解：设至少有一种新产品研发成功的事件为事件A 且事件B 为事件A 的对立事件，则事件B 为一种新产品都没有成功， 因为甲乙研发新产品成功的概率分别为和． 则P （B ）=（1﹣）（1﹣）=，再根据对立事件的概率之间的公式可得P （A ）=1﹣P （B ）=，故至少有一种新产品研发成功的概率．故答案为．11．设等差数列{a n }的各项都是正数，前n 项和为S n ，公差为d ．若数列也是公差为d 的等差数列，则{a n }的通项公式为a n =．【考点】84：等差数列的通项公式． 【分析】由题意可得：S n =na 1+d ．a n ＞0.=+（n ﹣1）d ，化简n ≠1时可得：a 1=（n ﹣1）d 2+2d ﹣d ．分别令n=2，3，解出即可得出．【解答】解：由题意可得：S n =na 1+d ．a n ＞0．=+（n ﹣1）d ，可得：S n =a 1+（n ﹣1）2d 2+2（n ﹣1）d ．∴na 1+d=a 1+（n ﹣1）2d 2+2（n ﹣1）d ． n ≠1时可得：a 1=（n ﹣1）d 2+2d ﹣d ． 分别令n=2，3，可得：a 1=d 2+2d ﹣d ，a 1=2d 2+2d ﹣d ．解得a 1=，d=． ∴a n =+（n ﹣1）=．故答案为：．12．设x ∈R ，用[x]表示不超过x 的最大整数（如[2.32]=2，[﹣ 4.76]=﹣5），对于给定的n ∈N *，定义C =，其中x ∈[1，+∞），则当时，函数f （x ）=C的值域是．【考点】57：函数与方程的综合运用．【分析】分类讨论，根据定义化简C x n ，求出C x 10的表达式，再利用函数的单调性求出C x 10的值域．【解答】解：当x ∈[，2）时，[x]=1，∴f （x ）=C =， 当x ∈[，2）时，f （x ）是减函数，∴f （x ）∈（5，）；当x ∈[2，3）时，[x]=2，∴f （x ）=C=，当x ∈[2，3）时，f （x ）是减函数，∴f （x ）∈（15，45]； ∴当时，函数f （x ）=C 的值域是，故答案为：．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．命题“若x=1，则x 2﹣3x+2=0”的逆否命题是（ ） A ．若x ≠1，则x 2﹣3x+2≠0 B ．若x 2﹣3x+2=0，则x=1 C ．若x 2﹣3x+2=0，则x ≠1 D ．若x 2﹣3x+2≠0，则x ≠1 【考点】25：四种命题间的逆否关系．【分析】根据逆否命题的定义，我们易求出命题的逆否命题 【解答】解：将命题的条件与结论交换，并且否定可得逆否命题：若x 2﹣3x+2≠0，则x ≠1 故选：D14．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 、E 是AB 的三等分点，G 、N 是CD 的三等分点，F 、H 分别是BC 、MN 的中点，则四棱锥A 1﹣EFGH 的左视图是（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】L7：简单空间图形的三视图．【分析】确定5个顶点在面DCC 1D 1上的投影，即可得出结论． 【解答】解：A 1在面DCC 1D 1上的投影为点D 1，E 在面DCC 1D 1的投影为点G ，F 在面DCC 1D 1上的投影为点C ，H 在面DCC 1D 1上的投影为点N ，因此侧视图为选项C 的图形． 故选C15．已知△ABC 是边长为4的等边三角形，D 、P 是△ABC 内部两点，且满足，，则△ADP 的面积为（ ） A ．B ．C ．D ．【考点】9V ：向量在几何中的应用．【分析】以A 为原点，以BC 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系．由于等边三角形△的边长为4，可得B ，C 的坐标，再利用向量的坐标运算和数乘运算可得，，利用△APD 的面积公式即可得出．【解答】解：以A 为原点，以BC 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系．∵等边三角形△的边长为4， ∴B （﹣2，﹣2），C （2，﹣2），由足= [（﹣2，﹣2）+（2，﹣2）]=（0，﹣），=（0，﹣）+（4，0）=（，﹣），∴△ADP的面积为S=||•||=××=，故选：A．16．