2015年第56届IMO试题
2015年世界少年奥林匹克数学竞赛九年级海选赛试题含答案
九年级 第1页 九年级 第2页2015年世界少年奥林匹克数学竞赛九年级海选赛试题含答案绝密★启用前世界少年奥林匹克数学竞赛（中国区）选拔赛地方海选赛试题（2015年10月）选手须知：1、本卷共三部分，第一部分：填空题，共计50分；第二部分：计算题，共计12分；第三部分：解答题，共计58分。
2、答题前请将自己的姓名、学校、赛场、参赛证号码写在规定的位置。
3、比赛时不能使用计算工具。
4、比赛完毕时试卷和草稿纸将被收回。
九年级试题（Ａ卷）（本试卷满分120分 ，考试时间90分钟 ）一、填空题。
（每题5分，共计50分）1、两块三角形面板如图放置，等腰直角三角形板ABC 的斜边BC 与∠F=30°的直角三角板DEF 的直角边EF 重合，则∠a 的度数为 。
2、若a 、b 都为实数，且b = 20131-a + 2014a -1+ 2015 则a b= 。
3.设x 1，x 2是方程x 2 - x -2013 = 0 的两实数根，则x 13+2014x 22-2013= 。
4、已知三个实数x ，y ，z 中，x 与y 的平均数是127，y 与z 的和的31是78，x 与z 的和的41是52，则这三个数x ，y ，z 的平均数是 。
5、如图，矩形ABCD 中，已知AB=5，AD=12，P 是AD 上的动点，PE ⊥AC 与E ，PF ⊥BD 与F ，则PE+PF= 。
6、如图，在平面直角坐标系中，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB = Rt, CA ⊥x 轴，垂足为点A ，点B 在反比例函数y 1=x4(x>0)的图像上，反比例 函数y 2=x2(x>0)的图像经过点C ，交AB 于点D ，则点D 的坐标 。
7、若有理数x ，y ，z 满足2121=-+-+z y x （x+y+z ）则(x-zy)2= 。
8、我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副"弦图"，后人称其为"赵爽弦图"如图，也是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD ，正方形EFGH,正方形MNKT 的面积，分别为S 1,S 2,S 3,若S 1+S 2+S 3 = 10 ,则S 2的值是 。
2015年第56届IMO解答
XGF GNC GLN KFD DFG XFG
因此 XF XG ，又因为 OF OG ，
所以 A, X , O 都在 GF 的中垂线上。
（此题全场平均 4.794 分，满分 351/577 人，中国队此题满分）
上
因此 3 2 4 5 是 2 的幂，因此只能有 4 ，所以 c 7 ， b 5 ，检验可知满足要求。 综上所述， ( a , b, c ) (2, 2, 2), (2, 2, 3), (2, 6,11), (3, 5, 7) 以及它们的轮换是全部解。
（此题全场平均 1.359 分，满分 31 人，中国队此题 7、7、7、7、6、2 分）
2
则 , 1 ，a 2 c 2 2 2 1 是 2 的幂，只能有 2 所以 b a 2 ， c 3 ，检验可知是一个解。
2
2 1 1 ，因此 1 ， 1 ，
则 c a, c( a 1) 是 2 的幂， 因此 c, a 1 都是 2 的幂， 令 c 2 , a 1 2 ， ②若 b c ，
（此题全场平均 0.653 分，30 人此题满分，中国队此题 7、1、1、1、1、1 分）
上
善
若
水
蕴
秀
斋
4、 O 是 ABC 的外接圆 c1 的圆心，以 A 为圆心的圆 c2 与线段 BC 交于 D , E ，其中 D 在
B, E 之间。 c1 , c2 交于 F , G ，使得 A, F , B, C , G 是 c1 上顺时针排列。 BDF 的外接圆 c3 与 AB 交于 K B ，CEG 的外接圆 c3 与 AC 交于 L C ，FK , GJ 交于 X ， 求证：A, X , O
2015年全国高中数学联合竞赛一式参考答案及平分标准
2015年全国高中数学联合竞赛一试一、填空题：本大题共8小题，没小题8分，满分64分。
