山西省临汾第一中学2021届高三全真模拟数学(文)试题

山西省临汾第一中学【最新】高三全真模拟数学（文）试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知复数()1m i z m R i -=∈与22z i =的虚部相等，则复数1z 的对应的点在 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2．已知曲线3y x =在点()1,1处的切线与10ax y ++=直线垂直，则a 的值是 A ．-1 B ．1 C ．13 D ．13- 3．现有三张卡片，正面分别标有数字1，2，3，背面完全相同，将卡片洗匀，背面向上放置，甲、乙二人轮流抽取卡片，每人每次抽一张，抽取后不放回，甲先抽．若二人约定，先抽到标有偶数的卡片者获胜，则甲获胜的概率是( )A ．13B ．12C ．23D ．56 4．过点()1,1P 且倾斜角为45的直线被圆()()22212x y -+-=截得的弦长是ABCD5．已知函数()2,1{43,1x x f x x x x≤=+->，则()f x 的值域是( ) A ．[)1,+∞ B ．[)0,+∞ C ．()1,+∞ D ．[)()0,11,+∞6．定义a b ad bc c d =-，如121423234=⨯-⨯=-，且当x ∈R 时312x e k ≥恒成立，则实数的取值范围是A ．(],3-∞-B ．(),3∞--C ．()3,-+∞D ．[)3,-+∞ 7．已知某几何体是由两个四棱锥组合而成，若该几何体的正视图、俯视图和侧视图均为如图所示的图形，其中四边形ABCD的正方形，则该几何体的表面积为8．若实数,x y 满足约束条件240{10220x y x y x y --≤+-≥--≥，则11y z x +=+的取值范围是 A ．[)0,2 B ．[]0,2 C ．11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D ．[)0,+∞ 9．现有若干（大于20）件某种自然生长的中药材，从中随机抽取20件，其重量都精确到克，规定每件中药材重量不小于15克为优质品，如图所示的程序框图表示统计20个样本中的优质品数，其中m 表示每件药材的重量，则图中①，②两处依次应该填写的整数分别是A ．14,19B ．14,20C ．15,19D ．15,20 10．若向量2,1,3a b c ===，且0a b ⋅=，则a c b c ⋅+⋅的最大值是 A ．1 BC D ．311．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且2sin cos 2sin sin ,3C B A B c ab =+=，则ab 的最小值是（ ）．A ．19B ．13 C．29+ D．29- 12．已知A,B 是半径为AB 作相互垂直的两个平面,αβ，若,αβ截该球所得的两个截面的面积之和为16π，则线段AB 的长度是A ．4B ．C ．2 D二、填空题 13．已知集合{}{}2|60,|0A x x x B x x =--<=≤，则()R A C B ⋂=______________. 14．已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点()1,2P -，则sin 2α= ____________．15．已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F,E 是C 的准线上位于x 轴上方的一点，直线EF 与C 在第一象限交于点M,在第四象限交于点N,且22EM MF ==，则点N 到y 轴的距离为________________.16．已知函数()()()25f x x x x a =+++的图象关于点()2,0-对称，设关于x 的不等式()()f x b f x +'<'的解集为M,若()1,2M ⊂，则实数b 的取值范围为________________.三、解答题17．数列{}n a 满足*153618,n n a a n n N ++=+∈，且14a =.（1）写出{}n a 的前3项，并猜想其通项公式；（2）若各项均为正数的等比数列{}n b 满足1133,b a b a ==，求数列{}·n n b 的前n 项和n T .18．某印刷厂为了研究印刷单册书籍的成本y （单位：元）与印刷册数x （单位：千册）之间的关系，在印制某种书籍时进行了统计，相关数据见下表：根据以上数据，技术人员分别借助甲、乙两种不同的回归模型，得到了两个回归方程，甲：(1)(2)24 6.41.1ˆˆ, 1.6.y y x x=+=+ 为了评价两种模型的拟合效果，完成以下任务：（1）（ⅰ）完成下表（计算结果精确到0.1）：（ⅱ）分别计算模型甲与模型乙的残差平方和1Q 及2Q ，并通过比较1Q ,2Q 的大小，判断哪个模型拟合效果更好.