已知f（x）是偶函数，且f（x）在[0，+∞）上是增函数，若f（ax+1）≤f（x﹣2）在上恒成立，则实数a的取值范围是（）A．[﹣2，1] B．[﹣2，0] C．[﹣1，1] D．[﹣1，0]【考点】3N：奇偶性与单调性的综合．【分析】因为偶函数在对称区间上单调性相反，根据已知中f（x）是偶函数，且f（x）在（0，+∞）上是增函数，易得f（x）在（﹣∞，0）上为减函数，又由若时，不等式f（ax+1）≤f（x﹣2）恒成立，结合函数恒成立的条件，求出时f（x﹣2）的最小值，从而可以构造一个关于a的不等式，解不等式即可得到实数a的取值范围．【解答】解：∵f（x）是偶函数，且f（x）在（0，+∞）上是增函数，∴f（x）在（﹣∞，0）上为减函数，当时，x﹣2∈[﹣，﹣1]，故f（x﹣2）≥f（﹣1）=f（1），若时，不等式f（ax+1）≤f（x﹣2）恒成立，则当时，|ax+1|≤1恒成立，∴﹣1≤ax+1≤1，∴≤a≤0，∴﹣2≤a≤0，故选B．三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a ﹣b=2，c=4，sinA=2sinB．（Ⅰ）求△ABC的面积；（Ⅱ）求sin（2A﹣B）．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用．【分析】解法一：（I）由已知及正弦定理可求a，b的值，由余弦定理可求cosB，从而可求sinB，即可由三角形面积公式求解．（II）由余弦定理可得cosA，从而可求sinA，sin2A，cos2A，由两角差的正弦公式即可求sin（2A﹣B）的值．解法二：（I）由已知及正弦定理可求a，b的值，又c=4，可知△ABC为等腰三角形，作BD⊥AC于D，可求BD==，即可求三角形面积．（II）由余弦定理可得cosB，即可求sinB，由（I）知A=C⇒2A ﹣B=π﹣2B．从而sin（2A﹣B）=sin（π﹣2B）=sin2B，代入即可求值．【解答】解：解法一：（I）由sinA=2sinB⇒a=2b．又∵a﹣b=2，∴a=4，b=2．cosB===．sinB===．=acsinB==．∴S△ABC（II）cosA===．sinA===．sin2A=2sinAcosA=2×．cos2A=cos2A﹣sin2A=﹣．∴sin（2A﹣B）=sin2AcosB﹣cos2AsinB==．解法二：（I）由sinA=2sinB⇒a=2b．又∵a﹣b=2，∴a=4，b=2．又c=4，可知△ABC为等腰三角形．作BD ⊥AC 于D ，则BD===．∴S △ABC ==． （II ）cosB===． sinB===．由（I ）知A=C ⇒2A ﹣B=π﹣2B ． ∴sin （2A ﹣B ）=sin （π﹣2B ）=sin2B =2sinBcosB =2××=．18．如图，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB=8，BC=5，AA 1=4，平面α截长方体得到一个矩形EFGH ，且A 1E=D 1F=2，AH=DG=5． （1）求截面EFGH 把该长方体分成的两部分体积之比； （2）求直线AF 与平面α所成角的正弦值．【考点】MI ：直线与平面所成的角；LF ：棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】（1）由题意，平面α把长方体分成两个高为5的直四棱柱，转化求解体积推出结果即可．（2）解法一：作AM ⊥EH ，垂足为M ，证明HG ⊥AM ，推出AM ⊥平面EFGH ．通过计算求出AM=4．AF ，设直线AF 与平面α所成角为θ，求解即可．解法二：以DA 、DC 、DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，求出平面α一个法向量，利用直线AF 与平面α所成角为θ，通过空间向量的数量积求解即可．【解答】（本题满分，第1小题满分，第2小题满分8分） 解：（1）由题意，平面α把长方体分成两个高为5的直四棱柱，，… ，…所以，．…（2）解法一：作AM ⊥EH ，垂足为M ，由题意，HG ⊥平面ABB 1A 1，故HG ⊥AM ，所以AM ⊥平面EFGH ． … 因为，，所以S △AEH =10，）因为EH=5，所以AM=4． … 又，…设直线AF 与平面α所成角为θ，则．