1.设a 、b 为不相等的实数，若二次函数b ax x x f ++=2)(满足)()(b f a f =，则)2(f 的值为2.若实数α满足ααtan cos =，则αα4cos sin 1+的值为 3.已知复数数列{}n z 满足),2,1(i 1,111⋅⋅⋅=++==+n n z z z n n ，其中i 为虚数单位，n z 表示n z 的共轭复数，则2015z 的值为4.在矩形ABCD 中，1,2==AD AB ,边DC 上（包含D 、C ）的动点P 与CB 延长线上（包含点B ）的动点Q =，则向量与向量的数量积⋅的最小值为 5.在正方体中随机取3条棱，他们两两异面的概率为6.在平面直角坐标系xOy 中，点集{}0)63)(63(),(≤-+-+=y x y x y x K 所对应的平面区域的面积为7.设w 是正实数，若存在)2(,ππ≤<≤b a b a ，使得2sin sin =+wb wa ，则w 的取值范围是8.对四位数)9,,0,91(≤≤≤≤d c b a abcd ，若d c c b b a ><>,,，则称abcd 为P 类数；若d c c b b a <><,,则称abcd 为Q 类数.用)(),(Q N P N 分别表示P 类数和Q 类数的个数，则)()(Q N P N -的值为二、解答题：本大题共3小题，满分56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
9.（本小题满分16分）若实数c b a ,,满足cbacba424,242=+=+，求c 的最小值。
10.（本小题满分20分）设4321,,,a a a a 是4个有理数，使得{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧----=≤<≤3,1,81,23,2,2441j i aa ji求4321a a a a +++的值。
第届国际数学奥林匹克竞赛IMO选讲《平面几何》第题
2015年第56届国际奥林匹克数学竞赛（2015年7月10-11日，泰国清迈）试题选讲【分析】AO是O的弦FG的中垂线，要证明X在AO上，只要证明XF XG∠=∠。
=或者XFG XGF（下面只是证明本题最关键的步骤，略去了大量的文字阐述和引用的常用中间结论，这在正式竞赛中是不允许的。
所以，同学们如果要自己动手做一做、练一练，一定要把过程写详细、写清楚!) Array【证一】∵AFX AFK FKB FAB FDB FCB DFC∠=∠=∠-∠=∠-∠=∠，AGX AGL CLG CAG CEG CBG EBG∠=∠=∠-∠=∠-∠=∠，∴F N M G，，，四点共圆，可得NFM NGM DFC EGB∠=∠⇒∠=∠，∴AFX AGX∠=∠。
而AF AG AFG AGF∠=∠。
，，则XFG XGF=∠=∠这样，A X，两点都在弦FG的中垂线上。
而弦FG的中垂线必过圆心O，可知A X O，，三点共线。
【证二】【另证F N M G，，，四点共圆】=∠。
FMG【本题剖析，及拓展】如图，可以证明以下诸多结论：（1）JHF KIG ∆∆——JHF JBF ABF KIG KCG ACG JHF KIG F G A AF AG A F B C G O ∠=∠=∠⎧⎪∠=∠=∠⎪⇒∠=∠⎨=⎪⎪⎩，在上，，，，，在上； AFX AFJ FJB FAB FDB FCB DFC LFM AFX AFJ FJB FAB FDB FGB FGE FGB BGE LGM AFX AFJ FHB FGB HBG AGX AGK GKC GAC GIC GFC FCI AGX AGK GKC GAC GEC GBC EGB LGM AGX AGK ∠=∠=∠-∠=∠-∠=∠=∠∠=∠=∠-∠=∠-∠=∠-∠=∠=∠∠=∠=∠-∠=∠∠=∠=∠-∠=∠-∠=∠∠=∠=∠-∠=∠-∠=∠=∠∠=∠=∠或或或或AFX AGX GKC GAC GEC GFC GFD GFC DFC LFM⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⇒∠=∠⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪-∠=∠-∠⎪=∠-∠=∠=∠⎪⎩；而AF AG AFG AGF =⇒∠=∠，可知JFH KGI ∠=∠，FJH GKI ∠=∠。
2015年世界少年奥林匹克数学竞赛（中国区）海选赛五年级试题A卷
2015年世界少年奥林匹克数学竞赛（中国区）海选赛五年级试题A卷世界少年奥林匹克数学竞赛(中国区)海选赛五年级试题A卷下载∕∕∕∕绝密★启用前9、一个数减去16加上24，再除以7得36，这个数是。
10、自1开始，每隔3个数一数，得到数列1，4，7，10，……问第100个数是。
世界少年奥林匹克数学竞赛（中国区）选拔赛地方海选赛试题∕∕〇∕∕号∕∕证∕赛∕参〇∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕场∕〇赛∕∕∕∕∕∕线〇订〇装名姓〇封〇密∕∕∕∕∕∕〇∕∕校∕∕学∕∕∕〇∕市∕∕∕∕∕〇∕∕省∕∕∕∕（2015年10月）选手须知：1、本卷共三部分，第一部分：填空题，共计50分；第二部分：计算题，共计12分；第三部分：解答题，共计58分。
题2、答题前请将自己的姓名、学校、赛场、参赛证号码写在规定的位置。
3、比赛时不能使用计算工具。
4、比赛完毕时试卷和草稿纸将被收回。
答五年级试题（Ａ卷）要（本试卷满分120分，考试时间90分钟）一、填空题。
