第三章贝叶斯估计理论 LMMSE
贝叶斯信息准则 rmse
贝叶斯信息准则 rmse
贝叶斯信息准则（Bayesian Information Criterion, BIC）是一种用于模型选择的统计量，常用于评估模型的拟合程度和复杂度。
BIC通过平衡模型的拟合优度和参数的数量，提供了一种可靠的方式来选择最佳的模型。
在使用BIC进行模型选择时，我们通常会比较不同模型的BIC值。
BIC的计算公式为BIC = n * ln(RMSE) + k * ln(n)，其中n是样本量，RMSE是模型的均方根误差，k是模型的参数个数。
BIC值越小，说明模型的拟合优度越好。
使用BIC可以避免过拟合问题。
过拟合是指模型过于复杂，过度拟合了训练数据，但在新数据上的预测效果却很差。
BIC考虑了模型的复杂度，并对参数个数给予了惩罚，因此可以有效地避免过拟合的发生。
BIC在实际应用中具有广泛的用途。
例如，在回归分析中，我们可以使用BIC来选择最佳的回归模型。
在聚类分析中，BIC可以帮助我们确定最佳的聚类数目。
在时间序列分析中，BIC可以用来选择最合适的模型来预测未来的值。
贝叶斯信息准则是一种重要的模型选择工具，可以帮助我们评估模型的拟合程度和复杂度。
通过使用BIC，我们可以选择最佳的模型，并避免过拟合问题的发生。
无论是在科学研究还是实际应用中，BIC
都发挥着重要的作用。
最大似然估计与贝叶斯估计
最大似然估计与贝叶斯估计最大似然估计和贝叶斯估计是统计学中常用的两种参数估计方法。
它们都是通过对已知数据进行推断，来估计未知参数的取值。
尽管它们都用于估计参数，但是它们的思想和方法有一些不同之处。
最大似然估计（Maximum Likelihood Estimation，简称MLE）是基于频率学派的一种估计方法。
在最大似然估计中，我们假设已知数据的抽样分布，然后寻找使得观测样本出现的概率最大的参数值。
在近似推断中，最大似然估计往往是一个很好的选择。
举个例子来说明最大似然估计的过程。
假设我们有一组观测数据，这些数据服从正态分布。
我们需要估计该正态分布的均值和方差。
首先，我们假设观测数据是独立同分布的，并根据这个假设构建似然函数。
然后，我们通过最大化似然函数来确定最合适的参数值，即使得观测数据出现的概率最大化。
最后，根据最大化似然函数的结果，我们得到了对未知参数的估计值。
贝叶斯估计（Bayesian Estimation）是基于贝叶斯学派的一种估计方法。
与最大似然估计不同，贝叶斯估计引入了先验概率分布来描述参数的不确定性，并通过观测数据来更新参数的概率分布。
因此，贝叶斯估计可以更好地处理不完全信息和不确定性。
在贝叶斯估计中，我们首先根据已知的先验知识来构建参数的先验分布。
然后，当我们观测到新数据时，我们使用贝叶斯公式来更新参数的概率分布，得到后验分布。
最后，通过对后验分布进行统计量计算，我们可以得到关于参数的估计值和其不确定性。
与最大似然估计相比，贝叶斯估计考虑到了参数的不确定性，并且能够提供更丰富的信息。
然而，贝叶斯估计的计算复杂度较高，并且需要确定先验分布的形式和参数。
此外，贝叶斯估计还涉及到主观先验的选择，这使得结果有可能受到主观因素的影响。
总体来说，最大似然估计和贝叶斯估计是统计学中两种常见的参数估计方法。
最大似然估计是频率学派的主要方法，通过极大化似然函数来确定参数的取值。
贝叶斯估计则是贝叶斯学派的主要方法，通过引入先验概率分布和贝叶斯公式来更新参数的概率分布。
最大似然估计与贝叶斯估计
最大似然估计与贝叶斯估计估计是统计学中常用的一种方法，用于推断未知参数的值，帮助我们更好地了解数据背后的规律。