… 所以，直线AF 与平面α所成角的正弦值为． …解法二：以DA 、DC 、DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则A （5，0，0），H （5，5，0），E （5，2，4），F （0，2，4），… 故，，…设平面α一个法向量为，则即所以可取． …设直线AF 与平面α所成角为θ，则． …所以，直线AF 与平面α所成角的正弦值为． …19．如图，已知椭圆C ：（a ＞b ＞0）过点，两个焦点为F 1（﹣1，0）和F 2（1，0）．圆O 的方程为x 2+y 2=a 2． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）过F 1且斜率为k （k ＞0）的动直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，与圆O 交于P 、Q 两点（点A 、P 在x 轴上方），当|AF 2|，|BF 2|，|AB|成等差数列时，求弦PQ 的长．【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合问题；K3：椭圆的标准方程；KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）求出c=1，设椭圆C的方程为，将点代入，解得a2=4，然后求解椭圆C的方程．（2）由椭圆定义，|AF1|+|AF2|=4，|BF1|+|BF2|=4，通过|AF2|，|BF2|，|AB|成等差数列，推出．设B（x，y），通过解得B，然后求解直线方程，推出弦PQ的长即可．【解答】（本题满分，第1小题满分，第2小题满分8分）解：（1）由题意，c=1，…设椭圆C的方程为，将点代入，解得a2=4（舍去），…所以，椭圆C的方程为．…（2）由椭圆定义，|AF1|+|AF2|=4，|BF1|+|BF2|=4，两式相加，得|AB|+|AF 2|+|BF 2|=8，因为|AF 2|，|BF 2|，|AB|成等差数列，所以|AB|+|AF 2|=2|BF 2|， 于是3|BF 2|=8，即． …设B （x 0，y 0），由解得，…（或设，则，解得，，所以）． 所以，，直线l 的方程为，即，… 圆O 的方程为x 2+y 2=4，圆心O 到直线l 的距离，…此时，弦PQ 的长． …20．如果函数y=f （x ）的定义域为R ，且存在实常数a ，使得对于定义域内任意x ，都有f （x+a ）=f （﹣x ）成立，则称此函数f （x ）具有“P（a ）性质”．（1）判断函数y=cosx 是否具有“P （a ）性质”，若具有“P （a ）性质”，求出所有a 的值的集合；若不具有“P（a ）性质”，请说明理由；（2）已知函数y=f （x ）具有“P（0）性质”，且当x ≤0时，f （x ）=（x+m ）2，求函数y=f （x ）在区间[0，1]上的值域； （3）已知函数y=g （x ）既具有“P （0）性质”，又具有“P （2）性质”，且当﹣1≤x ≤1时，g （x ）=|x|，若函数y=g （x ）的图象与直线y=px 有2019个公共点，求实数p 的值．【考点】57：函数与方程的综合运用．【分析】（1）根据题意可知cos（x+a）=cos（﹣x）=cosx，故而a=2kπ，k∈Z；（2）由新定义可推出f（x）为偶函数，从而求出f（x）在[0，1]上的解析式，讨论m与[0，1]的关系判断f（x）的单调性得出f（x）的最值；（3）根据新定义可知g（x）为周期为2的偶函数，作出g（x）的函数图象，根据函数图象得出p的值．【解答】解：（1）假设y=cosx具有“P（a）性质”，则cos（x+a）=cos（﹣x）=cosx恒成立，∵cos（x+2kπ）=cosx，∴函数y=cosx具有“P（a）性质”，且所有a的值的集合为{a|a=2kπ，k∈Z}．（2）因为函数y=f（x）具有“P（0）性质”，所以f（x）=f （﹣x）恒成立，∴y=f（x）是偶函数．设0≤x≤1，则﹣x≤0，∴f（x）=f（﹣x）=（﹣x+m）2=（x﹣m）2．①当m≤0时，函数y=f（x）在[0，1]上递增，值域为[m2，（1﹣m）2]．②当时，函数y=f（x）在[0，m]上递减，在[m，1]上递增，y=f（m）=0，，值域为[0，（1﹣m）2]．min③当时，y=f（m）=0，，值域为[0，m2]．