（每题5分，共计50分）不1、一桶油连桶重120千克，用去一半后，连桶还重65千克。
这桶里原有油千克，空桶重千克。
内 4、今天是星期日，从今天算起，第60天是星期。
线5、有一根木料，要锯成4段，每锯开一处，需要4分钟。
全部锯完需要分钟。
6、如图长方形纸片,假如按图中所示剪成四块,这四块纸片可拼成一个正方形.那么所拼成的正方形封的边长是厘米.密7、苹果的个数是梨的3倍，如果每天吃2个苹果、1个梨，若干天后，苹果还剩7个，梨正好全部吃完。
原来有苹果个。
8、在一次登山活动中，小红上山每分钟行50米，然后按原路下山，每分钟行75米。
小红上山和下山平均每分钟行米。
五年级第1页二、计算题。
（每题6分，共计12分）11、 9999 999 99 9 812、（425×5776—425 4225×425）÷125÷8五年级第2页三、解答题。
（第13题6分，第14题8分，第15题10分，第16题10分，第17题12分，第18题12分，共计58分）13、哥哥和弟弟共有画片38张，弟弟给哥哥3张后还比哥哥多2张，弟弟原有多少张画片，哥哥原有多少张画片？14、两个数相除，商3余10，被除数、除数、商、余数的和是163，那么被除数是多少？除数是多少？15、小明家和小华家在一条直路上，两人从家中同时出发相向而行，在离小明家500米处第一次相遇。
2015 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准
C E
B
G
∴ GF 11， GE 10 ，∴ EF GE2 GF 2 221 .
4. 已知 O 为坐标原点，位于第一象限的点 A 在反比例函数 y 1 (x 0) 的图象上，位于第二象限的 x
点 B 在反比例函数 y 4 (x 0) 的图象上，且 OA OB ，则 tan ABO 的值为 x
5. 已知实数 x, y 满足关系式 xy x y 1，则 2 2 .
B. 6 4 2 .
C.1.
D. 6 4 2 .
【答】B.
设 x y t ， 则 由 题 设 条 件 可 知 xy x y 1 t 1 ， 所 以 x, y 是 关 于 m 的 一 元 二 次 方 程
则 5n2 3n 5 125m2 15m 5 120m2 15m 5(m2 1) .
∵ 5n2 3n 5 是 15 的倍数，∴ m2 1是 3 的倍数，∴ m 3k 1或 m 3k 2 ，其中 k 是非负整数.
∴ n 5(3k 1) 15k 5或 n 5(3k 2) 15k 10 ，其中 k 是非负整数. ∴符合条件的所有正整数 n 的和是（5＋20＋35＋50＋65＋80＋95）＋（10＋25＋40＋55＋70＋85）
A. 8. 【答】C.
B. 12.
C. 16.
D.24.
依题意，有 n m2 bm c (m 8)2 b(m 8) c ，于是可得 b 8 2m ．
∵抛物线 y x2 bx c 与 x 轴只有一个公共点，∴ b2 4c 0 ，∴ c 1 b2 (4 m)2 . 4
6. 设 n 是小于 100 的正整数且使 5n2 3n 5 是 15 的倍数，则符合条件的所有正整数 n 的和是（ ）
A.285. 【答】D.
2015年全国高中数学联合竞赛试题及解答.(A卷)
2k 2 1 m2 ．②
由直线
AF1, l, BF1
的斜率
y1 , k, y2 x1 1 x2 1
依次成等差数列知，
y1 x1 1
y2 2k x2 1
，又
y1 kx1 m, y2 kx2 m ，所以 (kx1 m)(x2 1) (kx2 m)(x1 1) 2k(x1 1)(x2 1) ，化简并
棱两两异面的取法数为 4×2=8，故所求概率为 8 2 ． 220 55
2015A6、在平面直角坐标系 xOy 中，点集 K (x, y) | ( x 3 y 6)( 3x y 6) 0 所对应的平
面区域（如图所示）的面积为
◆答案： 24 ★解析：设 K1 {(x, y) || x | | 3y | 6 0} ． 先考虑 K1 在第一象限中的部分，此时有 x 3y 6 ,故这些点
对应于图中的△OCD 及其内部．由对称性知， K1 对应的区
域是图中以原点 O 为中心的菱形 ABCD 及其内部．
同理，设 K2 {(x, y) || 3x | | y | 6 0} ，则 K2 对应
的区域是图中以 O 为中心的菱形 EFGH 及其内部．
由点集 K 的定义知，K 所对应的平面区域是被 K1 、K2
1 sin
cos4
cos 2 sin 2 sin
sin 2
(1 sin )(1 cos2 )
2 sin
cos2
2．
2015A 3、已知复数数列 zn 满足 z1 1，zn1 zn 1 ni (n 1,2,) ，其中 i 为虚数单位，zn 表
2015 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准
AB AC ， EF BC ，则 C B ____________.