最大似然估计（Maximum Likelihood Estimation，简称MLE）和贝叶斯估计（Bayesian Estimation）是两种常见的参数估计方法，它们在理论基础和应用领域上有所差异。
一、最大似然估计（MLE）最大似然估计是一种基于频率学派的统计推断方法。
它的核心思想是根据观测到的数据来寻找最有可能产生这些数据的概率分布，并通过最大化该概率来估计参数的值。
最大似然估计的步骤如下：1. 建立概率模型：首先需要选择一个概率模型来描述数据的分布情况，常见的包括正态分布、泊松分布等。
2. 构建似然函数：根据数据的观测值，构建关于参数的似然函数。
似然函数是参数的函数，表示观测数据在不同参数取值下的概率。
3. 极大化似然函数：通过对似然函数进行求导，并令导数等于零，求解出使似然函数达到最大值的参数值，即为最大似然估计值。
最大似然估计在统计推断中具有广泛的应用，例如在回归分析中用于估计回归系数、在假设检验中用于计算检验统计量等。
二、贝叶斯估计（Bayesian Estimation）贝叶斯估计是基于贝叶斯定理的统计推断方法。
与最大似然估计不同的是，贝叶斯估计将参数看作是随机变量，而不是一个确定的值。
贝叶斯估计的步骤如下：1. 建立先验分布：在得到观测数据之前，我们对参数的分布已经有了一些先验的了解。
先验分布是对参数的主观预期分布，通常选择参数具有某种特定的概率分布，如正态分布、均匀分布等。
2. 构建后验分布：根据观测数据和先验分布，利用贝叶斯定理计算参数的后验分布。
后验分布是参数在给定数据下的条件概率分布。
3. 计算贝叶斯估计值：通过对后验分布进行分析，可以得到参数的贝叶斯估计值，例如取后验分布的最大值或者计算期望值等。
贝叶斯估计将先验信息与观测数据相结合，能够提供对参数的更全面、准确的估计。
贝叶斯估计法
贝叶斯估计法贝叶斯估计法是统计学中常用的一种方法，它是基于贝叶斯定理的推论而来的，可以用于估计一个未知参数的值。
其核心思想是先假设一个先验分布，然后根据已知的样本数据和假设的先验分布，通过贝叶斯定理计算后验分布，最终得到对未知参数的估计。
在使用贝叶斯估计法时，我们需要首先定义以下概念：先验分布：指在未观测到数据前，对参数的概率分布的估计。
常见的先验分布有均匀分布、正态分布等。
似然函数：指在已知参数下，给定样本的条件下所有样本出现的概率密度函数，是样本数据给出参数信息的度量。
后验分布：指在已知数据后，对参数的概率分布的估计。
它是在先验分布和似然函数的基础上，通过贝叶斯公式计算得到的。
在实际数据分析中，我们需要对先验分布做出适当的假设，通过先验分布的假设来反映我们对参数的先验认知。
然后根据已知数据和似然函数，计算出参数的后验分布，并用其来估计未知参数。
贝叶斯估计法与点估计法的区别贝叶斯估计法与点估计法是统计学中常用的两种估计方法，它们之间的区别在于：点估计法：通常是求得一个能代表总体参数未知数的值作为估计，例如样本的平均数、中位数等。
点估计法估计参数时，只考虑来自样本的信息。
贝叶斯估计法：将样本和先验信息结合在一起，通过后验分布对未知参数进行估计。
在贝叶斯估计法中，我们对参数的先验知识和数据信息进行综合考虑，最终得到一个更加准确的估计值。
因此，相比于点估计法，贝叶斯估计法更加具有弹性，它不仅可以考虑已知数据的影响，还可以利用专家知识或先验信息来修正估计值，从而提高估计的准确性。
为了说明贝叶斯估计法的实际应用，我们以估计某测试设备的故障率为例进行说明。
假设我们已经收集了100个设备的测试数据，其中有5个出现故障。
我们希望用贝叶斯估计法来估计设备的故障率。
首先，我们需要对故障率做出一个先验分布的估计。
由于我们缺乏关于该设备故障率的信息，因此我们选择假设故障率服从0到1之间的均匀分布，即先验分布为P(θ)=1。