（2）该书上市后，受到广大读者的热烈欢迎，不久便全部售罄，于是印刷厂决定进行二次印刷，根据市场调查，新需求量为8千册（概率为0.8）或10千册（概率为0.2），若印刷厂以没测5元的价格将书籍出售给订货商，问印刷厂二次印刷8千册还是10千册恒获得更多的利润？（按（1）中拟合效果较好的模型计算印刷单册书的成本） 19．如图（1）五边形ABCDE 中，,//,2,ED EA AB CD CD AB ==150EDC ∠=,将EAD ∆沿AD 折到PAD ∆的位置，得到四棱锥P ABCD -，如图（2），点M 为线段PC 的中点，且BM ⊥平面PCD .（1）求证：平面PAD ⊥平面ABCD ；（2）若四棱柱P ABCD -的体积为BCDM 的体积.20．已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的离心率为2，且过点⎛ ⎝⎭． （1）求E 的方程；（2）是否存在直线:l y kx m =+与E 相交于,P Q 两点，且满足：①OP 与OQ （O 为坐标原点）的斜率之和为2；②直线l 与圆221x y +=相切，若存在，求出l 的方程；若不存在，请说明理由．21．已知函数()x f x xe =．（Ⅰ）讨论函数()()xg x af x e =+的单调性； （Ⅱ）若直线2y x =+与曲线()y f x =的交点的横坐标为t ，且[],1t m m ∈+，求整数m 所有可能的值．22．在平面直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数，α为倾斜角），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为2cos .sin θρθ=（1）求曲线C 的直角坐标方程，并 求C 的焦点F 的直角坐标；（2）已知点1,0P ，若直线l 与C 相交于A,B 两点，且112PA PB +=，求FAB ∆的面积.23．已知函数()2 2.f x x x =-++（1）求不等式()6f x ≤的解集A ；（2）若,m n A ∈，求证：115322m n -≤.参考答案1．B【解析】1-i1i imz m==--，22iz=．所以112iz=-+，则复数1z对应的点在第二象限.选B. 2．C【解析】由y=x3知y'=3x2，故切线斜率k=y'|x=1=3.又切线与直线ax+y+1=0垂直，故－3a=－1，得a=13.选C.点睛：利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解.3．C【解析】不妨令甲、乙二人将卡片抽取完毕，则抽取过程共有6种可能：①123②132③213④231⑤312⑥321，其中②③④⑤四种可能对应甲获胜，故所求概率为2 3 .选C.点睛：古典概型中基本事件数的探求方法(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.4．C【解析】直线方程为y=x，由弦长公式可得d==,选C.点睛：涉及圆中弦长问题，一般利用垂径定理进行解决，具体就是利用半径的平方等于圆心到直线距离平方与弦长一半平方的和；直线与圆位置关系，一般利用圆心到直线距离与半径大小关系进行判断5．B【分析】求出x≤1时二次函数的值域，再由基本不等式求出x ＞1时函数的值域，取并集得答案．【详解】由()2,1{43,1x x f x x x x≤=+->，知 当x≤1时，x 2≥0；当x ＞1时，433431x x +-≥=-= ，当且仅当4x x =，即x=2时取“=”， 取并集得：f （x ）的值域是[0，+∞）．故选B ．【点睛】本题考查分段函数值域的求法，分段函数的值域分段求，然后取并集即可，是中档题． 6．A【解析】e 312x＝2e x －3>－3，所以k ≤－3．选A.7．B【解析】 该几何体的直观图如图所示，是两个有共同底面的全等的四棱锥，其表面积为13822432⨯⨯⨯⨯=.,选B.8．A【解析】 z 的几何意义为点(,)x y 与(1,1)--连线的斜率，由图可知z ∈[0,2）．9．A【解析】因为上述程序框图的功能是将20件药材中的优质品的个数统计出来．按照规定每件中药材重量不小于15克为优质品，因此m ＞14．样本容量是20，因此n ＞19．所以选择A ． 10．B【解析】()a cbc a b c ⋅+⋅=+⋅⋅,3a b c =+≤ ,选D.11．