min④m＞1时，函数y=f（x）在[0，1]上递减，值域为[（1﹣m）2，m2]．（3）∵y=g（x）既具有“P（0）性质”，即g（x）=g（﹣x），∴函数y=g（x）偶函数，又y=g（x）既具有“P（2）性质”，即g（x+2）=g（﹣x）=g （x），∴函数y=g（x）是以2为周期的函数．作出函数y=g（x）的图象如图所示：由图象可知，当p=0时，函数y=g（x）与直线y=px交于点（2k，0）（k∈Z），即有无数个交点，不合题意．当p＞0时，在区间[0，2016]上，函数y=g（x）有1008个周期，要使函数y=g（x）的图象与直线y=px有2019个交点，则直线在每个周期内都有2个交点，且第2019个交点恰好为，所以．同理，当p＜0时，．综上，．21．给定数列{a n }，若满足a 1=a （a ＞0且a ≠1），对于任意的n ，m ∈N *，都有a n+m =a n •a m ，则称数列{a n }为指数数列． （1）已知数列{a n }，{b n }的通项公式分别为，，试判断{a n }，{b n }是不是指数数列（需说明理由）；（2）若数列{a n }满足：a 1=2，a 2=4，a n+2=3a n+1﹣2a n ，证明：{a n }是指数数列；（3）若数列{a n }是指数数列，（t ∈N *），证明：数列{a n }中任意三项都不能构成等差数列． 【考点】8B ：数列的应用．【分析】（1）利用指数数列的定义，判断即可； （2）求出{a n }的通项公式为，即可证明：{a n }是指数数列；（3）利用反证法进行证明即可．【解答】（1）解：对于数列{a n }，因为a 3=a 1+2≠a 1•a 2，所以{a n }不是指数数列． …对于数列{b n }，对任意n ，m ∈N *，因为，所以{b n }是指数数列． …（2）证明：由题意，a n+2﹣a n+1=2（a n+1﹣a n ），所以数列{a n+1﹣a n }是首项为a 2﹣a 1=2，公比为2的等比数列． … 所以．所以，=，即{a n }的通项公式为（n ∈N *）． …所以，故{a n }是指数数列． …（3）证明：因为数列{a n }是指数数列，故对于任意的n ，m ∈N *，有a n+m =a n •a m ，令m=1，则，所以{a n }是首项为，公比为的等比数列，所以，． …假设数列{a n }中存在三项a u ，a v ，a w 构成等差数列，不妨设u ＜v ＜w ，则由2a v =a u +a w ，得，所以2（t+4）w ﹣v （t+3）v ﹣u =（t+4）w ﹣u +（t+3）w ﹣u ，… 当t 为偶数时，2（t+4）w ﹣v （t+3）v ﹣u 是偶数，而（t+4）w ﹣u 是偶数，（t+3）w ﹣u 是奇数，故2（t+4）w ﹣v （t+3）v ﹣u =（t+4）w ﹣u +（t+3）w ﹣u 不能成立； … 当t 为奇数时，2（t+4）w ﹣v （t+3）v ﹣u 是偶数，而（t+4）w ﹣u 是奇数，（t+3）w ﹣u 是偶数，故2（t+4）w ﹣v （t+3）v ﹣u =（t+4）w ﹣u +（t+3）w ﹣u 也不能成立．… 所以，对任意t ∈N *，2（t+4）w ﹣v （t+3）v ﹣u =（t+4）w ﹣u +（t+3）w ﹣u不能成立，即数列{a n }的任意三项都不成构成等差数列． …2019年上海市虹口高考数学二模试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．设f ﹣1（x ）为的反函数，则f ﹣1（1）= ．2．函数y=2sin 2（2x ）﹣1的最小正周期是 ． 3．设i 为虚数单位，复数，则|z|= ．4．= ．5．若圆锥的侧面积是底面积的2倍，则其母线与轴所成角的大小是 ．6．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若=，则= ．7．直线（t 为参数）与曲线（θ为参数）的公共点的个数是 ．8．已知双曲线C 1与双曲线C 2的焦点重合，C 1的方程为，若C 2的一条渐近线的倾斜角是C 1的一条渐近线的倾斜角的2倍，则C 2的方程为 ．9．若，则满足f （x ）＞0的x 的取值范围是 ．10．某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为和．现安排甲组研发新产品A ，乙组研发新产品B ，设甲、乙两组的研发相互独立，则至少有一种新产品研发成功的概率为 ．