《贝叶斯估计》PPT课件
前面的分析总结如下：人们根据先验信息对参数θ
已有一个认识，这个认识就是先验分布π (θ )。通
过试验，获得样本。从而对θ 的先验分布进行调整，
调整的方法就是使用上面的贝叶斯公式，调整的结
果就是后验分布 ( x1,。, xn后) 验分布是三种信息 的综合。获得后验分布使人们对θ 的认识又前进一
1)
,
x
0,1, n
( x)
(n 2)
x (1 )nx ,0 1
(x 1)(n x 1)
即
X ~ Be(x 1, n x 1)
9
贝叶斯统计学首先要想方设法先去寻求θ的先验分布。 先验分布的确定大致可分以下几步： 第一步，选一个适应面较广的分布族作先验分布族， 使它在数学处理上方便一些，这里我们选用β分布族
步，可看出，获得样本的的效果是把我们对θ的认识
由π(θ)调整到 应建立在后验分布
( 。x1,所,以xn)对θ的统计推断就 ( 的x1,基础, xn上) 。
7
例1 设事件A(产品为废品)的概率为 ，即P(A) 。 为了估计 而作n次独立观察，其中事件A出现次数
为X，则有X服从二项分布 b(n, )
第三章 贝叶斯估计
§3.1贝叶斯推断方法 一 、统计推断中可用的三种信息
美籍波兰统计学家耐(E.L.Lehmann1894~1981) 高度概括了在统计推断中可用的三种信息：
1．总体信息，即总体分布或所属分布族给我们 的信息。譬如“总体是指数分布”或“总体是正 态分布”在统计推断中都发挥重要作用，只要有 总体信息，就要想方设法在统计推断中使用。
假设Ⅱ 当给定θ后，从总体p(x|θ)中随机抽取一个样 本X1，…，Xn，该样本中含有θ的有关信息。这种信 息就是样本信息。
贝叶斯估计 PPT
解 其似然函数为
n
n
n
q(x| )
xi(1)1xi i 1xii(1)n i 1xi
i 1
n x( 1 ) n n x g n ( t|) g 1 ,
其 中 g n ( t |) t( 1 ) n t , 选 取 f () 1 ， 则
注 1、贝叶斯估计是使贝叶斯风险达到最小的决策 函数.
2、不同的先验分布，对应不同的贝叶斯估计
2、贝叶斯点估计的计算 平方损失下的贝叶斯估计
定理3.2 设 的先验分布为 ( )和损失函数为
L(,d)(d)2
则 的贝叶斯估计
为
d * (x ) E (|X x ) h (|x )d
其 中 h (|x ) 为 参 数 的 后 验 分 布 .
π (1 ) 0 .4 π (2 ) 0 .6
这两个概率是经理的主观判断（也就是先验概率）， 为了得到更准确的信息，经理决定进行小规模的试验， 实验结果如下：
A：试制5个产品，全是正品，
由此可以得到条件分布：
p ( A |1 ) ( 0 . 9 ) 5 0 . 5 9 0 p ( A |2 ) （ 0 . 7 ） 5 0 . 1 6 8
t (1)n t
D f{1t (1)n td :n1 ,2,L,t0,1 ,2,L} 0
显然此共轭分布族为 分布的子族，因而，两点
分布的共轭先验分布族为 分布. 常见共轭先验分布
总体分布
参数
共轭先验分布
二项分布
成功概率p
分布 ( , )
泊松分布
均值
分布 ( )
指数分布
均值的倒数
分布 ( )
正态分布 （方差已知）
课件-贝叶斯估计量
贝叶斯估计量
Oct-10
后者综合了经理的主观概率和实验结果而 获得，要比主观概率更具有吸引力， 获得，要比主观概率更具有吸引力，更贴近 当前实际 当然经过实验A后经理对投资改进质量 当然经过实验 后经理对投资改进质量 的兴趣更大了， 的兴趣更大了，但如果为了进一步保险起 见可以把这次得到的后验分布列再一次作 为先验分布在做实验验证， 为先验分布在做实验验证，结果将更贴近 实际