B【解析】∵2sin C cos B ＝2sin A ＋sin B ，又A ＝π－(B ＋C )，∴cos C ＝－12． ∵c ＝3ab ，∴9 a ²b ²＝c ²＝a ²＋b ²－2 ab cos C ＝a ²＋b ²＋ab ≥3ab ．解得ab ≥13．所以选B ． 点睛：三角形中最值问题，一般转化为条件最值问题:先根据正、余弦定理及三角形面积公式结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，利用基本不等式或函数方法求最值. 在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.12．A【解析】设球心为O ，两个截面圆的圆心分别为12,O O ，线段AB 的中点为M ，则四边形12OO MO 为矩形．设圆12,O O 的半径分别为12,r r ，2AB a =，则221216r r +=．由12O M OO =可得2221212r r a +=+，2a ∴=，则4AB =．选A.13．()0,3【解析】{|23}A x x =-<<，{}|0R C B x =>，∴R A C B ⋂=（）(0,3). 14．45- 【解析】角α的终边与单位圆的交点为12(,)55-，所以2sin 5α=-，1cos 5α=， 所以4sin 22sin cos 5ααα==-． 15．94 【解析】 由抛物线的定义及三角形相似可知p =32，直线EF 的倾斜角为120． 设N (34b +，3-b )(0)b >．代入y 2=3x 得4b 24b 3=0，解得32b =或12b =- (舍去),∴N 的横坐标为339424+=，即点N 到y 轴的距离为94． 点睛：1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理． 2．若00(,)P x y 为抛物线22(0)y px p =>上一点，由定义易得02p PF x =+；若过焦点的弦AB AB 的端点坐标为1122(,),(,)A x y B x y ，则弦长为1212,AB x x p x x =+++可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到．16．60b -≤<【解析】函数()f x 的图象关于点(-2,0)中心对称，则(4)(0)f f -=-，由此求得2a =-，∴232()(2)(45)6310f x x x x x x x =++-=++-，'()'()'()'()0f x b f x f x b f x +<⇔+-<，即b 2＋2bx ＋4b <0对(1,2)x ∈恒成立． 显然0b =不合题意．当0b >时,'()'()0f x b f x +-<⇔24b x <--，b ≤－8(舍去)；当0b <时,'()'()0f x b f x +-<⇔24b x >--,b ≥－6．综上，b 的取值范围是－6≤b ＜0．17．（1）1234,10,16a a a ===，猜想62n a n =-；（2）()2124n n T n +=-+.【解析】 试题分析：（1）令1,2n =代入可得，观察数列{}n a 是一个等差数列，可归纳出通项；（2）由134,16b b ==可求得数列{}n b 的公比q 和首项1a ，从而得通项公式n b ，数列{}n nb 前n 项和用错位相减法可求． 试题解析：（1）1234,10,16a a a ===，猜想62n a n =-；（2）由题意可知134,16b b ==，故{}n b 的公比q 满足24q =， 又因为{}n b 各项均为正数，故12,2n n q b +==，于是114283162n n T n +=⨯+⨯+⨯++⨯ ①，而()12218216122n n n T n n ++=⨯+⨯++-⨯+⨯ ②，①-②，得1221248224212n n n n n T n n -++--=+++-⨯=⨯-⨯-，故()2124n n T n +=-+．18．（1）(ⅰ)见解析(ⅱ)模型乙的拟合效果更好．（2）印刷8千册对印刷厂更有利． 【解析】试题分析：（1）(ⅰ)根据公式计算，填入对应表格(ⅱ) 比较残差平方和大小，越小越好，故模型乙的拟合效果更好．（2）分别计算印刷8千册与10千册的利润：二次印刷8千册，则印刷厂获利为()5 1.7800026400-⨯=(元)，如二次印刷10千册，则每册成本为26.41.6 1.66410+=，需求期望值为80.8100.28.4EX =⨯+⨯=．因而获利为5100016640420001664025360EY EX =⨯⨯-=-=，少于印刷8千册获的利润.试题解析：解：(Ⅰ) (ⅰ) 经计算，可得下表．(ⅱ) ()22210.10.10.10.03Q =+-+=，220.10.01Q ==，12Q Q >，故模型乙的拟合效果更好．