11．设等差数列{a n }的各项都是正数，前n 项和为S n ，公差为d ．若数列也是公差为d 的等差数列，则{a n }的通项公式为a n = ．12．设x ∈R ，用[x]表示不超过x 的最大整数（如[2.32]=2，[﹣ 4.76]=﹣5），对于给定的n ∈N *，定义C =，其中x ∈[1，+∞），则当时，函数f （x ）=C的值域是 ．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．命题“若x=1，则x 2﹣3x+2=0”的逆否命题是（ ） A ．若x ≠1，则x 2﹣3x+2≠0 B ．若x 2﹣3x+2=0，则x=1 C ．若x 2﹣3x+2=0，则x ≠1 D ．若x 2﹣3x+2≠0，则x ≠1 14．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 、E 是AB 的三等分点，G 、N 是CD 的三等分点，F 、H 分别是BC 、MN 的中点，则四棱锥A 1﹣EFGH 的左视图是（ ）A．B．C．D．15．已知△ABC是边长为4的等边三角形，D、P是△ABC内部两点，且满足，，则△ADP的面积为（）A．B．C．D．16．已知f（x）是偶函数，且f（x）在[0，+∞）上是增函数，若f（ax+1）≤f（x﹣2）在上恒成立，则实数a的取值范围是（）A．[﹣2，1] B．[﹣2，0] C．[﹣1，1] D．[﹣1，0]三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a ﹣b=2，c=4，sinA=2sinB．（Ⅰ）求△ABC 的面积； （Ⅱ）求sin （2A ﹣B ）．18．如图，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB=8，BC=5，AA 1=4，平面α截长方体得到一个矩形EFGH ，且A 1E=D 1F=2，AH=DG=5． （1）求截面EFGH 把该长方体分成的两部分体积之比； （2）求直线AF 与平面α所成角的正弦值．19．如图，已知椭圆C ：（a ＞b ＞0）过点，两个焦点为F 1（﹣1，0）和F 2（1，0）．圆O 的方程为x 2+y 2=a 2． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）过F 1且斜率为k （k ＞0）的动直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，与圆O 交于P 、Q 两点（点A 、P 在x 轴上方），当|AF 2|，|BF 2|，|AB|成等差数列时，求弦PQ 的长．20．如果函数y=f （x ）的定义域为R ，且存在实常数a ，使得对于定义域内任意x ，都有f （x+a ）=f （﹣x ）成立，则称此函数f （x ）具有“P（a ）性质”．（1）判断函数y=cosx 是否具有“P （a ）性质”，若具有“P （a ）性质”，求出所有a 的值的集合；若不具有“P（a ）性质”，请说明理由；（2）已知函数y=f （x ）具有“P（0）性质”，且当x ≤0时，f （x ）=（x+m ）2，求函数y=f （x ）在区间[0，1]上的值域； （3）已知函数y=g （x ）既具有“P （0）性质”，又具有“P （2）性质”，且当﹣1≤x ≤1时，g （x ）=|x|，若函数y=g （x ）的图象与直线y=px 有2019个公共点，求实数p 的值．21．给定数列{a n }，若满足a 1=a （a ＞0且a ≠1），对于任意的n ，m ∈N *，都有a n+m =a n •a m ，则称数列{a n }为指数数列． （1）已知数列{a n }，{b n }的通项公式分别为，，试判断{a n }，{b n }是不是指数数列（需说明理由）；（2）若数列{a n }满足：a 1=2，a 2=4，a n+2=3a n+1﹣2a n ，证明：{a n }是指数数列；（3）若数列{a n }是指数数列，（t ∈N *），证明：数列{a n }中任意三项都不能构成等差数列．2019年上海市虹口高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．设f﹣1（x）为的反函数，则f﹣1（1）= 1 ．