要么正面朝上要么反面朝上概率各占12这个概率分布是根据我们以前的知识和经验得出来的一般被称做先验分布山东财政学院贝叶斯估计量oct12先验分布先验分布但还是有不同的主要区别在与概率分布得到的途径上根据先验信息所给出的随机变量的分布这里的先验信息是指在抽样之前有关统计问题的一些信息先验分布与经典统计学里面的其他分布并没有什么区别同样有先验离散分布和先验连续分布山东财政学院贝叶斯估计量oct12经典统计学里要得到概率分布必须大量重复实验由大数定律中心极限定理这些基本定理来保证在大量重复实验中频率与概率具有一致从而的到随机变量的概率分布经典统计学的概率分布包含所有样本点即所有可能的实验结果都要被考虑进去贝叶斯统计学的先验概率分布考虑的只是已出现的样本来自于过去的经验山东财政学院贝叶斯估计量oct12可以由经验得来不必做大量的重复实验
f (x p ) = p x (1 p ) (1 x ) x = 0,1 0 < p < 1
山东财政学院
贝叶斯估计量
Oct-10
X 于是， 于是，= ( X , X
1
2
, , X n )
n
的联合条件概率函数为
(1 x i )
n x = p i=1 (1 p ) ∑ i i =1
q (x p ) = Π p xi (1 p )
第三章贝叶斯估计理论 LMMSE综述
可采用 “谱因式分解”求得 维纳滤波为IIR时不变的
定长FIR维纳滤波
数据：
FIR平滑器
为便于解释，考虑N=1的情况：
IIR平滑器
基于数据 估计
维纳-霍夫方程为：
1步预测的结果：对于AR（3）
贝叶斯估计理论——内容安排
主要内容 引言
线性贝叶斯估计量（LMMSE）
估计量总结
估计方法
在经典方法 中，数据信息总结在概率密度函数p(x;θ)中， 其中PDF是θ的函数。 在贝叶斯方法 中，由于先验PDFp(θ)描述了有关θ的知识 而增加了数据的信息。数据信息总结在联合PDF p(x,θ)中。
应用正交原理
假定
可逆
矢量LMMSE估计
待估参数 线性估计量 目标：对每个元素，使 最小 的标量
可将矩阵A的第i行和矢量a第i个元素，看成 LMMSE估计量的形式 已知每个待估参数的标量LMMSE形式 • 得出相应的解 • 组合为矢量形式
矢量LMMSE的解
矢量LMMSE估计
若 相似地，可得 矩阵
定理4.2
若 则
一般线性模型的MVUE 定理11.1
贝叶斯线性模型下MMSE估计
序贯LMMSE估计
与序贯LS方法相同 固定参数个数（在此为随机的），增加数据样本数目
数据模型
目标： 给定基于 的估计 到达时，更新估计到
，当新的数据样本
求序贯LMMSE
在此，我们利用矢量空间得到“白噪声中的直流电平”的解，再推广 到一般情况
CRLB
CRLB
BLUE
BLUE
MLE
MLE
LSE
LSE
ME
ME
MMSE
贝叶斯估计的计算过程
贝叶斯估计的计算过程
贝叶斯估计是一种统计分析方法，用于估计随机变量的分布，其中随机变量是未知的或未观测的。
它是以概率论中的贝叶斯定理为基础的，可以用来推断在没有任何先验知识的情况下某个随机变量的分布。
从理论上讲，贝叶斯估计是基于贝叶斯定理，与最大似然估计（MLE）等其他形式估计相比，具有更大的灵活性，能够在没有任何先验知识的情况下推断随机变量的分布。
贝叶斯估计的计算过程通常有以下几个步骤：
1. 首先，需要根据观察到的样本数据来估计未知参数（随机变量的分布）的取值分布。
2. 然后，需要定义一个模型来描述未知的参数，其中通常会采用概率密度函数（PDF）或贝叶斯函数来描述不同的参数。
3. 接着，需要使用维特比算法来求解最可能的模型参数的取值。