【答】 60 .
E
作 EM BC 于点 M ， FN BC 于点 N ， FP EM 于点 P .
∵ E 、 F 分别为△ ABD 、△ ACD 的外心，∴ M 、 N 分别为 BD 、CD 的中
点.又 EF BC ，∴ PF MN 1 BC 1 EF ，∴ PEF 30 .
6. 设 n 是小于 100 的正整数且使 5n2 3n 5 是 15 的倍数，则符合条件的所有正整数 n 的和是（ ）
A.285. 【答】D.
B.350.
C.540.
D.635.
∵ 5n2 3n 5 是 15 的倍数，∴ 5 | (5n2 3n 5) ，∴ 5 | 3n ，∴ 5 | n ，设 n 5m （ m 是正整数），
∴符合条件的所有正整数 n 的和是（2＋8＋14＋…＋86＋92＋98）＋（4＋10＋16＋…＋82＋88＋94）
＝1634. 二、填空题：（本题满分 28 分，每小题 7 分） 1．题目和解答与（A）卷第 1 题相同. 2. 三边长均为整数且周长为 24 的三角形的个数为________. 【答】12.
C E
B
G
∴ GF 11， GE 10 ，∴ EF GE2 GF 2 221 .
4. 已知 O 为坐标原点，位于第一象限的点 A 在反比例函数 y 1 (x 0) 的图象上，位于第二象限的 x
点 B 在反比例函数 y 4 (x 0) 的图象上，且 OA OB ，则 tan ABO 的值为 x
同理可知： C 不小于 9, D 不小于 12, E 不小于 15, F 不小于 18.
因此，第三列所填 6 个数字之和 A ＋ B ＋ C ＋ D ＋ E + F 3 6 9 12 15 18 63.
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泰国 清迈
第一天
2015年7月10日上午9：00——13：30
1. 我们称平面上一个有限点集S 是平衡的，如果对S 中任意两个不同的点,A B ，都存在S 中一点C ，满足AC BC =。
我们称S 是无中心的，如果对S 中任意三个不同的点,,A B C ，都不存在S 中一点P ，满足PA PB PC ==。
()a 证明：对每个整数3n ≥，均存在一个由n 个点构成的平衡点集
()b 确定所有的整数3n ≥，使得存在一个由n 个点构成的平衡且无中心的点集
2. 确定所有三元正整数组(),,a b c ，使得
,
,ab c bc a ac b ---
中每个数都是2的方幂
3. 在锐角ABC ∆中，AB AC >，设Γ是它的外接圆，H 是它的垂心，F 是由顶点A 所引出高的垂足，M 是边BC 的中点，Q 是Γ上一点，使得90HQA ∠=︒，K 是Γ上一点，使得90HKQ ∠=︒。
已知点,,,,A B C K Q 互不相同，且按此顺序排列在Γ上，求
证：KQH ∆和FKM ∆的外接圆相切
泰国 清迈
第二天
2015年7月11日上午9：00——13：30
4. 已知ABC ∆外接圆Ω圆心为O ，圆心为A 的圆Γ交线段BC 于,D E ，且,,,B D E C 是线段BC 上互不相同的点，Ω和Γ交于,F G 两点，使,,,,A F B C G 顺次排列在Ω上。
K 是BDF ∆外接圆和线段AB 的另一个交点，L 是CGE ∆外接圆和AC 的另一个交点。
设,FK GL 交于点X ，求证：X 在线段AO 上
5. 确定所有的函数:f R R →，满足对任意实数,x y 有
()()
()()()f x f x y f xy x f x y yf x +++=+++
6. 整数集12,,a a ……满足条件：
（1）对任意1j ≥，有12015j a ≤≤
（2）对任意1k l ≤<，有k l k a l a +≠+
求证：存在两个正整数,b N ，对任意满足n m N >≥的整数,m n 有 ()211007n j j m a b =+-≤∑。