(Ⅱ) 若二次印刷8千册，则印刷厂获利为()5 1.7800026400-⨯=(元) ． 若二次印刷10千册，由(Ⅰ)可知，单册书印刷成本为26.41.6 1.66410+=(元)， 故印刷总成本为16640(元) ．设新需求量为X (千册)，印刷厂利润为Y (元)，则80.8100.28.4EX =⨯+⨯=．故5100016640420001664025360EY EX =⨯⨯-=-=．故印刷8千册对印刷厂更有利．19．（1）详见解析；（2）3. 【解析】 试题分析：（1）要证两平面垂直，就要证线面垂直，首先利用已知条件BM 与平面PCD 垂直，为此取PD 的中点N ，可证得四边形ABMN 为平行四边形，所以//AN BM ，从而AN ⊥平面PCD ，也即,AN PD AN CD ⊥⊥.于是由ED EA =即PD PA =及N 为PD 的中点，可得PAD ∆为等边三角形，060PDA ∠=，由0150EDC ∠=，得090CDA ∠=，C D AD ⊥，可得CD ⊥平面PAD ，从而得平面PAD ⊥平面ABCD .（2）利用棱锥体积公式13V Sh =，三棱锥M BCD -的底面BCD 的面积是四棱锥P BACD -的底面ABCD面积的23，高为其一半，由体积公式可得结论． 试题解析：（1）证明：取PD 的中点N ，连接,AN MN ，则1//,2MN CD MN CD =， 又1//,2AB CD AB CD =，所以//,MN AB MN AB =，则四边形ABMN 为平行四边形，所以//AN BM ， 又BM ⊥平面PCD ， ∴AN ⊥平面PCD ， ∴,AN PD AN CD ⊥⊥.由ED EA =即PD PA =及N 为PD 的中点，可得PAD ∆为等边三角形， ∴060PDA ∠=，又0150EDC ∠=，∴090CDA ∠=，∴CD AD ⊥， ∴CD ⊥平面,PAD CD ⊂平面ABCD ， ∴平面PAD ⊥平面ABCD .（2）解：设四棱锥P ABCD -的高为h ，四边形ABCD 的面积为S ，则13P ABCD V hs -== 又23BCD S S ∆=，四面体BCDM 底面BCD 上的高为2h ．∴112123263633BCDM BCD h V S hS ∆=⨯⨯=⨯=⨯⨯=，所以四面体BCDM 的体积为3．20．（1）2214x y +=；（2）y x =-±y x =-±. 【解析】 试题分析：（1）由离心率2c e a ==，已知点坐标代入得221314a b +=及222a b c =+可解得,,a b c 得标准方程；（2）存在性问题，假设直线l 存在，把y kx m =+代入E 的方程得()()222148410k xkmx m +++-=，同时设()()1122,,,P x y Q x y ，则可得()2121222418,1414m km x x x x k k--+==++，① 代入2OP OQ k k +=得出,k m 的一个等式，再由直线和圆相切又得一个等式，联立可解得,k m ，同时注意直线与椭圆相交的条件，如满足则说明存在．试题解析：（1）由已知得2213,124c a a b=+=， 解得224,1a b ==，∴椭圆E 的方程为2214x y +=；（2）把y kx m =+代入E 的方程得：()()222148410k xkmx m +++-=，设()()1122,,,P x y Q x y ，则()2121222418,1414m km x x x x k k--+==++，① 由已知得()()12211212211212122OF OQ kx m x kx m x y y y x y x k k x x x x x x +++++=+===， ∴()()1212210k x x m x x -++=，② 把①代入②得()()2222811801414k m km k k---=++，即21m k +=，③又()()2221641164k m k k ∆=-+=+，由2240{10k k m k +>=-≥，得14k <-或01k <≤，由直线l 与圆221x y +=1= ④③④联立得0k =（舍去）或1k =-，∴22m =， ∴直线l的方程为y x =-±． 21．（1）详见解析；（2）3,1-. 【解析】 试题分析：（1）求出导函数'()g x ，根据a 的值分下、负、0进行讨论，可得'()g x 的正负，从而得单调性；（2）t 即方程2x x xe +=的解，由于0x ≠，方程变形为2210e x--=，这样只要研究函数2()1xh x e x=--的零点可能在哪个区间即可，由导数知()h x 是(,0)-∞和(0,)+∞上的单调增函数，计算()()h k k Z ∈可得结论． 