【考点】4R：反函数．【分析】根据反函数的性质，原函数的值域是反函数的定义域即可求解【解答】解：的反函数，其反函数f﹣1（x），反函数的性质，反函数的定义域是原函数的值域，即．可得：x=1，∴f﹣1（x）=1．故答案为1．2．函数y=2sin2（2x）﹣1的最小正周期是．【考点】H1：三角函数的周期性及其求法．【分析】利用二倍角公式基本公式将函数化为y=Acos（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函数的最小正周期，【解答】解：函数y=2sin2（2x）﹣1，化简可得：y=1﹣cos4x﹣1=﹣cos4x；∴最小正周期T=．故答案为3．设i为虚数单位，复数，则|z|= 1 ．【考点】A8：复数求模．【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【解答】解：复数===﹣i，则|z|=1．故答案为：1．4． = 3 ．【考点】8J：数列的极限．【分析】通过分子分母同除3n+1，利用数列极限的运算法则求解即可．【解答】解： ===3．故答案为：3．5．若圆锥的侧面积是底面积的2倍，则其母线与轴所成角的大小是30°．【考点】MI：直线与平面所成的角．【分析】根据圆锥的底面积公式和侧面积公式，结合已知可得l=2R ，进而解母线与底面所成角，然后求解母线与轴所成角即可． 【解答】解：设圆锥的底面半径为R ，母线长为l ，则： 其底面积：S 底面积=πR 2， 其侧面积：S 侧面积=2πRl=πRl， ∵圆锥的侧面积是其底面积的2倍， ∴l=2R ，故该圆锥的母线与底面所成的角θ有， cosθ==， ∴θ=60°，母线与轴所成角的大小是：30°． 故答案为：30°．6．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若=，则=．【考点】85：等差数列的前n 项和． 【分析】=，可得3（a 1+4d ）=5（a 1+2d ），化为：a 1=d ．再利用等差数列的求和公式即可得出． 【解答】解：∵=，∴3（a 1+4d ）=5（a 1+2d ），化为：a 1=d ．则==．故答案为：．7．直线（t为参数）与曲线（θ为参数）的公共点的个数是 1 ．【考点】QK：圆的参数方程；QJ：直线的参数方程．【分析】根据题意，将直线的参数方程变形为普通方程，再将曲线的参数方程变形为普通方程，分析可得该曲线为圆，且圆心坐标为（3，5），半径r=，求出圆心到直线的俄距离，分析可得直线与圆相切，即可得直线与圆有1个公共点，即可得答案．【解答】解：根据题意，直线的参数方程为，则其普通方程为x+y﹣6=0，曲线的参数方程为，则其普通方程为（x﹣3）2+（y ﹣5）2=2，该曲线为圆，且圆心坐标为（3，5），半径r=，圆心到直线x+y﹣6=0的距离d===r，则圆（x﹣3）2+（y﹣5）2=2与直线x+y﹣6=0相切，有1个公共点；故答案为：1．8．已知双曲线C1与双曲线C2的焦点重合，C1的方程为，若C2的一条渐近线的倾斜角是C1的一条渐近线的倾斜角的2倍，则C2的方程为．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的焦点坐标，利用渐近线的倾斜角的关系，列出方程，然后求解即可．【解答】解：双曲线C1与双曲线C2的焦点重合，C1的方程为，焦点坐标（±2，0）．双曲线C1的一条渐近线为：y=，倾斜角为30°，C 2的一条渐近线的倾斜角是C1的一条渐近线的倾斜角的2倍，可得C2的渐近线y=．可得，c=2，解得a=1，b=，所求双曲线方程为：．故答案为：．9．若，则满足f（x）＞0的x的取值范围是（1，+∞）．【考点】7E：其他不等式的解法．【分析】由已知得到关于x的不等式，化为根式不等式，然后化为整式不等式解之．【解答】解：由f（x）＞0得到即，所以，解得x＞1；故x的取值范围为（1，+∞）；故答案为：（1，+∞）；10．某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为和．现安排甲组研发新产品A ，乙组研发新产品B ，设甲、乙两组的研发相互独立，则至少有一种新产品研发成功的概率为．【考点】C9：相互独立事件的概率乘法公式． 