4. 最后，需要进行调整，以获得更精确的参数估计，这通常需要使用MCMC方法。
贝叶斯估计通过上述计算过程，可以推断出未知随机变量的分布，从而为数据分析提供基础支持，在实际生活中有着广泛的应用，例如比较不同模型在训练图像上的性能，这种类型的任务通常需要贝叶斯估计来完成。
另外，在自然语言处理（NLP）领域中，贝叶斯估计的有力分析也可以用来推断单词的准确性。
因此，贝叶斯估计在实际使用中非常重要，对于精确估计和分析未知参数及其取值范围非常重要。
贝叶斯先验概率贝叶斯估计
贝叶斯先验概率贝叶斯估计你有没有想过，我们每天做的决定背后，其实有很多不确定性？我们做的选择是根据过去的经验，也我们选择的结果并不完全能预测。
举个例子，假设你早上出门前看了天气预报，说今天有50%的可能下雨。
那么问题来了，你是带伞呢，还是不带呢？如果你经历了好几次天气预报错得离谱，是不是就会开始怀疑这些概率的准确性了？这时候，你可能会觉得，自己的经验比这些预测更靠谱。
嘿，这其实就跟贝叶斯估计有点关系！贝叶斯估计的核心思想就是：把我们的“信念”或者说“先入为主”的看法，结合新的信息，做出更合理的判断。
拿天气预报来说，假如你这几年过得比较顺风顺水，基本上从来没遇到过下雨的预报被错过过，天公作美，你心里可能会觉得今天下雨的可能性更小些。
这时候，你的“先验知识”就开始发挥作用了。
你并不是完全相信50%的下雨几率，而是结合自己以往的经验，觉得这50%的概率其实没那么准确，可能实际下雨的几率还得往低的方向调整。
对，先验概率，这名字听起来有点高深，但其实说白了，就是你在面对不确定的事物时，最初的判断和看法。
举个例子，假设你今天第一次见到一个人，想知道他是不是喜欢看足球。
你完全不了解他，只知道他长得高大，看起来像个运动员。
你的“先验”就是——他可能喜欢足球。
这个先验的看法，源自你对运动员的刻板印象。
可是，如果你后来得知，这个人其实从不碰球，反而热衷于下围棋，那你的想法肯定得做调整。
你会慢慢抛开原本的看法，开始根据实际信息重新评估他的兴趣。
贝叶斯估计的巧妙之处就在于，它鼓励你做这种“更新”。
每当有新的信息进来时，你就该重新调整自己原本的“信念”。
在上面的例子中，一开始你完全凭直觉判断这个人爱足球，结果一查，他竟然喜欢围棋，那你就得调整看法了，把新的信息加进来，改成一个更加准确的估计。
更有意思的是，贝叶斯估计的魅力不仅在于它能够帮助我们调整决策，还在于它不要求我们一开始就知道真相。
嘿，谁能一开始就知道自己做的决定百分之百正确呢？生活就是这样，充满了不确定。
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若 A ~ u[ A0 , A0 ] 因此，采用LMMSE
，
需要积分而无法得到闭合形式的解
1×N
几何解释
内积空间(IP Spaces)
矢量：全部随机变量集合/0均值、有限方差（ZMFV） 标量：全部实数集合 内积：<X,Y> = E{XY} 构成内积空间 首先：是矢量空间
用于估计标量随机变量 由N个随机变量的线性组合进行估计
《信号检测与估计》
Signal Detection and Estimation
贝叶斯估计理论 ——LMMSE和小结
罗义军
QQ:896442923
贝叶斯估计理论——内容安排
主要内容 引言
线性贝叶斯估计量（LMMSE）
估计量总结
一般贝叶斯估计量
选择估计量使得平均代价（贝叶斯风险）最小
对给定代价函数，可得最优估计量的形式
三种代价函数
最小均方误差 （MMSE）估计
条件中位数估计
最大后验概率 （MAP）估计
图11.2 不同代价函数的估计量
LMMSE的引入
MMSE含有多重积分，MAP含有多维最大值求解问题。 联合高斯假设条件下容易得到，一般情况下难以求得 不能做出高斯假定时，选择保留MMSE准则 限定估计量线性