试题解析：（1）解：()xxg x axe e =+，∴()()1xg x ax a e =++'，①若0a =时，()(),0xg x e g x ''=>在R 上恒成立，所以函数()g x 在R 上单调递增；②若0a >时，当1a x a+>-时，()0g x '>，函数()g x 单调递增， 当1a x a+<-时，()0g x '<，函数()g x 单调递减； ③若0a <时，当1a x a+>-时，()0g x '<，函数()g x 单调递减，当1a x a+<-时，()0g x '>，函数()g x 单调递增．综上，若0a =时，()g x 在R 上单调递增；若0a >时，函数()g x 在1,a a +⎛⎫-∞-⎪⎝⎭内单调递减，在区间1,a a +⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭内单调递增；当0a <时，函数()g x 在区间1,a a +⎛⎫-∞-⎪⎝⎭内单调递增，在区间1,a a +⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭内单调递减，（2）由题可知，原命题等价于方程2x xe x =+在[],1x m m ∈+上有解， 由于0x e >，所以0x =不是方程的解， 所以原方程等价于210xe x --=，令()21x r x e x=--， 因为()220xr x e x =+>'对于()(),00,x ∈-∞⋃+∞恒成立， 所以()r x 在(),0-∞和()0,+∞内单调递增． 又()()()()2321130,220,30,203r e r e r e r e =-=--=--=， 所以直线2y x =+与曲线()y f x =的交点有两个， 且两交点的横坐标分别在区间[]1,2和[]3,2--内， 所以整数m 的所有值为-3，1． 点睛：求函数单调区间的方法步骤： （1）先确定定义域， （2）求出导数'()f x ，（3）一种方法是求方程'()0f x =的根，这些把定义域分成若干个子区间，在这些子区间上讨论'()f x 的正负，得单调区间；另一种方法，解不等式'()0f x >得增区间，解不等式'()0f x <得减区间．如果函数中含有参数，一定要弄清参数对'()f x 在某一区间内的符号是否有影响，若有影响则一定要分类讨论． 22．（1）2y x = （2）34【解析】试题分析：（1）根据cos ,sin x y ραρα==，将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程2y x =，根据抛物线性质得焦点直角坐标（2）利用直线参数方程几何意义化简112PA PB+=得12122t t t t -=，联立直线参数方程与抛物线方程，利用韦达定理代入化简得2sin 1α=，即π2α=，从而可得||2AB =，即得FAB ∆的面积. 试题解析：(Ⅰ)原方程变形为22sin cos ραρα=,cos ,sin x y ραρα==∴C 的直角坐标方程为2y x =,其焦点为1(,0)4F ． (Ⅱ)把l 的方程代入2y x =得22sin cos 10t t αα--= 则121222cos 1,sin sin t t t t ααα+==-① 121222PA PB PA PB t t t t +=∴-=平方得22121212|44|t t t t t t +-=②把①代入②得22424cos 44sin 1sin sin sin ααααα+=⇒=α是直线的倾斜角，∴π2α=∴l 的普通方程为1x =且||2AB = ∴△F AB 的面积为34S =23．（1）{ x |－3≤x ≤3}（2）见解析 【解析】试题分析：（1）利用绝对值几何意义将不等式化为三个不等式组，分别求解，最后求并集（2）利用绝对值三角不等式可得|13m －12n |≤|13m |＋|12n |，再根据m ，n 取值范围可得|m |≤3，|n |≤3，代入即证.试题解析：（Ⅰ）不等式| x ＋2|＋| x －2|≤6可以转化为()()2,{226,x x x ≤--+--≤或()()22,{226,x x x -<≤+--≤或()()2,{226,x x x >++-≤ 解得－3≤x ≤3． 即不等式的解集A ＝{ x |－3≤x ≤3}． （Ⅱ）证明：因为|13m －12n |≤|13m |＋|12n |＝13|m |＋12|n |，又因为m ，n ∈A ，所以|m |≤3，|n |≤3．所以13|m|＋12|n|≤13×3＋12×3＝52，当且仅当3m n=-=±时，等号成立．即|13m－12n|≤52，得证．点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．。