【分析】利用对立事件的概率公式，计算即可，【解答】解：设至少有一种新产品研发成功的事件为事件A 且事件B 为事件A 的对立事件，则事件B 为一种新产品都没有成功， 因为甲乙研发新产品成功的概率分别为和． 则P （B ）=（1﹣）（1﹣）=，再根据对立事件的概率之间的公式可得P （A ）=1﹣P （B ）=，故至少有一种新产品研发成功的概率．故答案为．11．设等差数列{a n }的各项都是正数，前n 项和为S n ，公差为d ．若数列也是公差为d 的等差数列，则{a n }的通项公式为a n =．【考点】84：等差数列的通项公式． 【分析】由题意可得：S n =na 1+d ．a n ＞0.=+（n ﹣1）d ，化简n ≠1时可得：a 1=（n ﹣1）d 2+2d ﹣d ．分别令n=2，3，解出即可得出．【解答】解：由题意可得：S n =na 1+d ．a n ＞0．=+（n ﹣1）d ，可得：S n =a 1+（n ﹣1）2d 2+2（n ﹣1）d ．∴na 1+d=a 1+（n ﹣1）2d 2+2（n ﹣1）d ． n ≠1时可得：a 1=（n ﹣1）d 2+2d ﹣d ． 分别令n=2，3，可得：a 1=d 2+2d ﹣d ，a 1=2d 2+2d ﹣d ．解得a 1=，d=． ∴a n =+（n ﹣1）=．故答案为：．12．设x ∈R ，用[x]表示不超过x 的最大整数（如[2.32]=2，[﹣ 4.76]=﹣5），对于给定的n ∈N *，定义C =，其中x ∈[1，+∞），则当时，函数f （x ）=C的值域是．【考点】57：函数与方程的综合运用．【分析】分类讨论，根据定义化简C x n ，求出C x 10的表达式，再利用函数的单调性求出C x 10的值域．【解答】解：当x ∈[，2）时，[x]=1，∴f （x ）=C =， 当x ∈[，2）时，f （x ）是减函数，∴f （x ）∈（5，）；当x ∈[2，3）时，[x]=2，∴f （x ）=C=，当x ∈[2，3）时，f （x ）是减函数，∴f （x ）∈（15，45]； ∴当时，函数f （x ）=C 的值域是，故答案为：．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．命题“若x=1，则x 2﹣3x+2=0”的逆否命题是（ ） A ．若x ≠1，则x 2﹣3x+2≠0 B ．若x 2﹣3x+2=0，则x=1 C ．若x 2﹣3x+2=0，则x ≠1 D ．若x 2﹣3x+2≠0，则x ≠1 【考点】25：四种命题间的逆否关系．【分析】根据逆否命题的定义，我们易求出命题的逆否命题 【解答】解：将命题的条件与结论交换，并且否定可得逆否命题：若x 2﹣3x+2≠0，则x ≠1 故选：D14．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 、E 是AB 的三等分点，G 、N 是CD 的三等分点，F 、H 分别是BC 、MN 的中点，则四棱锥A 1﹣EFGH 的左视图是（ ）。
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2019 年上海市静安区高考数学二模试卷
一、填空（本大共有12 ，分 54 分，第 1-6每 4 分，第 7-12 每 5 分）考生在答的相位置直接填写果．
2
．
1．（ 4 分）不等式 6x +17x+12 ＜ 0 的解集是
2．（ 4 分）已知复数（其中 i 是虚数位）， |z|＝．
3．（ 4 分）已知点 A（ 1， 2， 7），B（ 3，10， 9）， C 段 AB 的中点，向量的坐．
4．（ 4 分）若量 x， y 足束条件目函数 z＝ 2x+y的最大．
5．（ 4 分）若柱的截面正方形，且此正方形面4，柱的体．6．（ 4 分）已知， tanα＝．
7．（ 5 分）已知双曲 C 与的焦点相同，且双曲 C 的一条近方程，双曲 C 的方程．
8．（ 5 分）函数 y＝ sinx+cosx |sinx cosx|的域是．
9．（ 5 分）已知甲盒中有、黑、白三种色的球各 3 个，乙盒中有黄、黑、白三种色的球各 2 个（两盒中每个球除色外都相同）．从两个盒子中各取 1 个球，取出的 2 个球色不同的概率是（果用最分数表示）．
10．（5 分）若等比数列
n
*
）足 a1 3 2 4 1 2n
的最大{ a} （ n∈N+a ＝ 30，a+a ＝ 10， a ?a ?⋯?a
．
11．（5 分）△ ABC 的内角 A， B， C 的 a， b， c．已知 a， b，c 依次成等比数列，