LMMSE估计
类似于 BLUE
估计量的显式可由前两阶矩来确定
卡尔曼滤波器是维纳滤波器的重要推广
贝叶斯估计理论——内容安排
主要内容 引言 线性贝叶斯估计量（LMMSE）
估计量总结
线性MMSE估计
假定标量参数 给定数据矢量 假定：联合PDF未知；已知前两阶矩； X与θ统计相关 目标：求满足如下形式的最佳估计量
选择加权系数 LMMSE估计量
LMMSE估计量的两个性质
1. 在线性变换上是可以转换的 若 且 为LMMSE估计量， 则 为 的LMMSE估计量
2. 未知参数之和的LMMSE估计量是每个估计量之和 若 则
贝叶斯高斯-马尔可夫定理
令数据为
应用前面的结果，可得
与贝叶斯线性估计（已包含高斯假定）形式相同 除非最佳估计线性，通常为次佳估计 LMMSE只需得到均值和协方差矩阵
应用正交原理
假定
可逆
矢量LMMSE估计
待估参数 线性估计量 目标：对每个元素，使 最小 的标量
可将矩阵A的第i行和矢量a第i个元素，看成 LMMSE估计量的形式 已知每个待估参数的标量LMMSE形式 • 得出相应的解 • 组合为矢量形式
矢量LMMSE的解
矢量LMMSE估计
若 相似地，可得 矩阵
可采用 “谱因式分解”求得 维纳滤波为IIR时不变的
定长FIR维纳滤波
数据：
FIR平滑器
为便于解释，考虑N=1的情况：
IIR平滑器
基于数据 估计
维纳-霍夫方程为：
1步预测的结果：对于AR（3）
贝叶斯估计理论——内容安排
主要内容 引言
线性贝叶斯估计量（LMMSE）
估计量总结
估计方法
在经典方法 中，数据信息总结在概率密度函数p(x;θ)中， 其中PDF是θ的函数。 在贝叶斯方法 中，由于先验PDFp(θ)描述了有关θ的知识 而增加了数据的信息。数据信息总结在联合PDF p(x,θ)中。
CRLB
CRLB
BLUE
BLUE
MLE
MLE
LSE
LSE
ME
ME
MMSE
MMSE
MAP
MAP
LMMSE
LMMSE
估计量的选择
作业：p330 12.2，12.6
假定
和
均为0均值，给定
，其LMMSE估计
再由
寻求该估计的序贯更估计新数据 预测
利用正交原理
由
提供的新的非冗余信息，称为“新息”
A在误差矢量上的投影正是所求的修正项
回顾特性：
新息序列
新息序列是： 1. 推导和应用序贯LMMSE的关键 2. 正交的（即不相关的）矢量序列 3. 在信号处理和控制中非常重要
定理4.2
若 则
一般线性模型的MVUE 定理11.1
贝叶斯线性模型下MMSE估计
序贯LMMSE估计
与序贯LS方法相同 固定参数个数（在此为随机的），增加数据样本数目
数据模型
目标： 给定基于 的估计 到达时，更新估计到
，当新的数据样本
求序贯LMMSE
在此，我们利用矢量空间得到“白噪声中的直流电平”的解，再推广 到一般情况
使贝叶斯MSE最小，导出的估计量称为
最佳加权系数的推导
代入得
对
求偏导数，
代入可得
这里
标量！
展开 可得
对加权系数
求偏导
可得 注意：LMMSE估计仅需1阶和2阶矩，不需PDF
代入并化简
可得 若 和 统计独立，则
完全基于先验 信息，数据无用
例12.1 WGN中具有均匀先验PDF的DC电平
回顾例10.1
一般序贯LMMSE估计
初始化：无数据，利用先验信息
估计量更新：
序贯LMMSE框图
框图与序贯LS相同
信号处理的例子——维纳滤波器
信号模型：
问题表述：用线性滤波器处理 相关的 最小
，得到去噪的信号，使得所求信号
滤波、平滑、预测
FIR维纳滤波
原理上： 实际中：
IIR维纳滤波
可看作 则 维纳-霍夫等式为 ，此时维纳滤波为时不变的