且，延 BC 到 D，若 BD ＝ 4，△ ACD 面的最大．12．（5分）已知函数，若，数a
＝．
二、选择题（本大题共有 4 题，满分 20 分，每题 5 分）每题有且只有一个正确选项．考生应在
答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13．（ 5 分）为客观了解上海市民家庭存书量，上海市统计局社情民意调查中心通过电话调查系统开展专项调查，成功访问了2007 位市民．在这项调查中，总体、样本及样本的容量分别是（）
A ．总体是上海市民家庭总数量，样本是2007 位市民家庭的存书量，样本的容量是2007
B ．总体是上海市民家庭的存书量，样本是2007位市民家庭的存书量，样本的容量是2007
C．总体是上海市民家庭的存书量，样本是2007 位市民，样本的容量是2007
D ．总体是上海市民家庭总数量，样本是2007 位市民，样本的容量是2007．
14．（ 5分）若，均为单位向量，则“”是“”的（）
A ．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件
15．（ 5
2
的最小正周期（）分）函数 f（ x）＝ sin x+bcosx+c
A ．与 b 有关，且与 c 有关B．与 b 有关，但与 c 无关
C．与 b 无关，且与 c 无关D．与 b 无关，但与 c 有关
16．（ 5分）设 f（ x）是定义在 R 上恒不为零的函数，对任意实数x、 y，都有 f（ x+y）＝ f
（ x） f（ y），若，a n
＝f（ n）（ n∈N *
），数列 { a n
} 的前 n
n n
项和 S 组成数列{ S } ，则有
（）
A ．数列 { S n} 递增，最大值为1
B ．数列 { S n} 递减，最小值为C．数列 { S n} 递增，最小值为
D ．数列 { S n} 递减，最大值为1
三、解答题（本大题共有 5 题，满分76 分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必
要的步骤 .
17．（ 14 分）如图所示，在直角梯形A BCD 中，已知BC∥ AD ， AB⊥AD ，BC＝ BA＝AD ＝m， VA⊥平面 ABCD ．
（1）求证： CD ⊥平面 VAC；
（2）若 VA＝ m，求 CV 与平面 VAD 所成角的大小．
18．（ 14 分）已知函数（ a 为实常数）．
（ 1）若的定义域是，求 a 的值；
（ 2）若是奇函数，解关于x 的不等式．
19．（ 14 分）某文化创意公司开发出一种玩具 （单位：套）进行生产和销售．根据以往经验，
每月生产 x 套玩具的成本 p 由两部分费用（单位：元）构成：
a ．固定成本（与生产玩具套数 x 无关），总计一百万元；
b ．生产所需的直接总成本
．
（ 1）问：该公司每月生产玩具多少套时，可使得平均每套所需成本费用最少？此时每套玩具的成本费用是多少？
（ 2）假设每月生产出的玩具能全部售出，但随着x 的增大，生产所需的直接总成本在急
剧增加，因此售价也需随着
x 的增大而适当增加． 设每套玩具的售价为 q 元，
（ a ，
b ∈R ）．若当产量为 15000 套时利润最大，此时每套售价为
300 元，试求 a 、b 的值．（利
润＝销售收入﹣成本费用）
20．（ 16 分）已知抛物线 C ： x 2
＝ 2py （ p ＞ 0）上一点 T （t ， 4）到其焦点 F 的距离为 5．
（ 1）求抛物线 C 的方程；
（ 2）设直线 l 与抛物线 C 交于 A 、 B 两点， O 为坐标原点，若
，求证：直线
l 必过一定点，并求出该定点的坐标；
（ 3）过点（ 2，0）的直线 m 与抛物线 C 交于不同的两点
M 、N ，若 ，求直
线 m 的斜率的取值范围．
21．（ 18 分）设数列 { a n} 的前 n 项和为 S n，对任意正整数n，皆满足 S n+a n＝ 2a（实常数 a＞
0）．在等差数 { b n
} （n∈N * ））中， b
1
＝ a
1
， b
2
＝ 2S
2
．
（1）求数列 { b n} 的通项公式；
（2）试判断数列 { a n+1} 能否成等比数列，并说明理由；
（ 3）若，c n＝a n?b n，求数列{c n}的前n项和T n，并计算：（已知）．。